Teoria de Control

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Variable Compleja. Un nmero complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, ambas son constantes. Si la parte real y/o la parte imaginaria son variables, el nmero complejo se denomina variable compleja. En la transformada de Laplace, se usa la notacin S como una variable compleja; esto es:

S = + j

Donde es la parte real y es la parte imaginaria.

Funcin compleja. Una funcin compleja F(S), tiene una parte real y una parte imaginaria, o bien,

F(S) = FX + jFY

Donde FX y FY son cantidades reales. La magnitud de F(S) es (FX2 + FY2)1/2, y el ngulo de F(S) es tan-1(FY / FX). El ngulo se mide en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj, a partir del eje real positivo. El complejo conjugado de F(S) es F(S) = FX jFY. Se dice que una funcin compleja G(S) es analtica en una regin si G(S) y todas sus derivadas existen en tal regin.

Teorema de Euler. Con el teorema de Euler se puede expresar el seno y el coseno en trminos de una funcin exponencial. Tomando en cuenta que e-j es el complejo conjugado de ej y que, e j = cos + jsen

e j = cos jsenSe tiene de la suma algebraica de estas dos ecuaciones que

sen = 1/2j (e j e j)

cos = 1/2 (e j + e j)

Transformada de Laplace. Seaf(t) = una funcin del tiempo t tal que f(t) = 0 para t < 0S = una variable compleja

F(S) = transformada de Laplace de f(t)La transformada de Laplace de f(t) se obtiene mediante

Transformadas de Laplace de funciones elementales

Funcin Exponencial. Considere la funcin exponencial

f(t) = 0 para t < 0

= Ae- t para t 0En donde A y a son constantes. La transformada de Laplace de esta funcin exponencial se obtiene del modo siguiente:

Funcin Escaln. Considere la funcin escaln f(t) = 0 para t < 0

= A para t > 0

En donde A es una constante. Observe que ste es un caso especial de la funcin exponencial Ae-t, en donde = 0. La funcin escaln no est definida en t = 0. Su transformada de Laplace se obtiene mediante

Funcin Rampa. Considere la funcin rampa

f(t) = 0 para t < 0

= At para t 0

En donde A es una constante. La transformada de Laplace de esta funcin rampa se obtiene como

Funcin Senoidal. La transformada de Laplace de la funcin senoidal:f(t) = 0 para t < 0

= Asent para t 0

Donde A y son constantes, se obtiene utilizando el teorema de Euler del modo siguiente.

Asimismo, la transformada de Laplace de Acos t se deriva del modo siguiente:

Propiedades de la Transformada de Laplace

1. Linealidad. Si una funcin f(t) tiene transformada de Laplace, entonces la transformada de Laplace de Af(t), en donde A es una constante, se obtiene mediante

Asimismo, si las funciones f1(t) y f2(t) tienen transformadas de Laplace, la transformada de Laplace de la funcin f1(t) + f2(t) se obtiene mediante

Esta propiedad puede generalizarse para un nmero mayor a dos funciones, es decir,

puede aplicarse para la suma f1(t) + f2(t) + + fn(t)2. Cambio de la escala de tiempo. Al analizar sistemas fsicos, es, en ocasiones, conveniente modificar la escala de tiempo o normalizar una funcin del tiempo determinada. El resultado obtenido en trminos del tiempo normalizado es til debido a que se aplica directamente a sistemas diferentes que tienen ecuaciones matemticas similares. Si t se cambia a t/ en donde es una constante positiva, la funcin f(t) se transforma en f(t/). Si se denota la transformada de Laplace de f(t) mediante F(S), la transformada de Laplace de f(t/) se obtiene del modo siguiente:

Suponiendo que t/ = t1 y que S = S1, se tiene

Como S = S1 resulta

Como ejemplo, considere f(t) = et y f(t/5) = e - 0.2t , hallando las transformadas respectivamente se tienen:

Este resultado se comprueba con facilidad tomando la transformada de Laplace de e - 0.2t directamente, como sigue:

3. Desplazamiento en el dominio S. Si f(t) puede transformarse por el mtodo de Laplace, y su transformada es F(s), la transformada de Laplace de e -t f(t) se obtiene como

Se observa que la multiplicacin de f(t) por e -t tiene el efecto de sustituir S por (S + ) en la transformada de Laplace. Por el contrario, cambiar S a (S + ) es equivalente a multiplicar f(t) por e -t. ( puede ser real o compleja).La relacin proporcionada es til para obtener las transformadas de Laplace de funciones tales como e t sent y e t cost. Por ejemplo, dado que

Las transformadas de Laplace de etsent y etcost se obtienen respectivamente mediante

4. Desplazamiento en el tiempo. Si la funcin f(t)1(t) es desplazada en unidades, la misma puede escribirse como f(t )1(t ). Esto se muestra en la siguiente figura

La transformada de Laplace de la funcin desplazada en el tiempo f(t )1(t ) para 0 se obtiene mediante

Cambiando la variable independiente de t por , en donde = t - , se obtiene

Dado que siempre se supone f(t) = 0 para t < 0, f()1() = 0 para < 0. Por lo tanto, se puede cambiar el lmite inferior de la integracin de - a 0. As

Donde

Finalmente

Ejemplo: Halle la transformada de Laplace de

f(t 2) = e t (t 2) 1(t 2)

Solucin: es evidente que la funcin no desplazada viene dada por

f(t) = e ( t + 2) t 1(t)

Esta funcin puede escribirse como f(t) = e 2 e t t 1(t)

Tomando su transformada de Laplace se obtiene

Conociendo que

La transformada de f(t 2) es entonces

La funcin impulso cuya rea es igual a una unidad se denomina funcin impulso unitario o funcin delta de Dirac. La funcin impulso unitario que ocurre en t = t0 por lo general se representa mediante (t t0). (t t0) satisface lo siguiente:

(t t0) = 0 si t t0

(t t0) = 1 si t = t0

Debe mencionarse que un impulso que tiene una magnitud infinita y una duracin de cero es una ficcin matemtica y no ocurre en los sistemas fsicos. Sin embargo, si la magnitud del pulso de entrada a un sistema y su duracin es muy corta en comparacin con las constantes de tiempo del sistema, se puede aproximar la entrada pulso mediante una funcin impulso. PARES BASICOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE1. Teorema de diferenciacin real. La transformada de Laplace de la derivada de una funcin f(t) se obtiene mediante

En donde f(0) es el valor inicial de f(t) evaluado en t = 0.Para comprobar el teorema de diferenciacin real de la ecuacin se procede del modo siguiente. Si se hace la integral de Laplace por partes, se obtiene

Donde

En Conclusin

Del mismo modo, se obtiene la relacin siguiente para la segunda derivada de f(t)

Donde f(0) y son los valores de f(t) y de df(t)/dt evaluadas en t = 0 respectivamente

De la misma manera, para la n-sima derivada de f(t), se obtiene:

Donde

, representan las derivadas de orden n 2 y n 1 respectivamente evaluadas en t = 0.

Observe que si todos los valores iniciales de f(t) y sus derivadas son iguales a cero, la transformada de Laplace de la n-sima derivada de f(t) se obtiene mediante SnF(s). Ejemplo: Considere la funcin coseno.g(t) = 0, para t < 0

= cost, para t 0

La transformada de Laplace de esta funcin coseno se obtiene directamente como en el caso de la funcin senoidal considerada antes. Sin embargo, el uso del teorema de diferenciacin real se comprobar aqu derivando la transformada de Laplace de la funcin coseno a partir de la transformada de Laplace de la funcin seno. Al definir:

f(t) = 0, para t < 0

= sent, para t 0

Entonces

La transformada de Laplace de la funcin coseno se obtiene como

2. Teorema del valor final. El teorema del valor final relaciona el comportamiento en estado estable de f(t) con el comportamiento de SF(S) en la vecindad de S = 0. Sin embargo, este teorema se aplica si y slo si existe el lmite de f(t) cuando t tiende a infinito. El teorema de valor final se plantea del modo siguiente.

El teorema de valor final plantea que el comportamiento en estado estable de f(t) es igual que el comportamiento de SF(S) alrededor de S = 0. Por tanto, es posible obtener f(t) en t = directamente de F(S). Ejemplo: Dado

Cul es el lim f(t) cuando t tiende a infinito?

Aplicando el teorema del valor final se tiene

De hecho, este resultado se verifica con facilidad, dado quef(t)= 1 e t para t 03. Teorema de valor inicial. El teorema de valor inicial es la contraparte del teorema de valor final. Este teorema permite encontrar el valor de f(t) en t = 0+ directamente, a partir de la transformada de Laplace de f(t). El teorema de valor inicial no proporciona el valor de f(t) en exactamente t = 0, sino en un tiempo ligeramente mayor que cero. El teorema de valor inicial se plantea del modo siguiente: si f(t) y df(t)/dt se pueden transformar por el mtodo de Laplace y si existe el limite de SF(S) cuando S tiende a infinito entonces,

Equivalentemente

Ejemplo: Compruebe la validez del teorema del valor inicial para la siguiente funcin:y(t) = te at

Solucin:

Del hecho que:

Se tiene

De la regla de LHopital

Por lo tanto se verifica el teorema.

4. Teorema de integracin real Este teorema establece la relacin entre la transformada de una funcin y la de su integral. Su expresin es

Demostracin. De la definicin de transformada de Laplace

Integrando por partes:

Ntese que en esta derivacin se supone que el valor inicial de la integral es cero5. Teorema de diferenciacin compleja. Si f(t) se puede transformar mediante el mtodo de Laplace, entonces

Asimismo

En general

Para comprobar el teorema de diferenciacin compleja, se procede del modo siguiente:

De aqu el teorema. Asimismo, definiendo t f(t) = g(t), el resultado es

Aplicando este proceso reiteradamente se obtiene

Ejemplo: Encuentre la transformada de Laplace de f(t) definida mediantef(t) = t2 sent para t 0Solucin: Dado que

Aplicando el teorema:

Se obtiene

6. Teorema de Convolucin. La Convolucin entre dos funciones viene dada mediante la siguiente integral

La Convolucin entre dos funciones es Conmutativa por lo tanto

La Transformada de Laplace de la Convolucin entre dos funciones es:

Se deja como ejercicio la demostracin de este teorema. Se sugiere el cambio t = as como la alteracin del orden de integracin.

Polos y ceros en S

Sea F(S) dada como el cociente de dos polinomios en el dominio S. Los Polos de F(S) son los valores de S donde esta funcin diverge es decir, representan las races reales o complejas del denominador de F(S). Por otro lado los ceros de F(S) son los valores donde la funcin es cero o las races reales y complejas del numerador de F(S).

Ejemplos

Determine los polos y ceros de las siguientes funciones:

a) f(t) = e-t + e-2t

Tomando la Transformada de Laplace resulta:

Polos de F(S) Cero de F(S) S = - 1, S = - 2 S = - 3/2

b) Polos de G(S)

S = 0 (polo de multiplicidad 2)

S = - 2 4j (par de polos complejos conjugados)

Ceros de G(S) S = j (par de ceros imaginarios puros conjugados)

Transformada Inversa de Laplace

Un mtodo conveniente de obtener las transformadas de Laplace es usar una tabla de transformadas de Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una forma que se reconozca de inmediato en tal tabla. Con mucha frecuencia, es posible que la funcin en cuestin no aparezca en las tablas de transformadas de Laplace disponibles. Si una transformada especfica F(S) no se encuentra en la tabla, puede expandirse en fracciones parciales y escribirse en trminos de funciones simples de S para las cuales ya se conocen las transformadas inversas de Laplace.

Estos mtodos para encontrar las transformadas inversas de Laplace se basan en la correspondencia nica de una funcin de tiempo y su transformada de Laplace, esto es:

Utilizando esta notacin pueden aplicarse las propiedades y teoremas estudiados para la Transformada de Laplace en forma anloga para el caso de la Transformada inversa de Laplace.

Ejemplos:

1. Determine la transformada inversa de Laplace de

Solucin:

2. Halle

Completando el cuadrado en el denominador y aplicando la propiedad de linealidad se tiene

Ntese que la separacin se realiza de tal manera que se obtengan transformadas de Laplace conocidas o dadas en una tabla de transformadas bsicas. Por lo tanto

Transformada Inversa de Laplace por el mtodo de fracciones parciales1. Determine

Como el denominador es el producto de factores de primer orden la descomposicin en fracciones parciales es la siguiente:

Se hallan las constantes obtenindose

A = 1 B = 1Sustituyendo resulta

Donde

2. Halle la transformada inversa de Laplace de la siguiente funcin

Siendo el denominador el producto de 2 factores de primer orden donde uno de ellos esta al cuadrado, la descomposicin en fracciones parciales es como sigue

Donde las constantes que satisfacen esta ecuacin sonA = 4/7 B = - 2 C = 3/7Sustituyendo en F(S) se obtiene

La transformada inversa de Laplace es

3. Determine g(t) si su trasformada de Laplace viene dada por

Como el denominador es el producto de dos factores, siendo el primero un factor lineal al cuadrado y el otro un factor de segundo orden, la descomposicin en fracciones parciales es la siguiente

Hallando las constantes y la transformada inversa de Laplace resulta:

FUNCIN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS LINEALES

En la teora de control, generalmente se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo (LTI). Funcin de transferencia. La funcin de transferencia de un sistema G(S) descrito mediante una ecuacin diferencial lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (funcin de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (funcin de excitacin) bajo la suposicin de que todas las condiciones iniciales son cero. Esto es

Considere el sistema lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la siguiente ecuacin diferencial:

En donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La funcin de transferencia de este sistema se obtiene tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuacin anterior en forma independiente, con la suposicin de que todas las condiciones iniciales son cero y se obtiene:

Utilizando este concepto de funcin de transferencia se puede representar la dinmica de un sistema por ecuaciones algebraicas en S. Si la potencia mas alta de S en el denominador es n se dice que el sistema es de orden n.

Caractersticas de la funcin de transferencia. La aplicacin del concepto de funcin de transferencia est limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Sin embargo, el enfoque de la funcin de transferencia se usa extensamente en el anlisis y diseo de dichos sistemas. A continuacin se presentan algunas caractersticas importantes relacionadas con la funcin de transferencia.

1. La funcin de transferencia de un sistema es un modelo matemtico porque es un mtodo operacional para expresar la ecuacin diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.2. La funcin de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o funcin de excitacin.3. La funcin de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona informacin acerca de la estructura fsica del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas fsicamente diferentes pueden ser idnticas.)

4. Si se conoce la funcin de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intencin de comprender la naturaleza del sistema.5. Si se desconoce la funcin de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una funcin de transferencia, proporciona una descripcin completa de las caractersticas dinmicas del sistema, a diferencia de su descripcin fsica.Diagramas de Bloques: Un diagrama de bloques de un sistema es una representacin grfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de seales. Tal diagrama muestra las relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia de una representacin matemtica puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma ms realista el flujo de las seales del sistema real. En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales. Elementos:a) Bloque funcional: Es un smbolo para representar la operacin matemtica que sobre la seal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la direccin del flujo de seales.

b) Punto Suma. Representa un crculo con una cruz y es el smbolo que indica una operacin de suma algebraica de seales. Es importante que las cantidades que se sumen o se resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.

c) Punto de ramificacin. Es aquel a partir del cual la seal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos suma.

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. A diferencia de un sistema de lazo abierto, en un sistema de lazo cerrado la salida C(S) se realimenta para ser comparada con la entrada de referencia R(S). La naturaleza en lazo cerrado del sistema se indica con claridad en la figura 1.

Figura 1

La salida del bloque, C(S) en este caso, se obtiene multiplicando la funcin de transferencia G(S) por la entrada al bloque, E(S). Cualquier sistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama de bloques formado por puntos suma, bloques funcionales y puntos de ramificacin.

Por otro lado cuando la salida se realimenta al punto suma para compararse con la entrada, es necesario convertir la forma de la seal de salida en la de la seal de entrada. Esta conversin se consigue mediante un elemento de realimentacin, cuya funcin de transferencia es H(S) como se aprecia en la figura 2.

Figura 2Funcin de transferencia en lazo abierto y de trayectoria directa. De la figura 2 el cociente de la seal de realimentacin B(S) entre la seal de error E(S) se denomina funcin de transferencia en lazo abierto. Es decir,

El cociente entre la salida C(S) y la seal de error E(S) se denomina funcin de transferencia de trayectoria directa, por lo que la misma es:

Si la funcin de transferencia de la trayectoria de realimentacin H(S) es la unidad (figura 1), la funcin de transferencia en lazo abierto y la funcin de transferencia de trayectoria directa son iguales.Funcin de transferencia en lazo cerrado. Para el sistema que aparece en la figura 2 la salida C(S) y la entrada R(S) se relacionan del modo siguiente:C(S) = G(S)E(S)

E(S) = R(S) B(S) = R(S) H(S)C(S)

Eliminando E(S) de estas ecuaciones, se obtieneC(S) = G(S)[ R(S) H(S)C(S)]Relacionando la salida entre la entrada resulta:

La funcin de transferencia que relaciona C(S) con R(S) se denomina funcin de transferencia en lazo cerrado. Esta funcin de transferencia relaciona la dinmica del sistema en lazo cerrado con la dinmica de los elementos de las trayectorias directa y de realimentacin.Reduccin de un diagrama de bloques. Es importante sealar que los bloques pueden conectarse en serie. Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes sin carga puede sustituirse con un solo bloque, cuya funcin de transferencia sea simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales. Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentacin se simplifica mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del lgebra de los diagramas de bloques. Algunas de estas reglas importantes aparecen en la siguiente tabla

Ejemplos:

1. Simplifique el siguiente diagrama de bloques y halle la funcin de transferencia de lazo cerrado.

Representando independientemente los lazos y colocando la funcin auxiliar X(S) se tiene

Dado que

X(S) = R(S)G1 + R(S) = R(S)[ 1 + G1]

El diagrama se simplifica de la siguiente manera

Siendo

C(S) = R(S) [1 + G1]G2 + R(S)

C(S) = R(S) [(1 + G1)G2 + 1]

C(S) = R(S) [G1G2 + G2 + 1]

La mnima reduccin es

Donde es evidente la funcin de transferencia de lazo cerrado:

C(S)/R(S) = G1G2 + G2 + 12. Simplifique el siguiente diagrama de bloques y halle la funcin de transferencia de lazo cerrado.

Solucin: Simplificando el diagrama anterior se tiene

Del ltimo diagrama se deduce que la funcin de transferencia de lazo cerrado es

3. Halle la funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema:

Solucin:

Para facilitar el procedimiento se ha escrito sobre el diagrama de bloques la funcin auxiliar X. La salida C puede expresarse como

C = XG2G3Donde la funcin auxiliar X se obtiene mediante

X = [XG2H1 + R C] G1 CH2X = XG1G2H1 + RG1 CG1 CH2X [1 G1G2H1] = RG1 CG1 CH2

Sustituyendo este resultado en la ecuacin de salida para C se tiene

C [1 G1G2H1 + G1G2G3 + G2G3H2] = R G1G2G3

Siendo la funcin de transferencia de lazo cerrado la relacin:

Sistema en lazo cerrado sometido a una perturbacin. Considere el siguiente diagrama de bloques

La figura muestra un sistema en lazo cerrado sujeto a una perturbacin. Cuando se presentan dos entradas (la entrada de referencia y la perturbacin) en un sistema lineal, cada una de ellas puede tratarse en forma independiente; y las salidas correspondientes a cada entrada pueden sumarse para obtener la salida completa. Al examinar el efecto de la perturbacin D(S), se puede suponer que el sistema est inicialmente relajado, con un error cero; despus se calcula la respuesta CD(S) solo para la perturbacin. Esta respuesta se encuentra a partir de

Por otra parte, al considerar la respuesta a la entrada de referencia R(S), se puede suponer que la perturbacin es cero. Entonces, la respuesta CR(S) a la entrada de referencia R(s) se obtiene a partir de

La respuesta a la aplicacin simultnea de la entrada de referencia y la perturbacin se obtiene sumando las dos respuestas individuales. En otras palabras, la respuesta C(S) producida por la aplicacin simultnea de la entrada de referencia R(S) y la perturbacin D(S) se obtiene mediante

C(S) = CD(S) + CR(S)

Sustituyendo las expresiones de CD(S) y CR(S) resulta

Estudio dinmico de Sistemas (Modelacin matemtica)

Para el estudio de los sistemas de control es necesario conocer el comportamiento de los elementos que eventualmente pueden formar parte de un sistema a controlar y del sistema de control. Este comportamiento se puede expresar en forma de un modelo matemtico. Se conoce como modelo matemtico a las expresiones que representan el comportamiento dinmico de un sistema.El estudio dinmico consiste entonces en determinar analticamente la respuesta (salida) cuando la entrada experimenta una variacin en el tiempo (excitacin). Dicho de otra manera poder representar la respuesta transitoria del sistema. Los modelos matemticos de los sistemas fsicos son ecuaciones diferenciales, que pueden ser ordinarias para los sistemas a parmetros concentrados o parciales para los sistemas distribuidos. Estas ecuaciones diferenciales pueden ser lineales o no lineales segn el rango de funcionamiento en el cual se quiere estudiar al sistema.Sistemas Mecnicos

Un sistema mecnico est conformado por los elementos siguientes:

ElementosRepresentacin grficaEcuacin fundamental

Resorte

Amortiguador

Friccin

Masa

Donde:

: Fuerza

: Desplazamiento

: Velocidad

: Aceleracin

: Constante del resorte

: Constante del amortiguador

: Coeficiente de friccin

: Masa

Ejemplo: Considere el sistema de la figura

El modelo matemtico del sistema ser:

Donde la ecuacin diferencial ordinaria es

Esta ecuacin es una relacin del desplazamiento de la masa (salida) en funcin de la fuerza aplicada (entrada).

Sistemas Elctricos

Un sistema elctrico est conformado por los elementos siguientes:

ElementosRepresentacin grficaEcuacin fundamental

Resistencia

,

Capacitor

;

Bobina

,

Elemento cualquiera

En un nodo

En una malla

Elementos en serie

Elementos en paralelo

Donde:

: Voltaje o diferencia de potencial

: Intensidad

: Impedancia

: Resistencia

: Capacitancia

: Inductancia

Ejemplos

1. Modele el circuito RC de la figura y realice el diagrama de bloques del mismo

Las ecuaciones dinmicas son: Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones resulta:

Para dibujar el diagrama de bloques del sistema se representa individualmente en forma de bloques cada ecuacin transformada por el mtodo de Laplace y posteriormente se integran los elementos en un diagrama de bloques completo. Diagramas de ecuaciones dinmicas en el dominio complejo

Diagrama de bloques definitivo

2. Modele el circuito RCL de la figura y realice el diagrama de bloques del mismo

Las impedancias complejas de cada uno de los elementos pasivos son:

Por lo tanto

Despejando I(S) se tiene:

Del hecho que

Se elimina I(S) y se obtiene

Entonces la funcin de transferencia del sistema es

Un Diagrama de Bloques para este circuito puede ser

Dado que

3. Sea el siguiente sistema mecnico

Suponga que el sistema est inicialmente en reposo y que en t = 0 se pone en movimiento mediante una fuerza impulso unitario. Obtenga un modelo matemtico para el sistema. Despus, encuentre el movimiento del sistema. Solucin. La ecuacin de movimiento de este sistema est dada por

Tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de esta ltima ecuacin resulta

m[S2X(S) Sx(0) ] + kX(S) = 1

De las condiciones iniciales x(0) = = 0 y despejando X(S) se obtiene:

Donde la transformada inversa de Laplace es

La oscilacin es un movimiento armnico simple de amplitud:

4. Considere el sistema mecnico que aparece en la figura 3. Suponiendo que el sistema es lineal. La fuerza externa u(t) es la entrada para el sistema, y el desplazamiento y(t) de la masa es la salida. El desplazamiento y(t) se mide a partir de la posicin de equilibrio en ausencia de una fuerza externa. Este sistema tiene una sola entrada y una sola salida. Determine un modelo matemtico para el sistema y encuentre la funcin de transferencia del mismo.

Figura 3

A partir del diagrama, la ecuacin del sistema es

En el dominio complejo se tiene:

mS2Y(S) + bSY(S) + kY(S) = U(S)Y(S)[ mS2 + bS + k ] = U(S) La funcin de transferencia es:

5. Obtenga un modelo matemtico del este sistema de masa-resorte-amortiguador de la figura 4, suponiendo que ste est inmvil durante t < 0. En este sistema, u(t) es el desplazamiento del carro y la entrada para el sistema. En t = 0, el carro se mueve a una velocidad constante. El desplazamiento y(t) de la masa es la salida. (El desplazamiento en relacin con el piso). Halle la funcin de transferencia del sistema.

Figura 4

Aplicando la segunda ley de Newton al sistema presente y considerando que el carro no tiene masa, se obtiene

O bien

Transformando ambos miembros al dominio complejo y estableciendo las condiciones inciales iguales a cero resulta

(mS2 + bS + k)Y(S) = (bS + k)U(S)

Tomando el cociente entre Y(S) y U(S), la funcin de transferencia del sistema se escribe como

6. Modele el circuito RC en cascada de la figura y halle la funcin de transferencia de lazo cerrado

Las ecuaciones dinmicas son

Pasando estas ecuaciones al dominio complejo se tiene

[I1(S) I2(S)] + R1I1(S) = Ei(S)

[I2(S) I1(S)] + R2I2(S) + I2(S) = 0

E0(S) = I2(S)

Eliminando I1(S) de las ecuaciones anteriores y escribiendo Ei(S) en trminos de I2(S), se encuentra que la funcin de transferencia buscada es:

ACCIONES BSICAS DE CONTROLLas acciones bsicas de control que utilizan los controladores analgicos industriales son:

1. De dos posiciones o de encendido y apagado (on/off)2. Proporcionales

3. Integrales4. Derivativas5. Proporcionales-integrales (PI)6. Proporcionales-derivativos (PD)7. Proporcionales-integrales-derivativos (PID).

Casi todos los controladores industriales emplean como fuente de energa la electricidad

o un fluido presurizado, tal como el aceite o el aire. Los controladores tambin pueden clasificarse, de acuerdo con el tipo de energa que utilizan en su operacin, como neumticos, hidrulicos o electrnicos. El tipo de controlador que se use debe decidirse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones operacionales, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, precisin, peso y tamao.Controlador automtico, actuador y sensor (elemento de medicin). La figura 5 es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste en un controlador automtico, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medicin).

Figura 5

El controlador detecta la seal de error, que por lo general, est en un nivel de potencia muy bajo, y la amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida de un controlador automtico se alimenta a un actuador, tal como un motor o una vlvula neumticos, un motor hidrulico, o un motor elctrico. El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para la planta de acuerdo con la seal de control, a fin de que la seal de salida se aproxime a la seal de entrada de referencia. El sensor o elemento de medicin, es un dispositivo que convierte la variable de salida en otra variable manejable, tal como un desplazamiento, una presin, o un voltaje, que pueda usarse para comparar la salida con la seal de entrada de referencia. Este elemento est en la trayectoria de realimentacin del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la seal de realimentacin del sensor o del elemento de medicin.Accin de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off). En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuacin tiene dos posiciones fijas que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente sencillo y de bajo costo, razn por la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domsticos.Suponiendo que la seal de salida del controlador es u(t) y que la seal de error es e(t) En el control de dos posiciones, la seal u(t) permanece en un valor ya sea mximo o mnimo, dependiendo de si la seal de error es positiva o negativa. Esto es

u(t) = A1 para e(t) > 0u(t) = A2 para e(t) < 0

A1 y A2 son constantes. Por lo general, el valor mnimo A2 es cero o A1. Es comn que los controladores de dos posiciones sean dispositivos elctricos, en cuyo caso se usa extensamente una vlvula elctrica operada por solenoides.El rango en el que debe moverse la seal de error antes de que ocurra la conmutacin se denomina brecha diferencial. Tal brecha provoca que la salida del controlador u(t) conserve su valor presente hasta que la seal de error se haya desplazado ligeramente ms all de cero. El diagrama de bloques para una accin de control de dos posiciones con brecha diferencial se muestra en la siguiente figura

Sistema de control de nivel de dos posicionesConsidere el sistema de control del nivel de lquido con flotador de la figura 6, en donde se usa una vlvula electromagntica S para controlar el flujo de entrada. Esta vlvula est abierta o cerrada dependiendo del nivel h dentro del tanque. Si el nivel es bajo la vlvula S se hallar en estado de encendido y si el nivel es alto la vlvula pasar al estado de apagado. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada Q1 es una constante positiva o cero. La vlvula de alivio R manipula el flujo de salida Q2

Figura 6

La presencia de la brecha diferencial produce un error entre el valor deseado (nivel deseado en el ejemplo) y el valor real de la variable (nivel real en el ejemplo). Pero esta es necesaria para evitar conexiones y desconexiones muy cercanas en tiempo.

Es por esto que a brecha diferencial se debe ajustar dependiendo de la exactitud deseada, de la frecuencia de conexin y desconexin del elemento final de control (vlvula solenoide) y de los valores a obtener.

Accin de control proporcional (P).

Para un controlador con accin de control proporcional, la relacin entre la salida del controlador u(t) y la seal de error e(t) se obtiene como

u(t) = Kp e(t)

o bien, en cantidades transformadas por el mtodo de Laplace la funcin de transferencia es:

en donde Kp se considera la ganancia proporcional. Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operacin, el controlador proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable. En la siguiente figura se presenta un diagrama de bloques de tal controlador.

El control proporcional se emplea cuando requiere el control en una regin lineal. Esto se ilustra como

De forma anloga al controlador de dos posiciones, los errores negativos grandes hacen que el controlador se valla full off (punto a). Errores positivos grandes envan la salida al 100% (punto d). En vez de una zona muerta el controlador proporcional tiene una regin de respuesta lineal (puntos b a c). Pequeos cambios del error alrededor de cero originan cambios proporcionales en la salida del controlador.

Banda Proporcional Se define como el inverso de Kp expresado como un porcentaje.

La banda proporcional se puede considerar como el porcentaje de cambio necesario en el error para que se produzca una variacin del 100 % en la salida del controlador; es decir, para que la salida del controlador se desplace desde full off a full on. La banda proporcional deseada es de 100%, si esta se hace muy pequea (ganancia grande), el instrumento se vuelve muy sensible provocando un sistema cclico. Si la banda proporcional es muy grande (ganancia pequea), es necesario altos cambios en la variable de proceso para que el instrumento ejecute el control.

Circuito proporcional con amplificadores operacionales

La funcin de transferencia para este circuito es:

Accin de control integral (I)

En esta accin de control, la velocidad de la salida del controlador es proporcional al error o la tasa de cambio de la salida del controlador es proporcional al error, es decir, tiene una salida que es proporcional a la integral del error

Donde

En el dominio complejo se tiene:

Donde KI es la constante de accin integral. El objetivo del controlador integral es minimizar el error. Si se duplica el valor de e(t), el valor de u(t) vara dos veces ms rpido. Para un error de cero, el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones, la accin de control integral se denomina control de reajuste. En la siguiente figura se presenta un diagrama de bloques de un controlador integral.

La accin de control integral tiene las siguientes caractersticas:

Es relativamente lenta debido a la conexin elstica entre los elementos de control. Por lo cual no se usa solo.

No permite error en estado estable (off set).

Tiende a sobre corregir el error, por lo cual es posible que vuelva oscilatorio al sistema. De hecho aumenta el orden del mismo.

Circuito integral con amplificadores operacionales


Accin de control derivativo (D)

La salida de un controlador con accin de control derivativa es proporcional a la rata de cambio del error:

En el dominio complejo la funcin de transferencia es:

Donde KD es la constante de accin derivativa.

En otras palabras la salida del controlador vara en proporcin a la velocidad de cambio de la variable controlada, si el error es constante no se produce ninguna accin de control. A continuacin se presenta el diagrama de bloques de un controlador derivativo.

Caractersticas de la accin de control derivativa No tiene nocin alguna del error de la variable en estado estable. Si el error no cambia no hay accin de control. Por lo tanto no se puede usar sola.

Se produce un adelanto de la accin de control, si la variable controlada cambia rpidamente la accin correctora es rpida y de gran amplitud, por lo que el sistema de control acta rpidamente antes de que el error sea grande. Por supuesto la accin de control no puede anticipar a un error que an no se ha producido.

Amplifica las seales de ruido.

Produce un efecto de saturacin en el actuador.

Circuito derivativo con amplificadores operacionales


Accin de control proporcional-integral (PI)

La accin de control de un controlador proporcional-integral (PI) se define mediante

Donde es el tiempo de accin integral.

Este se define como el tiempo necesario para que la respuesta integral iguale a la proporcional despus de un cambio en escaln del error. El tiempo integral ajusta la accin de control integral, mientras que un cambio en el valor de KP afecta las partes integral y proporcional de la accin de control.

El inverso del tiempo integral TI se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la accin de control. La velocidad de reajuste se mide en trminos de las repeticiones por minuto.

Por el mtodo de Laplace la funcin de transferencia se obtiene mediante

El diagrama de bloques de un controlador proporcional integral se muestra en la figura

Circuito proporcional-integral con amplificadores operacionales


Ejemplo: Determine la respuesta escaln unitario de un controlador proporcional integral (PI).

Utilizando la ecuacin:

Se hace la sustitucin e(t) = 1 para t > 0 y al realizar las operaciones se obtiene

Esto se ilustra en las siguientes grficas

Ntese que en la grfica de la salida del controlador u(t) se muestran los efectos de la acciones proporcional y proporcional integral (PI) sobre el escaln unitario de forma independiente.

Accin de control proporcional-derivativa (PD)

Este combina las ventajas del control proporcional ms el derivativo, pero se usa poco por no ser capaz de eliminar el error en estado estable. La salida del controlador es proporcional al error y a su derivada:

Donde es el tiempo de accin derivativa.

Este se define como el cambio lineal en el error, cuando la respuesta proporcional iguale a la derivativa. Se acostumbra expresar la accin derivativa en minutos de adelanto, que representa el tiempo en minutos con que la accin derivativa se anticipa al efecto de accin proporcional. La principal ventaja de este control es que produce seales de adelanto que actan rpidamente cuando la variable controlada cambia bruscamente.

La funcin de transferencia de la accin PD es

Que conduce al siguiente diagrama de bloques

Circuito proporcional derivativo con amplificadores operacionales


Ejemplo: Determine la respuesta rampa unitaria de un controlador proporcional derivativo (PD).


Se hace la sustitucin e(t) = t para t > 0 y al realizar las operaciones se obtiene

La entrada rampa unitaria e(t) y las respuestas solo proporcional y proporcional derivativo (PD) se muestran en forma grfica como

Accin de control proporcional integral derivativa (PID). Viene dada como la combinacin de una accin de control proporcional, una accin de control integral y una accin de control derivativa (la salida del controlador es proporcional al error, a su derivada y a su integral). Esta accin combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuacin de un controlador con esta accin combinada se obtiene mediante

Expresado la salida del controlador en funcin de la banda proporcional, del tiempo de accin integral y del tiempo derivativo se tiene:

La funcin de transferencia de la accin PID es

O bien

La accin de control PID puede representarse en el dominio complejo a travs del siguiente diagrama de bloques:

Este controlador ofrece rpida respuesta proporcional al error, mientras que tiene un reajuste automtico desde la parte integral que elimina el error en estado estable. La accin derivativa permite que el controlador responda rpidamente a cambios en el error.

Generalmente en los controladores PID se puede ajustar:

KP en % de la banda proporcional

TI en minutos de accin integral

TD en minutos de accin derivativa.

Circuito proporcional - integral - derivativo con amplificadores operacionales


Ejemplo: Determine la respuesta rampa unitaria de un controlador proporcional integral derivativo (PID).


Se hace la sustitucin e(t) = t para t > 0 y al realizar las operaciones se obtiene

La entrada rampa unitaria e(t) y las respuestas solo proporcional, proporcional derivativo (PD) y proporcional integral derivativo (PID) se observan en las siguientes grficas:

Resumen

ControlFuncin de transferenciaVelocidad de respuestaError en estado estableUso soloCosto

Proporcional (P)

MediaExisteSiBajo

Derivativo (D)

AltaExisteNoMedio

Integral (I)

BajaNo hayNoMedio

PI

MediaNo haySiAlto

PD

AltaExistePocoAlto

PID

AltaNo haySiAlto

RESPUESTAS DE SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN

Los modelos matemticos de sistemas fsicos lineales (o linealizados) se pueden clasificar segn el orden de la ecuacin diferencial que los representa, es as como se puede hablar de los sistemas de primer orden, los sistemas de segundo orden y los sistemas de orden superior.

La respuesta de un sistema corresponde a la solucin de la ecuacin diferencial del modelo que lo representa, la cual consta de dos partes:

Una respuesta transitoria, correspondiente a la solucin transitoria (homognea) de la ecuacin diferencial y que representa la transicin entre el estado inicial del sistema y su estado una vez absorbido por completo el efecto de la entrada. Esta influye en un perodo de tiempo corto despus de aplicada la entrada.

Una respuesta en estado estable, correspondiente a la solucin en estado estable (particular) de la ecuacin diferencial y que representa la respuesta del sistema para un tiempo infinito (manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito) despus de la aplicacin de una entrada cualquiera, momento en el cual se puede considerar que el sistema a absorbido por completo el efecto de la entrada aplicada.

Generalmente se considera que un sistema se encuentra en estado estable cuando la respuesta transitoria es despreciable respecto de la respuesta en estado estable. Cuando un sistema tiene una alta velocidad de respuesta la parte transitoria ser de muy corta duracin mientras que si posee una velocidad de respuesta lenta la parte transitoria puede extenderse por un tiempo relativamente largo.

Las seales de prueba que se usan regularmente como entrada a los sistemas de control son funciones escaln, rampa, parbola, impulso, sinusoides, etc. Con estas seales de prueba, es posible realizar con facilidad anlisis matemticos y experimentales de sistemas de control, dado que las seales son funciones del tiempo muy simples. Las respuestas a estas entradas de prueba permiten tener una comprensin clara de la respuesta de sistemas en general.

Sistemas de primer ordenLos sistemas de primer orden son aquellos cuyo modelo matemtico responde a una ecuacin diferencial de primer orden de la forma:

O bien

Donde:

c Representa la salida o respuesta del sistema

r Representa la funcin entrada al sistemaT Se denomina constante de tiempo del sistema.

En el dominio complejo la ecuacin diferencial de un sistema de primer orden se convierte en

TSC(S) + C(S) = R(S)

La relacin entrada-salida se obtiene mediante

La siguiente figura representa el diagrama de bloques para un sistema de primer orden

Fsicamente, un sistema de primer orden representa un circuito RC, un sistema trmico o algo similar.

Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden. Para la entrada impulso unitario, R(S) = 1 y la salida del sistema puede obtenerse como:

Aplicando la transformada inversa de Laplace resulta

para t 0Que es la respuesta impulso unitario en el dominio del tiempo, cuya grfica se muestra en la siguiente figura

Respuesta escaln unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la funcin escaln unitario es 1/S, C(S) se escribe como

Descomponiendo C(S) en fracciones parciales se obtiene

Realizando el procedimiento resulta A = 1 y B = -T en consecuencia

En el dominio del tiempo

para t 0La ecuacin anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una caracterstica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanz 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Es decir,c(T) = 1 e 1 = 0.632

Observe que, conforme ms pequea es la constante de tiempo T, ms rpida es la respuesta del sistema. Otra caracterstica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la lnea de tangente en t = 0 es 1/T, dado que

En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial va de 0 al 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95 %, 98.2 % y 99.3 %, respectivamente, del valor final.

La curva de respuesta exponencial c(t) para una entrada escaln unitario aparece en la figura que sigue

Respuesta rampa unitaria de sistemas de primer orden. Conociendo que la transformada de Laplace de la funcin rampa unitaria es 1/S2, la salida del sistema viene dada por

La descomponiendo en fracciones parciales se muestra como

Donde A = -T y B = 1 y C = T2 por lo tanto

La transformada inversa de Laplace es

para t 0De este modo, la seal de error e(t) ese(t) = r(t) c(t) = T(1 e-t /T)Conforme t tiende a infinito, e-t /T se aproxima a cero y, por tanto, la seal de error e(t) se aproxima a T, es decir, el error despus de la entrada rampa unitaria es igual a T para un tiempo suficientemente grande. Entre ms pequea es la constante de tiempo T, ms pequeo es el error en estado estable despus de la entrada rampa. La entrada rampa unitaria y la salida del sistema se muestran en la siguiente figura.

En este caso la respuesta en estado estable tiende a una recta paralela a la entrada pero desfasada en un valor -T.Respuesta parbola unitaria de sistemas de primer orden. Sea

f(t) = t2/2 para t 0La funcin parbola unitaria, la transformada de Laplace de la misma es 1/S3, en consecuencia la salida del sistema viene dada por

O bien

Realizando los clculos se tiene:

En el dominio del tiempo

La curva de respuesta en el tiempo se muestra en la siguiente grfica

A travs de una simple inspeccin se verifica que el valor de c(t) disminuye al aumentar la constante de tiempo T.

Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada sinusoidalSea la entrada sinusoidal dada como

r(t) = H sen(t) para t 0

La salida del sistema en el dominio complejo viene dada por

Descomponiendo en fracciones parciales

Donde

Por otro lado C(S) puede escribirse como

Hallando la transformada inversa de Laplace de C(S) y sustituyendo los valores de A, B, y C resulta:

Esta respuesta se puede representar grficamente como sigue:

Donde

= tan-1(- T)Es el ngulo de defasaje entre r y c en estado estable, es decir, La respuesta en estado estable tiende a una funcin sinusoidal de menor amplitud y desfasada un ngulo .

Respuesta de sistemas de segundo orden

Los sistemas de segundo orden son aquellos cuyo modelo matemtico responde a una ecuacin diferencial de segundo orden de la forma:

Donde:

c Representa la salida o respuesta del sistema

r Representa la funcin entrada al sistema Es la relacin (o radio) de amortiguamiento del sistema

n Es la frecuencia natural no amortiguada del sistema

Esta ecuacin en el dominio complejo se escribe en la forma

Donde la relacin entre la salida y entrada del sistema (funcin de transferencia de lazo cerrado) viene dada por

El diagrama de bloques de un sistema de segundo orden se observa en la figura

El comportamiento dinmico del sistema de segundo orden se describe a continuacin en trminos de dos parmetros y n . Si 0 < < 1, los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano S. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si = 1, el sistema se denomina crticamente amortiguado. Los sistemas sobreamortiguados corresponden a > 1. La respuesta transitoria de los sistemas crticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si = 0, la respuesta transitoria no se amortigua.Respuesta escaln de sistemas de segundo orden.

1. Caso subamortiguado (0 < < 1): en este caso, C(S)/R(S) se escribe como

Donde d es la frecuencia natural amortiguada y se obtiene mediante

Para una entrada escaln unitario, C(S) se escribe como

La expansin en fracciones parciales es

Donde

Completando cuadrados y siendo d2 = n2(1 2) resulta:

La respuesta en el dominio del tiempo para t 0 es la siguiente

A partir de esta ecuacin se observa que la frecuencia de oscilacin transitoria es la frecuencia natural amortiguada d y que, por tanto, vara con el factor de amortiguamiento relativo . La seal de error para este sistema es la diferencia entre la entrada y la salida, y es para t 0

Esta seal de error presenta una oscilacin senoidal amortiguada. En estado estable, o en t = , no existe un error entre la entrada y la salida.

Si el factor de amortiguamiento relativo es igual a cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continan indefinidamente. La respuesta c(t) para el caso del amortiguamiento cero se obtiene sustituyendo = 0 en dicha ecuacin, lo cual producec(t) = 1 cos dt para t 0La frecuencia que se observa es la frecuencia natural amortiguada d. Esta frecuencia siempre es menor que la frecuencia natural no amortiguada. Un aumento en reducira la frecuencia natural amortiguada d. Si aumenta ms all de la unidad, la respuesta se vuelve sobreamortiguada y no oscilar.2. Caso crticamente amortiguado ( = 1): Si los dos polos de C(S)/R(S) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno crticamente amortiguado. si = 1 se tiene la igualdad

Para una entrada escaln unitario, R(s) = 1/S y C(S) se escribe como

O bien

Hallando las constantes y la transformada inversa de Laplace se obtiene

3. Caso sobreamortiguado ( > 1): En este caso, los dos polos de C(S)/R(S) son reales negativos y diferentes. Para una entrada escaln unitario C(S) se escribe como

Siendo el denominador el producto de factores de primer orden se tiene que:

Donde la respuesta en el tiempo es

Cuando es apreciablemente mayor que la unidad, uno de los dos exponenciales que decaen disminuye mucho ms rpido que el otro, por lo que el trmino exponencial que decae ms rpido puede pasarse por alto (corresponde a una constante de tiempo ms pequea). Una vez desaparecido el trmino exponencial que decae ms rpido, la respuesta es similar a la de un sistema de primer orden.

Problema. Para el sistema que se muestra en la figura

Determine:

a) Los valores de n, d, y clasifique el sistema

b) La respuesta del sistema para una entrada escaln unitario

SolucinLa funcin de transferencia de lazo cerrado para este sistema es

Donde es evidente que

Adems

Siendo 0 < 1, KP = ; de este modo, para un sistema de tipo 0, la constante de error de posicin esttica KP es finita, en tanto que, para un sistema de tipo 1 o superior, KP es infinita.Por lo tanto para una entrada escaln unitario, el error en estado estable ess, se obtiene mediante

Si es posible tolerar errores pequeos para entradas escaln, es admisible un sistema de tipo 0, siempre y cuando la ganancia K sea suficientemente grande. Sin embargo, si la ganancia K es demasiado grande, es difcil obtener una estabilidad relativa razonable. Si se desea un error en estado estable de cero para una entrada escaln, el tipo del sistema debe ser uno o mayor.Constante de error de velocidad esttica KV. El error en estado estable del sistema con una entrada rampa unitaria se obtiene mediante

La constante de error de velocidad esttica KV es

As, el error en estado estable en trminos de la constante de error de velocidad esttica KV se obtiene mediante

Aqu se usa el trmino error de velocidad para expresar el error en estado estable para una entrada rampa. La dimensin del error de velocidad es igual que la del error del sistema. Es decir, el error de velocidad no es un error en la velocidad, sino un error en la posicin debido a una entrada rampa.Para un sistema tipo 0,

Para un sistema de tipo 1,


Si N > 2, KV tambin se hace infinita. Para una entrada rampa unitaria, el error en estado estable ess, se obtiene como

El desarrollo anterior muestra que un sistema de tipo 0 es incapaz de seguir una entrada rampa en el estado estable. El sistema de tipo 1 sigue la entrada rampa con un error finito. En estado estable, la velocidad de salida es igual a la velocidad de entrada, pero hay un error de posicin. Este error es proporcional a la velocidad de la entrada y es inversamente proporcional a la ganancia K. La figura 7 muestra un ejemplo de la respuesta de un sistema de tipo 1 con realimentacin unitaria para una entrada rampa. Los sistemas de tipo 2 y superiores siguen una entrada rampa con un error de cero en estado estable.

Figura 7

Constante de error de aceleracin esttica Ka. El error en estado estable del sistema con una entrada parbola unitaria (entrada de aceleracin), que se define mediante

El error en estado estable del sistema para esta entrada es

La constante de error de aceleracin esttica Ka se define mediante la ecuacin

Por lo tanto el error en estado estable es

Los valores de Ka se obtienen del modo siguiente:Para un sistema de tipo 0,



Para un sistema de tipo 3 o superior,

Por tanto, el error en estado estable para la entrada parbola unitaria es

Observe que tanto los sistemas de tipo 0 como los de tipo 1 son incapaces de seguir una entrada parbola en estado estable. El sistema de tipo 2 seguir una entrada parbola con una seal de error finita. La figura 8 muestra un ejemplo de la respuesta de un sistema de tipo 2 con realimentacin unitaria a una entrada parbola. El sistema de tipo 3 o mayor sigue una entrada parbola con un error de cero en estado estable.

Figura 8

Problema. Para un sistema de control con realimentacin unitaria cuya funcin de transferencia en lazo cerrado es

a) Determine la funcin de transferencia en lazo abierto G(S)b) Demuestre que el error en estado estable para una entrada rampa unitaria viene dado por

SolucinDado a que H(S) = 1 (realimentacin unitaria) se tiene que

Donde

La expresin del error en el dominio complejo es

Simplificando

El error en estado estable para una entrada rampa unitaria se determina mediante

ESTABILIDAD DE SISTEMAS

Un sistema es estable si responde en forma limitada a una excitacin limitada. Un sistema estable es aquel en que los transitorios decaen, es decir, la respuesta transitoria desaparece para valores crecientes del tiempo.

Tal consideracin sugiere que los coeficientes de t en los trminos exponenciales de la respuesta transitoria sean nmeros reales negativos o nmeros complejos con parte real negativa. Esto implica que para que un sistema sea estable las races de la ecuacin caracterstica deben ser negativas o con parte real negativa. Esto es ya que la ecuacin caracterstica representa la parte transitoria (homognea) de la ecuacin que rige el sistema. De lo anterior se puede decir que la estabilidad no depende de la entrada sino que es una caracterstica propia del sistema.

Criterio de Estabilidad RouthEs un mtodo que sirve para determinar si la ecuacin caracterstica tiene o no races con parte real positiva sin necesidad de determinar el valor preciso de estas races. Dado que casi todos los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia para n m de la forma

La ecuacin caracterstica de este sistema viene dada mediante:

El criterio de estabilidad de Routh, permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano S. El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente:1. Si alguno de los coeficientes de la ecuacin caracterstica es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raz, o races imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. Si slo interesa la estabilidad absoluta, no es necesario continuar con el procedimiento.2. Si todos los coeficientes son positivos, se ordenan los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrn o arreglo siguiente:

Donde:

: son los coeficientes de la ecuacin caracterstica.

; ;

; La tabla se contina horizontal y verticalmente hasta que solo se obtengan ceros.

El criterio de Routh dice que:

Todas las races de la ecuacin caracterstica tienen partes reales negativas si todos los elementos de la primera columna de la tabla de Routh tienen el mismo signo.

De lo contrario el nmero de races con partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo.

Si existe un cero no terminal el sistema tiene un par de races imaginarias puras.

Si existen ceros terminales implica una raz cero.

Ejemplos

1. Para el sistema

S3 + 6S2 + 12S + 8 = 0

La tabla de Routh ser:

Como en la primera columna no hay cambios de signo entonces el sistema tiene 3 races negativas o con parte real negativa y por lo tanto es estable.

2. Si se tiene la siguiente primera columna de Routh determinar todas las conclusiones posibles:

El sistema tiene dos races positivas o con parte real positiva porque hay dos cambios de signo. Es de quinto orden, el sistema tiene una raz cero por el cero terminal. Hay dos races negativas o con parte real negativa por lo tanto es inestable.

3. Determinar todas las conclusiones posibles de la siguiente primera columna de Routh:

El sistema es de orden 4, posee 4 races. No tiene cambios de signo, luego no tiene races positivas. Posee un par de races imaginarias puras. Posee un par de races negativas o con parte real negativa. El sistema tiene estabilidad limitada por el cero no terminal.

4. Determinar todas las conclusiones posibles de la siguiente primera columna de Routh:

El sistema es de orden 10, tiene una raz cero, tiene dos races imaginarias puras y tiene un par de races positivas o con parte real positiva. Es inestable por poseer cambios de signo

Casos especiales. Si el trmino de la primera columna de cualquier rengln es cero, pero los trminos restantes no son cero, o no hay trminos restantes, para construir el arreglo, el trmino cero se sustituye con un nmero positivo muy pequeo y se evala el resto del arreglo. Por ejemplo, considere la ecuacinS3 + 2S2 + S + 2 = 0

El arreglo de coeficientes es

S3 1 1

S2 2 2

S 0

S0 2

Si el signo del coeficiente que est encima del cero () es igual al signo que est debajo de l, quiere decir que hay un par de races imaginarias. Sin embargo, si el signo del coeficiente que est encima del cero () es opuesto al del que est abajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo, para la ecuacinS3 3S + 2 = 0


S3 1 3

S2 0 2

S 3 2/

S0 2

Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto significa que existen dos races que se encuentran en el semiplano izquierdo del plano S.

Si todos los coeficientes de cualquier rengln son cero significa que existen races de igual magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano S, es decir, dos races con magnitudes iguales y signos opuestos y/o dos races imaginarias conjugadas. En este caso, la evaluacin del resto del arreglo contina mediante la formacin de un polinomio auxiliar con los coeficientes del ltimo rengln y mediante el empleo de los coeficientes de la derivada de este polinomio en el rengln siguiente. Tales races con magnitudes iguales y radialmente opuestas en el plano S se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par. Para un polinomio auxiliar de grado 2n, existen n pares de races iguales y opuestas. Por ejemplo, considere la ecuacin:S5 + 2S4 + 24 S3 + 48S2 25S 50 = 0


S5 1 24 25

S4 2 48 50

S3 0 0

Todos los trminos del rengln S3 son cero. El polinomio auxiliar a partir de los coeficientes del rengln S4 viene dado como

P(S) = 2S4 + 48S2 50

En consecuencia hay dos pares de races de igual magnitud y signo opuesto. Estos pares se obtienen resolviendo la ecuacin del polinomio auxiliar P(S) = 0. La derivada de P(S) con respecto a S es

Los coeficientes del ltimo polinomio: 8 y 96, sustituyen los trminos del rengln S3. Por lo tanto, el arreglo de coeficientes se convierte en S5 1 24 25

S4 2 48 50

S3 8 96

S2 24 50

S 112.7 0

S0 50

Se observa que hay un cambio de signo en la primera columna del nuevo arreglo. Por tanto, la ecuacin original tiene una raz con una parte real positiva. Despejando las races de la ecuacin del polinomio auxiliar2S4 + 48S2 50 = 0Se obtiene

S = 1, S = 5j

Estos dos pares de races son una parte de las races de la ecuacin original. De hecho, la ecuacin original se escribe en forma factorizada del modo siguiente:

(S + 1)(S 1)(S + 5j)(S 5j)(S + 2) = 0

Es evidente que la ecuacin original tiene una raz ubicada en el semiplano derecho del plano S.

Aplicacin del criterio de estabilidad de Routh al anlisis de un sistema de control.El criterio de estabilidad de Routh no sugiere cmo mejorar la estabilidad relativa ni cmo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parmetros de un sistema si se examinan los valores que producen inestabilidad. Considere el sistema de la figura.

Determine el rango de valores de K para la estabilidad. La funcin de transferencia en lazo cerrado es

La ecuacin caracterstica del sistema es

S4 + 3S3 + 3S2 + 2S + K = 0

El arreglo de coeficientes es como sigue

S4 1 3 K

S3 3 2 0

S2 7/3 K

S 2 9/7K

S0 K

Para la estabilidadK > 0, 2 9/7K > 0

Donde

0 < K < 14/9

MTODO DEL LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES.La idea bsica detrs del mtodo del lugar geomtrico de las races es que los valores des que hacen que la funcin de transferencia en lazo abierto sea igual a - 1 deben satisfacer la ecuacin caracterstica del sistema. El mtodo debe su nombre al lugar geomtrico de las races de la ecuacin caracterstica del sistema en lazo cerrado conforme la ganancia vara de cero a infinito. Dicha grfica muestra claramente cmo contribuye cada polo o cero en lazo abierto a las posiciones de los polos en lazo cerrado.En el diseo de un sistema de control lineal, el mtodo del lugar geomtrico de las races resulta muy til, dado que indica la forma en la que deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto para que la respuesta cumpla las especificaciones de desempeo del sistema. Algunos sistemas de control pueden tener ms de un parmetro que deba ajustarse. El diagrama del lugar geomtrico de las races, para un sistema que tiene parmetros mltiples, se construye variando un parmetro a la vez. El mtodo del lugar geomtrico de las races es una tcnica grfica muy poderosa para investigar los efectos de la variacin de un parmetro del sistema sobre la ubicacin de los polos en lazo cerrado. En la mayor parte de los casos, el parmetro del sistema es la Ganancia de lazo K, aunque el parmetro puede ser cualquier otra variable del sistema. Mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races, es posible determinar el valor de la ganancia de lazo K que formar el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado en la forma sugerida. Si la ubicacin de un polo o cero en lazo abierto es una variable del sistema, el mtodo del lugar geomtrico de las races sugiere la forma de elegir la ubicacin de un polo o cero en lazo abierto.

Condiciones de ngulo y magnitud.Como ya se ha visto la funcin de transferencia para un sistema en lazo cerrado es

La ecuacin caracterstica para este sistema en lazo cerrado se obtiene haciendo que el denominador del segundo miembro de la ecuacin anterior sea igual a cero. Esto es1 + G(S)H(S) = 0O bien G(S)H(S) = 1

Aqu se supone que G(S)H(S) es un cociente de polinomios en S. Dado que G(S)H(S) es una cantidad compleja, se obtiene lo siguiente:Condicin de ngulo:

Condicin de magnitud:

Los valores de S que cumplen tanto las condiciones de ngulo como las de magnitud son las races de la ecuacin caracterstica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geomtrico de las races es una grfica de los puntos del plano complejo que slo satisfacen la condicin de ngulo. Las races de la ecuacin caracterstica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor especfico de la ganancia se determinan a partir de la condicin de magnitud. En muchos casos, G(S)H(S) contiene un parmetro de ganancia K, y la ecuacin caracterstica se escribe como

Entonces, los lugares geomtricos de las races para el sistema son los lugares geomtricos de los polos en lazo cerrado conforme la ganancia K vara de cero a infinito. Para empezar a trazar los lugares geomtricos de las races de un sistema mediante el presente mtodo, se debe conocer la ubicacin de los polos y los ceros de G(S)H(S). Los ngulos de las cantidades complejas que se originan a partir de los polos y los ceros en lazo abierto para un punto de prueba S se miden en sentido contrario al de las agujas del reloj. Por ejemplo, si G(S)H(S) se obtiene mediante

Donde P2 y P3 son polos complejos conjugados, el ngulo de G(S)H(S) es

Los ngulos 1, 1, 2, 3 y 4 se miden en sentido antihorario. La magnitud de G(S)H(S) para este sistema es

Los valores de A1, B1, B2, B3 y B4 corresponden a las magnitudes de las cantidades complejas S + Z1, S + P1, S + P2, S + P3 y S + P4 respectivamente. Debido a que los polos complejos conjugados y los ceros complejos conjugados en lazo abierto, si existen, siempre se ubican simtricamente con respecto al eje real, los lugares geomtricos de las races siempre son simtricos con respecto a este eje. Por lo tanto, slo es necesario construir la mitad superior de los lugares geomtricos de las races y dibujar la imagen espejo de la mitad superior en el plano S inferior.Este ejemplo puede ilustrarse para un punto de prueba S arbitrario mediante la siguiente grfica

Reglas generales para construir los lugares geomtricos de las races.1. Ubique los polos y ceros de G(S)H(S) en el plano S. Las ramificaciones del lugar geomtrico de las races empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito). A partir de la forma factorizada de la funcin de transferencia en lazo abierto, determine los polos y los ceros en lazo abierto en el plano S. Los ceros en lazo abierto son los de G(S)H(S), en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de G(S) y los polos de H(S). Los lugares geomtricos de las races son simtricos con respecto al eje real del plano S, debido a que los polos y ceros complejos slo ocurren en pares conjugados.2. Determine los lugares geomtricos de las races sobre el eje real. Los lugares geomtricos de las races sobre el eje real se determinan a partir de la condicin de ngulo mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre dicho eje. Los polos y los ceros complejos conjugados de la funcin de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicacin de los lugares geomtricos de las races sobre el eje real, porque la contribucin angular de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360 sobre el eje real. Cada parte del lugar geomtrico de las races sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geomtricos sobre el eje real, seleccione un punto en ste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geomtrico de las races.

3. Determine las asntotas de los lugares geomtricos de las races. Si el punto de prueba S se ubica lejos del origen, se considera que no cambia el ngulo de cada cantidad compleja. Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro. Por tanto, los lugares geomtricos de las races para valores de S muy grandes deben ser asintticos para lneas rectas cuyos ngulos (pendientes) se obtengan mediantengulos de las asntotas

Donde n = numero de polos finitos de G(S)H(S) m = numero de ceros finitos de G(S)H(S)Si la abscisa de la interseccin de las asntotas y el eje real se representa mediante S = entonces

Equivalentemente

4. Encuentre los puntos de desprendimiento y de ingreso. Debido a la simetra conjugada de los lugares geomtricos de las races, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados. Si un lugar geomtrico de las races se ubica entre dos polos en lazo abierto adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre dichos dos polos. Asimismo, si el lugar geomtrico de las races est entre dos ceros adyacentes (un cero puede ubicarse en - ) sobre el eje real, siempre existe al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar geomtrico de las races se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o no finito) sobre el eje real, pueden no existir puntos de desprendimiento o de ingreso, o bien pueden existir ambos.Suponga que la ecuacin caracterstica se obtiene medianteB(S) + KA(S) = 0Los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso corresponden a las races mltiples de la ecuacin caracterstica. Por tanto, los puntos de desprendimiento y de ingreso se determinan a partir de las races de la siguiente ecuacin

Donde la prima indica una diferenciacin con respecto S. Es importante sealar que los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso deben ser las races de esta ecuacin Sin embargo no todas las races son puntos de desprendimiento o de ingreso. Si una raz real de dicha ecuacin se encuentra en la parte del eje real del lugar geomtrico de las races, es un punto de desprendimiento o de ingreso real. Si una raz real de la ecuacin no est en la parte del eje real del lugar geomtrico, esta raz no corresponde a un punto de desprendimiento ni a un punto de ingreso.Si dos races de la ecuacin son un par complejo conjugado, y si no es seguro que estn en los lugares geomtricos de las races, es necesario verificar el valor de K correspondiente. Si el valor de K que corresponde a una de las races complejas de dK/dS = 0 es positivo, entonces se trata de un punto de desprendimiento o de ingreso (Dado que se supone que K es no negativo, si es negativo el valor obtenido de K, la raz no es un punto de desprendimiento ni de ingreso).5. Determine el ngulo de salida (ngulo de llegada) de un lugar geomtrico de las races a partir de un polo complejo (un cero complejo). Para trazar los lugares geomtricos de las races con una precisin razonable, se debe encontrar las direcciones de los lugares geomtricos de las races cercanas a los polos y ceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercana precisa del polo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Por tanto, el ngulo de llegada (o ngulo de salida) del lugar geomtrico de las races de un polo complejo (o de un cero complejo), se encuentra restando a 180 la suma de todos los ngulos de vectores, desde todos los otros polos y ceros hasta el polo complejo (o cero complejo) en cuestin, incluyendo los signos apropiados.ngulo de salida desde un polo complejo = 180 (suma de los ngulos de vectores hacia el polo complejo en cuestin desde otros polos) + (suma de los ngulos de vectores hacia el polo complejo en cuestin desde los ceros)

ngulo de llegada a un cero complejo = 180 (suma de los ngulos de vectores hacia el cero complejo en cuestin desde otro cero) + (suma de los ngulos de vectores hacia el cero complejo en cuestin desde los polos)Como ejemplo se halla el ngulo de salida del sistema que aparece en la figura

= 180 ( 1 + 2) + 6. Encuentre los puntos en los que los lugares geomtricos de las races cruzan el eje imaginario. Los puntos en donde los lugares geomtricos de las races intersecan el eje j se encuentran con facilidad por medio del criterio de estabilidad de Routh, o suponiendo que S = j en la ecuacin caracterstica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando y K. En este caso, los valores encontrados de representan las frecuencias en las cuales los lugares geomtricos de las races cruzan el eje imaginario. El valor de K que corresponde a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.Ejemplos1. Trace la grfica del lugar geomtrico de las races para el sistema de la figura

Solucin: para este sistema se tiene

Los polos en lazo abierto son

S = 0, S = 1, S = 2

Para determinar los lugares geomtricos de las races sobre el eje real, se selecciona un punto de prueba S, donde

Si el punto de prueba est en el eje real positivo, entonces

Se observa que no es posible satisfacer la condicin de ngulo. Por tanto, no hay un lugar geomtrico de las races sobre el eje real positivo. A continuacin, se selecciona un punto de prueba sobre el eje real negativo entre 0 y -1 en consecuencia

Entonces se obtiene

Se satisface la condicin de ngulo, por lo tanto, la parte del eje real negativo entre 0 y - 1 forma parte del lugar geomtrico de las races. Si se selecciona un punto de prueba entre -1 y - 2, se tiene

Donde

Se observa que no se satisface la condicin de ngulo. En consecuencia, el eje real negativo de -1 a - 2 no es parte del lugar geomtrico de las races. Por otro lado, si se ubica un punto de prueba sobre el eje real negativo de - 2 a - , se satisface la condicin de ngulo. Por lo tanto, existen lugares geomtricos de las races sobre el eje real negativo entre 0 y -1 y entre - 2 y - .Los elementos para las asntotas de los lugares geomtricos de las races se obtienen como

La interseccin de las asntotas y el eje real es

Como el sistema no tiene ceros en lazo abierto se evala la existencia de puntos de desprendimiento despejando K en la ecuacin caracterstica:

S3 + 3S2 + 2S + K = 0

Es decir,K = (S3 + 3S2 + 2S)

Derivando respecto a S e igualando a cero se tienedK/dS = (3S2 + 6S + 2) = 0

Siendo las races de esta ecuacin

S = 0.4226, S = 1.5774

Dado que el punto de desprendimiento debe encontrarse sobre el lugar geomtrico de las races entre 0 y 1, es evidente que S = 0.4226 corresponde al punto de desprendimiento real. El punto S = 1.5774 no est sobre el lugar geomtrico de las races, en consecuencia no es un punto de desprendimiento real. Los valores de K para cada uno de los puntos hallados son

K = 0.3849 para S = 0.4226

K = 0.3849 para S = 1.5774

Los puntos en donde los lugares geomtricos de las races cruzan el eje imaginario. Se encuentran mediante el criterio de estabilidad de Routh, a travs de la ecuacin caracterstica del sistema la cual esS3 + 3S2 + 2S + K = 0

El arreglo de Routh se convierte en S3 1 2 0

S2 3 K

S (6 K)/3 S0 KEl valor de K que iguala con cero el trmino del tercer rengln en la primera columna es K = 6. Los puntos de cruce con el eje imaginario se encuentran despus despejando la ecuacin auxiliar obtenida del rengln S2; es decir,3S2 + K = 3S2 + 6 = 0

Donde

Otro mtodo es suponer que S = j en la ecuacin caracterstica, igualar a cero tanto la parte imaginaria como la real y despus despejar y K. Para el sistema actual, la ecuacin caracterstica, con S = j, es(j)3 + 3(j)2 + 2(j) + K = 0

O bien

(K 32) + j(2 3) = 0

Igualando a cero tanto la parte real como la imaginaria de esta ltima ecuacin, se obtieneK 32 = 0, 2 3 = 0Siendo los parmetros

En funcin a la informacin obtenida en los pasos anteriores, se trazan los lugares geomtricos de las races, tal como se muestra en la siguiente figura.

2. Trace la grfica del lugar geomtrico de las races para el sistema de la figura

Solucin: Es evidente que

Existe un cero real de lazo abierto en S = 2. Por otro lado el sistema tiene un par de polos complejos conjugados en lazo abierto dados como

En cuanto a los lugares geomtricos de las races sobre el eje real. Para cualquier punto de prueba S sobre el eje real, la suma de las contribuciones angulares de los polos complejos conjugados es de 360, como de observa en la figura 9. Por lo tanto, el efecto neto de los polos complejos conjugados es cero sobre el eje real. La ubicacin del lugar geomtrico de las races sobre el eje real se determina a partir del cero en lazo abierto sobre el eje real negativo. Una simple inspeccin verifica que una seccin del eje real negativo, aquella que se encuentra entre 2 y , es una parte del lugar geomtrico de las races. Se observa que, dado que este lugar geomtrico se encuentra entre dos ceros (en S = 2 y S = ), es en realidad parte de dos lugares geomtricos de las races, cada uno de los cuales empieza en uno de los dos polos complejos conjugados. En otras palabras, dos lugares geomtricos de las races ingresan en la parte del eje real negativo entre 2 y . Dado que existen dos polos en lazo abierto y un cero, hay una asntota que coincide con el eje real negativo.

Figura 9

La presencia de un par de polos complejos conjugados en lazo abierto requiere de la determinacin del ngulo de salida a partir de los mismos. Dicho ngulo puede hallarse en forma grafica como

Donde

Por lo tanto el ngulo de salida desde el polo complejo superior es

= 180 90 + 55 = 145Dado que el lugar geomtrico de las races es simtrico con respecto al eje real, el ngulo de salida desde el polo complejo inferior es de 145.

Existe un punto de ingreso en el cual se integran un par de ramificaciones del lugar geomtrico conforme K aumenta. Para este problema, el punto de ingreso se encuentra del modo siguiente: dado que la ecuacin caracterstica del presente sistema viene dada por

Despejando K se obtiene

Diferenciando respecto a S e igualando a cero, resulta

O bien

S2 + 4S + 1 = 0

Las races de esta ecuacin son

S = 3.7320, S = 0.2680

Se observa que el punto S = 3.7320 est sobre el lugar geomtrico de las races. Por tanto, se trata de un punto de ingreso real. El valor correspondiente de ganancia es K = 5.4641. Dado que el punto S = 0.2680 no est en el lugar geomtrico de las races, no puede ser un punto de ingreso real. Para el mismo, el valor de ganancia correspondiente es K = - 1.4641.La grfica del lugar geomtrico de las races, se dibuja con la informacin obtenida en los pasos anteriores. Para determinar los lugares geomtricos de las races precisos, deben encontrarse varios puntos mediante prueba y error entre el punto de ingreso y los polos complejos en lazo abierto. La siguiente figura muestra la grfica del lugar geomtrico de las races para el sistema considerado.

Se observa que, en este sistema, el lugar geomtrico de las races en el plano complejo es parte de un crculo. Dicho lugar geomtrico de las races circular no ocurre en la mayor parte de los sistemas. Los lugares geomtricos de las races circulares ocurren en sistemas que contienen dos polos y un cero, dos polos y dos ceros, o un polo y dos ceros. Incluso en tales sistemas, el que ocurran estos lugares geomtricos de las races circulares depende de la ubicacin de los polos y los ceros involucrados.analisis de respuesta en frecuencia

Respuesta en frecuencia de sistemas Se denomina respuesta en frecuencia a la respuesta en estado estable de un sistema sujeto a una seal sinusoidal de amplitud (A) fija pero a una frecuencia () variable en cierto rango.

La respuesta en estado estable a una entrada de este tipo ser de la forma:

La representacin grfica de la entrada y respuesta en estado estable de esta figura esta dada en la siguiente figura.

En la prctica pocas veces los sistemas de control estn sometidos a seales sinusoidales, pero la informacin que se obtiene por el anlisis sinusoidal se puede usar para establecer la naturaleza de la respuesta a una gran variedad de seales. Adems el anlisis es conveniente para el manejo analtico y experimental.

Calculo de la respuesta en frecuenciaSe puede demostrar que cuando un sistema se somete a una entrada sinusoidal () la respuesta en estado estable se puede calcular sustituyendo a S por j en la funcin de transferencia: . Luego la respuesta en estado estable, de la forma (), se puede obtener a partir de un valor complejo que se puede expresar como:

Donde:

: parte imaginaria de

: parte real de

Es una relacin de amplitud

Es el ngulo de fase.

La respuesta en estado estable del sistema ser de la forma:

Diagramas de BodeLos diagramas de Bode son una forma de representar la respuesta en frecuencia de un sistema de control en coordenadas rectangulares, este consiste de dos grficas:

1. Diagrama de amplitud o atenuacin: en donde se grafica la relacin de amplitud M de en decibeles (dB) contra el logaritmo de la frecuencia.

El valor M expresado en decibeles se obtiene como:

2. Diagrama de fase: en donde se grafica el ngulo de fase de contra el logaritmo de la frecuencia.

Los diagramas de Bode tienen las siguientes caractersticas:

Como se grafica el logaritmo de , los factores producto y cociente de se convierten en sumas de rectas.

Los ngulos de fase tambin se suman y restan en forma natural.

El diagrama de Bode en la mayora de los casos se puede aproximar mediante segmentos de recta lo cual simplifica la construccin.

En las trazas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en trminos de octavas o dcadas. Una octava es una banda de frecuencia de 1 a 21, en donde 1 es cualquier frecuencia. Una dcada es una banda de frecuencia de 1 a 10 1. En la representacin logartmica, se trazan las curvas, con la escala logartmica para la frecuencia y la escala lineal para cualquier magnitud (en decibeles) o el ngulo de fase (en grados). La ventaja principal de usar la traza de Bode es que la multiplicacin de magnitudes se convierte en adicin.Diagramas de Bode de Funciones comunes

Ganancia (G(S) = K)

Amplitud: MdB = 20 log K = ctte

Fase:

Graficas de magnitud y fase contra la frecuencia en escala logartmica para la ganancia K

Polos y ceros en el origen (G(S) = SP)

Tambin conocidos como factor integral y derivativo. Al sustituir a S por j se obtiene:

Amplitud:

Fase:

La amplitud en este caso es una recta con pendiente 20P y pasa por MdB = 0 para . Es as como la pendiente ser de 20 dB por dcada de frecuencia. Es decir cambia de 20 dB cada vez que el valor de la frecuencia es multiplicado por 10. El ngulo de fase es una recta horizontal que pasa por 90P. Las graficas de magnitud y fase se muestran a continuacin

Factores de primer orden (G(S) = (1+ S)1)

En el caso del polo simple, al sustituir a S por j se obtiene:

Amplitud:

Si se puede aproximar a MdB = 20 log1 = 0 (lnea recta horizontal en 0 dB).

Si se puede aproximar a MdB = 20 log (lnea recta con pendiente 20dB/dcada.

Las dos rectas anteriores son asntotas del diagrama de amplitud, a las cuales se puede aproximar el diagrama de amplitud. El valor de frecuencia en el punto donde se encuentran las dos rectas se denomina frecuencia de corte y se encuentra en

Fase:

En el caso del cero simple al sustituir a S por j se obtiene:

Amplitud:

Fase:

Se obtienen en este caso curvas idnticas pero con signo invertido Si se requiere el valor exacto del diagrama de Bode basta con corregir el valor de la amplitud y esto se hace calculando el error en algunos puntos. El error mximo se produce a la frecuencia de cruce y es aproximadamente igual a 3db, esto es:

A continuacin se muestran las curvas de magnitud y fase para = 1

Para el caso en el que una funcin de transferencia determinada contiene trminos como (1+ j)p, se hace una construccin asinttica similar. La frecuencia de esquina est todava en . La asntota de frecuencia baja es una recta horizontal en 0 dB, en tanto que la asntota de frecuencia alta tiene la pendiente de -20p dB/dcada o 20p dB/dcada. El error implcito en las ecuaciones asinttica

Teoria de Control

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