Teoria Resistencia Materiales I

RESISTENCIA DE MATERIALES I Ing. Luis Maya Aguirre

Fecha: octubre 2014

INTRODUCCION

Punto de vista teórico.-

- La resistencia de materiales es una continuación de La Estática y La Dinámica

Punto de vista practico.-

DISEÑO TOTAL = Σ (DISEÑOS DE CADA ELEMENTO)

Las estructuras deben estar diseñadas para resistir con eficiencia todas las cargas exteriores e interiores.

Cargas internas: Ej: Peso propio.

Las propiedades mecánicas son características internas que están en relación con la resistencia del material, tales como:

- Tracción

- Compresión

- Corte

- Torsión

- Flexión

- Combinación

Los materiales más utilizados en ingeniería civil son: el acero y el hormigón (piedra artificial)

El hormigón resiste a la compresión, el acero resiste a la tracción

La resistencia del material (como propiedad mecánica) depende:

a. Sección transversal

b. Componentes

c. Proceso de fabricación

d. Posición del material (Rigidez)

Diferencias:

- En mecánica, los cuerpos se consideran rigidos, es decir, indeformables

PROPIEDADES MECANICAS DE LOS MATERIALES

1. Resistencia mecánica:

Es la capacidad interna del material para soportar cargas exteriores

2.Rigidez:

Es la capacidad interna del material para soportar deformaciones

3. Estabilidad:

Es la capacidad del material para mantenerse adecuadamente en estados más alla de su comportamiento usual (sismo)

DISEÑO OPTIMO

Condiciones:

1. Seguridad estructural (relativa) (utilizamos los códigos)

2. Economía (costo mínimo)

3. Durabilidad (uso adecuado, de acuerdo a las cargas consideradas) (mantenimiento)

DIMENSIONAMIENTO DE LAS ESTRUCTURAS.-

OBJETIVOS DEL CURSO

La resistencia de materiales trata sobre la utilización de las propiedades físico - mecánicas de los materiales que se utilizan en el diseño de las

estructuras.

- En resistencia de materiales, se consideran en su verdadera naturaleza, es decir, la deformación existe (la deformación como consecuencia de las

cargas aplicadas a los elementos)

Los elementos de las estructuras deben tener dimensiones mínimas necesarias que garanticen la seguridad de la estructura (conocimiento de las

propiedades físico - mecánicas de los materiales)

Establecer las relaciones existentes entre las cargas aplicadas a estructuras no rígidas, las fuerzas internas resultantes y las deformaciones causadas a

los elementos.


Fecha: octubre 2014

HIPOTESIS GENERALES EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1. Los materiales se consideran macizos y continuos (vacíos = 0)

En la realidad:

- Todos los materiales tienen vacíos.

- El hormigón como consecuencia de la evaporación del agua en el fraguado.

- El acero por el enfriamiento (burbujas de aire caliente)

Se valida:

- Resistencia mecánica probada a través de los laboratorios

- La presencia de los proyectos en pie

2. Los materiales son homogéneos, es decir, tienen iguales propiedades en todos los puntos. Ej: el acero es el material más homogéneo.

En la realidad:

- Ninguno de los materiales cumple

Se valida:

- Resistencia mecánica probada a través de los laboratorios

- La presencia de los proyectos en pie

3. Los materiales son isotrópicos (igualdad de propiedades en todas las direcciones (planos)

En la realidad:

- Ninguno de los materiales cumple

Se valida:

4. Las fuerzas internas que preceden a las cargas externas son nulas.

- Las fuerzas internas Fo son pequeñas y se desprecian en comparación con las cargas externas previstas.

Ejemplos:

- Hormigón: se generan fuerzas internas (intermoleculares), debidas al curado, no es uniforme

- Acero: se generan fuerzas internas debidas al enfriamiento no uniforme

- Madera: se generan fuerzas internas debidas al secamiento no uniforme

Nota: en ninguno de los materiales se cumple estrictamente estas 4 hipótesis.

5. ES APLICABLE EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

Esta aplicabilidad tiene sus resticciones o limitaciones:

a. Las deformaciones producidas deben ser relativamente pequeñas en comparación con las dimensiones de los elementos

b. Las deformaciones dependen linealmente de las cargas ( ley de Hooke)

- En el DISEÑO ELASTICO se comprobara el comportamiento elástico de los materiales

- En el DISEÑO PLASTICO, se agota al material hasta la rotura (en este diseño hay que adoptar factores de seguridad)

Donde:

P; M: Efectos externos

R: Reacciones

R1 = R'1 + R''1 + R'''1

R2 = R'2 + R''2 + R'''2

R3 = R'3 + R''3 + R'''3

Son supuestos que se utilizan en relación a los materiales de construcción, las cargas y el carácter de u interacción, para simplificar los diseños

estructurales.

- Los componentes de los materiales de construcción, se distribuyen en forma totalmente arbitraria en todas las direcciones, de

manera que en cualquier plano, la distribución es irregular (desorden generalizado - componentes del hormigón)

El efecto total producido por un sistema de fuerzas sobre un cuerpo puede obtenerse como la suma de los efectos parciales aplicados en orden

consecutivo y arbitrario.

Aplicando el principio de superposición, tenemos:


Fecha: octubre 2014

EFECTOS INTERNOS

Las cargas exteriores son la causa de las fuerzas internas en los elementos estructurales (acción y reacción)

Métodos Analíticos:

- Secciones (imaginarios)

Donde:

Nz: Fuerza normal de la sección (axial)

Vx: Fuerza cortante de la sección (eje x)

Vy: Fuerza cortante de la sección (eje y)

Mx: Momento de flexión (eje x)

My: Momento de flexión (eje y)

Mz: Momento de torsión (eje z)

En consecuencia, existen 6 efectos simultáneos

CARGAS AXIALES

Estados:

a. Tracción (+)

b. Compresión (-):

Las líneas de acción de las fuerzas pasan por todos y cada uno de los centros de gravedad de los elementos

Donde: P ; P' son efectos externos

Son aquellas en las cuales, el punto de aplicación de la resultante de un sistema de fuerzas coincide con el eje longitudinal del elemento (centro de

gravedad de la sección transversal de la sección).

El cuerpo está en equilibrio estático.

X

Y

Z

Mzz

Mxx

Myy

(Momento Torsor)

Vy

Vx

Nz

P P

P' P'

1

1

P2

P1

P3

P4

M


Fecha: octubre 2014

FUERZAS NORMALES

Artificio: planos imaginarios

DCL 1: DCL 2:

Donde:

Nz: Fuerza normal de la sección (resultante interna)

A: Área transversal del elemento

A

Los sistemas de fuerza son siempre recíprocos:

Ecuación de equilibrio: ΣF = 0

- P + N = 0

dN N =

P P

1

1

1

1

P

dN

N

dN

N P


Fecha: octubre 2014

ESFUERZO NORMAL

A

Hipótesis: dN1 dN2 dN3 dNi

dA1 dA2 dA3 dAi

A A

N = σ A

N

A

N N

Amin mm2

ESFUERZO NORMAL MAXIMO ADMISIBLE

Es un resultado experimental

Donde: (σmax) : Esfuerzo normal máximo permisible o admisible del material

Esfuerzo normal máximo de trabajo del material

σrotura

FS

N

Amin

N

Amin

dAi = A Área de la sección transversal

dN1 ≈ dN2 ≈ dN3

dA1 ≈ dA2 ≈ dA3

CTE = σ

σ dAi dNi =

σ = DE LA SECCION

ESFUERZO NORMAL

DISEÑO GENERAL

σmax = = (σmax) DISEÑO OPTIMO

MPa

(σmax) = FS > 1

σmax =

σmax = ≤ (σmax)

= = = . . . = =

N

dN1

dN2

dN3

dN4

dA1

dA2

dA4 dA3

1

1

P


Fecha: noviembre 2014

FUERZAS CORTANTES (V)

Las fuerzas cortantes son conocidas también con el nombre de fuerzas tangenciales.

TIPOS DE CORTE.-

CASO 1: CORTE SIMPLE

ELEVACION PLANTA

Internamente el pasador está sujeto a efectos cortantes que actúan paralelamente a las secciones transversales (perpendicularmente al eje del perno).

V: Fuerza cortante o tangencial

A: Área transversal del elemento (ej: perno)

A

En consecuencia:

- Número de áreas resistentes: 1

CASO 2: CORTE DOBLE

Diagramas de cuerpo libre (DCL):

En las estructuras articuladas, las barras que llegan a los nodos transmiten fuerzas axiales, pero para que este funcionamiento estructural sea posible,

necesitamos de otros elementos importantes que unan entre sí las barras, denominados: pasadores, pernos o cualquier elemento de sujeción, los

mismos que tienen que resistir estas fuerzas que le son transmitidas por las barras y que se denominan FUERZAS CORTANTES.

Donde:

V = dVi CORTE SIMPLE

(CORTE 1-1)

ELEVACION ELEVACION

(VISTA LATERAL) (VISTA FRONTAL)

En consecuencia:

R = 2V - Número de áreas resistentes: 2

AB

PERNO O PASADOR

AB

BC

1 1

BC

V



ESFUERZO CORTANTE

Esfuerzo cortante:

A

Hipótesis: dV1 dV2 dV3 dVi

dA1 dA2 dA3 dAi

A A

V = τ A

V ESFUERZO CORTANTE DE LA SECCION

A (ESFUERZO TANGENCIAL DE LA SECCION)

V: Fuerza cortante o tangencial

A: Área transversal del elemento (ej: perno)

En consecuencia:

V N

Amin mm2

V

Amax

dVi = τ dAi

dAi = A Área de la sección transversal

τmin =

Donde:

MPa

dA1 ≈ dA2 ≈ dA3

dV1 ≈ dV2 ≈ dV3

τ =

τmax =

CTE = τ

MPa

= = = . . . = =

dA1 dA2

dA4

dA3

1

1

V dV1 dV2

dV3 dV4



ESFUERZO CORTANTE MAXIMO ADMISIBLE

Es un resultado experimental

Donde: (τ max) : Esfuerzo cortante máximo permisible o admisible del material

Esfuerzo cortante máximo de trabajo del material

V

Amin

V

Amin

V

A

R Donde:

2A R: resultante

Condición Real de Resistencia:

V Donde:

A* A*: número de áreas cortadas

τ max = ≤ (τ max)

τ =

- Corte Doble: τ =

τ max = = (τ max) DISEÑO OPTIMO

TIPOS DE CORTE:

τ = - Corte Simple:

≤ (τ max)

En consecuencia:

DISEÑO GENERAL



ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO

Este es un caso particular del esfuerzo normal de compresión que se genera debido al contacto entre las superficies de elementos estructurales.

Convención: σAP = (-)

Objetivo:

- Establecer adecuadamente el área de contacto o aplastamiento.

N

AAP

Hipótesis:

N - V

AAP φp * t

P

P

P P

N

APLINTO = AAP (Área de aplastamiento)

AAP = a * b

N - P

AAP a * b

N

Mientras los esfuerzos normales y cortantes se producen al interior del material, el esfuerzo de aplastamiento o de contacto se produce

exteriormente, desarrollandose entre las superficies en contacto y la perforación de la barra

- Los esfuerzos de aplastamiento resultantes se consideran uniformemente distribuidos en un área reducida equivalente al diámetro (φ) por el

espesor de la placa (t)

σ AP =

σ AP =

σ AP =

b

a

SUELO

=

CO

LUM

NA

CADENA AMARRE

ZAPATA O PLINTO

N.F.

σ REAL.

( σ AP.)

=



ANALISIS Y DISEÑO DE CONEXIONES REMACHADAS O EMPERNADAS

Análisis Estructural.-

Verificar el comportamiento estructural de cada elemento:

a. Pernos o remaches:

- Cortante

b. Placas:

- Tracción

- Aplastamiento

Clasificación de las conexiones:

1. Conexiones Traslapadas

P

P

2. Conexiones a Tope

2.1. Con una placa de recubrimiento

P1 P1

P

P1

C.L.

ELEVACION

C.L.

P

PLANTA

C.L.

ELEVACION

C.L.

P1

C.L.

PLANTA

C.L.

1 2 2 1

1 2 3



2.2. Con dos placas de recubrimiento

P2 P2

P2

C.L.

C.L.

ELEVACION

C.L.

P2

C.L.

PLANTA

2 3 3 2 1 1



ANALISIS DE ESFUERZOS INTERNOS

1. Cortante

El esfuerzo se distribuye uniformemente, esto significa que la carga que toma cada perno o remache es proporcional al número de superficies cortadas.

Antecedente expermiental:

Hipótesis:

- Los esfuerzos cortantes en los remaches se suponen distribuidos uniformemente en cada superficie de corte.

P

P

Esquemas de corte:

P

- Si la conexión falla por corte en los remaches, TODOS lo hacen en el mismo instante, lo cual, significa que en ese momento se iguala en todos los

remaches los esfuerzos cortantes plásticos.

P P

C.L.

ELEVACION

C.L.

PLANTA

C.L.

P

ELEVACION

PLANTA

1 2 3

2V 3V 2V

V

V

V

V

V V

V



2. Aplastamiento

Hipótesis:

Corte Simple: V

Corte Doble: 2V

ΣFx = 0

- NAP - V = 0

NAP = - V

Donde:

φr: Diámetro del remache

φp: Diámetro de perforación

t: Espesor de la placa

Área de aplastamiento:

π φr

2

- Por seguridad:

AAP = φr t ok.

π φr

2

Esfuerzo de aplastamiento:

NAP - V

AAP φr * t

t

- El esfuerzo de contacto o aplastamiento entre remaches y placas se asume distribuido uniformemente en un área de proyección de las superficies

semicircular sobre un plano diametral, dado por el valor: φperf * t ; φremache = φperf

P

ELEVACION

φr = φp

PLANTA

σ AP =

AAP φr * t <

AAP

En consecuencia, estamos del lado de la seguridad.

=

= t

V

V

V

NAP

NAP

NAP

V

= t



3. Tracción en placas

Tipos de placas:

- Principales

- Recubrimiento

- Plano 0:

NTo

ATo

ATo = b * t

P

b * t b: Ancho de la placa

t: Espesor de la placa

- Plano 1:

φr = φp

AT1 = ( b - φr ) * t

NT1

AT1

NT1 b: Ancho de la placa

( b - φr ) * t t: Espesor de la placa

φr: Diámetro de perforación

σ T1 > σ To

Por lo tanto:

- Es necesario verificar los esfuerzos normales de tracción en cada fila de remaches

Hipótesis:

- Los esfuerzos normales de tracción en las placas se distribuyen de manera uniforme en las áreas resistentes reducidas en cada fila de recubrimiento.

P

0

En consecuencia:

ΣFx = 0

- NT1 + P = 0

NT1 = P

P

1

0

b

b

σ T1 =

σ T1 =

Donde:

ΣFx = 0

- NTo + P = 0

NTo = P

σ To =

σ To =

Área de tracción 1:

Donde:

1

NTo

NT1

b

φr t

AT1



ESFUERZOS INTERNOS EN PLANOS INCLINADOS

N1 P

A1 A1

- ESFUERZOS:

A2-2 = ?

A1-1

A2-2

A1-1 A1

cos α cos α

N2 P cos α P cos2 α

A2 A1 A1

cos α

P 1 + cos (2α)

A1 2

V2 P sen α

A2 A1

cos α

P

2*A1

P * sen α * cos α

A1

sen (2α)

σ1-1 = = σmax

N2 = P cos α

ΣFn = 0

N2 - P cos α = 0

ΣFt = 0

-V2 + P sen α = 0

V2 = P sen α

A2

σ2 =

cos α =

A2-2 =

σ2 =

τ2 =

τ2 =

P P

1

1

2

2

α

N1 P

A1

=

P P

2

2

t n

N2

α

α

α o

n

t

y

x

1 2

N2

V2

α

A1-1

A2-2

= =

= = =

3

= =

4



ESFUERZOS INTERNOS EN PLANOS INCLINADOS

Tabla de valores:

ANGULOa (°)

0

45

90

135

180

Gráficos de Esfuerzos Normales y Cortantes:

P

A1

Donde:

P ESFUERZO NORMAL ( s )

2*A1

ESFUERZO CORTANTE ( t )

a

0° 45° 90° 135° 180°

- P

2*A1

CONCLUSIONES:

- En cualquier plano:

a. El esfuerzo normal es máximo cuando: a= 0° ; 180°

b. El esfuerzo cortante es máximo cuando: a= 45° ; 135° (SOLICITACION UNIAXIAL)

0

-P/(2*A1)

0

P/(2*A1)

0

P/(A1)

P/(2*A1)

0

P/(2*A1)

t2 )

ESFUERZO CORTANTEESFUERZO NORMAL

P/(A1)

s2 )



DEFORMACION SIMPLE

Los materiales deben cumplir 2 requisitos: Resistencia y Rigidez

Parámetros:

- Constituyente (componentes)

- Procesos de fabricación

1. Esfuerzo Normal.-

Donde:

Ao P:

Ai Δ: Deformación axial "delta" (paralela a la carga P)

(Deformación principal)

ε: Deformación específica normal "epsilon"

Δ (Deformación secuandaria: produce la reducción de Ao)

Δ

Lo

2. Esfuerzo Cortante.-

Rigidez: propiedad mecánica que mide la mayor o menor posibilidad de deformación del material.

Δs Δs

P1 Donde:

ϒ: Deformación específica por esfuerzo cortante "gama"

(medida de la distribución angular interna del material)

Δs

Lo

DUCTILIDAD Y FRAGILIDAD.-

18% < εrotura < 25%

Frágiles Dúctiles

Filosofía: El diseño debe ser dúctil

Fallas en materiales dúctiles y frágiles.-

- En los materiales dúctiles, la falla es lenta, progresiva (avisa)

- En los materiales frágiles, las fallas son explosivas, violentas, instantáneas (se producen en el momento menos esperado)

Se consideran como materiales frágiles aquellos que hasta la rotura no experimentan una elongación mayor al 5%. Se consideran como frágiles a

todos los materiales cerámicos, tales como: piedra, hormigón, entre otros.

- Esfuerzo de aplastamiento: σ (-)

- Esfuerzo de compresión: σ (-)

Rigidez

- Esfuerzo cortante o tangencial: τ

- Esfuerzo de tracción: σ (+)

La ductilidad es aquella propiedad mecánica de los materiales mediante la cual hasta el momento de producirse la rotura del mismo, alcanzan una

deformación porcentual de rotura, superior al 5%. Se consideran dúctiles a los materiales metálicos tales como los aceros y todas las variaciones de

aleaciones.

Resistencia

Deformación es el cambio de la forma o de las dimensiones de un elemento estructural debido a las acciones de las fuerzas externas. La deformación

es una consecuencia inmediata de los esfuerzos internos, por lo cual, se verán reflejados exteriormente, dependiendo básicamente del tipo de

esfuerzo al que está sometido el material.

(ADIMENSIONAL)

tg ϒ = DEFORMACION ESPECIFICA

POR ESFUERZO CORTANTE

Materiales

- Deformación

20 10 15 5

εR (%)

Los aceros nacionales:

Lo

Carga estática variable de aplicación lenta y progresiva

conforme se desarrollan las deformaciones.

ε = DEFORMACION ESPECIFICA NORMAL

(ADIMENSIONAL)

L1

P

ϒ

≈ ϒ



PROPIEDADES GENERALES DE LOS MATERIALES.-

- Selección de los materiales: CALIDAD: resistencia, rigidez

- Materiales utilizados en ingeniería: Dúctiles, Frágiles

- Ensayo académico de mayor atención:

"Ensayo de tracción en una barra de acero laminada en caliente llevado hasta la rotura".

Donde:

Ao P: Carga estática variable de aplicación lenta y progresiva

Lo: Longitud inicial

Ai Ao: Área recta inicial

Ai: Área instantánea

Δ: Deformación axial "delta"

Δ (+) ε: Deformación específica normal "epsilon"

a. Tabla de valores:

σ = P / Ao ε = Δ / Lo σi = P / Ai εi = Δ / Li

0 0 Ao 0 0 0 0

- - - - - - -

- - - - - - -

- - - - - - -

- - - - - - -

b. Diagrama Esfuerzo - Deformación

σA.

o

εA.

εROTURA.

Z. ELASTICA ZONA PLASTICA

ΔP

ε

σ

Lo

ESFUERZOS VERDADEROSESFUERZOS NOMINALESAo

P

E

Esfuerzos Verdaderos

Esfuerzos Nominales D

C B

A

θ



En el diagrama Esfuerzo - Deformación, tenemos:

1. Límite o Esfuerzo de proporcionalidad:

Es el valor del esfuerzo normal hasta el cual el material cumple con la ley de Hooke (σA)

σA σ

εA ε

Donde:

E: Módulo de rigidez ó módulo de elasticidad (módulo de Young)

Δ : Deformación axial elastica

N

σ Ao N Lo

ε Δ Ao Δ

Lo

N Lo σ Lo

Ao E E

2. Límite de Elasticidad:

3. Límite de Fluencia

4. Límite de Resistencia máxima

5. Límite de Rotura

Es el esfuerzo normal final bajo el cual el material se rompe

Comportamiento del material:

Tramos OE: OB: Comportamiento elástico

BE: Comportamiento plástico

Al descargar el material sobre B, el material ya retiene una deformación permanente y su comportamiento cambia.

Diagrama Esfuerzo - deformación de aceros con diferentes límites de fluencia (fY):

Conclusión:

- Límites altos de fluencia, se acercan a la fragilidad frente a cargas de impacto

- Los códigos recomiendan la utilización de aceros con Fy ≤ 520 MPa (armaduras principales: vigas, losas, columnas)

- Para armaduras secundarias (estribos) Fy ≤ 350 MPa

Δ =

Es el valor del esfuerzo normal hasta el cual el material se comporta elásticamente, es decir, que al ser descargado, recupera integramente su forma

original (σB)

Es el esfuerzo normal constante bajo el cual las deformaciones crecen sensiblemente hasta un punto de estabilidad σC (Fy)

Es el máximo esfuerzo normal registrado en el ensayo (esfuerzos nominales) σD

CTE = Etg θ =

E =

σ

ε

εROTURA.

= =

= =

=

fy = 4200 kg/cm2 ( fy = 420 MPa )

θ1

θ2



Módulo de Poisson.-

Refleja el comportamiento mecánico volumétrico del material

ε transversal

ε longitudinal

εT MODULO DE

εL POISSON

μ

0,33

0,20 - 0,25

0,20

Diagrama Esfuerzo - deformación del hormigón:

Δ

Lo

Δs

Lo

Por analogía: Ensayo al Corte:

τA τ

ϒA ϒ

Donde:

G: Módulo de rigidez al cortante

Δs : Deformación transversal

V

τ Ao V L1

ϒ Δs Ao Δs

L1

V L1 τ L1

Ao G G

E

2 (1 + μ)

Creep del hormigón:

G =

Δs =

Esta falla se interpreta como un cansancio al que llega el agregado grueso como consecuencia del esfuerzo sostenido permanente durante años (30,

40, 50 años).

Hormigón

Acero (aceros corrientes)

ESFUERZO

NORMAL

μ =

μ < 1

ESFUERZO DE

CORTE

ε =

ϒ =

σ

CTE = G

Es una deformación plástica que depende del tiempo de aplicación de los esfuerzos sostenidos (compresión), que en algunos casos llega a estabilizarse

y en otros puede seguir incrementando hasta la falla del elemento y la estructura.

Acero (acero + aleaciones) / Otros metales

Material

G =

tg ψ =

μ =

ε

ϒA

τA

σ

G ϒτ =

σ = E ε

AL CORTANTE

MODULO DE RIGIDEZ

= =

= =

=

ψ



ELEMENTOS HIPERESTATICOS SOMETIDOS A CARGA AXIAL

Elementos Isostáticos o Estáticamente determinados

Elementos Hiperestáticos o Estáticamente indeterminados

Procedimiento:

1. Se dibujara un DCL que puede ser general o parcial en donde aparezcan las incógnitas o reacciones buscadas

2. Se plantearán todas las ecuaciones del equilibrio estático que sean linealmente independientes entre sí

6. Se resolverá el sistema de ecuaciones

7. Diseño (dimensionamiento de piezas).

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

ESFUERZOS NORMALES POR MONTAJE

5. Se planteará tantas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones y/o desplazamientos que sean necesarias a fin de igualar el número de

incógnitas con número de ecuaciones disponibles.

La característica de estos elementos es que el número de incógnitas a calcularse siempre es mayor al que provienen del número de ecuaciones del

equilibrio estático, su solución se basa en complementar con ecuaciones que consideren las deformaciones axiales de las estructuras.

3. Al establecerse que el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones anteriores, el problema es hiperestático, calculandose el grado

de hiperestaticidad, es decir, el número de ecuaciones adicionales que faltan para lograr resolver el problema.

4. Se dibujará un diagrama de deformaciones axiales y/o desplazamientos a UNA ESCALA RELATIVAMENTE APRECIABLE EN DONDE APARECERAN

TODOS LOS DATOS REQUERIDOS.


Fecha: enero 2015

EFECTOS DE TEMPERATURA

- Estos efectos, afectan principalmente a los materiales metálicos

Donde: T2: Temperatura final

T1: Temperatura inicial

δT

Lo

DEFORMACION AXIAL

POR TEMPERATURA

N

A

δT

En consecuencia:

- Es un Problema Hiperestático

- Solución:

= +

N1 Lo

A E

δT -ΔN

Caso c): ΔT > 0

= +

LF > LO

LF < LO

δT Δo

- ΔN Donde:

Donde:

α Lo ΔT

σ =

σTa = 0

ΣFy = 0

Lo LF

Δo = CEDENCIA = Dato

- La deformación debida a la variación de un grado de temperatura se conoce como coeficiente de dilatación lineal o expansión térmica. Se representa

como: α

δT + ΔN = Δ*

Δ*: Deformación final

δT + ΔN = ± Δo

- Ecuación de Compatibilidad:

- Ecuación de Compatibilidad:

δT = Δo + (-ΔN)

Lo

LoN = N

N - N = 0

DEFORMACION ESPECIFICA

POR TEMPERATURA

δT =

Lo LF

α Lo (T2 - T1)

N1 = - K

(L0 = LF)

εT = = α ΔT

δT = - ΔN

δT + ΔN = 0

ΔT > 0Caso a):

ΔT > 0Caso b):

T2 - T1Δ = VARIACION DE LA

TEMPERATURA

N=0

N (-)

N (-)

N1

+ = 0

N2


Fecha: enero 2015

ESTADOS TENSIONALES

ESFUERZOS PRINCIPALES

Metodo: Valoración de esfuerzos principales y planos

σα: α = Plano en el que actúa σ

α = Plano en el que actúa τ

β = Eje coordenado al cual es paralelo

τxy τyx

τyz τzy

τzx τxz

DEMOSTRACION:

Los esfuerzos principales son resultantes o respuestas críticas de esfuerzos normales y cortantes; y, los planos en los que actúan se denominan: planos

principales.

ταβ:

VECTORES DE ESFUERZO CORTANTE

PERPENDICULARES ENTRE SI

dx

dy

dz

τ yx τ yz

σy

σx σz

τ xy

τ xz τ zx

τ zy

Z

Y

X

τ xy τ yx

Z


Fecha: enero 2015

o

ΣMoo = 0 = ΣMzz

Vxy (dx) - Vyx (dy) = 0

( τxy dy dz ) (dx) - ( τyx dx dz ) (dy) = 0

τxy = τyx

Los esfuerzos cortantes que actúan en planos perpendiculares entre sí, resultan ser iguales en magnitud

τyz = τzy

τzx = τxz

HIPOTESIS DE SIMPLIFICACION.-

- "Todas las componentes de esfuerzos paralelos al eje z son ingual a cero"

σz = 0 = τxz = τyz

- "Condición de esfuerzo plano"

Y

o X

σx ; σy ; τxy ; τyx SON DATOS

DCL (Fuerzas): Evaluar las respuestas críticas buscadas

Se considera: θ > 0 a partir de un plano vertical

ESTADO PLANO DE ESFUERZOS

Vxy = τxy (dy dz)

Vyx = τyx (dx dz)

dy

dx

Bajo esta solicitación simultánea de 3 esfuerzos normales y 6 cortantes queremos investigar que pasará con el material así como también cual será la

resultante de estos esfuerzos y en que planos actuarán.

σy

τ xy

τ yx

σx

1

1

θ


Fecha: enero 2015

Donde:

σn ; τt son reacciones en el plano 1-1.

o

Y

n

X

ΣFn = 0

σn dA - σx dA (cos θ) (cos θ) - τxy dA (cos θ) (sen θ) - σy dA (sen θ) (sen θ) - τyx dA (sen θ) (cos θ) = 0

1/dA: σn - σx (cos2 θ) - σy (sen2 θ) - τxy (sen θ) (cos θ) - τyx (sen θ) (cos θ) = 0

τxy = τyx

σn - σx (cos2 θ) - σy (sen2 θ) - 2 τxy (sen θ) (cos θ) = 0

1 + cos (2θ) 1 - cos (2θ)

2 2

σx - σx cos (2θ) - σy + σx cos (2θ)

2 2 2 2

σx + σy - σx - σy

2 2

σx + σy + σx - σy ECUACION GENERAL DEL ESFUERZO NORMAL

2 2 COMO RESULTANTE EN CUALQUIER PLANO

σn -

σn - σx - σy - τxy sen (2θ) = 0

t

σn - - τxy sen (2θ) = 0

* cos (2θ) - τxy sen (2θ) = 0

σn = * cos (2θ) + τxy sen (2θ) = 01

σy dA sen θ

τ yx dA sen θ

σn dA

1

1

θ σx dA cos θ

τ xy dA cos θ

θ

τt dA

n t

θ


Fecha: enero 2015

- Dependiente: σn

Variables:

- Independiente: θ

σmax

σmin

σn

o θ

θ1

d σx - σy

dθ 2

0 = - ( σx - σy ) sen (2θ) + 2 τxy cos (2θ)

( σx - σy ) sen (2θ) = 2 τxy cos (2θ)

sen (2θ) 2 τxy τxy

cos (2θ) σx - σy σx - σy

2

τxy

σx - σy

2

Donde: p: plano principal

Si: ( -2 sen (2θ) ) + τxy cos (2θ)

θ2

La ecuacion (2) corresponde a los valores de los ángulos que definen las posiciones de los planos principales en donde actúan los esfuerzos principales

Valores críticosσn

La ecuacion (1) corresponde a los esfuerzos principales como reacciones críticas buscadas no son sino las magnitudes de los esfuerzos normales, uno

máximo y otro mínimo que actúan en los referidos planos principales

tg (2θp) =

σn = 0 =

= =

2


Fecha: enero 2015

en

σx + σy σx - σy

2 2 σx - σy 2 σx - σy 2

2 2

σx + σy

2 σx - σy 2 σx - σy 2

2 2

max σx + σy σx - σy 2 ECUACION PARTICULAR DE LOS

min 2 2 ESFUERZOS PRINCIPALES

ΣFt = 0

τt dA + σx dA (cos θ) (sen θ) - τxy dA (cos θ) (cos θ) - σy dA (sen θ) (cos θ) + τyx dA (sen θ) (sen θ) = 0

1/dA: τt + σx (sen θ) (cos (θ) - τxy (cos2 θ) - σy (sen θ) (cos θ) + τyx (sen2 θ) = 0

1 + cos (2θ) 1 - cos (2θ)

2 2

σx + σy τxy τxy cos (2θ) τxy τxy cos (2θ)

2 2 2 2 2

σx + σy

2

σx + σy

2

= 0

+ τ2xy

τt + ( σx - σy ) * (sen θ) * (cos (θ) - τxy * + τxy *

τt + sen (2θ) -

σ criticos = 2

La diferencia entre los ángulos 2θp1 y 2θp2 es de 180°; por lo tanto, la diferencia entre los ángulos reales θp1 y θp2 es 90°; lo cual significa que los

planos principales P1 y P2 son perpendiculares entre sí

σ criticos = 2

σx - σy

+ τ2xy

Los esfuerzos principales, es decir, los esfuerzos máximos y mínimos normales se obtendrá al reemplazar los valores de la ecuación (2) en (1):

σx - σy

2

+ τxy *

+ τ2xy

± τxy

σx - σy 2± τ2xy

+ τ2xy + τ2xy

= 0

τt + sen (2θ) - τxy cos (2θ) = 0

τt = - sen (2θ) + τxy cos (2θ)ECUACION GENERAL DEL ESFUERZO

CORTANTE EN CUALQUIER PLANO

2 1

+

±

± ±

σ = ± 3

- - +

4

2θp1 2θp2

τ xy


Fecha: enero 2015

τt: Valores críticos

d

dθ

d σx - σy

dθ 2

σx - σy

sen (2θ) σx - σy 2

cos (2θ) 2 τxy τxy

σx - σy

2

τxy

Donde: T: plano tangencial

τxy

σx - σy

2

Donde: p: plano principal

?

Si: 2θp y 2θT 90°

θp y θT REALES 45°

Es decir los planos en donde tienen lugar los esfuerzos críticos están a 45° a partir de los planos principales

Donde:

PP1: Plano principal 1

PP2: Plano principal 2

PT1: Plano tangencial 1

PT2: Plano tangencial 2

σx - σy

2

σx - σy

2

Si:

2 cos (2θ) - τxy sen (2θ) = 0

La ecuación (5) define las posiciones angulares de los planos tangenciales y críticos, es decir, de los planos en donde actúan los esfuerzos cortantes

críticos.

tg (2θp) =

tg (2θT) =

τt = 0

τt = -

= - = -

5 -

2

2 5

τ xy τ xy

2θp

2θT


Fecha: enero 2015

τ criticos: si en

σx - σy

2 σx - σy 2 σx - σy 2

2 2

σx - σy 2 σx - σy 2

2 2

σx - σy 2

2

σx - σy 2

2

σx - σy 2

2

max σx - σy 2

min 2

a. Esfuerzos Principales: σmax

σmin

τp: Esfuerzo cortante en placas principales

en

σx - σy

2 σx - σy 2 σx - σy 2

2 2

σx - σy σx - σy

2 2

σx - σy 2 σx - σy 2

2 2

En consecuencia, esto significa que en todo plano principal el esfuerzo cortante siempre es cero

+ τ2xy

+ τ2xyτ criticos = ±

+ τ2xy

τ p =

± τxy

+ τ2xy

+ τxy *

σx - σy

2

+ τ2xy

+ τ2xy

+ τ2xy

τ p = 0

τ criticos =

+ τ2xy

τ criticos =

± τxy

τ criticos = 2

+ τxy *

+ τ2xy + τ2xy

σx - σy 2τ2xy

2

τ p =

* τxy

+ τ2xy

τxy *

+ τ2xy

σx - σy±

-

± ±

±

± τ 6

-

±

- +

+ -

7

2 4

5 4

2θp


Fecha: enero 2015

b. Esfuerzos Cortantes Críticos τmax

τmin

σT: Esfuerzo normal en los planos tangenciales críticos

en

σx + σy σx - σy

2 2 σx - σy 2 σx - σy 2

2 2

σx - σy σx - σy

σx + σy 2 2

2 σx - σy 2 σx - σy 2

2 2

σx + σy

2

ESFUERZO NORMAL MAXIMO

- Ecuaciones Adicionales

σx + σy σx - σy 2

2 2


2 2


2 2


2 2

σx - σy 2

2

σ max - σ min

2

σx - σy

2

+ τ2xy

* τxy

+ τ2xy

τxy *

σ max - σ min = 2 * τ max

τ max =

σT =

± τxy

+ τ2xy

+ τxy *

ESFUERZO NORMAL EN PLANOS

TANGENCIALES CRITICOS

+ τ2xy

ECUACION

GENERAL

+ τ2xy

- σ min = + τ2xy

+ τ2xyσ max - σ min = 2 *

+ τ2xy

σT =

σT =

b.

a. σ max =

σ min = + τ2xy

σ max + σ min = σx + σy = CTE

σ max =

5 1

+

- +

± - +

8

+

-

9

+

+

10

-

2θT


Fecha: enero 2015

CASOS PARTICULARES

1. σmax y σmin de signos diferentes:

σ

o

2. σmax y σmin POSITIVOS (TRACCION):

σ

o

σ max

2

3. σmax y σmin NEGATIVOS (COMPRESION):

σ

o

- ( - σ min ) I σ min I

2 2

σmax = Máximo esfuerzo normal de tracción

σmin = Máximo esfuerzo normal de compresión

CONVENCION DE SIGNOS:

σ > 0: Tracción

σ < 0: Compresión

Plano vertical

2

σmax

INTERVALO DE VARIACION

σmin

σmin σmax

σz = 0

τ max =

θ > 0

(Horario)

(Antihorario)

σz = 0 (Valor intermedio)

τ max = =2

σ max - ( - σ min )

2

I σ max + σ min I

INTERVALO REAL

σmin 1

INTERVALO REAL

σmax

σz = 0 = σmin

τ max =σ max - 0

=

σmax (verdadero) = σz = 0

> 0 τ :

< 0

0 - σ min

2

10.1

10.2

10.3 = =


Fecha: enero 2015

CIRCUNFERENCIA DE MOHR

Es un método grafo - analítico; es decir, con este método, podemos solucionar los problemas de manera gráfica y analítica.

Convención de signos:

σ > 0 a tracción

τ

σ < 0 a compresión

τ > 0 ( Sentido Horario )

τ < 0 ( Sentido Antihorario ) o σ

Nota:

V ( σx ; - τxy )

H ( σy ; τyx )

Resumen:

- Los planos se convierten en puntos

- σ ; τ son las coordenadas

DEMOSTRACION:

P. H. Hipótesis:

σx > σy

P.V.

RESOLUCION:

La circunferencia representa el lugar geométrico de todas las respuestas posibles.

OV' = σx

OH' = σy

H'V' = σx - σy

τxy = τyx

σx - σy

2

OC = OH' + H'C

σx - σy

2

σx + σy

2

Problema: F (σF ; τF) = ?

Este método se basa en construir una circunferrencia de modo que cada punto y sus coordenadas nos den directamente: ( σ ) y ( τ ) que actúan en

ese plano; y la posición angular del radio sea ( θp ).

ORDENADAS

ABSCISAS

H'C =

OC =

OC =

CV' =

σy +

Plano vertical:

Plano horizontal:

σy

τ xy

τ yx

σx

F

F

θ


Fecha: enero 2015

τ

τmax

D PP 2 H' PP 1 E σ

o C

τmin

V

σx - σy σx - σy

σmin 2 2

σx + σy σx - σy

2 2

σF

σmax

Problema: F (σF ; τF) = ?

Resolución:

OF' = ?

FF' = ?

OF' = OC + CF'

OF' = OC + CF * cos (2θp - 2θ)

CF = CV (RADIO)

OF' = OC + CV * cos (2θp) * cos (2θ) + CV * sen (2θp) * sen (2θ)

OF' = OC + CV' * cos (2θ) + v'V * sen (2θ)

σx + σy + σx - σy

2 2

F'F = CF * sen (2θp - 2θ) ; CF = CV

F'F = CV * sen (2θp) * cos (2θ) - CV * sen (2θ) * cos (2θp)

V'V CV'

sen (2θp) cos (2θp)

F'F = V'V * cos (2θ) - CV' * sen (2θ)

σx + σy

2

CV' * cos (2θp) * cos (2θ)

cos (2θp)

τxy cos (2θ) -

H

V' F'

CIRCUNFERENCIA DE MOHR

+V'V * sen (2θp) * sen (2θ)

sen (2θp)

F (σF ; τF)

B

A

F'F = τt = τF

OF' =

F'F =

OF' =

sen (2θp) * cos (2θ) -

OC +

sen (2θp) * cos (2θp)

* cos (2θ) + τxy sen (2θ) = 0 = σn1 = σF

sen (2θ) =

PT

1

PT

2

2θ

2θp


Fecha: enero 2015

C V'

τxy

σx - σy

2

V

σx - σy 2

2

max σx - σy 2

min 2

ESFUERZOS PRINCIPALES:

σmax = OE = OC + CE

OE = OC + RADIO


max 2 2

σmin = OD = OC - CD

OD = OC - RADIO


min 2 2

σx + σy

2

Finalmente: E (σmax ; 0)

D (σmin ; 0)

A (σT ; τmax)

B (σT ; τmin)

tg (2θp) =

σx - σy

2

PP 1

> 0 (Antihorario)

+ τ2xy

+ τ2xy

σT =

+ τ2xy

+ τ2xyRADIO: CV =

RADIO: CV = CA = CB

Entonces:

2θp1

τ xy

σ = +

σ = -

± τ


Fecha: febrero 2015

TORSION

M = P x d

Diagrama de cuerpo libre (DCL):

Donde:

ECUACION DEL EQUILIBRIO ESTATICO.-

MR1: Momento resistente interno en la sección 1-1

ΣMEJE LONGITUDINAL = 0

Las cargas torsionales se identifican como momentos torsores, es decir, acciones externas que están contenidas en planos perpendiculares a los ejes

longitunales de los elementos.

Las reacciones que se producen al interior del elemento, vamos a valorarlas utilizando el método de las secciones, es decir, planos perpendiculares al

eje longitudinal y utilizando la única ecuación del equilibrio estático que es la de momentos.

P

P

d

1

1

EJE LONGITUDINAL O AXIAL

MT = P d

MR1

1

1

MT


Fecha: febrero 2015

Naturaleza del momento resistente.-

V

A

V = τ A

dV = τ dA

MT = MR1 = dM = p dV

A A

MR1 = p ( τ dA )

A

Esta ecuación (1), NO ES POSIBLE RESOLVER, por cuanto no conocemos la ley de variación del esfuerzo cortante por torsión en barras circulares.

τ =

Del equilibrio estático:

MOMENTO RESISTENTE

Los efectos torsionantes en su conjunto, no son sino acciones paralelas a las secciones transversales de la barra, por lo cual, el efecto interno que

producirán será de corte y por lo mismo, esfuerzos cortantes.

1

MR1

MT

1

1

p

dp

dV

dV

dV

dA

dA

dA dA

dV


Fecha: febrero 2015

ENSAYOS DE TORSION

- Una sección plana antes de la torsión, se mantiene plana después de dicha aplicación

- Todo diámetro trazado en las secciones transversales se mantiene como una línea recta

Antes:

a b

d c

L

Después:

b'

a

c'

d

L

Observaciones:

Donde:

τv: Esfuerzo cortante vertical

τL: Esfuerzo cortante longitudinal

Nota:

-Inicialmente aparece τv en sección transversal y debio a la ley de reciprocidad de esfuerzos aparece τL

σ = 0

EJE LONGITUDINAL

L1

2. La longitud de los elementos antes y después de la torsión se mantienen constantes; lo cual significa que como consecuencia de la torsión no existe

la presencia de esfuerzo normal alguno.

ϒ

LEY DE RECIPROCIDAD DE ESFUERZOS TANGENCIALES EN

PLANOS PERPENDICULARES ENTRE SI.τv = τL

1. La red de rectángulos se transforma en una de paralelogramos; lo cual implica que inicialmente en las secciones transversales de las barras actúan

esfuerzos cortantes verticales y que luego, por equlibrio, aparecen longitudinalmente esfuerzos cortantes.

I II III IV V VI

L1 L2 L3 L4 L5

I II III IV V VI

L1 L2 L3 L4 L5

MT

τV

τV


Fecha: febrero 2015

CONCLUSION:

- El estado tensional final para cualquier punto de una barra circular sometida a torsión es corte puro

H

Resultados:

σmax = τ

σmin = - τ

PP2 PP1 τmax = τ

τmin = - τ

σT = 0

θp = 45°

V

DEMOSTRACION:

Donde:

Demostración:

M'

c * ϕ

L

cϕ = MM'

ϒc * L

c

P M

N'

p * ϕ

L

pϕ = NN'

ϒp * L

p

Q N

Donde:

ϒ: Deformación específica por corte ϒc * L ϒp * L

(medida de la distorción angular interna) c p

ϒc ϒp

c p

L

L

CTE

ϕ: Deformación angular por torsión

(Giro transversal)

ϕ =

=

Las deformaciones específicas por cortante (ϒ) como consecuencia de la torsión son proporcionales a las distintas medidas desde el centro geométrico

de la barra hasta los puntos considerados.

tg ϒc = = ϒc

ϕ =

tg ϒp = = ϒp

a

b

a b

=

= = 2

τ

PH

PV

τ

V (0 ; -τ)

H (0 ; τ)

σ

PT1

PT2

o

τ

1

1

MT

P

o'

o

Q

M

N

N' M'

ϕ

p

c

L

ϒc

ϒp


Fecha: febrero 2015

Hipótesis:

1. Los esfuerzos resultantes de la torsión están limitados hasta la proporcionalidad del material (Ley de Hooke)

σ

ε

τ

ϒ

τ

G

Donde: G: Módulo de rigidez al cortante o rigidez transversal

τc τp

Gc Gp

c p

2. El módulo de rigidez del material al cortante permanece constante: G = CTE (Isotropía)

τc τp

c p

τTORSION varía proporcionalmente a las distancias medidas desde el centro geométrico de la barras hasta los puntos considerados.

SOLUCION DE LA ECUACION 1:

τc

c

MR = p ( τ dA )

A

τc

c

A

τc τp

c p

A A

A

Rigidez Transversal:

FACTOR DE INERCIA POLAR

ϒ = en:

CTELEY DE VARIACION DEL

ESFUERZO CORTANTE

La ecuación (3) representa la LEY DE VARIACION DEL ESFUERZO CORTANTE en barras circulares, lo cual implica que dichos esfuerzos cortantes varían

proporcionalmente a las distancias medidas desde el centro geométrico de la barra hasta los puntos.

τp = De la ecuación en

p MR =

G =

MR = p2 dA p2 dA

p2 dAIp =

E =Rigidez Longitudinal:

2

=

= = 3

P 3 1

1

P dA

=

o

p p

τp

τc

τmax

τc

τmax

c

c


Fecha: febrero 2015

τp

p

MR p ECUACION GENERAL POR TORSION

Ip EN BARRAS CIRCULARES

a. Si: p = 0 (centro geométrico) τ = 0

MR c

Ip

Donde: MR: Momento torsor resistente

Deformación angular (giro transversal):

MR p

Ip

p ϕ Donde: p: Radio

L ϕ: Ángulo

Esfuerzo por cortante:

MR p

τ Ip MR p L

ϒ p ϕ Ip p ϕ

L

MR L

Ip G

N L

A E

MR pmax

Ip

τ max L τ p L

pmax G p G

Condición real de resistencia:

MR pmax

Ip

Donde: ( τ max ) : Máximo esfuerzo de diseño

Máximo esfuerzo de seguridad permisible

Máximo esfuerzo permitido en los cálculos

G =

ϕ =

Δ =

DEFORMACION ANGULAR POR TORSION

(GIRO TRANSVERSAL)

ϕ =

ESFUERZO CORTANTE MAXIMO

τ = b. Si: p = pmax = c (superficie externa)

MR =

τp =

τ max =

τ max = ≤ ( τ max )

τp =

ϒ =

τ max =

Ip

4

= =

5

=

6


Fecha: febrero 2015

Factor de Inercia Polar:

A

dA = p dϕ dp

o

A

R2 2π

R1 0

R2

p4

4

R1

π

2

π

2

π

32

Ip =

Ip =

Ip = p2 ( p dϕ dp )

D2

D1

dA

Ip =

p3 dp dϕIp =

Ip = p2 dA

Ip =

2π

R24 - R14

(D2 / 2) 4 - (D1 / 2) 4

D24 - D14

p

dϕ

dp


Fecha: febrero 2015

TORSION EN ELEMENTOS HIPERESTATICOS (ESTATICAMENTE INDETERMINADOS)

N° REACCIONES > N° ECUACIONES EQUILIBRIO ESTATICO

Ecuación de Equilibrio: ΣM eje longitudinal = 0

SOLUCION:

- Adicionar ecuaciones que consideren las deformaciones angulares (ϕ)

PROCEDIMIENTO:

1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre (DCL) en donde aparezcan las incognitas o reacciones

3. Las ecuaciones tienen 2 posibilidades:

a. Considerar que el giro de la seccion intermedia es igual respecto de los extremos

b. El giro de uno de sus extremos respecto del opuesto es casi siempre cero

4. Solución del sistema de ecuaciones.

2. Verificada la hiperestaticidad del problema, planteamos la ecuación de compatibilidad de deformaciones angulares o giros transversales de las

secciones.


Fecha: febrero 2015

FLEXION

Vigas.-

Ejemplos:

a) P

q

b)

P1

c)

P1

d)

B

e) Viga continua:

Son elementos estructurales relativamente esbeltos que soportan cargas flexionantes, es decir, cargas que se aplican perpendicularmente a su eje,

bajo los cuales las vigas se flexionan o curvan longitudinalmente.

CURVA ELASTICA = f (CARGAS; LOCALIZACION DE LOS APOYOS)

CURVA ELASTICA DE LA VIGA

(Depende de las cargas y posición de los apoyos)

q


Fecha: febrero 2015

Clasificaciones:

1. Número de reacciones de apoyos

1.1. Vigas Estáticamente Determinadas (Isostáticas)

Las ecuaciones del equilibrio estático son suficientes para calcular las reacciones

Ejemplo: a, b, c, d

1.2. Vigas Estáticamente Indeterminadas (Hiperestáticas)

Incógnitas: - En 2D: > 3

- En 3D: > 6

Ejemplo: e

2. De acuerdo al tipo de apoyo

2.1. Vigas simplemente apoyadas

Son aquellas que los apoyos se ubican en los extremos de la viga

Ejemplo: a, c

2.2. Vigas con Voladizos

Son aquellas en las cuales los extremos de las vigas se proyectan más alla de los apoyos

Ejemplo: b

2.3. Vigas en cantiliver

Ejemplo: d

2.4. Vigas Continuas

Son aquellas que se soportan sobre más de 2 apoyos simples

Ejemplo: e

REACCIONES POR FLEXION:

REACCION ≡ FUERZA INTERNA

Método: Secciones

P

R2

R1 R3

Reacciones de apoyo (Base: Equilibrio Estático)

Y

P

A C

R2

R1 R3

Z1

Z

Son aquellas en las cuales mientras el un extremo está rígidamente empotrado en un muro o en cualquier otro soporte restringido

totalmente a giros y desplazamientos, el otro extremo está libre

1

1


Fecha: febrero 2015

M1

V1

Sección 1-1:

Z1 Donde:

M1 N1: Fuerza normal a la viga

A N1 V1: Fuerza cortante

R2 M1: Momento flexionante interno

ΣFy = 0

R1 - V1 = 0

R1 = V1 (par de fuerzas) MOMENTO EXTERNO

R1 * Z1 = V1 * Z1 = Mext. ACCION

REACCION Mint. = M1

N XY

V XY

M XY ( YZ )

GRAFICOS DE FUERZAS INTERNAS.-

- No son sino diagramas que muestran a lo largo de la viga las variaciones de estas fuerzas internas o reacciones por flexión

Métodos:

1. Método Analítico.-

- Se basa en el planteamiento de ecuaciones que muestren a lo largo de la viga las variaciones de cada una de estas reacciones.

2. Relaciones matemáticas entre carga, corte y momento

3. Método por valores

- Este es un método simplificado del método analítico y consiste en calcular los valores de cortes y momentos directamente en los sitios que interesan

- Procedimiento:

1. Ubicación de puntos estratégicos en la viga

2. Cálculo de cortes y momentos en cada punto

3. Gráficos:

VIGA

N1

R1 V1

FLEXION: PRODUCE 3 REACCIONES SIMULTANEAS

1 kN ≡ 0,10 ton

1 ton ≡ 10 kN

CONCLUSION:

PLANOS DE ACCION:

1 ton ≡ 20 qq

1 qq ≡ 100 lbs

1 saco cemento ≡ 50 kg

1 qq ≡ 45,37 kg

UNIDADES:

X

Z

Y

1

1


Fecha: febrero 2015

METODO 2:

- RELACIONES MATEMATICAS ENTRE CARGA, CORTE Y MOMENTO

dz

Diagrama de cuerpo libre (DCL):

A

q

M M+dM

o'

V V+dV

dz

Donde: (q dz) : Area del diagrama de carga

dV

dz

Conclusiones:

v2 z2

dV = q dz

v1 z1

z2

V2 - V1 = q dz

z1

Conclusión:

q =

q dz = dV

V + q dz - V - dV = 0

ΣFy = 0

- La derivada del corte en cualquier punto es igual a la carga exterior aplicada (q)

- La pendiente del diagrama de corte en cualquier punto es igual a la carga exterior aplicada (q)

- La diferencia en la magnitud del corte entre las abscisas de los puntos (1) y (2), es igual al área bajo el diagrama de cargas, delimitado por las abscisas

de los mismos puntos.

1 2

VIGA

1 2

1

2


Fecha: febrero 2015

+

dz

2

o

q dz2

2

dM

dz

Conclusiones:

M2 z2

dM = V dz

M1 z1

z2

M2 - M1 = V dz

z1

Conclusión:

RESUMEN: d

dz

- La derivada del momento en cualquier punto es igual al corte

- La pendiente del diagrama de momento en cualquier punto es igual al corte

- La diferencia de los momentos entre las secciones (2) y (1), es igual al área bajo el diagrama de corte, delimitado por las abscisas de los mismos

puntos.

M, V, q

q, V, M

ΣMo'-o' = 0

-M - Vdz - qdz + M + dM = 0

- V dz - + dM = 0

dM = V dz

V = 3

4

Teoria Resistencia Materiales I

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