Teoria Classica della Laminazione · Teoria Classica della Laminazione Classical Lamination Theory...

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Teoria Classica della Laminazione Classical Lamination Theory - CLT - Calcolo matrici di rigidezza dei laminati in base alla teoria delle piastre ∫ ∫ th X dz σ { } { } { } κ ε ε z + = 0 Deformazione: [ ] = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xy y x xy y x piastra th XY th Y th X th XY th Y xy y x xy y x k k k Q zdz zdz zdz dz dz M M M N N N 0 0 0 γ ε ε τ σ σ τ σ

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Teoria Classica della LaminazioneClassical Lamination Theory - CLT -

Calcolo matrici di rigidezza dei laminati in base alla teoria delle piastre

∫

∫th

X dzσ

{ } { } { }κεε z+= 0Deformazione:

[ ]

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

xy

y

x

xy

y

x

piastra

th

XY

th

Y

th

X

th

XY

th

Y

xy

y

x

xy

y

x

k

k

kQ

zdz

zdz

zdz

dz

dz

M

M

M

N

N

N

0

0

0

γ

ε

ε

τ

σ

σ

τ

σ

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Teoria Classica della

LaminazioneClassical Lamination Theory - CLT -

Fornisce una legge costitutiva lineare-elastica per il laminato (piastra)

∫

∫th

X

dz

dz

N εσ

σ

[ ]

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

XY

Y

X

XY

Y

X

piastra

th

XY

th

Y

th

X

th

XY

th

Y

XY

Y

X

XY

Y

X

k

k

kQ

zdz

zdz

zdz

dz

dz

M

M

M

N

N

N

0

0

0

γ

ε

ε

τ

σ

σ

τ

σPuò essere applicata direttamente per:

Progettare le sequenze di laminazione per ottenere

determinate rigidezze

Calcolare gli sforzi nelle lamine noti i carichi

generalizzati

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Teoria Classica della Laminazione

• Classical Lamination Theory - CLT -

Calcolo matrici di rigidezza dei laminati in base alla teoria delle piastre

O

O

Y

X

YY

XX

BBB

BBB

AAA

AAA

N

N

ε

ε

262524

161514

232221

131211

=

XY

Y

X

O

O

XY

Y

X

XY

Y

XX

YY

DDD

DDD

DDD

BBB

BBB

BBB

BBBAAA

M

M

M

N

κ

κ

κ

γ

666564

565554

464544

636261

535251

434241

363534

262524

333231

232221

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Teoria Classica della

LaminazioneClassical Lamination Theory - CLT -

Procedura Diretta : Progettazione del Laminato – Programma CLT_MAKE

Numero LamineCaratteristiche Lamine (Proprietà elastiche e spessori)

Angoli di Orientamento

Input: files di caratteristiche elastiche e spessori

Angoli di Orientamento

Matrici di Rigidezza delle Lamine in Coordinate Lamina

Posizioni delle Lamine Rispetto alla Superficie Media

Assemblaggio Matrici di Rigidezza del Laminato

Caratteristiche Laminato

Memorizzazione di una struttura dati:

L.N numero lamine

L.Lamine files lamine

L.Alfa angoli

L.Q_lamine matrici rigidezza lamine

L.Z posizioni z rispetto alla su. Media

L.TH spessore totale laminato

L.A, L.B, L.D sottomatrici A, B e D laminato

Rotazioni Matrici di Rigidezza in Coordinate Laminato

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Osservazione1) Matrici di Rigidezza delle Lamine

Exx

Eyy

vyx

Gxy

[ ]

−

−

=

xy

yyxx

yx

yy

xy

xx

G

EE

v

E

v

E

F

100

01

01

lamina

[ ]

=

xy

yy

xx

xy

yy

xx

F

τ

σ

σ

γ

ε

ε

lamina

[ ] [ ]( ) 1

laminalamina

−= FQ

[ ]

=

xy

yy

xx

xy

yy

xx

Q

γ

ε

ε

τ

σ

σ

lamina

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]11

_lamina

−−=

T

XTQTQ ααRotazione in coordinate laminato

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Osservazione 2) Posizioni z

thlamina

TH

z’1=0

z’2=z’2+th1

z’N+1=z’N+thN

zj= z’j – TH/2

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Assemblaggio Matrice Laminato

[ ] [ ] ( )∑=

+ −=N

j

jjXjzzQA

1

1_

[ ] [ ]( )

∑=

+ −=

N

j

jj

Xj

zzQB

1

22

1

_2

[ ] [ ]( )

∑ + −=

Njj zz

QD

33

1

[ ] [ ][ ] [ ]

=

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

k

k

kDB

BA

M

M

M

N

N

N

0

0

0

γ

ε

ε

[ ] [ ]∑=

=j

XjQD

1

_3

xyxy kM

[ ]

=

xy

y

x

xy

y

x

atoLa

xy

y

x

xy

y

x

k

k

kQ

M

M

M

N

N

N

0

0

0

min

γ

ε

ε

[ ] [ ]

==

−

xy

y

x

xy

y

x

atoLaatoLa

xy

y

x

xy

y

x

M

M

M

N

N

N

FQ

k

k

kmin

1

min

0

0

0

γ

ε

ε

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Presentazione script matlab

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Materiali: Compositi con Matrice Epossidica

C_IMG6_UD Unidirezionale Carbonio: Exx = 150000 MPa, vxx = 0.34Eyy = 10000 MPa, Gxy = 6500 MPaspessore (lamina polimerizzata) = 0.150 mm

(Valori tipici per UD in carbonio, modulo standard, alta resistenza – Rottura a

trazione 1700-2000 MPa – densità 1.5 g/cc)

G_S2449_UD Unidirezionale Vetro S2: Exx = 47600 MPa, vyx = 0.34Eyy = 13310 MPa, Gxy = 4750 MPaspessore (lamina polimerizzata) = 0.230 mm

(Valori tipici vetro S2 alta resistenza – Rottura a trazione 1500-1600 MPa – densità

1.85 g/cc)

C_AS4_PW Tessuto Carbonio: Exx = 63000 MPa, Eyy = 63000, MPa, vyx = 0.050Gxy = 5500 MPa

spessore (lamina polimerizzata) = 0.220 mm

C_AS4_5H Tessuto Carbonio: Exx = 59000 MPa, Eyy = 59000, MPa, vyx = 0.050Gxy = 4280 MPa

spessore (lamina polimerizzata) = 0.320 mm

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Esercizio 1: Matrice di un Laminato Omogeneo (a)

Lamina: se b << l puo’ essere considerata una trave con azioni interne (in una generica sezione)

Momento Flettente Mxb ed Azione Assiale Nxb

b=20 mm

TH=0.90 mm

Z, W Y, V

X, UMx (Nm/m)

Nx (N/m)

Laminato omogeneo [UD 0]6 Modulo di Young del materiale in direzione xx: Exx = 150000 MPa

sezionexx

x

sezionexx

Flettente

x

x

JE

bM

JE

MW

kWx

W

==′′

=′′=∂

∂=

2

21

ρ

Rigidezza Flessionale della trave: EJ

Rigidezza Assiale della trave: EA

sezionexx

x

sezionexx

Assiale

x

AE

bN

AE

FU

Ux

U

=′

′=∂

∂=

0ε

Momento Flettente Mxb ed Azione Assiale Nxb

Calcoli

A= bt =

J = (1/12)bt3 =

ExxJ =

ExxA =

Note le rigidezze generalizzate: Calcolo spostamenti (Es.: linea elastica)

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Esercizio 1: Matrice di un Laminato Omogeneo (a)

Lamina: se b << l puo’ essere considerata una trave con azioni interne (in una generica sezione)

Momento Flettente Mxb ed Azione Assiale Nxb

b=20 mm

TH=0.90 mm

Z, W Y, V

X, UMx (Nm/m)

Nx (N/m)

Laminato omogeneo [UD 0]6 Modulo di Young del materiale in direzione xx: Exx = 150000 MPa

sezionexx

x

sezionexx

Flettente

x

x

JE

bM

JE

MW

kWx

W

==′′

=′′=∂

∂=

2

21

ρ

Rigidezza Flessionale della trave: EJ

Rigidezza Assiale della trave: EA

sezionexx

x

sezionexx

Assiale

x

AE

bN

AE

FU

Ux

U

=′

′=∂

∂=

0ε

Momento Flettente Mxb ed Azione Assiale Nxb

Calcoli

A= bt = 18.0 mm2

J = (1/12)bt3 = 1.215 mm4

ExxJ = 1.8225e+005 Nmm2

ExxA = 2.7000e+006 N

Note le rigidezze generalizzate: Calcolo spostamenti (Es.: linea elastica)

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Esercizio 1: Matrice di un Laminato Omogeneo (b)

1. Determiniamo la matrice di rigidezza del

laminato

0

00x

ε

ε

b=20 mm

TH=0.90 mm

Z, W Y, V

X, U

l

2.Consideriamo le due seguenti condizioni di carico e verifichiamo le rigidezze assiali e flessionali

[ ]

=

0

0

0

0

min

0

0

x

atoLa

xy

y

x

xy

y

MF

k

k

k

γ

ε

[ ]

=

0

0

0

0

0

min

0

0

0 x

atoLa

xy

y

x

xy

y

x N

F

k

k

k

γ

ε

ε

( ) xatoLax MFk 4,4min

=

( ) xatoLax NF 1,1min0

=ε

a)

b)

( )4,4F

bJExx =

1/F(4,4)) x 20 mm= ?

( )1,1F

bAExx = 1/F(1,1)) x 20 mm = ?

=

sezionexx

xx

JE

bMk

=

sezionexx

xx

AE

bN0

ε

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=

0

0

0

0

0000

0000

00000

0000

0000

4544

33

2221

1211

0

0

0

xx

xy

y

x

M

FF

FF

F

FF

FF

k

k

γ

ε

ε

Esercizio 1: Matrice di un Laminato Omogeneo (b)

0

0

00000

0000

66

5554

xy

y

F

FF

k

k

sezionexx

xxx

JE

bMMFk

⋅

⋅=⋅=

44

sezionexx JE

bF

⋅=

44

b

JE

F

sezionexx ⋅=

44

1Rigidezza Flessionale per

unità di larghezza

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=

0

0

0

0

0000

0000

00000

0000

0000

4544

33

2221

1211

0

0

0 x

x

xy

y

x N

FF

FF

F

FF

FF

k

k

γ

ε

ε

Esercizio 1: Matrice di un Laminato Omogeneo (b)

0

0

00000

0000

66

5554

xy

y

F

FF

k

k

sezionexx

xxx

AE

bNNF

⋅

⋅=⋅=

110ε

sezionexx AE

bF

⋅=

11

b

AE

F

sezionexx ⋅=

11

1Rigidezza Assiale per unità di

larghezza

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Esercizio 1: Matrice di un Laminato Omogeneo (b)

1. Determiniamo la matrice di rigidezza del

laminato

0

00x

ε

ε

b=20 mm

TH=0.90 mm

Z, W Y, V

X, U

l

2.Consideriamo le due seguenti condizioni di carico e verifichiamo le rigidezze assiali e flessionali

[ ]

=

0

0

0

0

min

0

0

x

atoLa

xy

y

x

xy

y

MF

k

k

k

γ

ε

[ ]

=

0

0

0

0

0

min

0

0

0 x

atoLa

xy

y

x

xy

y

x N

F

k

k

k

γ

ε

ε

( ) xatoLax MFk 4,4min

=

( ) xatoLax MF 1,1min0

=ε

I termini 1/F(i,j) sono le rigidezze generalizzate della piastra per unità di larghezza

a)

b)

( )4,4F

bJExx = (1/F(4,4)) x 20 mm =

1.8225e+005 Nmm2= ExxJ

( )1,1F

bAExx = 1/F(1,1)) x 20 mm =

2.7e+006 N=ExxA

=

sezionexx

xx

JE

bMk

=

sezionexx

xx

AE

bN0

ε

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Accoppiamenti e casi speciali di laminati

=

X

O

O

O

X

XY

Y

X

XX

YY

XX

DDDBBB

BBB

BBB

BBB

AAA

AAA

AAA

M

N

N

N

κ

γ

ε

ε

464544434241

363534

262524

161514

333231

232221

131211

membranale -flessionale

Estensione – taglio membranale

Flesso - torsionale

Laminato Composito

XY

Y

X

XY

Y

DDD

DDD

BBB

BBB

M

M

κ

κ

666564

565554

636261

535251

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Esercizio 2: Laminati Simmetrici

Carbonio UD +30

Carbonio UD +45

Carbonio UD +45

Carbonio UD +30

Carbonio UD +0

Carbonio UD +0

Spessore: L.TH=0.90 mm

Vetro UD +30

Vetro UD +45

Vetro UD +45

Vetro UD +30

Vetro UD +0

Vetro UD +0

Spessore: L.TH=1.38 mm

L_C_UD_Sim L_G_UD_Sim

a: Accoppiamenti fra sollecitazioni generalizzate e deformazioni generalizzate

b: Confrontare le Rigidezze Assiali in direzione X e Y

c: Valutare i pesi per unità di area (ρ Carbonio/Epoxy = 1500 kg/m3,

ρ Vetro/Epoxy = 1850 kg/m3)

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Esercizio 2: Laminati Simmetrici (a)

[ ] [ ][ ] [ ]

=

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

M

M

M

N

N

N

FDFB

FBFA

k

k

k

0

0

0

γ

ε

εMATRICE DI FLESSIBILITA’ DI

Carbonio UD +30

Carbonio UD +45

Carbonio UD +45

Carbonio UD +30

Carbonio UD +0

Carbonio UD +0

Accoppiamento fra trazione e deformazione membranale a taglio

il laminato non è equilibrato

Accoppiamento fra flessione e deformazione torsionale

il laminato non è bilanciato

0.00001630727551 -0.00000433122529 -0.00001420747695 -0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000

-0.00000433122529 0.00007647210615 -0.00004790666784 0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000

-0.00001420747695 -0.00004790666784 0.00009188777049 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000

-0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 0.00014008612552 -0.00006554631141 -0.00010255958588

0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00006554631141 0.00138707924390 -0.00049948847136

0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00010255958588 -0.00049948847136 0.00147774897005

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Esercizio 2: Laminati Simmetrici (b)

laminato simmetrico: se ∃ α a zi, ∃ α a –zi

laminato equilibrato: se ∃ α, ∃ -αlaminato bilanciato: se ∃ α a zi, ∃ -α a -zi

Spessore: L.TH=1.38 mm

L_G_UD_Sim

Spessore: L.TH=0.90 mm

L_C_UD_Sim

(EA/w)X = 61322 N/mm

(EA/w)Y = 13077 N/mm

(EA/w)X = 46483 N/mm

(EA/w)Y = 23816 N/mm

ρA = ρ⋅TH = 1.35 kg/m2 ρA = ρ⋅TH = 2.55 kg/m2

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Esercizio 3: Laminati Equilibrati e Bilanciati

Carbonio UD +30

Carbonio UD +45

Carbonio UD -45

Carbonio UD -30

Carbonio UD +0

Carbonio UD +0

Carbonio UD +30

Carbonio UD -30

Carbonio UD -30

Carbonio UD +30

Carbonio UD +0

Carbonio UD +0

Equilibrato e Bilanciato (Non Simmetrico) Equilibrato e Simmetrico (non Bilanciato)

Spessore: L.TH=0.90 mm Spessore: L.TH=0.90 mm

L_C_UD_Bil L_C_UD_Eq

a: Accoppiamenti fra sollecitazioni generalizzate e deformazioni generalizzate

b: Confrontare le Rigidezze Assiali in direzione X e Y

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Esercizio 4: Laminati UD e Tessuti (a)

Carbonio UD +30

Carbonio UD -30

Carbonio UD -30

Carbonio UD +30

Carbonio UD +0

Carbonio UD +0

Equilibrato e Simmetrico (non Bilanciato) UD

Carbonio FB 0/90

Carbonio FB +/-45

Carbonio FB +/-45

Carbonio FB 0/90

Laminato di Tessuto

Spessore: L.TH=0.90 mm

Carbonio UD +0

Spessore: L.TH=0.88 mm

a: Accoppiamenti fra sollecitazioni generalizzate e deformazioni generalizzate

b: Confrontare le Rigidezze Assiali in direzione X e Y

c: Ruotare le sottomatrici A (funzione “Rotazione_Matrice(L.A,α)), α = +20°, -30°

d: Confrontare Rigidezze e pesi del laminato in tessuto con una lamina in lega Al di

uguale spessore (E = 72000 MPa, ρ = 2800 kg/m3)

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Esercizio 4: Laminati UD e Tessuti (b)

0.00001234811718 -0.00001370772123 -0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000

-0.00001370772123 0.00007855169936 -0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000

MATRICE DI FLESSIBILITA’ DI

[ ] [ ][ ] [ ]

=

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

M

M

M

N

N

N

FDFB

FBFA

k

k

k

0

0

0

γ

ε

ε

Carbonio UD +30

Carbonio UD -30

Carbonio UD -30

Carbonio UD +30

Carbonio UD +0

Carbonio UD +0

-0.00001370772123 0.00007855169936 -0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000-0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00004927599766 -0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000

-0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00013557410583 -0.00008620034678 -0.00007482855406

0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00008620034678 0.00138316891335 -0.00031289649089

0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00007482855406 -0.00031289649089 0.00134657294218

(EA/b)X = 80948 N/mm

(EA/b)Y = 12730 N/mm

ρA = ρ⋅TH = 1.35 kg/m2

Spessore: L.TH=0.90 mm

L_C_UD_EqSim

Page 23: Teoria Classica della Laminazione · Teoria Classica della Laminazione Classical Lamination Theory - CLT - Calcolo matrici di rigidezza dei laminati in base alla teoria delle piastre

Esercizio 4: Laminati UD e Tessuti (c)

MATRICE DI FLESSIBILITA’ DI

[ ] [ ][ ] [ ]

=

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

M

M

M

N

N

N

FDFB

FBFA

k

k

k

0

0

0

γ

ε

ε

Carbonio FB 0/90

Carbonio FB +/-45

Carbonio FB +/-45

Carbonio FB 0/90

0.00002459220836 -0.00000754675381 -0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000

-0.00000754675381 0.00002459220836 0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000

(EA/b)X = 40663 N/mm

(EA/b)Y = 40663 N/mm

ρA = ρ⋅TH = 1.32 kg/m2

Spessore: L.TH=0.88 mm

L_C_FB_EqSim

-0.00000754675381 0.00002459220836 0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000-0.00000000000000 0.00000000000000 0.00006427792434 -0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000

0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00029624935404 -0.00003211524435 -0.00000000000000

0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00003211524435 0.00029624935404 0.00000000000000-0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000 0.00206079604886

Spessore: TH=0.88 mm

Lamina Lega Al

(EA/b) = (E⋅th) = 63360 N/mm

ρA = ρ⋅TH = 2.464 kg/m2

Page 24: Teoria Classica della Laminazione · Teoria Classica della Laminazione Classical Lamination Theory - CLT - Calcolo matrici di rigidezza dei laminati in base alla teoria delle piastre

Esercizio 4: Laminati UD e Tessuti (c)

MATRICE DI FLESSIBILITA’ DI

[ ] [ ][ ] [ ]

=

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

M

M

M

N

N

N

FDFB

FBFA

k

k

k

0

0

0

γ

ε

ε

L_C_FB_EqSim

Carbonio FB 0/90

Carbonio FB +/-45

Carbonio FB +/-45

Carbonio FB 0/90

Lamina Lega Al

(EJ/b)X = 1/F_lam(4,4) = 3375 N mm

(EJ/b)Y = 1/F_lam(5,5) = 3375 N mm

ρA = ρ⋅TH = 1.32 kg/m2

Spessore: L.TH=0.88 mm Spessore: TH=0.47 mm

(EA/b) = (E⋅th) = 33840 N/mm

(EJ/b) = (E ⋅th3/12) = 623 N mm

ρA = ρ⋅TH = 1.32 kg/m2

(EA/b)X = 40663 N/mm

(EA/b)Y = 40663 N/mm


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