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Fluidodinamica

Liquido perfetto o ideale:

Incompressibilità Q=V/Δt=costante

Q=V/Δt=Sh/Δt=Sv(velocità) (m3/s)

La portata Q resta costante: il volume di liquido che entra nell’intervallo di tempo Δt da un estremo di un condotto è uguale a quello che esce dall’altro estremo nello stesso intervallo di tempo.

s⊥v

• Incomprimibile (densità costante sia nel tempo che nello spazio)

• Assenza di attrito interno

(in un liquido reale si conserva la caratteristica dell’incompressibilità ma le molecole non sono libere di scorrere le une sulle altre, incontrano resistenza, si dice che il liquido presenta viscosità)

Equazione di continuità

h

v S h

2

S * v = costante

S e v sono inversamente proporzionali ne segue che aumentando la sezione del condotto diminuisce la velocità e viceversa: se S si dimezza v raddoppia Alcune Premesse: Linea di flusso: sempre tangente al vettore velocita` di una particella elementare di fluido. Queste linee rappresentano le traiettorie di ogni singola particella.

P1 P2 P3 P4 P5

Le linee di flusso non si intersecano (per un punto passa una sola linea)

Flusso Laminare

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Teorema di Bernoulli: principio di conservazione dell’energia nel caso di un liquido perfetto

•  fluido incompressibile

•  non viscoso

•  flusso laminare

•  flusso stazionario (v(x,y,z,t) non dipende dal tempo)

Flusso Turbolento

Le prime due proprietà caratterizzano un liquido ideale.

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dx1

dx2 S2

S1

z1

z2

v2

v1

p2S2 prima

dopo p1S1

Lp = P1ΔV − P2ΔVLg = mgz1 −mgz2

1

2 S1dx1 = S2dx2 = ΔV

5

Per il teorema dell’energia cinetica si ha dunque:

P1ΔV − P2ΔV + mgz1 −mgz2 =12mv2

2 −12mv1

2

Da cui si ottiene l’espressione nota come Teorema di Bernoulli :

P1 +12ρv1

2 + ρgz1 = P2 +12ρv2

2 + ρgz2

Che più semplicemente si può scrivere come:

€

P +12ρv 2 + ρgz = costante

Conservazione dell’energia per unità di volume

P1ΔV − P2ΔV + ρΔVgz1 − ρΔVgz2 =12ρΔVv2

2 −12ρΔVv1

2

6

Tubo di Venturi.

z1 = z2 ⇒ Δp = ρ2v22 − v1

2( )

Q = S1v1 = S2v2 ⇒

Q2 =2Δpρ

S12S22

S12 − S22%

& ' (

) *

Alcune applicazioni

€

ΔP = P1 − P2 =12ρv1

2 S12

S22 −1

%

& '

(

) *

Flussimetro per la misura della velocità del sangue in un’arteria

la portata è costante la velocità è maggiore e la pressione minore dove la sezione è minore

S1 S2 v2

v1

P1 P2 h

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Tubo di Pitot

Tubo di P. inserito in un flusso di corrente permette di misurare direttamente la velocità del flusso,

In b si interrompe la linea di flusso Vb=0 punto di ristagno , in a la velocità rimane con buona approssimazione quella del flusso. Dall’equazione di Bernoulli.

x

Pb −Pa =12ρv2

dove ρ è la densità del fluido.

Pa + ρmhg+ ρgx = Pb + ρg x + h( )Pb −Pa = ρm − ρ( )ghdove ρm è la densità del fluido manometrico.Pb −Pa =

12ρv2 = ρm − ρ( )gh

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v h

h3

ghv 2=

Sifone

( )312 2 hhgv +=€

P = P0 − ρg h1 + h2 + h3( )h1

h2

L. Torricelli

A

B

C

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Esempi

• Il flusso sanguigno in una grande arteria di un cane è incanalato in un flussimetro di Venturi. La parte più larga ha un’area A1=0.08cm2 uguale alla sezione dell’arteria, la parte più stretta A2=0.04cm2 in questi due punti si misura una ΔP=25Pa. Qual’è la velocità del sangue nell’arteria? (densità del sangue ρs=1059kg/m3)

• Un cilindro in cui viene fatto il vuoto ha la base di raggio R=0.5m . Calcolare la forza che agisce sulla base a) in aria a livello del mare, b) in acqua alla profondità h=10.33m

• Un corpo di densità ρc=0.9g/cm3 è parzialmente immerso in acqua (ρL=1g/cm3). Quale frazione del volume totale emerge dall’acqua?

• Una mongolfiera piena di gas (ρg=0.2kg/m3) è in equilibrio in aria (ρa=1.3kg/m3) sostenendo un carico totale M=300kg. Qual’è la massa del gas nell’ipotesi che il volume del carico sia trascurabile rispetto al volume del gas

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Paradosso idrodinamico

Tra due dischi A e B fluisce dell’aria trasportata dal condotto O

A B O O’

€

p +12ρv 2 = costante

Attraverso il tubo OO’ arriva una corrente fluida tra i due dischi A e B. Tuttavia il piatto B non viene respinto ma attratto verso A. L’aumento di velocita` che crea la strozzatura va a scapito di una diminuzione di pressione che se scende al di sotto di quella atmosferica il disco B tendera` a chiudere il il tubo anziche` volare via.

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gli attriti interni sono responsabili della caduta di pressione lungo il condotto (P2< P1) fenomeno noto come perdita di carico

• I liquidi reali presentano dell’attrito interno: vi è dissipazione di energia meccanica in calore⇒ΔI≠0;

Flusso dei fluidi viscosi

Liquido ideale

v

Liquido reale

v P1 P2

Potenza dissipata: ΔP* Q=ΔP*S*v

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fluido in equilibrio: le forze di superficie si riducono alla sola pressione p=dFn/dS

fluido in movimento: devono essere considerate anche le forze di coesione tra elementi di fluido (forze intermolecolari attrattive).

Il parametro che quantifica l’attrito interno è la viscosità

F vO A Applicando una forza F alla tavola (di superficie S) la sua velocità, a regime è costante: equilibrio tra F applicata ed una forza di attrito A

y

F = ηSΔvΔy

η Coefficiente di viscosità

Lo strato di fluido a contatto con la lastra in movimento ha la stessa velocità della lastra v; lo strato prossimo alla base fissa è in quiete v=0

Flusso laminare

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η[ ] = ML−1T −1"# $% dimensioni del parametro viscosità

unità di misura Nm2 ⋅m ⋅

sm

"

#'$

%(= kg ⋅m−1s−1"# $%= Pa ⋅ s

1 Pa�s = 10 Poise (g cm-1s-1)

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Flusso laminare in un condotto cilindrico

La portata dipende dalla viscosità del fluido, dalla caduta di pressione, dal raggio e dalla lunghezza del tubo

Legge di Poiseuille

€

Q =πΔP8ηl

r4 =ΔPR

Q=S<v>=Svmax/2

•  basse velocità (regime laminare: strati scorrono uno sull’altro) •  condotto rigido •  piccoli diametri

€

< v >=ΔP ⋅ r2

8ηl

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Ricaviamo la legge di Poiseuille

€

forza viscosa F =ηS dvdy

-Condotto cilindrico in cui il fluido si muove come indicato delle frecce. -In regime laminare il moto è schematizzabile come il moto di tanti cilindri concentrici di velocita` decrescente man mano che ci avviciniamo alle pareti del condotto -La forza che contrasta l’attrito viscoso è dovuta alla ΔP

ΔP ⋅πr2 =η2πrl dvdr

dvdr

=ΔP ⋅ r2ηl

vmax − 0 =ΔP ⋅ r2ηl

dr0

R

∫ =ΔP ⋅ r2

4ηl 0

R

< v >= vmax2

=ΔP ⋅R2

8ηl

Q = Av = πR2 ΔP ⋅R2

8ηl=ΔP ⋅πR4

8ηl

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€

Re =2ρvrη

Condizione per il moto laminare

Con questa definizione si trova, per un tubo cilindrico lungo(l>>r):

Il tipo di flusso (il genere di moto in un fluido) dipende dal

€

Re =ρvdη

dimensione caratteristica (del condotto, del corpo in movimento)

Tubo cililndrico:

Tipicamente si assume 2400 come valore critico (ReC): dipende dalla rugosità della superficie e dalla lunghezza del tubo.

Per un condotto cilindrico d=2r. Assumeremo d=2r :

€

ReC =2ρvCrη vC: velocità critica.

dens. fluido

€

Re ≤1000 regime laminare1000 ≤ Re ≤ 3000 transizioneRe ≥ 3000 turbolento

$

% &

' &

v: velocità media del fluido (Q=Sv)

Numero di Reynolds Adimensionale

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Resistenza che incontra un corpo che si muove in un fluido con basse velocità

€

A = 6πηrv Per un corpo sferico di raggio r

r

(Legge di Stokes)

In generale KvA γ= con 1 < K < 2

2

21 vcSA ρ= Attrito viscoso su sfera ad alta

velocità. Regime turbolento

•  Moto (esponenzialmente) smorzato. • Velocità limite (pioggia, pulviscolo)

solo regime laminare

c : coefficiente di aerodinamicità, S:sezione del corpo perpendicolare al moto del fluido