18/12/2014

1

Coppie di variabili aleatorie

1

( ), X Y random vector

Definizione: Si definisce vettore aleatorio la coppia (X,Y) dove X,Y,

sono definite sullo stesso spazio campione

2: , : ( , ) : X S Y S X Y S→ ℜ → ℜ⇒ → ℜ

Esempio: peso-altezza di una persona

Coppie di variabili aleatorie

2

18/12/2014

2

( ) ( ) ( ){ }, / ,X x Y y S X x Y yω ω ω= = = ∈ = =

( ){ } ( ){ }/ /S X x S Y yω ω ω ω= ∈ = ∈ =∩

( )Y yω =

( )X xω =

Variabili discrete

3

massa di probabilità congiunta

massa di probabilità marginale

Esempio: ( ) ( ) ( ) ( ){ }, , , , , , ,S T T C C C T T C=

4

18/12/2014

3

5

Il grafico nel lucido precedente è stato costruito in R con le seguenti

istruzioni:

> library(scatterplot3d)

> x<-matrix(0.25,2,2)

> x

[,1] [,2]

[1,] 0.25 0.25

[2,] 0.25 0.25

> sd3.dat<-data.frame(columns=c(col(x)),rows=c(row(x)),value=c(x))

> scatterplot3d(sd3.dat,type='h',lwd=5,color='red',main='Joint pdf',

+ x.ticklabs=seq(0,1,0.20),y.ticklabs=seq(0,1,0.20))

>

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }: , : :S X x Y y S X x S Y yω ω ω ω ω ω ω∈ ≤ ≤ = ∈ ≤ ∈ ≤∩

Sω ∈

yY =)(ωY

XxX =)(ω

( ) ( ){ }

,

: ,

( , )X Y

P S X x Y y

F x y

ω ω ω∈ ≤ ≤

=

Funzione di ripartizione

doppia6

18/12/2014

4

Torniamo all’esempio del lancio delle due monete….

Massa di probabilità Funzione di ripartizione

Proprietà

( ), 1XYF +∞ +∞ = ( ), 0XYF −∞ −∞ =

( ) ( ), , 0XY XYF y F x−∞ = −∞ =

7

8

Il grafico nel lucido precedente è stato costruito con le seguenti

istruzioni:

> x<-c(0,0.5,1,1.01,1.5,2)

> y=x

> z<-matrix(1,length(x),length(y))

> fix(z)

> persp(x=x,y=y,z,zlim=c(0,2),ticktype='detailed',theta=40,phi=20,

+ main='CDF')

18/12/2014

5

9

{ }

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

2 2 2 1 1 2 1 1

,

, , , ,XY XY XY XY

P x X x y Y y

F x y F x y F x y F x y

< ≤ < ≤ =

− − −

2

1

y

y

1 2 x x 10

18/12/2014

6

( ){ } ( ){ }: ( ), : ( )X Y

P S X x F x P S Y y F yω ω ω ω∈ ≤ = ∈ ≤ =

Funzioni di ripartizione marginali…

RyxyFxFyxF

YX

YXYX ∈∀= , )()(),(

se solo e se tiindipenden dicono si e v.a.Le :eDefinizion

,11

12

Esercizio: In un lotto scelto casualmente di 1000 bulloni, sia X il numero

di bulloni che non soddisfano la specifica per la lunghezza e sia Y il nu-

mero di quelli che non soddisfano la specifica per diametro. Si assuma

che la funzione di probabilità di massa congiunta di X e di Y sia quella

presente nella tabella.

Y

X 0 1 2

0 0.40 0.12 0.08

1 0.15 0.08 0.03

2 0.10 0.03 0.01

Calcolare

( )0 2P X Y= =∪ ( )0 1P X Y> ≤∪ ( )1P X ≤ ( )0P Y >

> Si calcoli la probabilità che tutti i bulloni nel lotto soddisfino la speci-

fica per la lunghezza.

> Si calcoli la probabilità che tutti i bulloni nel lotto soddisfino la speci-

fica per il diametro.

18/12/2014

7

{ }

{ } { }

( , ) / ( ) ( , ), ( ) ( , )

/ ( ) ( , ) / ( ) ( , )

f x y x y P S X x x x Y y y y

P S X x x x S Y y y y

ω ω ω

ω ω ω ω

∆ ∆ = ∈ ∈ + ∆ ∈ + ∆

= ∈ ∈ + ∆ ∈ ∈ + ∆ ∩

Variabili continueVariabili continueVariabili continueVariabili continue

( ) ( ){ } ,: , ( , )

X YP S X x Y y F x yω ω ω∈ ≤ ≤ =

Funzione di ripartizione doppiaFunzione di ripartizione doppiaFunzione di ripartizione doppiaFunzione di ripartizione doppia

( ), , X Y

F x y ? ( , ) d d

yx

f s t s t−∞ −∞

= ∫ ∫ ( , )f x y

13

Qual è la relazione fra la funzione densità congiunta e la

funzione di ripartizione?

14

x<-seq(-3,3,0.1)

y<-seq(-3,3,0.1)

fun<-function(x,y){(1/(2*pi))*exp(-(x^2+y^2)/2)}

z<-outer(x,y,fun)

output<-persp(x,y,z,theta=60,phi=15,ticktype = "detailed",

main='cdf plot',expand=0.8)

Gaussiana bidimensionale

standard

2 21( , ) exp

2 2

x yf x y

π

+= −

( ), ( ) ( )X Yf x y f x f y=2 2

1 1exp exp

2 22 2

x y

π π

= − −

18/12/2014

8

Due variabili aleatorie ass. continue sono indipendenti

se e solo se ( , ) ( ) ( )X Y

f x y f x f y=

Teorema :

( ) ( , ) dX

f x f x t t

∞

−∞

= ∫

( ) ( , ) dY

f y f s y s

∞

−∞

= ∫

In generale, le densità

marginali possono es-

sere calcolate come:

16

Ogni curva ottenuta sulla superficie fissando un valore per x o per y

è ancora gaussiana.

I grafici si riferiscono a

( ), 1.5f x −

( ),0.5f x

18/12/2014

9

17

> install.packages('mnormt')

( ), , X YF x y

( , ) d d

yx

f s t s t−∞ −∞

= ∫ ∫

> x<-seq(-3,3,0.1)

> y<-x

�appp<-matrix(0, length(x), length(x))

> fun<-function(x,y){pmnorm(c(x,y),mu,sigma)}

> for (i in 1:61) { for (j in 1:61) { appp[i,j]<-fun1(x[i],y[j])}}

>persp(x,y,appp,zlab="F(x,y)",ticktype = "detailed",

+ main='Gaussian cdf plot',expand=0.8, col=rainbow(20))

Per la funzione di ripartizione congiunta

( , ) d dB

f x y x y∫∫

18

Selezionando opportune regioni nel

dominio, si ottiene un volume.

18/12/2014

10

[ ]( , ) ,f x y x y P x X x x y Y y y∆ ∆ ≈ < ≤ + ∆ < ≤ + ∆

{ }

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

2 2 2 1 1 2 1 1

,

, , , ,XY XY XY XY

P x X x y Y y

F x y F x y F x y F x y

< ≤ < ≤ =

− − − 19

( ),XY

F x y

x y

∂=

∂ ∂( , )f x y

Assegnata la funzione di ripartizione,

come si calcola la funzione densità?

Abbiamo visto che:

[ ]( , ) ,f x y x y P x X x x y Y y y∆ ∆ ≈ < ≤ + ∆ < ≤ + ∆

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,XY XY XY XY

F x x y y F x x y F x y y F x y= + ∆ + ∆ − + ∆ − + ∆ −

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,?

XY XY XY XYF x x y y F x x y F x y y F x y

x y

+ ∆ + ∆ − + ∆ − + ∆ − =∆ ∆

( ) ( ) ( ) ( ), 0

, , , ,lim ?

XY XY XY XY

x y

F x x y y F x x y F x y y F x y

x y∆ ∆ →

+ ∆ + ∆ − + ∆ − + ∆ − =∆ ∆

( ),XY

F x y

x y

∂=

∂ ∂

20

18/12/2014

11

( , ) d d 1f x y x y

∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫

{ }2

2? , ( , ) d d

x

P X x Y f x y x y

∞

−∞ −∞

= ≤ < ∞ = ∫ ∫

( ) { }2

2 2, ( , ) d d

y

YF y P X Y y f x y x y

∞

−∞ −∞

= < ∞ ≤ = ∫ ∫

Condizione di normalizzazione

{ }2 2

1 1

1 2 1 2( , ) d d ,

x y

x y

f x y x y P x X x y Y y= < ≤ < ≤∫ ∫

( ) { }2 2

1 1

2

, 1 2 1 2 F , d d , y

x y

X Y

x y

x y x y P x X x y Y yx

∂= < ≤ < ≤

∂ ∂∫ ∫

( ) { }2

2 2, ( , ) d d

x

XF x P X x Y f x y x y

∞

−∞ −∞

= ≤ < ∞ = ∫ ∫

21

Poichè

allora

22

( ) ( )( ) ( )2 2

2 2 22

2 2

Quando la relazione non è lineare, allora la funzione densità di probabilità diventa:

21 1( , ) exp

2(1 )2 1

per ( , ) , ( , ) , con parame

X X Y Y

XY

X X Y YX Y

X Y

x x y yf x y

x y R R

µ ρ µ µ µ

ρ σ σ σ σπσ σ ρ

µ µ

− − − − = − − + −−

∈ ∈ tri 0, 0 e (-1,1).X Y

σ σ ρ> > ∈

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2

X Ydove , , , , ( 1,1) X Y

E X E Y Var X Var Yµ µ σ σ ρ= = = = ∈ −

Trasformazioni lineari di var. gaussiane sono ancora gaussiane, ossia

2 2 2se ( , ) allora ( , )X N Y aX b N a b aµ σ µ σ= + +∼ ∼

Pertanto i modelli di regressione lineare vengono molto usati in

presenza di popolazioni gaussiane.

0 e indipendentiX Yρ = ⇔Teorema :

18/12/2014

12

Gaussiana bidimensionale

( )( ) ( )[ ]

(-1,1). e 0,0 parametricon ,),(,),(for

2

1exp

2

1),(

:è bivariata normale una di àprobabilit di densità funzione La

22

1

2/12/

∈>>∈∈

−Σ−−

Σ= −

ρσσµµ

µµπ

YXYX

T

nXY

RRyx

xxyxf��

:Notazione

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

1

2 2 2

2

X

2

Y

21

(1 )

cov ,

cov ,

dove

TX X Y Y

X X Y Y

X

Y

x x y yx x

x (X,Y)x

y (X Y)

µ ρ µ µ µµ µ

ρ σ σ σ σ

µ σµ

µ σ

− − − − −

− + = − Σ − −

= = Σ =

� �

�

Un diverso modo di scrivere la densità è quello di usare la matrice di

covarianza:

24

18/12/2014

13

25

Sezioni della gaussiana bidimensionale sono (contour())

( , ) 3

Consideriamo le v.a. e con densità congiunta

1 1 ( , ) exp 0, 0X Y

X Y

xf x y x y

y y

+= − ≥ ≥

Esercizio :

( )1/ / /1/

( , ) ( , ) 20 0 0

1( , ) ( , )d d d 1

1

t x t x yx y y

y

X Y X Y

e e eF x y f s t s t t e

t x

− − −−

− = = = −

+ ∫ ∫ ∫

( , )( ) lim ( , )1

X X Yy

xF x F x y

x→∞= =

+1/

( , )( ) lim ( , ) y

Y X Yx

F y F x y e−

→∞= =

26

Istruzioni in R per il grafico della distribuzione congiunta:

> x<-seq(0,15,0.5)

> y<-seq(0,4,0.5)

> fun<-function(x,y){exp(-1/y)*(1-(exp(-x/y)/(1+x)))}

> z<-outer(x,y,fun)

> output<-persp(x,y,z,theta=60,phi=15,ticktype = "detailed",

+ main='cdf plot',expand=0.3,zlim=range(0,1))

> lines (trans3d(x, y=0, z=x/(1+x), pmat = output), col = 'red',lwd=4)

> lines (trans3d(x=15, y, z=exp(-1/y), pmat = output), col = 'green',lwd=4)

18/12/2014

14

27

Mediante derivazione si ha:

1/

2 2

1 1( ) ( )

(1 )

y

X Yf x f y e

x y

−= =+

28

18/12/2014

15

29

Istruzioni in R per il grafico precedente:

> x<-seq(0,2,0.1)

> y<-seq(0,1,0.05)

> fun<-function(x,y){(1/y^3)*exp(-(1+x)/y)}

> z<-outer(x,y,fun)

> output<-persp(x,y,z,theta=40,phi=20,ticktype = "detailed",

+ main='pdf plot')

> lines (trans3d(x, y=0, z=1/(1+x^2), pmat = output), col = 'red',lwd=4)

> lines (trans3d(x=2, y, z=exp(-1/y)/y^2, pmat = output),

+ col = 'green',lwd=4)

La probabilità che la coppia (X,Y) appartenga al dominio D si può

esprimere come somma (al limite, come integrale) delle probabilità

che la coppia (X,Y) appartenga a “rettangolini” di area infinitesima

che ricoprono il dominio D.

30

Domini non

rettangolari

18/12/2014

16

Sia (X,Y) una coppia di variabili aleatorie con pdf congiunta f (x, y):

calcoliamo P(X ≥ Y).

Il dominio D da considerare in questo caso è quello definito da

Tale dominio si può riguardare come

normale sia rispetto all’asse x che all’asse y,

31

{ }2( , ) :D x y x y= ∈ℜ ≥

1 2

1 2 1 2

: Siano e tempi di vita di due sistemi indipendenti con tassi

costanti e . Calcolare ( ).

Esercizio T T

P T Tλ λ ≥

( )1

1 2 1 2 1 2( ) , d dt

P T T f t t t t∞

−∞ −∞≥ = ∫ ∫

1 1

1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )d d ( ) ( )d dt t

f t f t t t f t f t t t∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞

= = ∫ ∫ ∫ ∫

1

1 1 1 2 2 2 2 10 0

exp( ) exp( )d dt

t t t tλ λ λ λ∞ = − −

∫ ∫

[ ]1 1 1 2 1 10

exp( ) 1 exp( ) dt t tλ λ λ∞

= − − −∫2

1 2

λ

λ λ=

+32

18/12/2014

17

2

: Calcolare ( ) quando e sono variabili aleatorie con densità

congiunta

2 0, 0 ( , )

0

x y

Esercizio P X Y X Y

e e x yf x y

altrove

− −

≥

> >=

( )( ) , d d ...x

P X Y f x y x y∞

−∞ −∞≥ = =∫ ∫

33

Una classe molto importante di trasformazioni: Somme di variabili

aleatorie

( )( ){ }, :

( ) ( , ) d dx y x y z

P Z z P X Y z f x y x y+ ≤

≤ = + ≤ = ∫

( , ) d d

z x

f x y y x

∞ −

−∞ −∞

=

∫ ∫

Se le v.a. sono indipendenti allora ( , ) ( ) ( )X Y

f x y f x f y=

( ) ( ) d d

z x

X Yf x f y y x

∞ −

−∞ −∞

=

∫ ∫ ( )( ) d

X Yf x F z x x

∞

−∞

= −∫

( )poni

( ) ( ) d d

z x

Z X YG z f x f y y x

t y x

∞ −

−∞ −∞

= =

= + ∫ ∫

( ) ( ) dt d ( ) ( )d dt

z z

X Y Y Xf x f t x x f t x f x x

∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞

− = −

∫ ∫ ∫ ∫

34

18/12/2014

18

35

Spesso usate in opera-

zioni di smoothing

Convoluzione di una

legge gaussiana con

una esponenziale

(font wikimedia)

Convoluzione di una

legge di tipo Heaviside

con la bisettrice

I e III quadrante.

36

Trasformazioni di variabili aleatorie

( )Y g X=

discretaX

a) g monotona

X -1 0 1

P(X=x) 1/3 1/3 1/3

Y -1 2 5

P(Y=y) 1/3 1/3 1/3

3 2Y X= +

b) g non monotona

X -1 0 1

P(X=x) 1/3 1/3 1/3

Y 0 1

P(Y=y) 1/3 2/3

2Y X=

18/12/2014

19

37

assolutamente continuaX

a) g monotona

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1( ) ( ) ( )Y XF y P Y y P g X y P X g y F g y− −= ≤ = ≤ = ≤ =

( ) ( )Y Y

df y F y

dy=

2Provare che se ( , ) allora Esempio: (?,?)X N Y aX b Nµ σ = +∼ ∼

38

Distribuzione Lognormale

2 exp( ) ha distSe ( , ), ribuzionallora loge normale. NX Y Xµ σ =∼

La distribuzione ha due parametri:

,µ σ

Usata per modellare il tempo di

vita di unità i cui guasti avvengono

per usura o per stress.

(sistemi meccanici)

La funzione di ripartizione è: 1 1 ln

2 2 2

xErf

µ

σ

− +

erf function

18/12/2014

20

39

La function è anche detta , poichè contribuisce

alla funzione di ripartizione della distribuzione gaussiana.

Erf funzione errore

( )2

0

2 1 1( ) exp d ( )

2 2 2

xx

Erf x t t x Erfπ

= − ⇒ Φ = +

∫

Si può costruire il probability plotting

paper usando la seguente trasformazione:

( )1

2 1 ln2 2

Erfinv x xµ

σ σΦ − = −

40

Altra legge molto usata in teoria dell’affidabilità è

( )log con ( )T X X Expµ β λ λ= − ≈

La v.a. così costruita prende il nome di v.a. di Gumbel (o dei valori

estremi) = max o min di campioni casuali.

Esercizio: Determinare la funzione densità della v.a. di Gumbel.

Distribuzione di Gumbel

In R la distribuzione di Gumbel è

inserita tra le functions del pac-

chetto evd. location

scale

µ

β

→

→

> dgumbel(x,loc,scale)

18/12/2014

21

41

Per il probability plotting paper

si osservi che la funzione di ripartizio-

ne risulta:

( ) exp expx

F xµ

β

−= −

Di conseguenza la trasformazione

cercata è

1 1log log

( )x

F x

µ

β β

= −

Il grafico è costruito su datiprimoesercizio.R

Distribuzione chiDistribuzione chiDistribuzione chiDistribuzione chi----quadratoquadratoquadratoquadrato

b) Se la g non è monotona…2 Sia (0,1). Si calcoli la Eserciz pdf di io: X N Y X=∼

2 2

0

1 2exp d exp d

2 22 2

y y

y

x xx x

π π−

= − = −

∫ ∫

Pertanto la funzione

densità risulta essere:

( ) ( ) ( )2

0 0( )

0Y

yF y P Y y P X y

P y X y y

<= ≤ = ≤ =

− ≤ ≤ ≥

1( ) exp

22Y

yf y

yπ

= −

> y<-dchisq(x,1)

18/12/2014

22

43

I gradi di libertà di una v.a. chi-quadrato possono assumere valori interi

maggiori di 1.

Trattandosi di una v.a. che

assume valori solo positivi,

i quantili non sono simmetrici

rispetto all’asse delle y.

Problema: etichettare gli estremi

dell’intervallo I tale che

( ) 1P X I α∈ = −

44

1 α−

? ?

/ 2α

2 2

,2

2n

nP α

αχ χ

≥ =

2 2

,12

12

nn

P α

αχ χ

−

≥ = −

> qchisq(0.975,3)

[1] 9.348404> qchisq(0.025,3)

[1] 0.2157953

18/12/2014

23

45

Oltre alla convoluzione di due v.a., è possibile calcolare il rapporto di

due variabili aleatorie.

Ne segnaliamo due che useremo nel seguito:

Distribuzione T-Student

2

2

Siano (0,1) e Chi( ) indip. La variabile aleatoria

è detta variabile aleatoria T-student/

n

n

n

Z N n

ZT

n

χ

χ

≈ ≈

=

[ ]

[ ]

0, 2

, 32

n

n

E T n

nVar T n

n

= ≥

= ≥−

William

Sealy

Gosset

46

(0,1)

(0,1)

X NXT

Y NY

=

∼

∼

Per n → ∞

(0,1)T N→

Per 1, n T Cauchy= ∼

Esercizio: Determinare il valore del quantile tale che , /2nt α

( ), /2 , /2 1n n

P t T tα α α− < < = −

18/12/2014

24

47

Bisogna determinare quel valore del range di T tale che

1 α− /2tα

5, /25 e 0.05 2.57n t αα= = ⇒ =

10, /2

10 e 0.15

1.559236

n

t α

α= =

⇒ =

> qt(0.975,5)

[1] 2.570582

> qt(0.925,10)

[1] 1.559236

> qnorm(0.925,0,1)

[1] 1.439531> qt(0.925,30)

[1] 1.477365

> qt(0.925,50)

[1] 1.461994

48

2Se è -student, allora ha legge di Fisher (1, ).n

T T F T n=

Distribuzione F-fisher

222 12 2

/1Infatti

/ /n n

ZTn n

χχ χ

= ⇒

( ) ( )( )

2 2

2 2

Siano e due var. al. con legge chi-quadrato con gradi

di libertà rispettivamente e . La var. al. / / /

ha legge di Fisher di gradi di libertà , .

m n

m nm n m n

m n

χ χ

χ χ

>df(x, m, n) Sintassi in R

18/12/2014

25

49

Al variare di m

Al variare di n