f : R R ; x o R f ´ (x o ) = = x puede acercarse a x o ; desde una única dirección ( eje x ) ...

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f : R R ; xo R

f ´ (xo) = =

x puede acercarse a xo ; desde una

única dirección (eje x)

“incremento en x” : Δx = x – xo

x

ylimx

0 o

o

xx xx

yylim

o

x

y

xo x

informa el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando x xo

RECUERDO: “derivada” o “razón de cambio” de una función escalar

xo

yo

f : R2 R ; Po(xo;yo) R2

PROBLEMA 1: “razón de cambio de f en Po”.

O sea, hallar un instrumento para estudiar el

“comportamiento” del cociente de incrementos

cuando P(x;y) Po(xo;yo) .

PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde ≠ direcciones

Esto impide hallar una “formulación algebraica”

para el “incremento en P ” ¿ ΔP ?

NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR

x x

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f : R2 R ; Po(xo;yo) R2

PROBLEMA 1: hallar la “razón de cambio de f en Po”

O sea, hallar un instrumento para estudiar el “comportamiento” del cociente de incrementos cuando P(x;y) Po(xo;yo) .

PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde ≠s direcciones

Esto impide hallar una “formulación algebraica” para el “incremento en P ” ¿ ΔP ?????

NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR

xo

yo

Resolver el “PROB. 2” es necesario para resolver el “PROB. 1” (razón de cambio de f en Po)

Resolver el “PROB. 2” requiere hallar una formulación alg. para el “incremento en P ”.

Para ello vamos a hacer que P Po , según una “dirección” prefijada ;

la cual damos a través de “un vector”

u

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f : R2 R ; Po(xo;yo) R2

NUEVO: “derivada” o “razón de cambio” de un CAMPO ESCALAR

PROB. 2 formulación alg. del “incremento en P ”.

Consideramos P Po , según una “dirección” prefijada

la cual damos a través de “un vector”

Hablamos así de “derivada direccional de f ”.

u

yo

u

Derivada direccional de f en Po(xo;yo), en la dirección de Dū f (xo;yo) u

xo

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z = f ( x; y) ; Po(xo; yo) R2 ; P (x; y)E(Po)

versor de dirección

r )

ou

yo

u

Derivada direccional de f en Po(xo;yo), en la dirección de Dū f (xo;yo) u

xo

¿ΔP?

2

1

u.yy

u.xx

o

o

r

P(x; y)

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Si λ 0 entonces P Po sobre r ;

obtenemos así la derivada de f en Po pero, en la dirección de ū.

xo 0

yo 0

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Ejemplo f (x; y) = x.y + 2 ; Po (2;1) f (2; 1) = 4

ū = (4; 3) ūo = (4/5; 3/5)

Dū f (2; 1) =

Dū f (2; 1) = =

= = =

=

)1;2(f).1;.2(f53

54

0lim

4]2).1).(.2[(53

54

0lim

4]2..2[25122

510

0lim

25122

510

0

..

lim

2].2[2512

0lim

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P

Luego:

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)2

1;

2

1(u2u 0

2

2

2

142

2

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r

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r

Qo

Q

Cx

ΔzTx

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RESUMEN:

yo

xo

r

u P(x ; y)

yo

xo

u.yy

u.xx

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RESUMEN:

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g(xo+ λ ) = f (xo+ λ ; yo ) g(xo+ λ ) = f (xo+ λ ; yo )

g (xo ) = f ( xo ; yo ) g (xo ) = f ( xo ; yo )

r

Luego :

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Cy : z = 2 – x2 ( y = 1)S

Qo(1;1;1)

Ty mTy = fx (1; 1)= -2

x

y

z

4

x*

z*

Cy2

2

1

1 x*

z*

(y = 1)

(y = 1)

= mTy

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(5 ; 300 ) = - 984.72 (cm3 /atm.)

(5 ; 300 ) = 16.41 (cm3/K)

V = f ( p; T )

V = f ( 5; 300 )

V = f ( p; T )

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V = f ( 5; 300 )

x

y

z

V

p

T

V = f ( p ; 300)

V = f ( p; T )

(5; 300)

3005

(6; 300)

6

(T = 300)

V = 4923.6 (cm3)

V 3923.6 (cm3)

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x

ffx

y

ffy

( fy)y fy y f22

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SON IGUALES !!!!

x

f

x

f

y

f

y

f

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REGLA DE LA CADENA : g: R2 R ; h: R R

(x;y) z = g(x;y) z u=h(z)

f (x; y) = ho g (x; y) f : R2 R

(x;y) u = ho g (x;y)

h´(g(x;y)) . h´(g(x;y)) .

x

f

x

g

y

f

y

g

(x;y)Z=g(x;y) u=h(z)

gh

f

u= h(z) = sen z

g(x; y) = y

x1

u= hog (x;y)u= hog (x;y)

f = ho g