CAMPOS ESCALARES

por: Marta Bonacina

ao: 2015

CAMPOS ESCALARES

Derivadas Direccionales

f : R R ; xo R

f (xo) = =

x puede acercarse a xo ; desde una nica direccin (eje x) incremento en x : x = x xoxo x informa el comportamiento del cociente de incrementos cuando x xoRECUERDO: derivada o razn de cambio de una funcin escalarxoyo f : R2 R ; Po(xo;yo) R2 PROBLEMA 1: razn de cambio de f en Po. O sea, hallar un instrumento para estudiar el comportamiento del cociente de incrementos cuando P(x;y) Po(xo;yo) . PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde direcciones Esto impide hallar una formulacin algebraica para el incremento en P P ?NUEVO: derivada o razn de cambio de un CAMPO ESCALAR x x

f : R2 R ; Po(xo;yo) R2 PROBLEMA 1: hallar la razn de cambio de f en Po O sea, hallar un instrumento para estudiar el comportamiento del cociente de incrementos cuando P(x;y) Po(xo;yo) .

PROBLEMA 2: P puede acercarse a Po desde s direcciones Esto impide hallar una formulacin algebraica para el incremento en P P ?????NUEVO: derivada o razn de cambio de un CAMPO ESCALARxoyoResolver el PROB. 2 es necesario para resolver el PROB. 1 (razn de cambio de f en Po)Resolver el PROB. 2 requiere hallar una formulacin alg. para el incremento en P .Para ello vamos a hacer que P Po , segn una direccin prefijada ; la cual damos a travs de un vector

f : R2 R ; Po(xo;yo) R2 NUEVO: derivada o razn de cambio de un CAMPO ESCALAR PROB. 2 formulacin alg. del incremento en P . Consideramos P Po , segn una direccin prefijada la cual damos a travs de un vector Hablamos as de derivada direccional de f .xo

z = f ( x; y) ; Po(xo; yo) R2 ; P (x; y)E(Po) versor de direccin r )xo P?rP(x; y)

Si 0 entonces P Po sobre r ; obtenemos as la derivada de f en Po pero, en la direccin de .

Ejemplo f (x; y) = x.y + 2 ; Po (2;1) f (2; 1) = 4 = (4; 3) o = (4/5; 3/5)

D f (2; 1) =

D f (2; 1) = =

= = =

=

P

r

rQoQCxszTx

CAMPOS ESCALARES

DERIVADAS DIRECCIONALES

DERIVADAS PARCIALES

RESUMEN:r P(x ; y)

RESUMEN:

g(xo+ ) = f (xo+ ; yo ) g (xo ) = f ( xo ; yo )r Luego :

Cy : z = 2 x2 ( y = 1)SQo(1;1;1)Ty mTy = fx (1; 1)= -2xyz4x*z* (y = 1) = mTy

V = f ( p; T ) V = f ( p; T )

V = f ( p ; 300) V = f ( p; T )(5; 300)3005(6; 300) 6(T = 300)V = 4923.6 (cm3)V 3923.6 (cm3)

SON IGUALES !!!!

REGLA DE LA CADENA : g: R2 R ; h: R R (x;y) z = g(x;y) z u=h(z) f (x; y) = ho g (x; y) f : R2 R (x;y) u = ho g (x;y) h(g(x;y)) . h(g(x;y)) . (x;y)Z=g(x;y)u=h(z) ghfu= hog (x;y)f = ho g