SL2 - Dr Marta Giorgetti Sessione Live 2 Definizione di probabilità, calcolo combinatorio,...

SL2 - Dr Marta Giorgetti

Sessione Live 2

Definizione di probabilità,

calcolo combinatorio,

indipendenza, th. Di Bayes,

variabili aleatorie e momenti.


Esercizio 1: testo

Un esperimento consiste nel lancio di due monete.

Descrivete:

1) lo spazio degli eventi elementari Ω associato all'esperimento;

2) la classe degli eventi A;

3) l'evento E=``si ottiene almeno una volta testa'';

4) rappresentare Ω ed E con un diagramma di Venn.


Esercizio 1: soluzione punto 1

1) Lo spazio Ω è composto dagli eventi elementari :

ω_1={(T,T)}= testa in entrambi i lanci

ω_2={(T,C)}= testa nel primo lancio, croce nel secondo

ω3={(C,T)}= croce nel primo lancio, testa nel secondo

ω_4={(C,C)}= croce in entrambi i lanci


Esercizio 1: soluzione punto 2

2) Poiché Ω è finito, la classe degli eventi può essere la classe di tutti i sottoinsiemi di Ω; quindi A comprende tutti i sottoinsiemi di Ω formati da un solo elemento, tutti i sottoinsiemi di due elementi, tutti quelli di tre, l'insieme Ω (evento certo), e l'insieme (evento impossibile).

Provate a scriverlo !


Esercizio 1: soluzione punto 3 e 4

3) Abbiamo che E={ω_1, ω _2, ω _3}.

4)


Esercizio 2: testo e soluzione

Presso la cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Qual è la probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo?

SOLUZIONE

A=``il primo boero contiene il buono'', B=``il secondo boero contiene il buono''.

La probabilità cercata è P(A∩B), cioè la probabilità che entrambi i boeri

contengano il buono: P(A ∩B)=P(A)P(B|A)=2/30*1/29=0.0023


Esercizio 3: testo

Si consideri un mazzo di 26 carte costituito dalle 13 carte di cuori e dalle 13 di fiori. Si scelgono a caso 5 carte senza reimmissione:

1. calcolare la probabilità che le 5 carte siano tutte di cuori;

2. calcolare la probabilità che le 5 carte siano tutte dello stesso seme.

3. calcolare la probabilità che 3 carte siano di un seme e 2 dell'altro


Esercizio 3: soluzione

1. Il mazzo è diviso per semi, con 13 carte per seme; si pescano 5 carte da 26, quindi:

2. prima il seme era fissato, ora no. Che differenza c‘è?

3. di nuovo, i semi non sono fissati...


Esercizio 4: testo

Peschiamo (in blocco) due carte da un mazzo di carte napoletane.

1. Qual è la probabilità che la seconda carta pescata sia di bastoni?

2. Qual è la probabilità che la prima carta pescata fosse di bastoni se è di bastoni la seconda?



Sia l'evento B_i=``la i-esima carte pescata è di bastoni'', con i=1,2.

Si calcola facilmente la probabilità che la prima carta pescata sia di bastoni:

P(B_1)=10/40=0.25

Non sappiamo subito, al contrario, calcolare la probabilità che la seconda sia di bastoni: in prima battuta risponderemmo infatti dipende: dipende dal risultato della prima estrazione.

Se la prima carta è di bastoni, allora la probabilità che lo sia anche la seconda è P(B_2|B_1)=9/39 e, allo stesso modo P(B_2|B_1c)=10/39.

Possiamo allora calcolare la probabilità richiesta con la legge delle probabilità totali, ottenendo

2)



E’ noto che i gemelli possono essere dei veri gemelli, e in questo caso sono dello stesso sesso, o degli pseudo-gemelli, e in tal caso è 1/2 la probabilità che siano dello stesso sesso. Sia p la probabilità che due gemelli siano veri gemelli. Determinare

1. la probabilità che due gemelli siano veri gemelli sapendo che sono dello stesso sesso;

2. probabilità che due gemelli siano di sesso diverso?

SVOLGIMENTO

Siano gli eventi V=``i due gemelli sono veri gemelli‘ S=``i due gemelli sono dello stesso sesso'‘

1)

2)



Si effettuano due estrazioni con reimmissione da un'urna che contiene 100 palline numerate da 1 a 100. Siano A_1=``la prima pallina estratta è pari'', A_2=``la seconda pallina estratta è pari'', B=``una sola pallina estratta è pari''. Gli eventi A_1, A_2 sono indipendenti.

E gli eventi A_2, B? E A_1, B? I tre eventi A_1, A_2, B sono indipendenti?

SVOLGIMENTO

Le possibili coppie di risultati delle due estrazioni dall'urna sono

Poiché le estrazioni sono effettuate con reimmissione e nell'urna vi è un ugual numero di pari e dispari (50) allora tutte le coppie hanno uguale probabilità uguale ad 1/4. Inoltre:



Ma

pertanto gli eventi A_1, A_2, B sono indipendenti a coppie ma non ndipendenti


Esercizio 7: esempio affidabilità

Sia un sistema idraulico fatto da due condotte che portano acqua da un punto A ad un punto B. Supponiamo che la condotta 1 non sia interrotta con probabilità p_1, e la condotta 2 non sia interrotta con probabilità p_2. Qual è la probabilità che l'acqua possa arrivare da A a B?



Siano gli eventi

R_1=“la condotta 1 non è interrotta”,

R_2=“la condotta 2 non è interrotta”.

Se R_1, R_2 fossero incompatibili,

P(R_1 ∩ R_2)=0,

ma non è ragionevole che lo siano. E’ invece ragionevole pensare che siano indipendenti, cioé

P(R_1 ∩ R_2)=P(R_1)P(R_2).



Caso a: condotte in parallelo.

Si va da A a B se è vero l'evento R_1∩R_2. Per la legge di De Morgan vale

Caso b: condotte in serie

mantenendo l'ipotesi di indipendenza, perché l'acqua possa arrivare da A a B, dovrebbe in ogni caso valere che

Dal momento che la probabilità che l'acqua arrivi è minore se le condotte sono in serie


Esercizio 8: testo e svolgimento

Nella ditta XYZ ogni pratica viene sbrogliata da un impiegato e deve essere vista dal capo ufficio; gli impiegati sono 5 ed il capo ufficio è 1. Per motivi di lavoro, però, ogni impiegato è presente in sede solo il 60% del tempo, mentre il capo ufficio è presente l'80% del tempo. Calcolare l'affidabilità del sistema.

SVOLGIMENTO

La probabilità richiesta è in realtà la probabilità che una pratica venga conclusa. Gli impiegati rappresentano un sistema di 5 elementi in parallelo, ognuno con affidabilità a_l=0.6; nel complesso, quindi, essi rappresentano un elemento di affidabilità


Esercizio 8: svolgimento

Tutto il sistema ufficio si riduce al grafico

da cui si ricava (a_C= affidabilità del capo ufficio=0.8)


Richiami di teoria 1: media e varianza di una v.a.

Media di una v.a. o Valore atteso: sia X una v.a. (dotata di punti di massa xj e legge pX(x) se discreta, di funzione di densità fX(x) se continua). La media, o valore atteso, E[X], è data da:

a patto che queste quantità esistano; Varianza di una v.a.: sia X una v.a. di media X; la varianza di X,

indicata con 2X, o Var(X) è data da:

se queste quantità sono definite.

continua è se ,][

discreta, è se ,][

XdxxxfXE

XxpxXE

XX

jjXjX

continua è se ,

discreta, è se ,

22

22

Xdxxfx

Xxpx

XXX

jXj

XjX


Richiami di teoria 2: mediana, quantili e percentili

Data la funzione di ripartizione FX di una v.a. X la mediana è il minimo valore m tale che

Analogamente si dice quantile q-esimo (0<q<1) della FX di una v.a. X il minimo valore q tale che

Se q viene espresso con una percentuale invece che con un numero q,viene definito 100q-esimo percentile.

2/1:inf cioè 2/1 XX FmmXPmF

FX P X q cioè q inf : FX q


Richiami di teoria 3: momenti

Data una v.a. X, il suo momento di ordine k, ’k è definito come media della sua potenza k-esima (se esiste):

Analogamente il momento centrale di ordine k, k è definito come

La funzione generatrice dei momenti di X è il valore atteso, se esiste, della v.a. (trasformata di Laplace); quindi:

][ kk xE

])[( kXk XE

e tX

discreta. è se ,

continua, è se ,

Xxpetm

Xdxxfetm

iiX

tx

tx

i


Esercizio 1: testo

Quattro autobus portano 148 studenti allo stadio di football; gli autobus portano rispettivamente 40, 33, 25 e 50 studenti. Scegliamo a caso uno degli studenti, e denotiamo con X il numero degli studenti che hanno viaggiato sull’autobus dello studente scelto a caso. Scegliamo a caso ora uno dei conducenti dei bus e denotiamo con Y il numero degli studenti che hanno viaggiato sul suo autobus.

1. Quale tra E[X] ed E[Y] pensate sia più grande? Perché?

2. Si calcolino E[X] ed E[Y]


Esercizio 1- Soluzione

1. A voi: proposte?

2. Che valori può assumere la variabile X?

Quindi siamo capaci di calcolare la sua media:

Un discorso analogo vale per Y:

14850

14825

14833

14840

50

25

33

40

p

p

p

p

X

Y

40 p 14

33 p 14

25 p 14

50 p 14

284.3914850

5014825

2514833

3314840

40 XE



Sono quindi in grado di calcolare anche la media di Y:

Le due variabili assumono valori identici ma con differenti probabilità.

E Y 401

4 33

1

425

1

450

1

4

148

437.


Esercizio 2: testo e soluzione del punti 1

Sia X una variabile aleatoria tale per cui E(X)=1, e Var(X)=5.

Si calcoli: E [(2+X)2]; Var(4+3X);

SVOLGIMENTO

Calcoliamo la media:

Ci manca E[X2], ma possiamo ottenerlo con la formula

Si ottiene perciò

222 44442 XEXEXXEXE

615222 XEXEXEXVar

146144]2[ 2 XE


E la varianza, sarà

.4593034 XVarXVarXVar

Esercizio 2: testo e soluzione del punto2


Esercizio 3: testo

Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono 5. Sia X la v.a. che conta il numero di assi contenuti nelle 5 carte. Dire quali sono le determinazioni di X ed indicare la sua funzione di densità discreta.



X 0 p 4

0

48

5

52

5

0.658;

X 1 p 4

1

48

4

52

5

0.298;

X 2 p 4

2

48

3

52

5

0.0398;

X 3 p 0.00174;

X 4 p 1.847 10 5

Tra le 5 carte pescate si possono presentare 0, 1, 2, 3 oppure 4 assi.

Con quale probabilità?



Tali probabilità rappresentano la densità discreta della variabile X. Si possono allora disegnare i grafici della densità discreta pX(x) e della funzione di ripartizione FX(x):



Sia F(x) una funzione di ripartizione; dire se sono vere o false le seguenti:

limx

F x 0

limx

F x 1

limx

F x

limx

F x 12

limx

F x 0

x1,x2,x1 x2 F x1 F x2 x1,x2 F x1 x2 F x1 F x2 x, lim

h 0F x h F x

, 0 1, limx

F x

, 0 1, limx

F x

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F


Esempio

Si tirano due dadi indipendenti e non truccati, e si denota con la lettera X la v.a. definita dalla loro somma. Ricaviamo la densità discreta di X:

X assume tutti i valori interi da 2 a 12, con probabilità specificate dalle equazioni precedenti; poiché X deve necessariamente assumere uno di questi valori, segue che se varrà che

;6,612

;1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,17

;1,3,2,2,3,14

;1,2,2,13

;1,12

361

366

363

362

361

PXP

PXP

PXP

PXP

PXP

122 i iXS

122

122 .1ii iXPiXPSP



Sia , dove IA(t) è la funzione indicatrice dell’insieme A, la f.d.r. di una v.a. X :

1. Considerando che il grafico di FX(t) è il seguente, dire quali delle seguenti sono vere e quali false:

FX t (3t 2 2t 3)I[0,1] t I[1,] t

P X 1 1

P X 0 0

P X 12 1

2

P 0 X 12 0

P 5 X 8 1

V

V

F

F

V


Esercizio 6: testo

Una v.a. continua ha densità

Determinare la costante di normalizzazione k, e poi calcolareCalcolare inoltre il valore atteso e la mediana di X.

altrove0

40 xkxxf

P X 2 .



k deve essere tale che perciò

Inoltre

1

dxxf

.81

cioè ,182

4

0

4

0

2

kkx

kkxdx

2

0

.41

81

2 xdxXP



Calcoliamo il valore atteso:

Poiché X è continua, la mediana è il valore m tale che . Per si ha:

e perciò la mediana deve soddisfare

.38

381

81

4

0

34

0

x

xdxxXE

F m 0.5

0 x 4

,161

81

0

2 x

xtdtxF

.8 cui da ,5.0161 2 mmmF


Esercizio 7: testo

Sia X una v.a. con densità

Calcolare la funzione generatrice dei momenti di X ed impiegarla per determinarne il valore atteso e la varianza. Verificare poi il risultato con il calcolo diretto.

f x e x , 0 x 1.



La funzione generatrice dei momenti di X è data da

da cui

1

1

1

11

0

1

0

1

t

e

t

edxeeeEtm

txtxtxtX

2

00

2

2

0

,2

1ttt

tmdt

dtm

dt

dXVar

etm

dt

dXE


Esercizi per voi

La funzione

è una funzione di densità? Se lo è, calcolatene la corrispondente funzione di ripartizione.

Determinare la mediana ed il terzo quartile delle variabili aleatorie definite dalle seguenti funzioni di densità:

Determinare il k-esimo quantile mp ( con ) in funzione di p, per la variabile aleatoria di densità

Sapendo che calcolare

altrove0

103 2 xxxf

f x e x , x 0;

f x 1, 0 x 1.

p k100

f x 2e 2x , x 0.

E X 2, E X 2 8,

].1[ e ,42 222 XXEXE


Esercizi da risolvere

Per migliorare il rendimento dell'ufficio il proprietario della XYZ promuove un impiegato al ruolo di vice-capo ufficio: senza modificare il suo lavoro esterno, quando si trova in sede può vistare le pratiche sbrigate dagli altri impiegati. Risulta conveniente questa modifica dell'organico?

[sì]


1. Mostrate che dati due eventi A e B vale

2. Si supponga di osservare la quotazione di due titoli X ed Y all'inizio ed alla fine del mese. Siano A e B rispettivamente gli eventi ``la quotazione di X ha registrato un rialzo (nel mese)'', e ``la quotazione di Y ha registrato un rialzo (nel mese)''. Sapendo che

Valutare la probabilità




3. E’ più probabile ottenere un "6" in tre lanci di un dado equilibrato oppure due "6" in sei lanci?

[Sol: un 6 in 3 lanci]

4. Sia M l'evento "il paziente è ammalato", + e - gli eventi "il test è positivo", "il test è negativo". Siano inoltre P(M)=0.01, P(+|M)=0.99,

P(-|Mc)=0.04.

Determinare P(M|+).

[Sol: 0.2]



5) Un sistema è composto da n macchine che lavorano in parallelo. Si supponga con probabilità p che una specifica macchina si guasti nell'intervallo [0,T] non dipenda dalla macchina presa in considerazione e che le rotture siano indipendenti. Determinare la probabilità che una prefissata macchina sia guasta al tempo T, nell'ipotesi che il sistema sia in funzione a quell'istante.

6) Un mazzo da 36 carte è diviso in due mazzi da 18 carte ciascuno. Qual è la probabilità che i due mazzi abbiano lo stesso numero disemi rossi e neri?

[Sol: 0.26]



7) L'urna I contiene due palline bianche e una nera; l'urna II contiene una pallina bianche e cinque nere. Una pallina viene estratta dall'urna I e, senza guardarla, posta nell'urna II. Una pallina viene estratta dell'urna II ed è bianca. Qual è la probabilità chela pallina trasferita sia stata bianca?

[Sol: 4/5]

8) Tre addetti, indipendentemente l'uno dall'altro sono intenti a decifrare un messaggio cifrato. Le loro probabilità di riuscire a farlo sono rispettivamente 1/10, 1/3, 1/2. Qual è la probabilità che il messaggio venga decifrato?

[Sol: 7/10]

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