SL2 - Dr Marta Giorgetti Sessione Live 2 Definizione di probabilità, calcolo combinatorio,...

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SL2 - Dr Marta Giorgetti Sessione Live 2 Definizione di probabilità, calcolo combinatorio, indipendenza, th. Di Bayes, variabili aleatorie e momenti.

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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Sessione Live 2 Definizione di probabilit, calcolo combinatorio, indipendenza, th. Di Bayes, variabili aleatorie e momenti.
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 1: testo Un esperimento consiste nel lancio di due monete. Descrivete: 1) lo spazio degli eventi elementari associato all'esperimento; 2) la classe degli eventi A; 3) l'evento E=``si ottiene almeno una volta testa''; 4) rappresentare ed E con un diagramma di Venn.
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 1: soluzione punto 1 1) Lo spazio composto dagli eventi elementari : _1={(T,T)}= testa in entrambi i lanci _2={(T,C)}= testa nel primo lancio, croce nel secondo 3={(C,T)}= croce nel primo lancio, testa nel secondo _4={(C,C)}= croce in entrambi i lanci
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 1: soluzione punto 2 2) Poich finito, la classe degli eventi pu essere la classe di tutti i sottoinsiemi di ; quindi A comprende tutti i sottoinsiemi di formati da un solo elemento, tutti i sottoinsiemi di due elementi, tutti quelli di tre, l'insieme (evento certo), e l'insieme (evento impossibile). Provate a scriverlo !
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 1: soluzione punto 3 e 4 3) Abbiamo che E={_1, _2, _3}. 4)
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 2: testo e soluzione Presso la cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Qual la probabilit di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? SOLUZIONE A=``il primo boero contiene il buono'', B=``il secondo boero contiene il buono''. La probabilit cercata P(AB), cio la probabilit che entrambi i boeri contengano il buono: P(A B)=P(A)P(B|A)=2/30*1/29=0.0023
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 3: testo Si consideri un mazzo di 26 carte costituito dalle 13 carte di cuori e dalle 13 di fiori. Si scelgono a caso 5 carte senza reimmissione: 1. calcolare la probabilit che le 5 carte siano tutte di cuori; 2. calcolare la probabilit che le 5 carte siano tutte dello stesso seme. 3. calcolare la probabilit che 3 carte siano di un seme e 2 dell'altro
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 3: soluzione 1.Il mazzo diviso per semi, con 13 carte per seme; si pescano 5 carte da 26, quindi: 2. prima il seme era fissato, ora no. Che differenza c? 3.di nuovo, i semi non sono fissati...
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 4: testo Peschiamo (in blocco) due carte da un mazzo di carte napoletane. 1. Qual la probabilit che la seconda carta pescata sia di bastoni? 2. Qual la probabilit che la prima carta pescata fosse di bastoni se di bastoni la seconda?
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 4: soluzione Sia l'evento B_i=``la i-esima carte pescata di bastoni'', con i=1,2. Si calcola facilmente la probabilit che la prima carta pescata sia di bastoni: P(B_1)=10/40=0.25 Non sappiamo subito, al contrario, calcolare la probabilit che la seconda sia di bastoni: in prima battuta risponderemmo infatti dipende: dipende dal risultato della prima estrazione. Se la prima carta di bastoni, allora la probabilit che lo sia anche la seconda P(B_2|B_1)=9/39 e, allo stesso modo P(B_2|B_1 c )=10/39. Possiamo allora calcolare la probabilit richiesta con la legge delle probabilit totali, ottenendo 2)
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 5: testo e soluzione E noto che i gemelli possono essere dei veri gemelli, e in questo caso sono dello stesso sesso, o degli pseudo-gemelli, e in tal caso 1/2 la probabilit che siano dello stesso sesso. Sia p la probabilit che due gemelli siano veri gemelli. Determinare 1. la probabilit che due gemelli siano veri gemelli sapendo che sono dello stesso sesso; 2. probabilit che due gemelli siano di sesso diverso? SVOLGIMENTO Siano gli eventi V=``i due gemelli sono veri gemelli S=``i due gemelli sono dello stesso sesso' 1) 2)
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 6: testo e soluzione Si effettuano due estrazioni con reimmissione da un'urna che contiene 100 palline numerate da 1 a 100. Siano A_1=``la prima pallina estratta pari'', A_2=``la seconda pallina estratta pari'', B=``una sola pallina estratta pari''. Gli eventi A_1, A_2 sono indipendenti. E gli eventi A_2, B? E A_1, B? I tre eventi A_1, A_2, B sono indipendenti? SVOLGIMENTO Le possibili coppie di risultati delle due estrazioni dall'urna sono Poich le estrazioni sono effettuate con reimmissione e nell'urna vi un ugual numero di pari e dispari (50) allora tutte le coppie hanno uguale probabilit uguale ad 1/4. Inoltre:
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 6: soluzione Ma pertanto gli eventi A_1, A_2, B sono indipendenti a coppie ma non ndipendenti
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 7: esempio affidabilit Sia un sistema idraulico fatto da due condotte che portano acqua da un punto A ad un punto B. Supponiamo che la condotta 1 non sia interrotta con probabilit p_1, e la condotta 2 non sia interrotta con probabilit p_2. Qual la probabilit che l'acqua possa arrivare da A a B?
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 7: soluzione Siano gli eventi R_1=la condotta 1 non interrotta, R_2=la condotta 2 non interrotta. Se R_1, R_2 fossero incompatibili, P(R_1 R_2)=0, ma non ragionevole che lo siano. E invece ragionevole pensare che siano indipendenti, cio P(R_1 R_2)=P(R_1)P(R_2).
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 7: soluzione Caso a: condotte in parallelo. Si va da A a B se vero l'evento R_1R_2. Per la legge di De Morgan vale Caso b: condotte in serie mantenendo l'ipotesi di indipendenza, perch l'acqua possa arrivare da A a B, dovrebbe in ogni caso valere che Dal momento che la probabilit che l'acqua arrivi minore se le condotte sono in serie
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 8: testo e svolgimento Nella ditta XYZ ogni pratica viene sbrogliata da un impiegato e deve essere vista dal capo ufficio; gli impiegati sono 5 ed il capo ufficio 1. Per motivi di lavoro, per, ogni impiegato presente in sede solo il 60% del tempo, mentre il capo ufficio presente l'80% del tempo. Calcolare l'affidabilit del sistema. SVOLGIMENTO La probabilit richiesta in realt la probabilit che una pratica venga conclusa. Gli impiegati rappresentano un sistema di 5 elementi in parallelo, ognuno con affidabilit a_l=0.6; nel complesso, quindi, essi rappresentano un elemento di affidabilit
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Esercizio 8: svolgimento Tutto il sistema ufficio si riduce al grafico da cui si ricava (a_C= affidabilit del capo ufficio=0.8)
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Richiami di teoria 1: media e varianza di una v.a. Media di una v.a. o Valore atteso: sia X una v.a. (dotata di punti di massa x j e legge p X (x) se discreta, di funzione di densit f X (x) se continua). La media, o valore atteso, E[X], data da: a patto che queste quantit esistano; Varianza di una v.a.: sia X una v.a. di media X ; la varianza di X, indicata con 2 X, o Var(X) data da: se queste quantit sono definite.
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  • SL2 - Dr Marta Giorgetti Richiami di teoria 2: mediana, quantili e percentili Data la funzione di ripartizione F X di una v.a. X la mediana il minimo valore m tale che Analogamente si dice quantile q-esimo (0