5. Momenti, forze centrali e gravitazione

Definizione di momento di una forza

Si definisce momento della forza F rispetto al polo O la quantità data dal prodotto vettoriale

τ (O) ≡

r × F

il cui modulo si misura in Nm.

- Il modulo di τ (O) è semplicemente l’intensità della forza

F moltipicata per il braccio b,

ovvero la distanza della retta d’azione di F dal polo O:

�

τ (O ) = r F sinθ = bF

- In alternativa, il modulo del momento si può vedere come il prodotto di r per la

componente della forza perpendicolare a

�

r , cioè

�

F sinθ .

- Attenzione a non scambiare l’ordine dei fattori nella definizione, perchè il prodotto

vettoriale cambia segno!

- Se la retta d’azione di F passa per O il momento è ovviamente nullo!

- Fisicamente, il momento esprime la tendenza della forza F a indurre una rotazione

attorno al polo O

- Il verso del vettore fornito dal prodotto vettoriale è associato al senso di rotazione indotta

dalla forza

Definizione di momento angolare (o della quantità di moto)

Si definisce momento angolare di una particella di massa m con quantità di moto p = m v la

seguente grandezza vettoriale, calcolata rispetto al polo O:

L (O ) ≡ r × p

il cui modulo si misura in kgm2/s.

NOTA: la definizione di momento della quantità di moto è esattamente analoga a quella di

momento della forza. Valgono tutte le considerazioni fatte prima per il momento della forza.

Fisicamente, il momento angolare serve a quantificare il concetto di “rotazione attorno a un

punto”. Questo fatto è evidente se si calcola la rapidità di variazione del momento angolare,

che risulta uguale al momento della forza rispetto a O:

d L (O)

dt=

d r dt

× p + r × d p

dt= r × F = τ (O)

essendo v × p = 0 in quanto i due vettori sono paralleli.

Forze centrali

Una classe importante è rappresentata dalle forze centrali, cioè che agiscono su un corpo in

modo che la loro retta d’azione sia sempre diretta verso un punto ben definito dello spazio

(“centro” della forza). Per esempio, le forze gravitazionali ed elettriche sono centrali.

Assumendo come polo O per il calcolo dei momenti il “centro” della forza, siccome questa è

necessariamente parallela al vettore r , si ha

d L (O)

dt= r × F = τ (O ) = 0

Quindi le forze centrali conservano il momento angolare.

Inoltre, una forza centrale che dipende solo dalla distanza r dal centro O (come quelle

elettriche e gravitazionale) è anche conservativa.

Sia infatti F ( r ) = f (r) u r :

dW = F • d r = f (r) u r • (dr u r + rdθ u θ ) = f (r)dr

WA→B = f (r )drrA

rB

∫ = − U(rB) −U(rA)[ ]

essendo U(r) evidentemente la primitiva di f(r): ciò dimostra che il lavoro dipende solo dalla

posizioni iniziale e finale, non dalla traiettoria. Nel calcolo si è convenientemente scomposto

lo spostamento infinitesimo d r nelle sue componenti radiale (parallela alla forza) e

trasversale (normale alla forza).

Esempio: calcolare l’accelerazione angolare di un pendolo costituito da una massa m appesa a

un filo inestensibile e di massa trascurabile. Supporre che il pendolo parta da fermo in posizione orizzontale, e scenda nel piano verticale.

Il momento angolare rispetto a O per un angolo generico è:

L(O )(θ ) = lmv(θ )

Poichè la forza peso dà momento rispetto a O mentre la tensione del filo è “centrale”:

τ (O )(θ) = mgl cosθ

L’equazione di rotazione è quindi

dL(O)

dt= lm dv

dt= τ (O) = m gl cosθ

Introducendo la velocità angolare v =ω l e l’accelerazione angolare α = dω dt :

α =glcosθ

Questo fornisce l’andamento di α in funzione dell’angolo: inizialmente α è massima, mentre

è minima quando il pendolo passa per il punto più basso, iniziando a decelerare.

Gravitazione

Secondo la legge di gravitazione universale di Newton, la forza di attrazione sentita da un

corpo puntiforme di massa m a causa di un secondo corpo puntiforme di massa M può essere

espressa come

F = −G M m

r2 u r

dove G=6.67•10-11 Nm2/kg2 è la costante di gravitazione universale.Per la legge di azione-reazione, M sente una forza uguale e opposta causata da m.

La legge di gravitazione universale fu inizialmente suggerita dall’osservazione del moto della

Luna attorno alla Terra, approssimandone la traiettoria con una circonferenza. Consideriamo

un corpo che cade in prossimità della superficie terrestre: la sua accelerazione è g. Nota la

misura del raggio dell’orbita lunare RL per via geometrica, essendo anche noto il periodo di

rotazione (mese) lunare, si ha la misura dell’accelerazione orbitale della Luna, ω2 RL .

Il passo concettuale profondo compiuto da Newton è stato di interpretare sia il moto lunare

orbitale che quello del corpo che cade sulla Terra come effetto dello stesso fenomeno di

attrazione gravitazionale: supponendo che questa forza agisca con l’inverso del quadrato

della distanza (dall’analisi del moto dei pianeti svolta da Keplero), detto RT il raggio della

Terra si deve verificare che il rapporto fra le accelerazioni “di movimento” deve uguagliare il

rapporto delle accelerazioni “dettate dalla forza gravitazionale”:

aLaT

moto =ω 2 RLg

=RT2

RL2 =

aLaT

forza

Essendo effettivamente verificata quest’uguaglianza, come si può notare inserendo i valori

numerici per i vari parametri, si ha una prima indicazione che la legge di gravitazione

universale è corretta.

Distinzione tra massa inerziale e gravitazionale

A rigore, le masse che si inseriscono nella legge di gravitazione sarebbero “cariche

gravitazionali”, che non necessariamente coincidono con le masse inerziali determinate negli

esperimenti “tipo urto”, come visto nell’introduzione alla dinamica.

Sia allora

�

M* la carica gravitazionale della Terra e

�

m* quella di una generica massa di prova,

di cui misuriamo l’accelerazione a di caduta libera. Secondo la legge della dinamica, il prodotto (massa inerziale m) • (accelerazione a) = (forza fisica agente su m) è

�

ma = G* m* M*

RT2

Siccome è verificato sperimentalmente con grande accuratezza che a non dipende dal tipo di massa di prova (cioè a è una costante per tutti i corpi in caduta libera), possiamo osservare

che la quantità

�

mm* a = G* M*

RT2

è una costante, pertanto massa inerziale e “carica o massa gravitazionale” devono stare in un

rapporto fisso,

�

γ = m m* . Questo equivale a scrivere la legge di gravitazione universale

servendosi delle masse inerziali al posto di quelle gravitazionali:

�

F = G*

γ 2mMRT2 = G mM

RT2

e la costante di gravitazione G, fisicamente misurabile in base all’analisi del moto dei corpi,

include intrinsecamente il rapporto γ fra massa inerziale e gravitazionale.

Leggi delle orbite (di Keplero)Furono dedotte sulla base dei dati misurati per il moto dei pianeti. Consideriamo per

semplicità un corpo di massa m in orbita attorno ad un secondo di massa M>>m (es. Sole).1. Le orbite possibili in sistemi a due corpi sono “sezioni coniche” (ellissi, parabole,

iperboli). Il corpo con M>>m occupa un fuoco dell’orbita. La dimostrazione del caso generale è laboriosa. L’orbita circolare, facilmente dimostrabile, è un semplice caso

particolare.2. La massa m spazza aree uguali in tempi uguali. Questa indicazione all’apparenza astrusa

fu di grande importanza per stabilire la natura “centrale” della forza gravitazionale.

3. Il rapporto tra quadrato del periodo orbitale (per un’orbita chiusa, cioè ellittica) e il cubo

del semiasse maggiore dell’orbita non dipende da m, ma è costante per tutti i pianeti.

Questo risultato contiene la prova che la legge di gravitazione effettivamente è

proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della

distanza.

Proviamo per esercizio la seconda legge di Keplero. Introduciamo il concetto di velocità

areolare (area spazzata dal vettore posizione r nell’unità di tempo):

dAdt

= r(rdθ) / 2dt

= r2

2dθdt

Notiamo che il momento angolare rispetto a O (centro attrattore) è proporzionale alla velocità

areolare, quindi anch’esso è costante:

L(O ) = rmvθ = r mrdθdt

=mr 2 dθdt

= 2m dAdt

Questo mostra che nel moto lungo l’orbita la forza gravitazionale applicata a m deve essere

necessariamente centrale per mantenere nullo il suo momento rispetto a O e quindi per

mantenere costante momento angolare e velocità areolare (quella effettivamente misurata da

Keplero).

La terza legge di Keplero può essere verificata in maniera immediata nel caso dell’orbita

circolare. Usando la legge della dinamica e attribuendo il moto alla forza gravitazionale

(radiale, diretta al centro dell’orbita):

m a =G MmR2

ed essendo il moto circolare, a =ω 2 R . Ricordiamo che ω = 2π /T . Quindi:

4π 2 RT 2

= G MR2

R3

T 2=G M

4π 2

Pertanto il rapporto R3/T2 è costante per tutti i corpi in orbita a uno stesso attrattore di massa M (per esempio per tutti i pianeti nel sistema solare, o tutti i satelliti della Terra).

Si noti che abbiamo automaticamente verificato che l’orbita circolare (con velocità costante in modulo) è compatibile con la legge di gravitazione universale (caso particolare della I

legge di Keplero).

Energia potenziale gravitazionaleAvendo dimostrato in precedenza che una forza centrale dipendente solo dalla distanza dal

centro è conservativa, possiamo determinare immediatamente l’espressione dell’energia potenziale gravitazionale nel caso più generale:

WA→B = −GMm drr 2rA

rB

∫ = −−GM mrB

−−GMm

rA

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

U(r) = −GMmr

Apparentemente questa non sembra nemmeno lontana parente della familiare U(y) = mg y

valida nell’approssimazione di forza e accelerazione gravitazionali costanti. Il punto è che

tale approssimazione vale solo in prossimità della superficie terrestre, cioè a distanza r≈RT dal centro della Terra. Se teniamo conto di piccoli spostamenti verticali y rispetto a tale distanza

di riferimento (in su o in giù), cioè r=RT +y, possiamo scrivere

U(y) = −GMmRT + y

≈ −GMmRT

1 − yRT

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ = −GMmRT

+GMm yRT2

Si è usata l’approssimazione 1/(1+x)≈1-x valida per |x|<<1. Si noti che il primo termine del

membro di destra è una costante e pertanto non è significativo (l’energia potenziale è definita

a meno di una costante), mentre il secondo è esattamente mgy.

Esempio: calcolo della velocità di fuga vF che occorre per uscire definitivamente

dall’influenza gravitazionale di un corpo di massa M e raggio R.

Basta determinare la velocità che deve avere una generica massa m a distanza R dal centro di

attrazione per arrivare a distanza infinitamente grande con velocità minima in modulo, cioè

nulla:12mvF

2 −GMmR

= 0

Si noti che anche l’energia potenziale si annulla all’infinito. Quindi:

vF =2GMR

Il risultato non dipende dalla massa m, ma solo da quella dell’attrattore M.

Esempio: un satellite sente una forza frenante da parte degli strati più alti dell’atmosfera, pari

a f = −k v Supponendo che l’azione di tale forza sia sufficientemente debole da mantenere

l’orbita di forma circolare in prima approssimazione, determinare come si riduce il diametro dell’orbita in funzione del tempo.

L’energia totale per un satellite in orbita circolare di raggio r si trova così:

E(r) = 12mv2 − GMm

r= −

GMm2r

(essendo mv2 / r = GM m / r 2 )

Il tasso di diminuzione dell’energia totale (ossia la potenza dissipata) è chiaramente dovuto

alla forza frenante, cioè:

dEdt

= f • v = −k v2

dEdt

=dEdr

drdt

= −k v2

GMm2 r2

drdt

= −k GMr

drdt

= −2k r

r(t) = r(0)e−2k t

Quindi l’orbita decade secondo una legge esponenziale, tanto più rapidamente quanto

maggiore è la costante k. Si noti che, al contrario, la velocità aumenta esponenzialmente

mentre m precipita verso il pianeta!