1

MUKAVEMET

FORMÜLLER, TABLOLAR VE

ŞEKĐLLER.

2008/09

2D Statik Denge Denklemleri:

∑ ∑ ∑ ==+↑=+→ 0M 0F 0F yx

Eksenel Gerilme

A

P=σ

σ – Normal gerilme P – Kuvvet A – Kesit Alanı

Ortalama Kayma Gerilmesi

A

Vort

=.τ , τ – Kayma Gerilmesi

V – kesme kuvveti A - kesit alanı

Emniyetli Gerilme (Allowable Stress) – Emniyet Katsayısı (s) σs ; Sınır gerilme, malzemenin hasarlanmadan taşıyabileceği en büyük gerilme ( standart deneylerle saptanır) σ ; dış yüklerin etkisinde elemanda oluşan gerilme (hesaplanan)

(veya müsaade edilen tasarım gerilmesi =emniyetli gerilme)

Genleme (strain)

0L

δε =

ε – genleme (birim şekil değiştirme) δ – uzunluktaki değişim

L0 – ilk (original) uzunluk

Kayma genlemesi (shear strain)

θπ

γ −=2

γ – kayma genlemesi

L/δ -küçük açılar için

Hooke Kanunu

εσ E= , σ – Normal gerilme

E – Elastisite modülü

ε - genleme Rezilyans Modülü

Eu r /2

1

2

1 2plplpl σεσ ==

Tokluk (Modulus of Toughness), ut gerilme-genleme eğrisi altında kalan toplam alan.

Poisson oranı

boyuna

enine

εε

ν −=

Kayma gerilmesi ile Hooke Kanunu

τ = Gγ , τ – kayma gerilmesi G - rijidlik modülü γ - kayma genlemesi

sabitler arasındaki ilişki ;

( )ν+=

12

EG

Eksenel Yükleme-Deformasyon

( )( )

∫=L

dx

ExA

xP

0δ

Uzunluktaki değişim (A=sabit ve E=sabit ise)

AE

PL=δ

Değişik kısımlardan oluşan eksenel yükler etkisinde uzunluktaki değişim

∑=

="

iii

ii

EA

LP

1

δ

δ uzunluktaki değişim P belirli bir kısımdaki yük L belirli bir kısmın uzunluğu A belirli bir kısmın kesit alanı E belirli bir kısmın elastisite modülü N belirli kısım sayısı

Isıl genleme ve şekil değiştirmeler

δ = α.∆T. L δ uzunluktaki değişim α ısıl genleşme katsayısı ∆T sıcaklıktaki değişim L belirli bir kısmın uzunluğu Sıcaklık nedeniyle iki şekilde genleme oluşabilir ; 1. Gerilme olmaksızın genleme 2. Gerilmeli genleme

Statikçe belirsiz eksenel yükler 1. Durum 1 :

21 δδ =

2. Durum 2: geometric şartlar

21

2

1

1

LLL +=

δδ

3. Durum 3: δAt + δBt − δboşluk = δA + δB

Eksenel elemanların integrasyonu

( ) ( ) 0=+ xq

dx

xdF [ 1 ]

( ) ( )

∆−= xTdx

duAExF α [ 2 ] (here,

dx

du=ε )

.em

s

sσ

σσ =≤

3

Burulma (Torsion) Kayma Gerilmesi (Shear Stress)

J

Tr=τ

τ kayma gerilmesi r dış yarıçap T Burulma momenti (TORK, torque (F-L)) J polar atalet momenti

[ ] milboşiçi rrJ

mildoluici rJ

io

44

4

2

2

−=

=

π

π

GÜÇ N = Tω = Τ 2 π f, N güç (kuvvet-uzunluk/zaman) T Tork (Burulma Momenti) ω açısal hız rad/s f frekans Hz.

Burulma Açısı

( )( )

∫=L

dx

GxJ

xT

0θ

Sabit kesit için

JG

TL=θ

Değişik kesitlerden oluşan elemanlar için

∑=

="

iii

ii

GJ

LT

1

θ

θ burulma açısı (radians) T belirli bir kısımdaki tork L belirli bir kısımdaki J belirli bir kısmın polar atalet momenti G belirli bir kısmın rijitlik modülü N belirli bölüm sayısı

Statikçe belirsiz Tork Uygunluk şartları 1. Case 1 : θ1 + θ2 = 0 & Τ1 + Τ = Τ2 2. Case 2: θ1 = θ2 & Τ1 + Τ2 =Τ

Kesme kuvveti (KK) ve Eğilme Momenti (EM) Diy. 1. mesnet tepki kuvvetlerini bulun 2. Find V(x) 3. Find M(x) , which is the area under the shear diagram

( ) ( )∫ ∫=∆−=∆ dxxVM & dxxwV

4. Slope on the moment diagram is the value of the shear diagram.

( ) ( )xVdx

dMxw

dx

dV=−= &

Değişik yükler için SĐNGÜLARĐTE FONKSĐYONLARI.

Kuvvet Function F(x) Moment < x – a >

-2 -M < x – a>

-2

Tekil kuvvet < x – a >-1

-F < x – a>-1

Yayılı yük < x – a >0

-w < x – a>0

Üçgen yayılı

yük < x – a >

1 -(w/L) < x – a>

1

Kuvvet V(x) M(x) Moment -M < x – a >

-1 -M < x – a>

0

Tekil kuvvet - F < x – a >0

-F < x – a>1

Yayılı yük -w < x – a >

1 -(w/2) < x – a>

2

Üçgen yayılı yük

-(w/2L)< x – a >2

-(w/6L) < x – a>3

Atalet Momenti Atalet momenti ve ağırlık merkezi bulmak için tablo

niAi yi niAiyi niIi di di2niAi

Ai Kesit alanı yi Belirli bir bölgenin ağırlık merkezi Ii atalet momenti

Prizmatik kesitler için , 3

12

1bhI =

Içi dolu dairesel kesit, 4

4rI

π=

Içi boş dairesel kesit, [ ]44

4io rrI −=

π

di ağırlık merkezinden olan uzaklık ( )yyi −

ni Elastisite modulleri oranı

j

i

EE

Ağırlık Merkezi—(T.E. nin yeri )

∑

∑

=

=="

i

ii

"

i

iii

An

yAn

y

1

1

Atalet Momenti ;

∑∑==

+="

i

iii

"

i

ii dAnInI1

2

1

"mdakdn

kW"T .....

.)/(

)(9550 =≅

4

Elastik Eğilme gerilmesi (Flexural Stress)

n

I

My−=σ

σ eğilme gerilmesi M eğilme momenti I atalet momenti y T.E. den uzaklık n elastisite modulleri oranı

Kesit modülü – Section Modulus

maxy

IS zz

zz =

Izz z eksenine gore atalet momenti ymax T.E. den uzaklık

Kayma (kesme) gerilmesi

Ib

VQ=τ

V KK diy. dan alınan kesme kuvveti I moment of inertia b kesilen kesit kalınlığı Q birinci moment

( )∑∑==

−=="

i

ii

"

i

iiyyAdAQ

11

[ ]33

3

2io rrQ −= -- hollow cylinder at neutral axis

Kayma akısı

I

VQq =

q kayma akısı (kuvvet/uzunluk ) V kesme kuvveti Q birinci moment (can include n*A) I moment of inertia

Bağlantı elemanları arası mesafe

q

Fns

.=

s Bağlantı elemanları arası mesafe n bağlantı elemanı sayısı F bir elemana gelen kuvvet q kayma akısı

Basınçlı kaplar

1. küresel kaplar t

ekt 2

Pr. == σσ

2. silindirik kaplar tt

tek

Pr&

2

Pr. == σσ

σek. eksenel (boyuna ) gerilme

σt teğetsel gerilme P iç basınç r iç yarıçap t cıdar kalınlığı

Bileşik yükleme

1. Eksenel Yükleme

A

P=σ

2. Burulma

J

Tr=τ

3. Eğilme Gerilmesi

I

My−=σ

4. Kesme gerilmesi,

Ib

VQ=τ

5. Đç Basınç tt

tek

Pr&

2

Pr. == σσ

Süperpozisyon prensibi 1. Her bir yük için ayrı ayrı gerilme hesaplayın 2. Sonra bulduğunuz gerilmeleri toplayın

Düzlem gerilme (2D) Dönüşüm Đfadeleri

Đşaret Kuralı

Açı θ (+) SYT ( - ) SY

Kayma gerilmesi τxy (+) SYT (Düşey Dz. de) ( - ) SY (Dşy Dz. de)

Normal gerilme σ (+) Çekme ( - ) Basma

5

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )θτθσσ

τ

θτθσσσσ

σ

θτθσσσσ

σ

2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos22

xy

yx

xy

xy

yxyx

y

xy

yxyx

x

+

−−=′

−

−−

+=′

+

−+

+=′

Asal Gerilmeler

2

2

21

22, xy

yxyx

pp τσσσσ

σσ +

−±

+=

or 03 Pp −=σ

Asal Düzlem ve EBK düzlemi Açıları

( ) ( )

−−=

−=

xy

yx

s

yx

xy

p

τ

σσθ

σσ

τθ

22tan,

22tan

σx Düsey dz. de x yönünde etki eden normal gerilme

σy Yatay dz. de y yönünde etki eden normal

τxy Düşey dz. de etki eden kayma gerilmesi

σx’, σy’, τxy’ ; Dönüştürülmüş gerilmeler (Note τxy’ is acting on the Düşey Dz.)

θp Asal gerilme dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı

θs max. Kayma gerilmesi. dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı

σp1,p2 Asal gerilmeler

Mohr Dairesi

Grafik Yöntem.

yarıçap , 2

2

2xy

yxR τ

σσ+

−=

2)( .

yx

orterkezm

σσσ

+=

σp1 = merkez (σort) + R

σp2 = merkez (σort)- R

σn = merkez (σort) + Rcos(θ’)

τn = Rsin(θ’)

τmax.(2D) = R

En Büyük Kayma (EBK) Gerilmesi

2,

2 .

minmax

3max

yx

ort

pp

D

σσσ

σστ

+=

−=−

where, σ3 or σz =0 dır basınçlı kabın iç yüzeyi hariç, iç yüzeyde

σ3= - p = iç basınç. Mohr Dairesinin Çizimi

1. Dairenin merkezinin koordinatlarını (σort. ; 0) bulun 2. Dairenin yarıçapını bulun (R= ……..) 3. Daireyi çizin. 4. Dairenin yarıçapı en büyük kayma gerilmesi, dairenin

yatay ekseni kestiği noktalar asal gerilmelerdir. Genel Hooke Yasası bu ifadelerde ; Birim Hacımdaki değişim

( )[ ]νσσσ

εεε 210

−++

=++=∆

=EV

Ve

zyx

zyx

Düzlem Gerilme (2D) Hali

Gerilmeler yardımıyla genlemelerin bulunması

( ) [ ]

( ) [ ]( )

xyxy

xy

xy

z

yx

x

xyyxyy

yxxyxx

GG

E

E

E

E

E

γττ

γ

σσσν

ε

νεεν

σνσσε

νεεν

σνσσε

=⇒=

=⇒+

−=

+−

=⇒−=

+−

=⇒−=

0

1

11

1

2

2

EEE

EEE

EEE

zyx

z

zyx

y

zyx

x

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

+−−=

−+−=

−−+=

zxzxyzyzxyxyGGG γτγτγτ === ,,

( )ν+=

12

EG

6

Elastik Eğri ve Eğim -Sehim Hesapları Sehimi bulmak için integre edilecek moment ifadesi

( ) ( )xMxydx

dEI

eğğrilikIE

M

=

==

2

2

(1

ρκ

elastik eğri denklemi

y(x) x’ deki yer değiştirme M (x) x’ deki moment E Modulus of elasticity I Moment of inertia Sınır şartları kullanılarak problem çözülür Using the slope or deflection.

v(x) Displacement at location x

w (x) Force at location x

V (x) Shear at location x

M (x) Moment at location x

E Modulus of elasticity

I Moment of inertia

Kirişin sehimini hesaplamak için süperpozisyon Kirişin herhangi bir noktasındaki eğimi ve sehimi hesaplamak için tablolar kullanılır. Statikçe belirsiz kirişler Đki yöntem var; 1. Moment ifadesinin integrasyomu

(a) yayılı yük fonksiyonundan başlanabilir (b) Đntegrasyon sabitlerini bulmak için sınır değer şartları

uyugulanır.

2. Superposition Yöntemi; (a) Problem static olarak belirli parçalara bölünür.

(b) Ve sınır değer çözümlerinden faydalanarak asıl problem çözülür.

Kirişlerin Burkulması

2

2

2

2

2

2

=⇒

==

r

L

E

r

L

EA

L

EIP

e

kr

ee

kr

πσ

ππ

Pkr kritik burkulma yükü

Le Efektif uzunluk

σkr kritik burkulma gerilmesi A kesit alanı E Modulus of elasticity I Atalet Momenti (Moment of inertia) r atalet yarıçapı (radius of gyration)

A

Ir =

L/r narinlik oranı Efektif uzunluklar Efektif uzunluk kolonun sınır şartlarına bağlıdır.

Fixed – Fixed translation Le=1.0L

Bir ucu sabit, bir ucu serbest

Her iki ucu pimli

Bir ucu sabit, bir ucu pimli

Her iki ucu sabit

)()(

)()(.

)(.

)(

4

4

3

3

2

2

sabitEIyEIdx

ydEIqYük

sabitEIyEIdx

ydEIVKuvvetiK

yEIdx

ydEIMMomentiE

dx

dyeğğim

ysehimçokme

′′′′==−

′′′==

′′==

=

=

7

Standart Katsayılar Bazı malzemelerin fiziksel özellikleri:

TEORĐK GERĐLME YIĞILMA FAKTÖRÜ (Kt) TABLOLARI ;

SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA

8

SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA

SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA

DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI MĐL DAĐRESEL KESĐTLĐ BURULMAYA ÇALIŞAN FATURALI MĐL

9

DAĐRESEL KESĐTLĐ EĞĐLMEYE ÇALIŞAN MĐL PĐMLĐ BAĞLANTI PĐM DELĐK ETKĐSĐ

DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN MĐL DAĐRESEL KESĐTLĐ EĞĐLMEYE ÇALIŞAN MĐL

10

Kesme Kuvveti ve Eğilme Moment Diyagramlarının Grafik Yöntem ile çizimi için birkaç kural :

MU

KA

VE

ME

T

MU

KA

VE

ME

T

MU

KA

VE

ME

T -- -

II I :: :

M UKAVEM ET M UKAVEM ET M UKAVEM ET ---III ::: 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta

© 2008 NM111

wdx

dV−=

Vdx

dM=

∫=−=

D

C

x

x

CD dxVMMM∆

∫−=−=

D

C

x

x

CD dxwVVV∆

M

UK

AV

EM

ET

M

UK

AV

EM

ET

M

UK

AV

EM

ET

-- -II I :: :

MUKAVEM ET M UKAVEM ET M UKAVEM ET --- III ::: 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta

© 2008 NM272727

V – F – (V + ∆V) = 0∆V = – F

M + ∆M – M0 – V ∆x – M = 0∆M = M0

F aşağı doğru etki ettiğinde ∆V negatiftir, bu nedenle KK diy. aşağı doğru şıçrar, F yukarı doğru ise KK diy. da yukarı sıçrar.

M0, SY (saat yönünde) ise ∆M pozitiftir ve EM diy. yukarı doğru şıçrar, M0

SYT (saat yönünün tersi) ise EM diy. da aşağı doğru sıçrar.

1- Kirişin herhangi bir kesidindeki kesme kuvveti diy. eğimi o kesitteki yayılı yükün şiddetine eşittir (-w=dV/dx). Kesme kuvveti diy. değişim; tekil yükler nedeniyle sabit, düzgün yayılı yük nedeniyle lineer olur (eğimi yayılı yükün büyüklüğü ve işaretine bağlıdır)… 2- Kirişin herhangi bir kesidindeki eğilme momentinin x’ e göre değişimi o kesitteki kesme kuvvetinin değerine eşittir. (V=dM/dx).Moment diy. değişim; tekil yükler nedeniyle lineer, düzgün yayılı yük nedeniyle 2. dereceden eğri şeklinde (parabolic) olur. 3- Kesme kuvveti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil yük olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil yük varsa tekil yükün büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ yük yukarı doğru) 4- Eğilme momenti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil moment olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil moment varsa tekil momentin büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ (SDYT) moment negatif yönde ) 5- Kirişin uç noktalarında tekil yük yoksa bu noktalarda kesme kuvveti sıfırdır. 6- Kirişin uç noktalarında tekil moment yoksa bu noktalarda eğilme momenti sıfırdır.

- Eğer kesme kuvveti pozitif ise moment diy. eğimi de pozitif, eğer kesme kuvveti negatif ise moment diy. eğimi de negatif eğime sahiptir.. - Kesme kuvveti diyagramının sıfır olduğu yerde moment diy. eğimi değişir. (yani negatif veya pozitif en büyük moment değerleri vardır)

11

12

13

S Tipi I-Kirişler (SI Units)

(DAR BA�LIKLI I KİRİ�LER)

kalınlık x-x axis y-y axis

Tip No Birim Ağ.

kg/m Alan

mm2 Yük.

mm Genişlik

mm Web mm

Flanş mm

Ix 106 mm4

Sx 103 mm3

rx mm

Iy 106 mm4

Sy 103 mm3

ry mm

S610 x 180 180.0 22,900 622 204 20.3 27.7 1,310 4,220 239 34.7 218 38.9

x 158 157.8 20,100 622 200 15.7 27.7 1,220 3,940 246 32.4 324 40.1

x 149 148.7 18,900 610 184 18.9 22.1 996 3,270 230 20.1 218 32.6

x 134 134.4 17,100 610 181 15.9 22.1 939 3,080 234 18.9 209 33.2

x 119 119.1 15,200 610 178 12.7 22.1 879 2,880 240 17.9 201 34.3

S510 x 143 143.3 18,300 516 183 20.3 23.4 702 2,720 196 21.1 231 34.0

x 128 128.9 16,400 516 179 16.8 23.4 660 2,560 201 19.6 219 34.6

x 112 111.4 14,200 508 162 16.1 20.2 532 2,090 194 12.5 155 29.7

x 98.2 98.4 12,500 508 159 12.8 20.2 497 1,960 199 11.7 148 30.6

S460 x 104 104.7 13,300 457 159 18.1 17.6 387 1,690 171 10.3 129 27.8

x 81.4 81.6 10,400 457 152 11.7 17.6 335 1,470 179 8.77 115 29.0

S380 x 74 74.6 9,500 381 143 14.0 15.8 203 1,060 146 6.60 92.3 26.4

x 64 63.9 8,150 381 140 10.4 15.8 187 980 151 6.11 87.3 27.4

S310 x 74 74.4 9,470 305 139 17.4 16.7 127 833 116 6.60 94.9 26.4

x 60.7 60.6 7,730 305 133 11.7 16.7 113 744 121 5.67 85.3 27.1

x 52 52.2 6,650 305 129 10.9 13.8 95.8 629 120 4.16 64.5 25.0

x 47 47.4 6,040 305 127 8.9 13.8 91.1 597 123 3.94 62.1 25.5

S250 x 52 52.3 6,660 254 126 15.1 12.5 61.6 485 96.2 3.56 56.5 23.1

x 38 37.8 4,820 254 118 7.9 12.5 51.4 405 103 2.84 48.2 24.3

S200 x 34 34.3 4,370 203 106 11.2 10.8 27.0 266 78.6 1.81 34.2 20.4

x 27 27.5 3,500 203 102 6.9 10.8 24.0 237 82.8 1.59 31.1 21.3

S180 x 30 29.9 3,800 178 98 11.4 10.0 17.8 200 68.4 1.34 27.3 18.8

x 22.8 22.9 2,910 178 93 6.4 10.0 15.4 173 72.7 1.12 24.0 19.6

S150 x 26 25.7 3,270 152 91 11.8 9.1 10.9 144 57.7 0.981 21.6 17.3

x 19 18.6 2,370 152 85 5.9 9.1 9.19 121 62.3 0.776 18.2 18.1

S130 x 22 21.9 2,790 127 83 12.5 8.3 6.33 99.6 47.6 0.690 16.6 15.7

x 15 14.8 1,890 127 76 5.4 8.3 5.12 80.6 52.0 0.508 13.4 16.4

S100 x 14.1 14.2 1,800 102 71 8.3 7.4 2.85 55.8 39.8 0.376 10.6 14.5

x 11 11.4 1,450 102 68 4.8 7.4 2.55 50.1 41.9 0.324 9.52 14.9

S75 x 11 11.2 1,430 76 64 8.9 6.6 1.22 32.0 29.2 0.249 7.77 13.2

x 8 8.4 1,070 76 59 4.3 6.6 1.04 27.4 31.2 0.190 6.43 13.3

14

C tipi Kirişler

15

Çok kullanılan bazı kesitlerin geometrik özellikleri

16

A>KASTRE (KO>SOL) KĐRĐŞLER CABTILEVER BEAMS

KĐRĐŞ Beam EĞĐM Slope SEHĐM Deflection ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve

17

BASIT DESTEKLI KIRIŞLER SIMPLY SUPPORTED BEAMS

KĐRĐŞ Beam EĞĐM Slope SEHĐM Deflection ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve

18

TTEEMMEELL YYÜÜKKLLEEMMEE HHAALLLLEERRİİ VVEE BBUUNNLLAARRAA KKAARRŞŞIILLIIKK KKEESSMMEE KKUUVVVVEETTİİ,, EEĞĞİİLLMMEE MMOOMMEENNTTİİNNİİNN SSİİNNGGÜÜLLAARRİİTTEE FFOONNKKSSİİYYOONNLLAARRII CCİİNNSSİİNNDDEENN İİFFAADDEESSİİ ;;

nm-09