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Introduzione ai rivelatori di particelle


Parte 2 luce e materia

AA 2011/2012 Carlin - Checchia - Pisent 1


L’interazione di fotoni con la materia

•  Ci interessano radiazioni X e γ (energie ≥ 1keV) •  Al crescere dell’energia sono sono rilevanti i seguenti

meccanismi: 1.  Effetto fotoelettrico hν<< mec2 2.  Diffusione su elettroni hν≈ mec2 3.  Produzione di coppie e+e- hν> 2mec2

•  Diversamente dal caso delle particelle cariche, il fotone non perde in piccola parte della sua energia in molte interazioni –  o non interagisce, penetrando nella materia –  o viene diffuso a grande angolo (caso 2) –  o interagisce cedendo completamente l’energia –  non si può parlare di range, solo di probabilità di

interazione

•  Con un fascio di fotoni (monocromatico) si può parlare di diminuzione del flusso di fotoni (intensità)

•  μ = coefficiente di assorbimento

AA 2011/2012 Carlin - Checchia - Pisent 2 �

−dIdx

= Iµ

I(x) = I0e−µx

N f =Ihν


coefficiente di assorbimento

•  il coefficiente di assorbimento (in cm-1 o in cm2/g) è dato dal contributo dei vari processi:

•  Il coefficiente di attenuazione dipende fortemente

dall’energia del fotone.


�

µρ

=NA

Aσ Photo + Z

NA

AσCompton +

NA

Aσ Pair

Photon Energy

1 Mb

1 kb

1 b

10 mb10 eV 1 keV 1 MeV 1 GeV 100 GeV

(b) Lead (Z = 82)

- experimental !tot

!p.e.

"e

Cro

ss s

ecti

on (

barn

s/at

om)

Cro

ss s

ecti

on (

barn

s/at

om)

10 mb

1 b

1 kb

1 Mb

(a) Carbon (Z = 6)

!Rayleigh

!g.d.r.

!Compton

!Compton

!Rayleigh

"nuc

"nuc

"e

!p.e.

- experimental !tot


effetto fotoelettrico

•  il fotone cede l’energia ad un elettrone atomico, che viene emesso –  in presenza del nucleo, per conservare il momento –  per fotoni energetici vengono spesso interessati gli

elettroni nei livelli energetici più interni 1S = K (≈80% della sezione d’urto)

–  Il riarrangiamento energetico può far emettere un altro fotone X, o anche un elettrone (elettrone Auger)

•  Dipendenza dall’energia molto pronunciata

–  diventa meno pronunciata per ε>1

–  ci sono brusche variazioni in presenza dei livelli atomici (edge effects)

–  in ogni caso, notare la dipendenza da Z5


�

σphoto

K ≈32ε 7

⎛ ⎝

⎞ ⎠ α

4Z 5σ Th

ε =hνmec

2

σTh =83πre

2

�

σphoto

K ≈ 4πre2Z 5α 2 ⋅

1ε


effetto fotoelettrico


Photon Energy

1 Mb

1 kb

1 b


(b) Lead (Z = 82)

- experimental !tot

!p.e.

"e

Cro

ss s

ecti

on (b

arns/a

tom

)C

ross

sec

tion (b

arns/a

tom

)

10 mb

1 b

1 kb

1 Mb

(a) Carbon (Z = 6)

!Rayleigh

!g.d.r.

!Compton

!Compton

!Rayleigh

"nuc

"nuc

"e

!p.e.

- experimental !tot


diffusione Compton

•  diffusione γe- èγe- con l’elettrone libero (energia del fotone molto superiore all’energia di legame):

•  La sezione d’urto differenziale è nota come

formula di Klein-Nishina (1929), e integrata fornisce la probabilità d’interazione per elettrone (in cm2/elettrone):


�

λ '−λ =hmec

1− cosθ( ) = λC 1− cosθ( )

�

σCe = 2πre

2 1+ εε 2

⎛ ⎝

⎞ ⎠ 2 1+ ε( )1+ 2ε

−1εln(1+ 2ε)⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +

12εln(1+ 2ε) − 1+ 3ε

1+ 2ε( )2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

ε =hνmec

2


diffusione Compton

•  La massima energia che l’elettrone può acquistare è


�

EMAXe = hν 2ε

1+ 2ε

•  Lo spettro di energia dell’elettrone diffuso (energia ceduta al mezzo ha un taglio al valore massimo (Compton edge)


diffusione Compton


Photon Energy

1 Mb

1 kb

1 b


(b) Lead (Z = 82)

- experimental !tot

!p.e.

"e

Cro

ss s

ecti

on (b

arns/a

tom

)C

ross

sec

tion (b

arns/a

tom

)

10 mb

1 b

1 kb

1 Mb

(a) Carbon (Z = 6)

!Rayleigh

!g.d.r.

!Compton

!Compton

!Rayleigh

"nuc

"nuc

"e

!p.e.

- experimental !tot


Produzione di coppie e+e-

•  γè e+e-

–  energia di soglia •  hν≥2mec2=1.022MeV

–  conservazione di energia e momento •  serve nucleo spettatore

•  Sezioni d’urto approssimate


per 2mec2 << hν <<

mec2

αZ −1 3

σ Pair = 4Z 2αre2 7

9ln 2hν

mec2 − f z( )⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −

10954

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

per hν >>mec

2

αZ −1 3

σ Pair = 4Z 2αre2 7

9ln 183Z −1 3 − f z( )( ) − 1

54⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥



•  NB per alte energie la sezione d’urto γè e+e- non dipende da ν

•  Per completezza bisogna tenere conto anche della diffusione sul campo di un elettrone e non del nucleo –  come nel caso del bremsstrahlung l’effetto

è minore di un fattore Z –  si introduce Z(Z+1) al posto di Z2

•  coefficiente di assorbimento per alte energie:


µPair = ρ NA

Aσ Pair =

1λPair

1λPair

≈794Z Z +1( )αre2 ln 183Z −1 3( )[ ] ≈ 79

1X0

λPair ≈97X0 ≈1.3X0




Photon Energy

1 Mb

1 kb

1 b


(b) Lead (Z = 82)

- experimental !tot

!p.e.

"e

Cro

ss s

ecti

on (b

arns/a

tom

)C

ross

sec

tion (b

arns/a

tom

)

10 mb

1 b

1 kb

1 Mb

(a) Carbon (Z = 6)

!Rayleigh

!g.d.r.

!Compton

!Compton

!Rayleigh

"nuc

"nuc

"e

!p.e.

- experimental !tot


sciami elettromagnetici

•  Gli effetti combinati di produzione di coppie e bremsstrahlung generano un fenomeno molto rilevante –  Un fotone di alta energia genera una coppia e+e- –  l’elettrone e il positrone radiano fotoni per bremsstrahlung –  i fotoni a loro volta creano altre coppie e+e-

–  il fenomeno si ferma quando i fotoni hanno energie sotto soglia per la creazione di coppie, e gli elettroni irradiano meno efficacemente (sotto l’energia critica)

⇒  Sciame elettromagnetico

•  Il fenomeno è analogo se la particella iniziale è un elettrone

•  Il fatto che λPair≈X0 rende lo sciame molto simmetrico




•  Calcolo molto semplificato

–  se λPair≈X0 si assume che ad ogni lunghezza di radiazione attraversata il numero di particelle raddoppia e l’energia per particella dimezza (in media)

–  Se l’energia iniziale del fotone o dell’elettrone è E0 alla fine di t lunghezze di radiazione il numero di particelle è N≈2t e l’energia per particerlla è E≈E0/N

–  Lo sciame si arresta quando

–  In realtà ovviamente non c’è un cut-off così netto, e l’andamento degli sciami si ottiene con programmi di simulazione


�

E =E0

2tMAX= EC

tMAX =ln E0 EC( )

ln2




0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0.125

0

20

40

60

80

100

(1/E

0)dE/d

t

t = depth in radiation lengths

Nu

mbe

r cros

sin

g pl

ane

30 GeV electronincident on iron

Energy

Photons× 1/6.8

Electrons

0 5 10 15 20

•  Esempio nella figura: distribuzione della frazione di energia depositata per lunghezza di radiazione, per uno sciame da 30 GeV in Fe (il cut-off è a 1.5 MeV per la determinazione del numero di particelle per che attraversano un piano a profondità t)

•  Una formulazione che approssima bene la curva (linea nel grafico) è:

•  con a e b parametri che dipendono dal materiale

�

dEdt

= E0bbt( )a−1e−bt

Γ a( )Γ a( ) = t a−1

0

∞

∫ e− tdt Γ n( ) = n −1( )!

tmax =xmax

X0

=a −1b




•  Il valore di tmax (in lunghezze di radiazione) rispettivamente per elettroni e fotoni può essere approssimato da:

•  quindi come atteso il picco dello sciame cresce logaritmicamente con l’energia. Ricavando b dalla figura in alto (o usando b≈0.5) si ricava a a, quindi la parametrizzazione dello sciame �

tmax

e =a −1b

= lnE0

EC

− 0.5

tmax

γ =a −1b

= ln E0

EC

+ 0.5

Carbon

Aluminum

Iron

Uranium

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

10 100 1000 10000

b

y = E/Ec




•  Sviluppo laterale dello sciame elettromagnetico. Si misura in termini del “raggio di Moliere”

•  più del 90% dell’energia è contenuto in un cilindro di raggio 2RM, e più del 99% entro un cilindro di raggio 3.5RM

•  Esempio per il Pb •  RM = X0 × 21.2/7.8 = 2.7X0 •  RM = 0.0265X0(82+1.2) = 2.2X0

�

RM ≈ X021.2MeV

EC

RM ≈ 0.0265X0 Z +1.2( )


cammino libero medio per i fotoni

•  coefficiente di attenuazione e cammino libero medio:

–  NB espresso in g/cm2, va diviso per ρ

–  C’è un minimo di interazione (massimo cammino libero medio) per i materiali pesanti attorno a qualche MeV:

–  λ≈ 20 gm/cm-2, per il Pb (ρ=11.34 g/cm3) si ha λ≈ 1.8cm

•  fotoni da qualche MeV penetrano facilmente qualche cm di piombo


Photon energy

100

10

10–4

10–5

10–6

1

0.1

0.01

0.001

10 eV 100 eV 1 keV 10 keV 100 keV 1 MeV 10 MeV 100 MeV 1 GeV 10 GeV 100 GeV

Abs

orpt

ion

len

gth

! (

g/c

m2)

Si

C

Fe Pb

H

Sn

λ =1µ→ I = I0e

−xλ = I0e

−µx

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