Produzione di mesoni scalari ininterazioni a DANE

Ivan Prado LonghiDipartimento di Fisica - Universita degli Studi Roma Tre

10 Maggio 2010

Indice

1 Mesoni Scalari 71.1 Mesoni Scalari nel modello a quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Stati qq e qqq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Mesoni Scalari come stati qqqq . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Mesoni Scalari e Interazioni Forti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Cromodinamica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Simmetria chirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Linear Sigma Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Interazioni 242.1 Studio dei processi a due fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Approssimazione di Weizsacker-Williams . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Sezione durto risonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Elemento di matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Esperimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Esperimento KLOE a DANE 313.1 DANE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 KLOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 La camera a deriva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2 Il calorimetro elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Algoritmi di ricostruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.1 Ricostruzione dei cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2 Ricostruzione delle tracce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.3 Associazione traccia-cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Acquisizione Dati 444.1 Il sistema di trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Filtro per la reiezione degli eventi di fondo (FILFO) . . . . . . . . . . 45

1

4.3 Filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Efficienze di trigger, FILFO e filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Simulazioni Monte Carloper segnale e fondi 495.1 Processo e+e e+e e+e00

as = 1 GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Processi di fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.1 e+e KsKL, Ks 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.2 e+e , 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2.3 e+e 0, 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.4 e+e f0, a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.5 e+e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.6 e+e e+ef0, e+e e+ef2 . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.7 Correzione della scala di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Analisi Dati 596.1 Preselezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1.1 Recover Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.1.2 Appaiamento dei fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.1.3 Matrice di smearing e smearing gaussiano . . . . . . . . . . . 616.1.4 Studio delle efficienze di preselezione . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 Tagli di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.1 Taglio sulla variabile 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.2 4 e solo 4 prompt; no tracks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.3 Energia dei 2 fotoni piu energetici . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.4 Taglio sulla varabile E3 + E4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.5 Taglio sulla variabile pT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2.6 Taglio sulla variabile R =4

E

Etot. . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3 Scelte di Analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3.1 Analisi I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3.2 Analisi II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7 Confronto Dati-Monte Carlo 1027.1 Stime delle frazioni per i processi di fondo . . . . . . . . . . . . . . . 1027.2 Fit dello spettro di massa invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3 Sezione durto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2

7.4 Fit della massa invariantecon una funzione tipo spazio delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.5 Errori sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.5.1 Dipendenza dal MC segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.5.2 Dipendenza dai tagli di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A Sezione durto e+e KSKLas = 1 GeV 135

B Correzione della scala di energiadelle simulazioni Monte Carlo 138B.1 e+e KSKL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138B.2 e+e 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

C Selezione di eventi KSKL con KS 00 141

Bibliografia 143

3

Omnis mundi creaturaquasi liber et picturanobis est in speculum

Alano delle Isole

4

Introduzione

Il settore dei mesoni scalari leggeri rappresenta un capitolo intrigante e ambiguo nellamoderna fisica delle particelle. Linteresse nello studio degli scalari, e le difficolta adesso connesse, si manifestano sia sul piano teorico che su quello sperimentale. Dalpunto di vista teorico, le controversie riguardano ad esempio la collocazione dei me-soni scalari nel modello a quark e il ruolo da essi svolto in alcune teorie effettive delleinterazioni forti nella realizzazione della rottura spontanea della simmetria chirale.Da un punto di vista sperimentale, alcuni tra i mesoni scalari leggeri si presentanocome risonanze larghe, fortemente sovrapposte ai processi di fondo che ne rendonodifficile lindividuazione.

Anche la produzione di tali risonanze rappresenta un problema non banale: leinterazioni fotone-fotone () permettono di accedere agli stati con JPC = 0++, masono difficili da realizzare utilizzando fasci di fotoni reali. La soluzione e lutilizzo difotoni quasi reali, emessi a piccoli angoli da elettrone e positrone negli acceleratorie+e. Studiando la reazione e+e e+e e+eX e possibile quindi misurarelaccoppiamento dei fotoni allo scalare X, ottenendo informazioni sulla strutturainterna di questultimo. La ricerca di mesoni scalari e tensori con interazioni e stata condotta dagli esperimenti JADE e Crystall Ball nel 1990, e da Belle piurecentemente (2008); in questa tesi sono stati analizzati i dati raccolti con il rivelatoreKLOE a DANE, il doppio anello di collisione e+e dellIstituto Nazionale di FisicaNucleare (INFN) collocato nel complesso dei Laboratori Nazionali di Frascati, a pochichilometri da Roma.

Lo scopo di questa tesi e quello di individuare e interpretare un possibile segnaleper il processo e+e e+e e+e, dove e una risonanza scalare di massam 400700 MeV e larghezza 400800 MeV1. Per ridurre il fondo dovuto aidecadimenti radiativi della sono stati utilizzati i dati raccolti fuori picco, a

s = 1

GeV; poiche a questa energia lo stato finale + e prodotto in abbondanza nelprocesso di ritorno radiativo alla massa del mesone , e stato scelto di studiare il

1Il mesone e indicato a volte in letteratura come f0(600).

5

processo con pioni neutri anziche carichi nello stato finale. I dati raccolti a DANE as = 1 GeV, selezionati originariamente con filtri dedicati allanalisi dei decadimenti

della (non adatti quindi allo studio della fisica ), mostrano un evidente eccessodi eventi nella regione di massa invariante dei 4 fotoni m4 200 450 MeV nondescrivibile in termini dei processi di fondo noti [1], e interpretabile quindi comepossibile segnale di . In questa tesi e stato utilizzato un campione di dati ad altastatistica ( 4 108 eventi) riprocessato con criteri ottimizzati per lo studio delleinterazioni .

I primi due capitoli sono dedicati ad un inquadramento teorico del settore deimesoni scalari e alla descrizione dei processi di interazione fotone-fotone, con par-ticolare attenzione alla approssimazione di Weizsacker-Williams, che viene assuntavalida nel corso di tutta lanalisi. Nel terzo e quarto capitolo sono descritti gli ap-parati sperimentali e le condizioni di acquisizione dati. Il quinto capitolo e dedicatoalla descrizione della simulazione Monte Carlo per il segnale e di quelle utilizzateper lo studio dei processi di fondo. Nel sesto capitolo e presentata lanalisi vera epropria, svolta seguendo due strategie parallele, con la descrizione dei tagli di analisiscelti, lo studio delle efficienze e i primi confronti dati-Monte Carlo; infine, il settimocapitolo presenta i risultati ottenuti attraverso la procedura di fit dello spettro dimassa invariante.

6

Capitolo 1

Mesoni Scalari

Il settore dei mesoni scalari e uno tra i capitoli piu oscuri, e quindi intriganti, nellamoderna fisica delle particelle. Linquadramento di questi adroni nel modello a quarke controverso: le possibili interpretazioni vanno dagli stati quark-antiquark (come peri mesoni pseudoscalari) ai tetraquark (coppie diquark-antidiquark), dalle molecoleKK alle glueballs. Sperimentalmente, lindagine sulla struttura degli scalari e resaproblematica dalle ampie larghezze di queste risonanze, che causano una grandesovrapposizione con i processi di fondo, e dal fatto che in un intervallo di massarelativamente ristretto si aprono molti canali di decadimento. Se alcune risonanze,come f0(980), sono state osservate chiaramente, cos da aver potuto determinarne conuna certa precisione i parametri (massa, larghezza, accoppiamenti), per altri scalari,tra i quali principalmente (600), la situazione e sufficientemente controversa da averspinto piu volte a dubitare dellesistenza stessa di tali particelle.

Da un punto di vista teorico, i mesoni scalari suscitano interesse perche, avendoessi gli stessi numeri quantici del vuoto, possono svolgere un ruolo determinante nelmeccanismo di rottura spontanea di qualche importante simmetria globale, come lasimmetria chirale SUL(nf )SUR(nf ). Limplementazione di tale meccanismo e unadelle principali sfide della moderna fisica teorica, e vede come possibili candidateteorie basate su lagrangiane chirali ed effettive; tra queste ultime il Modello SigmaLineare (LSM) introduce un campo scalare che rompe la simmetria chirale assumendoun valore di aspettazione nel vuoto non nullo.

I mesoni scalari sono prodotti, ad esempio, nei processi di scattering N , nelleannichilazioni pp, nei decadimenti della J/ e dei mesoni B, D e K, nei decadimentiradiativi della e nelle interazioni ; questi ultimi processi come meccanismo diproduzione del mesone scalare (600) sono loggetto del presente lavoro di tesi.

I primi scalari furono osservati circa quarantanni fa. Studiando il processo p

7

+n si evidenzio una soppressione dellampiezza di diffusione elastica in funzionedella massa invariante dei due in prossimita della soglia KK, mentre nella stessaregione il processo anelastico in stato finale KK mostrava un picco marcato [2]. Taleandamento fu interpretato come la sovrapposizione di due risonanze: una larga ( 300 MeV), identificata con il mesone scalare (700), e una stretta ( 50 MeV),chiamata f0(980), fortemente accoppiata con il canale KK. Evidenze piu recenti perla (700) sono state individuate nei decadimenti adronici del mesone D in prossimitadella soglia K (esperimenti E791, FOCUS, CLEO, BaBar); BES II ha anche trovato

una struttura riconducibile alla nel decadimento J/ K0(892)K+, con la che rincula contro il K(892).

Il mesone scalare a0(980) fu osservato attraverso lo studio della reazione Kp

+(1385),+KK0; la sezione durto in funzione della massa invariante del si-stema mostra un comportamento risonante (M = 980 MeV, 100 MeV) al disotto della soglia KK, a significare che anche il mesone a0 e fortemente accoppiatoa questo canale.

In tre esperimenti e stata individuata levidenza di produzione del mesone (in letteratura spesso indicato come f0(600)), di cui sono state misurate massa elarghezza mediante il Dalitz plot: lesperimento E791 [3] ha misurato il Dalitz plotdei due pioni + nel decadimento D+ + ++; BES [4] ha misurato ilDalitz plot di vs. + nel decadimento J/ +; CLEO [5] ha misuratola massa invariante nel decadimento D0 KS KS+.

In questo capitolo si richiama la spettroscopia adronica e il modello di Gell-Manne Zweig che la descrive, con particolare attenzione alla collocazione dei mesoni scalariin questo scenario alla luce delle evidenze sperimentali. Dopo una breve esposizio-ne dei fondamenti della Cromodinamica Quantistica (QCD) viene discusso il LinearSigma Model, la simmetria chirale e la sua rottura spontanea; infine, viene postolaccento sui possibili legami tra lo scenario teorico appena descritto e le caratteristi-che osservate per i mesoni scalari, fatta salva ovviamente lidentificazione di questiultimi con gli scalari che intervengono nel LSM.

8

1.1 Mesoni Scalari nel modello a quark

Nel corso di questa trattazione, ci limiteremo a considerare il modello basato sullasimmetria SUf (3), non essendo interessati a descrivere gli adroni con quark charm ebottom come quark di valenza.

In questo modello gli adroni sono disposti nelle rappresentazioni irriducibili diSU(3), il gruppo delle matrici U 3 3 unitarie a determinante detU = 1. Talimatrici possono essere espresse come

U = eiH = ei

k kk , (1.1)

dove H e una matrice hermitiana. Nel secondo passaggio della (1.1) H e sviluppatanella base delle matrici hermitiane 3 3 a traccia nulla (per soddisfare detU = 1);le matrici k, k = 1,...8 che costituiscono tale base sono dette generatori, e sonotipicamente scelte nella forma

8 =13

1 0 00 1 00 0 2

,

3 =

1 0 00 1 00 0 0

,

1 =

0 1 01 0 00 0 0

, 2 =

0 i 0i 0 00 0 0

4 =

0 0 10 0 01 0 0

, 5 =

0 0 i0 0 0i 0 0

6 =

0 0 00 0 10 1 0

, 7 =

0 0 00 0 i0 i 0

. (1.2)

Le 8 matrici (1.2) sono dette matrici di Gell-Mann. Mediante calcolo diretto siverifica che

[k, l] = 2ifklmm, (1.3)

9

con fklm costanti di struttura del gruppo, antisimmetriche sotto lo scambio di qual-siasi coppia di indici. Le sole costanti di struttura non nulle sono

f123 = 1; f147 = f165 = f246 = f257 = f345 = f376 =1

2;

f458 = f678 =

3

2, (1.4)

con tutte le altre ottenute permutando gli indici. Le relazioni di commutazione (1.3)definiscono completamente lalgebra di SU(3), indicata con su(3).

Si osserva che le matrici di Gell-Mann 3 e 8 commutano, come e ovvio essendoesse matrici diagonali. Il massimo numero di generatori simultaneamente diagona-lizzabili di unalgebra e detto rango del gruppo: per SU(n) il rango e dato da n 1,il numero di parametri essenziali per specificare gli elementi diagonali di una matricehermitiana a traccia nulla. I generatori diagonali sono importanti in quanto, nelleapplicazioni, ad essi sono associati le osservabili i cui autovalori, che compaiono ap-punto sulla diagonale, sono utili per definire gli stati del sistema fisico in esame. Piuprecisamente, 3 e la matrice degli autovalori della terza componente dellisospin I3(a meno di un fattore 1

2); 8 e la matrice degli autovalori dellipercarica Y (a meno

di un fattore 13).

La rappresentazione fondamentale e la piu piccola rappresentazione non banale;nel caso di SU(3) e quella delle stesse matrici 3 3, indicata con 3. I vettori di baseper questa rappresentazione sono i tre quark up (u), down (d) e strange (s)

u =

100

, d =

010

, s =

001

, (1.5)

che sono fermioni di spin 12; essi costituiscono il tripletto fondamentale di SU(3).

Anche le matrici coniugate

U = eiHT

= ei

k k(Tk ) (1.6)

costituiscono una rappresentazione del gruppo, anchessa di dimensione uguale a tre,detta rappresentazione coniugata e indicata con 3. Dalla (1.6) si vede che nellarappresentazione coniugata i generatori diagonali sono T3 e T8 , con autovaloridi segno opposto rispetto a quelli dei generatori 3 e 8: i vettori di base della 3si identificano allora con gli antiquark u, d e s. Uniformando la notazione a quella

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della gran parte dei testi di fisica delle particelle, definiamo gli operatori I3 (terzacomponente dellisospin) e Y (ipercarica) come

I3 =32, Y =

83; (1.7)

definiamo anche loperatore carica elettrica Q, legato allisospin e allipercaricadalla legge di Gell-Mann e Nishijima:

Q =Y

2+ I3. (1.8)

Agendo con questi operatori sui vettori di base nella 3 e nella 3 si ottengono i numeriquantici di quark e antiquark, riportati in tabella 1.1.

Quark I3 Y Q Antiquark I3 Y Qu 1

2

1

3

2

3u 1

21

32

3

d 12

1

31

3d 1

21

3

1

3

s 0 23

13

s 0 23

1

3

Tabella 1.1: Numeri quantici dei 3 quark e dei 3 antiquark piu leggeri.

Mediante il prodotto esterno (indicato con ) delle rappresentazioni 3 e 3 siottengono rappresentazioni di dimensione maggiore, in generale riducibili; riducendoqueste ultime, e possibile ottenere tutte le rappresentazioni irriducibili del gruppo.

1.1.1 Stati qq e qqq

Assegnando un numero barionico B = 13ai quark (e B = 1

3agli antiquark) e

possibile costruire stati qq con numero barionico nullo e spin intero (mesoni), oppurestati a tre quark con numero barionico B = 1 e spin semiintero (barioni). Comeprevisto dalla teoria di Dirac, quark e antiquark hanno parita opposta; una coppiaquark-antiquark in uno stato di momento angolare L avra quindi parita P definitada

P = (1)L+1. (1.9)Stati con L = 0 descrivono quindi mesoni pseudoscalari JP = 0 (se gli spin diquark e antiquark sono opposti) o mesoni vettori 1 (se i due spin sono allineati);stati con L = 1 e J = 2 rappresentano i mesoni tensori 2+. Stati con L = 1 e J = 0sono pure possibili, e potrebbero descrivere i mesoni scalari 0+; la spettroscopia deimesoni scalari leggeri induce tuttavia a scartare questa ipotesi (vedi 1.1.2). Le

11

rappresentazioni irriducibili di SU(3) che si ottengono dal prodotto esterno della 3e della 3 sono lottetto (8) e il singoletto (1)

3 3 = 8 1; (1.10)

i mesoni pseudoscalari e vettori sono effettivamente organizzati in tali multipletti.Per quanto riguarda i barioni, bisogna considerare le rappresentazioni irriducibili

ottenute dal prodotto3 3 3 = 10 8 8 1, (1.11)

nelle quali trovano posto i barioni JP = 12

+(ottetto) e JP = 3

2

+(decupletto).

Notiamo che nel decupletto dei barioni JP = 32

+compaiono stati, come la ++

(u u u ), completamente simmetrici sotto scambio, violando il principio diPauli; essi sono antisimmetrizzati introducendo ad hoc la simmetria SUc(3) di colore,assumendo che gli adroni siano singoletti di tale simmetria,

barione =1

3!ijkq

iqjqk, (1.12)

dove e il tensore completamente antisimmetrico. Nellambito della cromodinamicaquantistica (vedi 1.2.1) il colore e la carica delle interazioni forti.

1.1.2 Mesoni Scalari come stati qqqq

Le combinazioni diquark -antidiquark, dette tetraquark, (qqqq), sono possibili candi-date a descrivere la struttura dei mesoni scalari leggeri: stati tetraquark in onda Sriproducono infatti lo spin-parita degli scalari.

Consideriamo preliminarmente la singola coppia qq (qq). Lo stato di due fermioniidentici, fattorizzabile in uno stato di spin, uno di sapore e uno di colore, deve esserecomplessivamente antisimmetrico per scambio di particella; richiedendo che la coppiaabbia spin 0, cioe che sia un singoletto di spin (antisimmetrico), lo stato qq (qq)deve essere simmetrico sotto SUf (3) SUc(3) 1. Tanto per la simmetria di sapore(f=flavour) quanto per quella di colore (c=colour) il prodotto esterno 3 3 dellerappresentazioni dei due quark si riduce come segue:

3f,c 3f,c = 6f,c 3f,c, (1.13)

con 6 stato simmetrico, 3 antisimmetrico. Analogamente, per la coppia di antiquark:

3f,c 3f,c = 6f,c 3f,c, (1.14)1Il simbolo indica il prodotto diretto interno (o alla Kronecker), che fattorizza un singolo stato

nelle sue simmetrie interne.

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(6 simmetrico, 3 antisimmetrico). Indicando con (nf ,nc) gli stati di diquark (anti-diquark) sotto SUf (3) SUc(3), si ha che gli stati simmetrici cercati sono

qq = (6f ,6c), qq = (6f ,6c), (1.15)

oppureqq = (3f ,3c), qq = (3f ,3c). (1.16)

Rimane ora da considerare il prodotto esterno qq qq, che dara

qq qq = (3f 3f ,3c 3c) (1.17)

eqq qq = (6f 6f ,6c 6c); (1.18)

i prodotti considerati si riducono nel modo seguente:

3 3 = 8 1, (1.19)

6 6 = 27 8 1. (1.20)Gli stati fisici devono essere singoletti di colore; si hanno quindi i multipletti

qqqq = (8f ,1c), (1f ,1c) (1.21)

dalla (1.19), eqqqq = (27f ,1c), (8f ,1c), (1f ,1c) (1.22)

dalla (1.20).

In figura 1.1 sono mostrati a confronto gli spettri di massa per i mesoni scalari epseudoscalari; si osserva che gli ordinamenti in massa risultano invertiti.

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Figura 1.1: Spettro di massa per i mesoni scalari (a sinistra) e pseudoscalari (adestra).

Linversione dellordinamento in massa per i mesoni scalari rispetto a quello peri mesoni pseudoscalari puo essere spiegata nellambito del modello a quattro quark:lordinamento in massa e infatti determinato dal contenuto in quark strano dei me-soni, e tale contenuto e massimo nei mesoni a0 e f0 (2 quark s), intermedio nei (1quark s), e minimo nella (nessun quark s) (vedi tabella 1.2).

I I3 S Y Composizione

a+0 1 +1 0 0 [su][sd]

a00 1 0 0 012([su][su] [sd][sd])

a0 1 -1 0 0 [sd][su]

f0 0 0 0 012([su][su] + [sd][sd])

0 0 0 0 [ud][ud]

+ 1/2 +1/2 +1 +1 [ud][sd]0 1/2 -1/2 +1 +1 [ud][su]

0 1/2 +1/2 -1 -1 [us][du]

1/2 -1/2 -1 -1 [ds][du]

Tabella 1.2: Numeri quantici e composizione dei mesoni scalari nel modello diquark-antidiquark.

La composizione mostrata in tabella 1.2 spiega anche i forti accoppiamenti deimesoni a0 e f0 con il canale KK e della con il canale .

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1.2 Mesoni Scalari e Interazioni Forti

In questa sezione viene discusso il possibile ruolo dei mesoni scalari in alcune teo-rie effettive delle Interazioni Forti. La trattazione non vuole essere esaustiva, e sirimanda alla bibliografia per gli opportuni approfondimenti.

1.2.1 Cromodinamica Quantistica

La teoria fondamentale delle interazioni forti e una teoria di campo rinormalizzabilebasata sul gruppo di gauge SU(3) di colore. I campi in gioco sono i quark q e gliotto campi di gauge g, i gluoni, associati agli otto generatori ta del gruppo di gauge.La lagrangiana di QCD e quindi

L =nf

j=1

qj(i 6D mj)qj 1

4

8

a=1

F aF a , (1.23)

dove j e un indice di sapore, 6D = D con matrici di Dirac ( = 0, 1, 2, 3) e Dderivata covariante, definita come

D = ies8

a=1

taga; (1.24)

es e laccoppiamento dei quark ai campi di gauge; come in QED, si definisce lacostante di accoppiamento dellinterazione forte s

s =e2s4. (1.25)

Il termine cinetico dei campi e costruito con il tensore antisimmetrico

F a = ga ga esfabcgbgc , (1.26)

ottenuto come commutatore delle derivate covarianti, [D, D ]q; le fabc sono le co-stanti di struttura del gruppo, definite dallalgebra (1.3).

Dalle (1.23)-(1.26) si leggono direttamente tutti i vertici di QCD: il vertice quark-antiquark-gluone e i vertici a tre e quattro gluoni, derivanti dai termini cubici equartici di F aF a . Il fatto che SU(3) sia un gruppo non abeliano (cioe che isuoi generatori non commutino) e decisivo per la presenza di tali termini di self-accoppiamento dei campi di gauge.

15

La lagrangiana (1.23), nonostante la sua struttura relativamente semplice, da luo-go ad una dinamica molto ricca e articolata, le cui caratteristiche salienti sono senzadubbio i fenomeni della liberta asintotica e del confinamento. Entrambi sono dovutial fatto che lintensita dellinterazione forte dipende dal quadrato del quadriimpulsotrasferito Q2. Piu precisamente, la costante daccoppiamento s e funzione di Q

2

secondo la relazione

s(Q2) =

1

b ln Q2

2

, (1.27)

dove 200 MeV e una scala di energia. Il coefficiente b e dato dalla relazione

b =11Nc 2nf

12, (1.28)

dove Nc e il numero di colori e nf il numero di sapori dei quark accoppiati. PerNc = 3 si ha che b e positivo per nf 16, e in particolare in QCD a sei sapori siha b = 0.557. Dalla (1.27) si osserva che S e una funzione decrescente di lnQ

2: alcrescere del quadriimpulso trasferito laccoppiamento diminuisce e i quark interagi-scono debolmente (liberta asintotica). Per Q2 2 laccoppiamento diverge (polodi Landau): in questo regime lapproccio perturbativo per la QCD non e possibile.A basse energie i quark con le loro cariche di colore sono confinati negli adroni, cherisultano complessivamente non colorati: cio spiega perche gli adroni, nel linguaggiodella teoria dei gruppi, siano singoletti di SUc(3).

1.2.2 Simmetria chirale

La lagrangiana (1.23) manifesta la nota simmetria di sapore discussa in 1.1: risultainfatti invariante sotto le trasformazioni unitarie [6]

qi qi = [exp(iaa)]ijqj; (1.29)

nel limite mj = 0, si aggiunge linvarianza sotto le ulteriori trasformazioni

qi qi = [exp(iaa5)]ijqj, (1.30)

dove 5 = i0123, con i, j = 1, . . . , N sono indici di sapore e a, con a =

1, . . . , (N2 1) sono i generatori del gruppo SU(N); senza perdere in generalita,considereremo qui il caso N = 2 (QCD con 2 sapori). Linvarianza sotto le trasfor-mazioni (1.29), (1.30) prende il nome di simmetria chirale e viene indicata con lanotazione gruppale SUL(2) SUR(2): decomponendo i campi dei quark nelle loro

16

componenti levogira qL =1

2(1 5)q e destrogira qR = 12(1 + 5)q la lagrangiana di

QCD puo infatti essere riscritta

L =

j

iqjL 6DqjL + iqjR 6DqjR 1

4

8

a=1

F aF a , (1.31)

e le (1.29), (1.30) diventano

qi qi = [exp(iaLaL)]ijqj, (1.32)

qi qi = [exp(iaRaR)]ijqj, (1.33)con aL,R =

aPL,R, PL,R =1

2(1 5). Unimportante proprieta dei generatori aL, aR

e che si trasformano luno nellaltro sotto loperazione di parita:

PaL,RP1 = aR,L; (1.34)

da questa proprieta deriva il nome di trasformazioni chirali.Associate allinvarianza della Lagrangiana di QCD sotto SUL(2) SUR(2) si

trovano le correnti vettoriali [6]

ja = qaq, (1.35)

e le correnti assialij5a = q5

aq; (1.36)

le corrispondenti cariche conservate sono lisospin forte (a = 1, 2, 3) e il numerobarionico (a = 0)

Qa =

d3xq(x)0aq(x) (1.37)

e le cariche assiali

Qa5 =

d3xq(x)05aq(x). (1.38)

Analizziamo a questo punto lo spettro della hamiltoniana di QCD [6]. Supponia-mo che lo stato di vuoto della teoria |0, definito dal minimo dei valori di aspettazionedella hamiltoniana 0|H|0 = Hmin, sia invariante sotto le trasformazioni chirali,

aL|0 = aR|0 = 0; (1.39)

il teorema di Coleman (vedi, ad esempio, [7]) ci permette allora di concludere che igeneratori aL,R commutano con lhamiltoniana, il cui spettro puo quindi essere clas-sificato secondo le rappresentazioni irriducibili del gruppo chirale SUL(2) SUR(2).

17

Cio significa che a ciascun multipletto di isospin corrisponde almeno un partnerdegenere di parita opposta: sia infatti | un autostato di H e di P ,

H| = E|, P | = |; (1.40)

per quanto detto, assunta la (1.39), si ha [aL,R, H] = 0 e quindi

HaL| = EaL|, HaR| = EaR|. (1.41)

Per la (1.34) si ha pure

PaL,R| = PaL,RP+P | = aR,L|, (1.42)

e quindi e possibile costruire lo stato

| = 12(aR aL)|, P | = |, (1.43)

che risulta degenere con | e di parita opposta, come volevasi dimostrare.Le osservazioni non hanno prodotto evidenza dellesistenza di multipletti adronici

degeneri con parita opposta. Evidentemente, lassunzione (1.39) va sostituita conlipotesi che il vuoto della teoria non sia invariante sotto lintero gruppo chirale, mache sia piuttosto

Qa5|0 6= 0, Qa|0 = 0; (1.44)la (1.44) e la condizione per la rottura spontanea della simmetria chirale, secondola realizzazione proposta da Nambu e Goldstone. In questo scenario, lo stato divuoto |0 non e unico ma infinitamente degenere, e i generatori delle simmetrie rottenon annichilano |0 ma fanno passare da uno stato di vuoto a quello contiguo; talepassaggio, energeticamente a costo zero, corrisponde a modi a massa nulla aventi inumeri quantici dei generatori rotti (bosoni di Goldstone). I candidati piu ovvi asvolgere il ruolo di bosoni di Goldstone nella QCD a 2 sapori con rottura spontaneadella simmetria chirale secondo la (1.44) sono i pioni, che infatti hanno i numeriquantici di Qa5: il fatto che i pioni non siano esattamente a massa nulla e riconducibilead una rottura esplicita della simmetria chirale dovuta ai termini di massa dei quarknella lagrangiana.

1.2.3 Linear Sigma Model

Limplementazione del meccanismo di rottura spontanea della simmetria chirale nel-lambito della QCD e un problema ancora aperto. Si e visto inoltre (1.2.1) che la

18

cromodinamica quantistica non e adeguata a descrivere le interazioni forti a basseenergie: la strategia e quindi utilizzare teorie efficaci che manifestino la simmetriachirale e ne implementino la rottura spontanea. Consideriamo qui il modello lineare (LSM) messo a punto da Gell-Mann e Levy [8, 6], di particolare interesse ai finidella nostra trattazione visto il ruolo determinante in esso svolto dai mesoni scalarie pseudoscalari. In questo modello i nucleoni (indicati come doppietto di isospin N)e i pioni (tripletto di isospin ) sono trattati come campi fondamentali. I campiN possono essere decomposti nelle componenti NL e NR, che si trasformano sottoSUL(2) SUR(2) come una (2, 1) e una (1, 2) rispettivamente. Il campo dei pionie accoppiato con il bilineare pseudoscalare di Dirac N5N . La simmetria chirale erealizzata introducendo un campo scalare che si accoppia a sua volta con i campifermionici. La lagrangiana e quindi

L = iN 6N + gN( + iaa5)N +1

2[(

a)2 + ()2]

122(2 + (a)2) 1

4(2 + (a)2)2. (1.45)

Si verifica che le trasformazioni che lasciano invariata la lagrangiana (1.45) sono,sotto SUV (2) (V= Vettoriale)

a a + abcbc , (1.46)

e sotto SUA(2) (A=Assiale)

a a + a aa; (1.47)

i campi fermionici si trasformano secondo le (1.29), (1.30).Trascurando le correzioni quantistiche, il vuoto della teoria espressa dalla lagran-

giana (1.45) e dato dal punto di minimo per il potenziale V (, a); raggruppan-do i tre campi pseudoscalari e lo scalare in un unico campo a 4 componenti = (1, 2, 3, ) il potenziale si puo scrivere

V () =1

22 +

44. (1.48)

Calcolando il minimo si ha

V

( = 0) = 0(

2 + 20) = 0. (1.49)

19

Per 2 > 0 esiste lunico punto di minimo 0 = 0; per 2 < 0 si ha invece

20 =2

, (1.50)

relazione che individua una circonferenza di raggio |/| nello spazio di SO(4),

lungo la quale si dispongono infiniti punti di minimo degeneri. In questo caso siverificano le condizioni per la realizzazione della rottura spontanea della simmetriachirale, che avviene nel momento in cui il sistema sceglie un particolare stato divuoto tra gli infiniti a disposizione. Affinche il LSM riproduca effettivamente lafenomenologia, la scelta del vuoto fisico deve soddisfare, oltre che la (1.50), anche lerelazioni (1.44)

Qa5|0 6= 0, Qa|0 = 0,affinche la simmetria di isospin sia preservata. Queste condizioni sono soddisfattecon la scelta

0 =

000v

, v = |/|, (1.51)

che significa assegnare i seguenti valori di aspettazione nel vuoto per i campi:

0|a|0 = 0, 0||0 = v. (1.52)

Esprimendo i campi come oscillazioni intorno al loro punto di minimo si puo allorascrivere

=

1

2

3

v +

, = v; (1.53)

la lagrangiana (1.45) in termini del campo diviene

L = iN 6N + gN( + iaa5)N + gvNN +1

2[(

a)2 + ()2]

|2|2 14(2 + (a)2)2 v(3 + (a)2) + cost. (1.54)

Questa lagrangiana descrive nucleoni di massa mN = gv che si accoppiano con unmesone scalare di massa m =

2(2) 12 e con il tripletto di pioni che, essendo i

bosoni di Goldstone della simmetria rotta, rimangono senza massa.

20

La dinamica contenuta nella lagrangiana (1.54) riesce a spiegare alcune osserva-zioni sperimentali che, in passato, hanno messo in forte discussione lesistenza delmesone scalare (600). Discutiamo qui solo qualitativamente gli aspetti piu intima-mente collegati alla fenomenologia dei mesoni scalari, e in particolare della (600),rimandando ai riferimenti bibliografici per una trattazione rigorosa [9, 10].

Consideriamo ad esempio il processo di scattering in onda S ; al treelevel tale processo e descritto dai diagrammi mostrati nella prima riga di figura 1.2.Lampiezza risulta proporzionale al propagatore della e, in prima approssimazione,puo essere espressa come

A(p) 1p2 m2 + im , (1.55)

dove p e il quadriimpulso, m la massa e la larghezza della risonanza. La fase diquesta ampiezza e data

00 = arctanImA

ReA= arctan

imp2 m2 , (1.56)

che, per p = m, da 00 = /2; ci si aspetta quindi che la fase dellampiezza discattering passi i 90o alla massa della risonanza (m 600 MeV). In figura 1.3 sonoriportati i punti sperimentali dellandamento di 00 in funzione dellenergia nel centrodi massa; si osserva che la fase passa i 90o per

s 0.9 GeV, lontano quindi dal

valore atteso per la massa. Considerazioni di questo tipo portarono ad avanzarelipotesi che non esista una risonanza scalare di massa m 600 MeV.

21

!"#$T

0(tree)0

!!

""

""

!!

!!

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"" !!

""

""

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""

"

I = 0

l = 0

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T00

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!!

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T00

!!

""

""

!!

Figura 1.2: Diagrammi di Feynman per lampiezza di scattering nel LSM.

Lo scenario e diverso quando nel LSM si prendono in considerazione in manieraopportuna le correzioni apportate allampiezza dai diagrammi mostrati nella secondariga di figura 1.2. Si puo dimostrare ([9]) che e necessario tener conto di tutti gliordini in teoria delle perturbazioni per ottenere unampiezza che rispetti la simmetriachirale e che soddisfi la condizione di unitarieta, risommando gli infiniti diagrammicon pioni reali negli stati intermedi, che costituiscono il cosiddetto fondo chirale nonrisonante. Il contributo di self-energia in questo modello rinormalizza i parametrinudi (bare) della ; per la massa si ha ad esempio

M2res = m2 Reres(M2res), (1.57)

dove M2res e la massa rinormalizzata, m2 e la massa non rinormalizzata e res e il

contributo di self-energia. Nel modello descritto in [9] si ottiene Mres 417 MeVper m = 1 GeV. La curva che fitta i dati sperimentali in figura 1.3 e ottenuta conquesto modello.

Gli effetti del fondo chirale, spesso definiti schermatura chirale (chiral shielding)in letteratura, sono stati qui descritti per la diffusione , ma sono presentianche nei processi , descritti nel prossimo capitolo.

22

0.4 0.6 0.8 1 1.2m, GeV

0

50

100

150

200

250

Figura 1.3: Fase 00 dellampiezza si scattering in funzione dellenergia nelcentro di massa: i dati sono quelli della CERN-Munich (MPI) Collaboration; il fit eeffettuato con la funzione fornita dal modello descritto in [9].

23

Capitolo 2

Interazioni

Nellambito della Elettrodinamica Quantistica e, piu in generale, del Modello Stan-dard delle Interazioni Fondamentali, il fotone () e il quanto del campo di gaugeaccoppiato ai campi fermionici elettricamente carichi, cioe il campo elettromagne-tico. Essendo lelettromagnetismo una teoria di gauge basata sul gruppo abelianoU(1), le interazioni dellunico campo di gauge con se stesso non sono possibili, elunico vertice ammesso e il vertice fotone-fermione-antifermione eA: la spie-gazione fisica di cio risiede nel fatto che il fotone non ha carica elettrica, e non puoquindi interagire con un altro fotone.

Le interazioni diventano tuttavia possibili agli ordini successivi in teoria del-le perturbazioni: ciascun fotone puo fluttuare in stati fermione-antifermione cari-chi, e quindi dare luogo a interazioni elettromagnetiche o forti. In questo senso, leinterazioni fotone-fotone sono fenomeni puramente quantistici.

Dal punto di vista sperimentale risulta difficile realizzare collisioni di fasci di fotonidi alta energia; tuttavia, gli acceleratori e+e (tra i quali anche DANE) consentonodi studiare linterazione dei fotoni virtuali () che lelettrone e il positrone incidentiemettono a piccoli angoli ( 1/, = 1/

1 2e ). A differenza dei processidi annichilazione e+e adroni, che permettono di accedere a stati con gli stessinumeri quantici del fotone, le interazioni producono stati con JPC = 0+ e 2+;sono quindi processi utili per lo studio dei mesoni scalari. Le sezioni durto per loscattering hanno un andamento in funzione di s del tipo ln2 s, a differenzadelle reazioni di annichilazione che scalano come 1/s [11]; tuttavia risultano minoririspetto a queste ultime essendo di ordine 4.

24

2.1 Studio dei processi a due fotoni

Consideriamo il processo e+e e+eX, dove X e lo stato prodotto dallinterazionedei due fotoni virtuali 1 ,

2 emessi dallelettrone nel campo del positrone e viceversa.

Sia E lenergia dei fasci di elettroni e positroni e siano q1 e q2 i quadri-impulsidei due fotoni virtuali. La massa invariante al quadrato w2 dello stato finale X saraquindi

w2 = (q1 + q2)2; (2.1)

definita la variabile adimensionale z = w2/4E2 possiamo allora esprimere la sezionedurto come

(e+e e+eX) =

dzdLdz

X(z), (2.2)

dove la luminosita differenziale dLdz

tiene conto della probabilita di irraggiamentoda parte di elettrone e positrone.

2.1.1 Approssimazione di Weizsacker-Williams

Consideriamo il caso in cui i due fotoni 1 , 2 siano quasi reali, vale a dire

q21 q22

Definendo lulteriore variabiler =

x1x2

(2.7)

ed effettuando il cambio di variabili (x1, x2) (z, r) nellintegrale (2.4) si ottiene:

(e+e e+eX) =

dz

drf1(x1)f2(x2)(x1, x2)

(z, r)X(z). (2.8)

Confrontando con la (2.2) si ottiene per la luminosita differenziale lespressione

dLdz

=

drf1(x1)f2(x2)(x1, x2)

(z, r), (2.9)

la cui soluzione e la formula di Low :

dLdz

=

(

2

ln

E

me

)21

2z

[

1

2(2 + z)2 ln

1

z (1 z)(3 + z)

]

. (2.10)

Il metodo di approssimazione appena descritto e chiamato Double Equivalent PhotonApproximation (DEPA), o approssimazione di Weizsacker-Williams [11, 12].

Notiamo che la condizione (2.3), necessaria per lapplicabilita dellapprossima-zione di Weizsacker-Williams, ha come conseguenza il fatto che elettrone e posi-trone nello stato finale siano emessi a piccoli angoli. Infatti, indicando con P 1,2 ilquadri-impulso dellelettrone (del positrone) nello stato finale, si ha:

q21,2 = (P1,2 P1,2)2 = E 1,2E1,2(1 cos 1,2), (2.11)

e la condizione q21 0 implica 1,2 0. Inoltre, i fotoni emessi sono per lo piucollineari; infatti, se 12 e langolo tra

1 e

2 ,

w2 = (q1 + q2)2 2E1E2(1 cos 12), (2.12)

e w2 ha il suo massimo per 12 , cioe quando i fotoni collidono testa a testa.

2.1.2 Sezione durto risonante

Specializziamo ora la trattazione al processo e+e e+e e+e00: la sezionedurto che compare nella (2.2) deve tener conto della notevole larghezza stimataper il mesone (600) (da 500 a 1000 MeV [13]). Come forma funzionale piu adattaa descrivere uno stato risonante con larghezza grande e stata scelta la Breit-Wignerrelativistica

e+ee+e00 =8(2J + 1)(~c)2

w2M2(w)

(w2 M2)2 +M22(w) , (2.13)

26

dove, per una risonanza larga di spin J = 0, si ha

(w) = 0M

w

p

p0= 0

1 4m2/w21 4m2/M2

; (2.14)

nella 2.13 0 e la larghezza totale calcolata alla massa della risonanza, 0 = tot(w =M), p e limpulso del 0 nel sistema del centro di massa dei due fotoni, e p0 =p(w =M).

Lespressione completa della sezione durto differenziale per il processo in esamediviene allora, in approssimazione DEPA,

de+ee+e00

dw=

1

3

8(~c)2

w2M2(w)

(w2 M2)2 +M22(w)

(

2

ln

E

me

)21

w

[

(

2 +w2

4E2

)2

ln2E

w(

1 w2

4E2

)(

3 +w2

4E2

)

]

, (2.15)

avendo espresso la formula di Low (2.10) in funzione della variabile w =z4E2,

dL/dw = dL/dz dz/dw. Il fattore 1/3 nella (2.15) e il BR del decadimentodi uno scalare singoletto di isospin in due pioni neutri, in accordo con la simmetriadellisospin. La funzione 2.15 e mostrata in figura 2.1 per tre diversi valori di massae larghezza e per = 1 keV.

2.2 Elemento di matrice

In questo paragrafo descriviamo brevemente il calcolo della sezione durto per ilprocesso e+e e+e e+e00 senza ricorrere allapprossimazione DEPA(processo a 4 corpi nello stato finale), e confrontiamo i risultati ottenuti con i dueapprocci.

Lelemento di matrice si calcola a partire dallampiezza di Feynman

M = e+e00|O|e+e, (2.16)

dove O e un operatore che descrive laccoppiamento del mesone ai due fotonivirtuali emessi da elettrone e positrone e il successivo decadimento 00. Idue diagrammi di Feynman che contribuiscono a questa ampiezza allordine 2 sonomostrati in figura 2.2: in un caso i fotoni virtuali cui si accoppia il mesone sonospace-like (processo nel canale t), nel secondo sono time-like (processo nel canale s).

27

w (MeV)

d

/dw

(pb

/MeV

)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 2.1: Sezione durto differenziale d/dw, data dalla (2.15), con i valori dimassa e larghezza misurati dagli esperimenti E791 (M = 478 MeV, = 324 MeV),CLEO (M = 513 MeV, = 335 MeV) e BES (M = 541 MeV, = 504 MeV) e con = 1 keV.

28

Interpretando il mesone come uno stato a quattro quark [qq][qq], il vertice puo essere descritto come illustrato in figura 2.3:, il mesone decade in due mesonivettori , ciascuno dei quali si converte in un fotone. La dinamica del processo e simile a quella del processo , e vede un quark e un antiquarkattraversare per effetto tunnel la barriera di potenziale del diquark e dellantidiquarkrispettivamente, per poi legarsi a formare un mesone qq. Laccoppiamento edescritto dal modello Vector Meson Dominance (VMD).

Figura 2.2: Diagrammi di Feynman allordine 2 che contribuiscono allampiezza(2.16), con il processo nel canale t (a sinistra) e quello nel canale s (a destra).

Figura 2.3: Vertice nel modello con il mesone (interpretato come un tetra-quark) che decade in due mesoni vettori , che poi si convertono ciascuno in unfotone (assumendo VMD).

29

2.3 Esperimenti

Tra i vari esperimenti che hanno affrontato la fisica per lo studio dei mesoni scalarici soffermiamo qui brevemente su JADE e Crystal Ball (1990), e su Belle (2008).

Con il rivelatore JADE sono state studiate le reazioni e+e e+e00 e e+e e+e0 prodotte nellacceleratore PETRA ad Amburgo. Sono state misurate lelarghezze per f2(1270), a0(980) e a2(1320), e la sezione durto per il processo 00 nellintervallo 2.0 3.5 GeV [14].

Lesperimento Crystal Ball [15] ha analizzato i dati raccolti a DESY con lacce-leratore e+e DORIS II, utilizzando fasci di energie di circa 5.3 GeV. Si tratta delprimo esperimento ad aver misurato la sezione durto per il processo 00 permasse invarianti che vanno dalla soglia di produzione ( 270 MeV) fino a circa 2GeV. Nella regione w < m00 < 0.6 GeV lesperimento ha misurato una sezionedurto piatta di circa 10 nb, interpretata come uno stato non risonante. A valori dimassa invariante piu elevati, Crystal Ball ha osservato la formazione della f2(1270) eun segnale riconducibile alla f0(980); per entrambe le risonanza ha quotato il valoredi .

La collaborazione Belle [16] ha utilizzato i dati forniti dal collisore asimmetricoKEKB, misurando la sezione durto differenziale per il processo 00 nellin-tervallo di massa invariante 0.6 GeV < w < 4.0 GeV ottenendo risultati in accordocon quelli di Crystal Ball. Il grafico con i dati sperimentali di Belle e di Crystal Balle il fit effettuato da Belle e mostrato in figura 2.4.

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

W (GeV)

()

(nb

)

Belle

Crystal Ball

|cos *| < 0.8

Figura 2.4: Sezioni durto misurate dagli esperimenti Crystal Ball e Belle.

30

Capitolo 3

Esperimento KLOE a DANE

Nel 1989 lIstituto Italiano di Fisica Nucleare (INFN) decise di costruire un accelera-tore-collisore e+e che operasse ad alta luminosita intorno allenergia della risonanza (m = 1019.456 0.020 MeV). Tale collisore, una -factory, e stato realizzatoallinterno del complesso dei Laboratori Nazionali di Frascati (LNF), il laboratoriodi fisica di alte energie dellINFN vicino a Roma; e stato collocato nelledificio cheaveva ospitato ADONE, lanello e+e da 3 GeV in funzione dal 1969 al 1993.

3.1 DANE

Il nome DANE e lacronimo per Double Annular For Nice Experiment. Si tratta diuna macchina costituita di due anelli di accelerazione distinti, uno per gli elettroni elaltro per i positroni, e in questa caratteristica si differenzia dal predecessore ADO-NE che invece accelerava elettroni e positroni in un unico anello; tale caratteristicapermette di ridurre notevolmente alcune sorgenti di fondo dovuti alle interazioni trai pacchetti dei due fasci e di ottenere elevati valori di luminosita.

Oltre ai due anelli, il complesso di DANE comprende un acceleratore lineare(LINAC) e un anello intermedio in cui elettroni e positroni vengono accumulati. IlLINAC e utilizzato per accelerare gli elettroni fino allenergia finale di 510 MeV, maanche per accelerarli ad unenergia di circa 250 MeV in una stazione intermedia dovevengono prodotti i positroni, a loro volta portati poi a 510 MeV. Elettroni e positronipassano quindi nellanello di accumulazione intermedio e, infine, vengono iniettati inpacchetti negli anelli veri e propri. Siccome lintensita dei fasci accumulati decadevelocemente con il tempo, il ciclo e ripetuto diverse volte ogni ora. Le interazioniavvengono una alla volta tra un pacchetto di elettroni e il corrispondente pacchettodi positroni nella regione in cui i due anelli si incrociano.

31

Figura 3.1: Complesso degli acceleratori di DANE.

32

ele pos

Figura 3.2: Il doppio anello per collisioni e+e.

Elettroni e positroni circolano negli anelli raggruppati in n pacchetti da N par-ticelle luno. La grandezza che caratterizza il collisore e la sua luminosita L definitacome il coefficiente di proporzionalita tra rate di eventi w e sezione durto , w = L.La luminosita totale risulta proporzionale al numero di pacchetti, al numero di parti-celle in ciascun pacchetto e alla frequenza di rivoluzione dei fasci (), e inversamenteproporzionale alle larghezze r.m.s. dei fasci nelle direzioni trasverse (x, y)

1:

L = n N2

4xy= nL0, (3.1)

dove con L0 = N2/4xy e stata indicata la luminosita di singolo pacchetto.La luminosita e limitata essenzialmente dallinterazione elettromagnetica tra i duefasci, che possono essere minimizzati mediante un forte focheggiamento nel punto diinterazione ottenuto con doppietti o tripletti di quadrupoli.

I fasci di elettroni e positroni si intersecano nella zona di interazione formandoun angolo di 0.025 radianti nel piano zx; il risultato e che il sistema del centrodi massa non coincide con quello del laboratorio, ma si muove verso il centro deglianelli con un impulso di circa 13 MeV corrispondente a 0.015, 1.0001ad unenergia nel centro di massa

s = m. Per minimizzare gli effetti dellangolo

di incrocio sulla dinamica dei fasci, rendendola il piu possibile simile a quella che siavrebbe con un incrocio ad angolo , la forma dei pacchetti in prossimita del punto

1Per convenzione il piano su cui giacciono gli anelli e il piano zx; lasse z coincide con la tangenteagli anelli nel punto di interazione.

33

di interazione e simile ad una piattina molto schiacciata (30 mm nella direzione z, 2mm nella direzione x e 0.02 mm nella direzione y).

3.2 KLOE

La Collaborazione KLOE (K LOng Experiment) propose nel 1991 la realizzazione diun rivelatore e lo sviluppo di un programma per svolgere esperimenti di precisionesulla fisica dei mesoni K. Il rivelatore KLOE fu realizzato e collaudato a partiredallestate del 1998, per essere poi posizionato sulla regione di interazione sud diDANE allinizio del 1999.

Nei sette anni successivi KLOE ha accumulato unimponente mole di dati che hapermesso di rimappare con alta precisione la fisica dei K. In particolare, i contributidi KLOE hanno riguardato:

1. nuove misure di precisione dei parametri dei mesoni K e dei loro decadimenti;

2. la determinazione dellelemento Vus della matrice CKM, test sullunitarieta esulluniversalita leptonica, ricerca di nuova fisica;

3. proprieta e spettroscopia dei mesoni leggeri;

4. esperimenti di interferometria quantistica;

5. test sulla violazione di CP e di CPT .

La complessita e le dimensioni di KLOE risultano paragonabili a quelle di coevirivelatori di uso generico, come LEP al CERN, nonostante questi ultimi lavorasseroa energie circa 100 volte superiori rispetto a quella di KLOE. E importante insisteresul fatto che lo scopo che KLOE si prefigge e quello di fare fisica di alta precisione, ed equesto scopo che ne determina la forma, la complessita, le dimensioni. In particolare,le grandi dimensioni sono dovute allesigenza di raccogliere unapprezzabile frazionedi decadimenti del KL che, prodotto assieme al KS nel 34% dei decadimenti della, ha un cammino medio L = c = 340 cm. Il compromesso accettato e statoquello di avere un rivelatore di circa 2 metri di raggio, capace di raccogliere il 40%dei decadimenti.

Le caratteristiche che KLOE deve soddisfare sono:

elevata accettanza geometrica;

efficienza elevata e uniforme sullintero volume di decadimento del KL;

34

alta efficienza di tracciamento di particelle cariche in campo magnetico;

alta efficienza nel rivelare i fotoni.

Il rivelatore, mostrato in figura 3.3, e un apparato a simmetria cilindrica posizio-nato intorno al punto di interazione con lasse coincidente con lasse z; le dimensionisono circa 6 6 7 m3. Le componenti principali del rivelatore sono, muovendosiradialmente dal punto di interazione (IP) verso lesterno:

un tubo a vuoto intorno al punto di interazione;

due quadrupoli focalizzanti circondati dai calorimetri a piccolo angolo (QCAL);

una grande camera a deriva (DC) (vedi 3.2.1);

un calorimetro elettromagnetico (vedi 3.2.2);

un solenoide con bobina superconduttrice, che genera un campo magneticoassiale di 0.52 T.

Il tubo a vuoto avvolge lasse z per tutta la lunghezza del rivelatore, e assumeuna forma sferica di raggio r = 10 cm intorno al punto di interazione; tale sfera,pensata per contenere la quasi totalita dei decadimenti del KS (r > 15S), ha lepareti realizzate in una lega di berillio-alluminio per uno spessore di 0.5 mm, perridurre la rigenerazione dei KL, la diffusione multipla e la perdita di energia perionizzazione.

I due quadrupoli per il focheggiamento dei fasci sono posti attorno allasse z a46 cm dal punto di interazione. I calorimetri a piccolo angolo (QCAL) circondano iquadrupoli focalizzanti, e sono costituiti da una struttura a campionamento compostada strati di assorbitore (piombo) spessi 1.9 mm alternati a strati di 1 mm di materialescintillante, per uno spessore complessivo di 5.5 X0, con X0 lunghezza di radiazione.Lo scopo dei calorimetri a piccolo angolo e quello di rivelare i fotoni che sarebberoaltrimenti assorbiti dai quadrupoli; piu precisamente, il loro compito principale equello di identificare e rigettare i fotoni provenienti dal decadimento KL 30quando si vogliono selezionare gli eventi KL 20 che violano CP .

35

S.C. COIL

Barrel calorimeter

DRIFT CHAMBER

En

d C

ap

Cryostat

Po

le P

iece

YOKE

6 m

7 m

Figura 3.3: Il rivelatore KLOE.

90 cm

R in = 11 cm5.5 cm

PM1

PM2

R ext = 16.5 cm

R ext = 21.5 cm

Pb layers (1.9 mm)

Scintillator tiles (1 mm)and WLS fibers

Figura 3.4: Un calorimetro a piccolo angolo (QCAL).

36

3.2.1 La camera a deriva

La regione 25 < R < 200 cm ospita la grande camera a deriva, il cui compito e latracciatura tridimensionale delle particelle cariche e la determinazione del vertice didecadimento del KL con unaccuratezza di 1 mm su tutto il volume. Si tratta diun cilindro di raggio R = 2 m e lunghezza 3.4 m (lungo lasse z), attraversato daun grande numero di fili ( 52000), alcuni a tensione (+2000 volt, detti fili anodici),altri a massa, e riempita di una miscela di gas. Quando una particella carica entranella camera a deriva, gli elettroni prodotti per ionizzazione lungo la sua traiettorianel gas vengono attratti dai fili anodici e, per un meccanismo di moltiplicazione avalanga, compare un segnale allestremita del filo stesso. Unelettronica sofisticatapredisposta alle estremita dei fili anodici permette di rivelare i seppur deboli segnalie di misurare cariche e tempi di deriva.

La carica totale integrata raccolta da informazioni sullenergia rilasciata dalla par-ticella iniziale. Inoltre, particelle con masse diverse che attraversano lo stesso mezzocon lo stesso impulso rilasciano diversi quantitativi di energia: per p uguale essehanno diverso e quindi diversa energia rilasciata per ionizzazione, dE/dx 1/2.Linformazione relativa al quantitativo di energia rilasciata e quindi preziosa peridentificare la particella. Infine, la misura del tempo di deriva permette di determi-nare la distanza della traccia dai fili anodici e di ricostruire quindi la traiettoria delleparticelle.

Il problema di un simile rivelatore e che leffettivo cammino di una particella ealterato dallo scattering multiplo, con un angolo di diffusione proporzionale a 1/

X0,

dove X0 e la lunghezza di radiazione, a sua volta approssimativamente proporzionalea 1/Z2 (in gV/cm2) e alla densita del mezzo. I materiali scelti per minimizzare talieffetti sono

fibre di carbonio per la struttura;

una miscela al 90% elio e al 10% di isobutano per il gas.

Questa scelta assicura anche unelevata trasparenza e una minimizzazione del feno-meno di rigenerazione dei KL.

La richiesta di tracciatura tridimensionale ha condotto alla scelta di celle ap-prossimativamente quadrate a singolo filo anodico, organizzate in cilindri coassialistereoscopici, con i fili inclinati di un piccolo angolo rispetto allasse del rivelatoreper determinare la coordinata longitudinale. Il numero totale delle celle e 12582,disposte su 58 anelli; le celle dei 12 anelli piu interni hanno lato di 2 cm, quelledei rimanenti 46 anelli piu esterni di 3 cm. I segnali che si propagano lungo ifili anodici, detti hits, vengono amplificati e discriminati, per poi essere inviati ai

37

convertitori TDC (Time to Digital Converter) con una risoluzione temporale di circa1 ns.

3.2.2 Il calorimetro elettromagnetico

I prodotti di decadimento neutri di KL, KS e K sono i fotoni, generati diretta-

mente o attraverso il decadimento di pioni neutri in due fotoni. Fotoni di energienon inferiore a qualche MeV, come quelli in questione, interagiscono con la materiaproducendo coppie elettrone-positrone che, a loro volta, irradiano fotoni. Un fotone,attraversando un materiale denso ad alto numero atomico Z, da luogo ripetutamentea processi di produzione coppia e irraggiamento fino a qundo tutta la sua energia si econvertita in uno sciame elettromagnetico di e+e e fotoni. Misurando lenergia de-positata da queste particelle si puo quindi risalire allenergia del fotone originario; equesto il compito del calorimetro elettromagnetico, che individua anche le coordinatespazio-temporali dello sciame.

Il calorimetro elettromagnetico di KLOE (EMC) e stato progettato per soddisfareuna serie di stringenti richieste:

buona risoluzione energetica,

EE

0.06E(GeV)

; (3.2)

ottima risoluzione temporale per ricostruire i vertici dei decadimenti neutri delKL,

T 57 ps

E(GeV) 100 ps; (3.3)

capacita di rivelare ermeticamente e con alta efficienza fotoni di bassa energia(20 500 MeV);

velocita di risposta, per poter utilizzare il segnale come trigger principale (vedi4.1).

Per soddisfare tali richieste la scelta e stata quella di un calorimetro a campio-namento composto di strati inerti di piombo, che accelerano il processo di sciameelettromagnetico, alternati a strati di materiale scintillante. Piu precisamente, sonostati utilizzati fogli sottili (0.5 mm) di piombo, sui quali sono praticate scanalaturesemicilindriche di 1 mm di diametro che ospitano le fibre scintillanti; le fibre si ritro-vano cos tra uno strato di piombo e laltro senza essere sottoposte a compressione.

38

Le fibre sono disposte ai vertici di triangoli equilateri, di lato 1.35 mm. Circa 200 ditali strati vengono sovrapposti, incollati e pressati a formare un materiale compatto,nel quale il rapporto in volume fibre:piombo:colla e 48:42:10, con una densita mediadi 5 g/cm3 e una lunghezza di radiazione X0 di 1.5 cm. Questo materiale viene poimodellato in moduli di circa 23 cm di spessore, corrispondenti a 15X0. 24 modulidi sezione trapezoidale sono disposti parallelamente allasse z a coprire tutto langoloazimutale, circondando cos la superficie laterale della camera a deriva: il corpo cen-trale del calorimetro cos ottenuto prende il nome di barrel. Altri 32 moduli di sezionequadrata o rettangolare costituiscono i due endcap che avvolgono i poli del magnetesuperconduttore chiudendo ermeticamente il calorimetro, con una copertura al 98%dellangolo solido.

La luce prodotta per scintillazione nelle fibre viene raccolta e letta ad entrambele estremita dei moduli attraverso guide di luce in plexiglass otticamente accoppiatea fotomoltiplicatori. I segnali dei fotomoltiplicatori vengono divisi e inviati agli ADC(Analog To Digital Converter) per le misure di energia e per il sistema di trigger,e ai TDC (Time to Digital Converter) per le misure di tempo. La segmentazioneintrodotta dalle guide di luce nelloperazione di raccolta e lettura dei segnali luminosifa s che il calorimetro risulti suddiviso in 2440 celle di sezione quadrata, con lato 4.4 cm.

Figura 3.5: Sezione trasversale di un modulo del calorimetro elettromagnetico.

39

3.3 Algoritmi di ricostruzione

In questa sezione vengono brevemente descritte le procedure tramite le quali daisegnali registrati nel calorimetro e nella camera a deriva si traggono informazionicirca le posizioni, i tempi (rispetto al bunch crossing) e le energie delle particelle.

3.3.1 Ricostruzione dei cluster

Indicando con A e B le due estremita di ciascuna cella nel calorimetro, il tempo diarrivo t della particella e la sua coordinata s lungo la fibra (assumendo lorigine nelcentro della fibra) sono ottenuti dai conteggi TA,B registrati dal TDC:

t(ns) =tA + tB

2 t

A0 + t

B0

2 L

2v, (3.4)

s(cm) =v

2

(

tA tB tA0 + tB0)

, (3.5)

contA,B = cA,B TA,B,

dove cA,B (ns/(conteggi TDC)) sono le costanti di calibrazione del TDC, tA,B0 sonoi tempi di offset, e L e v sono rispettivamente la lunghezza della cella e la velocitadella luce nelle fibre.

Lenergia del segnale, E, su ciascun lato della cella i-esima e ottenuta dal segnaledi ampiezza S (in conteggi ADC) registrato dal corrispondente fotomoltiplicatore:

EA,Bi (MeV) = kESA,Bi SA,B0,i

SM,i, (3.6)

dove S0,i e lampiezza di offset e SM,i e la risposta per una particella che attraversa ilcentro del calorimetro al minimo di ionizzazione; kE e il fattore di scala per lenergia(in MeV), ed e ottenuto utilizzando sciami di particelle di energia nota. Lenergiadella cella, Ei, e assunta come la media delle energie a ciascuna estremita, pesate perun fattore di correzione AA,Bi (s) che tiene conto dellattenuazione della luce lungo lafibra in funzione della coordianata di impatto s,

Ei(MeV) =

(

EAi AAi + E

Bi A

Bi

)

2. (3.7)

Le costanti SM,i e AA,Bi (s) sono determinate utilizzando un trigger dedicato prima

dellinizio di ogni periodo di acquisizione. I tempi di offset e la velocita della luce nelle

40

fibre sono stimati continuamente utilizzando raggi cosmici di alta energia, selezionatitramite le informazioni fornite dalla camera a deriva.

La posizione ricostruita e la correzione energia-tempo in funzione della coordinatadi impatto s sono calcolate per ogni cella avente un hit. A questo punto lalgoritmodi ricostruzione dei cluster ricerca un gruppo di celle e raggruppa in pre-cluster lecelle adiacenti in R (per il barrel) e in xz (per lendcap), essendo langolo azi-mutale nel sistema di coordinate cilindriche ovvio per la geometria del calorimetro.La coordinata longitudinale e i tempi di arrivo dei pre-cluster sono quindi utilizzatiper effettuare il merging (accorpamento) o lo splitting (suddivisione), ottenendo ilcluster vero e proprio; lenergia del cluster e la somma delle energie delle celle chelo compongono, mentre posizione (xcl, ycl, zcl) e tempo (tcl) sono dati dalla mediapesata con le energie delle celle componenti. Le celle sono incluse nella formazionedei cluster solo se presentano i segnali di tempo e di energia a entrambe le estremita,altrimenti sono catalogate come celle incomplete; una cella incompleta e eventual-mente riutilizzata dopo la formazione del cluster se il confronto tra le sue coordinatexy (xz sullendcap) e la posizione del centroide del cluster da esito positivo.

La produzione di frammenti (splitting) dallo sciame elettromagnetico e studiatadal confronto dati-Monte Carlo per il processo e+e , utilizzando dei tagli suicluster piu energetici. Si considera come variabile la distanza minima tra il centroidedel cluster piu energetico (fotone gold) e quello degli altri cluster,

R =

(

xgoldcl xicl)2

+(

ygoldcl yicl)2

+(

zgoldcl zicl)2

; (3.8)

le distribuzioni in questa variabile per il Monte Carlo e in buon accordo con i datiper alti valori di R, mentre a piccoli valori e presente una discrepanza, dovuta adunerrata simulazione dei frammenti nel MC.

La procedura utilizzata nellanalisi per ovviare al fenomeno dello splitting deicluster e descritta in 6.1.1.

3.3.2 Ricostruzione delle tracce

La procedura di ricostruzione delle tracce avviene attraverso tre fasi:

pattern recognition: vengono selezionati gli hit nella camera a deriva cheforniscono una determinazione rozza dei parametri della traccia;

track fit: viene effettuato un fit della traccia minimizzando i valori di distanzarelativa;

vertex fit: due tracce vengono associate per individuare la posizione del vertice.

41

Pattern recognition. I fili anodici della camera a deriva, come gia descritto in3.2.1, formano con lasse z angoli stereoscopici positivi e negativi alternati. Quandovengono proiettati sul piano xy, gli hit sono distribuiti lungo due curve vicine, forma-ta una dagli hit presenti sui fili con angolo stereo positivo, laltra da quelli presentisui fili con angolo stereo negativo.

La procedura di pattern recognition combina gli hit di ciascuna proiezione se-paratamente, definendo due tracce candidate usando esclusivamente le informazionibidimensionali.

Track fit. La procedura di track fit consiste nelleffettuare un fit delle tracce in-dividuate dalla procedura di pattern recognition per individuare la traccia effettiva.Viene costruita una variabile di tipo 2 partendo dalle seguenti grandezze misurate:

le distanze di deriva, misurate a partire dalla traccia candidata, raccolte in unvettore n-dimensionale (con n pari al numero di hit della traccia);

la matrice di covarianza n n, costruita a partire dalla matrice degli errorisulle distanze di deriva.

Minimizzando la variabile 2 si ottengono i parametri che permettono di fornirela migliore stima di impulso e posizione della particella. Tali parametri sono:

1. FH =

x2FH + y2FH , distanza del primo hit dallasse z;

2. zFH , coordinata z del primo hit;

3. k = Q/pT , raggio di curvatura della traiettoria per una particella di carica Qe impulso trasverso pT ;

4. cot FH = pz/pT , cotangente dellangolo polare per il primo hit nella traccialasciata da una particella con impulso longitudinale pz e impulso trasverso pT ;

5. tanFH = py/pz, tangente dellangolo azimutale del primo hit nella traccialasciata da una particella con componenti dellimpulso py e pz.

Nella procedura di minimizzazione sono presi in considerazione gli effetti dovutialla diffusione multipla.

42

Vertex fit. Per gli eventi che presentano almeno due tracce viene calcolata unafunzione di 2, costruita a partire dalle seguenti grandezze:

le coordinate del primo e dellultimo hit della traccia;

le incertezze relative allestrapolazione delle tracce al punto di interazione deifasci.

Il fit effettuato minimizzando il 2 fornisce i parametri:

1. r V , la posizione del vertice;

2. p , limpulso di ciascuna traccia nella coordinata del vertice;

3. r pca, la posizione del punto di minima distanza dal punto di interazione perciascuna traccia.

3.3.3 Associazione traccia-cluster

Per identificare i fotoni, e necessario individuare (per poi rigettarli) i cluster associatiad una traccia nella camera a deriva, compito svolto da un apposito algoritmo diassociazione traccia-cluster.

La procedura inizia collegando le tracce e i vertici ricostruiti in catene di decadi-mento e isolando le tracce alla fine di tali catene. Per ciascuna di queste tracce, ilmomento misurato e la posizione dellultimo hit nella camera a deriva sono utilizzatiper estrapolare la traccia al calorimetro. Lestrapolazione fornisce la lunghezza dellatraccia Lex dallultimo hit nella camera alla superficie del calorimetro, limpulso p exe la posizione x ex della particella alla superficie del calorimetro.

Il risultante punto di impatto e quindi confrontato con le posizioni x icl dei cen-troidi dei cluster ricostruiti in quella regione del calorimetro. Lassociazione dellatraccia con il cluster avviene se e verificata la condizione

Dtcl =

(x cl x ex) p ex|p ex|

< 30 cm. (3.9)

43

Capitolo 4

Acquisizione Dati

I dati utilizzati per lanalisi sono stati acquisiti dal rivelatore KLOE a DANEallenergia nel centro di massa

s = 1 GeV nel periodo 17.12.2005 - 16.3.2006, per

una luminosita integrata di 239.6 pb1. Le condizioni tipiche di acquisizione sonoriportate in tabella 4.1.

Parametro Valore medios 1000.1 MeV

impulso trasverso e+e 12.7 MeV (x)Luminosita 7 1031 cm2 s1

rate di acquisizione 1.7 kHzcorrente e 1.1 Acorrente e+ 0.7 A

Tabella 4.1: Valori medi dei parametri d acquisizione dati.

Gli eventi acquisiti, filtrati dallalgoritmo di reiezione del fondo (FILFO), sonostati originariamente selezionati con i filtri dedicati allanalisi dei decadimenti della; ai fini dello svolgimento di questa analisi, i dati sono stati riprocessati con criteriottimizzati per lo studio delle interazioni (4.3).

4.1 Il sistema di trigger

La frequenza di eventi a DANE alla massima luminosita e di 2.5 kHz per eventidi , 50 kHz per eventi Bhabha, 2.5 kHz per eventi di cosmici e circa 100 kHz pergli eventi di fondo macchina (vedi 4.2). Il sistema di trigger deve quindi ridurre almassimo gli eventi di fondo, cos da non sovraccaricare il sistema di acquisizione dati

44

e minimizzare i tempi morti. Allo stesso tempo deve essere garantita unefficienzaelevata per gli eventi di (maggiore del 99.5%) e deve essere conservata la frazionedi eventi Bhabha e cosmici necessaria per le calibrazioni.

Il sistema di trigger e basato sul deposito di energia nel calorimetro e sullinfor-mazione fornita dalla camera a deriva. Il trigger e composto da due livelli: un primolivello produce un segnale veloce che attiva lelettronica di Front-End (FEE). Dopolarrivo del primo segnale di trigger, vengono acquisite ulteriori informazioni dallacamera a deriva che vengono impiegate, insieme a quelle fornite dal calorimetro, perconfermare il trigger di primo livello e attivare il sistema di acquisizione (DAQ).Il trigger di primo livello accetta eventi che soddisfano almeno una delle seguenticondizioni:

2 cluster nel calorimetro con energia maggiore di una certa soglia (LET, LowEnergy Threshold) con le possibili configurazioni barrel-barrel, barrel-endcap eendcap-endcap (questultima configurazione richiede pero che i due cluster nonsiano registrati sullo stesso endcap). Le soglie di energia sono 50 MeV per ilbarrel e 150 MeV per gli endcap;

almeno un hit in 15 celle di deriva entro 250 ns.

I convertitori TDC del calorimetro misurano quindi il tempo rispetto allistantein cui si e verificato lincrocio tra i due pacchetti di elettroni e positroni (bunchcrossing). Questo metodo consente di mantenere la risoluzione temporale nellordinedei ps.

Il trigger di secondo livello seleziona gli eventi secondo i seguenti criteri:

nel calorimetro, almeno un settore del barrel o tre settori dellendcap accesi;

nella camera a deriva, almeno un hit negli 850 ns successivi al segnale di triggerdi primo livello.

4.2 Filtro per la reiezione degli eventi di fondo

(FILFO)

FILFO (FILtro di FOndo) e un filtro per la reiezione del fondo basato principalmen-te sulle informazioni calorimetriche; utilizza tre strategie distinte per individuare erigettare tre diversi tipi di eventi: raggi cosmici, eventi bhabha-like, fondo macchina.

45

Raggi Cosmici. Levento e individuato come raggio cosmico, e rigettato cometale, se e verificata almeno una delle seguenti condizioni:

lintervallo temporale tra la cella piu esterna e quella piu interna del primocluster in tempo e negativa, T = Tout Tin < 0: questa condizione definisceuna particella che arriva dallesterno del rivelatore;

la distanza temporale t e quella spaziale R tra i primi due cluster ordinatiin tempo sono tali che t > aR + b, con a = 0.034 ns/cm, b = 1.15 ns.

Eventi Bhabha e bhabha-like. Sono definiti eventi bhabha-like gli eventi Bha-bha che interagiscono nei calorimetri a piccolo angolo. I criteri seguiti per rigettaretali eventi sono i seguenti:

il numero di cluster dellevento deve essere minore o uguale a 7;

lasse dellevento a, definito dal centroide del cluster, deve formare con lassez un angolo a < 35

o;

la media quadratica, pesata per le energie, delle distanze dei cluster dallasse adeve soddisfare la relazione

d =

i d2iEi

Ei< 90 cm, (4.1)

dove di e Ei sono rispettivamente la distanza da a e lenergia del clusteriesimo.

Fondo macchina. I processi fisici che generano il cosidetto fondo macchina sono:

1. diffusione coulombiana da molecole di gas residuo;

2. bremsstrahlung nel gas residuo della camera a vuoto e sulle pareti della beampipe;

3. effetto Touschek, cioe lo scattering coulombiano tra particelle nello stesso pac-chetto.

Le sole informazioni calorimetriche non sono sufficienti a rigettare questi eventi; siricorre quindi anche al numero di hits nella camera a deriva, essendo lhit la presenzadi segnale su uno dei fili.

Una selezione preliminare per lidentificazione di eventi di fondo macchina preve-de:

46

Nhits < 200;

numero di cluster nel calorimetro 2 Nclu 6, con energia totale Etot < 1.7GeV.

Successivamente, gli eventi vengono rigettati con tagli sugli angoli polari dei duecluster piu energetici e sul rapporto tra il numero di hits nei 12 strati piu internidella camera a deriva e il numero totale di hits.

4.3 Filtro

A differenza dei processi di produzione di , nei quali le particelle nello stato finale de-positano nel calorimetro grandi quantitativi di energia, negli eventi di interazione gran parte dellenergia a disposizione viene trasportata dallelettrone e dal positronenello stato finale che, deviati a piccoli angoli, proseguono il loro cammino uscendodallapparato senza essere rivelati; il quantitativo di energia che gli altri prodottirilasciano nel calorimetro e, quindi, relativamente piccolo. Il Filtro , progettato ecollaudato da D.Capriotti[17], e ottimizzato per lo studio delle reazioni:

e+e e+e;

e+e e+e0;

e+e e+e.

Le richieste avanzate dal filtro sono

1. almeno due cluster prompt e non associati a tracce (fotoni) nel calorimetro;

2. entrambi i fotoni con E1, E2 > 15 MeV e angolo polare 20o < 1,2 < 160

o;

3. almeno un fotone con energia maggiore di 50 MeV;

4. il rapporto R = (E1 + E2)/Etot maggiore di 0.3;

5. 100 MeV < Etot < 900 MeV, per rigettare eventi di fondo a bassa energia e iprocessi ad alto rate Bhabha e e+e .

47

Esperimento E791 CLEO BESgenerati ( = 15o) 23000 23223 31209

trigger 19522 (0.848) 19782 (0.852) 26142 (0.838)FILFO 16932 (0.736) 17082 (0.735) 22863 (0.732)filtro 16879 (0.735) 17016 (0.733) 22498 (0.721)

Tabella 4.2: Efficienze di trigger, FILFO e filtro .

4.4 Efficienze di trigger, FILFO e filtro

Dalle tre produzioni Monte Carlo a disposizione, assumendo laccettanza max = 15o

per elettrone e positrone nello stato finale, sono state calcolate le efficienze di trigger,FILFO e filtro (in cascata), riportate in tabella 4.2.

Nel capitolo 6 (6.1.4) gli andamenti delle efficienze di trigger, FILFO e filtro sono studiati in funzione della massa invariante dei 2 pioni nello stato finale.

48

Capitolo 5

Simulazioni Monte Carloper segnale e fondi

In questo capitolo sono descritte le produzioni Monte Carlo utilizzate per studiarele efficienze delle selezioni di analisi, tanto per il segnale di quanto per i processidi fondo (vedi cap. 6). Tutte le produzioni MC sono state ottenute utilizzando ilprogramma GEANFI, sviluppato dalla collaborazione KLOE a partire dal pacchettoGEANT3 [18, 19].

GEANFI permette di simulare tutti i processi che hanno luogo nel rivelatorealle energie di DANE: per un dato processo e+e XY . . . Z la produzione MCfornisce i quadri-impulsi degli stati finali XY . . . Z e ne simula i decadimenti o leinterazioni nella camera a deriva e nel calorimetro.

5.1 Processo e+e e+e e+e00as = 1 GeV

Il programma che genera gli eventi e+e e+e e+e00 e stato realizzato inlinguaggio Fortran da F. Nguyen, F. Piccinini, A. Polosa [20]. Nella simulazioneviene calcolato lelemento di matrice come descritto in 2.2, riguardando il mesone come uno stato [qq][qq], assumendo il modello VMD e descrivendo la formazionedella risonanza mediante una funzione Breit-Wigner. Sono state realizzate tre diverseproduzioni, utilizzando per massa e larghezza del mesone i valori misurati negliesperimenti E791, CLEO e BES, riportati in tabella 5.1.

In figura 5.1 in alto sono mostrati gli eventi MC generati con i valori di BESdistribuiti nellimpulso trasverso del sistema e+e nello stato finale. Nonostante la

49

Esperimento Massa (MeV) Larghezza (MeV)E791[3] 478+2423 17 324+4240 21CLEO[5] 513 32 335 67

M i/2BES[4] (541 39) i(252 42)

Tabella 5.1: Masse e larghezze misurate nei tre esperimenti E791, CLEO e BES eutilizzate per le tre produzioni Monte Carlo utilizzate in questo lavoro. Si noti che[3, 5] forniscono i valori di massa e larghezza ottenuti fittando i dati con una funzioneBreit-Wigner, mentre [4] fornisce il polo M i/2 ottenuto mediante unanalisi inonde parziali.

distribuzione sia piccata a bassi valori di pT , la coda ad alti impulsi trasversi risultanon trascurabile. Per selezionare eventi Monte Carlo ben descritti dallapprossima-zione DEPA e stata posta una limitazione sullangolo polare di elettrone e positronenello stato finale, richiedendo che questi siano al di fuori di una certa accettanzamax:

pos < max, el > ( max). (5.1)In tabella 5.2 sono riportati per le tre produzioni Monte Carlo i numeri degli eventigenerati e degli eventi limitati dalla condizione (5.1), al variare dellaccettanza max.

Esperimento E791 CLEO BESgenerati 39044 39001 48776max = 20

o 25742 (0.659) 25875 (0.663) 34372 (0.705)max = 18

o 24747 (0.634) 24907 (0.639) 33234 (0.681)max = 15

o 23000 (0.589) 23223 (0.595) 31209 (0.639)max = 13

o 21657 (0.555) 21867 (0.561) 29682 (0.608)max = 11

o 20120 (0.515) 20420 (0.523) 27893 (0.572)

Tabella 5.2: Numero di eventi generati e selezionati dalla condizione (5.1); traparentesi sono indicati i corrispondenti fattori di riduzione.

In figura 5.1 in basso e mostrata la distribuzione in pT degli eventi MC generaticon i valori di BES selezionati dalla condizione (5.1) con = 15o: in questo caso lacoda ad alti impulsi trasversi risulta notevolmente ridotta.

50

EntriesMeanRMSALLCHAN

48776 50.54 50.10

0.4257E+05

pT (MeV)EntriesMeanRMSALLCHAN

31209 29.92 28.34

0.3121E+05

pT (MeV)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Figura 5.1: Impulso trasverso del sistema e+e senza taglio sullangolo polare dielettrone e positrone (in alto) e con taglio a 15o (in basso).

51

5.2 Processi di fondo

Lo studio sistematico di tutti i processi e+e che hanno luogo a KLOE e statosvolto attraverso produzioni Monte Carlo che simulano le condizioni di presa datiper il campione utilizzato: energia nel centro di massa

s, impulso trasverso e+e,

attivita di fondo macchina. Confrontando queste produzioni con il Monte Carlo peril segnale di e stato possibile individuare come processi di fondo rilevanti le reazioni

e+e KsKL, Ks 00;

e+e , 000;

e+e 0, 0;

e+e f0, f0 00 ;

e+e a0, a0 0;

e+e .In figura 5.6 sono mostrati gli eventi Monte Carlo per le reazioni di fondo distri-

buiti nella massa invariante dei 4 fotoni che in ogni processo sono riconducibili aldecadimento di due pioni neutri nello stato finale (per la procedura di ricostruzionedei 4 fotoni vedi 6.1.2).

5.2.1 e+e KsKL, Ks 00

Alle energie di DANE, la risonanza viene prodotta praticamente a riposo; il KSe il KL prodotti nel suo decadimento sono emessi back-to-back, ed e quindi possibileindividuare e rigettare un evento KS identificando un evento KL nella direzioneopposta (procedura di KS tagging); questa operazione e possibile quando il KL nondecade nella camera a deriva ma interagisce nel calorimetro, rilasciando una grandequantita di energia (KL crash).

Questo processo rappresenta un fondo per il segnale di nel caso in cui il KLnon viene rivelato; il KS decade in 2 pioni neutri con un BR 31%, formando unpicco nello spettro di massa invariante dei 4 fotoni intorno a m4 mKS 497 MeV,molto scomodo per la sua vicinanza al segnale di .

Data limportanza di questo processo di fondo per lanalisi di , e necessariofissarne con precisione la normalizzazione. La sezione durto e stata calcolata apartire dal valore fornito da [21], e tenendo conto delle correzioni radiative,

e+eKsKL(s = 1GeV) = 1.28 0.05 nb. (5.2)

52

Il calcolo della sezione durto e+eKsKL(s = 1GeV) e descritto piu in dettaglio

in appendice A.

E (MeV)

(e+

e-

KSK

L)

(nb)

1

10

10 2

10 3

990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070

Figura 5.2: Sezione durto del processo e+e KSKL misurata dallesperimentoSND al collider VEPP-2M.

La produzione Monte Carlo utilizzata per lanalisi consiste in 19571400 eventi,a fronte dei 3.5 105 eventi attesi con una luminosita integrata L = 239.6 pb1assumendo la sezione durto pari a 1.28 nb.

5.2.2 e+e , 000

Il mesone decade in tre pioni neutri con un BR del 32.5% circa; in questo processosi hanno quindi 7 fotoni prompt nello stato finale. Se 3 fotoni vanno fuori accettanza,il processo rappresenta un fondo per il segnale di .

La sezione durto per il processo e+e e stata misurata dallesperimentoSND (figura 5.3):

e+e000(s = 1GeV) = 0.284 nb. (5.3)

La produzione Monte Carlo utilizzata per lanalisi consiste in 6293520 eventi, afronte dei 6.8 104 eventi attesi con una luminosita integrata L = 239.6 pb1assumendo la sezione durto pari a 0.284 nb.

53

E (MeV)

(e+

e-

00

0)

(nb

)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

960 970 980 990 1000 1010 1020

Figura 5.3: Sezione durto del processo e+e 30 misuratadallesperimento SND al collider VEPP-2M.

5.2.3 e+e 0, 0Il decadimento 0 (BR=8.9%) provoca la presenza di 5 fotoni nello stato finale;se uno dei fotoni va fuori accettanza, il processo costituisce un fondo per il segnaledi . Il fotone prodotto dal decadimento dell ha unenergia E 315 461 MeV,ed e di gran lunga il piu energetico dei 5 fotoni prodotti in questo processo.

La sezione durto per as = 1 GeV e stata misurata dalla collaborazione KLOE

con una precisione dell1%, e risulta pari a 0.55 nb.La produzione Monte Carlo utilizzata per lanalisi consiste in 914472 eventi, a

fronte dei 1.3 105 eventi attesi con una luminosita integrata L = 239.6 pb1assumendo la sezione durto pari 0.55 nb.

5.2.4 e+e f0, a0I mesoni scalari f0(980) e a0(980) hanno i seguenti modi di decadimento che costi-tuiscono fondo al segnale di :

f0 20, BR 33%;

a0 0, BR 100%.

54

Le sezioni durto per questi processi non sono ben conosciute as = 1 GeV; tuttavia,

gli esperimenti SND e CLEO hanno misurato la sezione durto per i processi e+e 00 nella regione 600-1600 MeV (figura 5.4), e sottraendo il contributo (noto)dovuto alla produzione di 0 e stato possibile stimare la sezione durto della reazionee+e f0 00 pari a circa 0.17 nb.

E, MeV

Cro

ss s

ecti

on, n

b

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

600 800 1000 1200 1400 1600

SND

CLEO

Figura 5.4: Sezione durto del processo e+e 00 misurata dallesperimentoSND e CLEO.

Considerando infine i branching ratio dei decadimenti radiativi della

BR( f0) = 1.1 104,

BR( a0) = 7.6 105,

si ricava BR( a0)/BR( f0) 2/3; per la sezione durto del processo siassume quindi (e+e a0) 2/3 (e+e f0) 0.11 nb.

La produzione Monte Carlo utilizzata per lanalisi consiste in 129115 eventi perf0 e 97205 per a0, a fronte rispettivamente dei 4 104 e 2.6 104 eventi attesicon una luminosita integrata L = 239.6 pb1, assumendo le sezioni durto pari a 0.17nb (per f0) e 0.11 nb (per a0).

5.2.5 e+e Questa reazione, con solo due fotoni nello stato finale, puo essere causa di fondo alsegnale di nel caso in cui avvenga il fenomeno del cluster splitting (6.1.1), quandocioe nello stato finale vengono identificati fotoni in numero maggiore di due.

55

La sezione durto per questo processo e grande: calcoli di QED la stimano del-lordine di 102 nb; anche una piccola probabilita di cluster splitting puo dunquecontribuire sensibilmente al fondo per il segnale di .

La produzione Monte Carlo utilizzata per lanalisi consiste in 1.92317108 eventi,a fronte dei 8.6 107 eventi attesi con una luminosita integrata L = 239.6 pb1assumendo la sezione durto pari 360 nb.

5.2.6 e+e e+ef0, e+e e+ef2Il processo di produzione del mesone scalare f0 in interazioni non e stato simulato;il suo contributo allo spettro di massa invariante m4 e stato comunque studiato os-servando il comportamento della funzione analitica che lo descrive, del tutto analogaalla (2.15) assunta valida per la produzione di .

Lo stesso studio e stato svolto anche per f2(1270), una risonanza di spin 2 dimassa m 1275 MeV e larghezza 185 MeV che, pur essendo assai distante dallaregione di massa invariante che interessa la potrebbe a priori interferire proprio intale regione a causa della lunga coda che presenta la sua sezione durto. Nel caso diun mesone di spin J qualsiasi, la forma funzionale assunta per la sezione durto e piu complicata, ed e data da

X00(w) = 8(2J + 1)

(

M

w

)2B(X 00)(w)(w2 M2)2 +M22 ,

(w) = 0M

w

(

p

p0

)2j+1DJ(p

0r)

DJ(pr), (5.4)

dove r e un raggio effettivo di interazione che varia da 1 a 7 (GeV/c)1 nelle diversereazioni adroniche. Per quanto riguarda la funzione DJ , nel caso J = 0 si ha D0 = 1e la (5.4) si riduce alla (2.15), mentre nel caso J = 2 si ha

D2 = 9 + 3(pr)2 + (pr)4. (5.5)

In figura 5.5 sono mostrate le sezioni durto (a sinistra) e de+e/dm20 (a destra)per i processi e+e e+e(f0)(f2); per il mesone f0 e stata assunta una larghezza = 60 MeV (la massa, ben misurata, e M = 982 MeV). Si osserva che la convolu-zione per la funzione di Low (figura a destra) di fatto annulla gli andamenti di f0e f2 nella regione dove e presente il segnale di . Questi fondi sono stati pertantocompletamente ignorati nellanalisi.

56

m2 (MeV)

(n

b)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

200 400 600 800 1000 1200 1400

m2 (MeV)

d/d

w (

pb/M

eV)

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Figura 5.5: A sinistra: sezioni durto per la produzione di f2(1270) (curva rossa)e f0(980) (curva blu). A destra, con la stessa convenzione di colori: sezioni durtodifferenziali de+e/dm20 ottenute come prodotto delle per la funzione di Lowas = 1 GeV. E mostrata anche la sezione durto differenziale per la produzione

del mesone (nero), data dalla (2.15) assumendo = 1 KeV.

57

5.2.7 Correzione della scala di energia

La scala di energia riprodotta dalle simulazioni Monte Carlo e stata corretta dopoun confronto dati-Monte Carlo per i due processi e+e KSKL e e+e ( 30). I dettagli della procedura sono descritti in Appendice B.

KSKL m4 (MeV) 3 m4 (MeV)

m4 (MeV) f0 m4 (MeV)

a0 m4 (MeV) m4 (MeV)

0

1000

2000

3000

x 10 2

200 400 600 800 10000

2500

5000

7500

10000

x 10

200 400 600 800 1000

0

2000

4000

6000

200 400 600 800 10000

200

400

600

200 400 600 800 1000

0

250

500

750

1000

200 400 600 800 10000

200

400

600

800

200 400 600 800 1000

Figura 5.6: Distribuzioni nella massa invariante dei 4 fotoni nello stato finale per iprocessi di fondo considerati.

58

Capitolo 6

Analisi Dati

Per evidenziare il segnale di , i dati che hanno passato il filtro sono statisottoposti ad unanalisi che puo essere schematicamente descritta nei seguenti punti:

Preselezione: vengono selezionati gli eventi con almeno 4 fotoni prompt, la cuimassa invariante ricostruisca quella di 2 pioni neutri;

Tagli di analisi: vengono applicate ulteriori selezioni per rigettare gli eventi difondo, cercando di ottimizzare il rapporto tra efficienza per il segnale e efficienzaper i fondi.

Nei paragrafi successivi vengono illustrate tali selezioni e ne vengono studiate leefficienze da Monte Carlo, tanto per il segnale quanto per i fondi. Per il segnale estato