1

4

CAMPI VARIABILI NEL TEMPO

-

EQUAZIONI DI MAXWELL

2

CAMPO MAGNETOSTATICO

0B JH B H

CAMPO DI CORRENTE STAZIONARIO

CAMPO ELETTROSTATICO

D0E D E

0E 0J E J J E

E 0 E è conservativo

H H non è conservativo

J 0 e B 0 J e B sono solenoidali

D ρ D non è solenoidale

J

Campi stazionari

modello equazione costitutiva

3

In condizioni statiche le grandezze del modello elettrostatico ത𝐸 e ഥ𝐷non sono legate alle grandezze del modello magnetostatico ത𝐵 e ഥ𝐻 ealle grandezze ത𝐸 e ҧ𝐽 del modello del campo di corrente stazionario.

In un mezzo conduttore, possono coesistere un campo elettrico eun campo magnetico, che insieme costituiscono un campoelettromagnetico. Il campo elettrico statico ത𝐸 causa un flussocostante di correnti di conduzione di densità ҧ𝐽, questo genera a suavolta un campo magnetico statico ഥ𝐻. Se il campo magnetico nonvaria nel tempo allora non ci sono f.e.m indotte e il campo ഥ𝐻 noninterferisce con il campo elettrico. In queste condizioni il campo ത𝐸 èindipendente dal campo magnetico statico generato.

Gli effetti cambiano se il campo elettrico non è statico o se il circuitoè in movimento. Per comprendere questi effetti si intende studiarecome una variazione di campo elettrico generi una variazione dicampo magnetico e viceversa.

Campi stazionari

4

Per comprendere i fenomeni elettromagnetici in regime tempo-

variante, è necessario introdurre un modello elettromagnetico nel

quale le grandezze relative al modello elettrostatico, ത𝐸 e ഥ𝐷, e quelle

relative al modello magnetostatico, ത𝐵 e ഥ𝐻, e quelle del campo

elettrico, ത𝐸 e ҧ𝐽, siano propriamente correlate.

Legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica

Michael Faraday nel 1831, scoprì sperimentalmente che in una

spira conduttrice viene indotta una forza elettromotrice (f.e.m.)

quando varia il flusso magnetico concatenato con la spira.

La relazione quantitativa tra la f.e.m. indotta e la velocità di

variazione del flusso concatenato, basata su dati empirici, è nota

come legge di Faraday e costituisce un postulato fondamentale.

Campi non stazionari

5

L’intensità del campo elettrico ത𝐸 in una regione dove la densità

del flusso magnetico ത𝐵 varia con il tempo non è conservativa e non

può essere espressa con il gradiente di un potenziale scalare, ma è

valida la legge di Faraday in forma differenziale:

Facendo l’integrale superficiale su una superficie aperta S delimitata

da un contorno C e applicando il Teorema di Stokes, si ottiene la

legge di Faraday in forma integrale:

Se il campo magnetico è stazionario:

0 V B

E E Et

C S

BE dl d s

t

Legge di Faraday

0 0 B

Et

6

La variazione della induzione ത𝐵 può essere dovuta a:

❖ una variazione nel tempo delle correnti che generano il campo

❖ uno spostamento del conduttore nel campo magnetico.

Per determinare l’espressione generale della legge di Faraday,indicando con ҧ𝑣 la velocità di spostamento del conduttore siesamineranno i seguenti tre casi:

1. circuito fisso ( ҧ𝑣 = 0)in un campo magnetico variabile neltempo: 𝜕 ത𝐵 ≠ 0

2. circuito in movimento ( ҧ𝑣 ≠ 0) in un campo magnetico statico𝜕 ത𝐵 = 0

3. circuito in movimento ( ҧ𝑣 ≠ 0) in un campo magneticovariabile nel tempo 𝜕 ത𝐵 ≠ 0 (sovrapposizione degli effetti deicasi 1 e 2).

Legge di Faraday

7

1) Per un circuito fisso con contorno C, che delimita una superficie

S, e campo magnetico non stazionario 𝜕ഥB ≠ 0

Il primo membro definisce la f.e.m. indotta e nel circuito:

Il secondo membro è il flusso magnetico concatenato con il circuito

si ottiene che :

sdBdt

dld E

SC

Wb

S

B d s

[V] C

e E dl

Vd

edt

Legge di Faraday

8

La legge di Faraday è diventata:

Essa stabilisce che: la forza elettromotrice indotta e in un circuito

chiuso stazionario è uguale alla velocità di incremento (o

decremento) del flusso magnetico che concatena il circuito,

cambiata di segno, perché è tale da opporsi alla causa che l’ha

generata. Ossia, il segno negativo sottolinea che la f.e.m. indotta e

causerà una corrente in un circuito chiuso che sarà percorso in

direzione tale da opporsi alla direzione del flusso magnetico

concatenato. Questa asserzione è nota come legge di Lenz.

Su tale fenomeno è basato il funzionamento della mutua induttanza

e quindi del trasformatore.

Vd

edt

Legge di Faraday

9

2) circuito in movimento ( ҧ𝑣 ≠ 0) in un campo magnetico statico

𝜕 ത𝐵 = 0

Quando un conduttore si muove con velocità ҧ𝑣 in un campo

magnetico statico, una forza magnetica ത𝐹𝑚 causerà il libero

movimento degli elettroni nel conduttore che verranno trascinati

verso una estremità del conduttore, lasciando l’altra estremità

carica positivamente. Questa separazione delle cariche positive e

negative crea una forza Coulombiana di attrazione ത𝐹𝑒 tra le cariche

di segno diverso.Il processo di separazione delle cariche

continua sino a quando le forze

elettriche ത𝐹𝑒 e le forze magnetiche ത𝐹𝑚si bilanciano l’una con l’altra e si

raggiunge, in un tempo molto breve,

uno stato di equilibrio.

--

++

v

dl. .

.

.

..

..

.

.

.

. ..

B

mF

mF

eF

eF

Legge di Faraday

10

Per un osservatore in movimento con il conduttore non si ha un

movimento apparente, e il campo elettrico indotto dalla forza

magnetica può essere interpretato, per analogia con i campi

elettrostatici, come un campo elettrico agente lungo il conduttore che

produce una tensione:

In generale in un circuito chiuso con contorno C, la f.e.m. generata

è:

Notare che, solo la parte del circuito che si muove in direzione non

parallela al campo magnetico contribuisce alla f.e.m. V’.

2 2

12

1 1

mFV dl v B dl

q

' VC

V v B dl

Legge di Faraday

11

3) circuito in movimento ( ҧ𝑣 ≠ 0) in un campo magnetico variabile

nel tempo 𝜕 ത𝐵 ≠ 0

Quando una carica q si muove con velocità ҧ𝑣 in una regione dove

esistono sia un campo elettrico ത𝐸 e un campo magnetico ത𝐵, la forza

elettromagnetica ത𝐹 su q, come risulta da misure effettuate in

laboratorio, è data dalla forza di Lorenz:

Per un osservatore che si muove con la carica q, non c’è alcun

movimento apparente e la forza sulla carica q può essere interpretata

come dovuta a un campo elettrico equivalente ഥ𝐸′:

')( EqBuEqFFF me

'E E u B

Legge di Faraday

Se un circuito con un contorno C, che delimita una superficie S, si

muove con una velocità ത𝑢 in un campo , si ottiene la relazione,

valida per un circuito in movimento in un campo magnetico che

varia nel tempo, che rappresenta la forma generale della legge di

Faraday :

12

' VC S C

BE dl d s v B dl

t

C

v B dl

sdt

B

S

ld 'EC

Legge di Faraday

f.e.m. indotta nel conduttore in movimento in un campo

di induzione ത𝐵 non stazionario.

f.e.m. indotta dovuta alla variazione della induzione ത𝐵nel tempo.

f.e.m. mozionale dovuta al movimento del circuito

all’interno di un campo di induzione ത𝐵.

13

Oltre alle considerazioni fatte sulle interazioni dei campi elettrici e

magnetici, in condizioni non stazionarie, la legge di Ampere valida

per modello magnetostatico ∇ × ഥ𝐻 = ҧ𝐽 deve essere modificato per

tener conto delle condizioni di campo elettrico variabile. Infatti in

campi non stazionari la densità di carica varia nel tempo, e occorre

tenere presente per il principio di conservazione della carica:

Perciò nel caso non stazionario ∇ ∙ ҧ𝐽 ≠ 0. Calcolando la divergenza

del primo e del secondo membro della relazione ∇ × ഥ𝐻 = ҧ𝐽, la II

identità nulla non è più verificata, infatti:

ma

3m

A

tJ

Legge di Ampere

per la II identità nulla: 0H

con 0H J J

14

Quando la densità di carica varia nel tempo, per rendere coerente la

relazione :

essendo:

l’equazione adattata e valida quando le grandezze di campo variano

nel tempo diventa:

Poiché ∇ ∙ ഥ𝐷 = 𝜌,

=0Jt

t

JH

0 H

Legge di Ampere

D D

H J H Jt t

15

Per essere coerenti con l’equazione di continuità e le condizioni difunzionamento nel caso di E e H variabili nel tempo, entrambe leequazioni rotoriche valide per l’elettrostatica e per lamagnetostatica sono state opportunamente generalizzate:

Con le due equazioni generalizzate, si hanno complessivamentequattro equazioni differenziali coerenti, note come equazioni diMaxwell che possono essere espresse anche in forma integrale,applicando il teoremi di Stokes e della divergenza.

Quando le grandezze di campo non variano nel tempo, le relazioni

si riducono a quelle valide per i modelli elettrostatici ed

magnetostatici.

t

B E 0E

t

D H H

JJ

Leggi di Maxwell

16

Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere

descritto mediante le seguenti Equazioni di Maxwel

forma differenziale forma integrale

Legge di Faraday

Legge di Ampere

Legge di Gauss

Legge di Gauss

tδ

B δE

tδ

D δH J

D

0B

SC

sdd t

BdldE

C S

sdt

DJldH

dvρsdDVS

0 sdB

S

Leggi di Maxwell

17

Il concetto di potenziale vettore magnetico é stato introdotto sulla

base della solenoidalità del vettore ത𝐵:

nella forma differenziale, in base alla legge di Faraday:

si ottiene una relazione tra il campo elettrico ത𝐸 e il vettore

potenziale ҧ𝐴 in forma compatta. Poiché la somma delle due quantità

vettoriali tra parentesi risulta irrotazionale essa può essere espressa

come il gradiente di un potenziale scalare, ossia:

T AB

0

B AE AE Et

t tB A

0B

Funzioni potenziale

Vt

AE

18

Quindi nel caso più generale di campi variabili con il tempo, il

campo elettrico ത𝐸 è funzione potenziale elettrico scalare V e del

potenziale magnetico vettoriale ҧ𝐴:

dipende:

• dalle concentrazioni di carica attraverso il termine ഥ∇𝑉

• dai campi magnetici tempo-variabili attraverso il termine

Se ci mettiamo in condizioni statiche, ritroviamo:

m

V

t

AVE

m

VV -E

t

A

t

B 00

Funzioni potenziale

t

A

19

In condizioni di quasi stazionarietà e ҧ𝐽 è possibile utilizzare le

formule valide per le condizioni di funzionamento statiche per

determinare V e ҧ𝐴 ottenibili dalle equazioni di Poisson:

che sostituite nella relazione:

consentono di risolvere i campi in condizioni quasi statiche. Per

ottenere invece un modello esaustivo dei campi elettromagnetici

variabili nel tempo non possono essere trascurati gli effetti di

ritardo temporale dovuti alla velocità di propagazione finita.

dv' R

J

π

μ A JμA

dv'R

ρ

πε V

ε

ρV

V'

V'

4

4

1

00

2

0

2

m

V

t

AVE

Funzioni potenziale

20

Per la legge di Ampere o per la II° equazione di Maxwell:

e per le relazioni costitutive:

si può scrivere:

essendo: e

tδ

D δH J

AB t

AVE

EεD e μ

BH

t

EεJ

μ

B

t

AV

tμεJμA

Funzioni potenziale

21

Ma il rotore del rotore di un vettore può essere espresso come:

per cui:

Poiché la definizione di un vettore richiede la specificazione sia del

rotore che della divergenza, essendo il rotore di ҧ𝐴 già definito

dall’equazione ത𝐵 = ഥ∇ × ҧ𝐴, possiamo scegliere opportunamente il

valore della sua divergenza.

AAA2

t

VμεAJμ

t

AμεA

o t

Aμε

t

VμεJμAA

2

22

2

22

t

AV

tμεJμA

Funzione potenziale

22

La divergenza di ҧ𝐴 è definita con la condizione di Lorentz per i

potenziali (coerente con ഥ∇ ∙ ҧ𝐴 =0 per i campi statici ), da cui si

ottiene l’equazione dell’onda non omogenea per il potenziale

vettore ҧ𝐴:

Si chiama equazione d’onda perché le sue soluzioni sono onde che

viaggiano ad una velocità pari u=

VA με

t

Jμt

AμεA

2

22

/1

t

VμεAJμ

t

AμεA

2

22

Equazione d’onda per il potenziale vettore magnetico

Assumendo:

23

L’equazione d’onda non omogenea corrispondente per il potenziale

scalare V può essere ottenuta dalla relazione:

e dalla equazione di Maxwell ഥ∇ ∙ ഥ𝐷 = 𝜌, essendo ഥ𝐷 = 𝜀 ത𝐸 si ottiene:

Per ottenere una relazione espressa in funzione della sola grandezza

V, si utilizza la condizione di Lorentz:

l’equazione d’onda non omogenea per il potenziale scalare V

t

AVE

2

D εE ε - V- = A

V At t

Equazione d’onda per il potenziale scalare elettrico

V

A μεt

2

22

t

VμεV

24

Nel caso di campi statici e quasi statici:

le Equazioni d’onda non omogenee per campi variabili nel tempo si

riducono alle Equazioni di Poisson. Infatti:

Equazioni d’onda non omogenee Equazioni di Poisson e soluzioni

dove:

V potenziale elettrico scalare

potenziale magnetico vettoriale.

22

2

22

2

AA με μJ

t

VV με

t

A

0 e 0

t

V

t

A

Equazione d’onda per il potenziale scalare elettrico

20

0

2

0

4

1

4

V'

V'

μ JA μ J A dv'

π R

ρ ρV V dv'

ε πε R

AD

CB

w

mezzo 2

mezzo 1

2na

1na

25

Per risolvere problemi elettromagnetici che interessano regioni con

parametri costitutivi , e diversi, é necessario conoscere le

condizioni al contorno che le grandezze devono

soddisfare nelle interfacce.

HeBDE , ,

Le condizioni al contorno si ottengono applicando le equazioni di

Maxwell nella forma integrale in una piccola regione nella

interfaccia tra i due mezzi 1 e 2 , analogamente a quanto fatto per i

campi statici.

Condizioni al contorno

2na

26

Le condizioni di continuità al contorno per le componenti

tangenziali e normali di ത𝐸 e ഥ𝐻 , si ottengono dalle equazioni

rotoriche di Maxwell espresse in forma integrale:

Le equazioni sono analoghe a quelle trovate per i campi

elettrostatici e magnetostatici in quanto il contributo della

integrazione dei termini𝜕 ത𝐵

𝜕𝑡e𝜕ഥ𝐷

𝜕𝑡risulta trascurabile.

S S

C S

DH d s J d s

t

DH dl J d s

t

1 2t t E E

tδ

B δE tδ

D δH J

E ds

E dl

S S

C

d Bd s

d t

d

dt

2 1 2n Sa H H J

Condizioni al contorno

27

Analogamente le condizioni al contorno per le componenti

tangenziali e normali di ഥ𝐷 e ത𝐵, si ottengono dalle equazioni di

Maxwell nelle quali compare l’operatore divergenza in forma

integrale :

Le equazioni sono analoghe a quelle trovate per i campi

elettrostatici e magnetostatici, perché ricavate dalla stesse equazioni

della divergenza i Maxwell.

V V

S V

D dv ρ dv

D d s ρ dv

dv 0

0

V

S

B

B d s

1 22n Sa D D ρ

Condizioni al contorno

1 2n nB B

28

Per le condizioni al contorno in un campo elettromagnetico valgonole seguenti condizioni generali:

• la componente tangenziale di un campo ത𝐸 è continua attraversol’interfaccia:

• la componente tangenziale di un campo ഥ𝐻 è discontinua attraversol’interfaccia dove è presente una corrente superficiale, e lavariazione è determinabile con l’equazione:

• La componente normale del campo ഥ𝐷 é discontinua attraverso unainterfaccia dove esiste una carica superficiale e la discontinuità èdeterminabile con l’equazione:

• la componente normale del campo ത𝐵 é continua attraversol’interfaccia:

HHaJ J HHa nSSn 0 0 se 212212

1 2 1 22 2 se 0 0 n nS Sa D D ρ ρ a D D

21 nn BB

E E tt 21

Condizioni al contorno

29

Un mezzo lineare privo di perdite può essere specificato dalla

permettività la permeabilità , ponendo = 0.

Generalmente non ci sono ne cariche libere, ne correnti di

conduzione nella interfaccia tra i due mezzi privi di perdite.

Nelle equazioni generali che

esprimono le condizioni al

contorno si pone:

ottenendo le condizioni al

contorno tra due mezzi

privi di perdite.

0 0Sρ e J

nnnn

nnnn

t

ttt

t

ttt

HμH μ BB

EεE ε DD

μ

μ

B

B HH

ε

ε

D

D EE

221121

221121

2

1

2

121

2

1

2

121

Interfaccia tra due mezzi lineari privi di perdite

30

All’interno del conduttore il campo elettrico ത𝐸 é nullo, e le cariche

presenti si distribuiscono solo sulla superficie.

Le interrelazioni tra ( ത𝐸, ഥ𝐷) e ( ത𝐵, ഥ𝐻 ) attraverso le equazioni di

Maxwell comportano che anche ഥ𝑩 𝒆 ഥ𝑯 siano nulli all’interno del

conduttore in condizioni di funzionamento tempo variante.

Se si considera una interfaccia tra un dielettrico privo di perdite

(mezzo 1) e un perfetto conduttore (mezzo 2), per il mezzo

conduttore 2 si può subito scrivere:

0H, 0B, 0D, 0E 2222

ECampo elettrico e magnetico all’interno di un conduttore

31

Supponendo il mezzo 1 dielettrico e il mezzo 2 conduttore perfetto,

le equazioni generali per una interfaccia diventano:

0E0E essendo EE 1t2t2t1t

1 2 1n2 n22ta H H J essendo H 0 a H J

Sn

SnSn

ρEa

ρDaρDDa

112

122n212

0D essendo

0 0 essendo 1221 nnnn BBBB

Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto

32

Nella interfaccia tra un dielettrico 1 privo di perdite e un perfetto

conduttore 2, le condizioni al contorno diventano:

dielettrico conduttore perfetto

il versore normale é uscente dal mezzo 2.

ത𝐸 é normale e uscente dalla superficie del conduttore, se la

superficie è caricata positivamente

ത𝐸 é normale e entrante nella superficie del conduttore, se la

superficie é caricata negativamente.

0 B 0B

0 D ρDa

0 H J Ha

0 E 0E

n2n1

n2S12n

t2S12n

t2t1

2na

Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto

33

Inoltre dalle precedenti relazioni:

e

si può dedurre che:

Le correnti nei mezzi con conducibilità finita sono espresse intermini di densità di corrente volumica, e le densità di correntesuperficiali, definite come correnti che fluiscono attraverso unospessore infinitesimale, sono nulle. Ciò consente di ritenere che lacomponente tangenziale di ഥ𝐻 sia continua attraverso l’interfacciacon un conduttore avente conducibilità finita.

1 1 1 1

1

St S n

ρ H H J e E E

ε

1 1 12 1 H tn S S Sa H J sen J H J

1 1 1n2 1 D cos Dn S S Sa D ρ ρ ρ

Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto

34

Per ricavare le soluzioni delle equazioni d’onda non omogenee siseguono i seguenti passi:

1. Si considera da prima il caso più semplice di un campoelettromagnetico generato da una carica elementare puntiforme∆q=(t) ∙∆v’ al tempo t

2. si estende il procedimento al caso più generale di unadistribuzione di cariche qualsiasi, sommando gli effetti di tuttele cariche elementari in una regione data.

3. Infine si esamina il caso di una distribuzione continua di carichee si procede analogamente a quanto già fatto per le condizionistatiche, sostituendo all’operatore sommatoria l’operatoreintegrale.

Soluzioni delle equazioni d’onda per i potenziali

35

Per determinare la soluzione della equazione non omogenea per il

potenziale scalare:

2

22

t

VμεV

dv’

ρ(t) y

x

zP(R,t)

R

si consideri da prima la soluzione per il caso di una carica

elementare puntiforme al tempo t, ∆q=(t)∙∆v’ localizzata

nell’origine degli assi. In questo caso é conveniente considerare le

coordinate sferiche, cosicché il potenziale V(R,t) in un punto P

dipende dalla sola coordinata R, distanza del punto dalla carica

ρ(t), e dal tempo t.

Soluzioni delle equazioni d’onda per il potenziale

scalare

36

Se si introduce una nuova variabile U(R,t) legata a V dalla

relazione:

si ottiene l’equazione d’onda omogenea unidimensionale in una

forma più semplice.

22

2

22

2 2

22 2

2

In coordinate sferiche:

1 V VR με 0

R R R t

V VR με R 0

R R t

V V με

t

tR,UR

1t)V(R, 0

t

Uμε

R

U2

2

2

2

La funzione potenziale V(R,t)

soddisfa l’equazione omogenea

per tutti i punti, fatta eccezione

per l’origine dove è localizzata la

carica elementare (per R=0

l’equazione omogenea non è

valida).

Soluzioni delle equazioni d’onda per il potenziale

scalare

37

Si può dimostrare per sostituzione diretta che ogni funzione f:

due volte differenziabile, é una soluzione della equazione d’onda

omogenea unidimensionale, quindi U si può esprimere come :

La funzione di (t+R/u) non può essere una soluzione fisica, ma solo

una soluzione matematica perché é impossibile che l’effetto della

densità di carica sia sentito in un punto distante dalla sorgente

prima che la sorgente abbia iniziato a trasmettere o abbia iniziato

a variare nel tempo (non causalità).

μεRt o fμεRtf

)μεRf(tU(R,t)

02

2

2

2

t

Uμε

R

U

Soluzioni delle equazioni d’onda per il potenziale

scalare

38

rappresenta un’onda che viaggia in

direzione radiale R con velocità di propagazione Τ𝒖 = 𝟏 𝝁𝝐 . Il

tempo di trasmissione t dell’onda, dalla posizione della sorgente

nell’origine degli assi al punto P distante R, è t=R/u=R 𝝁𝝐.

La funzione nel punto P’ distante R+R e nel tempo t+ t sarà:

U(R ΔR, t Δt) f t Δt R ΔR με

f t ΔR με R ΔR με f t R με U(R, t)

u)Rf(tR

tRUR

V(R,t) /1

,1

dv’

ρ(t) y

x

z

P

R

P’

ΔR

Quindi la funzione, traslando nello spazio

e al variare del tempo, conserva comunque

la sua forma e si può quindi scrivere:

Soluzioni delle equazioni d’onda per il potenziale

scalare

)μεRf(tU(R,t)

39

In condizioni statiche, il potenziale V dovuto a una carica statica

puntiforme ∆q=∙∆v’ disposta nell’origine, è pari a:

Per i campi variabili nel tempo si adatta questo modello matematico

tenendo conto del ritardo R/u con cui si sente l’effetto della densità

di carica alla distanza R, in modo che sia soddisfatta anche

l’espressione:

Per cui:

4

ρΔv'ΔV R

πεR

R/u)f(tR

V(R,t) 1

πεR

Δv'R/utρR/utΔf

R R,tΔV

4

1

Soluzioni delle equazioni d’onda per il potenziale

scalare

40

In base a tale relazione si ottiene il potenziale V dovuto a unadistribuzione di carica in un volume V’, che tenga conto del tempodi propagazione :

'

/1, '

4V

ρ t R uV R t dv

πε R

Questa equazione é chiamata equazione del potenziale scalare

ritardato, essache il potenziale scalare V(R,t) in un punto P alla

distanza R dalla sorgente e al tempo t, dipende dal valore che la

densità di carica ha assunto all’istante precedente (t-R/u), ossia é

richiesto un tempo R/u perché l’effetto della densità di carica sia

sentito alla distanza R.

Soluzioni delle equazioni d’onda per il potenziale

scalare

41

Analogamente si deduce la soluzione della equazione dell’onda non

omogenea per il potenziale magnetico vettoriale ഥA detta equazione

del potenziale vettore ritardato:

m

Wb dv'

R

tJ

4π

μ tR,A

V'

m

Wb dv'

R

R/utJ

π4

μ R,tA

V'

Per i campi statici o quasi statici

velocità di trasmissione è infinita

u=∞

Per i campi dinamici la

velocità di trasmissione è finita

με

1u

Soluzioni delle equazioni d’onda del poten

42

Le grandezze del campo

elettromagnetico ത𝐸 e ത𝐵 si ottengono

differenziando le espressioni di ҧ𝐴 e di V

e risultano anch’esse funzione di (t-R/u)

e quindi ritardate nel tempo.

t)(R,AB

t

t)(R,At)V(R, E

Nel modello dinamico :

Il tempo di trasmissione delle onde elettromagnetiche non è

trascurabile (Δt≠0). La velocità di propagazione finita implica che

gli effetti delle cariche e delle correnti variabili vengano sentite

ritardo in punti distanti da queste.

Nel modello approssimato quasi statico:

si trascura l’effetto del ritardo temporale (velocità di trasmissione

𝑢 = ∞) e si assume una risposta istantanea (tempo di trasmissione

Δt=0). Tale modello è assunto implicitamente nella trattazione dei

problemi circuitali.

Soluzioni delle equazioni d’onda

43

Se l’onda si propaga in un mezzo

non conduttore (con conducibilità γ=0 J=0)

lineare, isotropo e omogeneo caratterizzato da e costanti

le equazioni di Maxwell diventano:

δ B δ HE B E

δ t δ t

H 0 e H

0 e 0

0 B

H

D EJ J D E

t t

D D E E

B H

0 H

Equazioni d’onda in funzione delle grandezze

di campo in una regione priva di sorgenti

44

Si ottiene un’equazioni differenziali del primo ordine nella

variabile ത𝐸 calcolando il rotore delle equazione rotorica:

Il primo membro:

Il secondo membro:

si ottiene: con

HE

t

2

2

H E μ H μ

t t t

EEEE22

0t

E

u

1E

2

2

2

2

με/1u

0

Equazioni d’onda in una regione priva di sorgenti

45

Si ottiene un’equazioni differenziale del primo ordine nella

variabile ഥ𝐻 calcolando il rotore delle equazioni rotoriche:

Il primo membro:

Il secondo membro:

si ottiene: con

EH

t

2

2

E H E μ

t t t

2 2

H H H H

22

2 2

10

HH

u t

με/1u

0

Equazioni d’onda in una regione priva di sorgenti

46

Le equazioni così ottenute sono chiamate Equazioni d’onda

vettoriali omogenee:

con

In coordinate cartesiane ognuna equivale a tre equazioni d’onda

scalari unidimensionali, omogenee. Ciascuna componente delle

due grandezze di campo di campo ( Ex , Ey , Ez e Hx , Hy , Hz),

deve soddisfare equazioni del tipo:

Le cui soluzioni sappiamo essere delle funzioni d’onde.

22

2 2

22

2 2

10

10

EE

u t

HH

u t

με/1u

2 2

2 20

U U

R t

Equazioni d’onda in una regione priva di sorgenti

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Le soluzioni dell’equazioni d’onda convenzionali in una regione

priva di sorgenti descrivono come si propagano le grandezze di

campo in mezzi non conduttori e privi di cariche libere sono le

Equazioni delle le onde elettromagnetiche.

Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi

non conduttori, in funzione del tempo e dello spazio. In altri

termini ci permettono studiare non solo come le onde magnetiche

sono originate, ma come si propagano focalizzando questo ultimo

aspetto.

Queste equazioni si chiamano equazioni della diffusione essendo

formalmente identiche alle equazioni utilizzate per risolvere

problemi di diffusione del calore.

Equazioni d’onda convenzionali in funzione delle

grandezze di campo in assenza di sorgenti