110

Capitolo 3 Equazioni della Fluidodinamica Come già accennato precedentemente (cap. 2.7) le equazioni di conservazione o di bilancio possono essere espresse in forma differenziale od integrale. Si utilizza la forma differenziale quando siamo interessati a studiare i dettagli locali delle flusso e vogliamo conoscere i campi delle varie proprietà del flusso. Necessitiamo in tal caso di equazioni che relazionino le varie proprietà in un dato punto. Si utilizza la forma integrale quando siamo interessati a fenomeni fluidodinamici globali in un certo volume finito e non ai dettagli locali del flusso. Come vedremo successivamente lo studio di dettaglio, (quindi lo studio differenziale), e’ spesso reso necessario dalla contingenza che fenomeni locali , quali distacchi dalla vena fluida, instabilita’, transizione, possono determinare comportamenti completamente diversi a livello globale. Pertanto nel seguito tutte le equazioni saranno scritte sia in forma integrale che differenziale. 3.1 Equazione di conservazione della massa Il principio della conservazione della massa, nel caso di un fluido in moto, si esprime

dicendo che la massa di un sistema arbitrario in moto resta invariata nel tempo: dMd t

= 0 ,

In questo caso la variabile estensiva massa è definita come B dv Msv t

= =∫∫∫ ρ( )

, mentre la

corrispondente variabile intensiva è b=1 Si noti che la derivata è una derivata totale in una descrizione Lagrangiana. Tale derivata va riportata in descrizione Euleriana mediante il teorema di trasporto di Reynolds come visto al Cap.2. (eq. 2.18 o 2.12)

∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅∇+=⋅+=0 000 v vSv

s )dvub(ρdvtρbdSnubρdvbρ

ttDDB rrrr

∂∂

∂∂

(3.1)

111

3.1.1 Forma integrale Dal teorema di trasporto di Reynolds sostituendo a b => 1 si ha che : DMDt t

dv u n dSSv

= + ⋅ =∫∫∫∫∫∂∂

ρ ρ r r

00

0 (3.2)

che esprime la conservazione della massa in forma integrale. Cioé che la variazione nel tempo della massa nel volume di controllo eguaglia il flusso di massa attraverso la superficie di controllo. 3.1.2 Forma differenziale La forma differenziale si ottiene dalla (2.14) e dalla corrispondente (2.15) sostituendo a b => 1.

Discende da : ( )dMd t t

u dvv

= + ∇ ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=∫∫∫∂ρ∂

ρr r

0

0

data l’arbitrarietà del volume di controllo :

∂ρ∂

ρt

u+ ∇ ⋅ =r r( ) 0 (3.3)

che può essere anche scritta come:

oppure con la derivata sostanziale

0uρDtDρ

=⋅∇+ (3.4)

∂ρ∂

ρ ρt

u u+ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ =( )r r r r 0

112

3.2 Equazione di bilancio della quantità di moto L’equazione di bilancio della q.d.m. per un fluido in moto, nella sua forma differenziale ed integrale, discende dalla legge di conservazione della quantità di moto per un sistema: variazione nel = somma delle + somma delle tempo della q.d.m forze di massa forze di superf. In questo caso quindi : ub rr

= e ∫∫∫=Sv

s dvuρB rr

sms FF

dtqd

dtBd rrrr

+== (3.5)

Si intende per forza di superficie l’integrale esteso alla superficie del sistema delle (2.28)

∫∫∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅=⋅=000 vsS

S dvTdSnTSdTFrrr

(3.6)

applicando il teorema della divergenza. Per forze di volume si ha: r r rF f dv g dvm

vv

= = ∫∫∫∫∫ ρ ρ00

(3.7)

se il peso è l’unica forza di volume. 3.2.1 Forma integrale. Applicando alla ( 3.5 ) il teorema di trasporto di Reynolds :

( )∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ +=⋅+

∂∂=

tv vsm

Ss 0 0

FF)dSnu(uρdvuρt

dvuρDtD rrrrrrr

che e’ l’equazione cercata in termini integrali . L’equazione può anche essere scritta come segue:

∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ⋅+=⋅+∂∂

0 0 0 0v S v S

dSnTdvfρdS)nu(uρdvuρt

rrrrrr (3.8)

essendo:

σIpT +⋅−= con le seguenti ipotesi aggiuntive:

113

Forze gravitazionali nulle; Forze viscose nulle (σij=0);

Condizioni stazionarie 0dvuρt

0v

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∫∫∫ r

possiamo riformulare l’equazione (3.8) nel seguente modo: ( ) dSnpdSnuuρ

00

SS

∫∫ ∫∫−=⋅ rrrr (3.8.b)

o in maniera analoga con l’equazione:

( )( ) 0=+⋅∫∫0S

dSnpnuuρ rrrr (3.8.c)

3.2.2 Forma differenziale.

Si ha : DDt

u dvD uDt

u u dv F Fm svv t

ρρ

ρrr

r r r r r= + ∇ ⋅⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

= + =∫∫∫∫∫∫ ( )( ) 0

Data l’arbitrarietà del volume di controllo v0 dovrà essere uguale a zero il nucleo dell’integrale.

ma : D uDt

u uDuDt

uDDt

uDuDt

ρρ ρ

ρρ ρ

rr r r

rr r r

r+ ∇ ⋅ = + + ∇ ⋅

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=( ) (3.10)

il termine dentro la parentesi quadra è nullo per la conservazione della massa .

Quindi infine : ρ ρDuDt

f Tr r r

= + ∇ ⋅ (3.11)

Che scritta per componenti cartesiane risulta :

iki

kk T

xf

DtDu

∂∂ρρ += (3.12)

Le relazioni scritte per fluidi Newtoniani si ottengono ricordando le 2.38 :

∂

∂∂∂

λ∂

∂ε μ

∂∂

εx

TPx x xi

ikk k

iii

ik= − + + 2 (3.13)

= + ∇ ⋅∫∫∫∫∫∫ ρrf dv T dv

vv 00

)9.3(∫∫∫ =⋅∇−−⋅∇+0v

0dv]Tfρ)u(uρDt

uDρ[rrrrr

r

114

ma : ε∂∂

∂∂ik

i

k

k

i

ux

ux

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

2i

k2

i

i

ki

ik

xu

xu

x21

xε (3.14)

combinando insieme la (3.12), (3.13), (3.14) si ottiene l’equazione di Navier-Stokes per fluidi Newtoniani.

(3.15) la (3.15) in forma vettoriale diventa :

ρ ρ μ λ μDuDt

f P u ur r r r r r r= − ∇ + + ∇ ∇ ⋅ + ∇( ) ( ) 2 (3.16)

Se λ e μ sono costanti il fluido si definisce Newtoniano.

Per i gas monoatomici ed anche per l’aria : λ μ= −23

cioè :

ρ ρμ

μDuDt

f P u ur r r r r r r= − ∇ + ∇ ∇⋅ + ∇

32( ) (3.17)

Per i liquidi ed i flussi non compressibili (gas con basse velocità,

r r∇ ⋅ =u 0 dalla conservazione della massa) :

ρ ρ μDuDt

g P ur

r r r= − ∇ + ∇2 (3.18)

3.3 Equazione del bilancio dell’energia L’equazione del bilancio di energia nella sua forma più semplice è conseguenza dell'applicazione del primo principio della termodinamica ad un sistema fluidodinamico in moto. Il primo principio della termodinamica per un sistema afferma : variazione nel tempo = aumento di energia per + aumento di en. di energia totale effetto del calore per effetto del lavoro Cioè dà l’equivalenza tra le variazione di energia, lavoro e il calore, ed esprime il principio che l'energia può cambiare forma ma non crearsi o distruggersi. In questo caso la proprietà estensiva è :

2

22

)(i

k

ik

k

kk

k

xu

xxu

xPf

DtDu

∂∂μ

∂∂∂μλ

∂∂ρρ +++−=

115

∫∫∫==(t)v

sS

s

dveρBE (3.19)

con e l’energia totale del sistema per unità di massa , cioè la corrispondente proprietà intensiva (b = e energia totale per unità di massa). La Es nel seguito rapperesenta la somma delle energie termiche e delle energie cinetiche (ma non l’energia potenziale chimica). Poiché consideriamo un fluido reale in moto, cioè conduttivo, viscoso, compressibile, il primo principio scritto per un sistema di tempo dà : DEDt

L QS = + (3.20)

dove : ES= energia totale termocinetica del sistema Q = calore ceduto dall’esterno nell’unità di tempo (potenza termica) L1= lavoro compiuto dall’esterno nell’unità di tempo (potenza meccanica) e la corrispondente proprietà intensiva vale:

e= U + 2iu

21 (3.21)

Con U= energia interna per unità di massa (proprietà intensiva) e 2iu

21 = energia cinetica

per unità di massa (proprietà intensiva). 3.3.1 Forma integrale Dal teorema del trasporto di Reynolds :

∫∫∫ ∫∫ ⋅+∂∂

=0 0v S

s dSnueρdveρtDt

DE rr (3.22)

Esprimiamo ora L in questa maniera :

Con Lm = lavoro delle forze di massa e LS = lavoro delle forze di superficie.

Essendo Tik tensore delle tensioni ed analogamente:

1 Spesso si assume positivo se compiuto dal sistema, nella presente trattazione si assume positivo se compiuto dall’esterno sul sistema.

L L Lm s= + ( . )3 2 3

)25.3(

)24.3(

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫=⋅⋅=

=⋅=

00

00

Skiki

Ss

vii

vm

dSnTudS)nT(uL

dvufρdvufρL

rr

rr

116

)28.3(

)27.3(

)26.3(

∫∫∫∫

∫∫∫−=⋅−=

=

+=

00

0

Sii

Ss

vm

sm

dSnkdSnkQ

ρqdvQ

QQQ

rr

essendo q il calore prodotto per unità di massa ed il segno meno in QS rappresentando l’effetto della normale esterna. A questo punto si può scrivere :

( )

∫∫

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫

⋅−

−+⋅⋅+⋅=⋅+

0

0 0 0 00

)29.3(

s

v v s vs

dSnk

qdvdSnTudvufdSuneedvt

rr

rrrrrr ρρρρ∂∂

che è la forma integrale dell’equazione dell’energia. Come vedremo successivamente tale espressione può essere semplificata in modo da consentire delle forme integrabili. 3.3.2 Forma differenziale Come visto al (3.2) mediante il teorema della divergenza ed accorpando i termini si ha:

∫∫∫ ∫∫

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫−+

+⋅⋅+⋅=+=⋅∇+=

0 0

0 0 0

v s

v v S

s

dSnkqdvρ

dS)nT(udvufρQL)dvueρDt

eDρ(Dt

DE

rr

rrrrrr)30.3(

Applicando il teorema della divergenza al secondo ed al quarto termine si ha : DEDt

f u dv u T dv qdv k dvs

vvvv

= ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ + − ∇ ⋅∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ρ ρr r r r r r

( )0000

cioè :

D eDt

e u f u u T q k dvv

ρρ ρ ρ+ ∇ ⋅ − ⋅ − ∇ ⋅ ⋅ − + ∇ ⋅

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=∫∫∫r r r r r r r

( ) 00

(3.31)

dato il volume di controllo arbitrario, devono essere nulli gli integrandi, inoltre per i primi due termini si ha per la conservazione della massa : D eDt

e u eDDt

DeDt

e uDeDt

ρρ

ρρ ρ ρ+ ∇ ⋅ = + + ∇ ⋅ =

r r r r (3.32)

quindi l’equazione cercata risulta essere la seguente :

117

ρ ρ ρDeDt

f u u T q k= ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ + − ∇ ⋅r r r r r r

( ) (3.33)

Se consideriamo la forma differenziale, con il tensore scomposto in coordinate cartesiane, otteniamo:

ρ ρ∂

∂ρ

∂∂

DeDt

f ux

u T qkxi i

ik ik

i

i

= ⋅ + + −( ) (3.34)

con T Pik ik ik= − +δ σ

inoltre :

ux

T uPx

ux

ux

T Pux

ki

ik kk

kki

i

k

iki

i

iki ki

∂∂

∂∂

∂σ∂

∂∂

∂∂

ε σ

= − +

= − + (3.35)

Pertanto si ha :

ρ ρ ρ

ρ∂∂

∂∂

σ∂ σ∂

∂∂

ρ∂∂

DeDt

DUDt

DDt

u

f u Pux

ux

ux

uPx

qkx

k

i ii

i

k

iki k

ik

ik

k

i

i

= + =

= ⋅ − + ⋅ + − + −

2

2 (3.36)

Come vedremo nel seguito il termine ε σik ik 2 tiene conto delle trasformazioni di energia meccanica in termica (per effetto dell’attrito).

3.3.3 Equazione di Bernoulli per flussi stazionari compressibili. Una forma integrata dell’equazione dell’energia totale può essere ottenuta sotto le seguenti ipotesi:

2

kiikkii

k

xu

σεσ∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂x

u T Tx

u ux

Ti

k ik iki

k ki

ik( ) = +

118

1) fi = conservativa: Ii x/Gf ∂−∂= 2) forze viscose non compiono lavoro: ikik PT δ−= 3) assenza di produzione di calore: 0q = 4) assenza di conduzione di calore: 0k =

v

5) flusso stazionario Tale equazione viene indicata generalmente come una delle forme (forma debole) delle equazioni di Bernoulli.

Ricordando che : ikik PT δ−≅

=∂∂

−=−∂∂

=∂∂ P)(u

x))Pδ((u

x)T(u

x ii

ikki

kiki

ii

i

i

xPu

xuP

∂∂

∂∂

−−= (3.37)

Supponendo la fi conservativa si può introdurre il suo potenziale G

ii x

Gf∂∂

−= e si ha :

ii

i

ii

iii x

PuPxuu

xG

xeu

∂∂

∂∂

∂∂ρ

∂∂ρ −−−= (3.38)

dividendo per ρ si ha :

0xPu

xuP

xGu

xeu

i

i

i

i

ii

ii =+++

∂∂

ρ∂∂

ρ∂∂

∂∂ (3.39)

ma gli ultimi due termini danno:

ii x

/Pu∂

∂ ρ

infatti:

i

i

i

i

ii x

PuxPu

xPu

∂∂

−∂∂

=∂

∂ ρρρ

ρ2

/

ma dalla conservazione della massa si ha:

i

i

ii x

uPx

uP∂∂

=∂∂

−ρ

ρρ 2

Quindi si ottiene:

119

0PGex

ui

i =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

∂∂

ρ (3.40)

dove H è l’energia totale:

Quindi :

0H)u( =∇⋅rr

(3.41) e :

tcosGPu21UH 2

i =+++=ρ

(3.42)

lungo una linea di corrente che ha per tangente ui. La quantità scalare H non si modifica (ovvero si conserva) lungo il moto, in quanto il vettore u e il gradiente di H devono essere ortogonali, pertanto il flusso è isoenergetico ma non omoenergetico. Si noti che:

entalpiahPvUPU ==+=+ρ

pertanto H è anche detta entalpia totale.

3.3.4 Conservazione dell’energia totale Abbiamo visto al paragrafo 3.3.3 una forma dell’equazione di Bernoulli sotto le condizioni

1) fi = conservativa 2) forze viscose non compiono lavoro 3) assenza di produzione di calore 4) assenza di conduzione di calore 5) flusso stazionario. Vediamo ora come la condizione (3.42) si può estendere a flussi non adiabatici e viscosi purchè tali effetti siano concentrati in una regione limitata di spessore δ e volume

uSδ ⋅ (discontinuità quali onde d’urto, che chiameremo adiabatiche, e strato limite). Questa è detta forma forte dell’equazione di Bernoulli. In tal caso manteniamo solo le condizioni 1,3 e 5 (non la 2 e la 4) e consideriamo la 3.42 in forma integrata su un volume di controllo v0.

H U uP

Gi= + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

2

ρ

120

( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇−+⋅⋅∇++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++== ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫

00 0 vv vdvkqu

tP

tGdvGPe

DtDdv

DtDHA ρσ

∂∂

∂∂ρ

ρρρ B

per le condizioni 3 e 5 il termine B diventa

( )( ) ( )∫∫∫∫∫ ⋅−⋅=⋅∇−⋅⋅∇=0

0S

vdSnkσudvkσuB

per il teorema della divergenza, dove σ λε δ μεik jj ik ik= + 2 e k kTxi

i= −

∂∂

Pertanto se l’effetto è concentrato in uno strato di piccolo spessore δ che matematicamente non possiamo considerare una discontinuità, σik e ki sono nulli ovunque tranne che nel volume uSδ ⋅ che non fa parte di S0 (è interna) e quindi B = 0. Il termine A sarà, per la conservazione della massa,

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ ⋅=⋅∇=∇⋅==000 0 Svv v

dSnHudvHuHdvudvDt

DHA ρρρρ

Per il teorema della divergenza ( ) ( ) ( ) ( )HuuHHuHu ∇⋅=⋅∇+∇⋅=⋅∇ ρρρρ Quindi 0

0

=⋅∫∫SdSnHuρ

Ma su Sn si ha 0=⋅ nu che sono linee di corrente (come un tubo di corrente) e quindi

∫∫∫∫ =21 S 222S 111 dSHuρdSHuρ

S u

S 1 v0

ONDA D'URTO

S 2

S n M>1

M>1

121

Allora se H1 è omogeneo in S1 il campo è omoenergetico tranne che nelle discontinuità (S1 è arbitraria). Pertanto il risultato è che l’energia totale si conserva in condizioni stazionarie anche attraverso gli urti e le discontinuità purchè ci si trovi in regioni dove l’effetto della viscosità e della conducibilità è trascurabile. La dimostrazione qui riportata non è rigorosa in quanto non considera il salto attraverso la discontinuità, ma tuttavia conduce ad un risultato generalmente valido. 3.3.5 Bilancio di energia meccanica L’equazione di bilancio dell’energia meccanica si ottiene moltiplichando l’equazione della conservazione della quantità di moto per ru :

ρ ρ∂∂

uDuDt

u f uTxk

kk k k

ik

i= + 3 (3.43)

3.3.6 Bilancio di energia termica Il bilancio di energia termica si ottiene sottraendo l’energia meccanica da quella totale. Essendo :

e =U+ 2ku

21

2

2ku

tDD

DtDU

tDeD ρρρ += (3.45)

Sottraendo la (3.44) dalla (3.36)

i

i

i

ikkki

i

k

i

iii

2k

xkq

xTu

xu

xuPuf

2u

DtD

DtUD

∂∂ρ

∂∂σ

∂∂

∂∂ρρρ −++⋅+−⋅=+

3 oppure :

ρ ρ∂∂

∂ σ∂

DDt

uf u u

Px

ux

kk k k

kk

ik

i

2

2= − + (3.44)

122

i

ikkkk

2k

xTuuf

2u

tDD

∂∂ρρ −−=−

3.3.6.1 L’equazione di bilancio dell’energia termica in termini di energia interna

ρ∂∂

∂∂

σ ρ∂∂

DUDt

Pux

ux

qkx

i

i

k

iki

i

i= − + ⋅ + − (3.46)

od anche : ρ∂∂

ρ∂∂

DUDt

ux

T qkx

i

kik

i

i= + −

in forma generale:

kqρφμuPkqρσ)u(uPDt

DUρ 2 rrrrrrrrrr⋅∇−++⋅∇−=⋅∇−+⋅∇+⋅∇−= (3.47)

Si noti che uP ⋅∇− è il lavoro reversibile compiuto dalla pressione.Definiamo 2μφ come la velocità di dissipazione dell’energia cineticae sua trasformazione irreversibile in energia interna:

ikikikikikiki

k2 σεσ)ε(Ωσxuμφ =+=

∂∂=

per effetto della (2.18) e in quanto Ωik è emisimmetrica e σ ik è simmetrica Ω ik ikσ = 0. Per la (2.39) σ λε δ μεik jj ik ik= + 2 e quindi:

)εμ2δε(λεφμ ikikjjik2 += (3.48)

3.3.6.2 L’equazione di bilancio dell’energia termica in termini di temperatura Ricordando le relazioni costitutive e le definizioni di calore specifico a volume costante:

dU = cv dT , v

v δTδQc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ; k k

Txi

i= −

∂∂

;

da cui la (3.49) diventa:

TkqρφμuPDtDTcρ 22

v ∇+++⋅∇−= rr (3.49)

3.3.6.3 L’equazione di bilancio dell’energia termica in termini di entalpia Se introduciamo l’entalpia:

123

h U P v= + (3.50) che è l’energia associata al moto molecolare intorno al baricentro della particella di fluido Si ottiene l’equazione dell’energia in termini di entalpia:

TkρqμφDtDP

DtDhρ 22 ∇+++= (3.51)

E dalla dh c dTDhDt

cDTDtp p= ⇒ =ρ ρ (3.52)

TkρqμφDtDP

DtDTρc 22

p ∇+++=

3.3.6.4 L’equazione di bilancio dell’energia termica in termini di entropia Adesso vediamo l’equazione dell’energia termica in termini di entropia (S). Ricordiamo la definizione di S ed il secondo principio della termodinamica

revTδQdS ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (3.53)

δ

ρρ

Q dU Pdv

dU TdS Pdv TdSP

d

= +

= − = + 2 (3.54)

Sostituendo la (3.56) nella (3.49) si ottiene l’equazione di bilancio dell’energia termica in termini di entropia:

kqρφμuPDtDρ

ρP

DtDSρT 2 rrrr

⋅∇−++⋅∇−=+ (3.55)

ma P D

DtP u

ρρ

= − ∇ ⋅r r per la conservazione della massa; pertanto si semplifica con il

primo termine a destra

kqρμφtDSDρT 2 rr

⋅∇−+= (3.56)

3.3.6.5 Disequazione di Clausius-Duhén e produzione di entropia Si può dimostrare come il termine 2μφ è definito positivo, infatti dalla (3.48) e (2.47)

ikikjjiiikikjjik2 ε2μελε2μδλεεμφ εε +=+=

124

e ricordando che λ λ μ' = +23

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+=+−= 2

jj2

ik2

jj'2

ik2

jj'2 ε

31ε2μελ2μμ)ε

32(λμφ ε (3.59)

= + −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= + −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

λ ε μ ε ε δ ε ε δ λ ε μ ε ε δ' 'jj ik jj ik ik jj ik jj ik jj ik

2 22

213

13

213

poichè 'λ e μ sono positivi e i due termini della (3.59) sono delle forme quadratiche 0φμ 2 ≥ valendo il segno uguale o per 'λ = μ = 0 (fluido ideale) o per fluidi reali se

ε ik = 0 (situazione fluidostatica).

Inoltre anche il termine − ∇ ⋅1T

kr r

contiene un elemento definito positivo:

− ∇ ⋅1T

kr r

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

TTx

kx T

Txi i i

1 12

∂∂

∂∂

∂∂ (3.58)

kT1

Tqρ

Tφμ

DtDSρ

2 rr⋅∇−+= = (3.59)

=1

213

2 2

T jj ik jj ik[ ( ) ]'λ ε μ ε ε δ+ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

TTx

qT

kx T

Txi i i

1 12

∂∂

ρ ∂∂

∂∂

Si noti che i primi due termini a destra definiti positivi tengono in conto dell’energia meccanica dissipata (produzione di calore irreversibile); il terzo termine definito positivo, tiene conto della degradazione dell’energia termica nel processo di diffusione del calore. Gli ultimi due termini avranno segni dipendenti dalle condizioni; tuttavia per condizioni adiabatiche nelle quali gli ultimi due termini sono nulli si ha la disuguaglianza di Clausius-Duhén (3.62). Infatti integrando su un volume di controllo avente frontiera adiabatiche la (3.61) si ottiene:

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+=

0 0 0v v v ii

2

i

2

dvxT

T1

xkdv

xT

T1k

Tμφdv

DtDSρ

∫∫∫ ∫∫ ∂∂+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+=

0 0v Si

i

2

i

2

dSnxT

T1kdv

xT

T1k

Tμφ

ma l’ultimo termine nella precedente è uguale a zero perchè 0nT

0Si

=∂∂ per l’adiabaticità.

Pertanto, restano nell’integrale i due termini definiti positivi già visti.

ρDSDt

dvv0∫∫∫ = 0dv])

xT

T1(k

Tμφ[

v0

2

i

2

≥∂∂+∫∫∫ (3.60)

125

Il segno uguale vale solo per flussi non viscosi e non conduttivi, ciò corrisponde ad una trasformazione reversibile. Si noti che per moti stazionari di flussi non conduttivi e non viscosi ( k = = =μ λ' 0 ) : r ru S⋅ ∇ = 0 (3.61) si conserva cioè l’entropia lungo le linee di corrente. Pertanto un eventuale gradiente di entropia , se presente , deve essere normale alle linee di corrente per k, μ e λ’ trascurabili . Ciò è vero indipendentemente dalla storia subita dal fluido nel suo moto a monte. Pertanto il flusso può essere isoentropico ma il campo può non essere omoentropico.

r∇ ≠S 0 ; r

ru S⊥∇ ⇒ r

ru S⋅ ∇ = 0

Nelle condizioni isoentropiche valgono le (1.2) e successive:

Pt

Tt

TP

tρ ργ γ

γ

γ= = =− −cos ; cos ; cos1 1 (1.2)

che quindi possono sostituire l’equazione dell’energia (equazione differenziale) legando mediante un’equazione algebrica le proprietà termodinamiche. Nota: combinando la (3.53) e la (3.58) si ha:

DtDST

DtDP

DtDh +=

ρ1

126

3.4 Altre forme delle equazioni di Navier-Stokes 3.4.1 Accelerazione di Lagrange Cerchiamo un’altra forma della derivata sostanziale della velocità che viene detta accelerazione di Lagrange. Per la componente 1 possiamo scrivere:

2332

2k

1

1

1

3

3

13

1

2

2

12

1

kk

1

k

1k

11

ωuωu2

uxt

uxu

xuu

xu

xuu

xuu

tu

xuu

tu

DtDu

+−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=+=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

allora generalizzando : DuDt

ut x

uui i

i

ki= + + ×

∂∂

∂∂

ω2

2( )r r

ovvero : DuDt

ut

uuk

r r r r r= + ∇ + ×∂∂

ω2

2 (3.62)

3.4.2 Eq. di trasporto della vorticità per flussi incompressibili. 3.4.2.1 Partendo dalle equazioni di Navier-Stokes Avendo definito la vorticità ω, ( )uω rrr ×∇≡ l’equazione del trasporto della vorticità (o equazione di conservazione del momento della quantità di moto) può essere ottenuta da quelle delle quantità di moto (3.18) applicando il rotore. In notazione assoluta :

( ) ( )

( )uωρωμfρtDωDρ

uμPfρtDuDρ

uμPfρtDuDρ

2

2

2

rrrrrrr

rrrrrrr

rrrr

∇⋅+∇+×∇=

∇×∇+∇×∇−⋅×∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×∇

∇+∇−= )18.3(

Le forze di massa sono generalmente conservative :

r rf G= −∇

applicando il rotore :

127

Il trasporto della vorticità risulta:

( )ρ∂ ω∂

ω μ ω⋅ + ∇ × × = ∇( )r r r rt

u 2 (3.63)

Si noti che il termine ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∇⋅+

∂∂

= ωutDt

D rrrrr ωω è la derivata sostanziale della vorticità,

mentre il termine ( ) uω rrr∇⋅ tiene conto dell’allungamento ed accorciamento dei vortici

e dà un effetto analogo a quello del regolatore di Watt o di una ballerina che allarghi o stringa le braccia al corpo. Infatti :

il vortice si allunga, ω cresce. il vortice si accorcia , ω diminuisce.

Esempio di vortice che si allunga è il gorgo prodotto nel fondo di un lavandino in corrispondenza dello scarico. Inoltre nelle (3.66) non compare esplicitamente la pressione il che fisicamente corrisponde alla circostanza che il momento prodotto dalle pressioni è nullo. Formazione e distorsione dei vortici ad anello in un getto trasversale

ρ ρr r r r∇ × = ∇ × ∇ ≡f G 0

Corrente principale

Getto secondario trasversale

128

Visione di una sezione trasversale

3.4.2.2 Partendo dall’accelerazione di Lagrange Applicando il rotore all’accelerazione di Lagrange si ha:

( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r r r r r r r r r r r∇ × = + ∇ × ∇ + ⋅ ∇ − ⋅ ∇ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅DuDt t

uu u u u

∂ ω∂

ω ω ω ω2

2

oppure : ( )r r r

r r r∇ × = + ∇ × ×DuDt t

u∂ ω∂

ω

Che dà luogo ad una formula compatta :

( )ρ∂ ω∂

ω μ ω⋅ + ∇ × × = ∇( )r r r rt

u 2 (3.63)

Od anche il trasporto della vorticità (flussi incompressibili) risulta :

( )ρω

μ ω ρ ωDDt

ur

r r r r= ∇ + ⋅ ∇2

Nel caso incompressibile la conservazione della massa si riduce a : r r∇ ⋅ =u 0 ; r

r ru = ∇ ×ψ

( )r r r r r r r r rω ψ ψ ψ= ∇ × = ∇ × ∇ × = −∇ + ∇ ∇ ⋅u 2 Il sistema si può scrivere come :

129

( ) ( )( )

( )

ρ∂ω∂

ψ ω μ ω ρ ω ψ

ψ ω ψ

rr r r r r r r r r

r r r r r

t+ ∇ × ⋅ ∇

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= ∇ + ⋅ ∇ ∇ ×

∇ = − + ∇ ∇ ⋅

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

2

2

(3.64)

Sostituendo la seconda delle (3.66) nella prima si ottiene una eq. di IV ordine in rψ (potenziale vettore). 3.4.2.3 Trasporto di vorticità in 2D Nel caso bidimensionale ( )ω0,0,ω =r , ( )ψ0,0,ψ =r le eq. (3.66) si riducono quindi a :

ρω

μ ω

ψ ω

DDt

= ∇

∇ = −

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

2

2

(3.65)

Da completare con le condizioni al contorno, che devono dare fisicamente l’impermeabilità, il non scorrimento alle pareti o le condizioni di flusso assegnate. Il sistema è ancora del IV ordine, la ψ è detta funzione di corrente (ved. Cap.2).

Rilascio di un vortice al bordo di un corpo solido (Re≅1000).

130

3.4.3 Cenni alla soluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes in formulazione ψ, ω(2D)

Consideriamo il seguente problema fisico, che può rappresentare ad esempio una vasca di sedimentazione:

Il problema può essere considerato in 2D in quanto a ∼ b << c, incompressibile (acqua), e

quindi u x33

1 2 1 20 0 0 0= = = = = =, , , ∂

∂ω ω ψ ψ .

Ne discende il modello fisico

Y

X

Ψ1 = 0 m³/s

Ψ2 = u1*1*1m³/s

u

131

Lo schema a blocchi delle procedure di analisi di un problema fluidodinamico o genericamente fisico sono le seguenti:

Con CFD si indica la Computational Fluid Dynamics di cui viene dato un accenno nel seguito. Il modello matematico è rappresentato dalle equazioni 3.67 completate con le seguenti condizioni al contorno fisiche ( BC → Boundary Conditions).

xx

==

03

0 22 3

≤ ≤< <

⎧⎨⎩

yy

0v ,s/m 1u0u

===rr

yy

==

03

⎪⎩

⎪⎨

⎧= 0ur

⎩⎨⎧

==

0u0v

Problema fisico Sperimentazione sul campo

Modello fisico Sperimentazione di laboratorio

Modello matematico

Formulazioni asintotiche

Soluzioni analitiche

Modello numerico

Soluzione numerica

CFD

Impermeabilità parete Adesione alla parete

132

Le BC fisiche devono essere tradotte in BC matematiche che in ψ sono:

xx

==

03

0 20

0

2 32 2

0

13

≤ ≤=

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

< <= − = −

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

yx

yy y u y m s

x

ψ∂ψ∂

ψ∂ψ∂

( ) ( ) ( ) /

Si noti che le BC su ψ sono 2 per ogni lato in quanto le 3.67 costituiscono un sistema di 2 equazioni differenziali del II ordine equivalente ad una equazione del IV ordine. 1

1Nota: Un esempio monodimensionale può essere l’equazione della linea elastica di una trave (dove ψ=spostamento verticale, e ω=curvatura)

ddx

4

4 0ψ

=

che può essere scritta come

ddxddx

2

2

2

2

0ω

ψω

=

= −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

quindi analogamente l’equazione in ψ può essere sostituita nell’equazione in ω. Le BC matematiche nelle 3.67 (equazione in ψ e ω di trasporto della vorticità) sono la definizione stessa di vorticità

xxyy

vx

uy

====

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

= −

0303

ω∂∂

∂∂

da calcolare sulla base del campo interno. Si provi a risolvere analiticamente l’equazione

ddx

4

4 0ψ

=

ψ∂ψ∂

=

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0

0y

y = 0

ψ ψ∂ψ∂

= =

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

231

0

m s

y

/y = 3

133

con le condizioni al contorno seguenti:

x ddx

==

=

⎧⎨⎪

⎩⎪0

0 0

0 0

ψψ( )

( ) e ad x d

dx=

=

=

⎧⎨⎪

⎩⎪1

1 1

1 0

ψψ( )

( )

che corrisponde alla equazione della linea elastica della trave (ψ(x) = spostamento verticale) in forma adimensionale.

0x

=∂ψ∂

=ψ

0 1

Spostamento ψ

0x

1

=∂ψ∂

=ψTrave deformata

Se consideriamo una trave incastrata agli estremi, scarica, alla quale è applicato lo spostamento verticale unitario ad x = 1, con rotazione nulla.

SOLUZIONE

∂ ψ∂∂ ψ∂∂ ψ∂∂ψ∂

ψ

4

4

3

3

2

2

2

3 2

0

12

16

12

x

xa

xax b

xax bx c

x ax bx cx d

=

=

= +

= + +

= + + +( )

Calcolando le costanti con le condizioni al contorno si ottiene:

ψ ( )x x x= − +2 33 2

Lo stesso problema può essere risolto mediante il sistema di 2 equazioni del II° ordine con opportune condizioni al contorno; infatti, le condizioni al contorno del problema originario sono tutte sull’equazione in ψ (4), mentre non sono presenti condizioni al contorno sull’equazione in ω. Le condizioni al contorno sull’equazione in ω possono essere valutate attraverso la definizione di ω sul contorno:

ωψ

ωψ

( ) ( )

( ) ( )

oddx

ddx

= =

= = −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2

2

2

2

0 6

1 1 6

Le 2 equazioni del sistema possono in tal modo essere risolte separatamente.

134

Il sistema di equazioni di Navier-Stokes 3.67 analogamente potrà essere completato con condizioni al contorno per l’equazione del trasporto della vorticità date dalla definizione di vorticità sul contorno l (con l l’ascissa curvilinea) cioè

ωψ ψ

( ) ( ) ( )lddx

lddy

l= − −2

2

2

2

Le condizioni al contorno per l’equazione in ψ sono quelle definite sopra. Vediamo ora il modello numerico:

Discretizzazione dominio di integrazione

Nel modello discusso ci accontentiamo di conoscere il valore nei nodi del reticolo i,j (con i = 1,m e j=1,n). Utilizziamo una tecnica alle Differenze Finite (FD). Discretizzazione delle equazioni differenziali Le derivate si ottengono da uno sviluppo in serie di Taylor. Consideriamo una generica quantità ψ (x,y), che discretizzata sarà ψij nel generico nodo i,j ed otteniamo i due sviluppi in serie

ψ ψ∂ψ∂

∂ ψ∂

∂ ψ∂i j i j

i j i j i jx

xx

xx

xo x+ = + + + +1

2

2

2 3

3

34

2 6, ., , ,

( )ΔΔ Δ

Δ

Modello numerico

Discretizzazione dominio di integrazione

Discretizzazione equazione di governo del campo fluidodinamico

i,j+1

i,j-1

i,j i-1,j i+1,j

1 2 x , i

m

y , j

2 1

i,j Celle di calcolo in numero di (m-1)(n-1)

n

135

ψ ψ∂ψ∂

∂ ψ∂

∂ ψ∂i j i j

i j i j i jx

xx

xx

xo x− = − + − +1

2

2

2 3

3

34

2 6, ., , ,

( )ΔΔ Δ

Δ

sommando si ha:

ψ ψ ψ∂ ψ∂i j i j i j

i jx

x o x+ −+ = + +1 1

2

22 42, . ,

,

( )Δ Δ

sottraendo si ha2:

ψ ψ∂ψ∂i j i j

i jxx o x+ −− = +1 1

32, .,

( )Δ Δ

Pertanto dalla prima dividendo per Δx2 ed isolando le∂ ψ∂

2

2x si ottiene la derivata del II°

ordine: ∂ ψ∂

ψ ψ ψ2

21 1

22

2x x

o xi j

i j i j i j

,

, , , ( )=− +

++ −

ΔΔ

dalla seconda dividendo per 2Δx, si ottiene la derivata del I° ordine:

∂ψ∂

ψ ψx x

o xi j

i j i j

,

, , ( )=−

++ −1 1 2

2ΔΔ

Analogamente si ricavano le derivate ∂ ψ∂

2

2ye

∂ψ∂y

Questo schema alle FD si dice centrato al II ordine in quanto si trascurano i termini o(Δx2). In analogia si possono ottenere anche derivate in avanti o indietro utilizzando i punti i,j ; i+1,j ; i+2,j . Ad esempio, dal primo sviluppo in serie si ricava automaticamente la

∂ψ∂

ψ ψ x x

o xi j i j=−

++1, , ( )Δ

Δ

che è una espressione accurata al primo ordine. Consideriamo ora la seconda delle 3.67. Le equazioni alle FD si ottengono come segue: ∇ = −2ψ ω

2 Nota: x x xi j i j+ − =1, , Δ

x x xi j i j− − = −1, , Δ

136

∇ = + ≅− +

+− +

= −+ − + −2

2

2

2

21 1

21 1

2

2 2ψ

∂ ψ∂

∂ ψ∂

ψ ψ ψ ψ ψ ψω

x y x yi j i j i j i j i j i j

i j, , , , , ,

,

Δ Δ

Si hanno: m×n nodi, (m-1)(n-1) celle (m-2)(n-2) nodi interni mn-2(n+m)+4 equazioni algebriche date dal campo interno 2m+2n-4 equazioni date dalle condizioni al contorno Si ottengono pertanto mn equazioni algebriche in mn incognite costituite da ψ nei punti interni e di contorno

Pertanto le m×n incognite possono essere numerate con un indice k=1,2,…, m×n e quindi ψij → ψk Si ottiene un sistema di equazioni algebriche del tipo: [ ]A Tlk k lψ = che è un sistema di equazioni algebriche con Alk matrice dei coefficienti, ψk vettore delle incognite, Tl vettore dei termini noti. Il sistema può essere quindi risolto invertendo la matrice Alk:

[ ] A T-1

ψ k lk l= La struttura matematica di Alk è molto semplice (tridiagonale) e pertanto vi sono solutori molto efficienti (vettoriali e paralleli). Un sistema di equazioni algebriche analogo, si ottiene dalla prima equazione delle 3.67. In questo caso, poichè l’equazione differenziale di partenza è non lineare per la presenza del termine ( )r r ru ⋅∇ ω , ne consegue che il sistema di equazioni alle differenze finite è non lineare e quindi andrà risolto in modo iterativo o linearizzando le equazioni intorno ad una soluzione nota. Una volta risolti i due sistemi di equazioni algebriche accoppiate in ψij e ωij, si ottengono i valori in tutti i punti del campo e, ove necessario, anche sul contorno, ed il problema risulta risolto.

1 2

m+1 2m

m(n-1)+1 m n

137

Soluzione indicativa in funzione di Re – linee di corrente

u

Re < 10

Re > 100

138

3.5 Varie forme dell’equazione di Bernoulli 3.5.1 Equazione di Bernoulli per flussi incompressibili e rotazionali. Si consideri l’equazione della quantità di moto di Navier-Stokes :

ρ ρ λ μ μ ρ λ μDuDt

f P u u f P Fr r r r r r r r r

= − ∇ + + ∇ ∇ ⋅ + ∇ = − ∇ + ( ) ( ) ( , )2

gli ultimi due termini (viscosi) li poniamo come una F(λ,μ) e rappresentano forze non conservative, mentre la f è conservativa r rf G= −∇

essendo G il potenziale gravitazionale. Le forze di pressione sono conservative in quanto, per

la costanza di ρ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇=

∇ρP

ρP . Si sostituisca

DuDt

r espressa secondo Lagrange :

DuDt

ut

uu

r rr r= + ∇ + ×

∂∂

ω

2

2

ρ∂∂

ω ρ λ μ ut

uu G P F+ ∇ + ×

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= − ∇ − ∇ +r r r r r r2

2( , ) (3.68)

Per flussi incompressibili : r r r∇ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − × − +

uG

Pu

ut

F2

2 ρω

∂∂

μ λρ

( , )

Se si trascurano gli effetti delle viscosità F(μ,λ)=0, e il flusso è stazionario:

Pertanto la quantità :

ρPGuH m ++=

2

2

(3.69)

si conserva sia lungo le linee tangenti ad rω sia lungo le linee tangenti ad ru nel caso rotazionale per flussi stazionari , incompressibili con effetti della viscosità trascurabili. Cioè Hm si conserva sia lungo le linee di corrente sia lungo le linee di vorticità e quindi anche lungo il moto , infatti la formula è un caso particolare del teorema generale di Bernoulli (per U=cost e per fluidi incompressibili ), visto al § 3.3.3.

uPGu rrr×−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∇ ω

ρ2

2

139

Esempio di un’applicazione reale del Teorema di Bernoulli: l’acqua si solleva dalla superficie per effetto della depressione prodotta dai getti dei propulsori.

3.5.2 Bernoulli per flussi barotropici-stazionari Si dice barotropico un flusso per cui ρ=ρ(P) cioè la densità non dipende dalla temperatura. Questa ipotesi è accettabile per bassi valori subsonici (con piccole variazioni di temperatura).

In tal caso le forze di pressione sono ancora conservative : 1ρ ρr r∇ = ∇∫P

dPP( )

(3.70)

Infatti se definiamo : F PdP

P( )

( )= ∫ ρ

(3.71)

⇒ = =∂∂

∂∂ ρ

∂∂

FS

dFdP

PS

PS

1

Dove la formula è la proiezione del gradiente sull’ascissa curvilinea S.

140

Con questa ipotesi risulta : r r r∇ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − ×∫

uG

dPu

2

2 ρω (3.72)

E vale ancora quanto detto al paragrafo precedente equazione (3.69). 3.5.3 Bernoulli per flussi potenziali-non stazionari Come già accennato se rω = 0 in tutto il campo : r

ru = ∇ϕ

dove ϕ è il potenziale scalare nel sistema di riferimento corpo (SRC). In tale caso : r r r∇ + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − × + =∫

∂ϕ∂ ρ

ωλ μρ t

uG

dPu

F2

20

( , ) dove gli ultimi due termini sono nulli per

le condizioni di irrotazionalità e di effetto della viscosità trascurabile. Questo porta alla :

∂ϕ∂

ϕ ϕρ t

GdP

c t+∇ ⋅∇

+ + =∫r r

2( ) (3.73)

dove c(t) è una costante nello spazio e funzione solo del tempo , cioè ad un dato istante assume lo stesso valore in tutto il campo . Questo vale nel sistema di riferimento corpo (SRC): se ad esempio il profilo oscilla nel sistema di riferimento associato al profilo l’aria distante oscilla ed il profilo sta fermo, quindi la c(t) tiene conto di questo effetto.

141

3.6 Teorema di Crocco Consideriamo il I ed il II principio della termodinamica per un sistema termodinamico. δQ dU Pdv= + ; h=U+Pv dh=dU+Pdv+vdP ; δQ=dh-vdP ; dh = δQ

ma : δ

δQT

dS Q TdS= ⇒ =

quindi :

ρdPTdSdh +=

Per un fluido in moto stazionario , considerando S ed h come variabili intensive (cioè entropia ed entalpia per unità di massa) e trascurando gli effetti delle viscosità ed a combustione assente, i differenziali totali d possono essere sostituiti dai gradienti; infatti :

xdhdxxhdh i

i

⋅∇=⋅∂∂

=

e si ottiene l’equazione di Gibbs nella rappresentazione entalpica:

T S h P P h T Sr r r r r r∇ = ∇ − ∇ ⇒ ∇ = ∇ − ∇

1 1ρ ρ

(3.74)

che consta di una parte conservativa con potenziale entalpia specifica h ed una non conservativa (è conservativo solo per flussi isotermi ( )TSST ∇=∇ ) che introdotta nella (3.68) dà : r r r r∇ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − × + ∇h

uG u T S

2

2ω (3.75)

che proiettato sulle linee di corrente diventa : ∂∂s

hu

G+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

2

20 ;

si definisce :

′ = + + =H hu

G t2

2cos (3.76)

Se le linee di corrente si estendono fino all’infinito dove il flusso è uniforme , ′ =H tcos in tutto il campo (vedi sez. 3.3.4).

142

ϖ

u

Urto curvo cilindro

S∇ 0H0S

=∇=∇

S∇

S∇

ω

u

2

1

xu

∂∂

3

2

1

Essendo ∇ ′ =H 0 il teorema di Crocco afferma che : − × + ∇ =r r r

ω u T S 0 (3.77) che stabilisce per un flusso stazionario che l’entropia è costante in tutto il campo solo se rω = 0 o rω è parallelo ad ru . Se il flusso è rotazionale il

r∇S è normale ad rω e ru . Inoltre

se il campo è omoenergetico, ma non omoentropico, sarà presente una vorticità ϖ (vedi figure). Esempio: onde d’urto Esempio: Strato Limite

Infatti 2

2

12⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∝xuμμφ cioè al quadrato delle pendenze che sono massime sulla parete.

143

l

Γ

Γ

dl

3.7 Teoremi sui vortici Chiamiamo regione vorticosa il campo di flusso nel quale sia diversa da zero la vorticità : r r rω = ∇ × u . In tale regione le particelle sono animate da una velocità angolare :

rr

ςω

=2

In analogia alle linee di corrente (che hanno per tangente in ogni punto il vettore velocità) possiamo definire le linee vorticose come quelle che hanno per tangente in ogni punto il vettore vorticità . Chiamiamo quindi vortice o tubo vorticoso lo spazio delimitato dalle linee vorticose passanti per una linea materiale chiusa ; se la dimensione della linea è infinitesima il vortice si definisce filetto vorticoso .

Si definisce intensità di un vortice di data sezione S il flusso di rω attraverso di essa :

∫∫ ∫∫∫ ⋅=⋅×∇=⋅=S CS

ldudSnudSnωrrrrr

Γ (3.78)

che per domini semplicemente connessi è quindi uguale alla circolazione di ru per il teorema di Stokes . Nel caso di filetto vorticoso la Γ può assumere un significato vettoriale in quanto sarà allineata in ogni punto della linea con la tangente alla linea stessa.

s dl

ϖ

ϖ

Tubo vorticoso o vortice

u

u

u

u

ϖ

ϖ

ϖ

C

S

dl

144

3.7.1 Teorema di Kelvin-Thompson “La circolazione lungo un circuito chiuso , costituito sempre dalle stesse particelle è invariabile nel tempo se: il fluido è a viscosità trascurabile , le forze di massa sono conservative e il flusso è barotropico ”.

Per ∫ ⋅= ldurr

Γ , si ha1 :

∫∫ ∫ ⋅+⋅=⋅=Dt

lDduldDt

uDlduDtD

DtD

rrrrrrΓ

(3.79)

Come dimostrato in nota i nuclei di integrazione dei due integrali possono essere messi in forma di gradiente, quindi2:

0ldHtDΓD

c

=⋅∇= ∫rr ~

1 Essendo d

dtab a

ddt

b bddt

a( ) = + 2 Il primo membro della (3.79) pertanto può essere scritto, tenendo conto delle (3.16) :

( ) ( )DuDt

f Pu

ur r rr r r

r= −

∇+

+∇ ∇ ⋅ +

∇ρρ ρ

μ λρ

μρ

2

gli ultimi due termini a secondo membro sono nulli a causa dell’effetto della viscosità trascurabile; inoltre per conservatività e barotropicità possiamo scrivere: r rf G= −∇ ; −

∇= −∇∫

rrP dP

ρ ρ

quindi : DuDt

dPG

r r= −∇ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫ ρ

(3.80)

Il secondo membro della (3.79) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −′′=

→ ΔtABBAlim

DtlDd

0tΔ

r

′ ′ = − +A B dl u t u tA B

r r r Δ Δ

( )udldlluudl

luuuu

ΔtldΔtuΔtuld

limDt

lDdA

A

AABAB

0tΔ∇⋅=

∂∂

=−∂∂

+=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+=

→

rrr

rrrrr

quindi : rr

rr r r

uDdlDt

uul

dlu

dl⋅ = = ∇ ⋅∫∫ ∫∂∂

2

2

0ldHldρPdG

2uld

2u

ρdPG

tDΓD

cc

2

c

2

=⋅∇=⋅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∇=⋅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∇+∇−∇−=⇒ ∫∫ ∫∫ ∫rrrrrrrr ~

l A

B

A’

B’

dl

uBΔt

uAΔt

145

0(B)H(A)HBAsema(B)H(A)HtDΓD

=−⇒≡−= ~~~~

Infatti la circuitazione di un gradiente è uguale a zero in quanto la H se ammette un gradiente ha il significato di una funzione potenziale che è quindi funzione di punto.

Cioè : DDt

Γ= 0 (3.81)

Ciò indica che la circolazione si conserva nel moto per flussi incompressibili (o barotropici) a viscosità trascurabile . Conseguenza di ciò è che se rω = 0 all’infinito a monte anche Γ=0 all’infinito a monte (per t=0). Per la (3.81) sia Γ che ω si mantengono nulli per qualunque tempo t >0. Quindi rω = 0 in tutti i punti a valle tranne :

i flussi per i quali r rf G≠ −∇ (forze di massa non conservative, convezione naturale,

flussi termotropici) per μ e λ elevati (onde d’urto, strati limite, scie laminari o turbolente ), ρ=ρ(P,T) flussi altamente compressibili, in domini molteplicemente connessi (per i quali non vale il teorema di Stokes).

3.7.2 Primo teorema di Helmholtz sui vortici

“L’intensità di un vortice (tubo vorticoso) è invariabile lungo di esso”. Si noti che : 0dVωdSnω

VAtot

=⋅∇=⋅ ∫∫∫∫∫ rrrr (3.82)

In quanto : r r r∇ ⋅ ∇ × =u 0

Pertanto :

r r r r r rω ω ω1 11

2 22

0⋅ + ⋅ + ⋅ =∫∫ ∫∫∫∫n dS n dS n dSA

l lAlA

Ma : r rω l lAl

n dS⋅ =∫∫ 0 per definizione di tubo vorticoso ( r rω l ln⊥ )

A

B

2n

1n A1

ϖ

ϖ

Δl

n

A2

146

Allora :

r r r r

r r r r r r

ω ω

ω ω ω

1 1 2 221

1 1 1 2 22

2 22

2

0

1

⋅ + ⋅ =

⇒ = ⋅ = − ⋅ = ⋅ − =

∫∫∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

n dS n dS

n dS n dS n dSAA

A A A

Γ Γ( ) (3.83)

Questo teorema ha notevoli conseguenze pratiche in fluidodinamica applicata e problemi d’ingegneria meccanica, aeronautica o di geofisica. Consegue infatti che un vortice non può avere inizio o fine nel fluido , può quindi : - iniziare o terminare ai confini del fluido (ad esempio contro una parete o sulle

superficie libere come avviene ad esempio per i cicloni tropicali che iniziano al suolo, e terminano al limite della troposfera, altri esempi sono i vortici a valle di ostacoli quali traverse e pilastri di ponti).

- essere infinito (ad esempio i vortici rilasciati dalle ali degli aeroplani teoricamente si prolungano da un aeroporto all’altro)

- essere chiuso su se stesso a forma di toro (vortice ad anello ad esempio si pensi agli anelli di fumo3).

3 E’ importante osservare che i vortici o strutture vorticose sono sempre presenti nel campo fluidodinamico, ma sovente non vengono percepiti o perchè le velocità da loro indotte sono piccole o perchè non contengono un tracciante che li visualizzi come avviene invece nell’anello di fumo (dove c’è lo scalare passivo fumo o nei cicloni dove sono presenti quali traccianti naturali acqua ed altri componenti solidi trasportati).

147

Vista laterale e vista dall’alto dei vortici di coda dal bordo di un’ala rettangolare. L’ala ha un profilo NACA 0012 e un aspect ratio di 4. A questo numero di Reynolds (Re=10000) la scia è laminare.

Sezione di una scia vorticosa dietro un’ala rettangolare. Il numero di Reynolds basato sulla corda è di Re=100000.

148

3.7.3 Secondo teorema di Helmholtz sui vortici “Le particelle di fluido che ad un dato istante appartengono ad un vortice restano sempre all’interno dello stesso”.

Prendiamo un circuito materiale l sulla superficie di un tubo vorticoso, per il teorema di Lord

Kelvin : DDt

Γ= 0

ma la definizione di Γ dà: Γ = ⋅ = ⋅∫∫∫ rr r ru dl n dA

All

ω per il teorema di Stokes.

Γ = ⋅ =∫∫ r rω n dAAl

0 in quanto sulla superficie del tubo v rω ⊥ n .

Quindi : Γ = =cos t 0 sulla Al Se una particella vorticosa uscisse attraverso Al ,ciò sarebbe contrario a quanto scritto perché

nel momento dell’attraversamento si avrebbe DDt

Γ≠ 0 in quanto la particella uscente

sarebbe dotata di vorticità diversa da zero che trasporterebbe con sè. Inoltre una particella vorticosa si avvicinerebbe ad Al con velocità r ru up l≠ , ma quando si trova esattamente sulla Al la r ru up l= per definizione di circuito materiale e di superficie vorticosa. Quindi il tubo vorticoso si deforma con la velocità delle particelle, che pertanto non possono uscire. Si noti che la velocità della superficie vorticosa in generale ha direzione diversa da ϖ. Non è detto che r rω ⊥ u in quanto la ru può esser dovuta anche a flussi potenziali cioè : r r r r ru u u uvor Pot= + = + ∇v φ ma: r r r r r r rω φ= ∇ × + ∇ × ∇ ∇ ×uv v= u

Pertanto rω e ru possono essere anche allineati in rari casi quali ad esempio in mulinello di scarico di una vasca rω è verticale e ru sull’asse anche, mentre fuori dell’asse il moto del fluido sarà a spirale.

An

n

l

149

3.7.4 Terzo teorema di Helmholtz sui vortici “L’intensità di un vortice è invariabile nel tempo”.

Poiché l’intensità di un vortice coincide con la circolazione lungo un circuito che lo abbracci. Presi diversi circuiti Γi , si avrà: Γ Γ Γ1 2= = =..... i

per le (3.83) e DD t

iΓ= 0

per le (3.81), il che’ dimostra il teorema.

1Γ

2Γ iΓ

150

3.8 Equazioni di governo della termofluidodinamica in forma adimensionale Riassumiamo le equazioni che governano il flusso di un fluido Newtoniano (liquido o gas monoatomico a bassa densità) viscoso e in assenza di reazioni chimiche:

C.d.M : DDt

uρ

ρ+ ∇ ⋅ =r r 0 (3.4 – 3.84)

C.Q.d.M. :

( )ρ ρμ

μDuDt

g P u ur

r r r r r r= − ∇ + ∇ ∇ ⋅ + ∇3

2 (3.17-3.85)

Bil.En. termica :

TkqDtDP

DtDTc p

22 ∇+⋅++=⋅ ρμφρ (3.54-3.86)

dove il termine q⋅ρ è trascurabile. Eq.Stato :

P RT= ρ (3.87)

Il sistema costituisce un insieme di sei equazioni scalari nelle sei incognite ( u u u P T1 2 3, , , , ,ρ ). Le equazioni di governo sono differenziali (compaiono le derivate), non lineari (per i prodotti tipo ( ) ( )r r r r r

u u u T⋅∇ ⋅∇ o ), alle derivate parziali, dipendenti da un certo numero di parametri (esempio μ, k, g, cp, etc.). Le variabili indipendenti sono 3 spaziali x1, x2, x3 e una temporale t. Vediamo qual’è l’importanza della trasformazione delle formule in forma adimensionale mediante il teorema di Buckingham: - semplificazione matematica delle equazioni , studio di forme asintotiche delle

equazioni. - corretta similitudine sperimentale, cioè la conduzione di esperimenti per diverse

condizioni fisiche su modelli in scala ridotta a parità dei numeri caratteristici. - accuratezza delle soluzioni numeriche, in quanto una scelta opportuna dei valori di

riferimento garantisce che le incognite del problema risultino dell’ordine dell’unità. - indipendenza delle unità di misura

Dal teorema di Buckingham abbiamo le seguenti quantità fisiche :

x ti , variabili indipendenti. u P Ti , , ,ρ variabili dipendenti. μ, , , ,k c g Rp parametri.

151

Nel caso di flussi caldi (termofluidodinamica) ci dobbiamo aspettare 11-4=7 gruppi adimensionali indipendenti (essendo quattro le quantità fisiche fondamentali: lunghezza, massa, tempo e temperatura). Definiamo le seguenti grandezze adimensionali con ‘*’ , essendo segnate con ‘0 ‘ i valori di riferimento .

TTT

TTTTT

Lxx

ttt

uuu

PPP

r

r

r

o

ii

ii

o

Δ−

=−−

=

=

=

=

=

=

0

0

0

0

*

*

*

*

*

*

ρρρ

se Tr=0, si ottiene TTT

* =0

3.8.1 Conservazione della massa Vediamo cosa succede nella equazione della conservazione della massa :

( )∂ρ∂

ρt

u+ ∇ ⋅ =r r 0

( )ρ ∂ρ∂

ρρ0

0

0 0

0t tu

Lu

**

* *+ ∇ ⋅r

Dividendo per ρ0 0

0

uL

otteniamo :

( )Lt u t

u0

0 00

∂ρ∂

ρ**

* * *+ ∇ ⋅ =r r

quindi :

( ) 0** ** *1

=∇+ utSt

rrρ

∂∂ρ

(3.88)

Dove il numero di Strouhal è definito nella tabella alle pagine seguenti. Può essere conveniente sostituire le equazioni di stato nella conservazione della massa per valutare l’influenza di T e P sulle variazioni di volume ( )r r∇ ⋅u , utilizzando le considerazioni fatte nel (1.3.2)

152

Nel caso di un fluido qualunque ρ=ρ(T,P) DDt T

DTDt P

DPDt

ρ ∂ρ∂

∂ρ∂

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (3.89)

dove : ∂ρ∂

βρT

= − (3.90)

∂ρ∂

αρP

= (3.91)

con α e β coeff. di comprimibilità e di espansione termica rispettivamente.

⇒ = − +DDt

DTDt

DPDt

ρβρ αρ (3.92)

quindi la (3.84) può essere riscritta :

0=⋅∇+∇⋅++∇⋅−− uPutPTu

tT rrrrrr ραρ

∂∂αρβρ

∂∂βρ (3.93)

dividendo tutti i membri per ρ ed introducendo le variabili adimensionali:

+∇⋅++∇⋅Δ

−Δ

− *********

0

00

0

0

0

0*

0

PuL

PutP

tPTu

LTu

tT

tT rrrr α

∂∂αβ

∂∂β

0**

0

0 =⋅∇+ uLu rr

(3.94)

adimensionalizzando, cioè dividendo tutti i termini per uL

0

0 :

− − ∇ + +β∂∂

β α∂∂

Δ ΔTL

t uTt

T u T PL

t uPt

0

0 00

0

0 0

**

* * ***

r

+ ⋅∇ +∇ ⋅ =α P u P u0 0r r r r* * * * * (3.95) che diventa :

153

1

0 0StT

Tt

PPt

T u T P u P− +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − ⋅∇ + ⋅∇ +β

∂∂

α∂∂

β αΔ Δ**

**

* * * * * *r r r r

+ ∇ ⋅ =r r* *u 0 (3.96)

Per i gas perfetti :

β =1

0T (3.97)

αγ

ρ=

02c

(3.98)

( )

( )

⇒ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + − ⋅∇

⎡

⎣⎢ +

+ ⋅∇⎤

⎦⎥ + ∇ ⋅ =

1

0

0

2

0

2

StT

TTt

MaRu

Pt

TT

u T

MaRu

u P u

Δ Δ∂∂

γ∂∂

γ

** *

* * *

* * * * *

r r

r r r r (3.99)

Si osservi che i numeri introdotti nella equazione sono :

St=u tL0 0

0=

tempo del fenomenotempo del campo

= Strouhal (3.100)

Ma2=2

2

20

suonodelvelocitàcampodelvelocità

cu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= = Mach2 (3.101)

Ru=ρuP

02

0=

pressione dinamicapressione di riferimento

= Ruark (3.102)

Δ TT0

= salto di temperatura

temperatura di riferimento (3.103)

γ =CC

p

v=

calore specifico a pressione costante calore specifico a volume costante

(3.104)

Ritornando all’equazione della conservazione della massa : se βΔt << 1 possiamo trascurare r

ru T⋅ ∇

se αP0 1<< possiamo trascurare rr

u P⋅ ∇

se αPSt

0 1≈ non possiamo trascurare gli effetti di compressibilità in fenomeni non

stazionari ( )αP St0 1 1<< <<, : è il caso ad esempio del colpo d’ariete nei liquidi. Analogamente per gas perfetti

154

se ΔTT0

1<< possiamo trascurare rr

u T⋅ ∇

se γ ⋅

<<MaRu

2

1 possiamo trascurare rr

u P⋅ ∇

se γ ⋅

≈Ma

St Ru

2

1

non possiamo trascurare gli effetti di compressibilità in fenomeni non

stazionari. 3.8.2 Conservazione della quantità di moto Vediamo adesso come si adimensionalizza l’equazione della quantità di moto :

( )1 1 1

1 13

2

Stut

u uRu

PFr

gg

u u

ρ∂∂

ρ ρ***

* * * * * * *

Re* *

Re*( * *)

rr r r r r

r r r r r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⋅∇ = − ∇ + +

+ ∇ + ∇ ∇ ⋅ (3.105)

3.8.3 Bilancio dell’energia termica Adesso vediamo come si adimensionalizza il bilancio dell’energia termica : 1

1 2

StTt

u TEc

St RuPt

EcRu

u P

EcT

ρ∂∂

ρ∂∂

φ

***

*( * *) ***

( * *) *

Re*

Re Pr* *

+ ⋅∇ =⋅

+ ⋅∇ +

+ +⋅

∇

r r r r

(3.106)

3.8.5 Equazioni di stato per gas perfetti P = ρ R T

Prendendo Tr=0 TTT

* =0

P0P = ρ0 ρ* R T0 T*

P TRTP

TRTu

uP

Tcu

uP

* * *( ) * *( ) * *= = = ⇒ρρ

ργ ρ

γρ

ργ

0 0

0

0

02

0 02

0

2

02

0 02

0

1

P TRuMa

* * *= ργ 2 (3.107)

Pertanto non risulta essere un altro gruppo indipendente in quanto è uguale a quello che compare nell’equazione di conservazione della massa.

155

3.8.5 Riassunto numeri caratteristici per un gas perfetto Nelle equazioni (3.88), (3.105), (3.106) e (3.107) compaiono, come atteso, 7 gruppi adimensionali, che sono:

1) fluido tempo

fenomeno tempoLut

St0

00 == (3.100)

2) Maelastiche forze

inerziad' forzecu

2

202 == (3.101)

3) Ru = pressione di forzeinerzia di forze

Puρ

0

200 = (3.102)

4) Fr = massa di forze

inerzia forzegLu

0

20 = (3.108)

5) Re = viscose forzeinerzia forze

μLρu 000 = (3.109)

6) Pr = termica diff.

cinematica àdiffusivitkμc p = (3.110)

7) γ =cc

p

v (3.104)

Gli altri gruppi adimensionali possono essere ricavati come combinazioni dei 7 gruppi indipendenti ora visti. Ad esempio:

Ec=termica energia

(cinetica) meccanica energiaTc

u

0p

20 = =

= = = − = −γ

γγ

γu R

c RTR

cuc

cc c

c c Ma Map p

p

p vp v

02

0

02

22 21( ) ( ) (3.111)

Inoltre, introduco 2 nuovi gruppi adimensionali che utilizzeremo successivamente:

Gr =viscose forze

ento galleggiam di forzeμ

LΔTβg2

300

20 =

⋅⋅ρ⋅⋅ (3.112)

156

Nu =conduzione per scambiatocalore

scambiatototale calorekλL0 =− (3.113)

Si noti che nella (3.96) compaiono altri due gruppi βΔT e αP0 in quanto abbiamo introdotto le sensibilità che sono parametri dimensionali indipendenti. Analogamente, nella (3.99) compare il gruppo ΔT/T0

3.8.6 Soluzioni asintotiche Possiamo a questo punto definire le formulazioni asintotiche e da queste trovare le corrispondenti soluzioni asintotiche.

Flussi stazionari:

1

1St

<< , ( )St → ∞ tutti i termini di derivate temporali possono essere trascurati.

Questo numero (St) è importante se si trattano campi fluidodinamici non-stazionari (ad esempio elicotteri in volo di avanzamento, vele o profili alari in presenza di vento con raffiche).

Flussi barotropici:

β ΔT << 1 o per gas perfetti ΔTT0

1<< , conseguentemente : ρ=ρ(P) , le variazioni di

temperatura sono in K. Si verifica nei flussi compressibili subsonici.

Flussi termotropici

αP0 1<< conseguentemente : ρ ρ= ( )T ; nel caso di gas perfetti : γ ⋅

<<MaRu

2

1 cioè

la velocità del flusso è piccola rispetto alla velocità del suono. Si verifica nella convezione naturale

Flussi incompressibili β ΔT << 1 , α P u0 1 0<< ⇒ ∇ ⋅ =

r r Si verifica per la totalità dei flussi di liquidi (acqua) e per la maggior parte dei flussi di gas (aria)

Flussi con forze di massa trascurabili

1

1Fr

<< , Fr → ∞

corrisponde alle situazioni in cui non conta il galleggiamento (ad esempio, nell’idrodinamica navale il Fr è importante)

157

Flussi Euleriani

1Re1

<< , ∞→Re il fenomeno è governato dalle forze di inerzia e di pressione.

Questa situazione è estremamente importante in meccanica ed aeronautica in quanto in tali processi i Re sono estremamente grandi (ordine 105÷107) e quindi tendenti ad ∞. In tali casi, i termini diffusivi (viscosi) possono essere eliminati dalle (3.85).

Flussi Stokesiani

0Re 1,Re1

→>> , con termini convettivi nulli, il fenomeno è governato dalle forze

viscose e di pressione (importante in problemi di sedimentazione di solidi piccoli in aria o acqua, moti in capillari)

Flussi a convezione naturale Tali flussi fanno parte della categoria dei flussi termotropici con ulteriori ipotesi dovute a Boussinesq : a) Flusso incompressibile e campo delle velocità solenoidale (

r r∇ ⋅ =u 0 ). b) Si considera la densità costante in tutti i termini delle equazioni tranne che nelle forze di massa. c) Si sviluppa la densità in serie di Taylor :

( ) ( ) ( )ρ ρ ρ∂ρ∂

ρ ρ β= ≈ + − ≈ − −∞ ∞TT

T T T T0 0 0 (3.114)

Sostituendo nella equazione della quantità di moto :

ρ ρ βρ μDuDt

P P g T T g ur r r r r= −∇ − ∇ ′ + − − + ∇∞

~ ( )0 02 (3.115)

Essendo P P P= + ′~ con ′P la pressione idrostatica ; tale equazione si può adimensionalizzare :

DuDt

PGr

Tgg

ur r r

r**

* ~ *Re

*Re

* *= −∇ − + ∇221

(3.116)

Per l’energia : DTDt

T** Re Pr

*=⋅

∇1 2 * (3.117)

Per la conservazione della massa :

158

r r∇ ⋅ =* *u 0 (3.118) Si noti che compare il Gr definito nella (3.112). 3.8.7 Importanza dei numeri caratteristici nelle leggi di similitudine E’ ovvia l’impossibilita di soddisfare le leggi di similitudine, con una soluzione numerica e soprattutto con un’analisi sperimentale su modelli in scala, per tutti e 7 i numeri adimensionali visti al (3.8.5). Pertanto è importante definire i gruppi maggiormente significativi in relazione allo studio del particolare problema fluidodinamico.

Numero di Mach Ma<0.3 la dipendenza dal numero è trascurabile (idrodinamica e aerodinamica di veicoli, palettature di turbine idrauliche, eliche navali, ventilatori). 0,3<Ma<0,7/0,8 cioè fino ai limiti del regime transonico, la dipendenza da Ma non è trascurabile (gallerie ad alte velocità subsoniche, aerei civili, palette di turbomacchine, generatori eolici, ecc..). E’ possibile utilizzare gallerie a basse velocità considerando la teoria linearizzata dell’equazione del potenziale ( non esposta nel presente corso). 0,7/0,8<Ma<1,4 in regime transonico, la dipendenza dal Ma è importante (gallerie ad alte velocità transoniche, velivoli civili e militari, palette di turbine a gas, ugelli di bruciatori industriali, ecc..).

Frange d’interferenza, che in condizioni transoniche possono essere confuse con le isobare, per un flusso transonico (Mach=0.8) intorno ad un profilo di spessore 16.3%. Si noti la pressione elevata al punto di ristagno anteriore, le zone di depressione in corrispondenza del massimo spessore precedute da una linea sonica e seguite da un’onda d’urto (infittimento delle isobare).

159

1.2<Ma<4 flusso supersonico (gallerie supersoniche, velivoli militari, razzi, missili, proiettili, ugelli di propulsori di veivoli supersonici e non, ecc..).

Proiettile lanciato a velocità supersonica (Ma=1.7)

160

Ma>4 flusso ipersonico. L’aria dissocia, si formano gas ionizzati con reazioni chimiche (problemi di rientro di navicelle spaziali, gallerie a plasma, propulsori per voli spaziali).

Shadograph di una sfera a Ma=4.01 in volo libero attraverso l’aria atmosferica.

161

Shadograph di una sfera a Ma=7.6 in volo libero attraverso l’aria atmosferica.

162

Numero di Reynolds A Re alti se lo strato limite (strato viscoso vicino alla parete del corpo) è noto ed il suo stato è stabile, l’influenza del numero è ridotta e può essere facilmente valutata. Tuttavia in molti esperimenti di carattere fluidodinamico ed aerodinamico il Re si trova in prossimità del suo valore critico per la stabilità dello strato limite ; in particolare le posizioni del punto separazione e di transizione del flusso da laminare a turbolento è fortemente influenzato dal Re come attestato dal CD per le sfere, il cilindro, il disco ecc..

Grafico CD sfera

Grafico CD sfera e disco

CD

163

FLUSSI A Re BASSI (Re<103)

Cilindro circolare immerso in un flusso stazionario uniforme ad un Re<1 (Re=0.16)

Cilindro circolare immerso in un flusso stazionario uniforme ad un Re=37.7

164

Cilindro circolare immerso in un flusso stazionario uniforme ad un Re=73.6

Cilindro circolare immerso in un flusso stazionario uniforme ad un Re=133

165

Vortici di Von Karman e linee di fumo nella scia di un cilindro rispettivamente per Re=32, 55, 65, 161 (da Homann, 1936)

166

Linee di corrente all’interno di una cavità di altezza h e lunghezza b (b/h=2). Il numero di Reynolds basato sull’altezza della cavità è Re=0.01 .

Flusso separato in un diffusore che mostra uno strato limite turbolento attaccato alla parte superiore della parete ma staccato lungo la parete inferiore.

167

FLUSSI A Re ELEVATI (103<Re<106)

Flusso attaccato

Flusso staccato (stallo)

168

FLUSSI A Re MOLTO ALTI (Re>106) NACA0012 da ABBOT

Sezi

one

di u

n pr

ofilo

ala

re N

AC

A 0

012

169

FLUSSI A Re MOLTO ALTI (Re>106) NACA2412 da ABBOT

Sezi

one

di u

n pr

ofilo

ala

re N

AC

A 2

412

170

Distacco da una parete (ad esempio potrebbe essere la parete di un diffusore mal progettato) per numeri di Reynolds alti: il Re, che in questo caso è basato sulla distanza dal bordo d’attacco (non mostrato in figura), è di circa 20000.

Flussi intorno ad un profilo in prossimità del bordo d’attacco (Profilo alare NACA 0012, Re=98000, angolo d’incidenza 10°, corda=100mm).

171

Validazione sperimentale di codici Navier-Stokes per profili alari NACA 0012

172

Confronto tra strato limite laminare a bassi di Re e turbolento ad alti Re

Strato limite laminare che subisce una separazione dal bordo di una superficie convessa

Strato limite turbolento che rimane attaccato

173

Numero di Strouhal – flussi non stazionari

Flusso a valle di specchietti retrovisori

174

Prove aeroacustiche per flussi non stazionarie su rotori di elicotteri (Numero di Strouhal)

Modellino di elicottero

Modellino di elicottero

175

Confronto tra il segnale sperimentale e i risultati numerici (ottenuti con in codici di calcolo HENGEO II ed HENEXIT II nel test-case in hover) per fenomeni di aeroacustica di rotori.

Angolo di incidenza=6° Angolo di incidenza=11°

176

Velocità assiale e tangenziale in scia ad una pala di un rotore eolico. Si vede distintamente la velocità indotta dal vortice aderente alla pala.

Vortici di Rankine aderenti alle pale

Metodo dei pannelli

Anemometro a filo caldo

177

Numero di Froude– flussi a superficie libera – navi - barche Prove in Vasca Navale (Numero di Froude)

Disintegrazione di un treno di onde di Stokes: nella foto superiore si nota come una piastra oscillante genera un treno di onde piane regolari in acqua (sia in altezza che in lunghezza) le quali subiscono poi, ad esempio a circa 60 m, una drastica distorsione (la foto inferiore).

178

Vari esempi di onde governate dal numero di Froude:

179

Modello in Vasca Navale in presenza di moto ondoso (INSEAN, Vasca Navale)

180

Modello che manovra in campo di prova (INSEAN, Vasca Navale) e nave reale in mare aperto.

181

Modello in bacino di prova (INSEAN, Vasca Navale) e nave reale in mare calmo (scafo con bulbo).

182

Modello in bacino di prova (INSEAN, Vasca Navale) e nave reale in mare calmo (scafo planante).

183

Numero di Ruark– Cavitazione

Effetti di cavitazione (Indice di cavitazione), Pressione imposta troppo piccola rispetto alla pressione dinamica (effetto del numero di Ruark)

Visualizzazione delle strutture vorticose che il mozzo e le pale rilasciano nella scia di un’elica navale.

( 62.0=== ∞

ndV

rStJ )

La cavitazione (in questo caso) è utilizzata per visualizzare i vortici.

Distribuzione della velocità media assiale nella vicinanza della scia.

Posizione del vortice (ottenuto da misure anemometriche Laser-Doppler)

184

Distribuzione delle fluttuazione della velocità assiale nella vicinanza della scia.

185

Numero di Gr. Flussi a convezione naturale o forzata : Il Gr è importante nelle simulazioni in scala solo quando non sono presenti altre forzanti esterne o quando le velocità in gioco sono estremamente piccole in quanto, in tal caso, la forza di galleggiamento prodotta dai gradienti di temperatura pur avendo valori limitati è comunque si unificativa rispetto alle altre forze in gioco (inerzia, pressione e viscose). Il ruolo è giocato dal rapporto Gr/Re2:

Per 1ReGr

2 < : convezione forzata. La dinamica non è influenzata dal campo di

temperatura, ma influenza il campo di temperatura.

Per 1ReGr

2 >> : convezione naturale. Il campo termico determina il campo di velocità,

che a sua volta modifica il campo termico.

Per 1ReGr

2 ≈ : convezione mista. Il campo termico influenza la dinamica ed il campo di

velocità influenza la termodinamica. Spesso compare il numero di Rayleigh (Ra)

kμcρL ΔT gβ

GrRa p23

=⋅= Pr

186

Convezione naturale e forzata, effetto del numero di Grashof Esempio di convezione naturale tra cilindri

Cilindri eccentrici a diversa eccentricità: esperimenti per Ra=45900.

Confronto numerico-sperimentale delle isoterme a Ra=45900.

187

Linee di fumo a Ra=45900 sul cilindro eccentrico della figura precedente.

Andamento della velocità in funzione dell’eccentricità “e” a Ra=45900 sul cilindro eccentrico della figura precedente.

188

Campo di densità all’interno e all’esterno del bulbo di una lampadina calda ottenuto mediante interferometro di Mach-Zehnder.

Campo di densità all’interno e all’esterno del bulbo di una lampadina calda ottenuto mediante interferometro Holografico.

Esempio di instabilità dovute a convezione naturale all’interno di una scatola rettangolare in cui l’uniforme calore della parete inferiore produce dei vortici paralleli al lato più corto della scatola (classica convezione di Rayleigh-Bènard).

189

Esempio di convezione forzata

La figura, ottenuta mediante analisi interferometrica, mostra le isoterme di un cilindro raffreddato in una corrente

(Re=120).

Convezione forzata- becco Bunsen Esempio di studio del “fronte di fiamma”

Fiamma premiscelata di propano (C3H8) per Re=600, Ri=3 e rapporto di equivalente φ=1.1.

Fronte di fiamma

u

T2>T1

190

2ReGrRi = ( )

( )StechOFOF

//

=Φ con F = portata massica del combustibile (F =fuel)

O = portata massica di ossidante (O =oxidizer)

Visualizzazioni interferometriche: quella di sinistra è una RBI, mentre quella di destra è una SI.

191

U1 U2

A1 A2

3.9 Esercizi relativi al Cap. 3

3.9.1 Conservazione della massa in forma integrale ES. 3.1.1 L’aria fluisce in maniera stazionaria tra 2 sezioni (A1 e A2) in un tubo circolare dritto di 0.1 m di diametro. Le pressioni sono note nelle 2 sezioni mentre velocità e temperatura (uniformi) vengono assegnate nella sezione 1. Supponendo, tra A1 e A2, una trasformazione isentropica, determinare la temperatura T2, velocità U2 e la densità P1 e P2

Dati: P Pa1

51 2 10= ⋅, P Pa2

510= U m s1 300= /

T C1 15= ° [ N.B. I profili di velocità assegnati possono essere considerati validi per tubi circolari di impianti industriali (ad esempio) con Rex > 300000 ]

ES. 3.1.2 Un flusso stazionario incompressibile entra in un condotto di mescolamento la cui sezione trasversale è rettangolare e di ampiezza costante pari a w (inclusi i condotti d’ingresso). Date le dimensioni del condotto ed i profili di velocità in ingresso ed in uscita, dare un’espressione di Vm in termini di Vin.

ES 3.1.3 Un pistone si muove con velocità V in un cilindro riempito di liquido. La sezione del cilindro ha area Ac, il getto ha sezione As. Determinare la velocità del liquido attraverso l’uscita del getto (V0).

ϕ

ϕ

192

ES 3.1.4 Un serbatoio circolare di diametro D=1 m ed altezza h=50 cm, viene riempito

con acqua proveninete da un tubo avnte diametro idraulico d=7,5 mm. L’acqua esce dal tubo

con velocità costante V=2 m/s. Determinare il tempo necessario per riempire il serbatoio.

D

h

V y(t)

d

ES 3.1.5 Due lastre piane parallele sono separate da una piccola distanza b funzione del tempo. Il meato tra le lastre è riempito di olio e la piatra di sopra si muove verso il basso con velocità V. (costante) relativamente alla lastra inferiore. Le due lastre si mantengono parallele e l’olio viene eiettato lateralmente (i lati frontali sono chiusi). Dare l’andamento della velocità di uscita dell’olio in funzione della posizione lungo il meato assumendo il flusso unidirezionale e monodimensionale. L’ampiezza assegnata alle lastre è w.

193

3.9.2. Conservazione della quantità di moto in forma intergrale ES.3.2.1 Un flusso d’aria fluisce in maniera stazionaria, in un condotto cilindrico con diametro 10.2cm, dove le pressioni, velocità e temperatura in ogni sezione, sono uniformemente distribuite. Se la velocità media nella sezione di uscita è 300 m/s, determinare la forza d’attrito Rx esercitata dalle pareti del condotto tra le sezioni 1 e 2. Dati del problema: P1= 685,5 kPa , T1= 300 K P2=127.000 Pa , T2= 252 K A1=A2

P1A1

U1 U2

P2A2

A1 A2

Rx

194

ES. 3.2.2 Flusso d’acqua verticale, verso l’alto in un condotto circolare. La velocità in ingresso è uniforme e pari a U1 = 50 m/s. In uscita il profilo di velocità è dato da:

U UrR2 1

2

22 1= −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ essendo

R = 5 cm (quindi D = 10 cm). Note le forze d’attrito Rz= 8000 N, determinare la caduta di pressione su una lunghezza h = 50 cm.

ES. 3.2.3 Un propulsore è fissato ad una gondola per essere sottoposto a dei test. Le seguenti sono le condizioni dei test: U 1= 200 m/s U2 = 500 m/s A1= 1 m2 A2/A1 = 0.25 P1 = 78.5 kPa T1 = 286 K

U2

U1

A2

A1

h D

W

Rz

P1A1

P2A2

z

x

Forze sul volume di controllo

195

Determinare la spinta esercitata sulla gondola. ES. 3.2.4 Determinare la forza di ancoraggio necessaria per fissare un ugello conico attaccato ad un condotto, quando la portata è di 6 litri/sec. La massa dell’ugello è di 0.1 Kg. I diametri di ingresso ed uscita dell’ugello sono rispettivamente di 16 mm e 5 mm. L’asse dell’ugello è verticale e la distanza tra la sezione di ingresso ed uscita dell’ugello è di 30 mm. La pressione relativa della sezione d’ingresso è di 464kPa (nella sezione A1). Dati: 1) Profili di velocità uniformi 2) Flusso incompressibile Q=AU=6 litri/sec 3) Le pressioni vanno considerate relative alla pressione atmosferica. Il getto va all’esterno quindi P2=0

U1

U2

A1

A2

U2

h

A1

D1

A2 D2

196

ES.3.2.5 L’acqua fluisce attraverso un tubo circolare con una curva di 180°. La sezione del tubo è costante e pari a 0.01 m2. La velocità del flusso è sempre assiale ed uniforme e pari a 15.2 m/sec, Le pressioni in ingresso e uscita, sono di 207000 Pa e 165500 Pa rispettivamente. Calcolare le componenti orizzontali delle forze di attrito (componenti x e y). ES. 3.2.6 Un getto d’acqua stazionario con velocità V uniforme, colpisce un deflettore che si allontana con velocità costante V0. Un separatore di flusso, fissato sul deflettore, divide il flusso a metà. La metà superiore del flusso viene ruotata di un angolo ϑ=120°, l’altra metà di un angolo di 90°. La velocità nella totalità del flusso, non varia (cambia solo la direzione: questa considerazione può essere dimostrata col teorema di Bernoulli). Se il diametro del getto è D, qual’è la forza che agisce sul deflettore ed il suo angolo formato con la direzione del flusso in uscita dal getto? Dati: V,V0,D

P2A2

V2

P1A1

V1

ϑ=120° V

197

ES. 3.2.7 Un sistema di eiezione del flusso, contiene del liquido di densità 800 Kg/m3. Qual’è la forza totale che deve essere esercitata tra i due bracci per ottenere unìeiezione del flusso con velocità costante di 100 m/s? Il diametro di uscita è di 0.5 cm mentre il diametro del cilindro è di 2.5 cm.

Fb

198

3.9.3. Equazione di Bernoulli

ES.3.3.1 Si consideri un profilo alare in un flusso in condizioni di atmosfera standard al livello del mare, che si muove con una velocità di 50m/s. In un dato punto del profilo la pressione è di 0.9x105 Pa. Calcolare la velocità in questo punto.

ES.3.3.2 (Tubo di Venturi) Si consideri un flusso d’aria (incompressibile) in un condotto convergente-divergente. Graficare l’andamento qualitativo della pressione lungo l’asse x. Se At/A1=0.8, ed il flusso entrante si trova in condizioni standard al livello del mare, e la differenza di pressione tra At e A1 è di 350Pa, calcolare la velocità del flusso in A1.

ES.3.3.3 (Convergente di una galleria del vento) Si consideri un flusso subsonico incompressibile di aria in un convergente con rapporto di contrazione 12:1. Se il flusso in uscita si trova in condizioni di atmosfera standard al livello del mare con velocità uniforme di 50m/s, calcolare la differenza di livello Δh del mercurio (densità 13600 Kg/m3) contenuto in un manometro ad “U” avente un lato connesso alla sezione di ingresso e l’altro alla sezione di uscita del convergente. Calcolare Δh anche nei casi in cui il manometro è riempito di alcool (densità 780 Kg/m3) e acqua.

At

x

A1

199

ES.3.3.4 (Tubo di Pitot) Si consideri un tubo di Pitot, vale a dire uno strumento costituito da due tubi concentrici uniti ad una estremità e disposti con gli assi paralleli alla direzione della velocità. Una serie di piccoli fori sono disposti sul tubo esterno mentre il tubo interni è forato solo all’estremità dove il fluido impatta. Ad entrambi i tubi sono collegati i rami di un manometro ad “U” contenente alcool (densità 780 Kg/m3) che fornisce in uscita una differenza di altezza Δh di 5mm. Determinare la velocità del flusso (N.B. Il tubo di Pitot misura le velocità locali date le sue piccole dimensioni)

2

Δh

200

ES.3.3.5 (Asametro) Si consideri uno strumento utilizzato per misurare la portata in condotti e comunemente chiamato asametro. Esso è costituito da un condotto tronco-conico verticale in cui è sospeso un corpo tozzo. Tenendo conto che le forze che agiscono sul corpo sono la forza peso, la forza di resistenza aerodinamica e la forza di Archimede. Tenendo conto che il corpo tozzo si posiziona in una posizione di equilibrio, essendo noti la geometria del corpo, la goemetria del tronco di cono e la densità del corpo, determinare la legge di dipendenza della portata dalla posizione verticale, ed indicare in quali limiti tale dipendenza può supporsi lineare.

α

t

→ →

→

→

⋅

201

ES.3.3.6 L’aria fluisce in maniera stazionaria da un serbatoio attraverso un condotto di

diametro D=0.03m, ed esce nell’atmosfera attraverso un ugello con diametro (nella sezione di

uscita) di d=0.01m. La pressione relativa nel serbatoio resta costante e pari a 3Kpa e la

temperatura di 15°C. All’esterno l’aria si trova in condizioni standard al livello del mare.

Determinare la portata in volume e la pressione nel condotto cilindrico, considerando l’aria

come un gas perfetto.

ρ1=ρ2=ρ3 ≠ ρ standard

ES.3.3.7 In un condotto cilindrico di scarico di diametro d=0.1m, scorre acqua da un serbatoio di D=1m. Determinare la portata necessaria dal condotto di alimentazione affinche la profondità del’acqua nel serbatoio resti costante e pari a 2m,. Dare anche una valutazione dell’eerore che si commette se si assume che la velocità del flusso dentro il serbatoio è nulla (assumere le pressioni relative alla pressione atmosferica e tenere conto che il condotto di scarico sfocia in aria).

D=0.03md=0.01

1 2 3

h=2m

D

d

Q

202

Applicazione dell’equazione di conservazione dell’energia ad un problema idraulico

ES 3.3.8 Si consideri una centrale idorelettrica schemattizzata da un bacino d’acqua che si trova ad un’altezza h1, collegato attraverso una condotta forzata ad un altro bacino ad altezza h2 < h1, con h1-h2=20 m. Alla condotta è collegata una turbina collegata al bacino inferiore tramite un diffusore. La portata della condotta è Q= 50 m3/s e le sezioni di ingresso ed uscita dalla turbina, uguali tra loro, sono A2=A3=3 m2. Supponendo che la potenza assorbita dalla turbina WT non sia inferiore al 90% della potenza totale disponibile, dimensionare opportunamente il diffusore. Supponendo inoltre che nella turbina, collegata alla condotta ed al diffusore attraverso due giunti, il condotto d’ingresso è orizzontale e quello di uscita verticale, determinare le forze necessarie per vincolare la macchina al terreno (in questo caso porre l’altezza d’ingresso e uscita uguali a zero). Porre la velocità d’ingresso e di uscita dalla turbina uguali tra loro ed alla stessa quota. Si trascurino le variazioni di energia interna U. Dimensionare inoltre il bacino di scarico per evitare la cavitazione (indicando con P3 la

pressione di uscita della turbina si deve verificare che PPatm

3 2≥ , cioè P kPa3 50≥ )

T 2

3

4

5

hmin

Z 1

h1

h2

203

U1 U2

A1 A2

3.10 Soluzione degli esercizi relativi al Cap. 3 3.10.1 Conservazione della massa in forma integrale ES. 3.1.1 L’aria fluisce in maniera stazionaria tra 2 sezioni (A1 e A2) in un tubo circolare dritto di 0.1 m di diametro. Le pressioni sono note nelle 2 sezioni mentre velocità e temperatura (uniformi) vengono assegnate nella sezione 1. Supponendo, tra A1 e A2, una trasformazione isentropica, determinare la temperatura T2, velocità U2 e la densità P1 e P2

Dati: P Pa1

51 2 10= ⋅, P Pa2

510= U m s1 300= /

T C1 15= ° [ N.B. I profili di velocità assegnati possono essere considerati validi per tubi circolari di impianti industriali (ad esempio) con Rex > 300000 ] Soluzione Es. 3.1.1 Equazione di continuità in forma integrale:

∫∫∫ ∫∫ =⋅+∂∂

0 0V S

0dSnuρdvρt

II 0 perchè il problema è stazionario. L’integrale diventa:ù -ρ1 A1 U1 + - ρ2 A2 U2 = 0 da cui

12

12 U

ρρ

U =

dall’ equazione di stato per gas perfetti:

U UP TP T2 1

1 2

2 1= essendo ρ =

PRT

dalle relazioni isoentropiche si ha:

TT

PP

2

1

2

1

1

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−γγ

con γ = 1 4, (aria)

204

per cui U UPP

PP

UPP2 1

1

2

2

1

1

11

2

1

342=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≅

−γγ γ

TPP

TPP

K K22

1

1

12

1

1

288 273=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ ° ≅ °

− −γγ

γγ

ρ11

1=

PRT

ρ22

2=

PRT

(con RJ

Kg K=

°287

)

si ottiene ρ131 45= , /Kg m ρ2

31 28= , /Kg m [N.B. Il caso visto nell’esempio corrisponde ad un tubo dritto. Altre situazioni possibili e frequenti in fluidodinamica meccanica sono: - Divergenti (A1 < A2) - Convergenti (A1 > A2) Considerando, ad esempio, il caso del convergente, e applicando l’equazione di conservazione della massa, si ha:

u n dSS

⋅ =∫∫ 00

(caso stazionario)

n n1 n2 Chiamiamo con Sn la superficie laterale del convergente. Posso quindi spezzare l’integrale su S0 in 3 parti (su A1, A2, e Sn):

A1

A2

A1 A2

Sn

A1

A2 n

205

u ndS u n dS u ndS u n dSn n ASnAS⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =∫∫∫∫∫∫∫∫ 1 1 1 2 2 2

2100

L’integrale su Sn è nullo per l’IMPERMEABILITA’. Svolgendo gli integrali si ottiene

quindi: u uAA2 1

1

2=

In generale si ha: DIVERGENTE - Subsonico: la velocità decresce - Supersonico: la velocità cresce CONVERGENTE - Subsonico: la velocità cresce - Supersonico: la velocità decresce [Il caso compressibile si vedrà in seguito] ES. 3.1.2 Un flusso stazionario incompressibile entra in un condotto di mescolamento la cui sezione trasversale è rettangolare e di ampiezza costante pari a w (inclusi i condotti d’ingresso). Date le dimensioni del condotto ed i profili di velocità in ingresso ed in uscita, dare un’espressione di Vm in termini di Vin.

ϕ

ϕ

206

Soluzione ES. 3.1.2 Una possibile scelta conveniente del volume di controllo è quella di seguito illustrata:

Tale scelta permette di semplificare i calcoli in quanto elimina dall’equazione integrale di continuità il primo termine:

∫∫∫ ∫∫ =⋅+∂∂

0 0V S

0dSnuρdvρt

Quindi è possibile affermare che la massa del fluido che entra è uguale a quella che esce. Inoltre, poichè la densità è costante essendo il fluido incompressibile, si può ridurre l’equazione di continuità ad un’uguaglianza tra le portate in ingresso ed in uscita. Si divida ora l’integrale nei due contributi relativi al flusso in ingresso ed in uscita:

∫∫∫∫ ∫∫ =⋅+⋅=⋅outS in

dSnudSnudSnu 00

vvvvvv

Data la simmetria della geometria, si consideri solo la metà superiore del condotto, moltiplicando poi per due il risultato ottenuto. Sempre per quanto riguarda la geometria, non interessa ai fini dei conti l’angolo Φ. Ciò che conta è la direzione relativa tra la velocità del flusso e la normale alla superficie di controllo (sempre positiva se uscente). Si ha quindi:

WhVdSnuin

in∫∫ −=⋅ 2vv

Per la velocità in uscita si ha: • V = Vm , per 0 ≤ y ≤ h

• V = (2 - y/h) Vm

Per cui :

207

∫∫ ∫∫∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+==⋅

out

h

h

h

in

VdAVdAVdSdSnu2

0

2vv

Imponendo dA = wdy si ottiene:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⋅ ∫∫∫ ∫ h

ydhywhVwhVwdy

hyVwhVdSnu mm

out

h

h

mm

2

1

2

222222vv

Sostituendo y/h = z si ha:

( ) mmm

out

mm whVzzwhVwhVdzzwhVwhVdSnu 32

2222222

1

22

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=−+=⋅∫∫ ∫vv

Sostituendo quanto appena trovato nell’equazione della continuità si ottiene:

032 =+− hwVhwV min

Da cui:

inm VV32

=

ES 3.1.3 Un pistone si muove con velocità V in un cilindro riempito di liquido. La sezione del cilindro ha area Ac, il getto ha sezione As. Determinare la velocità del liquido attraverso l’uscita del getto (V0).

Soluzione ES. 3.1.3 E’possibile scegliere diversi volumi di controllo. Consideriamo inizialmente un volume di controllo che si muove col pistone come illustrato in figura:

208

Impostiamo l’equazione di continuità:

00 0

=⋅+∂∂∫∫∫ ∫∫

V S

dSnudVt

vvρρ (1)

Per quanto riguarda il primo termine della (1) si ha:

VAdtdxAdx

tAdV

t CC

l

tx

C

V

ρρρρ −=−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

=∂∂ ∫∫∫∫

0

0 )(

Mentre per il secondo della (1) si ha:

S

S

AVdSnu 0

0

)( ρρ =⋅∫∫ vv

Per cui si ha:

VAA

VS

C=0 .

Un altro metodo per risolvere l’esercizio, forse più semplice, consiste nello scegliere un volume di controllo non contenente il pistone, come si fa ad esempio nel caso di un semplice condotto convergente: Si ha:

209

SC

S

AVAVdSnu 0

0

)( ρρρ +−=⋅∫∫ vv

Da cui:

VAA

VS

C=0

ES 3.1.4 Un serbatoio circolare di diametro D=1 m ed altezza h=50 cm, viene riempito

con acqua proveninete da un tubo avnte diametro idraulico d=7,5 mm. L’acqua esce dal

tubo con velocità costante V=2 m/s. Determinare il tempo necessario per riempire il

serbatoio.

D

h

V y(t)

d

Soluzione ES 3.1.4

Consideriamo le due seguenti possibilità nella scelta del volume di controllo:

1) volume di controllo mobile (solidale con il pelo libero dell’acqua)

210

2) volume di controllo fisso prendendo tutta l’altezza h

00 0

=⋅+∂∂ ∫∫∫ ∫∫

V S

dSnudVt

vvρρ (1)

Il fluido è acqua, quindi ρ è costante. Per quanto riguarda il primo termine della (1) si ha:

tyDdyA

tdV

t

ty

V∂∂

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

=∂∂

∫∫∫∫ 4

2)(

00

πρρρ (2)

Il secondo termine della (1) invece, essendo dato dal solo contributo del flusso nel tubetto di riempimento, fornisce:

4)(

2

0

dVdSnuS

πρρ −=⋅∫∫ vv (3)

Ora, sommando la (2) con la (3) ed uguagliandone la somma a zero, si ottiene:

VDd

ty 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂ (4)

Integrando la (4) si ha:

cVDdty +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

)(

Dalle seguenti condizioni al contorno: • per t = 0, y(0) = 0 • per t = T, y(T) = h Si ottiene che c = 0 e il tempo richiesto per il riempimento della vasca:

211

hV

Dd

hT 23.12 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

N.B. Dalla relazione:

si può osservare come, per d<<D, spesso si trascura la variazione di livello (∂y/∂t ≈ 0 ⇒ y ≈ 0).

2)

Nel volume di controllo fisso ci sono due zone a densità distinte: • aria ⇒ V2 ⇒ ρ2 • acqua ⇒ V1 ⇒ ρ1

VDd

ty 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

212

Per quanto riguarda il termine non stazionario dell’equazione (1), continua ad esistere perchè nel volume di controllo fisso (V1+V2) si ha variazione di massa (l’acqua aumenta e l’aria diminuisce):

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

=∂∂

−∂∂

=+∂∂

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

∂∂

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

∂∂

=∂∂

∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫

1

212121

)(

0 )(

212211

1)()(

1 20

ρρ

ρρρρρ

ρρρρρ

tyA

tyA

tyAtAytAy

t

dyAdyAt

dVdVt

dVt

ty h

tyv vV (5)

Poichè :

01000

2.1

1

2 ≅=ρρ

Si ha che il caso 2) ora analizzato coincide con il caso 1) e consente , quindi, di giungere all’analogo risultato : T = 1.23h.

Se, altrimenti, ρ1 ≈ ρ2 non si può trascurare il rapporto tra le due densità, quindi variano, nell’equazione della continuità in forma integrale, sia il termine dell’integrale di volume (5) che quello superficiale, dove comparirà il contributo legato al flusso di massa con densità ρ2 dall’alto del recipiente.

ES 3.1.5 Due lastre piane parallele sono separate da una piccola distanza b funzione del tempo. Il meato tra le lastre è riempito di olio e la piatra di sopra si muove verso il basso con velocità V. (costante) relativamente alla lastra inferiore. Le due lastre si mantengono parallele e l’olio viene eiettato lateralmente (i lati frontali sono chiusi). Dare l’andamento della velocità di uscita dell’olio in funzione della posizione lungo il meato assumendo il flusso unidirezionale e monodimensionale. L’ampiezza assegnata alle lastre è w.

Soluzione ES 3.1.5

Il flusso è simmetrico rispetto al piano centrale (verticale) del meato rispetto al quale si può considerare V0 = 0. Si scelga il volume di controllo proprio posizionato in corrispondenza di tale piano:

213

In x = 0 , si ha V0 = 0 per le considerazioni precedenti. Per quanto riguarda l’equazione di continuità, il termine non stazionario fornisce:

∫∫∫ ∫ ∂∂

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

=∂∂

0

)(

0v

tb

tbwldylw

tdv

tρρρ

Poiché la velocità V è diretta in verso discorde all’asse y, si ha:

∫∫∫ −=∂∂

0v

VwldVt

ρρ

L’altro termine dell’equazione di continuità è:

wtbVdSnus

)(0 0

0

ρρ +−=⋅∫∫vv

Il termine uguale a zero a secondo membro è quello relativo al flusso di massa che è nullo per simmetria. Ora, uguagliando a zero l’equazione di continuità si arriva all’espressione richiesta:

VtbltxV

)(),(0 =

3.10.2 Conservazione della quantità di moto in forma integrale

Soluzione ES 3.2.1 Non presente

214

ES. 3.2.2 Flusso d’acqua verticale, verso l’alto in un condotto circolare. La velocità in ingresso è uniforme e pari a U1 = 50 m/s. In uscita il profilo di velocità è dato da:

U UrR2 1

2

22 1= −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ essendo

R = 5 cm (quindi D = 10 cm). Note le forze d’attrito Rz= 8000 N, determinare la caduta di pressione su una lunghezza h = 50 cm.

Soluzione ES 3.2.2 Utilizzando un volume di controllo fisso (tratteggiato in figura) coincidente con il contorno del condotto e risolvendo l’equazione di conservazione della quantità di moto si ha:

U2

U1

A2

A1

h D

W

Rz

P1A1

P2A2

z

x

Forze sul volume di controllo

215

∫∫ −−−=⋅

0

2211)(S

zRWAPAPdSnuu vvρ

Da cui, considerando l’espressione analitica dei profili delle velocità in uscita dal condotto si ha:

zS

RWAPAPdSRrUAU −−−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+− ∫ 2211

2

2

2

112

1

2

12ρρ

Imponendo dS = 2πrdr e risolvendo si ottiene:

zRWAPAPRUAU −−−=+− 221122

112

1 34 ρπρ

Poiché A1 = A2 e A = πR2 si ottiene l’espressione finale:

11

2121 3

1AW

ARUPP z ++=− ρ

Dove:

• 213

1 Uρ è la variazione della quantità di moto legata al diverso profilo di velocità

• 1A

Rz rappresenta l’effetto delle forze d’attrito

• 1A

W è l’effetto della forza peso

Risolvendo numericamente si trova che: P2- P1 = 23424 Pa

216

ES 3.2.3 Un propulsore è fissato ad una gondola per essere sottoposto a dei test. Le seguenti sono le condizioni dei test: U 1= 200 m/s U2 = 500 m/s A1= 1 m2 A2/A1 = 0.25 P1 = 78.5 kPa T1 = 286 K Determinare la spinta esercitata sulla gondola. Soluzione ES 3.2.3 Si scelga il volume di controllo come in figura e si osservi che il problema in esame presenta forze solo nella direzione x.Per quanto riguarda la quantità di moto si ha:

U1

U2

A1

A2

217

∫∫ +−=⋅0

2211)(S

pFAPAPdSnuu vvρ

Per la conservazione della massa:

mAUAU &== 222111 ρρ Per l’equazione di stato si ha:

111

1 AURTP

m =&

(6) Combinando le tre equazioni si giunge all’espressione:

221112 )( PAPAUUmFP +−−= & Che può essere numericamente calcolata se si conosce il valore di P2, essendo tutti gli altri valori noti. Per il calcolo di P2 si utilizza la conservazione della massa ricavandone dalla (6) un’ espressione in funzione di m& :

22

22 AU

RTmP&

=

Analogamente si ha per P1:

11

11 AU

RTmP&

=

Si può pertanto scrivere il rapporto tra le due come:

1

2

22

11

1

2

TT

AUAU

PP

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ed utilizzando la relazione isentropica :

γγ 1

1

2

1

2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

PP

TT

Si giunge al risultato:

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

22

1112 AU

AUPP

218

ES. 3.2.4 Determinare la forza di ancoraggio necessaria per fissare un ugello conico attaccato ad un condotto, quando la portata è di 6 litri/sec. La massa dell’ugello è di 0.1 Kg. I diametri di ingresso ed uscita dell’ugello sono rispettivamente di 16 mm e 5 mm. L’asse dell’ugello è verticale e la distanza tra la sezione di ingresso ed uscita dell’ugello è di 30 mm. La pressione relativa della sezione d’ingresso è di 464kPa (nella sezione A1). Dati: 1) Profili di velocità uniformi 2) Flusso incompressibile Q=AU=6 litri/sec 3) Le pressioni vanno considerate relative alla pressione atmosferica. Il getto va all’esterno quindi P2=0 Soluzione ES 3.2.4 Consideriamo le forze che agiscono sul volume di controllo:

Dove: Fa = forza di ancoraggio Wa = peso dell’acqua dentro all’ugello

U2

h

A1

D1

A2 D2

219

Wu = peso dell’ugello P1A1 e P2A2 = forze di pressione Ora, poiché il flusso è stazionario, l’equazione di conservazione della quantità di moto si riduce a:

∑∫∫ ∑ +=⋅ sS

m FFdSnuuvvvvv

0

)(ρ

Proiettando lungo la direzione z e tenendo conto delle normali e della direzione della velocità, si ha:

112222

2212

11 APAPWWFAUAU uaa −+−−=− ρρ E si può così calcolare Fa:

112222

2212

11 APAPWWAUAUF uaa +−++−= ρρ (7) Considerando le pressioni relative a quella atmosferica si ha P2 = 0, mentre per la conservazione della massa (essendo Q*= U1A1 = U2A2 = 6m/sec) si ha:

skgmAUAU 6.02211 === &ρρ Si può, quindi, riscrivere la (7) nella forma finale: 1121 )( APWWUUmF uaa +++−= & Dove:

NDPAP 24.934

21

111 ==

NgmW uu 981.0==

( ) NgDDDDhgVW uaa 0278.012

1000 2112

21 =++== ρ

smAQU 98.2

1

*

1 ==

smAQU 57.30

2

*

2 ==

Si giunge al risultato

NFa 7.77=

220

ES.3.2.5 L’acqua fluisce attraverso un tubo circolare con una curva di 180°. La sezione del tubo è costante e pari a 0.01 m2. La velocità del flusso è sempre assiale ed uniforme e pari a 15.2 m/sec, Le pressioni in ingresso e uscita, sono di 207000 Pa e 165500 Pa rispettivamente. Calcolare le componenti orizzontali delle forze di attrito (componenti x e y).

Soluzione ES 3.2.5 Si consideri l’equazione di conservazione della quantità di moto, scelto il volume di controllo come in figura:

∫∫ ∑=⋅0

)(S

VCFdSnuuvvvvρ

La proiezione lungo l’asse x dà come risultato:

∫∫ =⋅0

)(S

xRdSnuu vvvρ

P2A2

V2

P1A

V1

221

Ma, essendo nulle le proiezioni delle velocità in uscita dal tubo lungo l’asse x si ha 0=xR . La proiezione lungo l’asse y dell’equazione di conservazione della quantità di moto dà invece come risultato:

112222

2212

11 APAPRAVAV y ++=−− ρρ Ora, dall’equazione di conservazione della massa si ha:

skgmAUAU 8.1512211 === &ρρ Da cui si ha:

NAPAPVVmRy 8346)( 221121 −=−−+−= & Dove il primo termine a destra dell’uguale è legato al cambiamento di direzione del fluido, mentre l’altro (-P1A1-P2A2) alla diversa pressione a cui si trovano le due estremità del fluido. Quindi, anche nel caso in cui le pressioni alle estremità del condotto fossero uguali, si avrebbe una reazione lungo l’asse y. N.B. Il segno meno nel risultato significa che la direzione reale della reazione lungo l’asse y è contraria a quella ipotizzata nei calcoli (ovvero quella in figura) ES. 3.2.6 Un getto d’acqua stazionario con velocità V uniforme, colpisce un deflettore che si allontana con velocità costante V0. Un separatore di flusso, fissato sul deflettore, divide il flusso a metà. La metà superiore del flusso viene ruotata di un angolo ϑ=120°, l’altra metà di un angolo di 90°. La velocità nella totalità del flusso, non varia (cambia solo la direzione: questa considerazione può essere dimostrata col teorema di Bernoulli). Se il diametro del getto è D, qual’è la forza che agisce sul deflettore ed il suo angolo formato con la direzione del flusso in uscita dal getto? Dati: V,V0,D

ϑ=120°

V

222

Soluzione ES 3.2.6 Si scelga il volume di controllo solidale col deflettore.

La velocità del flusso relativa al deflettore è V-V0.Poiché il moto è di sola traslazione, il problema è comunque stazionario, quindi:

00

∫∫∫ =∂∂

v

dVvt

vρ

La forza esercitata sul deflettore è uguale ed opposta alla forza laterale che agisce sul volume di controllo. Si ha, quindi:

.

0 0

)( deflS V

V FFdSnuuvvvvv −==⋅∫∫ ∑ρ

Dividiamo l’integrale di superficie nelle uniche tre sezioni dove c’è flusso di massa:

∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ⋅+⋅+⋅=⋅32

01

321 )()()()(AA

SA

dSnuudSnuudSnuudSnuu vvvvvvvvvvvv ρρρρ

Per ipotesi, la velocità è sempre V-V0 per cui:

iVVuvv )( 01 −=

jUiUjVViVVu yx

vvvvv22002 sin)(cos)( +=−+−= ϑϑ

Avendo posto:

ϑcos)( 02 VVU x −= e ϑsin)( 02 VVU y −= Sostituendo si ottiene:

223

[ ] ( ) ( )[ ]

[ ] ∑∫∫

∫∫∫∫

=⋅−−−−+

+⋅+++⋅−−

03

21

3300

222222100

)()(

)()(

vv

A

Ayxyx

A

FdSniVViVV

dSnjUiUjUiUdSniVViVV

vvvv

vvvvvvvv

ρ

ρρ

Tenendo conto delle direzioni delle normali 1nv e 3nv sono nulli gli integrali sulle sezioni A1 e A3 essendo jin

vvv ϑϑ sincos2 += inoltre si ha:

( ) ( )[ ] [ ]

[ ] ∑

∫∫=++

++=⋅++

0

2

2222

2222222222

sincos

sincossincos

vvxyx

xyxA

yxyx

FjAuuu

iAuuudSnUUjUiU

vv

vvvv

ϑϑρ

ϑϑρϑϑρ

Si avrà, quindi:

[ ][ ]

ϑρρ

ϑϑϑρρ

ϑϑρρ

cos)()(

cos)(sincos)()(

sincos)(

22

012

0

2022

012

0

222212

0

AVVAVV

AVVVVAVV

AUUUAVVF xyxx

−+−−=

=−+−+−−=

=⋅++−−=

22

203

20 sin)()( AAVVAVVFy ϑρρ −+−−=

Dalla conservazione della massa si ha:

2)()()( 103020 AVVAVVAVV −=−=− ρρρ Da cui si ha:

822

132

DAAA π===

Si può quindi scrivere:

[ ]ϑρπ cos2)(8

20

2

−−−= VVDFx

[ ]ϑρπ sin1)(8

20

2

−−−= VVDFy

Essendo:

22yx FFF +=

xx FFdefl

−=.

e yy FFdefl

−=.

L’ angolo formato con V

v (velocità di uscita dal getto) è, per la scelta degli assi:

224

ϑϑα

cos2sin1

−−

==x

y

FF

arctg

ES. 3.2.7 Un sistema di eiezione del flusso, contiene del liquido di densità 800 Kg/m3. Qual’è la forza totale che deve essere esercitata tra i due bracci per ottenere unìeiezione del flusso con velocità costante di 100 m/s? Il diametro di uscita è di 0.5 cm mentre il diametro

del cilindro è di 2.5 cm.

Soluzione ES. 3.2.7 Scegliendo il volume di controllo come in figura è possibile scrivere l’equazione di conservazione della quantità di moto:

Fb

225

bSV

FdSnuudVut

vvvvv∫∫∫∫∫ =⋅+

∂∂

00

)(ρρ

Dove:

cpcpV

AVtlAVdVu

t2

0

ρρρ −=∂∂

=∂∂

∫∫∫v

ee

S

AVdSnuu 2

0

)( ρρ∫∫ =⋅ vvv

Quindi si ottiene che:

22cceeb VAVAF ρρ −=

Considerando l’equazione di conservazione della massa si ha:

ccee VAVA = Si giunge così all’espressione finale:

NAA

VAFc

eeeb 8.15012 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ρ

226

3.10.3 Equazione di Bernoulli

Soluzione ES.3.3.1 Soluzione non fornita ES.3.3.2 (Tubo di Venturi) Si consideri un flusso d’aria (incompressibile) in un condotto convergente-divergente. Graficare l’andamento qualitativo della pressione lungo l’asse x. Se At/A1=0.8, ed il flusso entrante si trova in condizioni standard al livello del mare, e la differenza di pressione tra At e A1 è di 350Pa, calcolare la velocità del flusso in A1.

Soluzione ES.3.3.2 Dalla continuità si ha:

11 V

AAV

tt =

Dall’equazione di Bernoulli calcolata tra le sezioni 1 e t si ha:

2211 2

121

tt VPVP ρρ +=+

2

12

1 21

21 VVPP tt ρρ −=−

Da cui:

sec32

1

)(22

1

11

m

AA

PPV t ≅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

ρ

At

x

A1

227

N.B. La velocità trovata è da intendersi come quella media nella sezione data, avendo pertanto supposto la velocità uniforme nelle sezioni.In questo modo si va a misurare effettivamente la portata. Infatti la conservazione della massa darebbe:

0)(0

∫∫ =⋅S

dSnuu vvvρ

∫∫∫∫ =−11

2211AA

dAudAu ρρ

Che dà come risultato:

2111 AuAu ρρ =− Avendo definito:

AQdAu

Au

A∫∫ ==

1

111 ρ

Se così non fosse stato si sarebbe dovuta applicare l’equazione di conservazione della massa in forma differenziale. Per quanto riguarda l’andamento delle pressioni si ha:

N.B. P2<P1 per le perdite di carico!

228

ES.3.3.3 (Convergente di una galleria del vento) Si consideri un flusso subsonico incompressibile di aria in un convergente con rapporto di contrazione 12:1. Se il flusso in uscita si trova in condizioni di atmosfera standard al livello del mare con velocità uniforme di 50m/s, calcolare la differenza di livello Δh del mercurio (densità 13600 Kg/m3) contenuto in un manometro ad “U” avente un lato connesso alla sezione di ingresso e l’altro alla sezione di uscita del convergente. Calcolare Δh anche nei casi in cui il manometro è riempito di alcool (densità 780 Kg/m3) e acqua. Soluzione ES.3.3.3 In generale si ha dalle equazioni di Bernoulli e di conservazione della massa:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−=Δ⇒

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=+

2

1

222

21

2221

2211

211

211

121)(

21

21

21

AAuuuPPP

uAuA

uPuP

ρρ

ρρ

Considerando il manometro differenziale riempito di un liquido qualsiasi si ha:

229

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ=Δ

2

122 1

21

AAuhgP l ρρ

Se il liquido è mercurio e se u2 = 50m/sec si ha:

mgAA

uh Hg 0114.0121

2

122 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ ρρ

Per quanto riguarda i casi in cui il fluido sia alcool ed acqua si rimandano al lettore le semplici sostituzioni numeriche che consentono di arrivare al risultato.

ES.3.3.4 (Tubo di Pitot) Si consideri un tubo di Pitot, vale a dire uno strumento costituito da due tubi concentrici uniti ad una estremità e disposti con gli assi paralleli alla direzione della velocità. Una serie di piccoli fori sono disposti sul tubo esterno mentre il tubo interni è forato solo all’estremità dove il fluido impatta. Ad entrambi i tubi sono collegati i rami di un manometro ad “U” contenente alcool (densità 780 Kg/m3) che fornisce in uscita una differenza di altezza Δh di 5mm. Determinare la velocità del flusso (N.B. Il tubo di Pitot misura le velocità locali date le sue piccole dimensioni)

2

Δh

230

Soluzione ES.3.3.4 Nel manometro ad U si avrà:

2111 ghPghP AlAl ρρ +=+ Da cui:

hgPPP Al Δ=−=Δ ρ12 Ora, poiché: P1 = Pressione statica ( B è parallelo alle linee di corrente) P2 = Pressione dinamica (A è un punto di ristagno) Si ha:

212 2

1 vPP ariaρ+=

E, quindi:

smPPvaria

9.7)(2 12 =−

=ρ

N.B. La scelta del liquido da inserire nel manometro dipende dalla densità (meno è denso e più è sensibile perché, a parità di ΔP, Δh è proporzionale a 1/ρ)e dall’angolo di contatto. In generale si preferisce l’alcool all’acqua. Soluzione ES.3.3.5 Soluzione non fornita

ES.3.3.6 L’aria fluisce in maniera stazionaria da un serbatoio attraverso un condotto di diametro D=0.03m, ed esce nell’atmosfera attraverso un ugello con diametro (nella sezione di uscita) di d=0.01m. La pressione relativa nel serbatoio resta costante e pari a 3Kpa e la temperatura di 15°C. All’esterno l’aria si trova in condizioni standard al livello del mare. Determinare la portata in volume e la pressione nel condotto cilindrico, considerando l’aria come un gas perfetto.

231

ρ1=ρ2=ρ3 ≠ ρ standard

Soluzione ES.3.3.6 Applicando Bernouilli tra le sezioni relative alle parti 1, 2 e 3 si ha:

332

333222

222112111 2

121

21 gzvPgzvPzgvP ρρρρρρρ ++=++=++

Ma z1 = z2 = z3 e potendo considerare v1=0 in quanto il serbatoio è molto più grande del tubo di uscita e P3=0 poiché si considerano le pressioni relative a quelle atmosferica si può scrivere:

1

13

2ρP

v =

2212 2

1 vPP ρ−=

La densità all’interno del serbatoio si può calcolare tramite l’equazione di stato dei gas perfetti, utilizzando non i valori relativi per le pressioni, ma quelli reali, e considerando che, per il problema in esame, si può considerare il fluido incompressibile si può scrivere:

3

1

11 26.1

)27315(287)1010003000( mkg

RTP

=+⋅

+==ρ

Da cui:

smPv /692

1

13 ==

ρ

smvdvAQ 3

32

33 00542.0=== π Per determinare la pressione nel condotto i applica l’equazione di continuità:

D=0.03md=0.01

1 2 3

232

2233 vAvA = Da cui:

smDdvv 67.7

2

32 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

22

212 296321 mNvPP =−= ρ

ES.3.3.7 In un condotto cilindrico di scarico di diametro d=0.1m, scorre acqua da un serbatoio di D=1m. Determinare la portata necessaria dal condotto di alimentazione affinche la profondità del’acqua nel serbatoio resti costante e pari a 2m,. Dare anche una valutazione dell’eerore che si commette se si assume che la velocità del flusso dentro il serbatoio è nulla (assumere le pressioni relative alla pressione atmosferica e tenere conto che il condotto di scarico sfocia in aria).

Soluzione ES.3.3.7 Si consideri un volume di controllo come nella figura seguente:

h=2m

D

d

Q

233

Si applichi la conservazione della massa:

2

21

2212211 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==⇒=

Ddv

AAvvAvAv ρρ

Applicando ora l’equazione di Bernoulli tra la superficie libera del serbatoio e la sezione di uscita, si ha:

222

222112111 2

121 gzvPzgvP ρρρρρ ++=++

Ma atmPPP == 21 , quindi si ha:

)()(21

122

221 zzgvv −=− ρρ

ghvv 22

122 =−

Ma:

422

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Ddvv

Da cui:

sm

Dd

ghv /26.6

1

242 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

smvAQout

322 049.0== = Qin se h = cost.

N.B. Se avessi supposto v1 = 0 avrei ottenuto da Bernoulli (ponendo con l’apice zero le grandezze relative a questo caso considerato):

ghvvgh 2)()(21 20

220

2 =⇒= ρρ

ghAvAQ 22

022

0 == Da cui si può calcolarne l’errore relativo commesso nell’approssimazione:

( )[ ] %1/1

121

1

244

0

≈−

=⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

==Ddgh

Dd

ghQQε

Essendo l’errore molto piccolo, è lecito per grossi serbatoi porre v1 = 0 (cioè se D >> d)

234

Soluzione ES 3.3.8 Soluzione non fornita.