Calcolo differenziale per funzioni di più...

78
Calcolo differenziale per funzioni di pi` u variabili Riccarda Rossi Universit` a di Brescia Analisi Matematica B Riccarda Rossi (Universit` a di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 1 / 86

Transcript of Calcolo differenziale per funzioni di più...

Page 1: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Calcolo differenziale per funzioni di piu variabili

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi Matematica B

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 1 / 86

Page 2: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Derivate direzionali e parziali

Consideriamo un insieme aperto Ω ⊆ Rn e un campo scalare

f : Ω→ R.

Sia v ∈ Rn un versore, cioe un vettore di lungheza unitaria: ‖v‖ = 1.

Definizione

Sia x0 ∈ Ω. Chiamiamo il rapporto incrementale di f nella direzione ve nel punto x0 la quantita

f (x0 + tv)− f (x0)

tt ∈ R.

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 2 / 86

Page 3: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 3 / 86

Page 4: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Derivate direzionali e parziali

Definizione

Se esiste finito, il limite

limt→0

f (x0 + tv)− f (x0)

t

e detto derivata direzionale di f in x0 nella direzione v e si indica con

∂f

∂v(x0), Dv f (x0).

In questo caso f si dice derivabile in x0 nella direzione v .

Nella definizione precedente intervengono solo i valori di f lungo la rettax0 + tv . Dunque l’esistenza della derivata in una direzione non garantiscel’esistenza della derivata in un’altra direzione!

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 4 / 86

Page 5: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Derivate direzionali e parziali

Definizione

Se v = ei (il versore i−esimo della base canonica), la derivata direzionale edetta derivata parziale di f rispetto a xi e si indica con

∂f

∂xi(x0), Di f (x0).

In Di f varia solo la variabile xi . Quindi per il calcolo si puo pensare allealtre variabili come a delle costanti ed applicare le regole di derivazionevalide per le funzioni di una sola variabile.

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 5 / 86

Page 6: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Il caso di funzioni di due variabili

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 6 / 86

Page 7: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Il caso di funzioni di due variabili

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 7 / 86

Page 8: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 8 / 86

Page 9: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Interpretazione geometrica

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 9 / 86

Page 10: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Interpretazione geometrica

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 10 / 86

Page 11: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Interpretazione geometrica

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 11 / 86

Page 12: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 12 / 86

Page 13: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Derivate direzionali e parziali: esempi1. Sia f : R2 → R data da

f (x , y) = x3 sin(y2).

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 13 / 86

Page 14: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

2. Sia f : R3 → R data da

f (x , y , z) = x3 − 5x y2 + 4 sin(x + ez) + z cos y .

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 14 / 86

Page 15: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

3. Sia f : R2 → R definita da

f (x , y) =

x y

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 15 / 86

Page 16: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 16 / 86

Page 17: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 17 / 86

Page 18: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 18 / 86

Page 19: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Attenzione! Sarebbe sbagliato calcolare le derivate parziali nel punto(0, 0) come limiti delle derivate ∂f

∂x (x , y) e ∂f∂y (x , y). In generale non vale

∂f

∂x(0, 0) = lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂x(x , y) NO!

∂f

∂y(0, 0) = lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂y(x , y) NO!

perche a priori non abbiamo nessuna informazione circa la continuita dellederivate parziali nel punto (0, 0). In effetto, nell’esempio precedente si ha

lim(x ,y)→(0,0)

∂f

∂x(x , y) @ lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂y(x , y) @

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 19 / 86

Page 20: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Derivabilita direzionale e continuitaA differenza delle funzioni di una sola variabile, nel caso di funzioni di piuvariabili l’esistenza delle derivate parziali non garantisce la continuita :abbiamo visto che la funzione

f (x , y) =

x yx2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

ammette entrambe le derivate parziali nel punto (0, 0). D’altra parte sivede facilmente che f non e continua in (0, 0):

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 20 / 86

Page 21: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 21 / 86

Page 22: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 22 / 86

Page 23: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Nemmeno l’esistenza di tutte le derivate direzionali garantisce lacontinuita :

Esempio

Sia f : R2 → R definita da

f (x , y) =

0 se y ≤ 0 oppure y > x2

1 se 0 < y ≤ x2.

Risulta che f ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), ma non econtinua in (0, 0).

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 23 / 86

Page 24: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 24 / 86

Page 25: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 25 / 86

Page 26: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 26 / 86

Page 27: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 27 / 86

Page 28: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Percio e necessario introdurre una nozione piu forte della derivabilitadirezionale: la differenziabilita.

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 28 / 86

Page 29: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Funzioni differenziabili

Consideriamo per semplicita solo i campi scalari.

Definizione

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Sia inoltre x ∈ Ωe supponiamo che f ammetta tutte le derivate parziali in x . Il vettore

∇f (x) = grad f (x) =

(∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x), . . . ,

∂f

∂xn(x)

)si chiama gradiente di f nel punto x .

Notiamo che∇f : Ω→ Rn.

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 29 / 86

Page 30: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Funzioni differenziabili

Definizione

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Sia inoltrex0 ∈ Ω. Diciamo che f e differenziabile in x0 se esiste λ(x0) ∈ Rn tale che

f (x) = f (x0) + λ(x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖), x → x0, (1)

Diciamo che f e differenziabile in Ω se e differenziabile in ogni punto di Ω.

Ricordiamo il significato della notazione o(‖x − x0‖) :

h(x) = o(‖x − x0‖) per x → x0 ⇔ limx→x0

h(x)

‖x − x0‖= 0.

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 30 / 86

Page 31: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 31 / 86

Page 32: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 32 / 86

Page 33: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 33 / 86

Page 34: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Funzioni differenziabili

Teorema (Caratterizzazione della differenziabilita)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Sia inoltrex0 ∈ Ω. Allora f e differenziabile in x0 se e solo se f ammette tutte lederivate parziali in x0 e se

limx→x0

f (x)− f (x0)−∇f (x0) · (x − x0)

‖x − x0‖= 0. (2)

Quindi f e differenziabile in x0 se vale (1) con λ(x0) = ∇f (x0):

f (x) = f (x0) +∇f (x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖), x → x0, (3)

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 34 / 86

Page 35: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 35 / 86

Page 36: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 36 / 86

Page 37: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 37 / 86

Page 38: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 38 / 86

Page 39: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 39 / 86

Page 40: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Differenziabilita per funzioni di una variabile

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 40 / 86

Page 41: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 41 / 86

Page 42: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 42 / 86

Page 43: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 43 / 86

Page 44: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 44 / 86

Page 45: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 45 / 86

Page 46: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 46 / 86

Page 47: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Differenziabilita per funzioni di due variabili

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 47 / 86

Page 48: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 48 / 86

Page 49: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Proprieta delle funzioni differenziabili

Teorema (Differenziabilita e continuita )

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R. Sia inoltre x0 ∈ Ω. Se f edifferenziabile in x0, allora f e continua in x0.

Il viceversa e in generale falso: la continuita non implica ladifferenziabilita !

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 49 / 86

Page 50: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Dimostrazione:

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 50 / 86

Page 51: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 51 / 86

Page 52: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 52 / 86

Page 53: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Teorema (Differenziabilita e derivabilita )

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R. Sia inoltre x0 ∈ Ω. Se f edifferenziabile in x0, allora f e derivabile in x0 lungo ogni direzione v e vale

Dv f (x0) = ∇f (x0) · v

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 53 / 86

Page 54: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Dimostrazione:

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 54 / 86

Page 55: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 55 / 86

Page 56: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 56 / 86

Page 57: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Proprieta delle funzioni differenziabiliAnche in questo caso non vale il viceversa: derivabilita in ogni direzionenon implica differenziabilita .

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 57 / 86

Page 58: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Esempio

La funzione

f (x , y) =

x2 y

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), ma non e differenziabile in(0, 0).

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 58 / 86

Page 59: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 59 / 86

Page 60: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 60 / 86

Page 61: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 61 / 86

Page 62: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 62 / 86

Page 63: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 63 / 86

Page 64: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di una variabile

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 64 / 86

Page 65: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di una variabile

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 65 / 86

Page 66: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di DUE variabilI

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 66 / 86

Page 67: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di DUE variabilI

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 67 / 86

Page 68: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Teorema (Differenziabilita di somme e prodotti)

Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Siano f , g : Ω→ R due funzionidifferenziabili in x0. Allora sono differenziabili in x0 anche le funzionisomma f + g e prodotto f g .

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 68 / 86

Page 69: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Teorema (Differenziabilita della composizione)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Sia f : Ω→ R una funzionedifferenziabile in x0. Sia inoltre ϕ : R→ R una funzione differenziabile inf (x0) ∈ R. Allora la funzione composta ϕ f : Ω→ R e differenziabile inx0 e vale

ϕ(f (x)) = ϕ(f (x0)) + ϕ′(f (x0))∇f (x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖),

per x → x0.

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 69 / 86

Page 70: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 70 / 86

Page 71: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Teorema (Teorema del differenziale totale)

Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Sia f : Ω→ R una funzione.Supponiamo che f ammetta in Ω tutte le derivate parziali Di f , i = 1, .., n,e che esse siano continue in x0. Allora f e differenziabile in x0.

Non vale il viceversa

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 71 / 86

Page 72: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 72 / 86

Page 73: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 73 / 86

Page 74: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 74 / 86

Page 75: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 75 / 86

Page 76: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Definizione (Funzioni di classe C 1)

Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia f : Ω→ R una funzione. Diciamo che f e diclasse C 1 se esistono le derivate parziali di f in Ω ed esse sono funzionicontinue. L’insieme delle funzioni di classe C 1 da Ω in R si indica con ilsimbolo C 1(Ω).

Nel loro dominio naturale sono di classe C 1 tutte le funzioni elementari ele loro composizioni; per esempio polinomi, funzioni razionali fratte,logaritmi etc.

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 76 / 86

Page 77: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Dal Teorema del differenziale totale segue che ogni funzione di classeC 1(Ω) e differenziabile in Ω. Piu in generale abbiamo il seguente schemariassuntivo:

f ∈ C 1(Ω) ⇒ f differenziabile in Ω ⇒

f continua in Ω

∀ v ∈ Rn : ∃Dv f

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 77 / 86

Page 78: Calcolo differenziale per funzioni di più variabiliriccarda-rossi.unibs.it/Teaching/analisiB/calc-diff-1.pdfCalcolo di erenziale per funzioni di piu variabili Riccarda Rossi Universit

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Calcolo differenziale Analisi Matematica B 78 / 86