17.10.2017 Analisi di Fourier. Onde elettromagnetiche...

prof. Francesco RagusaUniversità di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2017-2018

Lezione n. 517.10.2017

Analisi di Fourier. Onde elettromagneticheRadiazione del corpo neroOscillatore quantistico

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 138

Analisi di Fourier del campo di Klein-GordonConsideriamo un campo (reale) φ(x) che soddisfa l’equazione di Klein-Gordon

Possiamo rappresentare il campo con un integrale di Fourier

Se il campo è reale alloraL’applicazione di ( ∂μ∂μ +m2 ) a φ(x) dà

Pertanto la funzione (k quadri-dimensionale) deve essere singolare

Infatti deve essere

E allo stesso tempo l’integrale che dà φ(x) deve essere non nulloAvremo pertanto

Possiamo eliminare la funzione δ(k2 −m2) integrando su k0

( )2 0mμμ φ∂ ∂ + =

( )

( )( )4

4

12

ik xx d k k eφπ

⋅= Φ∫

( ) ( )

( )( ) ( )2 4 2

4

10

2ik xm x d k k k m k eμ μ

μ μφπ

⋅∂ ∂ + = − + Φ =∫

( ) ( )2 2 0k m k− + Φ = ( ) 2 20 0k k mΦ = − + ≠

( )kΦ

( ) ( ) ( )2 2k k k mδΦ = Φ −

( )

( )( ) ( )0 3 2 2

4

12

ik xx dk d k k m eφ δπ

⋅= Φ −∫ k

( ) ( )*k kΦ − = Φ


Analisi di Fourier del campo di Klein-GordonRicordiamo che

Pertanto

Introducendo nell’integrale di Fourier

Inoltre, nel primo termine, possiamo utilizzare il fatto che gli integrali sono estesi da −∞ a +∞ per sostituire k → −k

( )( )( )

( )( ) 0ii

ii

x xf x f x

f xδ

δ−

= =′∑

( ) ( ) ( )[ ]2 2 0 012

k m k E k EE

δ δ δ− = − + +k kk

2 2E m= +k k

( )

( )( ) ( ) ( )[ ] 0

03 0 0

41

22ik t idk

x d k k E k E e eE

φ δ δπ

− ⋅= Φ + + −∫ ∫ k rk k

kk

( )( ) ( )

( ) ( )3

31

, , ,2 22

iE t iE t idt E e E e e

Eφ

ππ− − ⋅⎡ ⎤= Φ − + Φ⎣ ⎦∫ k k k r

k kk

kr k k

( )( ) ( )

( ) ( )3

31

, , ,2 22

iE t i iE t idt E e e E e e

Eφ

ππ− + ⋅ + − ⋅⎡ ⎤= Φ − − + Φ⎣ ⎦∫ k kk r k r

k kk

kr k k

( ) 2 2 20 0f k k m= − −k

Nel nostro caso (x = k0)

Ci sono 2 zeri ( k0 = ± Ek)


Analisi di Fourier del campo di Klein-GordonInfine definiamo le due funzioni

Sostituiamo nell’integrale

Per un campo reale ricordiamo che La condizione implica

Il campo diventa

Per finire notiamo che se scriviamoL’equazione di Klein-Gordon impone che a(t) soddisfi l’equazione dell’oscillatore

( ) ( )1

,2 2

b EEπ

= Φ kk

k k

( )( )

( ) ( )3

31

,22

ik x ik xdt a e b e

Eφ

π− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k

kr k k

( ) ( )1

,2 2

a EEπ

= Φ − −kk

k k

( ) ( )*k kΦ − = Φ

( ) ( )b a∗=k k

( )( )

( ) ( )3

31

,22

ik x ik xdt a e a e

Eφ

π− ⋅ ∗ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k

kr k k

( ) ( ) ki ta t a e ω−= k

( )( ) ( )

22 2

2 0a t

m a tt

∂+ + =

∂k

( )( )

22

2 0a t

a tt

ω∂

+ =∂ k

Eω ≡k k


Il campo elettromagnetico classicoApplichiamo il formalismo appena esposto al campo elettromagnetico

Equazioni di Maxwell

Introduciamo i potenziali A e ΦI campi E e B si ottengono dai potenziali come

È noto che potenziali sono definiti a meno di una trasformazione di gauge

Si può infatti verificare che si ottengono gli stessi campi E e BSostituendo le espressioni di E e B nella seconda e terza equazione di Maxwell otteniamo le equazioni per i potenziali

0∇ ⋅ =B

o

ρε

∇ ⋅ =E0t

∂∇× + =

∂B

E

21

otcμ

∂∇× − =

∂E

B J

= ∇×B At

∂= − − ∇Φ

∂A

E

tχ

χ∂

Φ → Φ − → + ∇∂

A A

2

otρε

∂∇ Φ + ∇ ⋅ = −

∂A

22

2 2 21 1

o tc t cμ

∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜− ∇ = − ∇ ∇Φ + ∇ ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂∂A

A J A


Il campo elettromagnetico classicoSi può utilizzare l’indeterminazione dei potenziali per semplificare le equazioni

Si fissa il gaugeI gauge più utilizzati sono

Il gauge di LorentzLe equazioni dei potenziali diventano

Il gauge di Coulomb o gauge di radiazioneLe equazioni dei potenziali diventano

Il gauge di Lorentz ha il vantaggio di essere covarianteNon dipende dal sistema di riferimento

Il gauge di Coulomb non è covarianteMette in evidenza il carattere trasversale dell’onda elettromagnetica

2

10

tc

∂Φ + ∇ ⋅ =

∂A

22

2 2

1

oc tρε

∂ Φ− ∇ Φ =

∂

22

2 2

1oc t

μ∂

− ∇ =∂

AA J

0∇ ⋅ =A

2

o

ρε

∇ Φ = −2

22 2 2

1 1o tc t c

μ∂ ∂

− ∇ = − ∇ ∇Φ∂∂

AA J


Onde elettromagneticheConsideriamo adesso un campo elettromagnetico

Utilizziamo il gauge di CoulombCome abbiamo visto l’equazione del potenziale scalare diventa

Nel vuoto, quindi in assenza di sorgenti: ρ = 0 J = 0Pertanto il potenziale elettrico è nullo Φ = 0

L’equazione per il potenziale vettore è

Pertanto ciascuna delle componenti del potenziale soddisfa l’equazione dell’ondaL’analisi di Fourier del potenziale conduce alla rappresentazione integrale

Come nel caso di Klein-Gordon, postoL’equazione dell’onda impone che a(t) soddisfi

0∇ ⋅ =A

2

otρε

∂∇ Φ + ∇ ⋅ = −

∂A 2

o

ρε

∇ Φ = − ( )( ) 3,1

,4 o

tt d

ρπε

′′Φ =

′−∫r

r rr r

22

2 2 21 1

o tc t cμ

∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜− ∇ = − ∇ ∇Φ + ∇ ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂∂A

A J A2

22 2

10

c t∂

− ∇ =∂

AA

( )( )

( ) ( )33

1,

2ik x ik xt d e e

π− ⋅ ∗ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫A r k a k a k cω =k k

( ) ( ) ki ta t a e ω−= k ( )( )

22

2 0a t

a tt

ω∂

+ =∂ k


Onde elettromagneticheLa condizione del gauge di Coulomb permette di evidenziare la natura trasversale dell’onda

Pertanto le ampiezze a(k) devono essere perpendicolari al vettore d’onda k

Il vettore a(k) ha pertanto solo due gradi di libertà (stati di polarizzazione)

Si introducono pertanto due vettori mutuamente perpendicolari e perpendicolari a k

Possiamo infine calcolare i campi elettrico e magnetico

Perché E e B siano reali deve essere

( ),t∇ ⋅ A r( )

( ) ( )33

12

ik x ik xd e eπ

− ⋅ ∗ + ⋅⎡ ⎤= ⋅ + ⋅⎣ ⎦∫ k k a k k a k 0=

( ) 0⋅ =k a k

( ) ( ) ( )1,2

aλ λλ=

= ∑a k k kε

k1ε

2ε

( )( ) ( )3

32ik x ik xi

d c e et π

− ⋅ ∗ + ⋅∂ ⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦∂ ∫AE k k a k a k

( )( ) ( )3

32ik x ik xi

d e eπ

− ⋅ ∗ + ⋅⎡ ⎤= ∇× = × − ×⎣ ⎦∫B A k k a k k a k

( ) ( )∗− = −a k a k

Cohen-Tannoudji et al. Photons and Atoms (Wiley 1997) p. 24


Onde elettromagneticheL’energia associata al campo elettromagnetico è data da

Calcoliamo esplicitamente il primo integrale

2 2 31 12 o

oU dε

μ⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ E B r

2 32 2

12

Eo

Ud

c cε= ∫ E r

( )( )

( )( )1 1 2 2

1 1 2 2

3 3 * 3 *1 1 2 23 32 2 2

o i i i ii id d k e e d k e e

επ π

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= − −∫ ∫ ∫k r k r k r k rk k k kr k a a k a a

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

*1 2 1 2

3 31 2 1 2* * *

2 1 1 22o k k d d

δ δε

δ δ

⎡ ⎤+ − − −− ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− + − −⎣ ⎦

∫k k k k

k k k k

a a k k a a k kk k

a a k k a a k k

1 1 1 1 1 1 1 1

2 * * * * 31 12

o k dε

− −⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦∫ k k k k k k k ka a a a a a a a k

1 1 1 1 1 1

2 * * * 31 12

2o k dε

− −⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫ k k k k k ka a a a a a k

1 1 1 1 11

2 * * 31 1

*22o k dε ⎡ ⎤= ⎣ ⎦+ +∫ k k kk kk a a aa kaa

2 * 32E oU dε ω= ∫ k k ka a k

( ) ( )∗− = −a k a kCohen-Tannoudji et al. Photons and Atoms (Wiley 1997) p. 24

cω =k k


Onde elettromagnetiche

Analogamente si calcola l’energia associata a BL’energia totale è

Vediamo che l’energia del campo è la somma delle energie degli oscillatori in cui è stato scomposto il campo

Notiamo che classicamente l’energia e proporzionale al modulo quadrato dell’ampiezza dell’oscillazioneNotiamo inoltre che hanno una energia proporzionale a ωk tutti gli oscillatori con momento 3-dimensionale |k|c = ωk

Partendo da queste considerazioni si può calcolare, classicamente, lo spettrodella radiazione in una cavità: lo spettro della radiazione del corpo nero

Calcoliamo innanzitutto il numero degli oscillatori per unità di energia (o frequenza) corrispondenti ad una energia dω = cdk

Tenendo conto che ogni oscillatore ha 2 gradi di libertà

2 * 32

oU d

μ= ∫B k kk a a k

2 * 34 oU dε ω= ∫ k k ka a k

( )

3

32d

dNπ

=k

( )

2

3

42dkπ

π=

k( )

2

33

42d

cπω ω

π=

2

34 dcπν ν

=2

38 d

dNcπν ν

=

cω =k k 21

o oc

ε μ=


Energia media dell’oscillatoreL’energia del campo è espressa come somma delle energie di tanti oscillatoriQuando la radiazione è in equilibrio all’interno della cavità

Il materiale delle pareti contiene oscillatori elettromagnetici che interagiscono con il campo

Le pareti assorbono radiazione dagli oscillatori del campoLe pareti emettono radiazione che viene assorbita dagli oscillatori del campo

Quando si è all’equilibrio termico l’energia assorbita è uguale a quella emessaGli oscillatori sono in equilibrio termico

La loro energia media può essere calcolata utilizzando la meccanica statistica

La probabilità che un oscillatore abbia una energia U è data da

L’energia media dell’oscillatore è pertanto

( )[ ]

[ ]0

exp /

exp /

U kTP U dU

U kT dU∞

−=

−∫[ ]exp /

dUU kT

kT= −

[ ]0

exp /dU

U U U kTkT

∞

= −∫ [ ]

0expkT x x dx

∞

= −∫ kT=


Radiazione del corpo nero

Questo è il risultato classico dell’equipartizione dell’energiaUn ingrediente essenziale è stato aver assunto che l’oscillatore può assumere un valore arbitrario di energia U

Distribuzione continua dell’energiaUtilizziamo il risultato per calcolare la distribuzione di energia della radiazione del corpo nero

Associamo ad ogni oscillatore una energia kTLa densità di energia è pertanto

Questa è la famosa legge di Rayleigh-JeansÈ la previsione classica dello spettro dellaradiazione del corpo neroÈ in accordo con i dati solo a bassissimefrequenze

dU kTdN=2

3

8 ddU kT

cπν ν

=

catastrofe ultravioletta

U kT=


Ipotesi di PlanckPer risolvere il problema precedente Planck ipotizzò che

L’oscillatore non può assumere tutte le energie possibili classicamenteL’energia non dipende dall’ampiezza ma solo dalla frequenza ν = ω/2πL’energia può assumere solo valori che sono un multiplo intero di hν

Calcoliamo l’energia mediaPreliminarmente la distribuzione di probabilità

Calcoliamo innanzitutto il denominatore

Otteniamo infine

nU nhν=

( )[ ]

[ ]0

exp /

exp /

U kTP U dU

U kT dU∞

−=

−∫( )

[ ]

[ ]0

exp /

exp /

nn

n

n

U kTP U

U kT∞

=

−=

−∑

[ ]0

exp /n

A nh kTν∞

=

= −∑0

n

n

A x∞

=

=∑[ ]exp / 1x h kTν= − <11 x

=−

[ ]1

1 exp /A

h kTν=

− −

posto


Ipotesi di PlanckVeniamo adesso al calcolo del valore medio

Concludendo

La distribuzione dell’energia nella cavità diventa

L’accordo con i dati sperimentali è perfettoL’ipotesi critica è stata la natura discretadell’energia dell’oscillatore

[ ]0

exp /n

AU h n nh kTν ν∞

=

= −∑

0

n

n

AU h ne αν∞

−

=

= ∑1

n

n

h e ανα

∞−

=

∂= −

∂ ∑

/h kTα ν=posto

11

he αν

α −∂

= −∂ − ( )21

h e

e

α

α

ν −

−=

−

[ ][ ]

exp /1 exp /h h kT

Uh kT

ν νν

−=

− −

notiamo che se hν → 0

( )1 1 /h

U kTh kTνν

→ =− −[ ]exp / 1

hU

h kTν

ν=

−

[ ]

2

38

exp / 1h

dU UdN dh kTc

πν νν

ν= =

−

[ ]1

1 exp /A

h kTν=

− −


Quantum Field Theory: IntroduzioneUn campo elettromagnetico all’interno di una cavità presenta degliaspetti interpretabili con una visione “particellare” del campo

Il campo può essere rappresentato come integrale di FourierAll’equazione dell’onda corrisponde un’equazione di oscillatore armonico per ogni componenteL’energia del campo è espressa come somma delle energie dei singoli oscillatori

Per un campo all’interno di una cavità in equilibrio termico con le pareti si può utilizzare la meccanica statistica per descrivere

La distribuzione di energia degli oscillatoriL’energia media degli oscillatori

Abbiamo visto cheL’utilizzo del principio di equipartizione dell’energia (classico) porta alla distribuzione di Rayleigh-Jeans

In disaccordo con le osservazioni sperimentaleL’ipotesi di Planck che l’energia di ogni oscillatore è un multiplo intero di hνconduce alla distribuzione di Planck

In ottimo accordo con le osservazioni sperimentali


Quantum Field Theory: IntroduzioneAi nostri fini, l’aspetto più importante del calcolo della radiazione del corpo nero è che il campo può essere visto come un insieme di particelle (quanti)

Alla descrizione ondulatoria (campo) si affianca una descrizione particellareDualità onda-particella

L’aspetto particellare è associato ai modi descritti da oscillatori ( fotoni )L’energia degli oscillatori è quantizzata (En = nhν )

Il formalismo dell’oscillatore quantistico è perfetto per questo scopo

Proveremo ad estendere questa formulazione alle equazioni d’onda relativistiche (Klein-Gordon, Dirac)

Le differenze con il campo elettromagnetico sonoIl campo elettromagnetico ha una interpretazione classicaLe equazioni di Dirac e di Klein Gordon non hanno corrispettivo classico

L’analogia è pertantoIl campo elettromagnetico e le equazioni di Dirac e di Klein-Gordonmettono in evidenza gli aspetti ondulatoriLa descrizione in termini di oscillatori quantizzati mette in evidenza gli aspetti particellari (quanti del campo)


L’oscillatore quantisticoRivediamo la teoria dell’oscillatore armonico quantistico

In seguito utilizzeremo, per i campi, il formalismo Lagrangiano eHamiltoniano

È conveniente trattare anche l’oscillatore armonico in questo modoLa Lagrangiana di un oscillatore armonico con un grado di libertà q è

L’equazione di Eulero-Lagrange

Le due soluzioni di questa equazione sonoPertanto la soluzione generale (reale) è

( ) 2 2 21 1,

2 2L q q T U mq m qω= − = −

d L Ldt q q

∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂2mq m qω= −

( ) i tq t e ω±=

( ) i t i tq t Ae A eω ω+ ∗ −= +


L’oscillatore quantisticoPassiamo al formalismo Hamiltoniano

Il momento canonico è definito da

L’Hamiltoniana è

Le Equazioni di Hamilton danno

Lp mq

q∂

= =∂

( ),H p q pq L= − ( )2 2 2 21 12 2

mq mq m qω= − − 2 2 21 12 2mq m qω= +

( )2

2 21,

2 2p

H p q m q T Um

ω= + = +

Hq

pH

pq

∂⎧⎪⎪ =⎪ ∂⎪⎪⎨⎪ ∂⎪ = −⎪⎪ ∂⎪⎩

pq

m=

2p m qω= −

ritroviamo la definizione di p

2q qω= −

( ) 2 2 21 1,

2 2L q q mq m qω= −


L’oscillatore quantisticoLa quantizzazione dell’oscillatore si ottiene

Trasformando p e q in operatoriImponendo la regola di commutazione ( =1)

Utilizziamo la rappresentazione di HeisenbergFunzioni d’onda indipendenti dal tempoOperatori dipendenti dal tempo

L’evoluzione di q(t) e di p(t) è pertanto

22 21

,2 2p

H m q q p im

ω ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

,O

i H Ot

∂ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∂

,q

i H qt

∂ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∂

22 21,

2 2p

i m q qm

ω⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]2,2ip q

m= [ ] [ ]( ), ,

2ip q p p p q

m= + q p

t m∂

=∂

,p

i H pt

∂ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∂

22 21,

2 2p

i m q pm

ω⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]2 2,2im q pω= [ ] [ ]( )2 , ,

2im q p q q q pω= +

2pm q

tω

∂= −

∂

22

2

qq

tω

∂= −

∂uguali alle equazioni classiche


L’oscillatore quantisticoÈ noto che la quantizzazione dell’oscillatore rende discretele energie che la particelle può assumereOccorre risolvere l’equazione agli autovalori

Si può risolvere questo problema prescindendo dalla forma esplicita diSi introducono gli operatori (dipendenti dal tempo)

Si verifica facilmente che gli operatori hanno la seguente regola di commutazione

Utilizzando gli operatori l’Hamiltoniana diventa

L’evoluzione temporale di è data da

22 21

2 2p

H m qm

ω= +

( ) ( ) ( )( )12

ia t m q t p t

mω

ω= + ( ) ( ) ( )( )† 1

2i

a t m q t p tm

ωω

= −

( ) ( )†, 1a t a t⎡ ⎤ =⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )† † †1 12 2

H a t a t a t a t a t a tω ω= + = +

ep qE EH u E u=

( ) ( ) ( )† ,i a t a t a tω ⎡ ⎤= ⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )† 1,

2i a t a t a tω⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )† ,i a t a t a tω ⎡ ⎤= ⎣ ⎦( )

( ),a t

i H a tt

∂ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∂

( )( ) ( ) ( )0 i ta t

i a t a t a et

ωω −∂= − =

∂

( ) ( )†ea t a t

( )a t

( ) ( )†ea t a t


L’oscillatore quantisticoAnalogamente si trova

Per semplificare la notazione da ora in poi

Evidentemente

E pertanto l’Hamiltoniana è indipendente dal tempoNella teoria gioca un ruolo molto importante l’operatore Numero

L’operatore N è hermitiano e pertanto i suoi autovalori sono realiSono inoltre positivi (non negativi)

Infatti consideriamo un autostato |n>

Osserviamo che

Si verifica facilmente che

( ) ( )† † 0 i ta t a e ω+=

( ) ( )† †0 0a a a a≡ ≡

( ) ( )† †a t a t a a=

( )† 12

H a a ω= +

†N a a=

N n n n=†| | | | |n N n n n n n a a n= =

2†2| 0 | | 0n n n n a a n a n= ≥ = ≥ Pertanto n ≥ 0

† †,N a a⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ,N a a⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ ovviamente ( )12H N ω= +


L’oscillatore quantisticoDalle regole precedenti discende che se è |n> un autostato dell’operatore Numero N sono suoi autostati anche

Infatti

E inoltre

Consideriamo lo stato ( k > n )L’autovalore di N corrispondente èSe k assumesse valori k > n il risultato contraddirebbe la positività di N

Per evitare questa contraddizione concludiamo cheGli autovalori di N sono numeri interiEsiste uno stato |0> (lo stato vuoto) con autovalore 0 che ha le proprietà

Gli stati con autovalore n possono essere costruiti a partire dal vuoto tramite l’applicazione ripetuta dell’operatore

L’operatore prende il nome di operatore di creazioneL’operatore prende il nome di operatore di distruzione

† †,N a a⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

,N a a⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

† ea n a n

0 0 0 | 0 1 0 0 0 0a N= = = =

†Na n ( )† †a a N n= + ( ) †1n a n= +

Na n ( )a aN n= − + ( )1n a n= −

ka n( )k kNa n n k a n= −

†a†aa

Postulato


L’oscillatore quantisticoA partire dal vuoto si possono costruire esplicitamente gli autovettori di N

Lo stato |1> è normalizzato

Analogamente lo stato

Per induzione si può dimostrare che lo stato con n particelle è ottenuto dalla applicazione ripetuta n volte dell’operatore a†

†1 0a=

1 | 1 1=

( )††1 0 0a a= = †1 | 1 0 | | 0aa= †0 | 1 | 0a a= + 0 | 0= 1=

† †1 12 2

2 | 2 0 | | 0aaa a= ( )† †10 | 1 | 0

2a a a a= +

( )† † †10 | | 0 0 | | 0

2aa aa aa= + ( )( )† †1

1 0 | 1 | 02

aa a a= + +

1=

† †12

2 0a a=

( )†1!

0n

nn a=

( )†11 0 | | 0

2aa= + ( )

11 1

2= +

0 0a =


L’oscillatore quantisticoPer finire osserviamo che gli autostati dell’operatore numero Nsono anche autostati dell’Hamiltoniana

Pertanto

Osserviamo che l’energia del vuoto non è nullaCommenti

Abbiamo diagonalizzato l’Hamiltoniana e trovato gli autovalori dell’energia utilizzando solo proprietà algebriche

La soluzione è la stessa per tutti i problemi che hanno le stesse regole di commutazione per gli operatori aSe gli a hanno anche una espressione esplicita in termini di operatori differenziali si può trovare una espressione esplicita per gli stati

Ad esempio i Polinomi di HermiteL’Hamiltoniana è definita positiva perchè N è definito positivoDato che N e H commutano il numero delle particelle è costante

Questo accade in tutte le teorie senza interazione

( )12H N ω= +

( )12n nH n E n E n ω= = +1

0 2E ω=


Quantizzazione di un campo scalare (reale)Consideriamo un campo (reale) φ(x) che soddisfi l’equazione di Klein-Gordon

Abbiamo visto che il campo ha una rappresentazione di Fourier

I coefficienti a(k) determinano completamente il campoPossiamo usare in modo equivalente φ(x) o a(k) per descrivere il campo

Abbiamo inoltre visto che i coefficienti

Soddisfano l’equazione dell’oscillatore armonicoPossiamo pertanto interpretare il campo come formato da un insieme infinito di oscillatori ciascuno dei quali è individuato dal momento k

Classicamente l’energia del modo è associata all’ampiezza a(k)

Quantisticamente l’energia del modo è quantizzataÈ un multiplo di ωk

Lo stato del campo è determinato dal numero di quanti nk in ogni modo

( )2 0mμμ φ∂ ∂ + =

( )

( )

3

31

22ik x ik xd

x a e a eE

φπ

− ⋅ ∗ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k kk

k 2 2E mω = = +k k k

( ) ( ) ki ta t a e ω−= k( )

( ) ( )2

2 22 0a t

m a tt

∂+ + =

∂k

Il campo è un insieme di particelle: quanti

2ωk


Quantizzazione di un campo scalare (reale)Per quantizzare il campo pertanto interpretiamo i coefficienti a e a∗ come operatori con le regole di commutazione dell’oscillatore armonico

Le precedenti regole di commutazione sono la generalizzazione al continuodelle regole di commutazione dell’oscillatore armonico quantistico

Uno stato del campo è determinato definendo il numero dei quanti che sono presenti in ciascun modo

Gli stati definiscono uno spazio di Hilbert (spazio di Fock)Lo spazio (astratto) dei numeri di occupazione

Gli operatori di creazione e distruzione permettono di costruire questi stati partendo dal vuoto

Per semplicità non abbiamo incluso un fattore di normalizzazionePer ogni particella di energia En occorre moltiplicare per un fattoreGarantisce la normalizzazione relativistica della corrente

( ) ( )† 3, 2a a π δ′⎡ ⎤ ′= −⎣ ⎦k k k k[ ], 0a a ′ =k k

† †, 0a a ′⎡ ⎤ =⎣ ⎦k k

1 2 1 2, , , ,

n nn n n n n n= ⊗ ⊗ ⊗ ⊗k k k k k k… … … …

…… …

1 2

1 2

1 2

1 2

† †

, , , , 0! !n

n na a

n n nn n

=k k

k kk k k

k k1 2

0 0 0≡ ⊗ ⊗ ⊗k k …

2 nE


Normalizzazione degli statiConsideriamo uno stato con una particella

Verifichiamo la normalizzazione dello stato

Espressioni di questo tipo si calcolano utilizzando le regole di commutazione per portare gli operatori di distruzione a destra

La loro azione sul vuoto annulla lo statoOtteniamo pertanto

†2 0E a= k kk

( )††2 0 0 2E a a E′ ′ ′′′ = =k k kkk †| 2 2 0 | | 0E E a a′ ′′ = kk k kk k

( ) ( )† 3| 2 2 0 | | 0E E a a π δ′ ′′ ′= + 2 −kk kkk k k k

( ) ( )† 3, 2a a π δ′⎡ ⎤ ′= −⎣ ⎦k k k k ( ) ( )† † 32a a a a π δ′ ′ ′− = −k kk k k k

0 0a ′ =k

( ) ( )3| 2 2 0 | 0E E π δ′′ ′= 2 −kkk k k k

( ) ( )3| 2Eπ δ′ ′= 2 −kk k k k


Simmetria degli statiConsideriamo adesso uno stato con due particelle

Scambiamo l’ordine delle due particelle

Ricordiamo la regola di commutazione fra due operatori di creazione

Possiamo pertanto scambiare l’ordine degli operatori

Pertanto lo stato è simmetrico rispetto allo scambio di due particelleSi tratta di bosoniVediamo che la regola di commutazione fissa la simmetria dello stato

Anticipiamo che per i fermioni utilizzeremo regole di anti-commutazione

1 2 1 2

† †1 2

1, 2 2 0

2E E a a= k k k kk k

2 1 2 1

† †2 1

1, 2 2 0

2E E a a= k k k kk k

† †, 0a a ′⎡ ⎤ =⎣ ⎦k k

12 1 2

††2 1

1, 2 2 0

2E aE a= k k kkk k

2 1 21

† †12 2 0

2aE E a= kk k k 1 2,= k k

1 2 2 1

† † † † 0a a a a+ =k k k k 1 12 2

† †† †aa aa→ = − k kkk

1 2 2 1

† † † † 0a a a a− =k k k k 1 12 2

†† † †aa a a→ = k kkk


Operatori di campoRitorniamo all’espansione del campo tramite l’integrale di Fourier

Se sostituiamo alle funzioni ak gli operatori di creazione e distruzione otteniamo un operatore (limitiamoci al caso t = 0)

Qual è l’effetto di questo operatore ?Applichiamolo al vuoto

L’operatore di distruzione non contribuisce

Poiché è uno stato di singola particella è una sovrapposizionedi stati di singola particella

( )

( )

3

31

22ik x ik xd

x a e a eE

φπ

− ⋅ ∗ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k kk

k

( )( )

3†

31

, 022

i ida e a e

Eφ

π+ ⋅ − ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k r k r

k kk

kr

( )( )

3†

31

, 0 0 0 022

i ide a e a

Eφ

π+ ⋅ − ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k r k r

k kk

kr 0 0a =k

( )( )

3†

31

, 0 0 022

ide a

Eφ

π− ⋅= ∫ k r

kk

kr

† 0ak ( ), 0 0φ r


Operatori di campoAbbiamo precedentemente definito uno stato con una particella di momento definito

Calcoliamo il prodotto scalare dello stato |p> con lo stato definito tramite l’operatore di campo

Utilizzando le regole di commutazione otteniamo

Introduciamo nell’integrale

Interpretiamo il risultato dicendo che φ(r) crea uno stato di una particella in r

( )( )

3†

31

, 0 0 022

ide a

Eφ

π− ⋅= ∫ k r

kk

kr

†2 0E a= p pp

( )

3†

31

0 | | 2 0 | | 022

idE e a a

Eφ

π+ ⋅= ∫ k r

p k pk

kp

( ) ( )3† †0 | | 0 0 | | 0 2 0 | 0a a a a π δ= + −k p p k k p

( )3

0 | | 22

idE e

Eφ δ+ ⋅= −∫ k r

pk

kp k p ie+ ⋅= p r

( ), 0 0φ=r r | ie ⋅= p rr p Ricordare la meccanicaquantistica non relativistica

17.10.2017 Analisi di Fourier. Onde elettromagnetiche...

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