1

Esercizi di Termodinamica

2

DILATAZIONE TERMICA DEI SOLIDI

LA DILATAZIONE TERMICA LINEARE E’ IL CAMBIAMENTO, CON LA TEMPERATURA, DI OGNI DIMENSIONE LINEARE DI UN SOLIDO

Tll Δ=Δ α

3

TRACCIA

LA TOUR EIFFEL E’ UNA IMPONENTE STRUTTURA IN TRALICCIO DI FERRO.

SAPENDO CHE LA TORRE E’ ALTA 301.0 m ALLA TEMPERATURA DI 220

C, CALCOLARE LA SUA ALTEZZA SE LA TEMPERATURA SI RAFFREDDA FINO A 00 C

4

SOLUZIONE OGNI DIMENSIONE DI UN SOLIDO SUBISCE LA DILATAZIONE TERMICA LINEARE CARATTERISTICA (PER L’ISOTROPIA DEL CORPO) DELLO STESSO COEFFICIENTE α . QUINDI NEL NOSTRO CASO LA TORRE SUBIRA’ UNA VARIAZIONE DI VOLUME MA A NOI NON INTERESSA PERCHE’ LA TRACCIA CI HA CHIESTO SOLO LA VARIAZIONE IN ALTEZZA

l f = l0 + l0α Tf −T0( ) = l0 1+α Tf −T0( )"# $%

Tll Δ=Δ α

POSSO SOSTITUIRE DIRETTAMENTE I VALORI NUMERICI

OSSERVAZIONE:NELLE EQUAZIONI IN CUI APPARE T SI DEVE SEMPRE UTILIZZARE LA TEMPERATURA ESPRESSA IN KELVIN. SOLO QUANDO ABBIAMO DIFFERENZE DI TEMPERATURE POSSIAMO UTILIZZARE I GRADI CELSIUS

5

SOLUZIONE

l f = l0 + l0α Tf −T0( ) = l0 1+α Tf −T0( )"# $%

l f = 301.000m 1+12 ⋅10−6K −1 0− 22( )K#$ %&= 300.208m.

6

SOLUZIONE

l f = 301.000m 1+12 ⋅10−6K −1 0− 22( )K#$ %&= 300.208m.

LA TORRE SI RIMPICCIOLISCE LEGGERMENTE NON DIVENTA UN SOUVENIRS

7

QUANTITA’ DI CALORE

SE PIU’ CORPI MESSI IN CONTATTO RAGGIUNGONO L’EQUILIBRIO TERMICO, LA SOMMA DELLE QUANTITA’ DI CALORE SCAMBIATE DAI VARI CORPI E’ NULLA

∑=

=n

iiQ

1

0 )( ieiii TTcmQ −=

DURANTE IL CAMBIAMENTO DI STATO DI UNA SOSTANZA LA TEMPERATURA RESTA COSTANTE. SPERIMENTALMENTE SI VERIFICA CHE LA QUANTITA’ DI CALORE CEDUTA O ASSORBITA DAL CORPO NEL CAMBIAMENTO DI STATO VALE:

λmQ =

8

TRACCIA

UNA MASSA DI GHIACCIO ALLA TEMPERATURA T = 00C VIENE POSTA IN UN RECIPIENTE CONTENENTE UNA MASSA

m1 = 0.8 Kg DI T1=300C.

LA TEMPERATURA RAGGIUNTA ALL’EQUILIBRIO TERMICO E’ Te = 200C.

SI CALCOLI LA MASSA DEL GHIACCIO SAPENDO CHE IL CALORE LATENTE DI FUSIONE è Λf = 80 kcal/Kg.

9

Un po’ di valori numerici

Calore specifico dell’acqua c = 1 cal/g C° = 1 cal/g K

Poi ricordiamo 1 Cal = 4.186 Joule, dunque:

Calore specifico dell’acqua c = 4.186 J/g K = 4186 J/Kg K

= 1000 cal/Kg K

Confrontiamolo con il CALORE LATENTE DI FUSIONE è Λf = 80 kcal/Kg.

10

SOLUZIONE IL GHIACCIO SI SCIOGLIERA’ COMPLETAMENTE ALLA FINE DEL PROCESSO PERCHE’ LA TEMPERATURA DI EQUILIBRIO E’ MAGGIORE DI 00C.

IL GHIACCIO PER FONDERSI ASSORBIRA’ UNA QUANTITA’ DI CALORE

E L’ACQUA FORMATASI (CON LA STESSA MASSA DEL GHIACCIO) PER PORTARSI ALLA TEMPERATURA DI EQUILIBRIO ASSORBE UNA QUANTITA’ DI CALORE

fGHIACCIOmQ λ=2 )( 03 TTcmQ eacqGHIAC −=

LA QUANTITA’ DI CALORE TOTALE ASSORBITA VIENE INTERAMENTE CEDUTA DALLA MASSA m1 DI ACQUA

)( 111 TTcmQ eacq −=

11

SOLUZIONE

0321

1 =++=∑=

QQQQn

ii

MI RICORDO CHE

0)()( 011 =+−+− fGHIACCIOeacqGHIACeacq mTTcmTTcm λ

IN QUESTA EQUAZIONE L’UNICA INCOGNITA E’ LA MASSA. LA RICAVIAMO, FACCIAMO IL SOLITO CONTROLLO DIMENSIONALE

KgKgTTcTTc

mmfeacq

eacqGHIAC 08.0

8020108.0

)()(

0

11 =

+=

+−

−⋅−=

λ

12

TRACCIA

Consideriamo le masse precedenti (M_acqua = 800 gr e M_ghiaccio = 80 gr) con TA=30 0C e TG = -5 0C.

Calcolare la temperatura di equilibrio.

SOLUZIONE: Possibilità:

Tequil > 0 0C

Tequil < 0 0C

Tequil = 0 0C

13

Soluzione

…buon divertimento!

14

DEFINIZIONI

Ricordiamo dalla meccanica il principio di conservazione dell’energia, ricordiamo anche la presenza di forze dissipative quali l’attrito. Uno dei principali argomenti della termodinamica riguarda proprio il bilancio energetico complessivo di un processo fisico. In particolare la termodinamica studia le trasformazioni e passaggi di energia da un sistema ad un altro e da una forma all’altra. Sistema termodinamico: definita quantità di materia e/o energia che occupa una regione dello spazio.

15

Ambiente: sistema con cui il sistema può interagire. Universo: sistema + ambiente.

Sistema aperto: scambio di energia e materia.

Sistema chiuso: scambio di energia.

Sistema isolato: nessuno scambio di energia o materia.

Stato di un sistema: lo stato di un sistema termodinamico può essere descritto da un numero finito di grandezze fisiche numerabili dette variabili di stato quali

volume-pressione-temperatura-massa…...

DEFINIZIONI

16

Concetto fondamentale: la temperatura. Varia tra 0 e ∞. Alcune proprietà dei corpi sono dipendenti dalla temperatura e possono essere utilizzate per misurarla.

Equilibrio termico. Principio zero della termodinamica: se un corpo A e un corpo B sono in equilibrio termico con un terzo corpo T, allora A e B sono in equilibrio termico tra loro.

Sistema adiabatico. Un sistema è detto adiabatico se è circondato da pareti adiabatiche. Ossia da una parete che posta fra due sistemi NON li porta all’equilibrio termico.

DEFINIZIONI

17

Misura della temperatura

Punto triplo dell’acqua. Scala Kelvin: va da 0 K a ∞, fissando la temperatura del punto triplo dell’acqua a T = 273.16 K e il Kelvin pari a 1/(273.16) della differenza di temperatura tra lo zero assoluto e il punto triplo dell’acqua. Termometro a gas a volume costante: dispositivo di riferimento che usa la pressione come grandezza termometrica. Scala Celsius: Tc = T –273.15°

18

Primo principio della termodinamica

LQE −=Δ

Quando un sistema compie una trasformazione da uno stato i a uno stato f, si osserva sperimentalmente che il calore e il lavoro scambiati dipendono dal percorso.

Si nota però, sempre sperimentalmente, che la quantità Q-L è la stessa qualunque sia il percorso seguito.

Essa deve quindi rappresentare il cambiamento di una proprietà intrinseca del sistema: l’energia interna.

Primo principio della termodinamica: in qualunque trasformazione, la variazione di energia interna è pari alla differenza tra il calore e il lavoro scambiati e non dipende dal percorso ma solo dallo stato iniziale e finale:

19

Segni di calore e lavoro

0>L Lavoro compiuto DAL sistema

0<L Lavoro compiuto dall’ambiente SUL sistema

0>Q Calore assorbito DAL sistema

0<Q Calore ceduto DAL sistema

20

Trasformazioni termodinamiche

0=QTrasformazione adiabatica

Trasformazione reversibile

Una trasformazione è tale se essa avviene attraverso stadi di equilibrio e in assenza di qualunque forza dissipativa

Trasformazione irreversibile

Una trasformazione è tale se essa avviene attraverso stadi di non equilibrio o avvenga in presenza di forze dissipativeo qualora siano presenti entrambe queste condizioni.

21

Gas ideali Un gas è un particolare fluido caratterizzato da non avere forma e volume propri e tale da essere facilmente compresso.

Legge di Boyle

Isoterme del gas ideale.

costante=pVp

V

3T2T1T

123 TTT >>

22

Gas ideali

Legge di Gay Lussac

Isocore del gas ideale.

costante=Tp

p

V

Legge di Gay Lussac

Isobare del gas ideale.

costante=TV

p

V

23

Trasformazioni notevoli

Trasformazione adiabatica LEQ −=Δ⇒= 0Trasformazione isocora

Trasformazione isobara

Trasformazione isoterma

Trasformazione ciclica

QEL =Δ⇒= 0( )

LEQVVpL if

+Δ=⇒

−=

LQE =⇒=Δ 0

LQE =⇒=Δ 0

24

Moli e numero di Avogadro, Gas ideali

Mole: numero di atomi contenuti in 12 g di 12C

Numero di Avogadro: numero di atomi (o molecole) in una mole

Gas reali e gas ideali.

Equazione di stato dei gas ideali.

n = numero di moli del gas

nRTpV =

-123 mol 1002.6 ⋅=AN

R=8.31 J/(mol K) =82.057 (lt atm)/(molK)=2 cal/(molK)

25

Macchine termiche

( ) ( )2121 000

QQWWQUWQQWQU

−=⇒=−=Δ⇒=−−

=−=Δ

Una macchina termica è un dispositivo che trasforma calore in lavoro. Contiene una sostanza che, in maniera ciclica, assorbe una quantità di calore Q1, cede una quantità di calore Q2 e compie un lavoro W.

Rendimento di una macchina termica:

Il funzionamento è ciclico, quindi per il 1° principio 1QW

=η

1

21

QQQ −

=η

26

Macchine termiche

Schema di una generica macchina termica:

Schema di una generica macchina frigorifera:

Rendimento: 1QW

=η Efficienza: WQ2=ζ

27

UN MOTORE TERMICO FA COMPIERE AD UNA MOLE DI GAS IDEALE MONOATOMICO LA SEGUENTE TRASFORMAZIONE: AB ISOCORA (TA=300 K, TB=600K,PA=1 ATM), DI UNA TRASFORMAZIONE ADIABATICA REVERSIBILE BC (TC=455 K) , UNA TRASFORMAZIONE ISOCORA REVERSIBILE CA. CALCOLARE TUTTE LE COORDINATE TERMODINAMICHE, I LAVORI E I CALORI SCAMBIATI NELLE SINGOLE TRASFORMAZIONI E NELL’INTERO CICLO.

TRACCIA

28

SOLUZIONE

DISEGNAMO LE SINGOLE TRASFORMAZIONI NEL PIANO DI CLAPEYRON

V

p

C

A

B

29

SOLUZIONE PER OGNI TRASFORMAZIONE DEVO CALCOLARE LAVORO CALORE E VARIAZIONE DI ENERGIA. PER FAR QUESTO PER OGNI TRASFORMAZIONE DEVO CONOSCERE TUTTE LE COORDINATE TERMODINAMICHE (p,V,T) DELLO STATO FINALE ED INIZIALE

TRASFORMAZIONE AB ISOCORA

A(pA =1atm,VA = ?,TA = 300K )B(pB = ?,VB = ?,TB = 600K )

35 025.0

10300314.8 m

pnRTVnRTVp

A

AAAAA ≅

⋅==⇒=

IN B NON CONOSCO PRESSIONE E VOLUME,MENTRE IN A DALL’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI RICAVO L’UNICA INCOGNITA IL VOLUME

COSA SO E COSA DEVO DETERMINARE

30

SOLUZIONE PER LO STADIO B L’UNICA INCOGNITA E’ LA PRESSIONE, DATO CHE IL VOLUME RESTA COSTANTE, CHE POTREI RICAVARE DALL’EQUAZIONE DI STATO MA E’ PIU’ SEMPLICE UTILIZZARE LE EQUAZIONI DI Gay Lussac

B

B

A

A

Tp

Tp

Tp

=⇒= costante

PaKKPa

TTppA

BAB

55 10230060010 ⋅=⋅==

)600,025.0,102(

)300,025.0,10(35

35

KTmVPapBKTmVPapA

BBB

AAA

==⋅=

===

31

ABABAB QEL =Δ⇒= 0SOLUZIONE

TRASFORMAZIONE AB ISOCORA

( ) ( ) JTTRnTncQE ABVABAB 3741300600314.823

23

≅−⋅⋅=−⋅=Δ==Δ

32

TRASFORMAZIONE BC ADIABATICA

SOLUZIONE

)455?,?,()600,025.0,102( 35

KTVpCKTmVPapB

CCC

BBB

===

==⋅=

DEL PUNTO C CONOSCO SOLO LA TEMPERATURA MA POICHE’ SO CHE L’ULTIMA TRASFORMAZIONE SARA’ A PRESSIONE COSTANTE L’UNICA INCOGNITA E’ IL VOLUME CHE COME SEMPRE RICAVO DALL’EQUAZIONE DI STATO

35 038.0

10455314.8 m

pnRTVnRTVp

A

CCCCC ≅

⋅==⇒=

)455,038.0,10(

)600,025.0,102(35

35

KTmVPapCKTmVPapB

CCC

BBB

===

==⋅=

33

TRASFORMAZIONE AB ADIABATICA

SOLUZIONE

BCBCBC LEQ −=Δ⇒= 0

( ) ( )

JEL

JKKJTTRnTncE

BCBC

BCVBC

1808

1808600455314.823

23

=Δ−=

−=−⋅=−⋅=Δ=Δ

34

SOLUZIONE TRASFORMAZIONE CA ISOBARA

PER L’ULTIMA TRASFORMAZIONE, NEI PASSI PRECEDENTI, HO GIA TROVATO TUTTI I VALORI PER LE COORDINATE TERMODINAMICHE

)300,025.0,10(

)455,037.0,10(35

35

KTmVPappAKTmVPappC

AADA

CCAC

====

====

35

SOLUZIONE TRASFORMAZIONE CA ISOBARA

( )

( )

( ) JTTRnTncQ

JTTnRTnRL

JTTRnTncE

CAPCA

CACA

CAVCA

322125

1288

193323

−≅−=Δ=

−≅−=Δ=

−≅−=Δ=Δ

36

SOLUZIONE CICLO

JJJQQQQJJJLLLL

JJJEEEE

CABCABCICLO

CABCABCICLO

CABCABCICLO

520322103741520128818080

0193318083741

=−+≅++=

=−+≅++=

=−−≅Δ+Δ+Δ=Δ

14.03741520

≅==JJ

QL

ASS

cicloη

37

n = 3 moli di un gas biatomico ideale sono soggette al seguente ciclo: una trasformazione adiabatica reversibile AB (TA = 400 K, VA = 0.5 m3, VB = 0.8 m3), di una trasformazione isocora reversibile BC (pC=0.9·104 Pa), una trasformazione isoterma reversibile CD e di una trasformazione isobara reversibile DA. Calcolare tutte le coordinate termodinamiche, I lavori ed I calori scambiati nelle singole trasformazioni e nell’intero ciclo.

TRACCIA

38

SOLUZIONE

DOPO AVER LETTO ATTENTAMENTE LA TRACCIA, DISEGNAMO LE SINGOLE TRASFORMAZIONI NEL PIANO DI CLAPEYRON

V

p

A

B

C

D

39

SOLUZIONE PER OGNI TRASFORMAZIONE DEVO CALCOLARE LAVORO CALORE E VARIAZIONE DI ENERGIA. PER FAR QUESTO PER OGNI TRASFORMAZIONE DEVO CONOSCERE TUTTE LE COORDINATE TERMODINAMICHE (p,V,T) DELLO STATO FINALE ED INIZIALE

TRASFORMAZIONE AB ADIABATICA

?),8.0?,(

)400,5.0?,(3

3

===

===

BBB

AAA

TmVpBKTmVpA

PaVnRTpnRTVp

A

AAAAA

41025.0400314.83

⋅≅⋅⋅

==⇒=

DALL’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI RICAVO L’UNICA INCOGNITA DELLO STATO A

COSA SO E COSA DEVO DETERMINARE

40

TRASFORMAZIONE AB ADIABATICA

SOLUZIONE

RICORDIAMO CHE PER UN GAS BIATOMICO:

4.157

2527

====R

R

cc

v

pγ

γγBBAA VpVp =

IN QUESTA EQUAZIONE L’UNICA INCOGNITA E’ pB

PaPaVVp

VVpp

B

AA

B

AAB

44.1

4 1003.18.05.0102 ⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

γ

γ

γ

41

?),8.0,1003.1(

)400,5.0,102(34

34

==⋅=

==⋅=

BBB

AAA

TmVPapBKTmVPapA

DALL’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI RICAVO L’UNICA INCOGNITA DELLO STATO B

KnRVpTnRTVp BB

BBBB 331314.83

8.01003.1 4

≅⋅

⋅⋅==⇒=

)331,8.0,1003.1(

)400,5.0,102(34

34

KTmVPapBKTmVPapA

BBB

AAA

==⋅=

==⋅=

A QUESTO PUNTO CONOSCO TUTTE LE GRANDEZZE TERMODINAMICHE DEGLI STADI A E B

42

TRASFORMAZIONE AB ADIABATICA

SOLUZIONE

ABABAB LEQ −=Δ⇒= 0

( ) ( )

JEL

JKKJTTRnTncE

ABAB

ABVAB

5.4302

4305400331314.8253

25

=Δ−=

−=−⋅⋅=−⋅=Δ=Δ

43

SOLUZIONE TRASFORMAZIONE BC ISOCORA

?)?,,109.0(

)331,8.0,1003.1(4

34

==⋅=

==⋅=

CCC

BBB

TVPapCKTmVPapB

OSSERVO CHE SE LA TRASFORMAZIONE BC AVVIENE A VOLUME COSTANTE DELLE VARIABILI TERMODINAMICHE AL PUNTO C NON CONOSCO SOLO LA TEMPERATURA CHE POSSO RICAVARE CON L’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI

KnRVpTnRTVp CC

CCCC 289314.83

8.0109.0 4

≅⋅

⋅⋅==⇒=

)289,8.0,109.0(

)331,8.0,1003.1(34

34

KTmVPapCKTmVPapB

CCC

BBB

==⋅=

==⋅=

44

BCBCBC QEL =Δ⇒= 0SOLUZIONE

TRASFORMAZIONE BC ISOCORA

( ) ( ) JTTRnTncQE BCVBCBC 9.2618331289314.8253

25

−=−⋅⋅⋅=−⋅=Δ==Δ

45

SOLUZIONE TRASFORMAZIONE CD ISOTERMA

OSSERVO CHE SE LA TRASFORMAZIONE CD AVVIENE A TEMPERATURA COSTANTE DELLE VARIABILI TERMODINAMICHE AL PUNTO D CONOSCO SOLO LA TEMPERATURA. INOLTRE, POICHE’ LA TRASFORMAZIONE FINALE CHE MI RIPORTERA’ IN A SARA’ A PRESSIONE COSTANTE LA PRESSIONE IN D SARA’ LA STESSA CHE IN A, QUINDI L’UNICA INCOGNITA E’ IL VOLUME CHE POSSO RICAVARE DALL’EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI

34 36.0

102289314.83 m

pnRTVnRTVp

D

DDDDD =

⋅

⋅⋅==⇒=

?)?,?,()289,8.0,109.0( 34

===

==⋅=

DDD

CCC

TVpDKTmVPapC

)289,36.0,102(

)289,8.0,109.0(34

34

KTmVPappDKTmVPapC

DDDD

CCC

==⋅==

==⋅=

46

CDCDCD LQE =⇒=Δ 0

SOLUZIONE TRASFORMAZIONE CD ISOTERMA

JVVnRTLQC

DCDCDCD 5733

8.036.0ln289314.83ln −=⋅⋅⋅===

47

SOLUZIONE TRASFORMAZIONE DA ISOBARA

PER L’ULTIMA TRASFORMAZIONE, NEI PASSI PRECEDENTI, HO GIA’TROVATO TUTTI I VALORI PER LE COORDINATE TERMODINAMICHE

)400,5.0,102(

)289,36.0,102(34

34

KTmVPappAKTmVPappD

AADA

DDDD

==⋅==

==⋅==

48

SOLUZIONE TRASFORMAZIONE DA ISOBARA

( )

( )

( ) JTTRnTncQ

JTTnRTnRL

JTTRnTncE

DAPDA

DADA

DAVDA

969127

6.2768

4.692125

≅−=Δ=

≅−=Δ=

≅−=Δ=Δ

49

SOLUZIONE CICLO

1.1339969157339.261801.13396.2769573305.430204.69219.26185.4302

=+−−≅+++=

=+−+≅+++=

=+−−≅Δ+Δ+Δ+Δ=Δ

JJJQQQQQJJJJLLLLL

JJJEEEEE

DACDBCABCICLO

DACDBCABCICLO

DACDBCABCICLO

( )1.0

96919.26181339

≅+

==J

JQL

ASS

cicloη