Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols

2

Definizione (1/2)

Il diagramma di Nichols (DdNic) di una fdt consiste nella rappresentazione grafica di sul piano cartesiano

),0(per ,e)(M)j(G)s(G )(jjs

∞∈ωω=ω= ωϕω=

dBgradiM⊗ϕ

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Definizione (2/2)

Nel DdNic la variabile indipendente ω diventa la coordinata curvilinea (un punto sul piano ϕ⊗M per ciascun valore di ω) Per ovvi motivi i valori dell’ascissa possono essere limitati (ma non è obbligatorio) tra −180° e +180° oppure tra 0° e +360° oppure tra −360° e 0°; nel prosieguo si opterà preferibilmente per l’intervallo −360°÷ 0°

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Esempio (1/2)

)4s)(2s(s)1s(10)s(G 2 ++

+=

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -100

-50

0

50

100

Fase ( ° )

Mod

ulo

(dB

)

5

Esempio in Matlab

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Lettura di mG sul DdNic

Il margine di guadagno può essere letto anche sul diagramma di Nichols di Ga(jω), osservando che il punto A corrisponde all’intersezione del diagramma con l’asse verticale a fase -180o

ωπ

ni,a = 0

∞→R

A0

1/mG

-270 -225 -180 -135 -90 -120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40 Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB)

mG,dB

7

Lettura di mϕ sul DdNic

Il margine di fase può essere letto anche sul diagramma di Nichols di Ga(jω), osservando che il punto C corrisponde all’intersezione del diagramma con l’asse orizzontale a 0 dB

-270 -225 -180 -135 -90 -120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40 Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB)

mϕ

ni,a = 0

∞→R

0

R 1=

C

mϕ

ωc

Margini di stabilità

9

La carta di Nichols (1/2)

I luoghi a M (modulo) costante e a N (fase) costante possono essere tracciati anche sul piano di Nichols: il loro insieme costituisce la carta di Nichols

0 90 180 270 360 -20

-10

0

10

20

30

40

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

Generata in Matlab con il comando: ngrid(‘new’)

10

La carta di Nichols (2/2)

Sovrapponendo alla carta di Nichols il diagramma di Nichols della funzione d’anello Ga(jω), è possibile ricavare il valore di modulo e fase di Wy(jω) per ogni ω Sono di particolare interesse i luoghi a modulo costante, poiché permettono di trovare un legame fra Mr e mϕ e fra Mr e mG

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I luoghi a M costante sul piano di Nichols

-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

M = -3dB M = 3dB M = 0

12

Legame fra Mr e mϕ (1/3)

-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Ga

M < Mr,lim DdNic di Ga esterno alla curva Mr,lim ⇒

1 dB 2 dB

3 dB

2 dB < Mr < 3 dB

Mr,lim

13

Legame fra Mr e mϕ (2/3)

-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Ga

M < Mr,lim mϕ > mϕ,lim ⇒

mϕ,lim

mϕ

Mr,lim

14

Legame fra Mr e mϕ (3/3)

La condizione che il diagramma di Nichols di Ga(jω) risulti esterno alla curva M = Mr,lim è necessaria e sufficiente a garantire Mr < Mr,lim La condizione mϕ > mϕ,lim (ove mϕ,lim è il margine di fase letto in corrispondenza della curva M = Mr,lim) è necessaria ma non sufficiente per garantire Mr < Mr,lim Se il DdNic di Ga (jω) interseca la curva M = Mr,lim a pulsazioni inferiori alla ωc (alla quale viene letto mϕ), la Wy(jω) presenta Mr > Mr,lim anche quando mϕ > mϕ,lim

15

Un esempio (1/3) 2

2 2

2(s 5)(s 12) (1 0.07s)F(s) ; C(s) 100

s(s 4)(s 7.2s 16) (1 0.0175s)+ + +

= =+ + + +

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Mag

nitu

de (

dB)

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 -180

-135

-90

Pha

se (d

eg)

Frequency (rad/sec)

Si vorrebbe ottenere in catena chiusa: Mr < 2 dB

DdB della fdt d’anello:

Ga(s) = C(s)F(s) om 64ϕ ≅

16

Un esempio (2/3) 2

2 2

2(s 5)(s 12) (1 0.07s)F(s) ; C(s) 100

s(s 4)(s 7.2s 16) (1 0.0175s)+ + +

= =+ + + +

Nonostante ciò, il DdNic di Ga(jω) interseca la curva M = 2 dB

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 -20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

2 dB

mϕ soddisfa la condizione necessaria per avere Mr < 2 dB:

mϕ > 48o

mϕ,lim = 48o

mϕ

Ga

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Un esempio (3/3) 2

2 2

2(s 5)(s 12) (1 0.07s)F(s) ; C(s) 100

s(s 4)(s 7.2s 16) (1 0.0175s)+ + +

= =+ + + +

Il picco di risonanza della fdt in catena chiusa è superiore a 2 dB

10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 -180

-135

-90

-45

0

Pha

se (d

eg)

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Mr = 2.23 dB

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Legame fra Mr e mG (1/4)

-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Ga

M < Mr,lim DdNic di Ga esterno alla curva Mr,lim ⇒

Mr,lim

19

Legame fra Mr e mG (2/4)

-360 -345 -330 -315 -300 -285 -270 -255 -240 -225 -210 -195 -180 -165 -150 -135 -120 -105 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 -25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Mr,lim

Ga

M < Mr,lim mG > mG,lim ⇒

mG,lim

mG

20

Legame fra Mr e mG (3/4)

La condizione mG > mG,lim (ove mG,lim è il margine di guadagno letto in corrispondenza della curva M = Mr,lim) è necessaria ma non sufficiente per garantire Mr < Mr,lim Se il DdNic di Ga (jω) interseca la curva M = Mr,lim a pulsazioni inferiori alla ωπ (alla quale viene letto mG), la Wy(jω) presenta Mr > Mr,lim anche quando mG > mG,lim

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Legame fra Mr e mG (4/4)

Poiché mG,lim risulta contenuto anche per piccoli valori di Mr,lim, il soddisfacimento di mG > mG,lim risulta spesso insufficiente a garantire Mr < Mr,lim Nell’esempio precedente il margine di guadagno era infinito e quindi superiore a qualunque mG,lim considerato, indipendentemente dall’effettivo picco di risonanza N.B.: Nella pratica dinamiche di alta frequenza trascurate nel modello e vincoli tecnologici impediscono al margine di guadagno di essere infinito

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Relazioni numeriche fra margini e Mr

I legami fra picco di risonanza e margini di stabilità ricavati dalla carta di Nichols possono essere espressi numericamente come:

( ) ( )( ) ( )

2r,lim r,lim

,lim G,lim2r,limr,lim

o,lim r,lim dBgradi

G,lim r,limdB dB

4M 1 Mm arctan , m

M 12M 1

m 60 5 M

m 6 0.4 M

ϕ

ϕ

− = = +−

≅ −

≅ −

Approssimazioni valide per

0dB < Mr,lim<6dB

con mϕ,lim in rad, Mr,lim e mG,lim in unità naturali

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Osservazioni conclusive

La condizione Mr < Mr,lim, se rispettata, garantisce una buona robustezza della stabilità, con soddisfacenti margini di fase e di guadagno (rispettivamente pari almeno a mϕ,lim e mG,lim) Le condizioni mϕ > mϕ,lim e mG > mG,lim non garantiscono con assoluta certezza che il picco di risonanza risulti inferiore a Mr,lim, anche se il suo valore è comunque contenuto in presenza di buoni margini di stabilità