Dipolo elettricoC a p i t o l o 4

Se un sistema possiede carica complessiva nulla può generare nello spazio campi elettrici?

La risposta è affermativa: basta che esso sia localmente carico

Esempio: una molecola di acqua

Quale sarà il caso più semplice?

Dipolo Elettrico

Φ r( ) = 14πε0

q1

x2 + y2 + (z − d)2−

1x2 + y2 + (z + d)2

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

Caso particolare:

R >> 2d

possiamo sviluppare in serie l’espressione per il potenziale

x2 + y2 + (z ± d)2 = R2 ± 2zd + d 2 R2 ± 2zd = R2 ⋅ 1± 2zdR2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Φ r( ) 14πε0

q1

R 1− 2zdR2

−1

R 1+ 2zdR2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

1+ x( )−1/2 1− x2Ricordando che:

Φ r( ) 14πε0

qR

1+ zdR2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 1− zd

R2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

14πε0

q2zdR3

Φ r( ) 14πε0

2dq zR3

Non ha simmetria sferica

Dipende dall’inverso del quadrato della distanza

Solo il prodotto “2dq” può essere sperimentalmente determinato mantenendosi a

grande distanza

Se l’unico parametro caratterizzante il sistema estraibile da misure è “2dq” , occorre introdurlo esplicitamente

p = 2dq

Φ r( ) 14πε0

pzR3

Momento dipolare

In coordinate sferiche:

Φ r( ) 14πε0

pcos θ( )R2

Riflette la simmetria del sistema di cariche

All’aumentare della distanza diviene rapidamente indistinguibile da un

oggetto neutro

Lineare in “d” in quanto per ‘d’ tendente a zero

otterremmo un oggetto neutro

Lineare in “q” per l’additività dei potenziali

Se fossimo obbligati a restare a grande distanza non verrebbe in mente l’introduzione di “cariche” e distanze”, se restassimo sempre

a piccola distanza quanto sopra sarebbe semplicemente errato

Si è ricavata l’espressione del potenziale scegliendo un opportuno sistema di coordinate, scelto in modo che i calcoli siano semplici.

Quale sarà l’espressione in un generico sistema di coordinate?

Invece di fare esplicitamente il calcolo, ragioniamo come segue

• In un determinato punto dello spazio il valore del potenziale non dipende dal sistema di coordinate usato per ricavarlo

• È una quantità scalare

• Vedere se è possibile riscrivere l’espressione trovata per il potenziale in termini di grandezze definibili indipendentemente dal particolare sistema di coordinate scelto

Un esempio: il prodotto scalare di due vettori

A ⋅B = AxBx + AyBy + AzBz

A ⋅B =

A ⋅B ⋅ cos θ( )

Abbiamo bisogno di scegliere un sistema di coordinate

Non abbiamo bisogno di un sistema di coordinate; basta una riga ed un goniometro

Nel primo caso, scegliendo un opportuno sistema di coordinate, l’espressione si può

semplificare

A ⋅B = AxBx + 0 ⋅ By + 0 ⋅ Bz = AxBx

Invertiamo il ragionamento:

Se, in un dato sistema di coordinate, ho una espressione del tipo

posso domandarmi se sia l’espressione di un prodotto scalare in quel particolare sistema di coordinate

Se è vero, posso sostituirla con: s = a ⋅

b ⋅ cos θ( )

ottenendo così una espressione valida in qualsiasi sistema di coordinate

ax ⋅bx = sil cui risultato so essere indipendente dalla scelta del sistema di coordinate,

Φ r( ) 14πε0

pcos θ( )R2

R : modulo vettore posizione del punto

Distanza tra il punto centrale del dipolo ed il punto dello

spazio

Il coseno compare nei prodotti scalari

Dovremo identificare due grandezze vettoriali formati tra loro un angolo pari a θ

La prima è il vettore che porta dal centro del dipolo al punto

Per la seconda notiamo che

è il prodotto tra una quantità scalare “q” ed una distanza “2d”, che è il modulo di un vettore.

p = 2dq

Sorge quindi immediata l’attribuzione di un carattere vettoriale al momento dipolare

p = qD localizzato nel punto di

mezzo tra le cariche

D : distanza tra le cariche

q : valore assoluto della carica di una delle particelle

Φ r( ) 14πε0

p ⋅R

R3=

14πε0

p ⋅ eRR2

Per essere valutata non ha bisogno di un particolare sistema di coordinate: quindi è valida in generale

Campo elettrico di un dipolo

Ex =p

4πε0

3zxR5

=p

4πε0

3cos θ( )sin θ( )cos φ( )R3

Ey =p

4πε0

3zyR5

=p

4πε0

3cos θ( )sin θ( )sin φ( )R3

Ez =p

4πε0

3z2 − R2

R5=

p4πε0

3cos θ( )2 −1R3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

E = −

∇Φ r( ) = −

14πε0

p ⋅∇

z

x2 + y2 + z2( )3/2

Come è diretto il campo?

Ex =p

4πε0

3zxR5

=p

4πε0

3cos θ( )sin θ( )cos φ( )R3

Ey =p

4πε0

3zyR5

=p

4πε0

3cos θ( )sin θ( )sin φ( )R3

Ez =p

4πε0

3z2 − R2

R5=

p4πε0

3cos θ( )2 −1R3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

Ex

i + Ey

j =

p4πε0

3cos θ( )sin θ( )R3

cos φ( )i + sin φ( )

j( ) = p

4πε0

3cos θ( )sin θ( )R3

ζ

Ez

k =

p4πε0

3cos θ( )2 −1R3

k

Come è diretto?

zz

Quindi il campo giace nel piano definito dal dipolo e dal

punto considerato

Si poteva prevedere che il campo non ha componente perpendicolare al piano?

Φ r( ) 14πε0

pcos θ( )R2

Analogamente a quanto fatto per il potenziale, svincoliamoci dal sistema di coordinate

Ez

k =

p4πε0

3cos θ( )2 −1R3

k

Eζ

ζ =

p4πε0

3cos θ( )sin θ( )R3

ζ

Scriveremo

E = Eζ

ζ + Ez

k =

p4πε0

3cos θ( )sin θ( )R3

ζ +

p4πε0

3cos θ( )2 −1R3

k =

=p

4πε0

1R3

3cos θ( ) sin θ( )ζ + cos θ( )

k⎡⎣ ⎤⎦ −

k( ) zz

E =

p4πε0

1R3

3cos θ( ) eR −k( ) = 1

4πε0

3 p ⋅ eR( ) eR − pR3

Se il sistema è composto da numerose cariche?

Φ r( ) = 14πε0

qirii

∑

distanza della generica carica dal punto in considerazione

Se il punto “p” è lontano dalle cariche, posso scrivere una espressione approssimata per le distanze ri

ri r −

di ⋅er

Φ r( ) 14πε0

dqir −di ⋅eri

∑i

14πε0

dqiri

∑ 1+di ⋅err

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Ottenendo:

e, quindi

Potenziale di una carica pari alla carica totale del sistema , posta nell’origine

Potenziale dipolare equivalente a quello di un dipolo posto nell’origine

Cosa accade se scelgo un diverso punto per origine?

Qtot non cambia, “r” cambia Il valore del primo dei due

termini cambia

Dato che il potenziale è uno scalare, occorre che la variazione del primo termine sia compensata da una variazione uguale ed

opposta del secondo

Φ r( ) 14πε0

Qtot

r+

14πε0

dqidi

i∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ er

r2+…

In generale quindi:

dipende dalla scelta del sistema di coordinate

dqidi

i∑

Vi è una eccezione, quando la carica totale è nulla

di =a +di'

dqidi

i∑ = dqi

a +di'( )

i∑ = aQtot + dqi

di'

i∑

Se la carica totale è nulla:

p = dqidi

i∑

caratteristico della distribuzione

Il campo dipolare è sempre una approssimazione di quello reale?

Esiste una situazione in cui il campo è esattamente dipolare?

σ θ,φ( ) = σ 0 cos θ( )Valutare il campo elettrico

All’estero della sfera

All’interno della sfera

Per evitare calcoli veramente complessi, domandiamoci:

La distribuzione di carica data può essere ottenuta tramite somma di semplici distribuzioni di carica

Se compenetro due nubi di carica a forma sferica e di identico raggio cosa ottengo?

R − dh( )2 = R2 + δ 2 − 2δRcos θ( )dh = δ cos θ( )da cui:

σ = ρdh = ρδ cos θ( ) = σ 0 cos θ( )

Il campo all’esterno

Somma dei campi di due distribuzioni sferiche, ciascuno dei quali identico a quello di una carica puntiforme localizzata nel

centro della distribuzioneI due centri sono a distanza “δ” che è molto minore di R, per cui il campo

esterno ha andamento dipolare

Φ r( ) = 14πε0

pcos θ( )r2

=14πε0

δρ 43πR3

cos θ( )r2

δρ = σ 0

Φ r( ) = 13πε0

σ 0πR3 cos θ( )

r2

p =43σ 0πR

3

Il campo all’interno

E r( ) = 1

3ε0ρ r ⋅ er

All’interno di una sfera uniformemente carica:

E r( ) = 1

3ε0ρ ⋅ r+ −

r−( ) = −13ε0

ρ ⋅δ

E r( ) = 1

3ε0ρ r+ −

13ε0

ρ r− =13ε0

ρ ⋅ r+ −r−( )

E r( ) = −

14πε0

1R3p

Quando il momento di dipolare è nullo?

p = dqidi

i∑ = 0

Φ r( ) = 14πε0

Qr+p ⋅ rr3

+12

qi, jxix jr5

+…i, j∑

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

p = r ⋅ ρ r( )V∫ ⋅dv

qi, j = 3xix j − r2δ i, j( )

V∫ ρ r( )dv

momento quadrupolare

Interazione di un dipolo con un campo esterno

F = q

E +q( ) − q

E −q( ) = q

E +q( ) −

E −q( )( )

E +q( ) −

E −q( ) = ∂Ei

∂x j

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ −q( )

δx jj∑

Nel caso più semplice:

F =

∂Ei

∂x j

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ −q( )

pjj∑

F =∂E∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟p

Forza diretta verso la zona ove il campo è più intensoSe “p” è diretto come il campo:

Se il dipolo non è diretto come il campo

Momento di forza

τ =δ × q

E = p ×

E

Energia di un dipolo

U = q ⋅Φ +q( ) − q ⋅Φ −q( ) = q

δ ⋅∇Φ( )

−q( )

U = − p ⋅

E