ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE (NEL VUOTO)

Abbiamo già descritto la propagazione di onde e. m. nelle linee di trasmissione

C

L

C

L

C

L

C

L

C

L

C

LV(t)

I(t)

trovando che la velocità di propagazione nel vuoto è

smcCx

Lxcw 100.31 8

00

×===∆∆

=µε

Linea bifilare

EB

Cavo coassiale

E B

L’energia è trasportata dai campi E e B

La densità di potenza (W/m2) è espressa dal vettore di Poynting definito da

Il vettore di Poynting è perpendicolare sia ad E e sia a Btanto per la linea bifilare che per il cavo coassiale, E e B sono sempre tra loro perpendicolari e perpendicolari alla direzione della lineaIl vettore di Poynting è diretto nella direzione e nelverso di propagazione dell’onda

µ= × = ×

BS E H E

Ricaviamo l’equazione delle onde per le onde e. m. direttamente dalle equazioni di Maxwell:

Le equazioni di Maxwell possono essere scritte facendo comparire gli integrali dei vettori del campo elettromagnetico oppure le derivate. Nel vuoto possono essere scritte:

in forma integrale

∫∫

∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

Σ

Σ

Σ

Σ

Σ

=⋅

=⋅

⋅+=⋅

⋅−=⋅

(4) 0

)3(

)2(

)1(

0

00

SdB

qSdE

SdEdtdildB

SdBdtdldE

rr

rr

rrrr

rrrr

ε

εµγ

γ

γ

γ

Dove Σγ è una superficie avente come contorno la linea chiusa γ e qΣ è la carica interna alla superficie chiusa Σ.

Le equazioni di Maxwell possono essere scritte in forma differenziale usando i seguenti due teoremi del calcolo vettoriale:

1. teorema della divergenza

2. teorema di Stokes

Applicando questi due teoremi alle equazioni integrali di Maxwell, si ottiene:

)( ττ

dFSdFrrr

∫∫ ∫∫∫Σ Σ

⋅∇=⋅

)( ∫∫∫ Σ⋅×∇=⋅

γγSdFldFrrrr

)1.4( 0

)1.3(

)1.2( )(

)1.1(

0

00

=⋅∇

=⋅∇

∂∂

+=×∇

∂∂

−=×∇

B

E

tEjB

tBE

r

r

rr

rr

ερ

εµ

kz

jy

ix

ˆˆˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r

Operatore “nabla” o “del”

Proprietà:

• è scritto come un vettore

• opera come un vettore

• ma non è un vettore. Da solo è privo di senso. È un operatore, deve essere applicato

Come lavora:

Può agire su funzioni vettoriali e scalari

• azione su una funzione scalare � gradiente � (vettore)

• azione su una funzione vettoriale mediante prodotto scalare �divergenza � (vettore)

• azione su una funzione vettoriale mediante prodotto vettoriale �rotore � (vettore)

f∇r

vrr

⋅∇

vrr

×∇

Divergenza

Data una funzione vettoriale ),,( zyxvr

kvjvivzyxv zyxˆˆˆ),,( ++≡

r

zv

yv

xvv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇rr

Definiamo la divergenza di come),,( zyxvr

Osservazioni:

è uno scalare

è una misura di come il campo vettoriale “fuoriesce” (diverge) da un punto. La divergenza di un campo vettoriale in un punto è il flusso uscente netto del campo vettoriale da un elemento di volume unitario centrato sul punto quando si fa tendere a zero il volume

Se ovunque � CAMPO SINUSOIDALE

ττ

τ ∆

⋅

=⋅∇∫∫Σ

→∆

Sdvv

rr

rr

0lim

0=⋅∇ vrr

Divergenza: interpretazione

kzjyixzyxv ˆˆˆ),,( ++=r kzyxv ˆ),,( =

r kzjyixzyxv ˆˆˆ),,( −−−=r

)( 3 pozzov −=⋅∇rr

)( 3 sorgentev =⋅∇rr

0=⋅∇ vrr

Rotore

Data una funzione vettoriale ),,( zyxvr

kvjvivzyxv zyxˆˆˆ),,( ++≡

r

Definiamo il rotore di come),,( zyxvr

zyx vvvzyx

kji

v∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

ˆˆˆrr

Osservazioni:

è un vettore

è una misura di quanto il campo vettoriale “ruota” attorno al punto considerato.

Rotore

circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa γγ

Interpretazione fisica:lavoro compiuto muovendo un punto lungo il percorso γcontro la forza vr∫ ⋅

γlrr dv

nS

dvv

Sˆlim

0 ∆

⋅=×∇

∫→∆

γlrr

rr

0=×∇ vse ovunque � CAMPO CONSERVATIVOrr

Rotore: interpretazione

k

xyzyx

kji

v

jxiyyxv

ˆ2

0

ˆˆˆ

ˆˆ),(

=

−∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

+−=

rr

r

Campo vettoriale con rotore zero e divergenza diversa da zero e costante

2=⋅∇ vrr

jyixyxv ˆˆ),( +=r

Campo vettoriale con divergenza zero e rotore diverso da zero e costante

kv ˆ2=×∇rr

jxiyyxv ˆˆ),( +−=r

Campo vettoriale con divergenza e rotore diversi da zero, costanti

kv

vˆ2

2

=×∇

=⋅∇rr

rr

jyxiyxyxv ˆ)(ˆ)(),( ++−=r

Campo vettoriale con divergenza non costante e rotore costante, entrambi diversi da zero.

kv

yxvˆ2

)(2

=×∇

+=⋅∇rr

rr

jyxiyxyxv ˆ)(ˆ)(),( 22 ++−=r

Nello spazio privo di cariche ( e di correnti) le equazioni di Maxwell diventano:

)3.4( 0

)3.3( 0

)3.2(

)3.1(

00

=⋅∇

=⋅∇∂∂

=×∇

∂∂

−=×∇

B

EtEB

tBE

r

r

rr

rr

εµ

ZE

yE

xEE

EEEzyx

kji

E

zyx

zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

r

rrr

r

∫∫∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫∫

Σ

Σ

Σ

Σ

=⋅

=⋅

⋅=⋅

⋅−=⋅

(4.2) 0

)2.3( 0

)2.2(

)2.1(

00

SdB

SdE

SdEdtdldB

SdBdtdldE

rr

rr

rrrr

rrrr

γ

γ

γ

γ

εµ

Le equazioni, a parte un fattore scalare, sono simmetriche rispetto ad E e B

Campi magnetici dipendenti dal tempo generano campi elettrici; campi elettrici dipendenti dal tempi generano campi magnetici

0

0

)(

)(

)(

)(

)(

)(

00

00

00

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂∂

=∂

∂−

∂

∂∂

∂=

∂∂

−∂

∂

∂∂

=∂

∂−

∂∂

∂∂

−=∂

∂−

∂

∂∂

∂−=

∂∂

−∂

∂

∂∂

−=∂

∂−

∂∂

zB

yB

xB

zE

yE

xE

iiit

Ey

Bx

B

iit

Ex

Bz

B

it

Ez

By

B

iiit

By

Ex

E

iit

Bx

Ez

E

it

Bz

Ey

E

zyx

zyx

zxy

yzx

xyz

zxy

yzx

xyz

εµ

εµ

εµ

conseguenze

Ricaviamo l’equazione delle onde:Applichiamo l’operatore rotore ad ambo i membri dell’equazione 1.3

)3.1( tBE

∂∂

−=×∇r

r

tBB

tEE

tESHR

EEESHL

Bt

E

Eq

Eq

2

2

002

2

2

002

2

2

00)2.3.(

2)3.3.(2

2.3 dalla partendo te,analogamen ed

ottiene si

..

)(..

)()(

∂∂

=∇

∂∂

=∇

∂∂

− →

−∇ →∇−⋅∇∇=

×∇∂∂

−=×∇×∇

rr

rr

r

rrr

rr

εµ

εµ

εµ

Il Laplaciano, , opera su ogni componente di e , così che alle due equazionivettoriali corrispondono 6 equazioni scalari. Una di queste espressioni, in coordinate Cartesiane, è

2∇ Er

Br

2

2

002

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE xxxx

∂∂

=∂

∂+

∂∂

+∂

∂ µε

Ogni componente del campo elettromagnetico ( ) obbediscequindi all’equazione differenziale scalare zyxzyx BBBEEE ,,,,,

2

2

22

2

2

2

2

2 1tczyx w ∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂ ψψψψ

con

00

1µε

=wc

Consideriamo un’onda piana che si propaga in direzione x

y

xz (out)

1 m

B (out)

E in funzione di x

E (x) E (x+∆x)

x x+∆x

Applichiamo la legge di Faraday al rettangolo

• il flusso è

• la circuitazione di E è

• e di conseguenza

∂∂

∆−=∂Φ∂

−

⋅∆=Φ

tBx

t

xxB

B

zB 1)(

x

y

z

λ

E0sinkx

B0sinkx

c,S

xEx

xExxEdlE

∂∂

∆≅

⋅−⋅∆+=⋅∫

1)(1)(

tB

xE

∂∂

=∂∂

−

z

xy (out)

1 m

E (out)

B in funzione di x

B (x) B (x+∆x)

x x+∆xAnalogamente, applicando l’equazione di Ampère-Maxwell:

1)( ⋅∆=Φ xxEyE

tEx

t

xxBxBdlB

E

∂∂

∆≅∂Φ∂

=

⋅∆+−⋅=⋅∫0000

1)(1)(

µεµε

tE

xB

∂∂

=∂∂

− 00µε

2

2

002

2 1xE

tE

∂∂

=∂∂

µε2

2

00

22

2

2

e tE

xtB

txB

xE

∂∂

=∂∂

∂−

∂∂∂

=∂∂

− µε

2

2

002

2 1xB

tB

∂∂

=∂∂

µε

Nel caso di onda piana, che si propaga lungo x:

0

0

)(

)(

)(

)(

)(

)(

00

00

00

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂∂

=∂

∂−

∂

∂∂

∂=

∂∂

−∂

∂

∂∂

=∂

∂−

∂∂

∂∂

−=∂

∂−

∂

∂∂

∂−=

∂∂

−∂

∂

∂∂

−=∂

∂−

∂∂

zB

yB

xB

zE

yE

xE

iiit

Ey

Bx

B

iit

Ex

Bz

B

it

Ez

ByB

iiit

By

Ex

E

iit

Bx

Ez

E

it

Bz

Ey

E

zyx

zyx

zxy

yzx

xyz

zxy

yzx

xyz

εµ

εµ

εµ Sono nulle tutte le derivate parziali rispetto ad y e z

0

0

1

1

0

0

00

00

=∂

∂

=∂

∂∂

∂=

∂∂

∂∂

−=∂

∂

=∂

∂∂

∂−=

∂∂

∂∂

=∂

∂

=∂

∂

xBx

Ex

Bt

Ex

Bt

Et

Ex

Et

Bx

Et

Bt

B

x

x

yz

zy

x

yz

zy

x

εµ

εµ

x

y

E

Bv

z

ttxEx cos),( =

0=∂

∂x

Ex ed escludendo il campo prodotto da una distribuzione di cariche stazionarie

0),( =txEx

Per un’onda progressiva il campo E deve essere perpendicolare alla direzione di propagazione, x. Orientiamo gli assi in mode che E sia parallelo all’asse y.

Avremo:

E poichè

j ),(rr

txEE y=

tB

xE zy

∂∂

−=∂

∂

)(),( tcxEtxE wyy −=

Il campo B avrà componenti dipendenti daltempo solo lungo z.

costante1+=

∂

∂=

∂

∂−=

∂∂

∂

∂−=

∂

∂−=

∫

∫∫∫

w

yy

w

yyyz

cE

duu

Ec

dtu

Edt

xu

uE

dtx

EB

wctu

xu

−=∂∂

=∂∂ e 1

k̂ ),( txBB z=r

Detto u=(x-cwt) avremo

)(1)(),( tcxEc

tcxBtxB wyw

wzz −=−=

Più in generale:

ktcxEjtcxEBc

ktcxEjtcxEE

wywzw

wzwy

ˆ)(ˆ)(

ˆ)(ˆ)(

−+−−=

−+−=r

r

Proprietà per la propagazione di un’onda elettromagnetica piana:

1.

w

wyz

wzy

cBE

cEEE

cBBB

=⇒

=+=+=

)(12

222

2222

ktcxEjtcxEBc

ktcxEjtcxEE

wywzw

wzwy

ˆ)(ˆ)(

ˆ)(ˆ)(

−+−−=

−+−=r

r

2 dal prodotto scalare si ottiene:

loro tralariperpendico sempre sono vettoridue i 0

)(1

=⋅⇒

+−=+=⋅

BE

EEEEc

BEBEBE yzzyw

zzyy

rr

rr

ktcxEjtcxEBc

ktcxEjtcxEE

wywzw

wzwy

ˆ)(ˆ)(

ˆ)(ˆ)(

−+−−=

−+−=r

r

3 dal prodotto vettoriale si ottiene:

iEBiBcicEBE

iEEc

cE

cE

EEkji

BE

ww

zyw

w

y

w

z

zy

ˆˆˆ

ˆ)(1

0

0

ˆˆˆ

22

22

===×⇒

+=

−

=×

rr

rr

Riassumendo le proprietà per la propagazione di un’onda elettromagnetica piana:

1. E e B si propagano con la stessa velocità, che nel vuoto è c=1/(ε0µ0)=3x108 m/s

2. i moduli di E e B sono legati da B=E/cw

3. E e B sono perpendicolari tra loro e perpendicolari alla direzione di propagazione. Le onde e. m. sono onde trasversali e per esse è significativo il fenomeno della polarizzazione.

4. Il verso del prodotto vettoriale di ExB definisce il verso di propagazione dell’onda

LA POLARIZZAZIONE

1809 → Malus e Young indagano le indicazioni di trasversalitàdella luce riflessa dal vetro

E

B

k

Il campo elettromagnetico è trasversale: i vettori E e B sono ortogonali alla direzione di propagazione k

Una antenna di un trasmettitore a microonde (cellulare) trasmette onde polarizzate aventi campo elettrico che oscilla nella direzione dell’asse dell’antenna

POLARIZZAZIONE DELLA LUCE

Schema di un’onda elettromagnetica piana. Il campo elettrico E e magnetico B sono perpendicolari fra loro e sono entrambi perpendicolari alla direzione di propagazione;c è la velocità di propagazione.

La polarizzazione di un'onda elettromagnetica si riferisce alla modalità con cui il campo elettrico oscilla. Ad esempio, l'onda in figura è polarizzata linearmente, in quanto il campo elettrico oscilla sempre nella stessa direzione mantenendosi nello stesso piano. Se abbiamo due onde elettromagnetiche, la loro sovrapposizione può produrre stati di polarizzazione più complesse come la polarizzazione circolare o ellittica. In genere non si fa riferimento esplicito al campo magnetico associato, in quanto la sua intensità è sempre determinabile mediante la relazione:

B=E/c

Luce non polarizzata

Una sorgente di luce, come una comune lampadina a incandescenza o un tubo a gas, si deve pensare come l'insieme di un gran numero di atomi i cui elettroni vengono eccitati e si diseccitano continuamente emettendo ciascuno una perturbazione elettromagnetica in un tempo dell'ordine di 10- 8 s. Queste onde, di lunghezza finita, vengono chiamate treni d'onda e un fascio di luce naturale si può pensare come l'insieme e la sovrapposizione di un gran numero di treni d'onda.

Tutte le direzioni di vibrazione sono possibili: l’onda elettromagnetica risultante è una sovrapposizione di onde generate dalle singole sorgenti atomiche. Il risultato è un’onda luminosa non polarizzata.

LINEARLY POLARIZED LIGHTLINEARLY POLARIZED LIGHT

CIRCULARLY POLARIZED LIGHTCIRCULARLY POLARIZED LIGHT

ELLIPTICALLY POLARIZED ELLIPTICALLY POLARIZED LIGHTLIGHT

Onde luminose: la sorgente emette sempre campi trasversali, cioè i vettori E e B sono ortogonali alla direzione di propagazione k, tuttavia normalmente non sono polarizzati, cioè il vettore E è diretto in una direzione qualunque

filtro polarizzante

E

E

E

E

E

dopo avere attraversato la lamina polarizzante, il campo E è diretto nella direzione di polarizzazione del filtro e l’intensità I della luce è ridotta alla metà

StrII-spettr2-11

l’intensità del campo che attraversa il filtro vale quindi: ϑcosEE y =

legge di Malus

attraversando la lamina polarizzante, il campo E viene scomposto nella componente Ey parallela alla direzione del filtro e nella componente Ez perpendicolare alla direzione del filtro: solo la componente Ey passa, la componente Ey viene assorbita.

l’intensità del flusso luminoso è proporzionale al quadrato del campo, quindi campo che attraversa il filtro vale: ϑ2cosoII =

legge di Malus

oo III21cos2 >=<= ϑSe il fascio incidente non è polarizzato, occorre

mediare su tutte le direzioni del vettore E, quindi:

polarizzatore e analizzatore

E1

P2

θP1 E1

E2

dopo avere attraversato la lamina polarizzante P1, il campo E1 è diretto nella direzione di polarizzazione del filtro 1; dopo l’analizzatore P2 emerge solo la componente E2 = E1 cos θ e quindi l’intensità vale:

I2 = I1 cos2θ

come previsto dalla legge di Malus

L’intensità luminosa I (energia per unità di tempo e di superficie) proveniente da una sorgente di luce polarizzata linearmente dopo aver attraversato una lamina analizzatrice è data dalla legge di Malus:

I(θ) = I0 cos2θ

dove I0 è l’intensità massima e θ è l’angolo tra il piano di vibrazione della luce e l’asse ottico della lamina.

Un fascio di luce incide su una prima lastra polarizzatrice chiamata POLARIZZATORE, dove l’asse di trasmissione è in una certa direzione. La luce che attraversa questa lastra è polarizzata verticalmente e il vettore campo elettrico trasmesso è E0. Una seconda lastra polarizzatrice, chiamata analizzatore, intercetta il fascio con il suo asse di trasmissione che forma un angolo θcon l’asse di trasmissione del polarizzatore. La componente di E0 che è perpendicolare all’asse dell’analizzatore viene completamente assorbita, e la componente parallela all’asse è E0 cosθ.

021 II =

Intensità emergente per luce non polarizzata in ingresso

Intensità emergente per luce polarizzata linearmente in ingresso

Immagini in luce polarizzata

Polarizzazione per riflessione

polarizzazione perpendicolare al piano di incidenza

polarizzazione nel piano di incidenza

angolo di Brewster:

θ p + θr = 90o

per questo particolare valore dell’angolo di incidenza

- la luce riflessa è totalmente polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza

- la luce rifratta ha entrambe le componenti, ma è meno ricca della componente perpendicolare

Polarization through reflectionPolarization through reflection

Polarizzazione per riflessioni

multiple

attraverso riflessioni multiple da più strati di vetro si elimina dalla luce rifratta la componente perpendicolare al piano di incidenza

Double RefractionDouble RefractionBirefringenceBirefringence

birifrangenza

In un cristallo birifrangente viaggiano due raggi:

- il raggio ordinario che segue la legge di Snell ed è sempre polarizzato nella direzione perpendicolare al piano che contiene il raggio incidente e l’asse ottico

- il raggio straordinario che non segue la legge di Snell, è polarizzato in direzione perpendicolare al raggio ordinario ed ha indice di rifrazione ns variabile a seconda della direzione; le variazioni di ns vanno dal valore dell’indice no del raggio ordinario a un valore estremo ne

lamina a “quarto d’onda”: è una lamina di spessore tale che un raggio ordinario e straordinario che si propagano nella lamina abbiano all’uscita uno sfasamento pari a 1/4 di lunghezza d’onda, cioè quando un’onda è massima, l’altra è nulla.

Es. per la calcite:

λ = 589 nm (nell’aria)

λo = 589/1658=355 nm (raggio ordinario)

λe = 589/1486=396 nm (raggio straordinario)

dordinario

straordinario

birifrangenza

birifrangenza

asse otticofronte d’onda del raggio ordinario

fronte d’onda del raggio straordinario

polarizzazione perpendicolarepolarizzazione nel

piano

birifrangenza

birifrangenza

POLARIZED HOW?POLARIZED HOW?

La polarizzazione è un fenomeno si cui si basano vari strumenti e tecniche.

Alcuni esempi:

1) I vetri nei parabrezza delle automobili o nelle lenti per i telescopi, sviluppano degli stress interni che possono essere messi in evidenza analizzando lo stato di polarizzazione della luce che li attraversa.

2) Si possono fare mappe di stress superficiali di oggetti opachi sottoposti a sollecitazioni esterne ricoprendoli con film di sostanze otticamente attive.

3) L'ellissometria è una tecnica che si basa sulla variazione dello stato di polarizzazione della luce incidente su un campione e che permette di misurare i parametri ottici dei materiali di cui è composto oltre che gli spessori di eventuali strati.

4) È possibile identificare la presenza di certe sostanze organiche in una soluzione e stimarne la concentrazione tramite una misura della dispersione rotatoria che è un fenomeno legato alla polarizzazione.

5) Le lenti antiriflesso sfruttano la proprietà di certi materiali opportunamente trattati di eliminare la luce polarizzata che si produce per riflessione della luce naturale.

6) I film polaroid, o più semplicemente, i polaroid sono impiegati in ottica per trasformare la luce naturale in luce polarizzata.