Complementi Ed Esercizi Di Idrodinamica - I Parte-1

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 Complementi ed esercizi di Idrodinamica – I parte. 1. Proprietà fisiche dei fluidi 1.1 Densità e modulo di elasticità a compressione cubica. Come è noto la densità di massa ρ misura la massa contenuta nell’unità di volume e viene misurata in kg/m 3 . Nei fluidi la densità di massa dipende dalla pressione e dalla temperatura: ( )  p  , T  ρ  ρ  =  (1) essendo T , p pressione e temperatura . La (1) è nota come equazione di s tato del fluido. Nel caso dei liquidi la densità diminuisce all’aumentare della temperatura. L’acqua costituisce un eccezione in quanto presenta un massimo a 277 K (4°C). Per l’acqua a pressione atmosferica vale la seguente formula empirica: 3 2 0 5 0000000144 0 0000065322 0 000052939 0 1 T . T . T .  + + = ρ  ρ  (2) in cui la temperatura deve essere espressa in gradi centigradi e 3 0 457 999 m kg . =  ρ è la densità a 0°C. Nel campo di temperature 0<T <40°C, nel quale risultano comprese le condizioni più frequenti delle pratiche applicazioni, le variazioni della densità sono contenute entro lo 0.8% e perciò  possono essere trascurate , assumendo un unico valore della densità pari a 1000 kg/m 3 . Nello stesso campo di temperature, valgono condizioni analoghe anche per gli altri liquidi comunemente usati nella pratica, per i quali si assume un unico valore della densità, riportato nella tabella sottostante  Nei liquidi la densità dipende dalla pressione assai debolment e. Il modulo di elasticità a compressione cubica : 

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  • Complementi ed esercizi di Idrodinamica I parte.

    1. Propriet fisiche dei fluidi

    1.1 Densit e modulo di elasticit a compressione cubica. Come noto la densit di massa misura la massa contenuta nellunit di volume e viene misurata in kg/m3. Nei fluidi la densit di massa dipende dalla pressione e dalla temperatura:

    ( )p,T = (1)

    essendo T, p pressione e temperatura. La (1) nota come equazione di stato del fluido. Nel caso dei liquidi la densit diminuisce allaumentare della temperatura. Lacqua costituisce un eccezione in quanto presenta un massimo a 277 K (4C). Per lacqua a pressione atmosferica vale la seguente formula empirica:

    ( )320 5000000014400000065322000005293901 T.T.T. ++= (2)

    in cui la temperatura deve essere espressa in gradi centigradi e 30 457999 mkg.= la densit a 0C. Nel campo di temperature 0

  • p

    = (3)

    definito come la pressione necessaria a produrre un incremento relativo unitario della densit, assume infatti valori di ordine di grandezza ( )2910 mNPan= , essendo n un numero di poche unit. Per lacqua, alla temperatura di 283 K, si ha: ( ) atmmNPa. 2000010032 29 = . La relazione (3) pu essere scritta facendo comparire al posto della densit il volume di liquido V considerato. A tal proposito si osservi che la massa di liquido M data dalla espressione:

    VM = (4)

    ed invariabile; dunque le variazioni di massa sono nulle:

    ( )VVVVVM ==+==

    0 (5)

    Sostituendo nella (3) la variazione relativa di densit ottenuta dalla (5) in funzione della variazione relativa di volume, si ottiene:

    p

    VV

    =

    (6)

    Dato lelevato valore di , i liquidi variano pochissimo la loro densit anche a fronte di notevoli aumenti di pressione: per questo motivo vengono ritenuti incomprimibili. Il modulo di elasticit a compressione cubica praticamente indipendente dalla pressione per tutti i liquidi, mentre varia apprezzabilmente con la temperatura, il cui aumento comporta in generale un innalzamento del valore di . Per lacqua il modulo aumenta di circa il 10% quando la temperatura passa da 273 K a 303 K. Facendo tendere lincremento di pressione a zero nella (3) si ottiene la seguente equazione differenziale:

    dpd

    = (7)

    che permette di determinare la dipendenza della densit dalla pressione. Integrandola si ottiene:

    ( ) 00ppe = (8)

    in cui evidentemente 0 il valore della densit in corrispondenza alla pressione 0p .

    Esercizio 1.1.1 Un volume di liquido si riduce dello 0.04% quando la sua pressione viene aumentata di p=150 N/cm2. Determinare il modulo di elasticit a compressione cubica ammettendo che questo sia costante al variare della pressione. Per risolvere lesercizio sufficiente applicare la formula (6), risolvendo in funzione di :

  • =

    VVp

    Prima di inserire i valori numerici per bene osservare che:

    a) una riduzione dello 0.04% pari alla variazione relativa: 00040.VV

    = ;

    b) un incremento di pressione di 150 N/cm2 pari a 1500000 Pa (N/m2): bisogna ricordarsi sempre di convertire i dati nelle unit di misura del SI.

    Il valore numerico di dunque pari a:

    Pa..

    91075300040

    1500000==

    Esercizio 1.1.2 Determinare lincremento di pressione necessario a produrre un aumento relativo della densit dellacqua a 283 K pari al 5%. In questo caso conviene applicare la formula (3), risolvendo in funzione dellincremento di pressione:

    atmPa...p 100210015105010032 89 ===

    1.2 Tensione superficiale. La superficie di separazione tra due fluidi non miscibili o tra un fluido e un solido si comporta come se fosse una membrana elastica in stato uniforme di tensione. Immaginiamo di tagliare tale membrana lungo un segmento di linea di lunghezza L: per mantenere uniti i lembi del taglio, che tenderebbero a separarsi, necessario applicare una forza, distribuita uniformemente sul segmento di lunghezza L, detta tensione superficiale , agente in direzione perpendicolare alla linea del taglio, tangente alla superficie di separazione e avente verso orientato in modo tale da riunire i lembi del taglio, come illustrato nella figura sotto riportata.

    La tensione superficiale si misura in N/m ed funzione della coppia di materiali che definiscono la superficie di separazione oltre che della temperatura. La tabella riportata pi avanti fornisce i valori della tensione superficiale di alcuni liquidi a contatto con laria alla temperatura di 293 K; per questi liquidi la tensione superficiale varia poco al variare del gas, mentre si hanno variazioni importanti al variare della temperatura. In particolare la tensione superficiale diminuisce allaumentare della temperatura.

    L

  • La tensione superficiale responsabile del fatto che piccole porzioni di liquido completamente immerse in un aeriforme assumano forma pseudo-sferica (gocce). Tale forma infatti lunica in grado permettere lequilibrio della forza risultante dalla distribuzione di tensione superficiale sulla superficie di separazione con le altre forze in gioco.

    Liquido Tensione superficiale [N/m] Acqua 0.073 Mercurio 0.559 Benzene 0.029 Olio doliva 0.319

    La tensione superficiale fa sentire i suoi effetti quando la curvatura della superficie di separazione sufficientemente marcata, perch in tal caso si verifica un apprezzabile salto di pressione attraverso la superficie stessa. Per comprendere questultima affermazione, si immagini una superficie di separazione avente la forma di calotta sferica:

    La tensione superficiale agente lungo il bordo della superficie di separazione, avente la forma di una circonferenza, ha una risultante agente nella direzione dellasse verticale a tratto e punto e orientata verso il basso. Di conseguenza dovr esistere una forza di modulo uguale e verso contrario a questa e dovuta ad un salto di pressione p esistente tra le facce della superficie di separazione, tale da far mantenere alla superficie la forma a calotta sferica. Il salto di pressione definito come la differenza tra la pressione interna pi e la pressione esterna pe alla calotta sferica. Nel disegno la pressione interna evidentemente maggiore di quella esterna. La componente della tensione superficiale lungo lasse verticale pari a:

    ( ) sin (9)

    La forza risultante F pari al prodotto della (9) per la lunghezza della circonferenza di bordo della calotta:

    ( ) ( ) sin2sin RF = (10)

    La componente lungo la verticale della forza causata dal salto di pressione agente sulla calotta sferica:

    ( )( )2sin RpF = (11)

    R

    p=pi- pe

    pi

    pe

  • deve bilanciare la (10). Eguagliando la (10) e la (11) si ottiene lespressione del salto di pressione in funzione della tensione superficiale:

    R

    p 2= (12)

    Definita la quantit 2/R curvatura della superficie sferica, si vede immediatamente dalla (12) che il salto di pressione indotto dalla tensione superficiale tanto maggiore quanto maggiore la curvatura ossia quanto pi piccolo il raggio di curvatura. Si pu dimostrare, sotto opportune ipotesi, che per una superficie qualsiasi si definisce curvatura della superficie in un determinato punto la quantit:

    21

    11RR

    + (13)

    in cui 21, RR sono i raggi di curvatura principali, relativi a due circonferenze definite su due piani perpendicolari e approssimanti la superficie di separazione nellintorno di un punto. Di conseguenza la (12) si modifica nella (di cui la (12) un caso particolare):

    +=

    21

    11RR

    p (14)

    Nel contatto con una superficie solida, la superficie di separazione liquido aeriforme si comporta come un velo che aderisce alla superficie solida. Nella figura sotto riportata vengono illustrati due casi tipici.

    Si tratta delle sezioni di due tubi cilindrici circolari di diametro d immersi in un contenitore aperto di dimensioni rilevanti rispetto al diametro dei tubi e contenente liquido di data densit . La superficie di separazione forma al contatto con la superficie esterna ed interna del tubo un angolo pari a . Nel caso illustrato a sinistra (ad es. acqua) minore di 90 e il liquido bagna la superficie

    h

    d/2

    h

    R

    d/2

  • del tubo. Nel caso a destra (ad es. mercurio) maggiore di 90 e il liquido non bagna la superficie del tubo. La differenza di quota h riscontrata tra lesterno e linterno del tubo definita risalita capillare e la sua espressione in funzione della densit del liquido, della tensione superficiale, del diametro del tubo e dellangolo si ottiene con la seguente semplice considerazione: il salto di pressione p esistente tra le facce della superficie di separazione deve necessariamente eguagliare il peso, per unit di superficie, della colonnina liquida di altezza h:

    ghp = (15)

    Daltra parte il salto di pressione anche dato dalla (12), in cui il raggio di curvatura venga espresso tramite la:

    ( )cos2dR = (16)

    Di conseguenza si ha:

    ( )

    cos4gd

    h = (17)

    Si osservi che se minore di 90, h positivo e si ha effettivamente una sopraelevazione del livello di liquido nel tubo rispetto a quello nel contenitore, mentre se maggiore di 90, h negativo e si ha un abbassamento del livello di liquido nel tubo rispetto a quello nel contenitore. In presenza di aria a pressione atmosferica e a temperatura ordinaria (293 K), langolo di contatto dellacqua e della maggior parte dei liquidi organici con il vetro prossimo allo zero: =0, mentre per il mercurio e il kerosene nelle stesse condizioni pari rispettivamente a =130, =26.

    Esercizio 1.2.1 Determinare la pressione pi allinterno di una goccia dacqua del raggio R=0.025 mm alla temperatura di 293 K, quando la pressione esterna pari a quella normale atmosferica: pe=101337 Pa. Per risolvere lesercizio si deve prima applicare la formula (12) per calcolare il salto di pressione, assumendo per la tensione superficiale il valore riportato in tabella: =0.073 N/m. Si ha dunque:

    PaR

    p 5840073.0000025.0

    22===

    Il raggio della sfera stato espresso in metri. Per valutare la pressione interna si ricordi la definizione del salto di pressione, come differenza tra la pressione interna e quella esterna:

    Papppppp eiei 107177=+==

    Esercizio 1.2.2 Determinare, a 293 K, la risalita capillare dellacqua in un tubo di vetro del diametro d=4 mm e del mercurio in un tubo di vetro del diametro d=2 mm. Si applica direttamente la formula (17) che fornisce il risultato:

  • ( ) ( )

    ( ) ( ) mgd

    h

    mgd

    h

    0054.0130cos002.081.913546

    559.04cos4

    0074.00cos004.081.91000

    073.04cos4

    =

    ==

    =

    ==

    Si vede come la risalita assuma un valore tuttaltro che trascurabile, se posto a confronto con il diametro dei tubi.

    2. Idrostatica

    2.1 Piano dei carichi idrostatici assoluti e relativi. La formula (22) del II capitolo:

    ( )18cost ==+

    zgp

    esprime il fatto che in un liquido (fluido incomprimibile) in quiete rispetto ad un sistema di riferimento in cui agisce la sola forza peso la quota piezometrica resta costante.

    Tramite la (18), nota la pressione in un punto della massa liquida, si pu calcolare la pressione in qualsiasi altro punto. Infatti, supposto di conoscere la pressione nel punto a quota zb, la pressione nel punto a quota za data da:

    { ( )43421toAffondamen

    ab

    specificoPeso

    babb

    aa zzgppz

    gpz

    gp

    +=+=+

    (19)

    ossia dalla somma del valore di riferimento pb e del prodotto del peso specifico del liquido per laffondamento del punto posto a quota za rispetto a quello posto a quota zb. La pressione aumenta linearmente con laffondamento, come mostrato nel disegno sopra riportato, ed il coefficiente di proporzionalit pari al peso specifico. La pressione in un punto sempre espressa rispetto ad un valore di riferimento, come nella formula (19). Si supponga di esprimere la pressione nel punto

    z=0

    za

    zb zb-za

    pb

    pa

    patm

    h

    patm

    p

    h*

    h*-h= patm/g

    (pa- patm)/ g

  • posto a quota za rispetto alla pressione atmosferica patm, definita come il peso della colonna daria a livello del mare su una superficie di un centimetro quadrato ed equivalente al peso di una massa di 1.033 kg su una superficie di un centimetro quadrato, ossia a 101337 Pa o N/m2. Detta h la quota del punto appartenente alla massa liquida in cui si ha pressione atmosferica, si ha dalla (19):

    ( )aatma zhgpp += (20)

    Facendo riferimento al disegno sopra riportato, si vede come il punto appartenente al liquido, in cui si ha pressione atmosferica, si trovi nel tubo collegato al serbatoio ed aperto allaltra estremit. Risolvendo la (20) rispetto ad h si ottiene:

    aatma z

    gpph +=

    (21)

    La formula (21) fornisce la quota del punto in cui la pressione nella massa liquida pari alla pressione atmosferica: tale quota individua il piano dei carichi idrostatici relativi. Nel disegno il piano dei carichi idrostatici relativi coincide con la quota raggiunta dalla superficie del liquido nel

    tubo, pari alla somma della quota za del punto di partenza e del segmento gpp atma

    . Se nella

    formula (21) si pone pari a zero la pressione atmosferica, si ottiene la quota del punto in cui la pressione assoluta nella massa liquida pari a zero: tale quota individua il piano dei carichi idrostatici assoluti:

    aa zg

    ph +=

    * (22)

    Si vede chiaramente che la differenza tra la posizione del piano dei carichi relativi e assoluti pari a:

    gphh atm

    =* (23)

    Ossia il piano dei carichi assoluti si trova sempre al di sopra del piano dei carichi relativi, ad una

    distanza da esso pari a: g

    patm

    . Tale distanza dipende evidentemente dal tipo di liquido in

    considerazione: se si tratta di acqua, essendo il peso specifico pari a 9810 N/m3, si ha: h*-h=10.33 m, se si tratta di mercurio, essendo il peso specifico pari a 132871 N/m3, si ha: h*-h=0.76 m. La differenza atma pp , che appare nella (21), detta pressione relativa. Nelle normali applicazioni dellIdrodinamica la pressione relativa ad essere presa in considerazione. Dora in avanti si indicher con il simbolo p la pressione relativa alla atmosferica e con il simbolo p* la pressione assoluta. Pressione relativa e pressione assoluta sono legate dalla formula:

    atmppp = * (24) Poich il minimo valore che la pressione assoluta pu raggiungere in un fluido il valore nullo, il minimo valore della pressione relativa pari a:

    atmpp = (25)

  • La pressione (relativa o assoluta) in una massa liquida in quiete pu essere agevolmente calcolata, nota la posizione del piano dei carichi (relativo od assoluto). Prendendo in considerazione la (20), detta h la quota del piano dei carichi idrostatici relativi rispetto al piano a quota z=0, si ha che la pressione relativa in un punto qualsiasi, posto a quota z, data da:

    ( )321

    relativi. iidrostatic carichi dei piano al rispetto

    punto del toAffondamen

    * zhgppp atm == (26)

    Ossia dal prodotto dellaffondamento del punto rispetto al piano dei carichi idrostatici relativi per il peso specifico.

    Esercizio 2.1.1 Il recipiente in figura contiene un liquido di peso specifico 38825 mNg = . Determinare lindicazione del manometro semplice a mercurio ( 3132871 mNgm = ) ed n del manometro metallico. Sono note le distanze: h1=18 m, h2=13 m. Gli strumenti dei misura della pressione vengono detti manometri. I manometri semplici sono dei tubi collegati ad una estremit alla massa liquida di cui si vuole determinare la pressione ed aperti allaltra estremit, in modo da essere in condizioni di pressione atmosferica. Sono riempiti dello stesso liquido di cui si vuole misurare la pressione, in tal caso sono detti piezometri, o di un altro liquido, detto manometrico, avente determinate caratteristiche fisiche. Nel caso sotto illustrato il liquido manometrico deve essere pi pesante del liquido di lavoro. Il dislivello raggiunto dal liquido manometrico proporzionale alla pressione del liquido di lavoro. I manometri metallici sono invece dei tubi di metallo, collegati ad una estremit al serbatoio, piegati a spirale e chiusi allaltra estremit, che si riempiono del liquido di lavoro. La pressione raggiunta da questo fa svolgere la spirale, provocando la rotazione di un indice su un quadrante graduato e consentendo cos la determinazione della pressione. Il manometro metallico fornisce il valore della pressione relativa in corrispondenza della quota del centro geometrico del quadrante dello strumento.

    n

    h2 h1 patm

    m

    n

    mg

    z=0

    S

    m

    patm

  • Per quanto riguarda lesercizio, osserviamo innanzitutto che il serbatoio aperto e che il piano dei carichi idrostatici relativi coincide con la superficie libera, sulla quale la pressione assoluta pari alla pressione atmosferica e la pressione relativa nulla. Poich la pressione relativa di un punto nel liquido pu essere calcolata come prodotto del peso specifico per laffondamento del punto rispetto al piano dei carichi idrostatici relativi (formula (26)) si ha:

    Paghn 1588501888251 ===

    Per determinare il dislivello del liquido manometrico, si tenga presente che il piano orizzontale S, passante per la superficie di separazione tra il liquido manometrico e il liquido di lavoro, un piano isobaro. Di conseguenza, calcolando la pressione su tale piano a partire dal piano dei carichi idrostatici relativi del liquido di lavoro e del liquido manometrico (passante per la superficie libera di questultimo, allestremit aperta del tubo), si deve ottenere lo stesso risultato:

    mhg

    ggghm

    m 86.0131328718825

    22 ====

    In figura riportato anche il diagramma delle pressioni. Questultimo riporta in ascisse le pressioni e in ordinate gli affondamenti, crescenti verso il basso. Si nota come il diagramma delle pressioni del liquido di lavoro meno inclinato rispetto alla verticale del diagramma delle pressioni del liquido manometrico. Linclinazione rispetto alla verticale aumenta con il peso specifico del liquido e dipende dalle scale di rappresentazione delle pressioni e delle lunghezze. Infatti nel diagramma il generico affondamento h viene rappresentato dal segmento di H cm, con una scala pari a h m/cm, mentre la pressione p viene rappresentata tramite un segmento di dp cm, con una scala pari a p Pa/cm. Poich si deve avere:

    Hgdghp Hpp == Si ricava la seguente espressione per la tangente dellangolo :

    ( )p

    Hp gHd

    ==tan

    Dunque si vede come langolo aumenti allaumentare del peso specifico.

    Esercizio 2.1.2 Calcolare la differenza di pressione esistente tra i centri dei serbatoi cilindrici A, B, illustrati in figura, e la differenza tra le quote dei piani dei carichi idrostatici relativi dei serbatoi suddetti. I recipienti contengono un liquido di peso specifico 39810 mNg = . Lindicazione del manometro differenziale a mercurio ( 3132871 mNgm = ) pari a =1.5 m. Il manometro differenziale misura la differenza di pressione esistente tra due punti ed costituito da un tubo piegato ad U, riempito di liquido manometrico, le cui estremit sono collegate ai due punti di misura. Si hanno due disposizioni: ad U e ad U rovescia. Nel primo caso il peso specifico del liquido manometrico deve essere maggiore del peso specifico del liquido di lavoro, nel secondo caso il peso specifico del liquido manometrico deve essere minore del peso specifico del liquido di lavoro.

  • Per determinare la differenza di pressione esistente tra i centri dei serbatoi A, B sufficiente esprimere la pressione relativa nel piano orizzontale di separazione S, partendo sia dal serbatoio A che dal serbatoio B ed eguagliando le espressioni cos ottenute:

    ( ) ( ) ( ) Paggppgghpp

    hgppmBA

    mB

    A 1845925.198101328712

    2 ===

    ++=++=

    Nel centro del serbatoio A vi dunque una pressione maggiore che nel centro del serbatoio B, come peraltro era intuibile osservando la disposizione del liquido manometrico. Per calcolare la differenza tra le quote dei piani dei carichi idrostatici relativi sufficiente esprimere la pressione relativa nel piano orizzontale di separazione S, partendo sia dal piano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio A che dal piano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio B ed eguagliando le espressioni cos ottenute:

    ( )( ) mg

    ggghhgp

    hhgp mm

    82.185.19810

    9810132871

    21

    21 =

    =

    =

    ++=+++=

    Sulla destra della figura si riporta il diagramma delle pressioni.

    Esercizio 2.1.3 Calcolare la differenza di pressione esistente tra i centri dei serbatoi cilindrici A, B, illustrati in figura. I liquidi contenuti nei recipienti hanno peso specifico

    32

    31 14710,9810 mNgmNg == . Il liquido manometrico ha peso specifico:

    ( 38335 mNgm = ). Lindicazione del manometro differenziale vale =0.5m. Le distanze sono pari a: h1=3m, h2=2m. In questo caso il manometro differenziale si presenta nella disposizione ad U rovescia e di conseguenza il peso specifico del liquido manometrico minimo rispetto a quello degli altri liquidi.

    PA PB B h1

    p.c.i.r.B

    p.c.i.r.A

    m

    m

    A

    h2

    S

  • Per calcolare la differenza di pressioni si dovr esprimere la pressione sul piano S, a partire dal serbatoio A e dal serbatoio B, facendo comparire le pressioni nei centri dei serbatoi, eguagliando le due espressioni e ricavando la differenza di pressione cercata:

    ( ) ( ) Paghhggghppghhgppgghpp

    mABB

    mA 115332212112212

    11 =+=

    ==

    Sulla destra della figura si riporta il diagramma delle pressioni dove si evidenzia il fatto che il piano dei carichi del liquido manometrico, posto allintersezione della retta a tratto e punto in grassetto con la verticale, si trova notevolmente pi in alto dei piani dei carichi dei due serbatoi.

    E interessante calcolare la distanza tra i piani dei carichi dei due serbatoi, procedendo come nel precedente esercizio: sufficiente esprimere la pressione relativa nel piano orizzontale di separazione S, partendo sia dal piano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio A che dal piano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio B ed eguagliando le espressioni cos ricavate:

    ( )( ) hg

    ggg

    gghgp

    ghgp mm2

    12

    2

    1

    2

    1

    =

    +=+=

    A

    B

    h1 h2

    1

    2

    m

    p.c.i.r.A

    PA

    p.c.i.r.B

    1

    2

    PB

    m

    Sh

    p.c.i.r.m

  • La formula cos ottenuta differisce da quella precedente, valida nel caso di manometro differenziale ad U con liquidi dello stesso peso specifico nei serbatoi. Considerando la presenza di due liquidi differenti non possibile calcolare la distanza tra i piani dei carichi dei due serbatoi , a meno di non assegnare anche la distanza h tra il piano di separazione S e il piano dei carichi di uno dei due serbatoi. Se per si considerano due liquidi uguali ( == 12 ), nella formula sopra ricavata si annulla il secondo termine a secondo membro, dunque non pi necessario assegnare la distanza h per calcolare il , la cui espressione ritorna uguale a quella del manometro ad U con liquidi uguali:

    =g

    gg m

    salvo il fatto che la differenza tra il peso specifico del liquido di lavoro e il peso specifico del liquido manometrico invertita rispetto a quella del manometro differenziale ad U.

    Esercizio 2.1.4 In un recipiente chiuso si trovano sovrapposti tre strati di uguale spessore h (h=1m) di mercurio, acqua e benzina, aventi peso specifico rispettivamente pari a:

    33

    32

    31 7845,9806,132871 mNgmNgmNg === . Sopra il liquido di peso specifico

    minore vi inoltre uno strato daria 302.12 mNga = Nota la quota hm (hm=1.2 m) raggiunta dal mercurio nel piezometro, si determinino le quote dei piani dei carichi dei tre liquidi rispetto al fondo e la pressione vigente nello strato daria. Per la stabilit dellequilibrio, strati di liquidi immiscibili in quiete sovrapposti in un serbatoio si dispongono in modo tale che gli strati pi pesanti occupino via via le parti pi profonde del serbatoio. In teoria uno strato di liquido pesante pu trovarsi in equilibrio al di sopra di uno leggero, ma basta una lieve perturbazione perch il sistema si porti nello stato in cui il liquido leggero si trova al di sopra di quello pesante.

    Dalla conoscenza della quota del mercurio nel piezometro, coincidente con la quota del piano dei carichi del mercurio rispetto al fondo, si risale immediatamente alla pressione sul fondo:

    1

    2

    3 h

    h

    h

    a

    hm

    1

    2

    3

    z=0

    S1

    S2

    S3

  • Paghp mF 1594452.11328711 ===

    La pressione sul piano di separazione S1 data da:

    Paghghp mS 265741328712.1132871111 ===

    Tale pressione anche la pressione dei punti appartenenti allo strato dacqua. Il piano dei carichi dellacqua rispetto al piano di separazione S1 perci dato dalla:

    m..g

    ghghg

    ph mSS 712981013287121132871

    2

    11

    2

    12 1

    =

    =

    ==

    E dunque il piano dei carichi dellacqua dista dal fondo di:

    mhg

    ghghh m 71.31

    98101328712.1132871

    2

    112 =+

    =+

    =

    La pressione sul piano di separazione S2 data da:

    Paghpp SS 16764981026574212 ===

    Il piano dei carichi della benzina rispetto al piano di separazione S2 perci dato dalla:

    m.g

    ghpg

    ph SSS 1427845

    16764

    3

    2

    33

    12

    2==

    ==

    E dunque il piano dei carichi della benzina dista dal fondo di:

    mhg

    ghph S 14.42

    7845167642

    3

    23

    1 =+=+

    =

    La pressione nello strato daria pari a quella che si ha sul piano di separazione benzina-aria S3:

    Paghpp SS 8919784516764323 ===

    La pressione nello strato daria varia approssimativamente come negli strati liquidi sottostanti, tuttavia, stante il piccolo peso specifico dellaria e la ridotta estensione dello strato, pu essere assunta costante allinterno di esso. Questo fatto messo in luce dal diagramma delle pressioni, in cui il segmento che compete allaria verticale. Si noti altres come nel diagramma delle pressioni gli angoli formati dalle rette dei singoli strati con la verticale vadano decrescendo verso lalto: 3

  • la retta intersezione tra il piano dei carichi idrostatici relativi e il piano contenente la superficie. Si definisce retta di massima pendenza x la retta ad essa perpendicolare, appartenente al piano della superficie A. La spinta elementare dS agente sulla superficie A, dovuta alla distribuzione di pressione idrostatica, data dalla espressione:

    dAghd nS = (27)

    In cui: dA una porzione elementare della superficie A; h laffondamento del centro di figura della superficie elementare dA; n il versore normale alla superficie A.

    Poich la superficie A piana, il versore ad essa normale ha direzione costante al variare del punto preso in considerazione sulla superficie. La spinta risultante, dovuta alla distribuzione idrostatica, si ottiene sommando tutti i contributi elementari (27):

    nnS AghdAhg CFA

    =

    = (28)

    Per ottenere la (28) si tenuto conto della costanza del versore normale e del peso specifico. Lintegrale

    A

    dAh il momento statico della sezione calcolato rispetto al piano dei carichi: come

    noto pari al prodotto dellaffondamento del centro di figura della superficie rispetto al piano dei carichi per larea della superficie. In base alla figura sotto riportata, che illustra la geometria presa in considerazione, la (28) pu anche essere espressa come:

    ( ) nnS AgxAgh CFCF sin== (29)

    La (29) si pu dunque sintetizzare nella regola seguente:

    Retta di sponda y

    Retta di massima pendenza x

    r

    CF

    Piano dei carichi

    hCF xCF

    dA

    h

    n Piano contenente la superficie

    O

    n P

    CS

    n

    rCS

  • la spinta su una superficie piana pari al prodotto della pressione calcolata nel centro di figura della superficie per larea della superficie. Il verso e la direzione della spinta sono concordi al verso e alla direzione del versore normale al piano contenente la superficie piana.

    La spinta idrostatica S su una superficie piana non , in generale, applicata al centro di figura ma applicata in un punto, detto centro di spinta, la cui determinazione viene effettuata imponendo lequivalenza del momento della spinta. In altre parole si deve imporre la condizione che il momento della spinta S eguagli la somma dei momenti delle spinte elementari. Considerato il sistema di riferimento Oxy illustrato nella figura sopra riportata, sia r il vettore posizione di un punto generico P sulla superficie piana A, di componenti x, y. Il momento della spinta idrostatica elementare relativa al punto P dato da:

    ( ) ( ) jijinrSr dAgxdAgxyghxdAghydAdAghd sinsin 2=== (30) Avendo sfruttato la relazione ( )sinxh = ed essendo i, j i versori degli assi x, y rispettivamente. Sommando i momenti elementari (30) e tenendo conto degli elementi costanti, si ha:

    ( ) ( ) jiSrM

    ==

    AAA

    dAxgxydAgd 2sinsin (31)

    Il momento risultante deve essere uguale al momento della spinta S, applicata nel centro di spinta, di coordinate CSCS yx , incognite:

    ( ) ( ) jiSrM CSCFCSCFCS AxgxAygx sinsin == (32) Eguagliando le espressioni (31) e (32) per componenti, si ottengono le espressioni delle coordinate del centro di spinta:

    ==

    ==

    AxI

    Ax

    dAxx

    AxI

    Ax

    xydAy

    CF

    yy

    CF

    ACS

    CF

    xy

    CF

    ACS

    2 (33)

    Gli integrali che appaiono nella (33) dipendono esclusivamente dalla geometria della superficie A. Il primo integrale detto momento di inerzia misto della figura ( xyI ) ed nullo per superfici che ammettano come asse di simmetria una retta parallela allasse x ( il caso rappresentato nella figura sopra riportata). Il secondo integrale il momento dinerzia della figura rispetto allasse y ( yyI ) e gode della propriet (teorema di Huygens-Steiner) che in un sistema di riferimento con origine nel centro di figura pu essere espresso dalla:

    AxII CFCFyyyy

    2+= (34)

    Ossia dalla somma del momento dinerzia della figura rispetto ad un asse parallelo allasse y e passante per il centro di figura ( CFyyI ) e del prodotto dellarea della superficie per il quadrato della

  • distanza tra il nuovo asse y (passante per il centro di figura) e il vecchio asse y (la retta di sponda). Grazie alla (34) la coordinata x del centro di figura pu essere espressa dalla:

    AxI

    xxCF

    CFyy

    CFCS += (35)

    Dalla (35) si possono trarre alcune interessanti conclusioni. Innanzitutto A e CFyyI sono grandezze sempre non nulle e positive. Viceversa CFx pu assumere sia valori positivi che negativi, a seconda che il centro di figura si trovi al di sotto o al di sopra del piano dei carichi. In queste due eventualit la formula (35) funziona regolarmente, trovandosi la coordinata CSx sempre pi distante dallorigine rispetto alla coordinata CFx : infatti i due contributi della formula (35) hanno lo stesso segno. Se per la coordinata CFx si annulla, la qual cosa si verifica quando il piano dei carichi passa per il centro di figura, secondo la formula (35) la coordinata CSx tende ad assumere un valore infinito. In questo caso singolare la spinta S si annulla e la superficie A sottoposta allazione di una sola coppia.

    Infatti, come si vede dalla figura sopra riportata, nei casi delle superfici A e C, la distribuzione di pressione relativa prevalentemente negativa o positiva, e genera pertanto una spinta non nulla applicata in CS. Nel caso della superficie B invece la parte di superficie sottoposta a pressione relativa positiva esattamente uguale a quella sottoposta a pressione relativa negativa, di conseguenza la spinta si annulla, ma nel complesso la superficie sollecitata a ruotare attorno allasse y, a causa dellazione di una coppia di modulo:

    ( ) CFyyIgM sin= (36)

    Allaumentare della coordinata del centro di figura CFx , diminuisce il secondo termine a secondo membro della (35) e di conseguenza la coordinata del centro di spinta CSx tende a coincidere con quella del centro di figura.

    C

    B

    A

    x

    x

    x

    y

    y

    yCF

    CS CS

    CS

    CF

    CF Piano dei carichi

  • Esercizio 2.2.1 La paratia piana AB, quadrata, di lato a=2.5 m, forma un angolo =53 con lorizzontale, incernierata in A e appoggiata in B ed a contatto con acqua: g=9810 Nm-3. Il punto A affondato di hA=3 m rispetto alla superficie libera. Trascurando il peso proprio della paratia, determinare la forza FB che si scarica sullappoggio B e il momento M necessario per aprire la paratia. Determiniamo innanzitutto la spinta S esercitata dallacqua sulla paratia tramite la formula (29):

    ( ) ( ) NaahgAgh ACF nnnnS 2451455.253sin25.239810sin

    222 =

    +=

    +==

    Il modulo pari a 245145 N, il verso e la direzione coincidono con quelli della n (vedi figura).

    Il punto di applicazione si calcola con la (35) ricordando che il momento dinerzia CFyyI di un quadrato di lato a pari a:

    ( ) ( )

    mAx

    Ixx

    mahx

    maI

    CF

    CFyy

    CFCS

    ACF

    CFyy

    1.55.25

    26.35

    0.525.2

    53sin3

    2sin

    26.3125.2

    12

    2

    444

    =

    +=+=

    =+

    =+=

    ===

    Le distanze del centro di figura e del centro di spinta si intendono misurate rispetto allorigine O. Per calcolare la forza FB necessario imporre lequilibrio della paratia alla rotazione rispetto al punto A. Assunto positivo il verso antiorario, si ha:

    Na

    xxa

    SFxxaSaFCFCS

    BCFCSB 1323785.251.525.12451452

    2=

    +=

    +=

    +=

    La forza FB diretta come la S e ha verso opposto. Infine il momento necessario allapertura della paratia ha modulo pari a:

    A hA

    B

    x

    CF

    hCF

    P=gh n

    O

    a

  • NmxxaSaF CFCSB 3309462=

    +=

    e verso orario.

    Esercizio 2.2.2 La paratia piana triangolare ACA incernierata lungo il lato orizzontale AA. Determinare il peso P da applicare in B affinch la paratia sia in equilibrio sotto lazione della spinta dellacqua. Dati: AA=2.5 m, H=1.8 m, h=1.2 m, b=1 m, g=9810 Nm-3

    Come si vede dalla figura, non tutta la paratia immersa: la superficie libera infatti interseca il piano della paratia nella retta 'A'A . Il piano della paratia inoltre perpendicolare al piano dei carichi (=90). La parte di paratia che lavora dunque quella coincidente con il triangolo ACA, di altezza h e base 'A'A . Determiniamo innanzitutto la base 'A'Aa = . Dalla similitudine dei triangoli ACA e ACA, si ha:

    m....AA

    Hha

    HAA

    ha 67152

    8121

    ====

    Determiniamo poi la spinta S esercitata dallacqua sulla paratia tramite la formula (29), ricordando che in un triangolo il centro di figura situato ad una distanza dalla base pari ad 1/3 dellaltezza:

    N...ahhgAghCF nnnnS 3932221671

    3219810

    23=

    ===

    n perpendicolare al piano della figura, orientata da sinistra verso destra. Determiniamo ora la coordinata xCS del centro di spinta con la (35) ricordando che il momento

    dinerzia CFyyI della parte di paratia triangolare ACA, di base a ed altezza h, dato da 36

    3ah :

    A A y

    x

    H h

    x

    C

    P

    n

    O

    CF

    CS

    bA A

  • m.hhhAx

    Ixx

    CF

    CFyy

    CFCS 60263==+=+=

    La coordinata xCS del centro di spinta si trova in h/2. Per determinare il peso P ora necessario imporre lequilibrio alla rotazione della paratia attorno al punto O:

    ( ) N.

    ...b

    hHxSPhHxSPb CSCS 471812181603932 =+=+=+=

    Esercizio 2.2.3 In un tubo circolare di diametro D=1.5 m, ad asse orizzontale, inserita una valvola a farfalla AB, incernierata rispetto ad un asse orizzontale O passante per il diametro. A sinistra della valvola il tubo completamente riempito dacqua (g=9810 Nm-3) in pressione, a destra il tubo riempito dacqua per met e sulla superficie libera vige la pressione atmosferica. Determinare il momento occorrente a mantenere la valvola in posizione verticale di chiusura, noto che il livello dacqua nel piezometro pari a 0.8m.

    In questo caso la spinta S deve essere determinata da entrambi i lati della paratia. La spinta agente sul lato 1 normale alla superficie della valvola ed orientata da sinistra verso destra. La spinta agente sul lato 2 normale alla superficie della valvola ed orientata da destra verso sinistra. Applicando la formula (29) su entrambi i lati si ha dunque:

    N...DDgAghCF nnnnS 26870451

    251809810

    42

    22

    111 =

    +=

    +==

    Per il lato 2 bisogna ricordare che il centro di figura di un semicerchio posto ad una distanza dal

    diametro pari a: 3

    2D :

    N..DDgAghCF nnnnS 2759851

    35129810

    832 22

    222 =

    ===

    D O

    A

    B

    patm

    1 2 n -n

    hCF1=xCF1

    x

    xCS2 hCF2=xCF2

    xCS1

    patm

  • Bisogna ora determinare le coordinate del centro di spinta xCS su entrambi i lati, applicando la (35). Ricordiamo a tal proposito che i momenti di inerzia CFyyI del cerchio e del semicerchio sono dati

    rispettivamente da: 44

    181

    12864D,D

    .

    m...

    ..

    DD

    DD

    AxI

    xx

    m....

    ...DD

    DDAx

    Ixx

    CF

    CFyy

    CFCS

    CF

    CFyy

    CFCS

    440

    851

    3512

    5118

    1128

    3512

    832

    181

    12832

    641

    451

    2518064

    5125180

    42642

    2

    4

    2

    4

    22

    222

    2

    4

    2

    4

    11

    111

    =

    +

    =

    +=+=

    =

    +

    ++=

    +

    ++=+=

    Noti i punti di applicazione delle forze ora possibile imporre lequilibrio alla rotazione della valvola attorno ad O e determinare cos il momento necessario a tenere chiusa la valvola in posizione verticale:

    ( )( ) ( ) Nm...xxSxSM

    xSxxSM

    CFCSCS

    CSCFCS

    12045516412687044027590

    11122

    22111

    ====+

    Avendo assunto positivo il verso di rotazione antiorario, risulta che il momento necessario a tener chiusa la valvola deve avere verso di rotazione oraria.

    2.3 Spinte idrostatiche su superfici curve. Per calcolare la spinta idrostatica agente su una superficie curva A si applica lequazione globale dellidrostatica:

    ===+V

    dVg,dp kGnG

    ;0 (37)

    in cui la superficie di contorno del volume di controllo V deve contenere la superficie A. Vediamo concretamente come si procede attraverso la considerazione di alcuni casi pratici.

    Esercizio 2.3.1 Calcolare la spinta idrostatica esercitata dal liquido sulla calotta semisferica e sulla valvola conica del serbatoio illustrato in figura. Dati: g=9810 Nm-3, mg=132871Nm-3, D=3m, d=0.6m, a=0.15m, =60, =0.15m, h=1m Consideriamo dapprima la calotta semisferica ABC. Lapplicazione dellequazione globale pu essere schematizzata in passi ben distinti.

    1. Scelta del volume di controllo Il volume di controllo deve essere scelto in modo tale che la superficie di contorno contenga la superficie curva sulla quale si deve calcolare la spinta. In altre parole, la superficie del volume di controllo deve essere costituita, in parte o del tutto, dalla superficie curva su cui si deve calcolare la spinta ed eventualmente da superfici ausiliarie piane, di forma semplice, reali o virtuali. Nel caso

  • della calotta ABC, si sceglie senzaltro come volume di controllo V il volume della calotta. Di conseguenza la superficie del volume di controllo risulta composta dalla superficie semisferica A e dalla base della calotta, ossia dalla superficie ausiliaria Aa piana tracciata idealmente allinterno del liquido.

    2. Applicazione dellequazione globale al volume di controllo

    Definito il volume di controllo e la superficie di questo, possibile applicare lequazione globale al volume di liquido in esso contenuto, esprimendo lintegrale di superficie come la somma dellintegrale calcolato sulla superficie curva e dellintegrale calcolato sulla superficie ausiliaria piana:

    0 0

    controllo di volumenelcontenuto liquido del peso

    :corpo di forza della Risultante

    pianaausiliaria superficie

    sulla Spintacurva superficie

    sulla Spinta

    =+==+ 4342143421321 VA

    uAV

    dVgdApdApdVgdpu

    knnknG

    Lultima equazione pu essere risolta rispetto allopposto dellintegrale calcolato sulla superficie curva:

    =VA

    uA

    dVgdApdApu

    knn

    La spinta S esercitata dal liquido sulla superficie curva coincide con il termine a primo membro. Infatti i termini dellequazione globale rappresentano forze applicate al liquido. In particolare lintegrale calcolato sulla superficie curva la forza esercitata sul liquido dalla superficie curva ma noi stiamo cercando S ossia la forza esercitata dal liquido sulla superficie curva, dunque esattamente lopposto dellintegrale calcolato sulla superficie curva. Possiamo perci scrivere:

    GS += au

    in cui au la spinta esercitata dalla superficie ausiliaria piana sul liquido contenuto allinterno del volume di controllo e G il peso del liquido contenuto allinterno del volume di controllo.

  • 3. Calcolo dei vari termini

    Si devono ora materialmente calcolare i termini sopra descritti. Il calcolo del termine G immediato:

    NDggVdVgV

    kkkkkG 6934383

    329810

    832 33

    =====

    Il calcolo di au pi articolato, ma in definitiva si tratta di calcolare la spinta su una superficie piana e di attribuirgli il giusto verso. Poich la spinta esercitata dalla superficie ausiliaria piana sul liquido contenuto allinterno del volume di controllo, au ha direzione normale alla superficie ausiliaria piana e verso orientato verso linterno del volume di controllo, se la pressione relativa del centro di figura positiva. Il verso di au invece orientato verso lesterno del volume di controllo, se la pressione relativa del centro di figura negativa. Nel caso in esame dunque la direzione di au coincide con i. Il modulo di au si calcola con la formula (29), ossia calcolando la pressione nel centro di figura della figura piana e moltiplicandola per larea di questa. La pressione, secondo quanto indicato in figura, fornita dalla:

    Pa.ghgp mCF 1012119810150132871 =+=+=

    la pressione negativa: ci vuol dire che la pressione assoluta nel centro di figura della superficie ausiliaria minore della pressione atmosferica esterna al serbatoio. Nel disegno il centro di figura si trova al di sopra del piano dei carichi. Il modulo della spinta vale:

    715394310121

    4

    22

    === DpCFau

    La spinta in modulo, direzione e verso dunque data da:

    ( ) ( ) iii 7153971539 === auau Dunque ha verso orientato da sinistra verso destra: poich il liquido nel serbatoio in depressione la calotta sferica viene premuta dallesterno. Una volta calcolati i vari termini si pu infine esprimere il risultato:

    kiGS 6934371539 =+= au

    Si noti che la spinta S non ha componente nella direzione individuata dal versore j: questo fatto conseguenza della simmetria della superficie semisferica rispetto al piano xz.

  • Di conseguenza le componenti delle spinte elementari nella direzione individuata dal versore j hanno modulo uguale e verso opposto e dunque si bilanciano reciprocamente. Il risultato finale che la componente nella direzione individuata dal versore j nulla. Applicando lequazione globale si ottiene il risultato finale senza dover tener conto dei dettagli intermedi. E per buona norma controllare sempre la consistenza del calcolo.

    4. Determinazione del centro di spinta Nel caso delle superfici curve la determinazione del centro di spinta in generale un problema assai complesso. Nel caso in esame tuttavia la forma semisferica della superficie semplifica notevolmente il procedimento. Infatti la spinta elementare generica dApd nS = , agente sulla superficie semisferica, normale ad essa e dunque passa per il centro O.

    Di conseguenza anche la spinta risultante S passa per il centro e la sua retta dazione inclinata sullorizzontale di un angolo dato dalla:

    =

    =

    = 447153969343arctanarctan

    iSkS

    ossia dato dallarco tangente del rapporto tra la componente verticale e quella orizzontale. In questo caso dunque la spinta S ha retta dazione inclinata di 44 gradi sullorizzontale e il centro di spinta CS, appartenente alla calotta sferica, posto al di sopra del piano diametrale ad una distanza da questo pari a:

    x

    y

    z

    dS

    dSx

    dSz dSy

    dSz dSx dSy dS

    i

    j k

    dS

    dS

    p S

    O

    CS

  • ( ) mDCS 04.1sin2

    ==

    Applichiamo ora lequazione globale al calcolo della spinta sulla valvola conica, ripercorrendo i passi precedentemente descritti.

    1. Scelta del volume di controllo Scegliamo come volume di controllo la parte di cono immersa nel liquido. La superficie del volume di controllo quindi definita dalla superficie laterale del cono e dalla superficie ausiliaria piana circolare avente diametro d. In questo caso il volume di controllo effettivamente non contiene liquido: il cono sar infatti costituito da qualche materiale metallico. Tuttavia possibile sostituire idealmente il cono reale con un cono virtuale, costituito da liquido in equilibrio con lambiente liquido circostante

    2. Applicazione dellequazione globale al volume di controllo Definito il volume di controllo e la superficie di questo, possibile applicare lequazione globale al volume di liquido in esso contenuto, esprimendo lintegrale di superficie come la somma dellintegrale calcolato sulla superficie curva e dellintegrale calcolato sulla superficie ausiliaria piana:

    0 0

    controllo di volumenelcontenuto liquido del peso

    :corpo di forza della Risultante

    pianaausiliaria superficie

    sulla Spintacurva superficie

    sulla Spinta

    =+==+ 4342143421321 VA

    uAV

    dVgdApdApdVgdpu

    knnknG

    Lultima equazione pu essere risolta rispetto allintegrale calcolato sulla superficie curva:

    =

    VAu

    A

    dVgdApdApu

    knn

    La spinta S esercitata dal liquido sulla superficie curva coincide con il termine a primo membro. Infatti i termini dellequazione globale rappresentano forze applicate al liquido. In particolare lintegrale calcolato sulla superficie curva la forza esercitata sul liquido virtuale dallambiente esterno attraverso la superficie curva e poich noi stiamo cercando S, ossia la forza esercitata sulla superficie curva dal liquido esterno ad essa, lintegrale calcolato sulla superficie curva coincide esattamente con S. Possiamo perci scrivere:

    GS = au

    in cui au la spinta esercitata dalla superficie ausiliaria piana sul liquido contenuto allinterno del volume di controllo e G il peso del liquido contenuto allinterno del volume di controllo.

    3. Calcolo dei vari termini Si devono ora materialmente calcolare i termini sopra descritti. Il calcolo del termine G

    immediato, tenendo presente che laltezza del cono data da: ( ) mdhc 52.030tan2

    6.0

    2tan2

    =

    =

    =

  • NhdggVdVg cV

    kkkkkG 48152.046.0

    319810

    431 22

    =====

    au la spinta esercitata sul liquido virtuale attraverso la superficie piana orizzontale, circolare, di diametro d ed data da:

    k ApCFau = La direzione della spinta ausiliaria coincide con quella della normale entrante, il verso dipende dal segno della pressione relativa nel centro di figura. In questo caso infatti la pressione nel centro di figura di questa vale:

    ( ) PaahDggp mCF 2630715.015.1981015.01328712 =+=

    +=

    e pertanto la spinta vale:

    ( ) NdpAp CFCFau kkkk 743846.026307

    4

    22

    ====

    Una volta calcolati i vari termini si pu infine esprimere il risultato:

    Nau kkkGS 69574817438 =+==

    Si noti che la spinta S non ha componenti orizzontali: questo fatto conseguenza della simmetria assiale della superficie conica. Si noti anche che nel caso di corpo immerso e di applicazione della equazione globale con riempimento virtuale il peso del volume di liquido interviene con il segno opposto: in altre parole il corpo riceve una spinta dal basso verso lalto pari (in modulo) al peso del liquido contenuto nel volume del corpo (principio di Archimede).

    4. Determinazione del centro di spinta Nel caso in esame la retta dazione della spinta, per ovvii motivi di simmetria, coincide con lasse del cono. La spinta inoltre complessivamente rivolta verso il basso: tende cio a schiacciare la valvola conica contro il serbatoio, conseguenza del fatto che il serbatoio complessivamente in depressione (il piano dei carichi, facendo riferimento allo schema principale, situato al di sotto del piano diametrale) e dunque premuto dallambiente esterno a pressione atmosferica.

    Esercizio 2.3.2 Determinare la spinta che i liquidi contenuti nel serbatoio in figura esercitano sulle superfici cilindriche ABC, lunghe L. Dati: L=1m, 32

    31

    3 981078454903 mNg,mNg,mNgm === , =0.2 m, n=0.88 bar, h1=1.2, , h2=0.2, , r1=0.2, r2=0.3.

    Osserviamo innanzitutto che:

    1.013 bar = 1 atm = 101337 Pa

    pertanto tramite la seguente proporzione il valore 0.88 bar viene convertito in Pascal:

  • Pa..p

    ..p

    nn 88032

    0131880101337

    0131880

    101337===

    Poich la superficie ABC cilindrica, il problema pu essere studiato nel piano individuato dagli assi xz, i cui versori sono i, k. La presenza di due liquidi separati dal setto con le superfici cilindriche render necessario il calcolo della spinta prima da un lato e poi dallaltro. Procediamo quindi separatamente nei due lati, applicando lequazione globale dellidrostatica, seguendo i passi indicati nellesercizio precedente. Lato 1

    1. Scelta del volume di controllo Il setto forma in realt due semicilindri: AB, BC ai quali si deve applicare separatamente lequazione globale. Il semicilindro AB infatti riempito effettivamente del liquido 1, mentre il semicilindro BC sporge nel lato 1. La scelta pi intuitiva e pi semplice quindi quella di prendere come volumi di controllo per il lato 1 i due semicilindri AB, BC, chiusi da due superfici ausiliarie, piane, rettangolari, di altezza rispettivamente pari a 2 r2, 2r1 e base L.

    2. Applicazione dellequazione globale al volume di controllo Per quanto appena visto, lequazione globale si applicher con riempimento reale al semicilindro AB e con riempimento virtuale al semicilindro BC. Perci, ricordando i risultati ottenuti nellesercizio precedente:

    =

    +=111

    111

    BCauBCBC

    ABauABAB

    GS

    GS

    In cui le forze a secondo membro sono applicate alle masse liquide contenute nei volumi di controllo.

    3. Calcolo dei vari termini Al solito il calcolo dei pesi G non pone alcun problema:

  • ====

    ====

    N.LrggV

    N.LrggV

    BCBC

    ABAB

    kkkkG

    kkkkG

    49312207845

    2

    110912307845

    222

    111

    1

    222

    111

    Il calcolo dei termini au consiste nel calcolare le spinte sulle superfici piane rettangolari ausiliarie. Si devono perci preliminarmente determinare le pressioni nei centri di figura di tali superfici ausiliarie:

    ( )

    =+=++=

    =+=+=

    Pa.rrgpp

    Pa.ghpp

    auABauBC

    nauAB

    10136950784597446

    9744621784588032

    21111

    111

    Possiamo ora calcolare i termini au ricordandoci che, se la pressione (relativa) positiva, essi sono orientati verso linterno del volume di controllo e sono normali alle superfici ausiliarie:

    ( ) ( ) ( )

    ====

    ====

    N.LrpAp

    N.LrpAp

    auBCauBCauBCauBC

    auABauABauABauAB

    iiii

    iiii

    4054812021013692

    584681302974462

    1111

    2111

    Riunendo i risultati:

    +==

    =+=

    kiGS

    kiGS

    49340548

    110958468111

    111

    BCauBCBC

    ABauABAB

    4. Determinazione del centro di spinta

    Vale il ragionamento fatto per la calotta sferica nellesercizio precedente: la spinta risultante S passa per il centro del semicilindro e la sua retta dazione inclinata sullorizzontale di un angolo dato dalla:

    'arctanarctan

    arctanarctan

    BC

    BCBC

    AB

    ABAB

    42040548493

    1584681109

    1

    11

    1

    11

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    iSkS

    iSkS

    Nel caso del semicilindro AB la retta dazione della spinta interseca la superficie cilindrica nel punto 1ABCS posto al di sotto del piano diametrale di una quota pari a:

    ( ) ( ) m.sin.sinrCS ABAB 0060130121 === Nel caso del semicilindro BC la retta dazione della spinta interseca la superficie cilindrica nel punto 1BCCS posto al di sotto del piano diametrale di una quota pari a:

    ( ) ( ) m.'sin.sinrCS BCBC 002042020111 ===

  • Lato 2

    1. Scelta del volume di controllo Nel lato 2 il semicilindro BC riempito effettivamente del liquido 2, mentre il semicilindro AB sporge nel lato 2. Quindi, anche nel lato 2, la scelta pi intuitiva e pi semplice quella di prendere come volumi di controllo i due semicilindri AB, BC, chiusi da due superfici ausiliarie, piane, rettangolari, di altezza rispettivamente pari a 2 r2, 2r1 e base L.

    2. Applicazione dellequazione globale al volume di controllo Per quanto appena visto, nel lato 2 lequazione globale si applicher con riempimento reale al semicilindro BC e con riempimento virtuale al semicilindro AB:

    +=

    =222

    222

    BCauBCBC

    ABauABAB

    GS

    GS

    In cui le forze a secondo membro sono applicate alle masse liquide contenute nei volumi di controllo.

    3. Calcolo dei vari termini Per il calcolo dei pesi G si ha:

    ====

    ====

    N.LrggV

    N.LrggV

    BCBC

    ABAB

    kkkkG

    kkkkG

    61612209810

    2

    138712309810

    222

    122

    2

    222

    222

    Per determinare le pressioni nei centri di figura delle superfici ausiliarie, si calcola innanzitutto la pressione nel punto D:

    Pa.ghpp nD 896012078458803221 =+=+=

    A

    B

    C

    1ABS

    1ABCS

    1BCS

    1BCCS

    1AB

    1BC

  • Successivamente si calcola pressione nel punto E:

    Pa.gpp mDE 9058220490389601 =+=+= e infine si calcolano le pressioni nei centri di figura delle superfici ausiliarie:

    ( ) ( )( )

    =+=++=

    =+=+=

    Pa.rrgpp

    Pa...hhgpp

    auABauBC

    EauAB

    10333550981098430

    98430202021981090582

    21222

    2122

    Possiamo ora calcolare i termini au ricordandoci che, se la pressione (relativa) positiva, essi sono orientati verso linterno del volume di controllo e sono normali alle superfici ausiliarie:

    ( ) ( ) ( )

    ====

    ====

    N.LrpAp

    N.LrpAp

    auBCauBCauBCauBC

    auABauABauABauAB

    iiii

    iiii

    4133412021033352

    590581302984302

    1222

    2222

    Riunendo i risultati:

    =+=

    +==

    N

    N

    BCauBCBC

    ABauABAB

    kiGS

    kiGS

    61641334

    138759058222

    222

    4. Determinazione del centro di spinta

    La spinta risultante S passa per il centro del semicilindro e la sua retta dazione inclinata sullorizzontale di un angolo dato dalla:

    'arctanarctan

    'arctanarctan

    BC

    BCBC

    AB

    ABAB

    51041334

    616

    211590581387

    2

    22

    2

    22

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    iSkS

    iSkS

    Nel caso del semicilindro AB la retta dazione della spinta interseca la superficie cilindrica nel punto 2ABCS posto al di sotto del piano diametrale di una quota pari a:

    ( ) ( ) m.'sin.sinrCS ABAB 007021130222 === Nel caso del semicilindro BC la retta dazione della spinta interseca la superficie cilindrica nel punto 2BCCS posto al di sotto del piano diametrale di una quota pari a:

    ( ) ( ) m.'sin.sinrCS BCBC 003051020212 ===

  • 2.4 Equilibrio relativo. In un sistema di riferimento in moto di traslazione uniformemente accelerato o in moto di rotazione con velocit angolare uniforme, lequazione indefinita dellidrostatica assume, rispettivamente, le forme:

    ( )

    ( )

    =

    =

    0

    0

    corpo di Forze

    corpo di Forze

    444 3444 21

    43421

    rkgrad

    akgrad

    gp

    gp T

    (38)

    in cui le forze di corpo, oltre a tener conto della forza peso, devono tener conto delle forze apparenti. Di conseguenza, il gradiente di pressione dato dalle espressioni:

    ( )

    ( )

    =

    =

    444 3444 21

    4434421

    corpo di Forze

    corpo di Forze

    rkgrad

    akgrad

    gp

    gp T

    (39)

    ossia un vettore avente verso opposto e modulo e direzione identici al vettore delle forze di corpo per unit di volume. Per comprendere il significato della (39), considereremo dapprima un serbatoio parallelepipedo, aperto, in moto uniformemente accelerato con accelerazione Ta , riempito di liquido, avente densit , che in quiete raggiunge il livello H e successivamente un contenitore cilindrico circolare, di raggio R, in moto di rotazione attorno al suo asse, con velocit di rotazione uniforme , riempito di liquido, avente densit , che in quiete raggiunge il livello H. Come noto, la direzione e il verso del gradiente della pressione indicano la direzione e il verso di massima variazione della pressione. Nelle direzioni normali al gradiente non si ha variazione di pressione: perci le superfici perpendicolari al gradiente della pressione sono superfici isobare. Nel primo caso, considerando una sezione del serbatoio nel piano individuato dalla direzione verticale e dalla direzione dellaccelerazione, le superfici isobare sono piani, le cui tracce sono date

    A

    B

    C

    2ABS

    2ABCS

    2BCS

    2BCCS

    2AB

    2BC

  • dalle rette in grassetto a tratteggio. La retta a tratto e punto, parallela alle precedenti, rappresenta la superficie libera.

    Nel sistema di riferimento inerziale considerato dunque, le superfici isobare non sono piani orizzontali, bens inclinati rispetto allorizzontale dellangolo . Quanto detto illustrato in figura. Si vede inoltre, chiaramente indicata, la direzione di massima variazione della pressione, indicata dal gradiente. Per ottenere lequazione delle superfici isobare, le cui tracce sono le rette in grassetto a tratteggio riportate in figura, si deve considerare che lequazione indefinita dellidrostatica:

    ( ) ( ) ( ) ( ) 0ikkgradakgrad =+++=++ cosasinagpgp TTT (40)

    pu essere posta nella forma:

    ( ) ( )( ) 0=+++ zsinaxcosagzp TT grad (41)

    avendo fatto comparire le componenti cartesiane dellaccelerazione. La (41) ammette la soluzione:

    ( ) ( ) tcoszsinaxcosagzp TT =+++ (42) che pu essere applicata sia per determinare la pressione in qualsiasi punto del serbatoio, nota la pressione in un punto di riferimento, sia per determinare lequazione della famiglia delle superfici isobare, ponendo p=cost e conglobandola nella costante a secondo membro:

    ( )( )

    sinag

    xcosatcoszT

    T

    +

    = (43)

    Dalla (40), esplicitando le componenti dellaccelerazione:

    ( ) ( )( ) ( )ikgrad cosasinagp TT += (44) si pu ottenere langolo e il modulo del gradiente della pressione.

    k

    i

    z

    x

    aT

    aTx aTz -aT

    g k

    grad(p)

    H

    -aTz=- aT sin() k

    -aTx=-aT cos() i

  • ( )( )

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    singagasinagcosap

    sinagcosaarctan

    TTTT

    T

    T

    22222 ++=++=

    +

    =

    grad

    (45)

    E interessante considerare due casi particolari:

    =0; il serbatoio si muove in direzione orizzontale. ( ) 22 gap,gaarctan TT +=

    = grad .

    =/2; il serbatoio si muove in direzione verticale. ( ) ( )gap, T +== grad0 . In questo caso, se ( ) 0== pgaT grad , il serbatoio in caduta libera e la pressione costante in tutta la massa liquida.

    Nel secondo caso, consideriamo un sistema di riferimento Orz solidale al contenitore cilindrico rotante attorno al suo asse, in cui lasse z coincida con lasse di rotazione del serbatoio cilindrico e lasse r sia lasse radiale. Inoltre lorigine O del riferimento si trovi sulla superficie libera del livello del liquido quando il contenitore in quiete:

    In tale sistema di riferimento la forza di corpo vale: rrer

    2 = . Infatti i vettori , r sono definiti dalle: rr, erk == , essendo re il versore dellasse r. Di conseguenza lequazione indefinita dellidrostatica assume la forma:

    ( ) rrgp ekgrad 2 += (46)

    La componente verticale del gradiente di pressione pari alla forza peso per unit di volume, mentre quella orizzontale alla forza centrifuga per unit di volume. Questultima dipende dalla posizione: aumenta con la distanza dallasse di rotazione. Ponendo la (46) nella forma:

    02

    22 =

    +

    rgzp grad (47)

    H

    r er k

    z

    d

  • si pu ottenere la distribuzione di pressione:

    2

    22 rgztcosp += (48)

    nota la pressione in un punto qualsiasi. Lequazione delle superfici isobare, conglobando nella costante della (48) la pressione, data dalla:

    22

    2r

    gtcosz += (49)

    La superficie libera e le superfici isobare sono paraboloidi di rotazione. Eguagliando il volume di liquido che si innalza a quello che si abbassa, rispetto al livello originario in quiete, si pu

    dimostrare che la superficie libera si abbassa sullasse di rotazione della stessa quantit 22

    4R

    gd =

    di cui si innalza sui bordi. In definitiva, nel sistema di riferimento considerato, lequazione della superficie libera assume la forma:

    22

    22

    42R

    gr

    gz = (50)

    Esercizio 2.4.1 Un serbatoio parallelepipedo, lungo L=8m, largo b=2m e profondo H=3m, contiene h=1.5m dacqua g=9806Nm-3. Se viene sottoposto ad una accelerazione orizzontale di a=2.45 ms-2 nel senso della lunghezza, calcolare la forza che lacqua esercita sulle due pareti estreme del serbatoio.

    Cominciamo col calcolare langolo di cui si inclina la superficie libera, tenendo conto del fatto che in questo caso laccelerazione ha solo la componente orizzontale (=0):

    ( )( ) =

    =

    +

    = 14gaarctan

    sinagcosaarctanT

    T

    Linnalzamento e labbassamento sulle pareti di estremit sono pari a:

    L

    H

    h

    z

    x

    -a i

    g k

    a i d

    d

  • ( ) m..

    gaLtanLd 1

    8194524

    22====

    Il livello raggiunto dallacqua nella parete posteriore, dove si innalza, pari a:

    m.gaLhdh 52

    2=+=+ , nella parete anteriore, dove si abbassa, pari a: m.

    gaLhdh 50

    2== .

    Dobbiamo ora calcolare la spinta dellacqua sulle pareti di estremit. A tal proposito, fissato un sistema di riferimento solidale al serbatoio con origine sul fondo, dobbiamo determinare la pressione nei centri di figura delle superfici bagnate di estremit, utilizzando lespressione (42), in cui la costante viene determinata imponendo che per x=0, z=h, la pressione relativa nulla (la pressione assoluta pari alla pressione atmosferica):

    ( ) axzhgp = sulle superfici rettangolari di estremit la pressione vale pertanto:

    Pa..Lahgp

    Pa..Lahgp

    p

    a

    1225824521000750981042

    245824521000750981042

    =+=+=

    ===

    Note le pressioni nei centri di figura si possono calcolare le spinte, i cui versi sono, rispettivamente, i sulla superficie anteriore e i su quella posteriore:

    ( ) Ng

    aLhg

    aLhbgbg

    Lahg

    aLhgAp

    Ng

    aLhg

    aLhbgbg

    Lahg

    aLhgAp

    abb

    aaa

    iiiiS

    iiiiS

    6126322222

    246322222

    22

    22

    =

    +

    +=

    +

    +==

    =

    +=

    ==

    Sommando le spinte, che non hanno medesima retta dazione, si ottiene la spinta risultante:

    NbLhaba iiSS 58800==+

    pari alla forza dinerzia complessivamente esercitata sulla massa liquida e dovuta alla accelerazione a.

    Esercizio 2.4.2 Un serbatoio cilindrico circolare, diametro D=1 m, altezza H=2 m, contiene acqua, g=9806Nm-3, fino ad una altezza h=1.5 m. Se il cilindro ruota attorno al proprio asse, quale velocit angolare costante pu essere raggiunta senza far uscire lacqua? Qual la pressione in C e D, se =6 rad/s? Adottando un sistema di riferimento Orz solidale al cilindro rotante, asse r radiale, asse z coincidente con lasse del cilindro e origine sulla superficie libera del liquido in quiete, si visto che il paraboloide di rotazione, in cui si trasforma la superficie libera iniziale, si abbassa sullasse della stessa quantit d di cui si innalza sul bordo. Tale quantit pari a:

  • 22

    4R

    gd =

    Se pertanto il cilindro riempito in quiete fino allaltezza h, affinch in rotazione non fuoriesca dal cilindro, si dovr avere che:

    ( )s/rad.

    RhHg

    hHRg

    HRg

    h 8684

    442

    22

    2

    =

    +

    Consideriamo la distribuzione di pressione (48) e determiniamo la costante imponendo che per r=0,

    22

    4R

    gz = , la pressione nulla: si tratta infatti del punto della superficie libera che interseca lasse

    di rotazione. Si determina cos la distribuzione di pressione nella massa in rotazione:

    gzRrp

    =

    22

    22

    2

    Grazie alla quale possono essere calcolate le pressioni nei punti C, D:

    Pa..Rghp

    Pa..Rghp

    D

    C

    16965504

    610005198104

    12465504

    610005198104

    22

    22

    22

    22

    =

    +=+=

    =

    ==

    h

    r er k

    z

    d H

    C D