Equazioni di Maxwell - Alter 2006-01-27آ  4 X Z X CT X CT 4 X Z I campi occupano solo uno...

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  • Equazioni di Maxwell

    F i s i c a s p e r i m e n t a l e I I c d l C h i m i c a

  • Riepilogo principali espressioni

     ∇ ⋅  E =

    ρ ε0

     ∇ ×  E = −

    d  B dt

     ∇ ⋅  B = 0

    c2  ∇ ×  B =

     J ε0

    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

    in generale  E ≠  ∇Φ

     ∇ ⋅  J = −

    dρ dt

    conservazione della carica elettrica

     F = q

     E + v ×

     B( )forza agente su di una carica

    legge di moto

     F =

    dp dt

    = m0 d dt

    v 1− v2 c2

    ⎝ ⎜

    ⎠ ⎟

    sono tra loro in contrasto

  • c2  ∇ ×  B =

     J ε0

     ∇ ⋅  J = 0 invece che:

     ∇ ⋅  J = −

    dρ dt

    Si nota che:

    Tutte le volte che

    la legge di Amper porta a risultati assurdi o contraddittori

    dρ dt

    ≠ 0

    Un esempio per tutti:

    sfera di materiale radioattivo che emetta particelle α

  • per calcolare il campo magnetico a distanza “R” dal centro della sfera

    Circonferenza di raggio “r” su di una sfera di raggio “R”

     B ⋅d  l

    Γ ∫ =

    1 ε0c

    2

     J ⋅ n ds

    S ∫

    B2πr = 1 ε0c

    2 J(R)πr 2 =

    1 ε0c

    2

    i 4πR2

    πr2

    B= 1

    ε0c 2

    i 8πR2

    rDa cui: dipende dal raggio della circonferenza !!!

  • Per superare dette contraddizioni Maxwell propose di modificare la legge di Amper tramite l’aggiunta di un termine al

    secondo membro

    c2  ∇ ×  B =

     J ε0

    +  X Questo è sono uno degli infiniti modi in cui la legge di Amper può essere modificata

    Che condizione dobbiamo imporre a riguardo del

    termine aggiuntivo?

    Accordo con la legge di conservazione della carica

    elettrica

    0 =  ∇ ⋅  J

    ε0 +  ∇ ⋅  X

     ∇ ⋅  X = −

     ∇ ⋅  J

    ε0 = 1 ε0

    d dt

    ρ

    Conosciamo una possibile funzione candidata?

  •  ∇ ⋅  E =

    ρ ε0

    Dalla:

    d dt

     ∇ ⋅  E =  ∇ ⋅

    d dt  E⎛

    ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 ε0

    d dt

    ρ

    Una possibile soluzione:

     X =

    d dt  E

    solo una delle infinite possibili

    Maxwell propose quindi

    c2  ∇ ×  B =

     J ε0

    + d dt  E

    Come si può essere sicuri che la modifica proposta sia quella giusta?

  • Essa sana le contraddizioni, ma questo non può essere il motivo per cui si considera corretta la modifica

     B ⋅d  l

    Γ ∫ =

    1 ε0c

    2

     J ⋅ n ds

    S ∫ +

    1 c2

    d  E dt

    ⋅ n ds S ∫

    B2πr = 1 ε0c

    2 J(R)πr 2 +

    1 c2 dE(R) dt

    πr2 = 1 ε0c

    2

    i 4πR2

    πr2 + 1 c2

    πr2 1 4πε0

    1 R2

    dQ dt

    B2πr = 1 ε0c

    2

    i 4R2

    r2 + 1 c2 r2

    1 4ε0

    1 R2 (−i) = 0 B = 0

    le contraddizioni sono sanate dall’accordo con la conservazione della carica, ma vi sono infiniti modi di

    ottenere l’accordo!

  •  ∇ ⋅  E =

    ρ ε0

     ∇ ×  E = −

    d  B dt

     ∇ ⋅  B = 0

    c2  ∇ ×  B =

     J ε0

    + d  E dt

    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

    prima equazione di Maxwell

    seconda equazione di Maxwell

    terza equazione di Maxwell

    quarta equazione di Maxwell

    Con la modifica apportata, il complesso delle quattro equazioni predice fenomeni nuovi

    Si tratta di verificare sperimentalmente se detti fenomeni realmente esistono

    Se la verifica è positiva, si deve concludere che la modifica apportata è corretta

  • Dove è la novità?

     ∇ ⋅  E =

    ρ ε0

     ∇ ×  E = −

    d  B dt

     ∇ ⋅  B = 0

    c2  ∇ ×  B =

     J ε0

    + d  E dt

    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

     ∇ ⋅  E = 0

     ∇ ×  E = −

    d  B dt

     ∇ ⋅  B = 0

    c2  ∇ ×  B =

    d  E dt

    ⎪ ⎪ ⎪

    ⎪ ⎪ ⎪

    ρ = 0  J = 0

    ⎧ ⎨ ⎩

    Se non fossero presenti le derivate temporali

    La soluzione sarebbe:

     E = 0  B = 0

    ⎧ ⎨ ⎪

    ⎩⎪

  •  ∇ ⋅  E = 0

     ∇ ×  E = −

    d  B dt

     ∇ ⋅  B = 0

    c2  ∇ ×  B =

    d  E dt

    ⎪ ⎪ ⎪

    ⎪ ⎪ ⎪

    Dato che per

    I secondi membri non sono identicamente nulli

    Si hanno soluzioni in assenza di cariche e correnti che dipendono dalla particolare forma dei secondi

    membri

    ρ = 0  J = 0

    ⎧ ⎨ ⎩

    Da qui la possibilità di verifica sperimentale

  • Due lastre infinite uniformemente cariche

    Se le due lastre sono ferme non avremo campi elettrici e magnetici nello spazio esterno

     E = 0  B = 0

    ⎧ ⎨ ⎪

    ⎩⎪

    Se , all’istante t=0 , forniamo alla lastra positiva una velocità v diretta come in figura

    Avremo delle correnti dirette come “y”

    Campi magnetici nel piano “zx”

  • c2  B ⋅d  l =∫ c2 2b ⋅ B x ≡

    a 2

    ⎛ ⎝⎜

    ⎞ ⎠⎟ = σv ε0 b

    B x ≡ a 2

    ⎛ ⎝⎜

    ⎞ ⎠⎟ =

    σv 2ε0c

    2 indipendente dalla distanza

    Se non ci fosse il termine correttivo di Maxwell:

    Quindi, mettendo in moto la lamina, il campo passerebbe da 0 al valore finito trovato

    Il campo quindi dipenderebbe dal tempo e questo genererebbe campi elettrici,

    secondo la legge di Faraday

     ∇ ×  E = −

    d  B dt

  • Come sarà diretto il campo elettrico?

     ∇ ×  E = −

    d  B dt

    indica che è diretto in modo da “opporsi” alla causa che lo genera

    Ovviamente anche il campo elettrico generato sarà dipendente dal tempo

    Senza il termine aggiuntivo di Maxwell questo effetto non si ripercuoterebbe sul

    valore del campo magnetico

    Ma, se la correzione è giusta, il modo con cui abbiamo valutato il campo magnetico non è corretto, ed il valore trovato è errato

  • Di quanto avremo sbagliato?

    omesso il flusso della derivata del campo elettrico

    L’errore sarà tanto maggiore quanto più grande è il lato”a”

    del rettangolo

    Quindi: nelle immediate vicinanze il risultato trovato risulterà

    praticamente corretto a grande distanza il valore del campo magnetico potrà

    essere completamente diverso da quanto calcolato

  • Diamo una soluzione e verifichiamola

    La verifica andrà fatta a cavallo del fronte

    −c2B ⋅b = d dt

    Φ E( ) = −bαE

    E B = c2

    α

    Relazione tra i moduli dei campi

  • Nel piano perpendicolare

    E ⋅b = − d dt

    Φ B( ) = −b ⋅ −B( )α E B = αda cui:

    Le due relazioni concordano solo se α=c

    E B = c2

    α si era trovato:

  • Le altre due equazioni

    ΦS  E( ) = 0

    ΦS  B( ) = 0

    in quanto le linee di campo sono rette giacenti su piani paralleli a quello delle lastre ed il modulo del campo

    dipende solo dalla distanza

    sono ovviamente sempre soddisfatte

  • La soluzione:

    Campi tra loro perpendicolari

    Fronte che si muove con velocità”c”

    Modulo dei campi uniforme Modulo dei campi nullo

    Campi perpendicolari alla direzione lungo la quale si muove il fronte

    soddisfa le equazioni di Maxwell

    B x < ct( ) = σv 2ε0c

    2 E x < ct( ) = σv 2ε0c

    di moduli

  • Campi tra loro perpendicolari

    Fronte che si muove con velocità ”c”

    Modulo dei campi uniforme Modulo dei campi nullo

    Campi perpendicolari alla direzione lungo la quale si muove il fronte

    B x < ct( ) = σv 2ε0c

    2 E x < ct( ) = σv 2ε0c

    Valgono in generale

    Valgono nel caso particolare

  • Le lamine sono due.

    Supponiamo, al tempo t=T, di muovere anche la seconda lamina con identica velocità della prima

    dato che è carica di segno opposto, produrrà campi opposti a quelli generati dalla prima

    Campi magnetici generati dalle due lastre in moto

  • I campi occupano solo uno straterello di spazio definito da “c(t-T) < x < c t”

    Adesso le lastre possono essere anche poste a contatto in modo che le cariche si neutralizzino

    a vicenda

    Ciò non produrrà alcun effetto sullo straterello occupato dai campi, i cui fronti continueranno a muoversi entrambi

    con velocità “c”

  • Fino ad ora i c