Equazioni di Maxwell

F i s i c a s p e r i m e n t a l e I I c d l C h i m i c a

Riepilogo principali espressioni

∇ ⋅E =

ρε0

∇ ×E = −

dBdt

∇ ⋅B = 0

c2∇ ×B =

Jε0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

in generale E ≠∇Φ

∇ ⋅J = −

dρdt

conservazione della carica elettrica

F = q

E + v ×

B( )forza agente su di una carica

legge di moto

F =

dpdt

= m0ddt

v1− v2 c2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

sono tra loro in contrasto

c2∇ ×B =

Jε0

∇ ⋅J = 0 invece che:

∇ ⋅J = −

dρdt

Si nota che:

Tutte le volte che

la legge di Amper porta a risultati assurdi o contraddittori

dρdt

≠ 0

Un esempio per tutti:

sfera di materiale radioattivo che emetta particelle α

per calcolare il campo magnetico a distanza “R” dal centro della sfera

Circonferenza di raggio “r” su di una sfera di raggio “R”

B ⋅dl

Γ∫ =

1ε0c

2

J ⋅ n ds

S∫

B2πr = 1ε0c

2 J(R)πr2 =

1ε0c

2

i4πR2

πr2

B=1

ε0c2

i8πR2

rDa cui: dipende dal raggio della circonferenza !!!

Per superare dette contraddizioni Maxwell propose di modificare la legge di Amper tramite l’aggiunta di un termine al

secondo membro

c2∇ ×B =

Jε0

+X Questo è sono uno degli infiniti modi in cui

la legge di Amper può essere modificata

Che condizione dobbiamo imporre a riguardo del

termine aggiuntivo?

Accordo con la legge di conservazione della carica

elettrica

0 =∇ ⋅J

ε0+∇ ⋅X

∇ ⋅X = −

∇ ⋅J

ε0=1ε0

ddt

ρ

Conosciamo una possibile funzione candidata?

∇ ⋅E =

ρε0

Dalla:

ddt

∇ ⋅E =∇ ⋅

ddtE⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=1ε0

ddt

ρ

Una possibile soluzione:

X =

ddtE

solo una delle infinite possibili

Maxwell propose quindi

c2∇ ×B =

Jε0

+ddtE

Come si può essere sicuri che la modifica proposta sia quella giusta?

Essa sana le contraddizioni, ma questo non può essere il motivo per cui si considera corretta la modifica

B ⋅dl

Γ∫ =

1ε0c

2

J ⋅ n ds

S∫ +

1c2

dEdt

⋅ n dsS∫

B2πr = 1ε0c

2 J(R)πr2 +

1c2dE(R)dt

πr2 = 1ε0c

2

i4πR2

πr2 + 1c2

πr2 14πε0

1R2

dQdt

B2πr = 1ε0c

2

i4R2

r2 +1c2r2

14ε0

1R2(−i) = 0 B = 0

le contraddizioni sono sanate dall’accordo con la conservazione della carica, ma vi sono infiniti modi di

ottenere l’accordo!

∇ ⋅E =

ρε0

∇ ×E = −

dBdt

∇ ⋅B = 0

c2∇ ×B =

Jε0

+dEdt

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

prima equazione di Maxwell

seconda equazione di Maxwell

terza equazione di Maxwell

quarta equazione di Maxwell

Con la modifica apportata, il complesso delle quattro equazioni predice fenomeni nuovi

Si tratta di verificare sperimentalmente se detti fenomeni realmente esistono

Se la verifica è positiva, si deve concludere che la modifica apportata è corretta

Dove è la novità?

∇ ⋅E =

ρε0

∇ ×E = −

dBdt

∇ ⋅B = 0

c2∇ ×B =

Jε0

+dEdt

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

∇ ⋅E = 0

∇ ×E = −

dBdt

∇ ⋅B = 0

c2∇ ×B =

dEdt

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

ρ = 0J = 0

⎧⎨⎩

Se non fossero presenti le derivate temporali

La soluzione sarebbe:

E = 0B = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

∇ ⋅E = 0

∇ ×E = −

dBdt

∇ ⋅B = 0

c2∇ ×B =

dEdt

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

Dato che per

I secondi membri non sono identicamente nulli

Si hanno soluzioni in assenza di cariche e correnti che dipendono dalla particolare forma dei secondi

membri

ρ = 0J = 0

⎧⎨⎩

Da qui la possibilità di verifica sperimentale

Due lastre infinite uniformemente cariche

Se le due lastre sono ferme non avremo campi elettrici e magnetici nello spazio esterno

E = 0B = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

Se , all’istante t=0 , forniamo alla lastra positiva una velocità v diretta come in figura

Avremo delle correnti dirette come “y”

Campi magnetici nel piano “zx”

c2B ⋅dl =∫ c2 2b ⋅ B x ≡

a2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=σvε0b

B x ≡a2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

σv2ε0c

2indipendente dalla distanza

Se non ci fosse il termine correttivo di Maxwell:

Quindi, mettendo in moto la lamina, il campo passerebbe da 0 al valore finito trovato

Il campo quindi dipenderebbe dal tempo e questo genererebbe campi elettrici,

secondo la legge di Faraday

∇ ×E = −

dBdt

Come sarà diretto il campo elettrico?

∇ ×E = −

dBdt

indica che è diretto in modo da “opporsi” alla causa che lo genera

Ovviamente anche il campo elettrico generato sarà dipendente dal tempo

Senza il termine aggiuntivo di Maxwell questo effetto non si ripercuoterebbe sul

valore del campo magnetico

Ma, se la correzione è giusta, il modo con cui abbiamo valutato il campo magnetico non è corretto, ed il valore trovato è errato

Di quanto avremo sbagliato?

omesso il flusso della derivata del campo elettrico

L’errore sarà tanto maggiore quanto più grande è il lato”a”

del rettangolo

Quindi:nelle immediate vicinanze il risultato trovato risulterà

praticamente correttoa grande distanza il valore del campo magnetico potrà

essere completamente diverso da quanto calcolato

Diamo una soluzione e verifichiamola

La verifica andrà fatta a cavallo del fronte

−c2B ⋅b =ddt

Φ E( ) = −bαE

EB=c2

α

Relazione tra i moduli dei campi

Nel piano perpendicolare

E ⋅b = −ddt

Φ B( ) = −b ⋅ −B( )α EB= αda cui:

Le due relazioni concordano solo se α=c

EB=c2

αsi era trovato:

Le altre due equazioni

ΦS

E( ) = 0

ΦS

B( ) = 0

in quanto le linee di campo sono rette giacenti su piani paralleli a quello delle lastre ed il modulo del campo

dipende solo dalla distanza

sono ovviamente sempre soddisfatte

La soluzione:

Campi tra loro perpendicolari

Fronte che si muove con velocità”c”

Modulo dei campi uniformeModulo dei campi nullo

Campi perpendicolari alla direzione lungo la quale si muove il fronte

soddisfa le equazioni di Maxwell

B x < ct( ) = σv2ε0c

2 E x < ct( ) = σv2ε0c

di moduli

Campi tra loro perpendicolari

Fronte che si muove con velocità ”c”

Modulo dei campi uniformeModulo dei campi nullo

Campi perpendicolari alla direzione lungo la quale si muove il fronte

B x < ct( ) = σv2ε0c

2 E x < ct( ) = σv2ε0c

Valgono in generale

Valgono nel caso particolare

Le lamine sono due.

Supponiamo, al tempo t=T, di muovere anche la seconda lamina con identica velocità della prima

dato che è carica di segno opposto, produrrà campi opposti a quelli generati dalla prima

Campi magnetici generati dalle due lastre in moto

I campi occupano solo uno straterello di spazio definito da “c(t-T) < x < c t”

Adesso le lastre possono essere anche poste a contatto in modo che le cariche si neutralizzino

a vicenda

Ciò non produrrà alcun effetto sullo straterello occupato dai campi, i cui fronti continueranno a muoversi entrambi

con velocità “c”

Fino ad ora i campi non potevano essere separati dagli

oggetti materiali.

Venivano introdotti per superare la difficoltà concettuale delle

“interazioni a distanza”, ma se ne poteva fare a meno

Se si riconosce che possono sussistere anche indipendentemente dagli oggetti, allora essi divengono un soggetto fisico a tutti gli effetti:

cambia l’ottica con cui guarda a

tutto quanto ricavato

Giustifica il cambiamento di nome delle equazioni

Fenomeni simili accadono realmente?Nella risposta a questa domanda risiede la giustificazione del

termine introdotto da Maxwell

Occorre generare, nella stessa regione di spazio, sia campi elettrici che magnetici e vedere se siano o meno in grado di

propagarsi nello spazio

Circuito RLC

Campo elettrico

Campo magnetico

ε = ε0 cos ω t( )

ε − iR − Ldidt

−qC

= 0

Punto di partenza:

ε − iR − Ldidt

−qC

= 0

derivando rispetto al tempo

Passando alla notazione complessa: ε → ε0ejω t i→ℑ0e

jω t

jω ε0ejω t = R jω ℑ0e

jω t − Lω 2 ℑ0ejω t +

1Cℑ0e

jω t

ddt

ε = R ddti + L

d 2

dt 2i +

iC

ℑ0 =ε0

R + j Lω − 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ℑ0 =ε0

R2 + Lω − 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 R − j Lω −1

ωC⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

ε0

R2 + Lω − 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

R − j Lω − 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

R2 + Lω − 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2=

ε0

R2 + Lω − 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2e jϕ

i = i0 cos ω t +ϕ( )

B x,t( ) =

B x( )cos ω t +ϕ( )

Il problema è che il campo elettrico è confinato tra le armature del condensatore mentre il campo

magnetico è nello spazio esterno

q = i0 cos ω t +ϕ( )0

t

∫ dt =i0ωsin ω t +ϕ( )

E t( ) =

E0 sin ω t +ϕ( )

ℑ0 =ε0

R2 + Lω − 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2e jϕ

Impedenza

Sfasamento

Sia il campo elettrico che quello magnetico

occupano la stessa regione di spazio

Possono quindi intervenire le derivate temporali dei campi

Heinrich Hertz

I campi si propagano come previsto dalle equazioni di

Maxwell e valgono per loro le stesse leggi dell’ottica

geometrica

Pure la velocità con cui si propagano è numericamente uguale a quella della luce

Questo porta a riconoscere la luce come campi elettromagnetici che si propagano nello spazio

Soluzioni delle Equazioni di Maxwell

∇ ⋅E =

ρε0

∇ ×E = −

dBdt

∇ ⋅B = 0

c2∇ ×B =

Jε0

+dEdt

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

Cerchiamo di riscrivere queste equazioni in modo che sia evidente il

tipo di soluzione da loro ammessa

Due delle quattro equazioni ci serviranno per introdurre delle funzioni potenziale esprimendo in

termini di questi i campi

Le altre due serviranno per ricavare materialmente i potenziali

Se

∇ ⋅B = 0 allora:

B =∇ ×A

Dalla:

∇ ×E = −

dBdt

∇ ×E = −

d∇ ×A( )

dt= −∇ ×

dAdt

∇ ×

E +

dAdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 0

E +

dAdt

= −∇Φ

Quindi:

B =∇ ×A

E = −

∇Φ −

dAdt

potenziale scalare

Dato che il potenziale vettore determina entrambi i campi

se:

A→

A +∇ϕ

allora occorre cambiare pure il potenziale scalare secondo la:

Φ→Φ−ddtϕ

Veniamo adesso alle altre due equazioni: quelle che servono per determinare i potenziali

∇ ⋅E =

ρε0

∇ ⋅ −

∇Φ −

dAdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

ρε0

∇2Φ +d∇ ⋅A( )

dt= −

ρε0

La divergenza del potenziale vettore è arbitraria, quindi la possiamo scegliere in

modo da semplificare l’equazione

Vediamo prima l’ultima relazione

c2∇ ×B =

Jε0

+dEdt

c2∇ ×

∇ ×A( ) =

Jε0

+d −∇Φ − d

Adt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dt

c2∇∇ ⋅A( ) − ∇2 A⎡

⎣⎤⎦ +∇dΦdt

+d 2A

dt 2=Jε0

Potremmo rendere l’equazione identica a quella dell’elettrostatica!

c2∇∇ ⋅A( ) − ∇2 A⎡

⎣⎤⎦ +∇dΦdt

+d 2A

dt 2=Jε0

∇2Φ +d∇ ⋅A( )

dt= −

ρε0

La maggiore difficoltà risiede nel fatto che entrambi i potenziali sono legati sia alle cariche che alle correnti

Possiamo usare la scelta sulla divergenza in modo da separare le dipendenze

Calibro di Lorentz

∇ ⋅A = −

1c2dΦdt

Non conviene quindi scegliere

∇ ⋅A = 0

∇2Φ−1c2d 2Φdt 2

= −ρε0

∇2 A −1c2d 2A

dt 2= −

Jc2ε0

Sono quattro equazioni strutturalmente identiche

La prima connette il potenziale scalare alle densità di carica

Le altre connettono il potenziale vettore alle tre componenti del vettore densità di corrente

I primi membri sono simmetrici nelle quattro coordinate: “x” , “y”,”z”ed “ict”

∇ ⋅E =

ρε0

∇ ×E = −

dBdt

∇ ⋅B = 0

c2∇ ×B =

Jε0

+dEdt

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

B =∇ ×A

E = −

∇Φ −

dAdt

∇2Φ−1c2d 2Φdt 2

= −ρε0

∇2 A −1c2d 2A

dt 2= −

Jc2ε0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

La novità viene dallo spazio

vuoto !

B =∇ ×A

E = −

∇Φ −

dAdt

∇2Φ−1c2d 2Φdt 2

= 0

∇2 A −1c2d 2A

dt 2= 0

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

∇2Φ−1c2d 2Φdt 2

= 0Quali soluzioni ammette la:

d 2

dx2Φ +

d 2

dy2Φ +

d 2

dz2Φ−

1c2d 2Φdt 2

= 0

Una soluzione di questa equazione è

Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2π

k ⋅ r −υ t( ) +ϕ( )

Vettore dato

Costanti date

d 2

dx2Φ = −Φ0

2 sin 2πk ⋅ r −υ t( ) +ϕ( ) 2π( )2 kx2

Infatti:

ed analoghe

Oltre la ovvia Φ r ,t( ) = 0

d 2Φdt 2

= −Φ02 sin 2π

k ⋅ r −υ t( ) +ϕ( ) 2π( )2υ 2

infine

per cui:

che implica la condizione:

Quindi: Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2π

k ⋅ r −υ t( ) +ϕ( )

con qualunque e

k

υ = c

k

è soluzione per lo spazio vuoto

kx2 + ky

2 + kz2 = k2 =

υ 2

c2

d 2

dx2Φ +

d 2

dy2Φ +

d 2

dz2Φ−

1c2d 2Φdt 2

= −Φ02 sin 2π

k ⋅ r −υ t( ) +ϕ( ) 2π( )2 kx

2 + ky2 + kz

2 −υ 2

c2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 0

Uguali soluzioni saranno valide per le singole componenti del potenziale vettore

Quali saranno i punti dello spazio in cui, ad un dato istante la fase è la stessa?

2πk ⋅ r −υ t( ) +ϕ = costante

k ⋅ r = costante

Dato valore della proiezione di “r” lungo “k”

Il luogo di tali punti è un piano avente normale parallela al vettore “k”

Si parla quindi di : “Onde piane”

Possiamo quindi scegliere un asse coordinato nella direzione del vettore “k”

Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2π k x −υ t( ) +ϕ( )

Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2πk x − ct( ) +ϕ( )

Come cambia nel tempo il luogo dei punti corrispondenti a fase assegnata?

x − ct = costante x = costante + ct

Trasla nel tempo con velocità pari a “c” in direzione concorde al vettore “k”

Lunghezza d’onda

Periodo

Ampiezza

Di quanto debbo spostarmi nella direzione del vettore d’onda per fare si che la fase vari di 2π ?

Quanto tempo devo attendere perché, in un dato punto, la fase vari di 2π ?

Di quanto differiscono i valori massimo e medio?

Φ r ,t( ) = Φ0 sin 2πk x − ct( ) +ϕ( )

λ =1k

T =1kc

=1υ

Φ0

Alcune definizioni:

In generale, i potenziali Vettore e Scalare potranno essere espressi come combinazione lineare di onde piane

Φ r ,t( ) = Φn sin 2πkn ⋅r −υn t( ) +ϕn( )

n∑

υn = ckncon

Air ,t( ) = Ain sin 2π

kn ⋅r −υn t( ) +ϕn( )

n∑ i = x, y, z{ }

Differiscono tra loro per modulo, direzione e verso

È necessario il segno “-”?

Φ r ,t( ) = Φn− sin 2π

kn ⋅r −υn t( ) +ϕn

_( )n∑ + Φn

+ sin 2πkn ⋅r +υn t( ) +ϕn

+( )n∑

ed analoghe per il potenziale vettore

Possiamo domandarci:

Prescindendo dalle sommatorie, le funzioni base debbono necessariamente essere seni o coseni?

La risposta è negativa. Quello che è importante è la dipendenza della funzione dalle variabili spaziali e temporali

d 2

dx2Φ =

1c2d 2Φdt 2

Caso unidimensionale:

Φ = f x − ct( ) + g x + ct( ) è soluzione

Funzioni arbitrarie

esistono dei teoremi, dovuti a Fourier, che mostrano come

f x − ct( ) = C k( )∫ sin 2πk x − ct( )( )dk

ed insegnano come valutare i coefficienti ”C(k)”

Questo non contraddice quanto detto a proposito delle onde piane in quanto

Questo per i potenziali, ma per i campi?

Se i potenziali possono essere espressi come combinazione lineare di seni e coseni lo stesso varrà per i campi

in quanto essi si deducono dai potenziali attraverso derivazioni

Vediamo la cosa esplicitamente, ricavando le equazioni differenziali a cui debbono obbedire i campi

B =∇ ×A

∇2 B = ∇2

∇ ×A( ) = ∇ × ∇2 A( )

ora

∇2 A =1c2d 2A

dt 2per cui

∇2 B =1c2∇ ×

d 2A

dt 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=1c2

d 2

dt 2∇ ×A( ) e quindi

∇2 B =1c2

d 2

dt 2B formalmente identica alla

∇2 A =1c2d 2A

dt 2

Allo stesso modo si ricava che

∇2 E =1c2

d 2

dt 2E

Orientazione spaziale di “k”, “E” e “B”

∇ ⋅E = 0

∇ ×E = −

dBdt

∇ ⋅B = 0

c2∇ ×B =

dEdt

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

“E” e “B” sono ortogonali alla direzione di propagazione “k”

“E” e “B” sono tra loro ortogonali

E =E0 sin 2π

k ⋅ r −ωt( )

∇ ⋅E = 2π E0xkx + E0yky + E0zkz( )cos 2π k ⋅ r −ωt( ) = 0

E0xkx + E0yky + E0zkz( ) = E0 ⋅

k = 0

Allo stesso modo si trova che

B ⋅k = 0

E ⋅k = 0

∇ ×E = −

dBdt

E =E0 sin 2π

k ⋅ r −ωt( )

B =B0 sin 2π

k ⋅ r −ωt( )

prendiamo la componente “z”

∇ ×E( )

z= −

dBzdt

∇ ×E( )

z= 2π E0xky − E0ykx( )cos 2π k ⋅ r −ωt( ) = −Bzω cos 2π

k ⋅ r −ωt( )

E0xky − E0ykx( )∝ −Bz ed analoghe

E ×k ∝ −

B

E ×B ∝k

Soluzioni per onde sferiche

Φ r ,t( ) = Φn− sin 2π

kn ⋅r −υn t( ) +ϕn

_( )n∑ + Φn

+ sin 2πkn ⋅r +υn t( ) +ϕn

+( )n∑

è utile quando il numero di termini nella sommatoria è piccolo

Non sarà adatta se si i vettori “k” differiscono anche in direzione

Per descrivere ciò che accade in tutta la zona di spazio che attornia la distribuzione di cariche è opportuno ricercare

soluzioni base che abbiano simmetria sferica

Φ(r ,t) = Φ r ,t( )

∇2Φ r ,t( ) − 1c2

d 2

dt 2Φ r ,t( ) = 0

Data la simmetria sferica, conviene scrivere l’operatore ∇2 in coordinate sferiche, tenendo conto che la funzione dipende solo

dal modulo della distanza

ddx

f r( ) = ddr

f r( ) ddx

x2 + y2 + z2( )12 =

ddr

f r( ) ⋅ xr

d 2

dx2f r( ) = d 2

dr2f r( ) ⋅ x

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ddr

f r( ) ⋅ 1r+ x

ddx

x2 + y2 + z2( )−12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d 2

dx2f r( ) = d 2

dr2f r( ) ⋅ x

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ddr

f r( ) ⋅ 1r1− x2

r2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∇2 f r( ) = d 2

dr2f r( ) + d

drf r( ) ⋅ 1

r3−1( ) = d 2

dr2f r( ) + 2

rddr

f r( )

ora: d 2

dr2r f r( )( ) = d

drf r( ) + r d

drf r( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= 2 d

drf r( ) + r d

2

dr2f r( )

per cui ∇2 f r( ) = d 2

dr2f r( ) + 2

rddr

f r( ) = 1rd 2

dr2r f r( )( )

∇2Φ r ,t( ) − 1c2

d 2

dt 2Φ r ,t( ) = 0 1

rd 2

dr2rΦ r,t( )( ) − 1

c2d 2

dt 2Φ r,t( ) = 0

d 2

dr2rΦ r,t( )( ) − 1

c2d 2

dt 2rΦ r,t( )( ) = 0

Per il prodotto “rΦ” vale la stessa equazione differenziale trovata per il caso unidimensionale

Potremo scrivere quindi: Φ r,t( ) = 1rf r − ct( ) + g r + ct( )( )

Per grandi distanze vi è una attenuazione

Quale è il significato fisico dell’attenuazione

dell’onda?

Per quale motivo non vi era

attenuazione nel caso dell’onda

piana?

1r

cos(r)r

Notare che per piccole distanze gli andamenti tendono ad essere simili

La densità di energia è proporzionale al quadrato del modulo del campo

Man mano che l’onda si espande il volume occupato dai campi aumenta come il quadrato della distanza

E2dv = costante∫

Campi al tempo t=t1

Campi al tempo t=3t1

Un secondo aspetto:

Φ r,t( ) = 1rf r − ct( ) + g r + ct( )( )

Φ r,t( ) = 1rf r − ct( )Per cui si una sempre:

Significato fisico della

eliminazione

Un problema apparenteΦ r,t( ) = 1

rf r − ct( )

Divergenza nell’origine

Per quale motivo?L’equazione differenziale usata non è corretta in prossimità dell’origine

∇2Φ r ,t( ) − 1c2

d 2

dt 2Φ r ,t( ) = −S r ,t( )

Usando la:

La divergenza non vi sarebbe

Vediamo dal punto di vista fisico cosa dobbiamo attenderci

Cambiamento di variabile

Invece di: Φ r,t( ) = 1rf r − ct( )

Φ r,t( ) = 1rf t −

rc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟scriviamo:

Zona occupata dalle sorgenti

Per valutare la situazione in “p” possiamo usare il

principio di sovrapposizione

dΦ r ,t( ) = 1r1,2

df t −r1,2c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Integrando:

Φ r ,t( ) = 1r1,2

df t −r1,2c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V

∫

Se il punto è molto lontano da tutte le sorgenti:

Φ r ,t( ) 1r

df t −rc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

V∫ =

1rg t −

rc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

come già visto

Se il punto è interno al sistema di correnti

dovremmo in teoria escludere l’elemento di volume che lo contiene

Φ r ,t( ) = 1r1,2

df t −r1,2c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V

∫

tuttavia: df ≈ dl 3 per cui dfr

≈ dl2

Φ r ,t( ) = 1r1,2

df t −r1,2c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V

∫E quindi, sempre:

Φ r ,t( ) = 1r1,2

df t −r1,2c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V

∫

resta da trovare l’espressione della funzione “f” in termini delle sorgenti

Domandiamoci per questo a cosa essa si riduce in prossimità delle sorgenti

df t −r1,2c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟→ df t( )

Ritardo temporale

Se sono interessato a vedere ciò che accade al tempo”t”, debbo

valutare una opportuna funzione al tempo “t-r/c”

df t −r1,2c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟→ df t( )

Quanto dovrò essere vicino per poter trascurare il termine di

ritardo temporale?

Non si tratta di una distanza “fissata”

Occorre che in un tempuscolo pari ad “r/c” le condizioni fisiche della sorgente non siano variate in modo apprezzabile

Avvicinandoci sufficientemente ci porteremo sempre in tale condizione

dΦ r ,t( ) = 1r1,2

df t −r1,2c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dΦ r ,t( ) = 1r1,2

df t( )

Invece della:

Avremo:

dΦ r ,t( ) = 1rdf t( ) cosa ci ricorda?

potenziale Coulombiano dovuto ad una carica “dq”

dΦ r( ) = 14πε0

dqr

Vi è la dipendenza dal tempo, ma esso non interviene nell’operatore differenziale e quindi appare come un

semplice parametro

connesso con l’equazione

differenziale:∇2Φ = −

ρε0

∇2Φ t( ) = −ρ t( )ε0

Questa analogia era da attendersi?

Mai nulla è statico, cosa significa quindi

Elettrostatica o Magnetostatica?

Questa considerazione ci permette di identificare la funzione”f”Tra “df” e le sorgenti dei campi vi sarà la stessa relazione

dq4πε0

=ρdv4πε0

ρε0

che intercorre tra e

L’evoluzione temporale dei parametri è talmente lenta che possiamo, in ogni momento,

riferirci ai valori caratteristici di quell’istante,come se perdurassero

per un tempo infinito

Questa è proprio l’approssimazione insita nell’omettere il ritardo temporale

Quindi: df t( ) = 14π

s(r,t)dv s(r,t) =

ρ(r,t)ε0

Ji (r,t)ε0c

2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Identificata la funzione, reintroduciamo il ritardo temporale

Φ r ,t( ) = 1r1,2

df t −r1,2c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V

∫

Φ 2,t( ) = 14πε0

ρ 1,t − r1,2 / c( )r1,2∞

∫ dv1

A 2,t( ) = 1

4πε0c2

J 1,t − r1,2 / c( )

r1,2∞∫ dv1

E = −

∇Φ −

ddtA

B =∇ ×A

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

Espressioni praticamente identiche a quelle dei casi statici; vi è solo da tener

conto del ritardo temporale.

Φ 2,t( ) = 14πε0

ρ 1,t − r1,2 / c( )r1,2∞

∫ dv1

A 2,t( ) = 1

4πε0c2

J 1,t − r1,2 / c( )

r1,2∞∫ dv1

E = −

∇Φ −

ddtA

B =∇ ×A

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

Anche se le espressioni dei potenziali sono simili, il ritardo temporale ha grosse conseguenze sull’andamento dei campi

Infatti Φ r,t( ) = 1rf r − ct( ) descrive sia l’andamento dei

potenziali che dei campi

Non è più vero che i potenziali vanno come r-1 mentre i campi come r-2

Entrambi vanno come r-1

Potenziale in funzione della distanza a tempo fissato

i = i0 cos(ω t)

Az =1rcos(t − r / c)

A− = −1r

A+ =1r

Esempio:

Potenziale in funzione della distanza a tempo fissato

Az =1rcos(t − r / c)

A− = −1r

A+ =1r

L’andamento del potenziale è simile all’andamento asintotico, quindi il

campo va come r-2

Il potenziale dipende dalla distanza più fortemente degli andamenti asintotici,

quindi i campi sono più intensi di quelli statici. Per questo dipenderanno dalla

distanza meno di quanto non ne dipendano quelli statici

A grande distanza, successivi minimi e

massimi del potenziale sono espressi da numeri

opposti

ddrA

ar + λ 2

− − ar

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

λ 2arλ

∝1r

Per questo possiamo vedere la luce delle stelle!

Nebulosa M16