Complementi ed esercizi di Idrodinamica – III parte.

1. Proiezione dell’equazione di Eulero sulla terna intrinseca. Le componenti della equazione di Eulero sulla terna intrinseca sono date dall’espressione:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−=

bg

ng

ru

sg

dtdu

ζ

ζ

ζ

0

2

(1)

In cui i vari simboli sono stati definiti nel 4° Capitolo delle Dispense. Si vogliono qui mettere in evidenza le conseguenze che si ottengono dalla seconda componente, facendo riferimento al caso del moto permanente di un fluido incomprimibile, all’interno di una condotta curva a sezione circolare con diametro costante D.

A tal proposito si osservi innanzitutto che la coordinata radiale r e la coordinata normale n sono

crescenti in direzioni opposte; dunque: rn ∂

∂−=

∂∂ ζζ , pertanto, integrando la seconda componente

rispetto alla coordinata radiale e facendo riferimento alla figura sopra riportata, si ottiene l’andamento della quota piezometrica con il raggio:

drgru

rg

ru

ng

ru r

RR ∫+=⇒

∂∂

=⇒∂∂

−=222

ζζζζ (2)

La quota piezometrica dunque è crescente nella direzione radiale e all’interno di due piezometri inseriti nei punti a,b, posti all’estremità del diametro, il liquido che scorre nella condotta si disporrebbe alle quote ζR, ζR+D, coincidenti con le quote dei piani dei carichi idrostatici relativi dei punti a,b. E’ interessante osservare cosa accada nel caso in cui l’asse della condotta giaccia su un piano orizzontale e nel caso in cui l’asse della condotta giaccia su un piano verticale. Nel primo caso infatti la pressione cresce esclusivamente con la coordinata radiale, a causa della crescita della

O A B R

D

r

n O

ζ

r R D

ζR

ζR+D

a b

piezometrica descritta dalla (2). Nel secondo caso invece la pressione varia sia nella direzione radiale che nella direzione verticale.

Devono però essere distinti due casi, sopra illustrati. Nel caso (a) la condotta rivolge la concavità verso l’alto e l’andamento della pressione rispetto alla coordinata radiale è determinato dall’effetto combinato dell’aumento della piezometrica con la medesima coordinata e della variazione della quota z. In particolare si vede che se l’andamento della pressione fosse puramente idrostatico la pressione in B varrebbe pIDR, rappresentata nel disegno dal segmento BC. In realtà la pressione in B vale pR+D, rappresentata nel disegno dal segmento BC’. La curva a tratteggio A’C’ rappresenta l’andamento qualitativo della pressione rispetto alla coordinata radiale. Nel caso (a) dunque la pressione sul bordo esterno della condotta è “più che idrostatica” a causa dell’effetto centrifugo. Nel caso (b) valgono le stesse considerazioni, però, a causa del fatto che la concavità è rivolta verso il basso, l’aumento di piezometrica nella direzione radiale compensa in parte la variazione di pressione con la quota. Perciò se l’andamento della pressione fosse puramente idrostatico la pressione in B varrebbe pIDR, rappresentata nel disegno dal segmento BC. In realtà la pressione in B vale pR+D, rappresentata nel disegno dal segmento BC’. La curva a tratteggio A’C’ rappresenta l’andamento qualitativo della pressione rispetto alla coordinata radiale. Nel caso (b) dunque la pressione sul bordo esterno della condotta è “meno che idrostatica” sempre a causa dell’effetto centrifugo.

2. Teorema di Bernoulli e applicazioni.

2.1 Fluidi ideali Il teorema di Bernoulli afferma che:

• la grandezza: g

ugpzH

2

2

++=ρ

si mantiene costante sulle traiettorie del moto di un fluido

ideale, incomprimibile, in moto permanente, sottoposto alla sola forza peso.

in cui z egp

ρrappresentano rispettivamente la quota geometrica e l’altezza di pressione

dell’elemento fluido sulla traiettoria. La grandezza H è definita carico idraulico, rappresenta l’energia per unità di peso del fluido e si misura in metri. Il teorema di Bernoulli è un teorema di

O

A

B

R

D r

ζR+D

ζR

pR

pR+D

z

O

r

A

B

ζR

ζR+D pR+D

pR

R

pIDR pIDR

z

(a) (b)

C C

C’

C’

A’ A’

conservazione dell’energia; l’elemento fluido che percorre la traiettoria è sottoposto, a norma del teorema, a continue e vicendevoli trasformazioni delle tre forme di energia prese in considerazione: energia di posizione, di pressione e cinetica. Nella forma sopra ricordata il teorema di Bernoulli afferma la costanza di H sulla generica traiettoria, la qual cosa non implica la costanza di H al variare della traiettoria presa in considerazione. In altre parole, il valore costante H varia, in generale, da traiettoria a traiettoria. Si deve infine accennare al fatto che il teorema di Bernoulli, modificando le ipotesi, può essere esteso a casi molto diversi da quello di fluido incomprimibile sottoposto alla sola forza peso. E’ di particolare interesse l’estensione del teorema di Bernoulli ai fluidi ideali comprimibili: si consideri a tal proposito l’equazione di Eulero, che vale, così com’è anche per i fluidi ideali comprimibili:

( ) kgradu gpdtd

−−=ρ1 (3)

si proietti l’equazione sulla direzione tangente alla traiettoria, sulla quale si definisce l’ascissa curvilinea s:

szg

sp

suu

tu

∂∂

−∂∂

−=∂∂

+∂∂

ρ1 (4)

Introducendo l’ipotesi di moto permanente e riunendo i vari termini a primo membro si ha:

012

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

sz

sp

ggu

s ρ (5)

A questo punto, poiché il fluido è comprimibile, non è possibile “mettere in evidenza” il simbolo di derivata nel primo membro, in quanto la densità del fluido varia. Nell’ipotesi però che il fluido sia sottoposto a trasformazioni a calore specifico costante o politropiche, la densità dipende esclusivamente dalla pressione:

( )pρρ = (6)

Introducendo dunque la funzione:

∫=g

dpPρ

(7)

si vede che il secondo termine a secondo membro della (5) può essere espresso come la derivata della P rispetto all’ascissa curvilinea s:

sp

gsp

dpdP

sP

∂∂

=∂∂

=∂∂

ρ1 (8)

Di conseguenza la (5) assume la forma:

0222

12

2222

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

∫ zg

dpg

us

zPg

uss

zsP

gu

ssz

sp

ggu

s ρρ (9)

Il teorema di Bernoulli, esteso al caso di fluidi ideali, comprimibili, sottoposti a trasformazioni a calore specifico costante e alla sola forza peso, può essere enunciato nel seguente modo:

• la grandezza: g

ug

dpzg

uPzH22

22

++=++= ∫ ρsi mantiene costante sulle traiettorie del

moto di un fluido ideale, comprimibile, in moto permanente, sottoposto a trasformazioni a calore specifico costante e alla sola forza peso.

Nell’applicare il teorema di Bernoulli nella forma (9) l’integrale deve essere calcolato in base alla trasformazione cui l’elemento fluido è sottoposto durante il movimento sulla traiettoria. E’ necessario pertanto conoscere la forma assunta dalla trasformazione (6). Normalmente si ha:

k

pp

1

00 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ρρ (10)

In cui k è l’indice della trasformazione politropica e dipende dal tipo di trasformazione adottata. Nel caso di trasformazione isoterma k vale: k=1, nel caso di trasformazione adiabatica k eguaglia il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costante vp cck = . 00 , ρp sono valori di riferimento, di solito fatti coincidere con il valore iniziale della trasformazione.

2.2 Fluidi reali Il teorema di Bernoulli è stato esteso ai fluidi incomprimibili reali tramite il bilancio di energia cinetica del tronco di corrente lineare, in assenza di scambi energetici con macchine, ed è stata ottenuta l’espressione:

ℜ−=

gdsdH lc

ρτ (11)

in cui il carico idraulico della corrente lineare cH è definito dalla:

ζα +=g

UH cc 2

2

(12)

essendo αc il coefficiente di ragguaglio della potenza cinetica, definito dalla:

σ

σασασ σ

σ3

3

33

U

duUdu cc

∫∫ =⇒= (13)

Se la lunghezza del tronco di condotta è sufficientemente piccola (in pratica se la lunghezza del tronco è confrontabile con il diametro della condotta) il termine di sforzo di parete può essere trascurato e dalla (11) si ottiene la:

tcosg

UH cc =+= ζα2

2

(14)

valida nelle correnti lineari di fluidi incomprimibili, di ridotta estensione, in assenza di scambi energetici con macchine. E’ opportuno fare un cenno al calcolo del coefficiente di ragguaglio. Si è detto infatti che tale coefficiente nelle pratiche applicazioni viene sempre approssimato al valore unitario. Tale approssimazione vale però solo se il profilo di velocità sulla sezione, ossia la funzione ( )ruu = descrivente l’andamento del modulo della velocità rispetto al raggio, è sufficientemente “piatto”. Nelle correnti lineari in moto uniforme il profilo della velocità può essere posto nella forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

n

Rruu 10 (15)

in cui 0u è il valore della velocità sull’asse della condotta ed n è un numero tale che: n≥2. Per n=2 si ha il profilo parabolico caratteristico del moto laminare. Al crescere di n il profilo si appiattisce, rappresentando il profilo caratteristico del moto turbolento.

Nella figura sopra riportata vengono diagrammati i profili per n=2, 4, 8, 16, 32. Di seguito si riporta il corrispondente valore assunto dal coefficiente di ragguaglio della potenza cinetica:

n α 2 2.00 4 1.54 8 1.28 16 1.14 32 1.07 1000 1.00

L’errore di approssimazione che si commette adottando il valore unitario per il coefficiente di ragguaglio decresce al crescere di n. Nelle applicazioni tecniche tuttavia, a parte il caso del moto laminare, tale errore è ritenuto accettabile.

2.3 Processi di efflusso Nel seguito verranno mostrate alcune applicazioni del teorema di Bernoulli, volte alla determinazione della portata liquida effluente da aperture praticate in serbatoi.

2.3.1 Efflusso da apertura circolare posta sul fondo di un serbatoio Si consideri il serbatoio aperto, riempito di liquido fino al livello H, sul fondo del quale sia praticata un’apertura circolare di diametro d. Si vuole determinare la portata effluente da tale apertura, in condizioni di moto permanente.

Se il livello H del serbatoio è costante il moto è permanente. Nella realtà il livello del serbatoio rimane rigorosamente costante solo se vi viene immessa una portata di liquido esattamente pari a quella che ne viene estratta. In pratica se il livello H è molto maggiore del diametro d dell’apertura praticata sul fondo e se il fenomeno viene osservato durante un intervallo di tempo sufficientemente piccolo, le variazioni del livello possono essere trascurate e si può assumere permanente il moto. Il processo di efflusso avviene in modo tale che un elemento fluido generico, con posizione iniziale A, sufficientemente lontana dalla sezione di efflusso B, parte dalla quiete, accelera lungo la traiettoria (linea a tratto e punto in grassetto in figura), attraversa la sezione di efflusso B e perviene infine alla sezione contratta C. Quest’ultima è così definita perché le traiettorie degli elementi fluidi convergono con continuità, fino a raggiungere in C la configurazione di corrente lineare, ossia ad essere parallele e rettilinee tra loro. Il teorema di Bernoulli può dunque essere applicato sulla traiettoria AC, considerando il fatto che il serbatoio è aperto e che all’esterno di esso vi è pressione atmosferica. Assumendo come piano di riferimento a quota z=0 il fondo del serbatoio ed Eguagliando il carico idraulico nei punti AC si ha:

gu

gp

gu

gpz CCAA

22

22

++−=++ρ

δρ

(16)

Si osservi innanzitutto che la velocità nel punto di partenza A è trascurabile rispetto a quella nel punto di arrivo C: si è infatti ipotizzato che il punto A sia sufficientemente lontano dalla sezione di efflusso B. Di conseguenza la pressione nel punto di partenza è data dal valore idrostatico, tenendo conto che il piano dei carichi coincide con la superficie libera del liquido.

( )zHgpA −= ρ (17)

H

d

δ

A

C

z=0

z

p/ρg

patm

patm

B

uC

Sulla sezione contratta C, orizzontale, la corrente è lineare: perciò la quota piezometrica e la pressione sono costanti. Quest’ultima è dunque pari al valore ambiente, ossia è nulla, poiché l’efflusso avviene in ambiente a pressione atmosferica. La velocità nel punto di arrivo C è dunque data dalla:

( ) ( )δδρ

ρ+=⇒+−=

−+ Hgu

gu

gzHgz C

C 22

2

(18)

in cui δ è la distanza tra la sezione di efflusso B e la sezione contratta C. Si noti come il valore di

Cu dipenda esclusivamente dalla differenza di quota tra il punto di partenza e quello di arrivo. Per questo motivo la velocità così calcolata è detta torricelliana: infatti è pari alla velocità raggiunta da un grave in caduta libera da un’altezza δ+H , soggetto alla forza di gravità, misurata per la prima volta da Evangelista Torricelli, allievo di Galileo Galilei. Si noti inoltre che la velocità torricelliana, nel caso esaminato non varia sulla sezione contratta: in altre parole qualunque sia il punto di partenza, il valore raggiunto è sempre pari al valore fornito dalla (18). Di conseguenza la portata effluente viene espressa dal prodotto del valore fornito dalla (18) per l’area della sezione contratta

CA :

( )δ+= HgAQ C 2 (19)

Nella (19) compaiono alcuni elementi che debbono essere misurati sperimentalmente: CA e δ. Per quanto riguarda CA si è soliti introdurre il coefficiente di contrazione CC pari al rapporto tra l’area dell’apertura praticata sul fondo A e l’area della sezione contratta CA :

AAC c

C = (20)

per mezzo del quale si può esprimere l’area della sezione contratta in funzione dell’area (nota) dell’apertura praticata sul fondo:

ACA Cc = (21)

Le prove compiute sui più disparati tipi di aperture (circolari, quadrate, triangolari, etc.) hanno fornito valori del coefficiente di contrazione poco differenti dal valore: 61.0≈CC .

Per quanto riguarda δ, si osservi che nelle applicazioni correnti 1<<Hδ e può pertanto essere

trascurato rispetto ad H. In definitiva la (19) diviene:

gHACQ C 2= (22)

La (22) fornisce valori leggermente maggiori di quelli misurati sperimentalmente, a causa del fatto che nella realtà vi è la presenza delle azioni dissipatrici. Il rapporto tra la velocità di efflusso misurata sperimentalmente eu e quella calcolata con la (18), è definito coefficiente di velocità:

C

ev u

uC = (23)

il quale, per sezioni di efflusso con spigolo vivo, vale 990970 ..Cv ÷= . La portata realmente effluente può dunque essere espressa tramite la:

gHACgHACCQ eCve 22 == (24)

in cui si riunisce nel coefficiente di efflusso eC il prodotto dei due coefficienti empirici vC C,C . Per quanto detto sopra al coefficiente di efflusso può essere attribuito il valore “pratico” 60.Ce = .

2.3.2 Efflusso su fondo piano da apertura rettangolare praticata lateralmente su paratia Si consideri la situazione illustrata in figura:

La paratia PP’ limita a monte il livello liquido H. Tramite l’apertura di ampiezza a e lunghezza (perpendicolarmente al piano del disegno) L si verifica un efflusso permanente con velocità uB. Assumendo come piano di riferimento a quota z=0 il fondo, consideriamo la traiettoria dell’elemento fluido con punto iniziale in A e finale B e applichiamo il teorema di Bernoulli:

gu

gpz

gu

gpz BB

BAA

A 22

22

++=++ρρ

(25)

La velocità nel punto iniziale A, purchè questo si trovi a sufficiente distanza dall’apertura, è senz’altro trascurabile rispetto a quella che si ha nel punto finale B. Di conseguenza la pressione in A è pari al valore idrostatico, che viene determinato facilmente considerando l’affondamento H- zA rispetto alla superficie libera:

a

A

B

H

zB

pB/ρg

pA/ρg

zA

(uB)2/2g

P

P’

uB

patm

hz=0

( )AA zHgp −= ρ (26)

Il carico in A vale dunque:

( ) Hg

zHgzH AAA =

−+=

ρρ (27)

Per determinare il carico in B, si consideri innanzitutto che le traiettorie degli elementi fluidi convergono tutte verso l’apertura e in corrispondenza alla sezione in cui si trova il punto B diventano tutte rettilinee e parallele. In altre parole, a partire dalla sezione in cui si trova il punto B, la corrente diviene lineare e la quota piezometrica si mantiene costante sulle sezioni perpendicolari alla direzione della velocità. In definitiva, anche sulla sezione di arrivo la pressione varia idrostaticamente rispetto alla superficie libera. Si ha pertanto per la pressione nel punto B:

( )BB zhgp −= ρ (28)

in cui h è l’altezza della corrente a partire dalla sezione B. Di conseguenza il carico in B vale:

( )g

uhg

ug

zhgzH BBBBB 22

22

+=+−

+=ρ

ρ (29)

Imponendo la costanza del carico sulla traiettoria, si ottiene l’espressione per la velocità della corrente nel punto B:

( )hHguB −= 2 (30)

L’espressione (30) non dipende dalla quota, ma solo dalla differenza delle altezze di liquido a monte e a valle della paratia, dove la corrente è diventata lineare. In ogni punto della sezione della corrente lineare la velocità assume lo stesso valore. La portata effluente vale pertanto:

( )hHghLhLuQ B −== 2 (31)

Nell’espressione (30) si preferisce far riferimento all’ampiezza dell’apertura praticata sulla paratia, introducendo il coefficiente di contrazione:

ahCC = (32)

Di conseguenza:

( )aCHgaLCaLuCQ ccBc −== 2 (33)

La (33) fornisce valori leggermente maggiori di quelli misurati sperimentalmente, a causa del fatto che nella realtà vi è la presenza delle azioni dissipatrici. Come è noto, introducendo il coefficiente di velocità vC , definito come il rapporto tra la velocità misurata sperimentalmente eu e quella calcolata con la (30), si può esprimere la portata realmente effluente tramite la:

( ) ( )aCHgaLCaCHgaLCCQChLuChLuQ ceccvvBvee −=−==== 22 (34) in cui si riunisce nel coefficiente di efflusso eC il prodotto dei due coefficienti empirici vC C,C . Anche in questo caso è possibile attribuire al coefficiente di efflusso il valore “pratico” 60.Ce = .

2.3.3 Efflusso da apertura rettangolare praticata lateralmente su paratia in caduta libera e in serbatoio con livello liquido differente Si consideri la situazione illustrata in figura:

In questo caso a valle dell’apertura rettangolare, di area aL, la corrente è in caduta libera, poiché non viene sostenuta dal fondo. Le traiettorie degli elementi fluidi convergono nella sezione in cui si trova il punto B e successivamente piegano verso il basso, con curvatura non nulla. Di conseguenza non si verifica mai la condizione di corrente lineare, anche se la sezione in cui si trova il punto B viene considerata la sezione contratta. Assumendo come piano di riferimento a quota z=0 il piano passante per l’asse di simmetria dell’apertura, consideriamo la traiettoria dell’elemento fluido con punto iniziale in A e finale B e applichiamo il teorema di Bernoulli:

gu

gpz

gu

gpz BB

BAA

A 22

22

++=++ρρ

(35)

Come nel caso precedente, la velocità nel punto iniziale A, purchè questo si trovi a sufficiente distanza dall’apertura, è senz’altro trascurabile rispetto a quella che si ha nel punto finale B. Di conseguenza la pressione in A è pari al valore idrostatico, che viene determinato facilmente considerando l’affondamento H- zA rispetto alla superficie libera:

( )AA zHgp −= ρ (36)

a

A

B

H

pA/ρg

zA

P

P’

patm

z=0

z

h/2

-h/2

Il carico in A vale dunque:

( ) Hg

zHgzH AAA =

−+=

ρρ (37)

Detta z la quota del punto B, il carico in tale punto vale:

gu

gpzH BB

B 2

2

++=ρ

(38)

Nella sezione di arrivo, per quanto detto sopra non si ha costanza della piezometrica. La pressione nel punto B non può perciò essere calcolata idrostaticamente. D’altra parte è sufficiente osservare che la corrente liquida è in caduta libera e che pertanto la pressione al suo interno è costante e pari al valore della pressione che vige nell’ambiente esterno: dunque il valore della pressione relativa nel punto B è nulla. Imponendo la costanza del carico sulla traiettoria, si ottiene l’espressione per la velocità della corrente nel punto B:

( )zHguB −= 2 (39)

In questo caso la velocità nel punto di arrivo dipende dalla quota del punto. Per determinare la portata effluente è necessario calcolare l’integrale sulla sezione di arrivo, che si estende da –h/2 a h/2 rispetto all’asse dell’apertura:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−== ∫∫

−−

23232

2

2

2 21

212

322

Hh

HhHgHLdzzHgLdzuLQ

h

h

h

hB (40)

Se h/H<1, espandendo in serie di Taylor al primo ordine la quantità tra parentesi quadre, con punto

iniziale zero, rispetto alla variabile Hh

2, si ottiene l’espressione semplificata della portata:

gHhLQ 2= (41)

Espressa in funzione della velocità torricelliana, calcolata con l’altezza del livello liquido rispetto all’asse dell’apertura. La portata effluente eQ effettivamente misurata può essere espressa facendo riferimento all’ampiezza a dell’apertura praticata sulla paratia e alla velocità realmente raggiunta dalla corrente liquida, introducendo il coefficiente di efflusso:

gHaLCQ e 2= (42)

Se l’efflusso, anziché essere in caduta libera, avviene in un serbatoio riempito fino ad un livello H0 (vedi figura sotto riportata), la corrente liquida effluente è “sostenuta” dal liquido nel serbatoio e pertanto, dopo aver superato la sezione contratta in cui si trova il punto B, si espande, rallenta e si porta gradualmente nelle condizioni del serbatoio di arrivo. Assumendo che, almeno nella sezione contratta, le traiettorie siano sensibilmente parallele e rettilinee, la pressione nel punto B potrà essere calcolata idrostaticamente. Si avrà perciò:

( )zHgpB −= 0ρ (43)

Di conseguenza il carico in B assumerà l’espressione:

( )g

uHg

ug

zHgzH BBB 22

2

0

20 +=+

−+=

ρρ (44)

Imponendo la costanza del carico sulla traiettoria, si ottiene l’espressione per la velocità della corrente nel punto B:

( )02 HHguB −= (45)

La (45) non dipende dalla quota z e pertanto la portata effluente può essere facilmente espressa in funzione della sezione contratta:

( )02 HHghLhLuQ B −== (46) Un valore più realistico è fornito in funzione delle dimensioni dell’apertura tramite il coefficiente di efflusso:

( )02 HHgaLCaLuCQ eBee −== (47)

Per concludere: nei processi di efflusso attraverso aperture praticate sulle pareti di serbatoi, le formule per il calcolo della portata possono essere generalizzate nella:

hgACAuCQ eeee Δ== 2 (48)

a

A

B

H

pA/ρg

zA

P

P’

patm

z=0

z

h/2

-h/2

H0

(uB)2/2g

in cui:

• eC è il coefficiente di efflusso, il cui valore “pratico” può essere posto pari a 0.6, salvo diversamente indicato;

• A è l’area dell’apertura praticata nel serbatoio; • hΔ è la differenza esistente tra la piezometrica a monte e a valle dell’apertura pari

precisamente all’altezza cinetica guadagnata dalla corrente.

2.4 Strumenti di misura della velocità e della portata

2.4.1 Tubo di Pitot Il tubo di Pitot costituisce un’interessante applicazione tecnica del teorema di Bernoulli.

Nella figura si vede riprodotto in sezione il tubo, terminante con un profilo affusolato e forato in B. L’asse del foro coincide con l’asse del tubo ed è collegato all’estremità di un manometro differenziale. Ad una certa distanza dal foro B, sulla circonferenza laterale del tubo passante per C sono realizzati dei fori, posti in collegamento con l’altra estremità del manometro differenziale. Quando il tubo viene immerso in una corrente, provoca una deformazione delle traiettorie, che sono costrette ad aggirare il tubo, per poi riprendere la loro conformazione normale approssimativamente a partire dal punto C, nel quale la velocità ha ripreso il valore indisturbato che aveva in A. La traiettoria che ha inizio in A invece entra nel tubo e termina praticamente nel punto di intersezione con la superficie del liquido manometrico. La peculiarità di questa traiettoria consiste nel fatto che a partire dal punto B la velocità è nulla: per questo motivo B è detto punto di ristagno. Ciò detto, si applichi il teorema di Bernoulli tra i punti A e B:

gu

gu

gu

gpz

gu

gpz B

BA

ABB

BAA

A 2222

2222

+=+⇒++=++ ζζρρ

(49)

Sono state fatte comparire le quote piezometriche dei punti suddetti. Tenendo conto del fatto che il punto B è un punto di ristagno, si può esprimere la velocità nel punto A, dove la corrente è ancora indisturbata, in funzione della differenza tra le quote piezometriche nei punti A e B:

( )ABA gu ζζ −= 2 (50)

Tale differenza viene misurata dal manometro differenziale. Infatti i fori praticati lungo la circonferenza laterale del tubo si trovano in corrispondenza di una sezione in cui la corrente è ritornata lineare: di conseguenza la piezometrica su tale sezione e nel liquido che entra nei fori laterali e riempie la cavità interna al tubo fino a toccare la superficie del liquido manometrico è costante. In definitiva il manometro differenziale misura esattamente la differenza di quote piezometriche tra i punti B e C. La quota piezometrica nel punto C approssima in modo accettabile quella del punto A, in cui la corrente è indisturbata. In definitiva, ricordando la formula del manometro differenziale, si ha:

Δ−

=⇒Δ−

=−≈−ρ

ρρρ

ρρζζζζ mA

mACAB gu 2 (51)

Il tubo di Pitot è in definitiva uno strumento assai semplice, robusto, impiegato soprattutto nelle correnti stazionarie. Tra l’altro è tuttora usato in aeronautica per misurare la velocità degli aeromobili.

2.4.2 Venturimetro Si consideri il tubo convergente-divergente, detto tubo di Venturi o venturimetro, illustrato in figura:

Poiché la lunghezza del tronco di condotta è sufficientemente piccola (nel senso precisato sopra), si può applicare il teorema di Bernoulli nella forma (14), tra la sezione a diametro D1, in corrispondenza della prima presa del manometro differenziale, e la sezione a diametro D2 (sezione di gola) in corrispondenza della seconda presa del manometro differenziale. Il coefficiente di ragguaglio si considererà unitario. Si ricorda che la forma (14) vale per le correnti lineari gradualmente variate, perciò, se la convergenza delle traiettorie fosse molto pronunciata, cadrebbero le ipotesi che hanno permesso di ottenere il teorema di Bernoulli nella forma (14). Cionondimeno

nella pratica tale forma viene adottata anche in condizioni ben oltre il limite di applicabilità, ottenendosi risultati apprezzabili. Dunque:

2

22

1

21

22ζζ +=+⇒=

gU

gUtcosHc (52)

La velocità media U può essere messa in relazione alla portata Q che resta costante in ogni sezione:

22

11 A

QU,AQU == (53)

Essendo 21 A,A le aree delle sezioni a diametro D1, D2 rispettivamente. Di conseguenza, sostituendo le (53) nella (52) e risolvendo in funzione della portata, si ottiene la seguente espressione:

( )2121

21

21 2 ζζ −−

= gAA

AAQ (54)

La differenza di quote piezometriche viene misurata dal manometro differenziale tramite la:

Δ−

=−ρ

ρρζζ m21 (55)

L’ipotesi di corrente lineare è essenziale: in virtù di tale ipotesi la quota piezometrica è costante sulla sezione e pertanto si può usare il manometro differenziale per misurarla. Sulla figura vengono riportati gli andamenti della linea del carico idraulico della corrente e della linea piezometrica. La linea del carico resta costante, essendo stati trascurati gli effetti dissipativi, mentre la linea piezometrica decresce nel convergente, raggiunge un minimo nella sezione di gola e successivamente cresce nel divergente, riportandosi al valore iniziale. Nel convergente infatti la corrente accelera, raggiunge la massima velocità nella sezione di gola e successivamente decelera riportandosi gradualmente nello stato cinematico iniziale. In altre parole, la diminuzione di piezometrica viene convertita in un guadagno di velocità, che, secondo la (14), viene di seguito completamente recuperato. La formula (54), tenendo conto della (55), assume la forma:

Δ=Δ−

−= Kg

AAAAQ m

ρρρ2

21

21

21 (56)

Nella quale il coefficiente K congloba tutte le grandezze geometriche e fisiche note. I valori di portata calcolati dalla formula (56) differiscono da quelli reali, a causa delle semplificazioni introdotte (liquido perfetto, corrente lineare) ma le differenze sono dell’ordine di pochi punti percentuali (1÷5%). Per concludere è opportuno osservare che, considerando il liquido perfetto, le prese del manometro potevano essere poste anche tra la sezione di gola e la sezione, a valle di questa, a diametro D1: infatti l’aumento o recupero di piezometrica è esattamente pari alla diminuzione di piezometrica che la corrente aveva subito tra la sezione d’ingresso e la sezione di gola, rimanendo costante il carico idraulico della corrente. Nella realtà le prese del manometro differenziale sono sempre poste come nella figura sopra riportata, poiché se la perdita di carico è trascurabile nel convergente, non lo è

mai nel divergente. L’andamento della linea del carico relativo al divergente riportato in figura si riferisce quindi ad un liquido perfetto, ma non ha alcun riscontro nella realtà.

2.5 Esercizi

Esercizio 2.5.1 Un liquido perfetto (ρg=8825 Nm-3) defluisce nella condotta ad asse verticale, riportata in figura. Nota la portata Q (Q=0.06 m3s-1), calcolare la differenza tra le pressioni nelle sezioni A,B (DA=0.25 m, DB =0.10 m, h=1.1 m) assumendo unitario il coefficiente di ragguaglio αc. Si osservi innanzitutto che il liquido in questione ha densità pari a:

36.89981.9

8825 −=== Kgmggρρ

Poiché la portata in volume si mantiene costante, possiamo immediatamente calcolare le velocità medie nelle due sezioni:

122

122

64.710.025.0

06.04

22.125.025.0

06.04

−

−

=××

==

=××

==

msDQU

msDQU

BB

AA

ππ

ππ

Di seguito si applica il teorema di Bernoulli nella forma (14):

gpz

gU

gpz

gU B

BB

cA

AA

c ρα

ρα ++=++

22

22

Da cui si ricava immediatamente la differenza delle pressioni, avendo assunto come piano di riferimento a quota z=0 quello passante per la sezione B:

h

DA

DB

z=0

ρ

( ) ( )

( ) { Papp

UUzzgpp

BA

ABcABBA

1587825585970822.164.76.8995.011.18825

2

coidrodinami Contributo

oidrostatic Contributo

22

coidrodinami Contributo

22

oidrostatic Contributo

=+−=−×××+×−=−

−+−=−

321

44 344 2143421

ραρ

Si vede come il contributo idrostatico abbia modulo addirittura inferiore a quello del contributo idrodinamico. Trascurare il contributo idrodinamico nel calcolo delle variazioni di pressioni nei liquidi in movimento, oltre ad essere un grave errore concettuale, può portare ad errori di calcolo notevoli. Trascurare o meno il contributo idrodinamico può essere accettabile solo a posteriori, avendone verificato l’entità.

Esercizio 2.5.2 Nell’ipotesi di liquido perfetto(ρg=8825 Nm-3) calcolare la portata Q del sifone illustrato in figura (H=3m, a=2 m, D=0.075 m). Individuare inoltre il massimo valore della portata QMAX scaricabile dal sifone al variare della quota H della sezione di sbocco.

La densità del fluido di lavoro è la stessa dell’esercizio precedente:

H=(uB)2/2g

A*

patm

patm

H*=(patm/ρg)-a B

B*

patm/ρg

ζ∗ass

ζ∗rel

ζrel

ζass

patm/ρg

a

z=0

D

A

zA

pA/ρg

36.89981.9

8825 −=== Kgmggρρ

Per calcolare la portata possiamo applicare il teorema di Bernoulli sulla traiettoria che inizia nel punto A e termina nel punto B, assunto come piano di riferimento a quota z=0 il piano passante per la sezione B:

gpz

gu

gpz

gu B

BBA

AA

ρρ++=++

22

22

La velocità nel punto iniziale della traiettoria è senz’altro trascurabile, purchè il punto A sia sufficientemente lontano dall’imbocco. Di conseguenza la pressione nel punto A coincide con il valore idrostatico:

( )AA zHgp −= ρ

Il carico idraulico in A vale pertanto:

( ) mHg

zHgzg

pz AA

AA 3==

−+=+

ρρ

ρ

La pressione relativa nel punto B è nulla, poiché lo sbocco avviene in ambiente a pressione atmosferica. Per la scelta del piano di riferimento a quota nulla, anche la quota nel punto B è nulla. Di conseguenza il carico in B coincide con l’altezza cinetica. Imponendo la costanza del carico sulla traiettoria passante per i punti A, B, si determina il valore della velocità in B:

12

67.722

−==⇒= msgHug

uH BB

identico per tutti i possibili punti di arrivo B sulla sezione. La velocità è dunque costante sulla sezione e pertanto la portata è data dal prodotto della Bu per la sezione di sbocco (trascurando gli eventuali effetti di vena contratta):

1322

0339.0075.025.067.74

−=×××== smDuQ B ππ

E’ evidente che all’aumentare di H, ossia all’abbassarsi della sezione di sbocco, la velocità di sbocco Bu aumenta e dunque aumenta la portata Q. Tuttavia c’è un limite a tale aumento. Si consideri infatti il carico nella sezione A*, posta sulla sommità del sifone:

gpz

gu A

AA

ρ*

*

2*

2++

Tale carico è pari a quello del punto di partenza, mentre l’altezza cinetica g

uA

2

2* è pari a quella di

arrivo g

uB

2

2

, poiché la portata Q e diametro D sono costanti. Di conseguenza si può esprimere la

pressione nel punto più alto del sifone in funzione della quota H:

( )aHgag

ugpHg

pHag

ug

pzg

u BA

ABAA

A +−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⇒=+++=++ ρρ

ρρ 222

2

**

2*

*

2*

La pressione relativa nel punto A* è negativa, ciò vuol dire che la pressione all’interno del sifone è inferiore alla pressione atmosferica esterna. La linea piezometrica infatti passa per la sezione di sbocco: tutti i punti al di sopra di tale sezione sono a pressione relativa negativa. La pressione relativa però non può scendere al di sotto del valore - patm. Ben prima di raggiungere tale limite teorico infatti la fase liquida inizia a vaporizzare. Assunto tuttavia il valore - patm come valore limite, si deve imporre che la pressione nel punto A* sia maggiore o uguale di tale limite:

( ) m.ag

p*Hpa*Hgpp atmatmatm*A 4892

8825101337

=−=−≤⇒−≥+−⇒−≥ρ

ρ

In corrispondenza del valore limite H* la velocità di sbocco e la portata valgono rispettivamente:

1322

*

1*

0603.0075.025.064.134

*

64.1348.981.92*2

−

−

=×××==

=××==

smDuQ

msgHu

B

B

ππ

La sezione di sbocco può dunque essere abbassata fino al piano orizzontale, la cui traccia sul piano del disegno è il segmento posto a quota H* dalla superficie libera. Il segmento passante per la sezione di sbocco, oltre che indicare il riferimento a quota z=0, rappresenta la quota piezometrica relativa. La condizione limite esprime il fatto che la piezometrica assoluta, distante dalla relativa del

segmento g

patm

ρ, non può scendere al disotto del punto di tangenza con l’asse del sifone, in

corrispondenza del punto più elevato di questo. La linea piezometrica relativa trasla verso il basso all’abbassarsi della sezione di sbocco, mentre la linea del carico idraulico relativo rimane costante sulla superficie libera.

Esercizio 2.5.3 Determinare la portata dalla apertura circolare praticata sul fondo del serbatoio illustrato in figura. Dati: D=0.05 m, h=3.5 m, ρg=9810 Nm-3, n=2 bar, Ce=0.6 (a=0.5 m, T=20°C, R=287.05 J/K Kg)

Per calcolare la pressione sulla superficie dell’acqua, si ricordi che la pressione del manometro metallico è riferita alla quota del centro di figura del quadrante. Nel caso in esame però il manometro è a contatto con aria, avente piccolo peso specifico rispetto all’ acqua. Di conseguenza si può assumere costante la pressione in tutta la massa d’aria presente. La pressione sulla superficie dell’acqua vale dunque n. Il dato di pressione deve espresso in unità di misura del SI. Poiché 1 bar sono 101337 Pa, 2 bar equivalgono a 202674 Pa. Teniamo conto dei seguenti fatti:

• la velocità in A è nulla ( 0=Au ) e la pressione in A è idrostatica: ( )AA zhgnp −+= ρ ; • la pressione in B è nulla (sbocco in ambiente a pressione atmosferica);

Applichiamo il teorema di Bernoulli sulla traiettoria di punto iniziale A, a sufficiente distanza dall’imbocco, e punto finale B, sulla sezione contratta:

δρ

−=+g

uhg

n B

2

2

Da cui si ricava immediatamente l’espressione della velocità in B:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= δ

ρh

gnguB 2

simile alla (18), salvo il fatto che a secondo membro compare il termine g

nρ

. δ è sicuramente

trascurabile rispetto a hg

n+

ρ. In definitiva, utilizzando il coefficiente di efflusso e l’area

dell’apertura posta alla base del serbatoio, si può esprimere la portata effluente:

1322

0260539810

20267481920502506024

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +××××××=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= sm......h

gngDCQ ee π

ρπ

h

n

ρ

aria

A

B

z=0

zA

δ

acqua

a

I dati riportati tra parentesi ci permettono ora di controllare la qualità dell’approssimazione fatta sul calcolo della pressione sulla superficie dell’acqua. Calcoliamo innanzitutto la densità dell’aria a 20°C e 202674 Pa (pressione relativa), tramite la legge di stato dei gas perfetti:

361329305287

101337202674 −=×

+==⇒= Kgm.

.RTpRTp

aa

ρρ

Al valore della pressione relativa è stato aggiunto il valore della pressione atmosferica, per avere il valore della pressione assoluta, da utilizzarsi nell’equazione di stato dei gas. Calcoliamo ora l’incremento di pressione che si verifica passando dal centro di figura del quadrante del manometro alla superficie dell’acqua:

Pa....gap a 81150819613 =××==Δ ρ

Tale incremento va sommato alla pressione n ed inserito nella formula della portata. Ripetiamo il calcolo con e senza correzione, per apprezzare la qualità dell’approssimazione:

132

132

0256504024

0256495024

−

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

sm.hg

gangDCQ

sm.hg

ngDCQ

ae

*e

ee

ρρπ

ρπ

Per visualizzare la differenza è necessario riportare un numero di decimali elevato. La variazione relativa è pari a 0.037‰, dunque tranquillamente trascurabile.

3. Calcolo di spinte esercitate da liquidi in movimento.

3.1 Il coefficiente di ragguaglio della quantità di moto. La modalità di calcolo delle spinte viene illustrata nel capitolo V delle dispense. Prima di mostrare alcune applicazioni al calcolo delle spinte, tramite la soluzione di esercizi, è opportuno fare un cenno al calcolo del coefficiente di ragguaglio della quantità di moto:

σ

σβσβσ σ

σ2

2

22

U

duUdu cc

∫∫ =⇒= (57)

Si è detto infatti che tale coefficiente, nelle pratiche applicazioni viene sempre approssimato al valore unitario. Tale approssimazione vale però solo se il profilo di velocità sulla sezione, ossia la funzione ( )ruu = descrivente l’andamento del modulo della velocità rispetto al raggio, è sufficientemente “piatto”. Nelle correnti lineari in moto uniforme il profilo della velocità può essere posto nella forma (15). Di seguito si riporta il valore assunto dal coefficiente di ragguaglio della quantità di moto per 2≤n≤32. L’errore di approssimazione che si commette adottando il valore unitario per il coefficiente di ragguaglio decresce al crescere di n. Nelle applicazioni tecniche tuttavia, a parte il caso del moto laminare, tale errore è ritenuto accettabile.

n β 2 1.33 4 1.20 8 1.11 16 1.06 32 1.03

3.2 Esercizi.

Esercizio 3.2.1 Calcolare la spinta esercitata dal liquido in moto permanente sul convergente tronco-conico illustrato in figura. Dati: ρ=1000 kgm-3, α=30°, n=0.2 bar, a=0.5 m, D1=0.2 m, D2=0.1 m, L=0.4 m, d=0.05m, Cc=0.9, βc=1. Si deve applicare l’equazione del bilancio della quantità di moto in forma globale:

0=+++ GΠMI seguendo i passi evidenziati per il calcolo delle spinte idrostatiche su superfici curve.

1. Scelta del volume di controllo In questo caso (vedi figura) è opportuno scegliere il volume compreso tra la sezione A e la sezione contratta B, delimitato dalla sezione circolare piana con diametro D1, dalla sezione contratta, assunta piana, circolare, dalla superficie laterale tronco conica, sollecitata dalla spinta, e dalla parte laterale di getto che sbocca in atmosfera.

2. Applicazione dell’equazione globale al volume di controllo

Innanzitutto si deve osservare che il termine I è nullo per la permanenza del moto. Il termine M deve essere calcolato solo sulle sezioni dove si ha un flusso effettivo, ossia dove 0≠⋅nu . Nel caso considerato e in generale, il termine M viene calcolato sulle sezioni ausiliarie di ingresso e uscita. Il termine Π, dovuto ai soli sforzi di pressione (gli sforzi viscosi si trascurano), viene espresso dalla somma dell’integrale dello sforzo di pressione calcolato sulla superficie tronco-conica e dell’integrale dello sforzo di pressione calcolato sulle superfici ausiliarie:

{ { 0 0

controllo. di volumenel contenuto

liquido del peso :corpo di forza della Risultante

ausiliarie superfici sulle Spinta

conica- troncosuperficie sulla Spinta.ausiliarie superfici sulle

moto di quantità della Flusso

=+++⇒=++ ∫∫ GnnMGΠM43421321 AuA

au dApdAp

L’ultima equazione può essere risolta rispetto all’opposto dell’integrale calcolato sulla superficie tronco-conica:

GΠMn ++=− ∫ auauA

dAp

in cui: ∫=

Auau dApnΠ . La spinta S esercitata dal liquido sulla superficie tronco-conica coincide

con il termine a primo membro. Infatti i termini dell’equazione globale rappresentano forze applicate al liquido. In particolare l’integrale calcolato sulla superficie tronco-conica è la forza esercitata sul liquido da tale superficie ma noi stiamo cercando S ossia la forza esercitata dal liquido sulla superficie, dunque esattamente l’opposto dell’integrale calcolato sulla superficie tronco conica. Possiamo perciò scrivere:

GΠMS ++= auau in cui auM è il flusso della quantità di moto calcolato sulle superfici ausiliarie di ingresso e uscita, auΠ è la spinta esercitata dalle superfici ausiliarie piane sul liquido contenuto all’interno del volume di controllo e G è il peso del liquido contenuto all’interno del volume di controllo. I termini auM e auΠ si calcolano tenendo conto del fatto che:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=⋅=

∫

∫nnΠ

nnuuM

uCFAu

au

ucAu

au

ApdAp

AUdA 2ρβρ

In altre parole termini auM e auΠ sono rivolti sempre verso l’interno del corpo liquido, in direzione normale alla superficie su cui agiscono. I termini dovuti agli sforzi di pressione sulle superfici ausiliarie sono calcolati semplicemente come il prodotto delle pressioni nei centri di figura per le aree di tali superfici, poiché si tratta di spinte esercitate da superfici piane. Si ha perciò, distinguendo le superfici ausiliarie di ingresso e uscita:

knnnnS gVApApAUAU BBCFBAACFABBBcAAAc ρρβρβ −+++= 22 Essendo nA, nB, i versori normali alle superfici ausiliarie, aventi verso entrante nel volume di controllo. Tenendo conto del fatto che: nB=-nA la spinta viene espressa dalla:

knnnnS gVApApAUAU ABCFBAACFAABBcAAAc ρρβρβ −−+−= 22

3. Calcolo dei vari termini

Cominciamo con il calcolo del termine G, ricordando che il volume del tronco di cono, di altezza L, compreso tra le sezioni di ingresso A e la sezione di sbocco avente diametro D2 è dato da:

( ) ( ) 3222221

21 0073.01.01.02.02.0

124.0

12mDDDDLV ≈+×+

×=++=

ππ

In realtà il volume di controllo si estende fino alla sezione contratta B: tuttavia la parte di corrente che sbocca in atmosfera fino a tale sezione ha peso trascurabile rispetto al resto. Il termine G vale dunque:

N..gV kkkG 72007308191000 −=××−=−= ρ Per calcolare i flussi della quantità di moto occorre conoscere i valori della velocità media sulle sezioni. Nel caso in esame non sono assegnate né le velocità medie, né la portata. E’ però nota la pressione n misurata dal manometro metallico, dalla quale si può risalire alla pressione nel centro di figura della sezione di ingresso. Difatti su tale sezione la corrente è lineare e di conseguenza la piezometrica è costante: pertanto sulla sezione di ingresso la distribuzione di pressione è di tipo idrostatico. Pertanto:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Pasin....sindLagnpCFA 27380300504050981010133720 =°++×+×=+++= αρ

La pressione nel centro di figura della sezione di uscita è nulla ( 0=CFBp ), poiché il getto si trova a pressione atmosferica. Note le pressioni nei centri di figura delle sezioni di ingresso e uscita, per determinare la portata si può applicare il teorema di Bernoulli nella forma (14) tra tali sezioni:

BB

cCFA

AA

c zg

Ug

pzg

U+=++

22

22

αρ

α

Infatti, assumendo il coefficiente di ragguaglio unitario, facendo passare il piano a quota z=0 per il centro di figura della sezione di ingresso ed esprimendo le velocità in funzione della portata si ha:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

1

13

22

222

2

222

1

22

1770079090

0510

621031400510

051022509810273808192

007909003140

007900314090

225030050400

007904

104

031404

204

2

−

−

−

=×

==

===

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −××

×−

××=

=°×+=+=

=×

==

=×

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

ms...

.AQU

ms...

AQU

sm......

...Q

m.sin..sindLz

m..DA

m..DA

zg

pgACA

AACQ

BB

AA

B

B

A

BCFA

BcA

ABc

α

ππ

ππ

ρ

Possiamo finalmente calcolare le altre componenti della spinta:

N...AU

N.ApN..AU

BBc

ACFA

AAc

366007909046610001

8600314027380820314062110001

22

22

=××××=

=×==×××=

ρβ

ρβ

Di conseguenza si ha:

( )NgVApAUAU AAAAACFAABBcAAAc knnnknnnS 728603668222 −+−=−+−= ρρβρβ

4. Determinazione del centro di spinta Le forze che compongono la spinta sono applicate nei rispettivi punti di applicazione. I flussi della quantità di moto auM nei centri di figura delle sezioni ausiliarie, poiché derivano da una distribuzione di velocità uniforme sulla sezione o simmetrica rispetto all’asse della corrente. Le spinte auΠ , dovute allo sforzo di pressione agente sulle superfici ausiliarie, nei centri di spinta, la cui determinazione si effettua con la modalità illustrata nella parte I: difatti sulle sezioni ausiliarie la pressione è distribuita idrostaticamente. Infine il peso G è applicato nel centro di figura del volume di controllo. In definitiva la situazione è quella illustrata sotto:

Il centro di spinta della auΠ si trova ad una distanza CFCS xx − dal centro di figura della sezione A pari a:

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

mxA

Ixx

mDI

mDA

mLda

gn

x

CFA

CFyy

CFCS

CFyy

A

CF

45

4544

1

22

1

108.722.30314.0

109.7

109.764

2.064

0314.04

22.330cos

30sin4.005.05.098101013372.0

cos

sin

−−

−

×=×

×==−

×=×

==

==

=°

°+++×

=+++

=

ππ

πα

αρ

L

d

a

n

α

Piano dei carichi della sezione ausiliaria di ingresso

AAAc AU n2ρβ

ABBc AU n2ρβ−

AACFAAp n

kgVρ−

B

A

xCS

x

Retta di massima pendenza

n/ρg

CG

xCF

Dunque assolutamente trascurabile; di conseguenza le rette d’azione della auM e della auΠ praticamente coincidono con l’asse del tronco di cono. La forza: ( )[ ] ( ) NNAUApU AAABBcACFAAcauau nnnΠM 5763668608222 =−+=−+=+ ρβρβ , può essere dunque traslata sulla retta d’azione fino ad intersecare la retta d’azione della G nel baricentro CG del tronco di cono. Questo punto può perciò essere preso come centro di spinta. Le componenti orizzontale e verticale della spinta e la sua inclinazione rispetto all’orizzontale, sono date da:

( )( )

'2423

2167230sin5768.49830cos576

°≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

=

=−°=⋅=°=⋅

iSkS

kSiS

ArcTan

NNN

θ

Esercizio 3.2.2 Calcolare la forza P da applicare alla paratia illustrata in figura, incernierata in A, per tenerla in equilibrio sotto l’azione del getto permanente a sezione circolare, con diametro D1 e velocità uniforme sulla sezione v1. Il piano della figura è orizzontale. La paratia è quadrata di lato L. Dati: L=1.2 m, v1=20 ms-1, α=30°, D1=0.05m, ρ=1000 kgm-3.

CG

S·i

S·K

G

Mau+Πau

α θ

1 3

2

τ

n v1

D1

L/2

α

A

patm

i

j

P

G

L/2

Per determinare P è necessario determinare preliminarmente la spinta S esercitata dal getto sulla paratia, seguendo lo schema precedentemente illustrato.

1. Scelta del volume di controllo In questo caso (vedi figura) è opportuno scegliere come volume di controllo, il volume del getto compreso tra la sezione 1 (di ingresso del getto) e le sezioni 2 e 3 (di uscita del getto), delimitato dalla superficie laterale del getto e dalla parte di paratia con cui il getto viene a contatto. La superficie del getto è completamente immersa in ambiente a pressione atmosferica, eccetto la parte di essa a contatto con la paratia, su cui agisce la spinta cercata.. Le superfici ausiliarie sono dunque le superfici piane 1, 2, 3 e la superficie laterale del getto in ambiente a pressione atmosferica.

2. Applicazione dell’equazione globale al volume di controllo Il termine I è nullo per la permanenza del moto. Sfruttando il risultato mostrato nel precedente esercizio, la spinta S esercitata dal getto sulla paratia, viene espressa dalla

GΠMS ++= auau in cui auM è il flusso della quantità di moto calcolato sulle superfici ausiliarie di ingresso e uscita, auΠ è la spinta esercitata dalle superfici ausiliarie sul liquido contenuto all’interno del volume di controllo e G è il peso del liquido contenuto all’interno del volume di controllo. Nel caso considerato è possibile constatare immediatamente che 0=auΠ , poiché tanto le superfici piane di ingresso e uscita, quanto la superficie laterale del getto sono immerse in ambiente a pressione relativa nulla. Per quanto riguarda il termine auM si ha:

ττiM 3232

221

21 AvAvAvau ρρρ −+=

Essendo n, τ i versori normale e tangente alla paratia, mostrati in figura. Per il termine G, perpendicolare al piano del disegno, si ha:

kG gVρ−= in cui V è il volume del volume di controllo.

3. Calcolo dei vari termini In questo caso il calcolo del termine G è praticamente impossibile, poiché prevede la determinazione del volume della parte di getto assunto come volume di controllo. Per tale scopo bisognerebbe descrivere analiticamente le superfici del volume di controllo e determinarne il volume, risolvendo un integrale triplo. Si deve però osservare che nei problemi riguardanti le spinte esercitate da getti liberi (ossia immessi in ambiente a pressione atmosferica) su superfici impermeabili, il peso rappresenta una parte trascurabile della spinta e viene di solito trascurato. La determinazione della spinta si riduce perciò al calcolo del termine auM :

ττiMS 3232

221

21 AvAvAvau ρρρ −+==

A tale scopo si osservi che gli unici dati a disposizione sono la velocità v1 e il diametro D1 nella sezione di ingresso. Tali dati sono sufficienti. Infatti poiché il liquido è perfetto, la spinta S dovrà essere normale alla paratia: le spinte elementari che la compongono sono normali alle areole dove agiscono e tutte parallele perché la paratia è piana. Dunque la loro risultante è anche normale alla paratia e la componente tangenziale è nulla. Ne consegue che:

( ) ( )

( ) 0cos

39330sin4

05.0201000sin

3232

221

213

232

221

21

22

1211

21

=−+=−+⋅=⋅

=°××

××==⋅=⋅

AvAvAvAvAvAv

NAvAv

ρραρρρρ

παρρ

τiτS

ninS

La spinta è dunque esprimibile come: ( ) NnnnSS 393=⋅= . Il fatto che la componente della spinta sia nulla in direzione tangente alla paratia, può essere usato congiuntamente alla conservazione della portata per determinare le aree di ingresso e uscita. La portata in volume entrante deve eguagliare la somma delle portate in volume uscenti: Non si conoscono però le velocità sulle sezioni di uscita. L’applicazione del teorema di Bernoulli su due distinte traiettorie che partono dalla sezione 1 e arrivano rispettivamente nelle sezioni 2 e 3 permette di stabilire che:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

gv

gv

gv

gv

22

2223

21

22

21

Il modulo della velocità resta costante. Tenendo conto di questo risultato, dalla conservazione della portata e dall’annullamento della componente tangenziale della spinta si ottiene:

( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×=°+

××

=+

=

×=°−

××

=−

=⇒

⎩⎨⎧

−=−=+

−

−

232

13

242

12

132

132

108.12

30cos140.05

2cos1

103.12

30cos140.05

2cos1

cosmAA

mAA

AAAAAA

πα

πα

α

1. Determinazione del centro di spinta

La determinazione del centro di spinta, preliminare alla determinazione della forza P, si attua semplicemente eguagliando i momenti delle forze componenti la spinta al momento della risultante, calcolati tutti rispetto al medesimo polo. Assunto come polo il punto G di intersezione tra la retta d’azione del flusso della quantità di moto nella sezione entrante e la paratia e detto b il braccio (incognito) della S rispetto a G si ha (assunti positivi i momenti antiorari):

332211 AvAvAv +=

τ222 Avρ

D2/2

A

patm

i

j

GS

b

i121 Avρ

τ323 Avρ−

D3/2

( ) ( )αρραρ

sin222sin

1

223322

22

33

231

21 A

DADAbDAvDAvbAv −=⇒−=

I flussi delle quantità di moto sulle sezioni uscenti sono stati applicati nei centri di figura di tali sezioni assunte di forma circolare di diametri D2, D3. Poiché:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×=××

==⇒=

×=××

==⇒=

−−

−−

mADDA

mADDA

23

33

23

3

24

22

22

2

108.4108.1444

103.1103.1444

πππ

πππ

Si determina infine il braccio della spinta:

( ) ( ) mA

DADAb 043.030sin002.02

013.000013.0048.00018.0sin2 1

2233 =°×××−×

=−

=α

Posto a 0.043 m a sinistra del punto G. Per determinare la forza P occorre imporre l’equilibrio alla rotazione della paratia attorno al punto A. Le forze agenti sulla paratia sono P, in direzione normale alla paratia a distanza L da A, ed S in direzione normale alla paratia (con verso opposto a P) a distanza L/2-b da A:

NLbSPbLSPL 182

2.1043.05.0393

21

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=