Complementi ed esercizi di Fisica2O3: Circuiti in corrente alternata

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

SoluzioneL’autore inquadra il problema nella categoria dei circuiti puramente resistivi, e così sarà risolto. Simboli

0 15.0VΞ =8.20R = Ω10.4AR = Ω

Essendo il circuito puramente resistivo non c’è ragione di tirare in ballo funzioni complesse. L’impedenza totale è reale AZ R R= +La corrente del circuito

( ) ( )0 0sin sinA

I t tZ R R

ω ωΞ Ξ= =+

con ampiezza0

0A

IR R

Ξ=+

La potenza erogata all’altoparlante è( )2 2 2

0 sinA A AP R I R I tω= =

La potenza media (scritta in varie forme)

( )2 2 2 2 2 20 0 0

1 1sin2 2

A AA A A A eff eff

A A

R RP R I t R I R IR R R R

ω= = = = Ξ = Ξ+ +

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

Soluzione

Simboli0 1202eff VΞΞ = = (in Italia la tensione efficace di rete è 230V)

1 150P W=

2 150P W=

3 100P W= (a)Ciascuna lampadina è sottoposta alla tensione ( )0 sin tωΞ = Ξ e ad esse è erogata la potenza istantanea 1,2,3l lP I l= Ξ = . La potenza media erogata a ciascuna lampadina è (il circuito è resistivo, il fattore di potenza è 1) 1,2,3l eff l effP I l= Ξ = . Pertanto

_ 1,2,3ll eff

eff

PI l= =

Ξ(b)La resistenza

effl

eff

RI

Ξ=

(c) La resistenza equivalente di tre resistori in parallelo

1 2 3

11/ 1/ 1/eqR

R R R=

+ +

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

Soluzione 1 2 60.0 /rad sω π=

2 2 50.0 /rad sω π=

11

54.0 LL

XX L Lωω

= = Ω → =

0100 2eff effVΞ = → Ξ = Ξ

L’ampiezza della corrente nell’induttore ( LZ Z= )0 0

02

IZ Lω

Ξ Ξ= =

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

SoluzioneSimboli

0 100VΞ =2 50.0 /rad sω π=

0 7.50I A=(a) Poiché l’ampiezza della corrente nell’induttore ( LZ Z= )

0 0 00

0

I LZ L Iω ω

Ξ Ξ Ξ= = → =

(b)

Sia 00 '

2II =

0 0 0 00

0 0

' ' 2 2' ' '

IZ L LI LI

ω ωω

Ξ Ξ Ξ Ξ= = → = = =

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

soluzioneSimboli

0 80.0VΞ =65.0 /rad sω π=

370.0 70.0 10L mH H−= =Intensità di corrente

( )( ) [ ]

2* 0 0 0

2 2 Im sin2

i ti te eI Z i L I t

Z L LLZ

πωω πω ω

ω ωω

− ÷ Ξ Ξ ΞΞ Ξ = = = − = = − ÷ Pertanto, per il calcolo della corrente all’istante assegnato si userà la formula

0 sin2

I tL

πωωΞ = − ÷

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

SoluzioneSimboli

078.0 2eff effVΞ = → Ξ = Ξ2 80.0 /rad sω π=

325.0 25.0 10L mH H−= =

a)LX Lω=

b)eff

effILω

Ξ=

c)

0 2 effI I=

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

SoluzioneSimboli

0120 2eff effVΞ = → Ξ = Ξ2 60.0 /rad sω π=

Poiché la corrente è oscillante, anche il campo nell’induttore è oscillante e così anche il flusso

2 20 0

i t i t

B BLI LI e eπ πω ω − − ÷ ÷ Φ = = = Φ

La caduta di potenziale sull’induttore è uguale alla tensione di alimentazione, essendo l’induttore direttamente collegato alla sorgente (si veda figura problema precedente)

2 20 0 0

i t i ti tB

B B BddI dL e i e e

dt dt dt

π πω ωωω ω

− − ÷ ÷ ΦΞ = = = Φ = Φ = Φ

00 0 0

i t i tB Be eω ωω

ωΞΞ = Ξ = Φ → Φ =

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

SoluzioneSimboli

0120 2eff effVΞ = → Ξ = Ξ31.00 1.00 10C mF F−= =

2 60.0 /rad sω π=L’informazione sull’energia all’istante t=0 dice che la dipendenza temporale per la f.e.m. è quella

del sin tω : l’energia del condensatore è ( )22

201 1 sin2 2

U tC C

ωΞΞ= = che è nulla quando t=0,

appunto.Seguendo, invece la procedura usuale, anche se in modo noiosamente ripetitivo

[ ]* 200 02 2

1 Im sin21

i t i teI Z i C e I C tZ CZ

C

πω ω πω ω ωω

ω

+ ÷ ΞΞ Ξ = = = = Ξ = Ξ + ÷ ÷ ÷

Dunque, la formula da usare per il calcolo della corrente è

0 sin2

I C t πω ω = Ξ + ÷

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

SoluzioneSimboli

0 48.0VΞ =33.70 3.70 10C mF F−= =

2 90.0 /rad sω π=

0 0 0sin2

I C t I Cπω ω ω = Ξ + → = Ξ ÷

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

soluzione

0 0 0sin 22 effI C t I C Cπω ω ω ω = Ξ + → = Ξ = Ξ ÷

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

SoluzioneSimboli

0 150VΞ =2 50.0 /rad sω π=40.0R = Ω

3185 185 10L mH H−= =665.0 65.0 10C F Fµ −= =

La relazione generale tra ampiezza della corrente e ampiezza della f.e.m. è0

0IZ

Ξ=

dove, per il circuito RLC (elementi in serie)2

2 1Z R LC

ωω

= + − ÷

La corrente è ( )0

i tI I e ω ϕ−=

( )0 0 0

i tR R RV Z I RI e V RIω ϕ−∆ = = ⇒ ∆ =

( ) 20 0 0 0

i ti tL L LV Z I i LI e LI e V LI

πω ϕω ϕω ω ω − + ÷− ∆ = = = ⇒ ∆ =

( ) 20 0 0 0

1 1 1i ti tC C CV Z I i I e I e V I

C C C

πω ϕω ϕ

ω ω ω

− − ÷− ∆ = = − = ⇒ ∆ =

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

SoluzioneSimboli

0180 ; 2eff effVΞ = Ξ = Ξ

09.00 ; 2eff effI A I I= =37.037.0180

radϕ π= ° =

(a)Si devono combinare le equazioni

22 22 20 0 0 0

00 0 0

1 1I Z R L R LZ I C I C I

ω ωω ω

Ξ Ξ Ξ Ξ = ⇒ = ⇒ + − = → + − = ÷ ÷ ÷

11

LCtg L R tg

R C

ωωϕ ω ϕ

ω

− ÷ = ⇒ − = ÷

Si ottiene

( ) ( )2

2 2 0 02

0 0

111

R tg RI Itg

ϕϕ

Ξ Ξ+ = → = ÷ +

b) Nota R si applichi

Reattanza ( ) 1L CX X L R tg

Cω ϕ

ω − = − = ÷

Problema (Serway-Jewett, Fisica vol 2, EdiSes)

0120 ; 2eff effVΞ = Ξ = Ξ2 60.0 /rad sω π=20.0R = Ω

325.0 25.0 10L mH H−= =

a)0 0 0

01

2 2eff

effII I

Z Z ZΞΞ Ξ= ⇒ = = =

dove 2 2 2Z R Lω= +

b)Si rammenta che la formula della potenza erogata è coseff effP I ϕ= Ξ dove cosϕ è il fattore di potenza. In generale, si può scrivere

[ ][ ]

ImRe

Ztg

Zϕ = oppure

[ ]Recos

ZZ

ϕ = . Nella fattispecie 2 2 2cos R

R Lϕ

ω=

+

c)Con l’aggiunta di un condensatore

2

cos1

R

R LC

ϕω

ω

= + − ÷

Il fattore di potenza è uguale all’unità quando

2

1 10L CC L

ωω ω

− = ⇒ = ÷

d)Con l’inserimento del compensatore di fase, l’erogazione della potenza equivale a quella fatta ad un circuito resistivo

2effP

RΞ

=%

Sia 'effΞ il valore di tensione efficace cercato

2'' effP

RΞ

=

Si vuole che

2 2 2 22 2

2

' '' cos ' ' coseff eff

eff

effeff eff eff eff eff

R RP P IR R Z Z Z

ϕ ϕΞ Ξ Ξ

= ⇒ = Ξ ⇒ = ⇒ Ξ = Ξ ⇒ Ξ = Ξ

oppure

2 2 2'eff eff

RR Lω

Ξ = Ξ+