1.1 Densità e modulo di elasticità a compressione...

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Complementi ed esercizi di Idrodinamica – I parte. 1. Proprietà fisiche dei fluidi 1.1 Densità e modulo di elasticità a compressione cubica. Come è noto la densità di massa ρ misura la massa contenuta nell’unità di volume e viene misurata in kg/m 3 . Nei fluidi la densità di massa dipende dalla pressione e dalla temperatura: ( ) p , T ρ ρ = (1) essendo T, p pressione e temperatura. La (1) è nota come equazione di stato del fluido. Nel caso dei liquidi la densità diminuisce all’aumentare della temperatura. L’acqua costituisce un eccezione in quanto presenta un massimo a 277 K (4°C). Per l’acqua a pressione atmosferica vale la seguente formula empirica: ( ) 3 2 0 5 0000000144 0 0000065322 0 000052939 0 1 T . T . T . + + = ρ ρ (2) in cui la temperatura deve essere espressa in gradi centigradi e 3 0 457 999 m kg . = ρ è la densità a 0°C. Nel campo di temperature 0<T<40°C, nel quale risultano comprese le condizioni più frequenti delle pratiche applicazioni, le variazioni della densità sono contenute entro lo 0.8% e perciò possono essere trascurate, assumendo un unico valore della densità pari a 1000 kg/m 3 . Nello stesso campo di temperature, valgono condizioni analoghe anche per gli altri liquidi comunemente usati nella pratica, per i quali si assume un unico valore della densità, riportato nella tabella sottostante Nei liquidi la densità dipende dalla pressione assai debolmente. Il modulo di elasticità a compressione cubica ε:

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Complementi ed esercizi di Idrodinamica – I parte.

1. Proprietà fisiche dei fluidi

1.1 Densità e modulo di elasticità a compressione cubica. Come è noto la densità di massa ρ misura la massa contenuta nell’unità di volume e viene misurata in kg/m3. Nei fluidi la densità di massa dipende dalla pressione e dalla temperatura:

( )p,Tρρ = (1)

essendo T, p pressione e temperatura. La (1) è nota come equazione di stato del fluido. Nel caso dei liquidi la densità diminuisce all’aumentare della temperatura. L’acqua costituisce un eccezione in quanto presenta un massimo a 277 K (4°C). Per l’acqua a pressione atmosferica vale la seguente formula empirica:

( )320 5000000014400000065322000005293901 T.T.T. +−+= ρρ (2)

in cui la temperatura deve essere espressa in gradi centigradi e 3

0 457999 mkg.=ρ è la densità a 0°C. Nel campo di temperature 0<T<40°C, nel quale risultano comprese le condizioni più frequenti delle pratiche applicazioni, le variazioni della densità sono contenute entro lo 0.8% e perciò possono essere trascurate, assumendo un unico valore della densità pari a 1000 kg/m3. Nello stesso campo di temperature, valgono condizioni analoghe anche per gli altri liquidi comunemente usati nella pratica, per i quali si assume un unico valore della densità, riportato nella tabella sottostante

Nei liquidi la densità dipende dalla pressione assai debolmente. Il modulo di elasticità a compressione cubica ε:

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ερρ p∆

=∆ (3)

definito come la pressione necessaria a produrre un incremento relativo unitario della densità, assume infatti valori di ordine di grandezza ( )2910 mNPan×=ε , essendo n un numero di poche unità. Per l’acqua, alla temperatura di 283 K, si ha: ( ) atmmNPa. 2000010032 29 ≈×=ε . La relazione (3) può essere scritta facendo comparire al posto della densità il volume di liquido V considerato. A tal proposito si osservi che la massa di liquido M è data dalla espressione:

VM ρ= (4)

ed è invariabile; dunque le variazioni di massa sono nulle:

( )VVVVVM ∆

−=∆

⇒=∆+∆=∆=∆ρρρρρ 0 (5)

Sostituendo nella (3) la variazione relativa di densità ottenuta dalla (5) in funzione della variazione relativa di volume, si ottiene:

εp

VV ∆

=∆

− (6)

Dato l’elevato valore di ε, i liquidi variano pochissimo la loro densità anche a fronte di notevoli aumenti di pressione: per questo motivo vengono ritenuti incomprimibili. Il modulo di elasticità a compressione cubica è praticamente indipendente dalla pressione per tutti i liquidi, mentre varia apprezzabilmente con la temperatura, il cui aumento comporta in generale un innalzamento del valore di ε. Per l’acqua il modulo aumenta di circa il 10% quando la temperatura passa da 273 K a 303 K. Facendo tendere l’incremento di pressione a zero nella (3) si ottiene la seguente equazione differenziale:

ερρ dpd

= (7)

che permette di determinare la dipendenza della densità dalla pressione. Integrandola si ottiene:

( ) ερρ 00

ppe −= (8)

in cui evidentemente 0ρ è il valore della densità in corrispondenza alla pressione 0p .

Esercizio 1.1.1 Un volume di liquido si riduce dello 0.04% quando la sua pressione viene aumentata di ∆p=150 N/cm2. Determinare il modulo di elasticità a compressione cubica ammettendo che questo sia costante al variare della pressione. Per risolvere l’esercizio è sufficiente applicare la formula (6), risolvendo in funzione di ε:

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∆−

∆=

VVpε

Prima di inserire i valori numerici è però bene osservare che:

a) una riduzione dello 0.04% è pari alla variazione relativa: 00040.VV

−=∆ ;

b) un incremento di pressione di 150 N/cm2 è pari a 1500000 Pa (N/m2): bisogna ricordarsi sempre di convertire i dati nelle unità di misura del SI.

Il valore numerico di ε è dunque pari a:

Pa..

91075300040

1500000×==ε

Esercizio 1.1.2 Determinare l’incremento di pressione necessario a produrre un aumento relativo della densità dell’acqua a 283 K pari al 5%. In questo caso conviene applicare la formula (3), risolvendo in funzione dell’incremento di pressione:

atmPa...p 100210015105010032 89 ≈×=××=∆

=∆ρρε

1.2 Tensione superficiale. La superficie di separazione tra due fluidi non miscibili o tra un fluido e un solido si comporta come se fosse una membrana elastica in stato uniforme di tensione. Immaginiamo di tagliare tale membrana lungo un segmento di linea di lunghezza L: per mantenere uniti i lembi del taglio, che tenderebbero a separarsi, è necessario applicare una forza, distribuita uniformemente sul segmento di lunghezza L, detta tensione superficiale τ, agente in direzione perpendicolare alla linea del taglio, tangente alla superficie di separazione e avente verso orientato in modo tale da riunire i lembi del taglio, come illustrato nella figura sotto riportata.

La tensione superficiale si misura in N/m ed è funzione della coppia di materiali che definiscono la superficie di separazione oltre che della temperatura. La tabella riportata più avanti fornisce i valori della tensione superficiale di alcuni liquidi a contatto con l’aria alla temperatura di 293 K; per questi liquidi la tensione superficiale varia poco al variare del gas, mentre si hanno variazioni importanti al variare della temperatura. In particolare la tensione superficiale diminuisce all’aumentare della temperatura.

τ τ

L

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La tensione superficiale è responsabile del fatto che piccole porzioni di liquido completamente immerse in un aeriforme assumano forma pseudo-sferica (gocce). Tale forma infatti è l’unica in grado permettere l’equilibrio della forza risultante dalla distribuzione di tensione superficiale sulla superficie di separazione con le altre forze in gioco.

Liquido Tensione superficiale [N/m] Acqua 0.073 Mercurio 0.559 Benzene 0.029 Olio d’oliva 0.319

La tensione superficiale fa sentire i suoi effetti quando la curvatura della superficie di separazione è sufficientemente marcata, perché in tal caso si verifica un apprezzabile salto di pressione attraverso la superficie stessa. Per comprendere quest’ultima affermazione, si immagini una superficie di separazione avente la forma di calotta sferica:

La tensione superficiale agente lungo il bordo della superficie di separazione, avente la forma di una circonferenza, ha una risultante agente nella direzione dell’asse verticale a tratto e punto e orientata verso il basso. Di conseguenza dovrà esistere una forza di modulo uguale e verso contrario a questa e dovuta ad un salto di pressione ∆p esistente tra le facce della superficie di separazione, tale da far mantenere alla superficie la forma a calotta sferica. Il salto di pressione è definito come la differenza tra la pressione interna pi e la pressione esterna pe alla calotta sferica. Nel disegno la pressione interna è evidentemente maggiore di quella esterna. La componente della tensione superficiale lungo l’asse verticale è pari a:

( )θτ sin (9)

La forza risultante F è pari al prodotto della (9) per la lunghezza della circonferenza di bordo della calotta:

( ) ( )θπθτ sin2sin RF ×= (10)

La componente lungo la verticale della forza causata dal salto di pressione agente sulla calotta sferica:

( )( )2sin θπ RpF ×∆= (11)

R θ

τ τ

∆p=pi- pe

θ θ

pi

pe

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deve bilanciare la (10). Eguagliando la (10) e la (11) si ottiene l’espressione del salto di pressione in funzione della tensione superficiale:

τR

p 2=∆ (12)

Definita la quantità 2/R curvatura della superficie sferica, si vede immediatamente dalla (12) che il salto di pressione indotto dalla tensione superficiale è tanto maggiore quanto maggiore è la curvatura ossia quanto più piccolo è il raggio di curvatura. Si può dimostrare, sotto opportune ipotesi, che per una superficie qualsiasi si definisce curvatura della superficie in un determinato punto la quantità:

21

11RR

+ (13)

in cui 21, RR sono i raggi di curvatura principali, relativi a due circonferenze definite su due piani perpendicolari e approssimanti la superficie di separazione nell’intorno di un punto. Di conseguenza la (12) si modifica nella (di cui la (12) è un caso particolare):

τ

+=∆

21

11RR

p (14)

Nel contatto con una superficie solida, la superficie di separazione liquido aeriforme si comporta come un “velo” che aderisce alla superficie solida. Nella figura sotto riportata vengono illustrati due casi tipici.

Si tratta delle sezioni di due tubi cilindrici circolari di diametro d immersi in un contenitore aperto di dimensioni rilevanti rispetto al diametro dei tubi e contenente liquido di data densità ρ. La superficie di separazione forma al contatto con la superficie esterna ed interna del tubo un angolo pari a β. Nel caso illustrato a sinistra (ad es. acqua) β è minore di 90° e il liquido bagna la superficie

h

d/2

h

β

ρ

ρ

R

β

d/2 β

β

ρ

ρ

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del tubo. Nel caso a destra (ad es. mercurio) β è maggiore di 90° e il liquido non bagna la superficie del tubo. La differenza di quota h riscontrata tra l’esterno e l’interno del tubo è definita risalita capillare e la sua espressione in funzione della densità del liquido, della tensione superficiale, del diametro del tubo e dell’angolo β si ottiene con la seguente semplice considerazione: il salto di pressione ∆p esistente tra le facce della superficie di separazione deve necessariamente eguagliare il peso, per unità di superficie, della colonnina liquida di altezza h:

ghp ρ=∆ (15)

D’altra parte il salto di pressione è anche dato dalla (12), in cui il raggio di curvatura venga espresso tramite la:

( )βcos2dR = (16)

Di conseguenza si ha:

( )βρ

τ cos4gd

h = (17)

Si osservi che se β è minore di 90°, h è positivo e si ha effettivamente una sopraelevazione del livello di liquido nel tubo rispetto a quello nel contenitore, mentre se β è maggiore di 90°, h è negativo e si ha un abbassamento del livello di liquido nel tubo rispetto a quello nel contenitore. In presenza di aria a pressione atmosferica e a temperatura ordinaria (≈293 K), l’angolo di contatto dell’acqua e della maggior parte dei liquidi organici con il vetro è prossimo allo zero: β=0°, mentre per il mercurio e il kerosene nelle stesse condizioni è pari rispettivamente a β=130°, β=26°.

Esercizio 1.2.1 Determinare la pressione pi all’interno di una goccia d’acqua del raggio R=0.025 mm alla temperatura di 293 K, quando la pressione esterna è pari a quella normale atmosferica: pe=101337 Pa. Per risolvere l’esercizio si deve prima applicare la formula (12) per calcolare il salto di pressione, assumendo per la tensione superficiale il valore riportato in tabella: τ=0.073 N/m. Si ha dunque:

PaR

p 5840073.0000025.0

22=×==∆ τ

Il raggio della sfera è stato espresso in metri. Per valutare la pressione interna si ricordi la definizione del salto di pressione, come differenza tra la pressione interna e quella esterna:

Papppppp eiei 107177=∆+=⇒−=∆

Esercizio 1.2.2 Determinare, a 293 K, la risalita capillare dell’acqua in un tubo di vetro del diametro d=4 mm e del mercurio in un tubo di vetro del diametro d=2 mm. Si applica direttamente la formula (17) che fornisce il risultato:

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( ) ( )

( ) ( ) mgd

h

mgd

h

0054.0130cos002.081.913546

559.04cos4

0074.00cos004.081.91000

073.04cos4

−=°×××

×==

=°×××

×==

βρ

τ

βρ

τ

Si vede come la risalita assuma un valore tutt’altro che trascurabile, se posto a confronto con il diametro dei tubi.

2. Idrostatica

2.1 Piano dei carichi idrostatici assoluti e relativi. La formula (22) del II capitolo:

( )18cost ==+ ζρ

zgp

esprime il fatto che in un liquido (fluido incomprimibile) in quiete rispetto ad un sistema di riferimento in cui agisce la sola forza peso la quota piezometrica resta costante.

Tramite la (18), nota la pressione in un punto della massa liquida, si può calcolare la pressione in qualsiasi altro punto. Infatti, supposto di conoscere la pressione nel punto a quota zb, la pressione nel punto a quota za è data da:

( )43421

toAffondamen

ab

specificoPeso

babb

aa zzgppz

gpz

gp

−+=⇒+=+ ρρρ

(19)

ossia dalla somma del valore di riferimento pb e del prodotto del peso specifico del liquido per l’affondamento del punto posto a quota za rispetto a quello posto a quota zb. La pressione aumenta linearmente con l’affondamento, come mostrato nel disegno sopra riportato, ed il coefficiente di proporzionalità è pari al peso specifico. La pressione in un punto è sempre espressa rispetto ad un valore di riferimento, come nella formula (19). Si supponga di esprimere la pressione nel punto

z=0

za

zb zb-za

ρ

pb

pa

patm

h

patm

p

h*

h*-h= patm/ρg

(pa- patm)/ ρg

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posto a quota za rispetto alla pressione atmosferica patm, definita come il peso della colonna d’aria a livello del mare su una superficie di un centimetro quadrato ed equivalente al peso di una massa di 1.033 kg su una superficie di un centimetro quadrato, ossia a 101337 Pa o N/m2. Detta h la quota del punto appartenente alla massa liquida in cui si ha pressione atmosferica, si ha dalla (19):

( )aatma zhgpp −+= ρ (20)

Facendo riferimento al disegno sopra riportato, si vede come il punto appartenente al liquido, in cui si ha pressione atmosferica, si trovi nel tubo collegato al serbatoio ed aperto all’altra estremità. Risolvendo la (20) rispetto ad h si ottiene:

aatma z

gpph +

−=

ρ (21)

La formula (21) fornisce la quota del punto in cui la pressione nella massa liquida è pari alla pressione atmosferica: tale quota individua il piano dei carichi idrostatici relativi. Nel disegno il piano dei carichi idrostatici relativi coincide con la quota raggiunta dalla superficie del liquido nel

tubo, pari alla somma della quota za del punto di partenza e del segmento gpp atma

ρ− . Se nella

formula (21) si pone pari a zero la pressione atmosferica, si ottiene la quota del punto in cui la pressione assoluta nella massa liquida è pari a zero: tale quota individua il piano dei carichi idrostatici assoluti:

aa zg

ph +=ρ

* (22)

Si vede chiaramente che la differenza tra la posizione del piano dei carichi relativi e assoluti è pari a:

gphh atm

ρ=−* (23)

Ossia il piano dei carichi assoluti si trova sempre al di sopra del piano dei carichi relativi, ad una

distanza da esso pari a: g

patm

ρ. Tale distanza dipende evidentemente dal tipo di liquido in

considerazione: se si tratta di acqua, essendo il peso specifico pari a 9810 N/m3, si ha: h*-h=10.33 m, se si tratta di mercurio, essendo il peso specifico pari a 132871 N/m3, si ha: h*-h=0.76 m. La differenza atma pp − , che appare nella (21), è detta pressione relativa. Nelle normali applicazioni dell’Idrodinamica è la pressione relativa ad essere presa in considerazione. D’ora in avanti si indicherà con il simbolo p la pressione relativa alla atmosferica e con il simbolo p* la pressione assoluta. Pressione relativa e pressione assoluta sono legate dalla formula:

atmppp −= * (24) Poiché il minimo valore che la pressione assoluta può raggiungere in un fluido è il valore nullo, il minimo valore della pressione relativa è pari a:

atmpp −= (25)

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La pressione (relativa o assoluta) in una massa liquida in quiete può essere agevolmente calcolata, nota la posizione del piano dei carichi (relativo od assoluto). Prendendo in considerazione la (20), detta h la quota del piano dei carichi idrostatici relativi rispetto al piano a quota z=0, si ha che la pressione relativa in un punto qualsiasi, posto a quota z, è data da:

( )321

relativi. iidrostatic carichi dei piano al rispetto

punto del toAffondamen

* zhgppp atm −=−= ρ (26)

Ossia dal prodotto dell’affondamento del punto rispetto al piano dei carichi idrostatici relativi per il peso specifico.

Esercizio 2.1.1 Il recipiente in figura contiene un liquido di peso specifico 38825 mNg =ρ . Determinare l’indicazione ∆ del manometro semplice a mercurio ( 3132871 mNgm =ρ ) ed n del manometro metallico. Sono note le distanze: h1=18 m, h2=13 m. Gli strumenti dei misura della pressione vengono detti manometri. I manometri semplici sono dei tubi collegati ad una estremità alla massa liquida di cui si vuole determinare la pressione ed aperti all’altra estremità, in modo da essere in condizioni di pressione atmosferica. Sono riempiti dello stesso liquido di cui si vuole misurare la pressione, in tal caso sono detti piezometri, o di un altro liquido, detto manometrico, avente determinate caratteristiche fisiche. Nel caso sotto illustrato il liquido manometrico deve essere più pesante del liquido di lavoro. Il dislivello ∆ raggiunto dal liquido manometrico è proporzionale alla pressione del liquido di lavoro. I manometri metallici sono invece dei tubi di metallo, collegati ad una estremità al serbatoio, piegati a spirale e chiusi all’altra estremità, che si riempiono del liquido di lavoro. La pressione raggiunta da questo fa “svolgere” la spirale, provocando la rotazione di un indice su un quadrante graduato e consentendo così la determinazione della pressione. Il manometro metallico fornisce il valore della pressione relativa in corrispondenza della quota del centro geometrico del quadrante dello strumento.

n

h2 h1 patm

ρ

ρm

n

ρmg∆

z=0

S

θ

θm

patm

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Per quanto riguarda l’esercizio, osserviamo innanzitutto che il serbatoio è aperto e che il piano dei carichi idrostatici relativi coincide con la superficie libera, sulla quale la pressione assoluta è pari alla pressione atmosferica e la pressione relativa è nulla. Poichè la pressione relativa di un punto nel liquido può essere calcolata come prodotto del peso specifico per l’affondamento del punto rispetto al piano dei carichi idrostatici relativi (formula (26)) si ha:

Paghn 1588501888251 =×== ρ

Per determinare il dislivello ∆ del liquido manometrico, si tenga presente che il piano orizzontale S, passante per la superficie di separazione tra il liquido manometrico e il liquido di lavoro, è un piano isobaro. Di conseguenza, calcolando la pressione su tale piano a partire dal piano dei carichi idrostatici relativi del liquido di lavoro e del liquido manometrico (passante per la superficie libera di quest’ultimo, all’estremità aperta del tubo), si deve ottenere lo stesso risultato:

mhg

ggghm

m 86.0131328718825

22 =×==∆⇒∆=ρρρρ

In figura è riportato anche il diagramma delle pressioni. Quest’ultimo riporta in ascisse le pressioni e in ordinate gli affondamenti, crescenti verso il basso. Si nota come il diagramma delle pressioni del liquido di lavoro è meno inclinato rispetto alla verticale del diagramma delle pressioni del liquido manometrico. L’inclinazione θ rispetto alla verticale aumenta con il peso specifico del liquido e dipende dalle scale di rappresentazione delle pressioni e delle lunghezze. Infatti nel diagramma il generico affondamento h viene rappresentato dal segmento di H cm, con una scala pari a σh m/cm, mentre la pressione p viene rappresentata tramite un segmento di dp cm, con una scala pari a σp Pa/cm. Poiché si deve avere:

Hgdghp Hpp σρσρ =⇒= Si ricava la seguente espressione per la tangente dell’angolo θ:

( )p

Hp gHd

σσρθ ==tan

Dunque si vede come l’angolo θ aumenti all’aumentare del peso specifico.

Esercizio 2.1.2 Calcolare la differenza di pressione esistente tra i centri dei serbatoi cilindrici A, B, illustrati in figura, e la differenza tra le quote dei piani dei carichi idrostatici relativi dei serbatoi suddetti. I recipienti contengono un liquido di peso specifico 39810 mNg =ρ . L’indicazione ∆ del manometro differenziale a mercurio ( 3132871 mNgm =ρ ) è pari a ∆=1.5 m. Il manometro differenziale misura la differenza di pressione esistente tra due punti ed è costituito da un tubo piegato ad U, riempito di liquido manometrico, le cui estremità sono collegate ai due punti di misura. Si hanno due disposizioni: ad U e ad U rovescia. Nel primo caso il peso specifico del liquido manometrico deve essere maggiore del peso specifico del liquido di lavoro, nel secondo caso il peso specifico del liquido manometrico deve essere minore del peso specifico del liquido di lavoro.

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Per determinare la differenza di pressione esistente tra i centri dei serbatoi A, B è sufficiente esprimere la pressione relativa nel piano orizzontale di separazione S, partendo sia dal serbatoio A che dal serbatoio B ed eguagliando le espressioni così ottenute:

( ) ( ) ( ) Paggppgghpp

hgppmBA

mB

A 1845925.198101328712

2 =×−=∆−=−⇒

∆++=∆++=

ρρρρ

ρ

Nel centro del serbatoio A vi è dunque una pressione maggiore che nel centro del serbatoio B, come peraltro era intuibile osservando la disposizione del liquido manometrico. Per calcolare la differenza δ tra le quote dei piani dei carichi idrostatici relativi è sufficiente esprimere la pressione relativa nel piano orizzontale di separazione S, partendo sia dal piano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio A che dal piano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio B ed eguagliando le espressioni così ottenute:

( )( ) m

ggg

ghhgphhgp m

m

82.185.19810

9810132871

21

21 =×−

=∆−

=⇒

∆++=∆+++=

ρρρδ

ρρδρ

Sulla destra della figura si riporta il diagramma delle pressioni.

Esercizio 2.1.3 Calcolare la differenza di pressione esistente tra i centri dei serbatoi cilindrici A, B, illustrati in figura. I liquidi contenuti nei recipienti hanno peso specifico

32

31 14710,9810 mNgmNg == ρρ . Il liquido manometrico ha peso specifico:

( 38335 mNgm =ρ ). L’indicazione ∆ del manometro differenziale vale ∆=0.5m. Le distanze sono pari a: h1=3m, h2=2m. In questo caso il manometro differenziale si presenta nella disposizione ad U rovescia e di conseguenza il peso specifico del liquido manometrico è minimo rispetto a quello degli altri liquidi.

PA PB

B h1

δp.c.i.r.B

p.c.i.r.A

ρ

ρm

ρ

θm

θ

θA

h2

S

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Per calcolare la differenza di pressioni si dovrà esprimere la pressione sul piano S, a partire dal serbatoio A e dal serbatoio B, facendo comparire le pressioni nei centri dei serbatoi, eguagliando le due espressioni e ricavando la differenza di pressione cercata:

( ) ( ) Paghhggghppghhgpp

gghppmAB

B

mA 115332212112212

11 =−∆−−−∆+=−⇒

∆−−−=∆−−=

ρρρρρρ

ρρ

Sulla destra della figura si riporta il diagramma delle pressioni dove si evidenzia il fatto che il piano dei carichi del liquido manometrico, posto all’intersezione della retta a tratto e punto in grassetto con la verticale, si trova notevolmente più in alto dei piani dei carichi dei due serbatoi.

E’ interessante calcolare la distanza tra i piani dei carichi dei due serbatoi, procedendo come nel precedente esercizio: è sufficiente esprimere la pressione relativa nel piano orizzontale di separazione S, partendo sia dal piano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio A che dal piano dei carichi idrostatici relativi del serbatoio B ed eguagliando le espressioni così ricavate:

( )( ) h

ggg

ggg

hgpghgp mm

2

12

2

1

2

1

ρρρ

ρρρδ

δρρρ −

−∆−

=⇒

+=∆−∆+=

A

B

h1 h2

ρ1

ρ2

ρm

p.c.i.r.A

PA

p.c.i.r.B

θ1

θ2

PB

θm

Sh

δ

p.c.i.r.m

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La formula così ottenuta differisce da quella precedente, valida nel caso di manometro differenziale ad U con liquidi dello stesso peso specifico nei serbatoi. Considerando la presenza di due liquidi differenti non è possibile calcolare la distanza tra i piani dei carichi dei due serbatoi δ, a meno di non assegnare anche la distanza h tra il piano di separazione S e il piano dei carichi di uno dei due serbatoi. Se però si considerano due liquidi uguali ( ρρρ == 12 ), nella formula sopra ricavata si annulla il secondo termine a secondo membro, dunque non è più necessario assegnare la distanza h per calcolare il δ, la cui espressione ritorna uguale a quella del manometro ad U con liquidi uguali:

∆−

=g

gg m

ρρρδ

salvo il fatto che la differenza tra il peso specifico del liquido di lavoro e il peso specifico del liquido manometrico è invertita rispetto a quella del manometro differenziale ad U.

Esercizio 2.1.4 In un recipiente chiuso si trovano sovrapposti tre strati di uguale spessore h (h=1m) di mercurio, acqua e benzina, aventi peso specifico rispettivamente pari a:

33

32

31 7845,9806,132871 mNgmNgmNg === ρρρ . Sopra il liquido di peso specifico

minore vi è inoltre uno strato d’aria 302.12 mNga =ρ Nota la quota hm (hm=1.2 m) raggiunta dal mercurio nel piezometro, si determinino le quote dei piani dei carichi dei tre liquidi rispetto al fondo e la pressione vigente nello strato d’aria. Per la stabilità dell’equilibrio, strati di liquidi immiscibili in quiete sovrapposti in un serbatoio si dispongono in modo tale che gli strati più pesanti occupino via via le parti più profonde del serbatoio. In teoria uno strato di liquido pesante può trovarsi in equilibrio al di sopra di uno leggero, ma basta una lieve perturbazione perché il sistema si porti nello stato in cui il liquido leggero si trova al di sopra di quello pesante.

Dalla conoscenza della quota del mercurio nel piezometro, coincidente con la quota del piano dei carichi del mercurio rispetto al fondo, si risale immediatamente alla pressione sul fondo:

ρ1

ρ2

ρ3 h

h

h

ρa

hm

θ1

θ2

θ3

z=0

S1

S2

S3

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Paghp mF 1594452.11328711 =×== ρ

La pressione sul piano di separazione S1 è data da:

Paghghp mS 265741328712.1132871111=−×=−= ρρ

Tale pressione è anche la pressione dei punti appartenenti allo strato d’acqua. Il piano dei carichi dell’acqua rispetto al piano di separazione S1 è perciò dato dalla:

m..g

ghghg

ph mSS 712

981013287121132871

2

11

2

12 1

=−×

=−

==ρ

ρρρ

E dunque il piano dei carichi dell’acqua dista dal fondo di:

mhg

ghghh m 71.31

98101328712.1132871

2

112 =+

−×=+

−=

ρρρ

La pressione sul piano di separazione S2 è data da:

Paghpp SS 16764981026574212=−=−= ρ

Il piano dei carichi della benzina rispetto al piano di separazione S2 è perciò dato dalla:

m.g

ghpg

ph SS

S 1427845

16764

3

2

33

12

2==

−==

ρρ

ρ

E dunque il piano dei carichi della benzina dista dal fondo di:

mhg

ghph S 14.42

7845167642

3

23

1 =+=+−

ρ

La pressione nello strato d’aria è pari a quella che si ha sul piano di separazione benzina-aria S3:

Paghpp SS 8919784516764323=−=−= ρ

La pressione nello strato d’aria varia approssimativamente come negli strati liquidi sottostanti, tuttavia, stante il piccolo peso specifico dell’aria e la ridotta estensione dello strato, può essere assunta costante all’interno di esso. Questo fatto è messo in luce dal diagramma delle pressioni, in cui il segmento che compete all’aria è verticale. Si noti altresì come nel diagramma delle pressioni gli angoli formati dalle rette dei singoli strati con la verticale vadano decrescendo verso l’alto: θ3<θ2<θ1, in corrispondenza del fatto che gli strati a densità crescente sono posti via via verso il basso.

2.2 Spinte idrostatiche su superfici piane. Si consideri una superficie piana A immersa in un liquido in quiete. Sia α l’angolo formato dal piano dei carichi idrostatici relativi e il piano contenente la superficie. Si definisce retta di sponda y

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la retta intersezione tra il piano dei carichi idrostatici relativi e il piano contenente la superficie. Si definisce retta di massima pendenza x la retta ad essa perpendicolare, appartenente al piano della superficie A. La spinta elementare dS agente sulla superficie A, dovuta alla distribuzione di pressione idrostatica, è data dalla espressione:

dAghd nS ρ= (27)

In cui: • dA è una porzione elementare della superficie A; • h è l’affondamento del centro di figura della superficie elementare dA; • n è il versore normale alla superficie A.

Poiché la superficie A è piana, il versore ad essa normale ha direzione costante al variare del punto preso in considerazione sulla superficie. La spinta risultante, dovuta alla distribuzione idrostatica, si ottiene sommando tutti i contributi elementari (27):

nnS AghdAhg CFA

ρρ =

= ∫ (28)

Per ottenere la (28) si è tenuto conto della costanza del versore normale e del peso specifico. L’integrale ∫

A

dAh è il momento statico della sezione calcolato rispetto al piano dei carichi: come è

noto è pari al prodotto dell’affondamento del centro di figura della superficie rispetto al piano dei carichi per l’area della superficie. In base alla figura sotto riportata, che illustra la geometria presa in considerazione, la (28) può anche essere espressa come:

( ) nnS AgxAgh CFCF αρρ sin== (29)

La (29) si può dunque sintetizzare nella regola seguente:

Retta di sponda y

Retta di massima pendenza x

r

CF

Piano dei carichi

hCF xCF

dA

h

n Piano contenente la superficie

O

n P

CS

n

rCS

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• la spinta su una superficie piana è pari al prodotto della pressione calcolata nel centro di figura della superficie per l’area della superficie. Il verso e la direzione della spinta sono concordi al verso e alla direzione del versore normale al piano contenente la superficie piana.

La spinta idrostatica S su una superficie piana non è, in generale, applicata al centro di figura ma è applicata in un punto, detto centro di spinta, la cui determinazione viene effettuata imponendo l’equivalenza del momento della spinta. In altre parole si deve imporre la condizione che il momento della spinta S eguagli la somma dei momenti delle spinte elementari. Considerato il sistema di riferimento Oxy illustrato nella figura sopra riportata, sia r il vettore posizione di un punto generico P sulla superficie piana A, di componenti x, y. Il momento della spinta idrostatica elementare relativa al punto P è dato da:

( ) ( ) jijinrSr dAgxdAgxyghxdAghydAdAghd αραρρρρ sinsin 2−=−=×=× (30) Avendo sfruttato la relazione ( )αsinxh = ed essendo i, j i versori degli assi x, y rispettivamente. Sommando i momenti elementari (30) e tenendo conto degli elementi costanti, si ha:

( ) ( ) jiSrM

=×= ∫∫∫

AAA

dAxgxydAgd 2sinsin αραρ (31)

Il momento risultante deve essere uguale al momento della spinta S, applicata nel centro di spinta, di coordinate CSCS yx , incognite:

( ) ( ) jiSrM CSCFCSCFCS AxgxAygx αραρ sinsin −=×= (32) Eguagliando le espressioni (31) e (32) per componenti, si ottengono le espressioni delle coordinate del centro di spinta:

==

==

AxI

Ax

dAxx

AxI

Ax

xydAy

CF

yy

CF

ACS

CF

xy

CF

ACS

2 (33)

Gli integrali che appaiono nella (33) dipendono esclusivamente dalla geometria della superficie A. Il primo integrale è detto momento di inerzia misto della figura ( xyI ) ed è nullo per superfici che ammettano come asse di simmetria una retta parallela all’asse x (è il caso rappresentato nella figura sopra riportata). Il secondo integrale è il momento d’inerzia della figura rispetto all’asse y ( yyI ) e gode della proprietà (teorema di Huygens-Steiner) che in un sistema di riferimento con origine nel centro di figura può essere espresso dalla:

AxII CFCFyyyy

2+= (34)

Ossia dalla somma del momento d’inerzia della figura rispetto ad un asse parallelo all’asse y e passante per il centro di figura ( CF

yyI ) e del prodotto dell’area della superficie per il quadrato della

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distanza tra il nuovo asse y (passante per il centro di figura) e il vecchio asse y (la retta di sponda). Grazie alla (34) la coordinata x del centro di figura può essere espressa dalla:

AxI

xxCF

CFyy

CFCS += (35)

Dalla (35) si possono trarre alcune interessanti conclusioni. Innanzitutto A e CF

yyI sono grandezze sempre non nulle e positive. Viceversa CFx può assumere sia valori positivi che negativi, a seconda che il centro di figura si trovi al di sotto o al di sopra del piano dei carichi. In queste due eventualità la formula (35) funziona “regolarmente”, trovandosi la coordinata CSx sempre più distante dall’origine rispetto alla coordinata CFx : infatti i due contributi della formula (35) hanno lo stesso segno. Se però la coordinata CFx si annulla, la qual cosa si verifica quando il piano dei carichi passa per il centro di figura, secondo la formula (35) la coordinata CSx tende ad assumere un valore infinito. In questo caso singolare la spinta S si annulla e la superficie A è sottoposta all’azione di una sola coppia.

Infatti, come si vede dalla figura sopra riportata, nei casi delle superfici A e C, la distribuzione di pressione relativa è prevalentemente negativa o positiva, e genera pertanto una spinta non nulla applicata in CS. Nel caso della superficie B invece la parte di superficie sottoposta a pressione relativa positiva è esattamente uguale a quella sottoposta a pressione relativa negativa, di conseguenza la spinta si annulla, ma nel complesso la superficie è sollecitata a ruotare attorno all’asse y, a causa dell’azione di una coppia di modulo:

( ) CFyyIgM αρ sin= (36)

All’aumentare della coordinata del centro di figura CFx , diminuisce il secondo termine a secondo membro della (35) e di conseguenza la coordinata del centro di spinta CSx tende a coincidere con quella del centro di figura.

C

B

A

x

x

x

y

y

yCF

CS CS

CS

CF

CF Piano dei carichi

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Esercizio 2.2.1 La paratia piana AB, quadrata, di lato a=2.5 m, forma un angolo α=53° con l’orizzontale, è incernierata in A e appoggiata in B ed è a contatto con acqua: ρg=9810 Nm-3. Il punto A è affondato di hA=3 m rispetto alla superficie libera. Trascurando il peso proprio della paratia, determinare la forza FB che si scarica sull’appoggio B e il momento M necessario per aprire la paratia. Determiniamo innanzitutto la spinta S esercitata dall’acqua sulla paratia tramite la formula (29):

( ) ( ) NaahgAgh ACF nnnnS 2451455.253sin25.239810sin

222 =

°+×=

+== αρρ

Il modulo è pari a 245145 N, il verso e la direzione coincidono con quelli della n (vedi figura).

Il punto di applicazione si calcola con la (35) ricordando che il momento d’inerzia CF

yyI di un quadrato di lato a è pari a:

( ) ( )

mAx

Ixx

mahx

maI

CF

CFyy

CFCS

ACF

CFyy

1.55.25

26.35

0.525.2

53sin3

2sin

26.3125.2

12

2

444

+=+=

=+°

=+=

===

α

Le distanze del centro di figura e del centro di spinta si intendono misurate rispetto all’origine O. Per calcolare la forza FB è necessario imporre l’equilibrio della paratia alla rotazione rispetto al punto A. Assunto positivo il verso antiorario, si ha:

Na

xxa

SFxxaSaFCFCS

BCFCSB 1323785.2

51.525.124514522

=−+

=−+

=⇒

−+=

La forza FB è diretta come la S e ha verso opposto. Infine il momento necessario all’apertura della paratia ha modulo pari a:

A hA

B

x

α

CF

hCF

P=ρgh n

O

a

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NmxxaSaF CFCSB 3309462

=

−+=

e verso orario.

Esercizio 2.2.2 La paratia piana triangolare ACA è incernierata lungo il lato orizzontale AA. Determinare il peso P da applicare in B affinchè la paratia sia in equilibrio sotto l’azione della spinta dell’acqua. Dati: AA=2.5 m, H=1.8 m, h=1.2 m, b=1 m, ρg=9810 Nm-3

Come si vede dalla figura, non tutta la paratia è immersa: la superficie libera infatti interseca il piano della paratia nella retta 'A'A . Il piano della paratia inoltre è perpendicolare al piano dei carichi (α=90°). La parte di paratia che “lavora” è dunque quella coincidente con il triangolo A’CA’, di altezza h e base 'A'A . Determiniamo innanzitutto la base 'A'Aa = . Dalla similitudine dei triangoli ACA e A’CA’, si ha:

m....AA

Hha

HAA

ha 67152

8121

===⇒=

Determiniamo poi la spinta S esercitata dall’acqua sulla paratia tramite la formula (29), ricordando che in un triangolo il centro di figura è situato ad una distanza dalla base pari ad 1/3 dell’altezza:

N...ahhgAghCF nnnnS 39322

216713219810

23=

×××=== ρρ

n è perpendicolare al piano della figura, orientata da sinistra verso destra. Determiniamo ora la coordinata xCS del centro di spinta con la (35) ricordando che il momento

d’inerzia CFyyI della parte di paratia triangolare A’CA’, di base a ed altezza h, è dato da

36

3ah :

A’ A’ y

x

H h

x

C

P

n

O

CF

CS

bA A

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m.hhhAx

Ixx

CF

CFyy

CFCS 60263

==+=+=

La coordinata xCS del centro di spinta si trova in h/2. Per determinare il peso P è ora necessario imporre l’equilibrio alla rotazione della paratia attorno al punto O:

( ) N.

...b

hHxSPhHxSPb CSCS 4718

12181603932 =

−+×=

−+=⇒−+=

Esercizio 2.2.3 In un tubo circolare di diametro D=1.5 m, ad asse orizzontale, è inserita una valvola a farfalla AB, incernierata rispetto ad un asse orizzontale O passante per il diametro. A sinistra della valvola il tubo è completamente riempito d’acqua (ρg=9810 Nm-3) in pressione, a destra il tubo è riempito d’acqua per metà e sulla superficie libera vige la pressione atmosferica. Determinare il momento occorrente a mantenere la valvola in posizione verticale di chiusura, noto che il livello ∆ d’acqua nel piezometro è pari a 0.8m.

In questo caso la spinta S deve essere determinata da entrambi i lati della paratia. La spinta agente sul lato 1 è normale alla superficie della valvola ed è orientata da sinistra verso destra. La spinta agente sul lato 2 è normale alla superficie della valvola ed è orientata da destra verso sinistra. Applicando la formula (29) su entrambi i lati si ha dunque:

N...DDgAghCF nnnnS 26870451

251809810

42

22

111 =×

+×=

+∆==

ππρρ

Per il lato 2 bisogna ricordare che il centro di figura di un semicerchio è posto ad una distanza dal

diametro pari a: π3

2D :

N..DDgAghCF nnnnS 2759851

35129810

832 22

222 −=××

×−=−=−=π

ππ

πρρ

D O

A

B

patm

1 2 n -n

hCF1=xCF1

x

xCS2 hCF2=xCF2

xCS1

patm

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Bisogna ora determinare le coordinate del centro di spinta xCS su entrambi i lati, applicando la (35). Ricordiamo a tal proposito che i momenti di inerzia CF

yyI del cerchio e del semicerchio sono dati

rispettivamente da: 44

181

12864D,D

πππ .

m...

..

DD

DD

AxI

xx

m....

...DD

DDAx

Ixx

CF

CFyy

CFCS

CF

CFyy

CFCS

440

851

3512

5118

1128

3512

832

181

12832

641

451

2518064

5125180

42642

2

4

2

4

22

222

2

4

2

4

11

111

=××

×

=

+=+=

+

×++=

+∆

++∆=+=

ππ

ππ

πππ

ππ

π

ππ

ππ

Noti i punti di applicazione delle forze è ora possibile imporre l’equilibrio alla rotazione della valvola attorno ad O e determinare così il momento necessario a tenere chiusa la valvola in posizione verticale:

( )( ) ( ) Nm...xxSxSM

xSxxSM

CFCSCS

CSCFCS

12045516412687044027590

11122

22111

−=−×−×=−−=⇒=−−+

Avendo assunto positivo il verso di rotazione antiorario, risulta che il momento necessario a tener chiusa la valvola deve avere verso di rotazione oraria.

2.3 Spinte idrostatiche su superfici curve. Per calcolare la spinta idrostatica agente su una superficie curva A si applica l’equazione globale dell’idrostatica:

∫∫ −===+V

dVg,dp kGnΠGΠ ρσσ

;0 (37)

in cui la superficie di contorno σ del volume di controllo V deve contenere la superficie A. Vediamo concretamente come si procede attraverso la considerazione di alcuni casi pratici.

Esercizio 2.3.1 Calcolare la spinta idrostatica esercitata dal liquido sulla calotta semisferica e sulla valvola conica del serbatoio illustrato in figura. Dati: ρg=9810 Nm-3, ρmg=132871Nm-3, D=3m, d=0.6m, a=0.15m, α=60°, ∆=0.15m, h=1m Consideriamo dapprima la calotta semisferica ABC. L’applicazione dell’equazione globale può essere schematizzata in passi ben distinti.

1. Scelta del volume di controllo Il volume di controllo deve essere scelto in modo tale che la superficie di contorno contenga la superficie curva sulla quale si deve calcolare la spinta. In altre parole, la superficie del volume di controllo deve essere costituita, in parte o del tutto, dalla superficie curva su cui si deve calcolare la spinta ed eventualmente da superfici ausiliarie piane, di forma semplice, reali o virtuali. Nel caso

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della calotta ABC, si sceglie senz’altro come volume di controllo V il volume della calotta. Di conseguenza la superficie del volume di controllo risulta composta dalla superficie semisferica A e dalla base della calotta, ossia dalla superficie ausiliaria Aa piana tracciata idealmente all’interno del liquido.

2. Applicazione dell’equazione globale al volume di controllo

Definito il volume di controllo e la superficie di questo, è possibile applicare l’equazione globale al volume di liquido in esso contenuto, esprimendo l’integrale di superficie come la somma dell’integrale calcolato sulla superficie curva e dell’integrale calcolato sulla superficie ausiliaria piana:

0 0

controllo di volumenelcontenuto liquido del peso

:corpo di forza della Risultante

pianaausiliaria superficie

sulla Spintacurva superficie

sulla Spinta

=−+=−⇒=+ ∫∫∫∫∫4342143421321 VA

uAV

dVgdApdApdVgdpu

knnknGΠ ρρσσ

L’ultima equazione può essere risolta rispetto all’opposto dell’integrale calcolato sulla superficie curva:

∫∫∫ −=−VA

uA

dVgdApdApu

knn ρ

La spinta S esercitata dal liquido sulla superficie curva coincide con il termine a primo membro. Infatti i termini dell’equazione globale rappresentano forze applicate al liquido. In particolare l’integrale calcolato sulla superficie curva è la forza esercitata sul liquido dalla superficie curva ma noi stiamo cercando S ossia la forza esercitata dal liquido sulla superficie curva, dunque esattamente l’opposto dell’integrale calcolato sulla superficie curva. Possiamo perciò scrivere:

GΠS += au

in cui auΠ è la spinta esercitata dalla superficie ausiliaria piana sul liquido contenuto all’interno del volume di controllo e G è il peso del liquido contenuto all’interno del volume di controllo.

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3. Calcolo dei vari termini

Si devono ora materialmente calcolare i termini sopra descritti. Il calcolo del termine G è immediato:

NDggVdVgV

kkkkkG 6934383

329810

832 33

−=××−=−=−=−= ∫ ππρρρ

Il calcolo di auΠ è più articolato, ma in definitiva si tratta di calcolare la spinta su una superficie piana e di attribuirgli il giusto verso. Poiché è la spinta esercitata dalla superficie ausiliaria piana sul liquido contenuto all’interno del volume di controllo, auΠ ha direzione normale alla superficie ausiliaria piana e verso orientato verso l’interno del volume di controllo, se la pressione relativa del centro di figura è positiva. Il verso di auΠ è invece orientato verso l’esterno del volume di controllo, se la pressione relativa del centro di figura è negativa. Nel caso in esame dunque la direzione di auΠ coincide con –i. Il modulo di auΠ si calcola con la formula (29), ossia calcolando la pressione nel centro di figura della figura piana e moltiplicandola per l’area di questa. La pressione, secondo quanto indicato in figura, è fornita dalla:

Pa.ghgp mCF 1012119810150132871 −=×+×=+∆−= ρρ

la pressione è negativa: ciò vuol dire che la pressione assoluta nel centro di figura della superficie ausiliaria è minore della pressione atmosferica esterna al serbatoio. Nel disegno il centro di figura si trova al di sopra del piano dei carichi. Il modulo della spinta vale:

715394310121

4

22

−=×−==Π ππ DpCFau

La spinta in modulo, direzione e verso è dunque data da:

( ) ( ) iiiΠ 7153971539 =−−=−Π= auau Dunque ha verso orientato da sinistra verso destra: poichè il liquido nel serbatoio è in depressione la calotta sferica viene premuta dall’esterno. Una volta calcolati i vari termini si può infine esprimere il risultato:

kiGΠS 6934371539 −=+= au

Si noti che la spinta S non ha componente nella direzione individuata dal versore j: questo fatto è conseguenza della simmetria della superficie semisferica rispetto al piano xz.

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Di conseguenza le componenti delle spinte elementari nella direzione individuata dal versore j hanno modulo uguale e verso opposto e dunque si bilanciano reciprocamente. Il risultato finale è che la componente nella direzione individuata dal versore j è nulla. Applicando l’equazione globale si ottiene il risultato finale senza dover tener conto dei dettagli intermedi. E’ però buona norma controllare sempre la consistenza del calcolo.

4. Determinazione del centro di spinta Nel caso delle superfici curve la determinazione del centro di spinta è in generale un problema assai complesso. Nel caso in esame tuttavia la forma semisferica della superficie semplifica notevolmente il procedimento. Infatti la spinta elementare generica dApd nS = , agente sulla superficie semisferica, è normale ad essa e dunque passa per il centro O.

Di conseguenza anche la spinta risultante S passa per il centro e la sua retta d’azione è inclinata sull’orizzontale di un angolo θ dato dalla:

°−=

=

⋅⋅

= 447153969343arctanarctan

iSkSθ

ossia dato dall’arco tangente del rapporto tra la componente verticale e quella orizzontale. In questo caso dunque la spinta S ha retta d’azione inclinata di 44° gradi sull’orizzontale e il centro di spinta CS, appartenente alla calotta sferica, è posto al di sopra del piano diametrale ad una distanza da questo pari a:

x

y

z

dS

dSx

dSz dSy

dSz dSx

dSy dS

i

j k

dS

dS

p S

θ O

CS

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( ) mDCS 04.1sin2

== θ

Applichiamo ora l’equazione globale al calcolo della spinta sulla valvola conica, ripercorrendo i passi precedentemente descritti.

1. Scelta del volume di controllo Scegliamo come volume di controllo la parte di cono immersa nel liquido. La superficie del volume di controllo è quindi definita dalla superficie laterale del cono e dalla superficie ausiliaria piana circolare avente diametro d. In questo caso il volume di controllo effettivamente non contiene liquido: il cono sarà infatti costituito da qualche materiale metallico. Tuttavia è possibile sostituire idealmente il cono reale con un cono virtuale, costituito da liquido in equilibrio con l’ambiente liquido circostante

2. Applicazione dell’equazione globale al volume di controllo Definito il volume di controllo e la superficie di questo, è possibile applicare l’equazione globale al volume di liquido in esso contenuto, esprimendo l’integrale di superficie come la somma dell’integrale calcolato sulla superficie curva e dell’integrale calcolato sulla superficie ausiliaria piana:

0 0

controllo di volumenelcontenuto liquido del peso

:corpo di forza della Risultante

pianaausiliaria superficie

sulla Spintacurva superficie

sulla Spinta

=−+=−⇒=+ ∫∫∫∫∫4342143421321 VA

uAV

dVgdApdApdVgdpu

knnknGΠ ρρσσ

L’ultima equazione può essere risolta rispetto all’integrale calcolato sulla superficie curva:

−−= ∫∫∫

VAu

A

dVgdApdApu

knn ρ

La spinta S esercitata dal liquido sulla superficie curva coincide con il termine a primo membro. Infatti i termini dell’equazione globale rappresentano forze applicate al liquido. In particolare l’integrale calcolato sulla superficie curva è la forza esercitata sul liquido virtuale dall’ambiente esterno attraverso la superficie curva e poiché noi stiamo cercando S, ossia la forza esercitata sulla superficie curva dal liquido esterno ad essa, l’integrale calcolato sulla superficie curva coincide esattamente con S. Possiamo perciò scrivere:

GΠS −−= au

in cui auΠ è la spinta esercitata dalla superficie ausiliaria piana sul liquido contenuto all’interno del volume di controllo e G è il peso del liquido contenuto all’interno del volume di controllo.

3. Calcolo dei vari termini Si devono ora materialmente calcolare i termini sopra descritti. Il calcolo del termine G è

immediato, tenendo presente che l’altezza del cono è data da: ( ) mdhc 52.030tan2

6.0

2tan2

=°×

=

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NhdggVdVg cV

kkkkkG 48152.046.0

319810

431 22

−=×××−=−=−=−= ∫ ππρρρ

auΠ è la spinta esercitata sul liquido virtuale attraverso la superficie piana orizzontale, circolare, di

diametro d ed è data da:

kΠ ApCFau −= La direzione della spinta ausiliaria coincide con quella della normale entrante, il verso dipende dal segno della pressione relativa nel centro di figura. In questo caso infatti la pressione nel centro di figura di questa vale:

( ) PaahDggp mCF 2630715.015.1981015.01328712

−=+−×−×−=

+−−∆−= ρρ

e pertanto la spinta vale:

( ) NdpAp CFCFau kkkkΠ 743846.026307

4

22

=×−−=−=−=ππ

Una volta calcolati i vari termini si può infine esprimere il risultato:

Nau kkkGΠS 69574817438 −=+−=−−=

Si noti che la spinta S non ha componenti orizzontali: questo fatto è conseguenza della simmetria assiale della superficie conica. Si noti anche che nel caso di corpo immerso e di applicazione della equazione globale con riempimento virtuale il peso del volume di liquido interviene con il segno opposto: in altre parole il corpo riceve una spinta dal basso verso l’alto pari (in modulo) al peso del liquido contenuto nel volume del corpo (principio di Archimede).

4. Determinazione del centro di spinta Nel caso in esame la retta d’azione della spinta, per ovvii motivi di simmetria, coincide con l’asse del cono. La spinta è inoltre complessivamente rivolta verso il basso: tende cioè a schiacciare la valvola conica contro il serbatoio, conseguenza del fatto che il serbatoio è complessivamente in depressione (il piano dei carichi, facendo riferimento allo schema principale, è situato al di sotto del piano diametrale) e dunque è premuto dall’ambiente esterno a pressione atmosferica.

Esercizio 2.3.2 Determinare la spinta che i liquidi contenuti nel serbatoio in figura esercitano sulle superfici cilindriche ABC, lunghe L. Dati: L=1m, 3

23

13 981078454903 mNg,mNg,mNgm === ρρρ ,

∆=0.2 m, n=0.88 bar, h1=1.2, , h2=0.2, , r1=0.2, r2=0.3.

Osserviamo innanzitutto che:

1.013 bar = 1 atm = 101337 Pa

pertanto tramite la seguente proporzione il valore 0.88 bar viene convertito in Pascal:

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Pa..p

..p

nn 88032

0131880101337

0131880

101337=×=⇒=

Poichè la superficie ABC è cilindrica, il problema può essere studiato nel piano individuato dagli assi xz, i cui versori sono i, k. La presenza di due liquidi separati dal setto con le superfici cilindriche renderà necessario il calcolo della spinta prima da un lato e poi dall’altro. Procediamo quindi separatamente nei due lati, applicando l’equazione globale dell’idrostatica, seguendo i passi indicati nell’esercizio precedente. Lato 1

1. Scelta del volume di controllo Il setto forma in realtà due semicilindri: AB, BC ai quali si deve applicare separatamente l’equazione globale. Il semicilindro AB è infatti riempito effettivamente del liquido 1, mentre il semicilindro BC sporge nel lato 1. La scelta più intuitiva e più semplice è quindi quella di prendere come volumi di controllo per il lato 1 i due semicilindri AB, BC, chiusi da due superfici ausiliarie, piane, rettangolari, di altezza rispettivamente pari a 2 r2, 2r1 e base L.

2. Applicazione dell’equazione globale al volume di controllo Per quanto appena visto, l’equazione globale si applicherà con riempimento reale al semicilindro AB e con riempimento virtuale al semicilindro BC. Perciò, ricordando i risultati ottenuti nell’esercizio precedente:

−−=

+=111

111

BCauBCBC

ABauABAB

GΠS

GΠS

In cui le forze a secondo membro sono applicate alle masse liquide contenute nei volumi di controllo.

3. Calcolo dei vari termini Al solito il calcolo dei pesi G non pone alcun problema:

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−=××−=−=−=

−=××−=−=−=

N.LrggV

N.LrggV

BCBC

ABAB

kkkkG

kkkkG

49312207845

2

110912307845

222

111

1

222

111

ππρρ

ππρρ

Il calcolo dei termini auΠ consiste nel calcolare le spinte sulle superfici piane rettangolari ausiliarie. Si devono perciò preliminarmente determinare le pressioni nei centri di figura di tali superfici ausiliarie:

( )

=×+=++=

=×+=+=

Pa.rrgpp

Pa.ghpp

auABauBC

nauAB

10136950784597446

9744621784588032

21111

111

ρ

ρ

Possiamo ora calcolare i termini auΠ ricordandoci che, se la pressione (relativa) è positiva, essi sono orientati verso l’interno del volume di controllo e sono normali alle superfici ausiliarie:

( ) ( ) ( )

=×××===

−=−×××=−=−=

N.LrpAp

N.LrpAp

auBCauBCauBCauBC

auABauABauABauAB

iiiiΠ

iiiiΠ

4054812021013692

584681302974462

1111

2111

Riunendo i risultati:

+−=−−=

−−=+=

kiGΠS

kiGΠS

49340548

110958468111

111

BCauBCBC

ABauABAB

4. Determinazione del centro di spinta

Vale il ragionamento fatto per la calotta sferica nell’esercizio precedente: la spinta risultante S passa per il centro del semicilindro e la sua retta d’azione è inclinata sull’orizzontale di un angolo θ dato dalla:

'arctanarctan

arctanarctan

BC

BCBC

AB

ABAB

42040548493

1584681109

1

11

1

11

°−=

−=

⋅⋅

=

°=

−−

=

⋅⋅

=

iSkS

iSkS

θ

θ

Nel caso del semicilindro AB la retta d’azione della spinta interseca la superficie cilindrica nel punto 1

ABCS posto al di sotto del piano diametrale di una quota pari a:

( ) ( ) m.sin.sinrCS ABAB 006013012

1 =°×== θ Nel caso del semicilindro BC la retta d’azione della spinta interseca la superficie cilindrica nel punto 1

BCCS posto al di sotto del piano diametrale di una quota pari a:

( ) ( ) m.'sin.sinrCS BCBC 00204202011

1 =°−×== θ

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Lato 2

1. Scelta del volume di controllo Nel lato 2 il semicilindro BC è riempito effettivamente del liquido 2, mentre il semicilindro AB sporge nel lato 2. Quindi, anche nel lato 2, la scelta più intuitiva e più semplice è quella di prendere come volumi di controllo i due semicilindri AB, BC, chiusi da due superfici ausiliarie, piane, rettangolari, di altezza rispettivamente pari a 2 r2, 2r1 e base L.

2. Applicazione dell’equazione globale al volume di controllo Per quanto appena visto, nel lato 2 l’equazione globale si applicherà con riempimento reale al semicilindro BC e con riempimento virtuale al semicilindro AB:

+=

−−=222

222

BCauBCBC

ABauABAB

GΠS

GΠS

In cui le forze a secondo membro sono applicate alle masse liquide contenute nei volumi di controllo.

3. Calcolo dei vari termini Per il calcolo dei pesi G si ha:

−=××−=−=−=

−=××−=−=−=

N.LrggV

N.LrggV

BCBC

ABAB

kkkkG

kkkkG

61612209810

2

138712309810

222

122

2

222

222

ππρρ

ππρρ

Per determinare le pressioni nei centri di figura delle superfici ausiliarie, si calcola innanzitutto la pressione nel punto D:

Pa.ghpp nD 896012078458803221 =×+=+= ρ

A

B

C

1ABS

1ABCS

1BCS

1BCCS

1ABθ

1BCθ

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Successivamente si calcola pressione nel punto E:

Pa.gpp mDE 9058220490389601 =×+=∆+= ρ e infine si calcolano le pressioni nei centri di figura delle superfici ausiliarie:

( ) ( )( )

=×+=++=

=−−×+=∆−−+=

Pa.rrgpp

Pa...hhgpp

auABauBC

EauAB

10333550981098430

98430202021981090582

21222

2122

ρ

ρ

Possiamo ora calcolare i termini auΠ ricordandoci che, se la pressione (relativa) è positiva, essi sono orientati verso l’interno del volume di controllo e sono normali alle superfici ausiliarie:

( ) ( ) ( )

=×××===

−=−×××=−=−=

N.LrpAp

N.LrpAp

auBCauBCauBCauBC

auABauABauABauAB

iiiiΠ

iiiiΠ

4133412021033352

590581302984302

1222

2222

Riunendo i risultati:

−=+=

+=−−=

N

N

BCauBCBC

ABauABAB

kiGΠS

kiGΠS

61641334

138759058222

222

4. Determinazione del centro di spinta

La spinta risultante S passa per il centro del semicilindro e la sua retta d’azione è inclinata sull’orizzontale di un angolo θ dato dalla:

'arctanarctan

'arctanarctan

BC

BCBC

AB

ABAB

51041334

616

211590581387

2

22

2

22

°−=

=

⋅⋅

=

°=

=

⋅⋅

=

iSkS

iSkS

θ

θ

Nel caso del semicilindro AB la retta d’azione della spinta interseca la superficie cilindrica nel punto 2

ABCS posto al di sotto del piano diametrale di una quota pari a:

( ) ( ) m.'sin.sinrCS ABAB 00702113022

2 =°×== θ Nel caso del semicilindro BC la retta d’azione della spinta interseca la superficie cilindrica nel punto 2

BCCS posto al di sotto del piano diametrale di una quota pari a:

( ) ( ) m.'sin.sinrCS BCBC 00305102021

2 =°−×== θ

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2.4 Equilibrio relativo. In un sistema di riferimento in moto di traslazione uniformemente accelerato o in moto di rotazione con velocità angolare uniforme, l’equazione indefinita dell’idrostatica assume, rispettivamente, le forme:

( )

( )

=××−−−

=−−−

0

0

corpo di Forze

corpo di Forze

444 3444 21

43421

rΩΩkgrad

akgrad

ρρ

ρρ

gp

gp T

(38)

in cui le forze di corpo, oltre a tener conto della forza peso, devono tener conto delle forze apparenti. Di conseguenza, il gradiente di pressione è dato dalle espressioni:

( )

( )

××−−=

−−=

444 3444 21

4434421

corpo di Forze

corpo di Forze

rΩΩkgrad

akgrad

ρρ

ρρ

gp

gp T

(39)

ossia è un vettore avente verso opposto e modulo e direzione identici al vettore delle forze di corpo per unità di volume. Per comprendere il significato della (39), considereremo dapprima un serbatoio parallelepipedo, aperto, in moto uniformemente accelerato con accelerazione Ta , riempito di liquido, avente densità ρ, che in quiete raggiunge il livello H e successivamente un contenitore cilindrico circolare, di raggio R, in moto di rotazione attorno al suo asse, con velocità di rotazione uniforme Ω, riempito di liquido, avente densità ρ, che in quiete raggiunge il livello H. Come è noto, la direzione e il verso del gradiente della pressione indicano la direzione e il verso di massima variazione della pressione. Nelle direzioni normali al gradiente non si ha variazione di pressione: perciò le superfici perpendicolari al gradiente della pressione sono superfici isobare. Nel primo caso, considerando una sezione del serbatoio nel piano individuato dalla direzione verticale e dalla direzione dell’accelerazione, le superfici isobare sono piani, le cui tracce sono date

A

B

C

2ABS

2ABCS

2BCS

2BCCS

2ABθ

2BCθ

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dalle rette in grassetto a tratteggio. La retta a tratto e punto, parallela alle precedenti, rappresenta la superficie libera.

Nel sistema di riferimento inerziale considerato dunque, le superfici isobare non sono piani orizzontali, bensì inclinati rispetto all’orizzontale dell’angolo θ. Quanto detto è illustrato in figura. Si vede inoltre, chiaramente indicata, la direzione di massima variazione della pressione, indicata dal gradiente. Per ottenere l’equazione delle superfici isobare, le cui tracce sono le rette in grassetto a tratteggio riportate in figura, si deve considerare che l’equazione indefinita dell’idrostatica:

( ) ( ) ( ) ( ) 0ikkgradakgrad =+++=++ αραρρρρ cosasinagpgp TTT (40)

può essere posta nella forma:

( ) ( )( ) 0=+++ zsinaxcosagzp TT αραρρgrad (41)

avendo fatto comparire le componenti cartesiane dell’accelerazione. La (41) ammette la soluzione:

( ) ( ) tcoszsinaxcosagzp TT =+++ αραρρ (42) che può essere applicata sia per determinare la pressione in qualsiasi punto del serbatoio, nota la pressione in un punto di riferimento, sia per determinare l’equazione della famiglia delle superfici isobare, ponendo p=cost e conglobandola nella costante a secondo membro:

( )( )α

αsinag

xcosatcoszT

T

+−

= (43)

Dalla (40), esplicitando le componenti dell’accelerazione:

( ) ( )( ) ( )ikgrad αραρ cosasinagp TT −+−= (44) si può ottenere l’angolo θ e il modulo del gradiente della pressione.

k

i

z

x

aT

aTx aTz -aT

−ρg k

grad(p)

H θ

α

θ

-aTz=- aT sin(α) k

-aTx=-aT cos(α) i

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( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )αρααρ

ααθ

singagasinagcosap

sinagcosaarctan

TTTT

T

T

22222 ++=++=

+

=

grad

(45)

E’ interessante considerare due casi particolari:

• α=0; il serbatoio si muove in direzione orizzontale. ( ) 22 gap,gaarctan T

T +=

= ρθ grad .

• α=π/2; il serbatoio si muove in direzione verticale. ( ) ( )gap, T +== ρθ grad0 . In questo

caso, se ( ) 0=⇒−= pgaT grad , il serbatoio è in caduta libera e la pressione è costante in tutta la massa liquida.

Nel secondo caso, consideriamo un sistema di riferimento Orz solidale al contenitore cilindrico rotante attorno al suo asse, in cui l’asse z coincida con l’asse di rotazione del serbatoio cilindrico e l’asse r sia l’asse radiale. Inoltre l’origine O del riferimento si trovi sulla superficie libera del livello del liquido quando il contenitore è in quiete:

In tale sistema di riferimento la forza di corpo vale: rrerΩΩ 2ρωρ =××− . Infatti i vettori Ω, r sono definiti dalle: rr, erkΩ == ω , essendo re il versore dell’asse r. Di conseguenza l’equazione indefinita dell’idrostatica assume la forma:

( ) rrgp ekgrad 2ρωρ +−= (46)

La componente verticale del gradiente di pressione è pari alla forza peso per unità di volume, mentre quella orizzontale alla forza centrifuga per unità di volume. Quest’ultima dipende dalla posizione: aumenta con la distanza dall’asse di rotazione. Ponendo la (46) nella forma:

02

22 =

−+

rgzp ρωρgrad (47)

H

Ω

r er k

z

d

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si può ottenere la distribuzione di pressione:

2

22 rgztcosp ρωρ +−= (48)

nota la pressione in un punto qualsiasi. L’equazione delle superfici isobare, conglobando nella costante della (48) la pressione, è data dalla:

22

2r

gtcosz ω

+= (49)

La superficie libera e le superfici isobare sono paraboloidi di rotazione. Eguagliando il volume di liquido che si innalza a quello che si abbassa, rispetto al livello originario in quiete, si può

dimostrare che la superficie libera si abbassa sull’asse di rotazione della stessa quantità 22

4R

gd ω

=

di cui si innalza sui bordi. In definitiva, nel sistema di riferimento considerato, l’equazione della superficie libera assume la forma:

22

22

42R

gr

gz ωω

−= (50)

Esercizio 2.4.1 Un serbatoio parallelepipedo, lungo L=8m, largo b=2m e profondo H=3m, contiene h=1.5m d’acqua ρg=9806Nm-3. Se viene sottoposto ad una accelerazione orizzontale di a=2.45 ms-2 nel senso della lunghezza, calcolare la forza che l’acqua esercita sulle due pareti estreme del serbatoio.

Cominciamo col calcolare l’angolo di cui si inclina la superficie libera, tenendo conto del fatto che in questo caso l’accelerazione ha solo la componente orizzontale (α=0):

( )( ) °=

=

+

= 14gaarctan

sinagcosaarctanT

T

ααθ

L’innalzamento e l’abbassamento sulle pareti di estremità sono pari a:

L

H

h

z

x θ

-a i

− ρ g k

a i d

d

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( ) m..

gaLtanLd 1

8194524

22=×=== θ

Il livello raggiunto dall’acqua nella parete posteriore, dove si innalza, è pari a:

m.gaLhdh 52

2=+=+ , nella parete anteriore, dove si abbassa, è pari a: m.

gaLhdh 50

2=−=− .

Dobbiamo ora calcolare la spinta dell’acqua sulle pareti di estremità. A tal proposito, fissato un sistema di riferimento solidale al serbatoio con origine sul fondo, dobbiamo determinare la pressione nei centri di figura delle superfici bagnate di estremità, utilizzando l’espressione (42), in cui la costante viene determinata imponendo che per x=0, z=h, la pressione relativa è nulla (la pressione assoluta è pari alla pressione atmosferica):

( ) axzhgp ρρ −−= sulle superfici rettangolari di estremità la pressione vale pertanto:

Pa..Lahgp

Pa..Lahgp

p

a

1225824521000750981042

245824521000750981042

=××+×=+=

=××−×=−=

ρρ

ρρ

Note le pressioni nei centri di figura si possono calcolare le spinte, i cui versi sono, rispettivamente, i sulla superficie anteriore e –i su quella posteriore:

( ) Ng

aLhg

aLhbgbg

Lahg

aLhgAp

Ng

aLhg

aLhbgbg

Lahg

aLhgAp

abb

aaa

iiiiS

iiiiS

6126322222

246322222

22

22

−=

+

+−=−

+

+==

=

+=

−==

ρρ

ρρ

Sommando le spinte, che non hanno medesima retta d’azione, si ottiene la spinta risultante:

NbLhaba iiSS 58800−=−=+ ρ

pari alla forza d’inerzia complessivamente esercitata sulla massa liquida e dovuta alla accelerazione a.

Esercizio 2.4.2 Un serbatoio cilindrico circolare, diametro D=1 m, altezza H=2 m, contiene acqua, ρg=9806Nm-3, fino ad una altezza h=1.5 m. Se il cilindro ruota attorno al proprio asse, quale velocità angolare costante può essere raggiunta senza far uscire l’acqua? Qual è la pressione in C e D, se ω=6 rad/s? Adottando un sistema di riferimento Orz solidale al cilindro rotante, asse r radiale, asse z coincidente con l’asse del cilindro e origine sulla superficie libera del liquido in quiete, si è visto che il paraboloide di rotazione, in cui si trasforma la superficie libera iniziale, si abbassa sull’asse della stessa quantità d di cui si innalza sul bordo. Tale quantità è pari a:

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22

4R

gd ω

=

Se pertanto il cilindro è riempito in quiete fino all’altezza h, affinché in rotazione non fuoriesca dal cilindro, si dovrà avere che:

( )s/rad.

RhHg

hHRg

HRg

h 8684

442

22

2

=−

≤⇒−≤⇒≤+ ωωω

Consideriamo la distribuzione di pressione (48) e determiniamo la costante imponendo che per r=0,

22

4R

gz ω

−= , la pressione è nulla: si tratta infatti del punto della superficie libera che interseca l’asse

di rotazione. Si determina così la distribuzione di pressione nella massa in rotazione:

gzRrp ρρω−

−=

22

22

2

Grazie alla quale possono essere calcolate le pressioni nei punti C, D:

Pa..Rghp

Pa..Rghp

D

C

16965504

610005198104

12465504

610005198104

22

22

22

22

+×=+=

−×=−=

ρωρ

ρωρ

h

ω

r er k

z

d H

C D