ESERCIZI CIRCUITI MAGNETICI

Circuiti magnetici 1

Versione del 17-3-2007

Esercizio n. 1

N1

l l

lN2

i1 i2

S�

Determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

lSNL

154 2

11

μ=

lSNL5

2 22

2μ

= lNSNM

521μ

−=

Esercizio n. 2

N1l

lll

N2

i1

i2

S�

Determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

lSNL

5615 2

11

μ=

lSNL7

2 22

2μ

= lNSNM

1421μ

=

Esercizio n. 3

N1

l 2l

lN2 N3

i1 i2 i3

S�

Determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei tre avvolgimenti.

Risultati

lSNL

236 2

11

μ=

lSNL

238 2

22

μ=

lSNL

234 2

33

μ=

lNSNM

235 21

12μ

= lNSNM

2331

13μ

−= lNSNM

233 32

23μ

=

2 Circuiti magnetici

Versione del 17-3-2007

Esercizio n. 4 N1

i1 i2

�

��0

S

� �

N2

Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

21

1 32RNL =

0

22

2 32RNL =

0

21

3RNNM = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μδ

=S0

0R

Esercizio n. 5

N1 N2

S

�

�0

�

�� ��

�

i1 i2

Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

21

1 3RNL =

0

22

2 32RNL =

0

21

3RNNM −= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μδ

=S0

0R

Esercizio n. 6

N1 N2 N3

i

S��0

�

Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita, determinare l’induttanza dell’avvolgimento.

Risultato

0

32312123

22

21

3)(2

RNNNNNNNNNL −++++

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μδ

=S0

0R

Circuiti magnetici 3

Versione del 17-3-2007

Esercizio n. 7

S

N1

i1

i2

��0

�

�

��

�

N2

Assumendo che la permeabilità μ del materiale ferromagnetico sia praticamente infinita, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

21

1 76RNL =

0

22

2 76RNL =

0

21

7RNNM = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μδ

=S0

0R

Esercizio n. 8

N1

i1

i2

N2

Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

21

1 53RNL =

0

22

2 52RNL =

0

21

5RNNM −=

Esercizio n. 9

N1 N2i1 i2

Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

21

1 23RNL =

0

22

2 23RNL =

0

21

RNNM =

4 Circuiti magnetici

Versione del 17-3-2007

Esercizio n. 10

N

N 2N

i1

i2

Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

2

1 32RNL =

0

2

2 314RNL =

0

2

3RNM =

Esercizio n. 11

N1 N2N1

i1 i1i2

Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

21

1 RNL =

0

22

2 RNL =

0

21

RNNM =

Esercizio n. 12

N2N /21N /21

i1

i2

Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza uguale a R0 e che le riluttanze dei tratti in materiale ferromagnetico siano trascurabili, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti.

Risultati

0

21

1 45RNL =

0

22

2 RNL =

0

21

2RNNM −=

Esercizi sui circuiti magnetici Esercizio 1. Nel circuito magnetico illustrato calcolare, trascurando la riluttanza del ferro, i coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 8 cm2, δ = 0.3 mm, N1 = 200, N2 = 100).

Soluzione Il circuito equivalente “elettrico” si deduce immediatamente dalle linee d’asse dei gioghi e delle colonne del circuito magnetico. La riluttanza R del traferro di spessore δ è calcolabile come:

15

0

H10984.2S

−×=µ

δ=R

Le forze magnetomotrici si deducono, per quanto riguarda il modulo, dal prodotto del numero di spire nell’avvolgimento per la corrente che le attraversa e, per quanto riguarda il verso, con la regola della vite destrogira, tenuto conto dei versi assegnati per le correnti.

Il circuito è costituito da N = 2 nodi e R= 3 rami in parallelo. La tensione “magnetica” tra i due nodi del circuito è calcolabile direttamente utilizzando il Teorema di Millman:

21

212

AB i80i401

2

11

i100

2

i200i100

+=++

++=ψ

RRR

RRR

( )( )

+−=ϕ=ϕ−=ϕ

⇒

ϕ−=ψϕ−=ψ

ϕ−=ψ

R

R

R

R

R

/i20i40

/i40i80

i100

2i200

i100

2132

211

32AB

11AB

22AB

Dalle caratteristiche dei tre rami si deducono quindi direttamente i flussi su ogni ramo: I flussi concatenati ai due avvolgimenti, con i versi di riferimento scelti, sono dati da:

Φc,1 = 200 ϕ1 , Φc,2 = 100 ϕ2 + 100 ϕ3

R

2 R

200 i1

R

100 i2

100 i2

ϕ2

ϕ3

ϕ1

A B

N1

δ N2 i1

2δ

N2

i2 δ

I coefficienti di auto e mutua induzione si calcolano quindi direttamente dalle definizioni:

mH6.53i

ΦL

0i1

1c,1

2

===

mH8.26i

ΦM

0i2

1c,

1

−===

mH4.13i

ΦL

0i2

2c,2

2

===

Esercizio 2. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato, calcolare i coefficienti di auto induzione degli avvolgimenti 1 e 2 e il coefficiente di mutua induzione tra i due avvolgimenti (la sezione del circuito magnetico è 6 cm2, δ = 1 mm, N1 = 100, N2 = 200)

N2

δ

N1

δ

δ

δ

φ i1

i2

2δ

L1 = 3.77 mH L2 = 22.6 mH M12 = 7.54 mH Esercizio 3. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del flusso di induzione magnetica φ con il verso di riferimento indicato in figura supponendo che gli avvolgimenti siano percorsi dalle correnti i1 = −2 A e i2 = 4 A. φ = − 0.15 mWb Esercizio 4. Determinare il coefficiente di autoinduzione L dell’avvolgimento illustrato (la sezione del circuito magnetico è 16 cm2

, N1 = N3 = 30, N2 = 10).

N1

1 mm

N3 N2

1 mm

3 mm

1 mm

1 mm L = 0.2 mH

Esercizio 5. Trascurando la riluttanza dei tratti in ferro, calcolare il flusso sul ramo AB del circuito magnetico assegnato (sezione 10 cm2)

2 A

N1 = 30

0.5 mm

3 A

N2 = 40

0.5 mm

1 mm

0.5 mm

0.5 mm

0.1 mm

A

B

φAB

φAB = 0.19 mWb Esercizio 6. Trascurando la riluttanza del ferro nel circuito magnetico illustrato in sezione calcolare il coefficiente di auto induzione dell’avvolgimento (la lunghezza assiale è 20 cm, il raggio del cilindro interno è R = 50 mm, l’apertura angolare di ogni polo 60°, δ0 = 1 mm, δ1 = 0.1 mm, t =10 mm, N = 100)

L = 233 mH Esercizio 7. Per lo stesso circuito magnetico dell’esercizio precedente, calcolare il valore del campo di induzione magnetica nei traferri δ0 supponendo che l’avvolgimento sia percorso dalla corrente i = 2 A . Β = 0.22 T

i

N

N

R

t

δ1

δ0

δ0

δ1