Esercizi Circuiti Resistivi Esercizio n°1 Risolvere il circuito in figura:

1

2

3

4

(1) Risolvere un circuito significa in generale determinare tensioni e correnti in tutti i lati del circuito. Trasformiamo in stella il triangolo 1-2-3:

4

2

1 3

(2)

R13

R12 R23

I I2

I3

I1 I4

I5

v1 v3

v2

v4

v5

E

E = 120V R12 = 10Ω R23 = 15Ω

R13 = 25Ω

R4 = 5Ω

R5 = 1Ω

E

R1 O

R2

R4

R5

R3

I5

I4 I

R4

R5

dove è:

Ω==++

⋅=

++⋅

= 550250

1525102510

231312

13121 RRR

RRR

Ω==++

⋅=

++⋅

= 350

150152510

1510

231312

23122 RRR

RRR

Ω==++

⋅=

++⋅

= 5.750375

1525101525

231312

23133 RRR

RRR

Riduciamo opportunamente il circuito considerando le serie R2, R4 ed R3, R5:

(3)

Ω=+=+= 4135225 RRR Ω=+=+= 5.1255.74334 RRR

Infine giungiamo ad una configurazione di questo tipo:

(4)

in cui è:

Ω=+=+⋅

+=+⋅

+= 03.85.16

5055.1245.1245

3425

34251 RR

RRRReq

Calcoliamo la corrente I:

AVREIeq

94.1403.8

120=

Ω==

E

R1 I

R25 R34

I5 I4

E Req

I

O

A questo punto, procedendo a ritroso nelle diverse configurazioni ottenute, determiniamo correnti e tensioni nei diversi lati del circuito. Determiniamo I5 ed I4 applicando il partitore di tensione e la LKC al nodo O della configurazione circuitale e (3):

ARR

RII 32.11

45.125.1294.14

3425

345 =

+⋅=

+⋅=

45 III += ⇒ AIII 62.332.1194.1454 =−=−=

Determiniamo ora le correnti all’interno del triangolo della configurazione di partenza. A tale scopo impostiamo le L.K.C. ai nodi 1,2,3:

21 III += 94.1421 =+ II

315 III += ⇒ 32.1131 =+ II

432 III += 62.332 =− II queste relazioni non sono indipendenti tra loro perchè la terza si ottiene sottraendo membro a membro la prima e la seconda. E’ necessario quindi cercare una terza relazione; questa ci è fornita dalla L.K.T. applicata al triangolo della configurazione di partenza:

0132 =−+ vvv ⇒ 0112323213 =−+ IRIRIR Il sistema risolutivo diviene quindi:

94.1421 =+ II

32.1131 =+ II

0112323213 =−+ IRIRIR e conduce ai seguenti risultati:

AI 87.101 =

AI 074.42 =

AI 454.03 =

Note tutte le correnti nei lati del circuito, possiamo determinarne le relative tensioni:

VIRV 7.10887.10101121 =⋅==

VIRV 85.101074.4252132 =⋅==

VIRV 81.6454.0153233 =⋅==

VIRV 1.1862.35444 =⋅==

VIRV 32.1132.111555 =⋅==

Esercizio n°2 Dato il circuito in figura:

determinare i e v. In primo luogo stabiliamo un sistema di riferimento per le tensioni e per le correnti nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Impostiamo la L.K.C. al nodo b:

21 IiI += ⇒ 21 IIi −= (1) Per determinare la corrente I1 applichiamo la L.K.T alla prima maglia:

01 =− EV ⇒ 111 IREV == ⇒ 1

1 REI =

Per determinare la corrente I2 applichiamo la L.K.C al nodo c:

02 =+ II ⇒ II −=2 Sostituendo le espressioni delle correnti I1 e I2 nella (1) otteniamo:

AIREIIi 112

218

121 =+=+=−=

La tensione v è la tensione ai capi del generatore di corrente che può essere determinata applicando la L.K.T. alla seconda maglia del circuito:

02 =+ vV ⇒ VIRIRVv 8242222 =⋅==−=−=

R1

I E

R2

i

+ v _

E = 18V R1 = 2Ω R2 = 4Ω

I = 2A

a b c

d

R1

I E

R2

i

+ v _

a b c

d

+ − + −

I1 I2

V1 V2

Esercizio n°3 Dato il circuito in figura:

determinare le tensioni vac e vbd. In primo luogo stabiliamo un sistema di riferimento per le tensioni e per le correnti nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Per ricavare le tensioni vac e vbd è necessario determinare le cadute sui resistori R1 e R2, per cui il primo passo nella risoluzione di questo circuito consiste nel determinare le correnti I1 e I2 nei due resistori. Applicando la L.K.C. al nodo b si ricava evidentemente III == 21 . Impostiamo ora la L.K.T per l’unica maglia del circuito:

01221 =−++ EEIRIR da cui ricaviamo:

ARREEI

32

42812

21

21 =+−

=+−

=

A questo punto possiamo calcolare vac:

VIRIRvac 432)42(21 =⋅+=+=

e anche vbd applicando la L.K.T. alla sequenza chiusa di nodi b-c-d:

AEIRvbd 67.103

32832422 ==+⋅=+=

R1

E1

a

E2

+ vbd

_

b c

d

+ −

R2

vac

E1 = 12V E2 = 8V R1 = 2Ω R2 = 4Ω

R1

E1

a

E2

+ vbd

_

b c

d

+ −

R2

vac

+ − + −I1 I2

V1 V2

Esercizio n°4 Dato il circuito in figura:

determinare il valore di R per cui è Ai 5= e Vv 10= . In primo luogo stabiliamo un sistema di riferimento per le tensioni e per le correnti nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Applichiamo la L.K.T. all’unica maglia del circuito:

02211 =++++− EVVVE R ⇒ 02211 =++++− EiRRiiRE da cui:

iREEiRRi 1122 −+−−=

Ω==⋅−+−⋅−

=−+−−

= 2.051

551.012953.01122

iiREEiRR

Calcoliamo ora il valore di R tale che è Vv 10= . A tale scopo impostiamo le L.K.T alle sequenze di nodi c-d-e-c e c-b-a-e-c:

0=++ ecdecd VVV

0=+++ ecaebacb VVVV

E1

a

+ v

_

+ −

E2

b c d

e

i

R1

V1

R2 R

E1 = 12V E2 = 9V R1 = 0.1Ω R2 = 0.3Ω

E1

a

+ v

_

E2

b c d

e

i R1 R2 R

+ − + −V1 V2 VR

Sostituiamo le tensioni di lato alle tensioni nodo-nodo:

022 =−+ vEV

011 =−+−− vEVVR da cui:

022 =−+ vEiR

011 =−+−− vEiRRi da cui:

2

2

REvi −

=

vEiRRi −+−= 11

e quindi:

Ω=−

−+−

−=

−

−+−

−= 5.0

3.0910

10123.09101.0

2

2

12

21

REv

vER

EvRR

Esercizio n°5 Dato il circuito in figura:

determinare le tensioni V1, V2, V3. Per ricavare le tensioni ai capi di ciascun resistore possiamo seguire due strade. La prima consiste nell’applicare il partitore di tensione alla serie R1 - R2 - R3 :

VRRR

REV 1812216

426636

321

11 ==

++=

++=

VRRR

REV 61272

426236

321

22 ==

++=

++=

VRRR

REV 1212144

426436

321

33 ==

++=

++=

In alternativa possiamo applicare la L.K.T. all’unica maglia del circuito, ricavare il valore della corrente comune e determinare così le cadute su ciascun resistore. A tale scopo fissiamo un riferimento per la corrente:

E

a R1

R2

R3

b

c d

+ −V1

V3 +−

+

−V2

E = 36V R1 = 6Ω R2 = 2Ω R3 = 4Ω

E

a R1

R2

R3

b

c d

+ −V1

V3 +−

+

−V2

Impostiamo la L.K.T. all’unica maglia del circuito:

0321 =−++ EVVV da cui:

0321 =−++ EIRIRIR

ARRR

EI 3426

36

321

=++

=++

=

A questo punto calcoliamo le cadute di tensione ai capi di ciascun resistore:

AIRV 183611 =⋅==

AIRV 63222 =⋅==

AIRV 123433 =⋅==

Esercizio n°6 Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza alla porta a-b. Il cortocircuito si può assimilare ad un resistore di resistenza nulla (e conduttanza infinita). Il parallelo tra un resistore (in generale di un qualsiasi componente) ed un cortocircuito è ancora un cortocircuito. Per questo motivo la resistenza alla porta a-b è nulla. Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza alla porta a-b. Il circuito aperto si può assimilare ad un resistore di resistenza infinita (e conduttanza nulla). La serie tra un resistore (in generale di un qualsiasi componente) ed un circuito aperto è ancora un circuito aperto. Per questo motivo la resistenza alla porta a-b è pari a R.

R

a

b

R

a

b

R

R R

Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza alla porta a-b. La resistenza alla porta a-b è pari a R per le stesse ragioni esposte nell’esercizio precedente. Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza alla porta a-b. La resistenza alla porta a-b è nulla perché il parallelo tra un cortocircuito e un resistore (la serie delle due R ) è ancora un cortocircuito.

a

b

R R

a

b R

R

Esercizio n°7 Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza equivalente tra a e b. Il circuito può essere modificato nel seguente modo:

e infine, effettuando il parallelo tra i resistori di resistenza 2R:

RRRRReq

122

21

211

==+=

RReq =

a

b

R R

R R

2R 2R

a

b

Req

Esercizio n°8 Dato il circuito in figura:

calcolare la resistenza equivalente tra a e b. Riduciamo il circuito partendo dalla serie R2 R3 R7:

Ω=++=++= 9342732237 RRRR

R1 a

b

R2 R3

R5 R6 R7

R4

R1 = 0.25Ω R2 = 2Ω R3 = 4Ω

R4 = 3Ω

R5 = 2.5Ω

R6 = 2.5Ω

R7 = 3Ω

R1 a

b

R237

R5 R6

R4

R1 = 0.25Ω R4 = 3Ω

R5 = 2.5Ω

R6 = 2.5Ω

R237 = 9Ω

Realizziamo il parallelo R4 R237:

94

931

31

91111

42372347

=+

=+=+=RRR

25.22347 =R

A questo punto possiamo determinare la resistenza equivalente effettuando la serie dei resistori R1 R5 R6 R2347:

Ω=+++=+++= 5.725.25.25.225.02347651 RRRRReq

R1 a

b

R2347

R5 R6

R1 = 0.25Ω R5 = 2.5Ω

R6 = 2.5Ω

R2347 = 4/9Ω

Esercizio n°9 Dato il circuito in figura:

ricavare la potenza dissipata nei resistori e la potenza erogata da ciascun generatore. Fissiamo un riferimento per le correnti e le tensioni nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Calcoliamo la potenza dissipata sul resistore R1:

2111 RIRP =

A tale scopo impostiamo la L.K.C. al nodo c:

0112 =−− RIII ⇒ AIII R 224121 =−=−= Si ha quindi:

WIRP R 604152111 =⋅==

Calcoliamo la potenza dissipata sul resistore R2:

2

222

222 RVIRP R ==

R1

R2

E1

E2 I1 I2

R1 = 15Ω R2 = 20Ω

E1 = 30V

E2 = 10V

I1 = 2A

I2 = 4A

R1

R2

E1

E2 I1 I2

R1 = 15Ω R2 = 20Ω

E1 = 30V

E2 = 10V

I1 = 2A

I2 = 4A

+

+

−

−V2

V1

IR1

IR2 Ig

a b c d

e

a b c d

e

+ +

− −

Vg1 Vg2

A tale scopo impostiamo la L.K.T. alla maglia contenente i due generatori di tensione:

0221 =−− VEE ⇒ VEEV 201030212 =−=−= Si ha quindi:

WRVIRP R 20

20400

2

222

222 ====

Calcoliamo ora la potenza erogata dai generatori di corrente. A tale scopo calcoliamo Vg1 e Vg2 applicando la L.K.T alla maglia centrale:

VVIRVVVV Rgg 50202152112121 =+⋅=+=+== Si ha quindi: generatore I1: WIVP gI 100250111 =⋅== generatore I2: WIVP gI 200450222 =⋅== Per il generatore I1 abbiamo considerato la convenzione dell’utilizzatore e PI1 > 0 vuol dire che il generatore sta assorbendo potenza. Per il generatore I2 abbiamo considerato la convenzione del generatore e PI2 > 0 vuol dire che il suddetto generatore sta erogando una potenza di 200W. Calcoliamo ora la potenza erogata dai generatori di tensione. A tale scopo dobbiamo calcolare la corrente Ig applicando la L.K.C. al nodo c:

gRR III += 21 ⇒ ARVIIII RRRg 1

20202

2

2121 =−=−=−=

generatore E1: WIEP gE 3013011 =⋅== generatore E2: WIEP gE 1011022 =⋅== Per il generatore E1 abbiamo considerato la convenzione dell’utilizzatore e PE1 > 0 vuol dire che il generatore sta assorbendo potenza. Per il generatore E2 abbiamo considerato la convenzione del generatore e PE2 > 0 vuol dire che il suddetto generatore sta erogando una potenza di 10W.

Esercizio n°10 Dato il circuito in figura:

ricavare la tensione V. Fissiamo un riferimento per le correnti e le tensioni nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Il dato R1 è in realtà superfluo perché è sufficiente conoscere la tensione ai capi di R1 che è pari a quella del generatore E. A questo punto per calcolare la tensione V possiamo applicare il partitore di tensione alla serie R2 – R3:

VRR

REV 1215630

96630

32

3 ==+

=+

=

R1

E

b

+

−

R2

R3 V

c

a

R1 = 7Ω R2 = 9Ω

R3 = 6Ω E = 30V

R1 E

b

+

−

R2

R3 V

c

a

R1 = 7Ω R2 = 9Ω

R3 = 6Ω E = 30V

++

−

−

V2

V1

I1

I2

Esercizio n°11 Dato il circuito in figura:

ricavare la tensione V e la corrente I. Fissiamo un riferimento per le correnti e le tensioni nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Per calcolare la tensione V riduciamo il circuito di partenza nel seguente modo: SERIE R5 R6

Ω=+=+= 4226556 RRR

R1 a b c d

e

R2

R3

R4

R5

R6

+

−

V E

I

R1 = 2Ω R2 = 4Ω

R3 = 2Ω R4 = 4Ω R5 = 2Ω

R6 = 2Ω E = 50V

R1 a b c d

e

R2

R3

R4

R5

R6

+

−V E

I

R1 = 2Ω R2 = 4Ω

R3 = 2Ω R4 = 4Ω R5 = 2Ω

R6 = 2Ω E = 50V

+

−

+

−

+ − + +− −

a b c

e

R2

R3

R4 R56

+

−V E

I

R1 = 2Ω R2 = 4Ω

R3 = 2Ω R4 = 4Ω R56 = 4Ω

E = 50V

+

−

+

−

+ − + −R1

I1

I2

I3 I5

I6

I1

I2

I3

I5

PARALLELO R56 R4

Ω=+⋅

=+⋅

= 24444

456

456456 RR

RRR

SERIE R456 R3

Ω=+=+= 42245633456 RRR

PARALLELO R3456 R2

Ω=+⋅

=+⋅

= 24444

23456

2345623456 RR

RRR

a b c

e

R2

R3

R456

+

−V E

R1 = 2Ω R2 = 4Ω

R3 = 2Ω R456 = 2Ω E = 50V

+

−

+ − + −

a b

e

R2 R3456

+

−V E

R1 = 2Ω R2 = 4Ω

R3456 = 4Ω E = 50V

+

−

+ −

a b

e

R23456

+

−

V E

R1 = 2Ω R23456 = 2Ω E = 50V

+ −

R1

R1

R1

I1

I2

I3

I1

I2 I3

I1

A questo punto calcoliamo V applicando il partitore di tensione alla serie R23456 R1:

VRR

REV 2522

250123456

23456 =+

=+

=

Determiniamo la corrente I1:

ARR

EI 5.1222

50

1234561 =

+=

+=

Determiniamo la corrente I3 applicando il partitore di corrente al parallelo R3456 R2:

ARR

RII 25.644

45.1223456

213 =

+=

+=

Determiniamo infine la corrente I applicando il partitore di corrente al parallelo R56 R4:

ARR

RII 125.344

425.6456

563 =

+=

+=

Esercizio n°12 Dato il circuito in figura:

determinare la corrente I. Fissiamo un riferimento per le correnti e le tensioni nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:

Il circuito si risolve impostando le L.K.C. ai nodi b e c e la L.K.T alla maglia contenente i resistori e il generatore di tensione:

2121 IIII RR +=+

22 III R +=

EIRIRIR RR ++= 32211

Otteniamo così un sistema di tre equazioni nelle tre incognite IR1, IR2, I

a

+

−

R1

R2 R3

b c d

e

I1

I2

I

a

+ −

R1

R2 R3

b c d

e

I1

I2

I

−+IR1

IR2

E

E

R1 = 10Ω R2 = 6Ω

R3 = 24Ω E = 10V

I1 = 2A

I2 = 2A

Esplicitiamo le prime due equazioni in funzione di IR2:

2121 IIII RR ++−=

22 III R −=

0)()( 223222121 =−−−−++− EIIRIRIIIR RRR

Dalla terza equazione calcoliamo la IR2:

0232322211121 =−+−−++− EIRIRIRIRIRIR RRR

EIRIRIRIRIRIR RRR −++=++ 232111232221

ARRR

EIRIRIRI R 95.14078

2461010224210210

321

2321112 ==

++−⋅+⋅+⋅

=++

−++=

Possiamo calcolare la corrente incognita utilizzando la seconda equazione:

mAAIII R 5005.0295.122 −=−=−=−=