Esercizi Circuiti Resistivi -...
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Esercizi Circuiti Resistivi Esercizio n°1 Risolvere il circuito in figura:
1
2
3
4
(1) Risolvere un circuito significa in generale determinare tensioni e correnti in tutti i lati del circuito. Trasformiamo in stella il triangolo 1-2-3:
4
2
1 3
(2)
R13
R12 R23
I I2
I3
I1 I4
I5
v1 v3
v2
v4
v5
E
E = 120V R12 = 10Ω R23 = 15Ω
R13 = 25Ω
R4 = 5Ω
R5 = 1Ω
E
R1 O
R2
R4
R5
R3
I5
I4 I
R4
R5
dove è:
Ω==++
⋅=
++⋅
= 550250
1525102510
231312
13121 RRR
RRR
Ω==++
⋅=
++⋅
= 350
150152510
1510
231312
23122 RRR
RRR
Ω==++
⋅=
++⋅
= 5.750375
1525101525
231312
23133 RRR
RRR
Riduciamo opportunamente il circuito considerando le serie R2, R4 ed R3, R5:
(3)
Ω=+=+= 4135225 RRR Ω=+=+= 5.1255.74334 RRR
Infine giungiamo ad una configurazione di questo tipo:
(4)
in cui è:
Ω=+=+⋅
+=+⋅
+= 03.85.16
5055.1245.1245
3425
34251 RR
RRRReq
Calcoliamo la corrente I:
AVREIeq
94.1403.8
120=
Ω==
E
R1 I
R25 R34
I5 I4
E Req
I
O
A questo punto, procedendo a ritroso nelle diverse configurazioni ottenute, determiniamo correnti e tensioni nei diversi lati del circuito. Determiniamo I5 ed I4 applicando il partitore di tensione e la LKC al nodo O della configurazione circuitale e (3):
ARR
RII 32.11
45.125.1294.14
3425
345 =
+⋅=
+⋅=
45 III += ⇒ AIII 62.332.1194.1454 =−=−=
Determiniamo ora le correnti all’interno del triangolo della configurazione di partenza. A tale scopo impostiamo le L.K.C. ai nodi 1,2,3:
21 III += 94.1421 =+ II
315 III += ⇒ 32.1131 =+ II
432 III += 62.332 =− II queste relazioni non sono indipendenti tra loro perchè la terza si ottiene sottraendo membro a membro la prima e la seconda. E’ necessario quindi cercare una terza relazione; questa ci è fornita dalla L.K.T. applicata al triangolo della configurazione di partenza:
0132 =−+ vvv ⇒ 0112323213 =−+ IRIRIR Il sistema risolutivo diviene quindi:
94.1421 =+ II
32.1131 =+ II
0112323213 =−+ IRIRIR e conduce ai seguenti risultati:
AI 87.101 =
AI 074.42 =
AI 454.03 =
Note tutte le correnti nei lati del circuito, possiamo determinarne le relative tensioni:
VIRV 7.10887.10101121 =⋅==
VIRV 85.101074.4252132 =⋅==
VIRV 81.6454.0153233 =⋅==
VIRV 1.1862.35444 =⋅==
VIRV 32.1132.111555 =⋅==
Esercizio n°2 Dato il circuito in figura:
determinare i e v. In primo luogo stabiliamo un sistema di riferimento per le tensioni e per le correnti nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:
Impostiamo la L.K.C. al nodo b:
21 IiI += ⇒ 21 IIi −= (1) Per determinare la corrente I1 applichiamo la L.K.T alla prima maglia:
01 =− EV ⇒ 111 IREV == ⇒ 1
1 REI =
Per determinare la corrente I2 applichiamo la L.K.C al nodo c:
02 =+ II ⇒ II −=2 Sostituendo le espressioni delle correnti I1 e I2 nella (1) otteniamo:
AIREIIi 112
218
121 =+=+=−=
La tensione v è la tensione ai capi del generatore di corrente che può essere determinata applicando la L.K.T. alla seconda maglia del circuito:
02 =+ vV ⇒ VIRIRVv 8242222 =⋅==−=−=
R1
I E
R2
i
+ v _
E = 18V R1 = 2Ω R2 = 4Ω
I = 2A
a b c
d
R1
I E
R2
i
+ v _
a b c
d
+ − + −
I1 I2
V1 V2
Esercizio n°3 Dato il circuito in figura:
determinare le tensioni vac e vbd. In primo luogo stabiliamo un sistema di riferimento per le tensioni e per le correnti nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:
Per ricavare le tensioni vac e vbd è necessario determinare le cadute sui resistori R1 e R2, per cui il primo passo nella risoluzione di questo circuito consiste nel determinare le correnti I1 e I2 nei due resistori. Applicando la L.K.C. al nodo b si ricava evidentemente III == 21 . Impostiamo ora la L.K.T per l’unica maglia del circuito:
01221 =−++ EEIRIR da cui ricaviamo:
ARREEI
32
42812
21
21 =+−
=+−
=
A questo punto possiamo calcolare vac:
VIRIRvac 432)42(21 =⋅+=+=
e anche vbd applicando la L.K.T. alla sequenza chiusa di nodi b-c-d:
AEIRvbd 67.103
32832422 ==+⋅=+=
R1
E1
a
E2
+ vbd
_
b c
d
+ −
R2
vac
E1 = 12V E2 = 8V R1 = 2Ω R2 = 4Ω
R1
E1
a
E2
+ vbd
_
b c
d
+ −
R2
vac
+ − + −I1 I2
V1 V2
Esercizio n°4 Dato il circuito in figura:
determinare il valore di R per cui è Ai 5= e Vv 10= . In primo luogo stabiliamo un sistema di riferimento per le tensioni e per le correnti nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:
Applichiamo la L.K.T. all’unica maglia del circuito:
02211 =++++− EVVVE R ⇒ 02211 =++++− EiRRiiRE da cui:
iREEiRRi 1122 −+−−=
Ω==⋅−+−⋅−
=−+−−
= 2.051
551.012953.01122
iiREEiRR
Calcoliamo ora il valore di R tale che è Vv 10= . A tale scopo impostiamo le L.K.T alle sequenze di nodi c-d-e-c e c-b-a-e-c:
0=++ ecdecd VVV
0=+++ ecaebacb VVVV
E1
a
+ v
_
+ −
E2
b c d
e
i
R1
V1
R2 R
E1 = 12V E2 = 9V R1 = 0.1Ω R2 = 0.3Ω
E1
a
+ v
_
E2
b c d
e
i R1 R2 R
+ − + −V1 V2 VR
Sostituiamo le tensioni di lato alle tensioni nodo-nodo:
022 =−+ vEV
011 =−+−− vEVVR da cui:
022 =−+ vEiR
011 =−+−− vEiRRi da cui:
2
2
REvi −
=
vEiRRi −+−= 11
e quindi:
Ω=−
−+−
−=
−
−+−
−= 5.0
3.0910
10123.09101.0
2
2
12
21
REv
vER
EvRR
Esercizio n°5 Dato il circuito in figura:
determinare le tensioni V1, V2, V3. Per ricavare le tensioni ai capi di ciascun resistore possiamo seguire due strade. La prima consiste nell’applicare il partitore di tensione alla serie R1 - R2 - R3 :
VRRR
REV 1812216
426636
321
11 ==
++=
++=
VRRR
REV 61272
426236
321
22 ==
++=
++=
VRRR
REV 1212144
426436
321
33 ==
++=
++=
In alternativa possiamo applicare la L.K.T. all’unica maglia del circuito, ricavare il valore della corrente comune e determinare così le cadute su ciascun resistore. A tale scopo fissiamo un riferimento per la corrente:
E
a R1
R2
R3
b
c d
+ −V1
V3 +−
+
−V2
E = 36V R1 = 6Ω R2 = 2Ω R3 = 4Ω
E
a R1
R2
R3
b
c d
+ −V1
V3 +−
+
−V2
Impostiamo la L.K.T. all’unica maglia del circuito:
0321 =−++ EVVV da cui:
0321 =−++ EIRIRIR
ARRR
EI 3426
36
321
=++
=++
=
A questo punto calcoliamo le cadute di tensione ai capi di ciascun resistore:
AIRV 183611 =⋅==
AIRV 63222 =⋅==
AIRV 123433 =⋅==
Esercizio n°6 Dato il circuito in figura:
calcolare la resistenza alla porta a-b. Il cortocircuito si può assimilare ad un resistore di resistenza nulla (e conduttanza infinita). Il parallelo tra un resistore (in generale di un qualsiasi componente) ed un cortocircuito è ancora un cortocircuito. Per questo motivo la resistenza alla porta a-b è nulla. Dato il circuito in figura:
calcolare la resistenza alla porta a-b. Il circuito aperto si può assimilare ad un resistore di resistenza infinita (e conduttanza nulla). La serie tra un resistore (in generale di un qualsiasi componente) ed un circuito aperto è ancora un circuito aperto. Per questo motivo la resistenza alla porta a-b è pari a R.
R
a
b
R
a
b
R
R R
Dato il circuito in figura:
calcolare la resistenza alla porta a-b. La resistenza alla porta a-b è pari a R per le stesse ragioni esposte nell’esercizio precedente. Dato il circuito in figura:
calcolare la resistenza alla porta a-b. La resistenza alla porta a-b è nulla perché il parallelo tra un cortocircuito e un resistore (la serie delle due R ) è ancora un cortocircuito.
a
b
R R
a
b R
R
Esercizio n°7 Dato il circuito in figura:
calcolare la resistenza equivalente tra a e b. Il circuito può essere modificato nel seguente modo:
e infine, effettuando il parallelo tra i resistori di resistenza 2R:
RRRRReq
122
21
211
==+=
RReq =
a
b
R R
R R
2R 2R
a
b
Req
Esercizio n°8 Dato il circuito in figura:
calcolare la resistenza equivalente tra a e b. Riduciamo il circuito partendo dalla serie R2 R3 R7:
Ω=++=++= 9342732237 RRRR
R1 a
b
R2 R3
R5 R6 R7
R4
R1 = 0.25Ω R2 = 2Ω R3 = 4Ω
R4 = 3Ω
R5 = 2.5Ω
R6 = 2.5Ω
R7 = 3Ω
R1 a
b
R237
R5 R6
R4
R1 = 0.25Ω R4 = 3Ω
R5 = 2.5Ω
R6 = 2.5Ω
R237 = 9Ω
Realizziamo il parallelo R4 R237:
94
931
31
91111
42372347
=+
=+=+=RRR
25.22347 =R
A questo punto possiamo determinare la resistenza equivalente effettuando la serie dei resistori R1 R5 R6 R2347:
Ω=+++=+++= 5.725.25.25.225.02347651 RRRRReq
R1 a
b
R2347
R5 R6
R1 = 0.25Ω R5 = 2.5Ω
R6 = 2.5Ω
R2347 = 4/9Ω
Esercizio n°9 Dato il circuito in figura:
ricavare la potenza dissipata nei resistori e la potenza erogata da ciascun generatore. Fissiamo un riferimento per le correnti e le tensioni nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:
Calcoliamo la potenza dissipata sul resistore R1:
2111 RIRP =
A tale scopo impostiamo la L.K.C. al nodo c:
0112 =−− RIII ⇒ AIII R 224121 =−=−= Si ha quindi:
WIRP R 604152111 =⋅==
Calcoliamo la potenza dissipata sul resistore R2:
2
222
222 RVIRP R ==
R1
R2
E1
E2 I1 I2
R1 = 15Ω R2 = 20Ω
E1 = 30V
E2 = 10V
I1 = 2A
I2 = 4A
R1
R2
E1
E2 I1 I2
R1 = 15Ω R2 = 20Ω
E1 = 30V
E2 = 10V
I1 = 2A
I2 = 4A
+
+
−
−V2
V1
IR1
IR2 Ig
a b c d
e
a b c d
e
+ +
− −
Vg1 Vg2
A tale scopo impostiamo la L.K.T. alla maglia contenente i due generatori di tensione:
0221 =−− VEE ⇒ VEEV 201030212 =−=−= Si ha quindi:
WRVIRP R 20
20400
2
222
222 ====
Calcoliamo ora la potenza erogata dai generatori di corrente. A tale scopo calcoliamo Vg1 e Vg2 applicando la L.K.T alla maglia centrale:
VVIRVVVV Rgg 50202152112121 =+⋅=+=+== Si ha quindi: generatore I1: WIVP gI 100250111 =⋅== generatore I2: WIVP gI 200450222 =⋅== Per il generatore I1 abbiamo considerato la convenzione dell’utilizzatore e PI1 > 0 vuol dire che il generatore sta assorbendo potenza. Per il generatore I2 abbiamo considerato la convenzione del generatore e PI2 > 0 vuol dire che il suddetto generatore sta erogando una potenza di 200W. Calcoliamo ora la potenza erogata dai generatori di tensione. A tale scopo dobbiamo calcolare la corrente Ig applicando la L.K.C. al nodo c:
gRR III += 21 ⇒ ARVIIII RRRg 1
20202
2
2121 =−=−=−=
generatore E1: WIEP gE 3013011 =⋅== generatore E2: WIEP gE 1011022 =⋅== Per il generatore E1 abbiamo considerato la convenzione dell’utilizzatore e PE1 > 0 vuol dire che il generatore sta assorbendo potenza. Per il generatore E2 abbiamo considerato la convenzione del generatore e PE2 > 0 vuol dire che il suddetto generatore sta erogando una potenza di 10W.
Esercizio n°10 Dato il circuito in figura:
ricavare la tensione V. Fissiamo un riferimento per le correnti e le tensioni nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:
Il dato R1 è in realtà superfluo perché è sufficiente conoscere la tensione ai capi di R1 che è pari a quella del generatore E. A questo punto per calcolare la tensione V possiamo applicare il partitore di tensione alla serie R2 – R3:
VRR
REV 1215630
96630
32
3 ==+
=+
=
R1
E
b
+
−
R2
R3 V
c
a
R1 = 7Ω R2 = 9Ω
R3 = 6Ω E = 30V
R1 E
b
+
−
R2
R3 V
c
a
R1 = 7Ω R2 = 9Ω
R3 = 6Ω E = 30V
++
−
−
V2
V1
I1
I2
Esercizio n°11 Dato il circuito in figura:
ricavare la tensione V e la corrente I. Fissiamo un riferimento per le correnti e le tensioni nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:
Per calcolare la tensione V riduciamo il circuito di partenza nel seguente modo: SERIE R5 R6
Ω=+=+= 4226556 RRR
R1 a b c d
e
R2
R3
R4
R5
R6
+
−
V E
I
R1 = 2Ω R2 = 4Ω
R3 = 2Ω R4 = 4Ω R5 = 2Ω
R6 = 2Ω E = 50V
R1 a b c d
e
R2
R3
R4
R5
R6
+
−V E
I
R1 = 2Ω R2 = 4Ω
R3 = 2Ω R4 = 4Ω R5 = 2Ω
R6 = 2Ω E = 50V
+
−
+
−
+ − + +− −
a b c
e
R2
R3
R4 R56
+
−V E
I
R1 = 2Ω R2 = 4Ω
R3 = 2Ω R4 = 4Ω R56 = 4Ω
E = 50V
+
−
+
−
+ − + −R1
I1
I2
I3 I5
I6
I1
I2
I3
I5
PARALLELO R56 R4
Ω=+⋅
=+⋅
= 24444
456
456456 RR
RRR
SERIE R456 R3
Ω=+=+= 42245633456 RRR
PARALLELO R3456 R2
Ω=+⋅
=+⋅
= 24444
23456
2345623456 RR
RRR
a b c
e
R2
R3
R456
+
−V E
R1 = 2Ω R2 = 4Ω
R3 = 2Ω R456 = 2Ω E = 50V
+
−
+ − + −
a b
e
R2 R3456
+
−V E
R1 = 2Ω R2 = 4Ω
R3456 = 4Ω E = 50V
+
−
+ −
a b
e
R23456
+
−
V E
R1 = 2Ω R23456 = 2Ω E = 50V
+ −
R1
R1
R1
I1
I2
I3
I1
I2 I3
I1
A questo punto calcoliamo V applicando il partitore di tensione alla serie R23456 R1:
VRR
REV 2522
250123456
23456 =+
=+
=
Determiniamo la corrente I1:
ARR
EI 5.1222
50
1234561 =
+=
+=
Determiniamo la corrente I3 applicando il partitore di corrente al parallelo R3456 R2:
ARR
RII 25.644
45.1223456
213 =
+=
+=
Determiniamo infine la corrente I applicando il partitore di corrente al parallelo R56 R4:
ARR
RII 125.344
425.6456
563 =
+=
+=
Esercizio n°12 Dato il circuito in figura:
determinare la corrente I. Fissiamo un riferimento per le correnti e le tensioni nei lati in cui questo non è indicato dalla traccia:
Il circuito si risolve impostando le L.K.C. ai nodi b e c e la L.K.T alla maglia contenente i resistori e il generatore di tensione:
2121 IIII RR +=+
22 III R +=
EIRIRIR RR ++= 32211
Otteniamo così un sistema di tre equazioni nelle tre incognite IR1, IR2, I
a
+
−
R1
R2 R3
b c d
e
I1
I2
I
a
+ −
R1
R2 R3
b c d
e
I1
I2
I
−+IR1
IR2
E
E
R1 = 10Ω R2 = 6Ω
R3 = 24Ω E = 10V
I1 = 2A
I2 = 2A
Esplicitiamo le prime due equazioni in funzione di IR2:
2121 IIII RR ++−=
22 III R −=
0)()( 223222121 =−−−−++− EIIRIRIIIR RRR
Dalla terza equazione calcoliamo la IR2:
0232322211121 =−+−−++− EIRIRIRIRIRIR RRR
EIRIRIRIRIRIR RRR −++=++ 232111232221
ARRR
EIRIRIRI R 95.14078
2461010224210210
321
2321112 ==
++−⋅+⋅+⋅
=++
−++=
Possiamo calcolare la corrente incognita utilizzando la seconda equazione:
mAAIII R 5005.0295.122 −=−=−=−=