LEY DE PASCAL Y PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

pa, presión de la atmósfera

mar

h

y2

y1p = p0+ρgh=pa+ρgh

[ ][ ] 333

10001m

kg

cm

g

m

kg

V

m==ρ

densidad

PaPascalm

A

Fp 11

][

][2

===

presión

1 bar = 105 Pa1 atm = 1.013 105 Pa

LEY DE PASCAL

B= ρfluido Vg

W= ρcVg

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

p= presión absoluta

p-p0=presión manométrica

h

pa=p=0+ρgh

p0=0

14.17 Un corto deja sin electricidad a un submarino que está 30 m bajola superficie del mar. Para escapar, la tripulación debe empujar haciaafuera una escotilla en el fondo que tiene un área de 0.75 m2 y pesa 300 N. Si la presión interior es de 1 atm, ¿qué fuerza hacia abajo se debe ejercersobre la escotilla para abrirla?

Datos: pa=1.013 105 Pa

ρmar=1030 kg/m3

A=0.75 m2, W=300N

pAF

ghpp a

=

+= ρ

pa

mg

Fw=pA=(pa+ρgh)A

F?

hpaA+mg+F-pA=0

paA+mg+F=pA

paA+mg+F=(pa+ρgh)A=paA+ρghA

F=paA

mms

m

m

kgmgghAF

53

3

23

1026.23001011.227

300)75.0)(30(8.91030

=−

=−=−= ρ

SOLUCIÓN

a) El volumen de la estatua es:

La fuerza de flotación es B = mwaterg=ρwaterVg:

La suma de las fuerzas es 0:

EJEMPLO 14.5Una estatua de oro sólido (m=15 kg) está siendo levantada de un barco hundido. ¿Qué tensión hay en el cable cuando la estatua está en reposo y a) totalmente sumergida? b) ¿Fuera del agua? (La densidad ρgold del oro es 19.3 103 kg/m3, la densidad del agua del mar es 1.03 103 kg/m3.

T

mg

B

34

33107.7

)/(103.19

15m

mkg

kgmV

gold

−===ρ

s

mm

m

kgB 84.78.9107.71003.1

2

34

3

3 =⋅⋅= −

s

mkgBmgT

mgTBFy

13984.78.915

0

2=−⋅=−=

−+==Σ

SOLUCIÓN

Cuando la estatua está en aire la fuerza de flotación es

B = mairg=ρairVg=1.2 (kg/m3)·7.7 10-4m3·9.8 (m/s2)=

9.1 10-3 N

Entonces

T=mg-B ~ mg ~ (15 kg)(9.8 m/s2)=147 NTB

mg

14.24 Un cable anclado al fondo de un lago de agua dulce sostiene una esfera hueca de plástico bajo la superficie. El volumen de la esfera es de 0.650 m3 y la tensión en el cable es de 900 N. a) Calcule la fuerza de flotación ejercida por el agua sobre la esfera. b) ¿Qué masa tiene la esfera? c) El cable se rompe y la esfera sube a la superficie. En equilibrio, ¿qué fracción del volumende la esfera estará sumergida?

T

B

W=meg

Datos: ρagua=1000kg/m3

Ve=0.650 m3

T= 900 NVgB aguaρ=

smmmkgVgBa agua 6370)/8.9)(650.0)(/1000() 233 === ρ

kgsm

g

TBmTBgm

gmTBb

ee

e

558/8.9

)9006370(

0)

2=

−=

−=⇒−=

=−−

%9.85859.06370

)/8.9)(558('

'

'')

2

=====

=

===

smkg

B

gm

gV

gm

V

V

g

gmV

gmWgVBc

e

agua

e

agua

e

eagua

ρ

ρ

ρ

V ‘

respuesta a)

Llamemos V ’ el volumen sumergido y B ‘ la fuerza de flotación que actúa sobre la esfera cuando ésta flota

me=ρeVga

e

ea

V

V

VggV

WB

ρρ

ρρ

=

=

=

'

'

14.19 Un tanque ahusado presurizado para un cohete contiene 0.250 cm3

de queroseno, con masa m=205 kg. La presión en la superificiedel queroseno es de p0=2.01 105 Pa. El queroseno ejerce una fuerzade 16.4 kN sobre el fondo del tanque, cuya área es A=0.07 m2. Calcule a) la densidad y b) la profundidad del queroseno.

p0

h?A

p=p0+ρkgh

F=pA

Datos: p0=2.01 105 Pa

V=0.250 cm3, m=205 kg

A=0.07 m2, Fk=16.4 kNV

m

pAF

ghpp a

=

=

+=

ρ

ρ

La densidad del queroseno se puede calcularcon m y V:

3

6

36310820

1025.0

205

250.0

205

m

kg

m

kg

cm

kg

V

mq ==== −ρ

mg

pm

hpm

gh

m

A

ghpFAghp

q

q

qq

14.407.0

104.16

07.0

104.16

07.0

104.16104.16104.16)(

2

3

2

3

2

333

=−

=⇒−=

==+⇒==+

ρρ

ρρ

*

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Y TEOREMA DE BENOULLI

A1v1=A2v2

dt

dV

s

m

s

mmAv ==

=3

2 ][

Razón de flujo de volumen

Razón de flujo de masa:

dt

dm

s

kgAv ==ρ

1 L = 1 dm3=10-3 m3

dS1

A2

v2

y1

A1

p2A2

p1A1

v1

dS2

constvgypvgyp =++=++ 2

222

2

1112

1

2

1ρρρρ

ECUACIÓN DE BERNOULLI

APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI

TEOREMA DE TORRICELLI

agua

p0, A1

pa

h

Un tanque de almacenamiento de agua tiene áreatransversal A1 y está lleno de agua hasta una alturah. El espacio arriba del agua contiene aire a presiónp0. En el fondo, el agua sale por un tubo corto de área A2. Se puede calcular la rapidez de flujo en el tubo:

A2 constgyvpgyvp =++=++ 2

2

221

2

112

1

2

1ρρρρ

Si A1 >> A2, el nivel del agua bajará muy lentamente y se puede considerar v1=0. La rapidez v2 es:

ghpp

v

pyygpv

a

a

22

)(2

1

02

2

210

2

2

+−

=

−−+=

ρ

ρρSi el tanque está abierto por arriba a la atmósfera p0=pa:

TEOREMA DE TORRICELLI

ghvghv 22 2

2

2 =⇒=

h

y1

y2

14.36 En un punto de una tubería, la rapidez del agua es de 3 m/s y la presión manométrica es de 5 104 Pa. Calcule la presión manométrica en otro punto de la tubería, 11 m más abajo, si el diámetro del tubo ahí es el doble que en el primer punto.

h=11 m

A1,v1, p1

A2,v2, p2

v1=3 m/s

p1=5 104 Pa

h=11 m

d2=2d1

constvgyp

AvAv

=++

=

2

2211

2

1ρρ

y1

y2

smv

d

dv

A

AvvAvAv /75.0

4)4/4(

)4/( 1

2

1

2

11

2

1122211 ====⇒=

ππ

PaPaPaPa

ms

m

m

kg

s

m

m

kgPa

yygvvpp

gyvpgyvp

54

232

2

3

4

21

2

2

2

112

2

2

221

2

11

1062.11078007.4218105

)11)(8.9(1000)4375.8(10002

1105

)()(2

1

2

1

2

1

=++

=++

=−+−+=

++=++

ρρ

ρρρρ

14.39 Se descarga agua de un tubo horizontal cilíndrico a razón de 465 cm3/s. En un punto del tubo donde el radio es 2.05 cm, la presión absoluta es de 1.6 105 Pa. ¿Qué radio tiene una constricción del tubo donde la presión se reduce a 1.2 105 Pa? (Encontrar v1 con la ecuación de continuidad, después v2 con la ecuación de Bernoulli y el área A2 con la ecuación de continuidad…)

constvgyp

dt

dVAvAv

=++

==

2

2211

2

1ρρ

p1,A1,v1

p2,A2,v2 dV/dt=465 cm3/s

p1=1.6 105 Pa

R1=2.05 cm

p2=1.2 105 Pa

s

m

m

smv

vRvAs

m

s

cm

dt

dV

35.0)0205.0(

)/(10465

)10(465465

2

36

1

1

2

111

323

==

====

−

−

π

π

*

s

mv

ppv

vvpp

vpvp

95.8)(2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

121

2

2

2

2

121

2

22

2

11

=+−

=

=+−

+=+

ρ

ρρ

ρρ

mA

R

mmAdt

dVAv

004.0

109.5195.8

10465

22

2626

222

==

==⇒= −−

π

X=-A

X=A

F

F

MAS

F = -kx

)cos( φω += tAx

Tff

m

k

12 ==

=

πω

ω

22

222

222

)(2

1

2

1

2

1)(

2

1

2

1

xAm

kv

xAkmv

kAAUkxmvE

−±=

−=

=±=+=

m

EvmvKE

2

2

1max

2

max =⇒==

13.7 Un cuerpo de masa desconocida se une a un resorte ideal con constante de fuerza de 120 N/m. Se observa que vibra con una frecuencia de 6 Hz. Calcule a) el periodo; b) la frecuencia angular; c) la masa del cuerpo.

a) sHzf

T 16.06

11===

b)

kgsmkT

mk

mT

k

mT

084.04

)16.0)(/120(

44

2

2

2

2

222 ===⇒=

=

πππ

πc)

s

radHzf 7.37)6(22 === ππω

ONDAS MECÁNICAS

f

v

fT == λ

1

vk

kvfv

fk

=

=⇒=

==

ω

ωλ

πωπ

λ2

2( )tkxAtxy ω−= cos),(

Onda senoidal que avanza en dirección +x

Onda senoidal que avanza en dirección -x

( )tkxAtxy ω+= cos),(

µτ

=

===

v

s

m

mkg

smkg

s

mv

2

22

)/(

/)(

..)3,2,1(2

== nn

Lnλ

..)3,2,1(2

1 === nnfL

vnfn

Cuerda fija en ambos extremos

ONDA ESTACIONARIA

15.4 Un extremo de una cuerda de nylon está atado a un soporte estacionario en la boca de un tiro de mina vertical de 80 m de profundidad. La cuerda estátensada por una caja de muestras de minerales de 20 kg atada al extremo inferior. La masa de la cuerda es de 2 kg. El geólogo que está hasta abajo envía señales a su colega de arriba tirando lentamente la cuerda. a) Calcule la rapidez de una onda transversal en la cuerda. b) Si a un punto de la cuerda se imparte un movimiento armónico simple transversal con frecuencia de 2 Hz, ¿cuántos ciclos de la onda habrá en la cuerda?

80 m

mg

m=20 kg

mc=2 kg

L=80 m

f=2 Hz

τ

smmkg

Fv

mkgm

kg

L

m

smkgmg

c

/5.88/025.0

196

/025.080

2

196)/8.9)(20( 2

===

===

===

µ

µ

τa)

b)

81.13.44

80

3.442

/5.88

===

===

m

mLn

mHz

sm

f

v

λ

λ

ONDAS SONORAS

)sin(),( tkxBkAtxp ω−=

BkA=pmax amplitud de presión

v

p

B

vp

Bk

pABI

ρω

ωρ2222

1 2

max

2

max

2

max22 ====

Intensidad

0

log)10(I

IdB=β

Nivel de intensidad de sonido

FORMULARIO I

Constantes:

FLUIDOS

3

3

5

3

5

13600

3.1

10013.1

1000

10013.1

m

kg

m

kg

Pap

m

kg

Pap

Hg

aire

a

agua

a

=

=

=

=

=

ρ

ρ

ρ

Densidad: V

m=ρ

Presión: A

Fp =

Cambio de presión

ghpp ρ+= 0

Principio de Arquímedes

VgB fluidoρ=

Ecuación de continuidad

2211 vAvA =

Razón de flujo de volumen

t

VAv =

Ecuación de Bernoulli

constvghp =++ 2

2

1ρρ

Tubo de Venturi

)(

222 aA

pavA −

∆=

ρ

MAS

)cos(

)sin(

)cos(

2 φωω

φωωφω

+−=

+−=

+=

tAa

tAv

tAx

FORMULARIO – SEGUNDO PARCIAL

)cos(/

)sin(/

)cos(

2 ϕωω

ϕωωϕω

+−==

+−==

+=

tAdtdva

tAdtdxv

tAx

MAS

Energía MAS

222

2

1

2

1

2

1mvkxkA +=

Péndulo simple:

g

LT π2=

Péndulo físico:

Mgd

IT 02π=

k

IT 02π=

Péndulo de torsión:

Momentos de inercia:

Disco: 2

2

1MR

Anillo: 2MR

Teorema de ejes paralelos:

2MdII cm +=

Ondas en cuerdas:

fvkv

Tfk

tkxAy

λω

ππω

λπ

ω

==

===

+=

;

22;

2

)cos(

Rapidez en una cuerda

tensión;; τµµτ

L

mv ==

Ondas sonoras:

212

0

0

222

max

2

max

/10

;log10

2

1

2

;

)cos(

)cos(

mWI

I

IdB

ABv

pI

vBBkAp

tkxBkAp

tkxAy

−=

=

==

==

−=

−=

β

ωρρ

ρ

ωω

Ondas estacionarias

)sin()sin(2 tkxAy ω=

Modos normales en una cuerda:

..3,2,12

22==== n

n

L

L

n

L

nvfn λ

µτ

Modos normales en un tubo:

Tubo abierto:

Tubo cerrado:

..3,2,12

2

==

=

nvL

nf

n

L

n

λ

..3,2,14

12

4

==

−=

nvL

nf

n

L

n

λ

EFECTO DOPPLER

F

RFR

vv

vvff

++

=

TERMODINÁMICA

Paatm

Jcal

TT

TT

CK

CF

510013.11

186.41

273

325

9

=

=

+=

+=

DILATACIÓN

αβ

β

α

3

0

0

=

∆=∆

∆=∆

TVV

TLL

sólidos

ESFUERZO TÉRMICO

TYA

F∆−= α

CALOR

mLQ

TmcQ

=

∆=

TRANSFERENCIA

DE CALOR

L

TTkA

dt

dQH Fc −==

GASES IDEALES

constTV

constpV

nRTpV

=

=

=

−1γ

γ

PRIMERA LEY

∫=

−=∆2

1

V

V

pdVW

WQU

CAPACIDADES CALORÍFICAS MOLARES

KmolJR

C

C

RCC

V

P

VP

/31.8=

=

+=

γ

ENTROPÍA

∫=∆T

dQS

absQ

We =

EFICIENCIA DE UNA MÁQUINA TÉRMICA

20.37 Se está diseñando una máquina de Carnot que usa dos moles de CO2 como sustancia de trabajo. El gas puede tratarse como gas ideal. El CO2 debe tener una temperatura máxima de 527oC y una presión máxima de 5 atm. Con un aporte de 400 J por ciclo, se desea obtener 300 J de trabajo útil.

a) Calcule la temperatura del depósito frío;

b) ¿Durante cuántos ciclos debe operar esta máquina para derretir totalmente un bloque de hielo con masa de 10 kg que inicialmente estaba a 0oC, empleando únicamente el calor expulsado por la máquina?

a)

CKJ

JT

T

T

Q

Q

JQWQ

QQW

JQJW

o

f

C

f

c

f

Cf

fC

C

73200)273527(400

100

100

400300

−==+=⇒=

−=−=

+=

==

b)

33400100

10334

10334)/10334)(10(

4

43

===⇒=

===

J

J

Q

QnnQQ

JkgJkgmLQ

f

f

20.32 Un bloque de cobre de 3.50 kg, inicialmente a 100oC, se pone en 0.8 kg de agua que está inicialmente a 0oC (cCu=390 J/kg K).

a) Calcule la temperatura final del sistema;

b) Calcule el cambio de entropía para el sistema (agua+cobre).

CT

TJT

TKgKJkgTkgKJkg

TcmTcm

o

f

ff

ff

aaaCuCuCu

9.28

08.33481365001365

0)0)(/4186)(8.0()100)(/390)(5.3(

0

=

=+−

=−+−

=∆+∆a)

b) KJkgKJkgT

dTcmS

f

i

T

T

CuCuCu /6.288373

9.301ln)/390)(5.3( −===∆ ∫

KJkgKJkgT

dTcmS

f

i

T

T

aaCu /337273

9.301ln)/4186)(8.0( ===∆ ∫

KJKJSTOT /4.48/)6.288337( =−=∆