Grafici di funzioni: valore assoluto, parabole

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Grafico di una funzione

Per prima cosa stabiliamo un collegamento diretto tra lageometria analitica e lo studio di funzioni.Definizione: Siano A, B ⊆ R. Data una funzione f : A → B, ilsuo grafico è il sottoinsieme Γf di R2 definito da:

Γf ={

[x, f (x)] ∈ R2 : x ∈ A

}

. (1)

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Grafico di una funzione: esempio

Esercizio 1: Sia f : R→ R la funzione definita da:

f (x) = x−1 , ∀ x ∈R .

Disegnare il grafico di f .Soluzione: Per definizione

Γf ={

[x, x−1] ∈ R2 : x ∈R

}

. (2)

La (2) ci dice che, per i punti del grafico, il legame fra l’ordinatae l’ascissa è espresso dall’equazione:

y = x−1 , x ∈R . (3)

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Grafico di una funzione: esempio

Ne segue che Γf è la retta rappresentata nella figura seguente:

x

y

−11O

b

x0

bf (x0)

Figura 5: grafico della funzione dell’Esercizio 1

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Polinomi di primo grado e rette

In realtà, il procedimento descritto nell’Esercizio 1 ha validitàpiù generale: in particolare, consente di affermare che ognifunzione f : R→ R del tipo:

f (x) = mx+b , ∀ x ∈ R , (4)

con m e b numeri reali assegnati, ha come grafico la retta diequazione:

y = mx+b .

Se m 6= 0, una funzione come in (4) viene chiamata polinomio diprimo grado.

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Polinomi di secondo grado

Un polinomio di 2o grado è una funzione f : R→ R definita da:

f (x) = ax2 +bx+ c , ∀ x ∈ R , (5)

dove a, b, c sono tre numeri reali fissati, con a 6= 0.Ragionando come nel precedente Esercizio 1, possiamoconcludere che il grafico del polinomio di 2o grado (5) è il luogodi punti (chiamato parabola) del piano R

2 definitodall’equazione:

y = ax2 +bx+ c , x ∈ R , (a 6= 0) . (6)

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Funzione valore assoluto

Introduciamo ora una funzione che risulta di grandissima utilitàin svariate situazioni.Iniziamo dicendo che la scrittura |x| (si legge valore assoluto dix) significa quanto segue:

|x|={

x se x ∈ R, x ≥ 0−x se x ∈ R, x < 0 .

(7)

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Funzione valore assoluto

Risulta quindi naturale definire la funzione valore assolutof : R→ R ponendo:

f (x) = |x| , ∀ x ∈ R . (8)

Esercizio 2: Disegnare il grafico della funzione valore assolutodefinita in (7)–(8).

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Grafico della funzione valore assoluto

Soluzione: In corrispondenza degli x ≥ 0 il grafico coincide conla bisettrice del primo quadrante, cioè la semiretta

y = x , x ≥ 0 .

Invece, per gli x < 0, il grafico è dato da

y =−x , x < 0 .

Mettendo insieme queste osservazioni si arriva facilmente algrafico di Figura 6.

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Grafico della funzione valore assoluto

x

y

f (x) = |x|

Figura 6: grafico della funzione valore assoluto

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Varie

• Esercizi sulla funzione valore assoluto;

• Traslazioni verticali e orizzontali di grafici.

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Polinomi ed equazioni di secondo grado

Polinomio di secondo grado:

P(x) = ax2 +bx+ c ,

dove a, b, c ∈ R e a 6= 0 .Definizione: Diremo che x0 ∈R è una radice di P(x) se è unasoluzione dell’equazione P(x) = 0, o, in altre parole, se

P(x0) = 0 . (9)

Ad esempio, seP(x) = 2x2 −3x+1 ,

allora possiamo facilmente verificare che x0 = 1 è una suaradice. Infatti

P(1) = 2 ·12 −3 ·1+1 = 0 .

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Polinomi ed equazioni di secondo grado

Sfortunatamente, è noto che non esistono formule risolutive perdeterminare, in generale, le radici di polinomi di gradosuperiore a quattro.Anche le formule risolutive relative a polinomi di grado tre equattro, pur se disponibili, risultano troppo complesse perquesto livello di trattazione.Invece, è possibile ed utile illustrare in dettaglio la situazioneper i polinomi di secondo grado: in particolare, ora possiamoderivare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

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Polinomi ed equazioni di secondo grado

Per prima cosa, ricordando l’ipotesi a 6= 0, scriviamo:

ax2 +bx+ c = a

(

x2 +ba

x

)

+ c

= a

(

x+b2a

)2

+

(

c− b2

4a

)

= a(x− x0)2 − ∆

4a,

(10)

dove abbiamo posto:

x0 =− b2a

e ∆ = b2 −4ac . (11)

∆ si chiama discriminante dell’equazione di secondo grado.

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Polinomi ed equazioni di secondo grado

Facciamo il punto della situazione: grazie alla (10) possiamodire che l’equazione

ax2 +bx+ c = 0 (12)

equivale a:

a(x− x0)2 =

∆4a

. (13)

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Polinomi ed equazioni di secondo grado

Quindi, se ∆ < 0, ora possiamo subito concludere che non cisono radici reali, o, in altre parole, il polinomio è irriducibile.

Invece, se ∆ ≥ 0, una semplice ispezione di (13) fornisce:

x− x0 =±√

∆4a2 ,

ovvero

x = x0 ±√

∆4a2 . (14)

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Polinomi ed equazioni di secondo grado

In particolare, usando l’espressione esplicita di x0 data in (11),concludiamo che le due radici sono:

x1 =−b−

√∆

2a, x2 =

−b+√

∆2a

(15)

(si noti che x1 = x2 quando ∆ = 0).

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Polinomi ed equazioni di secondo grado

Infine, un calcolo diretto consente di verificare che, quando∆ ≥ 0, la fattorizzazione del polinomio di secondo grado è:

ax2 +bx+ c = a(x− x1)(x− x2) , (16)

dove x1 e x2 sono appunto le sue due radici (eventualmentecoincidenti).

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Esercizio

Esercizio: Si consideri il seguente polinomio di secondo grado:

P(x) = x2 −2x−3 .

(i) Determinare le eventuali soluzioni reali dell’equazione disecondo grado

P(x) = 0 ;

(ii) Fattorizzare, se possibile, P(x) nel prodotto di polinomi diprimo grado.

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Esercizio

Soluzione: (i) Applicando la formula risolutiva (14) troviamofacilmente:

x1 =−1 e x2 = 3 .

(ii) Applicando la fattorizzazione (16) abbiamo subito:

P(x) = (x+1) · (x−3) .

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Considerazioni conclusive

Si consiglia di riflettere bene sul legame esistente tra il segnodel discriminante ∆ e la rappresentazione grafica di parabole:

• ∆ > 0 corrisponde al caso in cui la parabola ha 2 punti diintersezione con l’asse x ;

• ∆ = 0 corrisponde al caso in cui la parabola ha un unicopunto di intersezione con l’asse x ;

• ∆ < 0 corrisponde al caso in cui la parabola NON ha puntidi intersezione con l’asse x .

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