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6 – Stato Limite Ultimo per tensioni normali

Legami costitutivi non lineariSi considerano i seguenti legami costitutivi non lineari del calcestruzzo e dell’acciaio

εcu = 0,0035 = 0,35%

εc2 = 0,0020 = 0,20%

εc4 = 0,2 ⋅εcu = 0,07%

Legame “parabola - rettangolo” Legame “stress block”

Legame “elasto - plastico a deformazione illimitata”

f yd =

f yk

γ s= 450

1,15= 391,3 MPa

ε yd =

f yd

Es=

391,3210000

= 0,00186 = 0,186%

Acciaio B450C

Ipotesi di calcolo

Oltre alle ipotesi “classiche”1)  conservazione delle sezioni piane;2)  perfetta aderenza tra calcestruzzo e acciaio;3)  calcestruzzo non reagente a trazione;

per la verifica e il progetto allo Stato Limite Ultimo si assume inoltre che4)  la crisi viene raggiunta per schiacciamento del conglomerato che perviene alla

deformazione ultima εcu;5)  l’armatura tesa è snervata.

L’ipotesi 4 è giustificata dalla rimozione del limite di deformazione dell’acciaio, che non può andare in crisi. L’ipotesi 5 è legata alle limitazioni sui quantitativi di armatura, che la rende rigorosa nel caso delle sezioni inflesse.

Flessione retta 1/2

Nel caso di flessione retta con un momento agente nel piano verticale, l’asse neutro è orizzontale. La sua posizione è quindi individuata da un solo parametro, indicato con x, che misura la sua distanza dal lembo compresso della sezione.

La posizione di x definisce il diagramma limite delle deformazioni ε che corrisponde al raggiungimento del valore εcu nel calcestruzzo. Per una sezione a doppia armatura, il valore di x può essere determinato imponendo l’equilibrio alla traslazione della sezione nella direzione dell’asse della trave, cioè

εc = εcu

σ c = fcd

Ns − ′Ns − Nc = 0

x

Flessione retta 2/2

Usualmente Nc si esprime come frazione del valore che si avrebbe se tutto il calcestruzzo compresso fosse soggetto alla tensione massima, cioè

in cui β viene denominato fattore di riempimento. La distanza di Nc dal lembo superiore compresso viene espressa come aliquota del valore di x.

Nc = fcd ⋅ Ac,comp ⋅β

β = 17

21! 0,810 κ = 99

238! 0,416

Per una sezione rettangolare, considerando il legame “parabola-rettangolo”, risulta

β =

εcu − εc4( ) ⋅ fcdεcu ⋅ fcd

= 0,80 κ =εcu − εc4( ) 2

εcu= 0,40

Considerando, invece, il legame “stress block”, si ha

Si nota che, per i due legami costitutivi considerati, i valori di β e di sono sostanzialmente coincidenti.

εcu = 0,0035 = 0,35%

εc2 = 0,0020 = 0,20%

εc4 = 0,2 ⋅εcu = 0,07%κ

κ

La verifica nel caso di sezione rettangolare 1/2Dopo avere calcolato la posizione dell’asse neutro, si determina il momento resistente di calcolo MRd attraverso la condizione di equilibrio alla rotazione della sezione. La verifica è soddisfatta se risulta

dove MSd è il momento flettente di calcolo.

L’equazione dell’asse neutro si scrive

in cui

con

M Rd ≥ MSd

Ns − ′Ns − Nc = 0

Ns = σ s As = sAs f yd ′Ns = ′σ s ′As = ′s uAs f yd Nc = fcdbxβ

s = σ s f yd ′s = ′σ s f yd u = ′As As

La verifica nel caso di sezione rettangolare 2/2Le tensioni possono essere calcolate dalle deformazioni Considerando che il diagramma delle deformazioni è lineare anche allo stato limite ultimo, le deformazioni possono essere calcolate attraverso la similitudine dei triangoli individuati da tale diagramma.

Si ha

da cui

εs

d − x=εcux

εs =d − x

xεcu

′εsx − c

=εcux

′εs =x − c

xεcu

σ s = f yd se εs ≥ ε yd σ s = Esεs se εs ≤ ε yd

′σ s = f yd se ′εs ≥ ε yd ′σ s = Es ′εs se ′εs ≤ ε yd

σ s e ′σ s εs ed ′εs.

εs ed ′εs

Sezione rettangolare a semplice armaturaIn accordo con le prescrizioni della normativa sulla quantità di armatura, si assume che l’armatura tesa sia sempre snervata, cioè

L’equazione dell’asse neutro si scrive quindi

da cui si ricava

Nota la posizione dell’asse neutro, il momento resistente della sezione si ottiene imponendo l’equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al punto di applicazione di Nc. Si ha

Si nota che la quantità d – x = z rappresenta il braccio della coppia interna, mentre Asfyd = Ns è lo sforzo nell’armatura tesa.

s =

σ sf yd

= 1

− fcdbxβ + As f yd = 0

x =

As f yd

bβ fcd

M Rd = d −κ x( ) As f yd

−Nc + Ns = 0

κ

Sezione rettangolare a doppia armatura 1/3Allo SLU l’armatura superiore è snervata quando

cioè quando

che, per un acciaio di tipo B450C, risulta

Si osserva che se la distanza x dell’asse neutro dal bordo compresso è inferiore a 2,14 c , allo SLU l’armatura compressa non è snervata. Ciò può accadere o per sezioni con un’elevato rapporto c/d, cioè nel caso di travi a spessore, o per sezioni con una notevole quantità di armatura in compressione. Nell’ipotesi - da verificare a posteriori - che anche l’armatura compressa è snervata l’equazione dell’asse neutro si scrive

da cui si ottiene

′εs =

x − cx

εcu ≥ ε yd

x ≥

εcuεcu − ε yd

c

x ≥ 0,0035

0,0035− 0,00186c = 2,14 c x ≥ 2,14 c

−Nc − ′Ns + Ns = − fcdbxβ − ′As f yd + As f yd = 0

x =

As − ′As( ) f yd

bβ fcd

( ′s = 1),

…

Confrontando il valore così ottenuto con la quantità 2,14 c, si può avere la conferma che, allo SLU, anche l’armatura compressa sia snervata. In caso contrario, invece, si ha

e l’equazione dell’asse neutro si scrive

cioè

Introducendo la percentuale meccanica di armatura

e ponendo

′s =

′σ sf yd

= x − cx

εcuε yd

x =


bβ fcd

− fcdbxβ − ′As

x − cx

εcuε yd

f yd + As f yd = 0

fcdbβ ⋅ x2 − As − ′As

εcuε yd

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ f yd ⋅ x − ′As

εcuε yd

f ydc = 0

ω =

Asbd

f yd

fcd

u1 =

εcuε yd

′AsAs

Sezione rettangolare a doppia armatura 2/3

… l’equazione precedente assume la forma

che risolta fornisce

Una volta individuata la posizione corretta dell’asse neutro, il momento resistente di calcolo si può ottenere imponendo l’equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al punto di applicazione di Nc. Si ha

cioè

β ⋅ x2 −ω 1− u1( )d ⋅ x −ωu1cd = 0

x = ω

2β1− u1( ) + 1− u1( )2 + 4β

ωu1

cd

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

d

M Rd = Ns d −κ x( ) + ′Ns κ x − c( )

M Rd = As d −κ x( ) + ′s ′As κ x − c( )⎡⎣ ⎤⎦ f yd

Sezione rettangolare a doppia armatura 3/3

Esempi 1/3

x =


bβ fcd

M Rd = As d −κ x( ) + ′s ′As κ x − c( )⎡⎣ ⎤⎦ f yd

As = 4φ20 = 4 ⋅ π ⋅2,02

4= 4 ⋅3,14 = 12,56 cm2

′As = 2φ14 = 2 ⋅ π ⋅1,42

4= 2 ⋅1,54 = 3,08 cm2

β = 0,810 κ = 0,416 d = 50− 4 = 46 cm ′s = 1

fcd = 0,85 ⋅ 251,5

= 14,17 MPa = 14,17 ⋅103 kN/m2

f yd = 4501,15

= 391,3 MPa = 391,3⋅103 kN/m2

2,14 ⋅c = 8,56 cm

Esempi 2/3

As = 4φ20 = 4 ⋅ π ⋅2,02

4= 4 ⋅3,14 = 12,56 cm2

′As = 2φ20+1φ14 = 2 ⋅ π ⋅2,02

4+ π ⋅1,42

4= 2 ⋅3,14+1,54 = 7,82 cm2

β = 0,810 κ = 0,416 d = 50− 4 = 46 cm ′s = 1

fcd = 0,85 ⋅ 251,5

= 14,17 MPa = 14,17 ⋅103 kN/m2

f yd = 4501,15

= 391,3 MPa = 391,3⋅103 kN/m2

x =


bβ fcd 2,14 ⋅c = 8,56 cm

Esempi 3/3

′s =

′σ sf yd

= x − cx

⋅εcuε yd

= 7,04− 47,04

⋅ 0,00350,00186

= 0,813

x = ω2β

1− u1( ) + 1− u1( )2 + 4βω

u1cd

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

d =

= 0,2512 ⋅0,810

1−1,172( ) + 1−1,172( )2 + 4 ⋅0,8100,251

⋅1,172 ⋅ 446

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⋅46 = 7,04 cm

ω =

Asbd

f yd

fcd= 12,56

30 ⋅46⋅ 391,314,17

= 0,251

u1 =

εcuε yd

′AsAs

= 0,00350,00186

⋅ 7,8212,56

= 1,172 u =

′AsAs

= 7,8212,56

= 0,623

Si ottiene così

e il momento resistente risulta

Si può quindi calcolare il tasso di lavoro dell’armatura compressa

M Rd = As d −κ x( ) + ′s ′As κ x − c( )⎡⎣ ⎤⎦ f yd =

= 12,56 ⋅ 46− 0,416 ⋅7,04( ) + 0,813⋅7,82 ⋅ 0,416 ⋅7,04− 4( )⎡⎣ ⎤⎦ ⋅10−6 ⋅391,3⋅103 = 209,0 kNm

Le NTC08 (§ 7.4.6.2.1) impongono alle percentuali geometriche di armatura tesa e compressa

le seguenti limitazioni

con fyk in MPa. Tale relazione impone implicitamente che la profondità dell’asse neutro allo SLU non sia eccessiva, conferendo così un’adeguata duttilità alla sezione. Per duttilità si intende la capacità di un elemento strutturale di deformarsi oltre il limite elastico prima di pervenire alla rottura. In particolare per un acciaio del tipo B450C si ha

Ricordando che allo SLU la posizione dell’asse neutro di una sezione rettangolare a doppia armatura con acciaio snervato sia in trazione sia in compressione è data dalla relazione

si può scrivere

ρ =

Asbh

′ρ =′As

bh

1,4f yk

≤ ρ ≤ ′ρ + 3,5f yk

ρ − ′ρ ≤ 3,5

f yk= 3,5

450= 0,00778 = 0,778%

x =


bβ fcd

xh= 1β


bhfcd= 1β

f yd

fcdρ − ′ρ( ) ≤ 1

βf yd

fcd

3,5f yk

= 10,810

f yk

1,15 ⋅ fcd

3,5f yk

= 3,76fcd

Limitazione della quantità di armatura 1/5

e in definitiva

Per una sezione rettangolare, le prescrizioni regolamentari determinano quindi il valore massimo del rapporto tra la posizione dell’asse neutro e l’altezza della sezione che dipende dalla classe del calcestruzzo e vale

I valori di (x/h)max sono riportati nella seguente tabella in funzione della classe di calcestruzzo.

xh≤ 3,76

fcd

xh

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟max

= 3,76fcd

Classe 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55 50/60

fcd (MPa) 9,07 11,33 14,17 15,87 19,83 22,67 25,50 28,33

(x/h)max 0,415 0,332 0,265 0,237 0,190 0,166 0,147 0,133


La profondità dell’asse neutro che corrisponde alla crisi con l’acciaio al limite elastico (x/h)y è

avendo posto d/h 0,9. Si osserva che il valore trovato è molto maggiore di quelli che si ottengono dalla tabella precedente. Di conseguenza la limitazione regolamentare della quantità di armatura implica che allo SLU l’acciaio teso in una sezione rettangolare inflessa a semplice o doppia armatura è sempre snervato.

xh

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ y

=εcu

εcu + ε y

dh= 0,0035

0,0035+ 0,00186dh= 0,653 d

h! 0,653⋅0,9 = 0,587

!


A ulteriore riprova, si può calcolare la deformazione minima nell’acciaio teso allo SLU. Si ha

avendo posto d/h 0,9. Il valore minimo di εs si ottiene quando il rapporto x/h raggiunge il suo valore massimo, e ciò accade se si impiega la massima armatura regolamentare. Si ha quindi

εsεcu

= d − xx

= dx−1= d h

x h−1! 0,9

x h−1

!

εs,min = 0,9

x h( )max

−1⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥εcu = 0,9

3,76fcd −1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0,0035 = 0,0035 0,2394 fcd −1( )



…

Si nota che anche εs,min dipende dalla classe del calcestruzzo. I suoi valori sono riportati nella seguente tabella.

Si osserva che lo SLU viene sempre raggiunto con l’acciaio ampiamente in campo plastico, (εyd = 0,186%). In definitiva, la limitazione regolamentare della quantità di armatura garantisce in ogni caso un’adeguata duttilità della sezione.

εs,min = 0,0035 0,2394 fcd −1( )

Classe 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55 50/60

fcd (MPa) 9,07 11,33 14,17 15,87 19,83 22,67 25,50 28,33

εs,min 0,41% 0,60% 0,84% 0,98% 1,31% 1,55% 1,79% 2,02%

Progetto di una sezione rettangolare a semplice armatura 1/4

Nel caso del progetto allo SLU di una trave a semplice armatura sono note:- le resistenze di calcolo del calcestruzzo fcd e dell’acciaio fyd;- il momento flettente di calcolo MSd.Sono incognite:- la geometria della sezione, in termini di base b e altezza h;- l’area dell’armatura longitudinale As.Il progetto viene condotto assegnando il diagramma limite delle deformazioni in accordo alla limitazione regolamentare della quantità di armatura, ponendo x = 0,25 d.

Progetto di una sezione rettangolare a semplice armatura 2/4Progetto della sezioneLa risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo, Nc, vale

ed è applicata alla distanza dal bordo compresso, con β = 0,810 e Il braccio della coppia interna risulta

in cui

Ponendo MSd = MRd, la condizione di equilibrio alla rotazione intorno all’armatura tesa si scrive

Ponendo

si ha

in cui r dipende dalla classe del calcestruzzoe dalle unità di misura utilizzate.

Nc = β ⋅b ⋅ x ⋅ fcd κ x κ = 0,416.

z = d −κ x = 1−κ x

d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

d = 1−κξ( )d = ζd

ξ = x

d= 0,25 e ζ = z

d= 1−κξ = 1− 0,416 ⋅0,25 = 0,896.

MSd = M Rd = Ncz = β ⋅b ⋅ x ⋅ fcd 1−κξ( )d = β ⋅bd2ξ 1−κξ( ) fcd

1r2

= β ξ 1−κξ( ) fcd

MSd = M Rd = bd2

r2


…

Nel caso di travi emergenti la relazione precedente fornisce il minimo valore di d in funzione di MSd una volta fissato il valore di b, cioè

Analogamente, nel caso di travi a spessore la relazione precedente fornisce il minimo valore di b in funzione di MSd una volta fissato il valore di d, cioè

Esprimendo fcd in kPa, i valori di r possono essere calcolati in funzione di fcd con la relazione

Tali valori sono riportati nella seguente tabella:

dmin = r

MSdb

bmin =

r2 MSd

d2

r = 1

β ξ 1−κξ( ) fcd

= 10,810 ⋅0,25 ⋅0,896 ⋅ fcd

= 10,1814 ⋅ fcd

Classe 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55 50/60

fcd (kPa) 9,07x103 11,33x103 14,17x103 15,87x103 19,83x103 22,67x103 25,50x103 28,33x103

r 0,0247 0,0221 0,0197 0,0186 0,0167 0,0156 0,0147 0,0139

MSd = M Rd = bd2

r2


Progetto dell’armatura tesaStabilite le dimensioni della sezione, l’area minima dell’armatura longitudinale può essere determinata dalla condizione di equilibrio alla rotazione intorno al punto di applicazione della risultante Nc degli sforzi di compressione. Si ha

da cui si ottiene

MSd = Ns ⋅ z = As f yd ⋅ζd = As f yd ⋅0,896d ! As f yd ⋅0,9d

As =

MSd0,9d ⋅ f yd

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 1/8

Nel caso del progetto allo SLU di una trave a doppia armatura sono note:- le resistenze di calcolo del calcestruzzo fcd e dell’acciaio fyd;- il momento flettente di calcolo MSd.Sono incognite:- la geometria della sezione, in termini di base b e altezza h;- l’area dell’armatura longitudinale tesa As;- l’area dell’armatura compressa Analogamente al caso precedente, il progetto viene condotto assegnando il diagramma limite delle deformazioni in accordo alle limitazioni regolamentari sui quantitativi di armatura, ponendo x = 0,25 d.

′As.


Il braccio della coppia interna z, cioè la distanza tra l’armatura tesa As e la risultante degli sforzi di compressione Nc e , viene sempre espresso in funzione dell’altezza utile d con la relazione . Questa volta, però, ζ non è più uguale a , anche se non è molto diverso da tale valore a causa della vicinanza tra Nc e . Lo sforzo nell’armatura tesa vale Ns = As fyd, quello nell’armatura compressa La tensione nell’armatura compressa può essere ricavata dal legame costitutivo dell’acciaio in funzione della deformazione

in cui γ = c/d. Si ha

avendo indicato con il simbolo il rapporto tra la tensione dell’armatura compressa e il valore di calcolo della tensione di snervamento dell’acciaio.

′Ns

z = ζd (1−κξ)

′Ns

′Ns = ′As ′σ s.

′εs =

x − cx

εcu = ξ − γξ

εcu

′σ s = Es ′εs = ′s f yd

′s


Come già mostrato in precedenza, per un acciaio B450C l’armatura superiore è snervata quando x > 2,14 c, che per x = 0,25 d, implica che

In questo caso, che si riscontra di solito nelle travi emergenti, risulta In caso contrario, per esempio per travi a spessore, si ha

In definitiva, lo sforzo nell’armatura compressa si scrive

avendo posto

γ = c

d≤ 0,25

2,14= 0,12

′s = 1.

′s =

′σ sf yd

= ξ − γξ

εcuε yd

′Ns = ′As ′σ s = uAs ⋅ ′s f yd = ′s uNs

u =

′AsAs


Si osserva, inoltre, che la risultante degli sforzi nell’armatura tesa e compressa, , è applicata alla distanza d1 al di sotto di Ns. Questa distanza può essere calcolata imponendo l’equilibrio alla rotazione degli sforzi rispetto al punto di applicazione della loro risultante. Si ha

Ns + ′Ns

Ns e ′Ns

Nsd1 − ′Ns d − c + d1( ) = 0

Nsd1 − ′s uNs d − c + d1( ) = 0

d1 =

′s u d − c( )1− ′s u

=′s u 1− γ( )1− ′s u

d

1− ′s u( )d1 − ′s u d − c( ) = 0

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 5/8Progetto della sezionePonendo MSd = MRd, la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione della risultante degli sforzi nell’armatura tesa e compressa si scrive

Per travi emergenti risulta (armatura compressa snervata) e poiché si ha

che vale con buona approssimazioneanche per travi a spessore. La relazioneprecedente si può quindi scrivere

MSd = M Rd = Nc d −κ x + d1( ) = = β b x fcd 1−κξ( )d + ′s u(1− γ )

1− ′s ud

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

= bd2βξ 1−κξ( ) fcd 1+ ′s u1− ′s u

1− γ1−κξ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

γ ! 0,1 κ = 0,416 e ξ = 0,25,

1− γ1−κξ

= 1− 0,11− 0,416 ⋅0,25

= 1,005 ! 1

MSd = M Rd = bd2 βξ 1−κξ( ) fcd

1− ′s u


…

Ponendo

si ha

Questa relazione è analoga a quella ottenuta per sezioni a semplice armatura e può essere utilizzata allo stesso modo. La presenza di armatura in compressione comporta solo la variazione del coefficiente r, sostituito da Si nota che dipende dalla classe del calcestruzzo, dalla percentuale di armatura compressa u e dal suo tasso di lavoro

MSd = M Rd = bd2 βξ 1−κξ( ) fcd

1− ′s u

1′r 2

=βξ 1−κξ( ) fcd

1− ′s u

MSd = M Rd = bd2

′r 2

′r . ′r ′s .

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 7/8Progetto dell’armatura tesaPer determinare la minima armatura tesa, si impone l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione dello sforzo di compressione nel calcestruzzo. Si ha

da cui si ottiene

in cui z è il braccio della coppia interna, pari a

con

Si nota che la presenza di armatura in compressione non influenza in manierasignificativa la misura del braccio della coppia interna.

MSd = Ns d −κ x( ) + ′Ns κ x − c( ) = = As f yd 1−κξ( )d + ′s uAs f yd κξ − γ( )d =

= As f yd 1−κξ + ′s u κξ − γ( )⎡⎣ ⎤⎦d = As f yd z

As =

MSdz f yd

z = ζd

ζ = 1−κξ + ′s u κξ − γ( ) = = 1− 0,416 ⋅0,25+ ′s u 0,416 ⋅0,25− 0,1( ) = = 0,896+ 0,004 ⋅ ′s u

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 8/8Pertanto, per il progetto dell’armatura tesa può essere utilizzata la medesima relazione valida per le sezioni a semplice armatura, cioè

Progetto dell’armatura compressaDefinite le dimensioni della sezione e l’area dell’armatura tesa, si può controllare se occorre anche armatura in compressione calcolando il momento resistente per sezione a semplice armatura

Se risulta

bisogna disporre anche un’armatura compressa per incrementare il momento resistente della quantità

Si ha

in cui

As =

MSd0,9d ⋅ f yd

M Rd , ′As =0 = bd2

r2

MSd > M Rd , ′As =0

ΔM = MSd − M Rd , ′As =0

′As =

ΔM(d − c) ′s f yd

′s = 1 se γ ≤ 0,12, altrimenti in caso contrario

′s = ξ − γ

ξεcuε yd

= 0,25− γ0,25

0,0350,0186

= 7,53 0,25− γ( )

Valori dei coefficienti r e r’ 1/2I coefficienti r e sono dati dalle espressioni

Si nota che al crescere della resistenza del calcestruzzo fcd i coefficienti r e si riducono: un calcestruzzo migliore consente di utilizzare una sezione più piccola. Si nota, inoltre, che al crescere della percentuale u di armatura compressa il coefficiente si riduce in maniera rilevante per sezioni alte ( ), perché l’armatura compressa è snervata e fornisce il massimo contributo possibile ( ). Per sezioni basse ( ), invece, l’armatura compressa rimane in campo elastico, il suo contributo si riduce ( ) e il coefficiente varia meno rapidamente. Alcuni valori di r e sono riportati nella seguente tabella al variare di fcd, γ e u.

′r

′r = 1− ′s u

βξ 1−κξ( ) fcd= 1− ′s u

0,810 ⋅0,25 ⋅ 1− 0,416 ⋅0,25( ) fcd= 1− ′s u

0,1814 fcd

r = 1

β ξ 1−κξ( ) fcd

= 10,810 ⋅0,25 ⋅0,896 ⋅ fcd

= 10,1814 ⋅ fcd

′r

′r γ ≤ 0,12

′s = 1

′s <1 γ > 0,12

′r ′r

Valori dei coefficienti r e r’ 2/2

Si nota che, in certi casi, i valori di risultano molto piccoli, e ciò può condurre all’utilizzo di sezioni molto basse e molto armate. Tuttavia, per ragioni costruttive, non è opportuno che la percentuale geometrica di armatura sia superiore a 0,010 (1,0%) per le travi emergenti e a 0,015 (1,5%) per le travi a spessore. Indicando questi valori con il simbolo

Il coefficiente rmin ha lo stesso significato dei coefficienti r e . Per l’acciaio B450C risulta fyd = 391,3x103 kPa e si ha rmin = 0,0160 per max = 0,010 e rmin = 0,0131 per max = 0,015. Da un punto di vista applicativo è opportuno che r o non sia inferiore a questi limiti.

′r

ρmax , si ha

ρmax =

Asbh

=MSd

0,9d f yd

1bh

=MSd

bd2d

0,9h1

f yd!

MSd

bd21

f yd

ρ ρ ′r

′r

1rmin

2=

MSd

bd2= ρmax f yd

rmin = 1ρmax f yd

Esempi 1/5

Esempi 2/5

0,12

Esempi 3/5

Esempi 4/5

7, 53 7, 53 0, 377

2,8 0, 377

Esempi 5/5

0, 377

0, 377 11,5

1, 0%

La pressoflessione retta: verifica 1/4Una sezione assegnata è soggetta a pressoflessione quando è sollecitata da uno sforzo normale NSd di compressione e da un momento flettente MSd diretto secondo uno degli assi principali d’inerzia. La verifica allo SLU può essere condotta cercando il momento resistente Mrd che corrisponde a uno sforzo normale resistente pari allo sforzo normale di calcolo, cioè NRd = NSd, e confrontando tale valore con il momento flettente di calcolo MSd.Il procedimento di verifica, quindi, può essere sintetizzato nei seguenti passi:1) Calcolo dello sforzo normale massimo che la sezione può sopportare, che vale

NRd = Ac fcd + As fyd. Se risulta la verifica non è mai soddisfatta, qualunque sia il valore di MSd.

2) Se risulta , poiché le espressioni per il calcolo di NRd e MRd sono diverse a seconda che la sezione sia parzializzata o tutta compressa, è necessario individuare a quale delle due situazioni corrisponde lo sforzo normale di calcolo NSd.

NSd > N Rd

NSd ≤ N Rd

Si deve quindi calcolare il valore dello sforzo normale che separa queste due situazioni, che vale

e confrontarlo con NSd. Se risulta

la parte compressa deve essere ridotta affinché sia e la sezionesarà parzializzata. Viceversa, se risulta

la sezione sarà tutta compressa. In entrambi i casi bisogna determinare la posizione dell’asse neutro, che sarà interno o esterno alla sezione rispettivamente.3) Se la sezione è parzializzata, la deformazione massima al bordo compresso è pari a εcu; il

diagramma delle deformazioni è individuato dalla distanza x dell’asse neutro dal bordo compresso.

N Rd = βAc fcd + As,iσ s,i∑

N Rd > NSd

N Rd = NSd

N Rd < NSd

La pressoflessione retta: verifica 2/4

Lo sforzo di compressione nel calcestruzzo può essere calcolato utilizzando lo stesso coefficiente di riempimento β valido nel caso della flessione. Se la sezione è tutta compressa, il diagramma di deformazione deve presentare il valore εc2in un punto distante dal lembo compresso (nel caso di sforzo normale centrato, infatti, il diagramma delle deforma-zioni allo SLU è costante e vale εc2). Il diagramma è individuato dal valore delladeformazione minima εc,min al lembo inferiore, ovvero dal parametro con

In definitiva, quindi, il diagramma delle deformazioni cui corrisponde uno sforzo normale NRd = NSd, si ottiene ricercando o per tentativi, o con un procedimento iterativo, il valore di x se la sezione è parzializzata, o di ηmin se la sezione è tutta compressa.

(1− εc2 εcu )h ! 3h 7

0 ≤ηmin ≤1. ηmin = εc,min εc2


Si osserva, inoltre, che nel caso di sezione tutta compressa lo sforzo di compressione nel calcestruzzo non può essere calcolato utilizzando lo stesso coefficiente di riempimento β valido nel caso della flessione, perché il tratto parabolico delle tensioni nel calcestruzzo non parte da zero. Occorre dunque determinare nuove espressioni per β e che nel caso di sezione rettangolare si scrivono

È facile verificare che per ηmin = 0 si ottengono i valori relativi al caso della flessione semplice, cioè

4) Una volta individuato il diagramma delle deformazioni per cui NRd = NSd, si deve calcolare il momento resistente di calcolo MRd e confrontarlo con MSd.

κ ,

β = 1− 4

211−ηmin( )2

κ =1− 16

491−ηmin( )2

2 1− 421

1−ηmin( )2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

β = 17

21! 0,810

κ = 99

238! 0,416


Sezione parzializzataIl diagramma delle ε è individuato dalladistanza x dell’asse neutro dal bordo superiore. Si ha

Le corrispondenti tensioni si ricavano dalle relazioni

da cui si ottiene

La risultante delle tensioni di compressione nel calcestruzzo vale

con β = 0,810.La distanza x dell’asse neutro dal bordo superiore si ottiene dalla relazione

La sezione rettangolare 1/2

εs =

d − xx

εcu ′εs =

x − cx

εcu

σ s = f yd se εs ≥ ε yd σ s = Esεs se εs ≤ ε yd

′σ s = f yd se ′εs ≥ ε yd ′σ s = Es ′εs se ′εs ≤ ε yd

Ns = Asσ s ′Ns = ′As ′σ s

Nc = β b x fcd

Nc + ′Ns − Ns = NSd

Sezione tutta compressaIl diagramma delle ε è individuato dalparametro

Le deformazioni in corrispondenza delle armature superiori e inferiori valgono

Le tensioni nell’acciaio e le risultanti possono essere calcolate con le stesse espressioni valide per la sezione parzializzata. In questo caso però

Il parametro ηmin si ottiene dalla relazione

In entrambi i casi (sezione parzializzata o tutta compressa) il momento resistente MRd può essere calcolato attraverso la condizione di equilibrio alla rotazione intorno al baricentro geometrico O della sezione. La verifica è soddisfatta se risulta

La sezione rettangolare 2/2

εs =

c4h / 7

1−ηmin( ) +ηmin⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥εc2

Nc + ′Ns + Ns = NSd

ηmin = εc,min εc2

′εs =

d4h / 7

1−ηmin( ) +ηmin⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥εc2

Ns , ′Ns e Nc

β = 1− 4

211−ηmin( )2

M Rd > MSd

Esempi 1/2Si verifichi allo Stato Limite Ultimo una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo di classe C25/30 armata con 10 cm2 inferiori e 6 cm2 superiori in acciaio B450C, con copriferro c = 4 cm, soggetta alle sollecitazioni di calcolo MSd = 45 kNm e NSd = - 675 kN

Esempi 2/2Si verifichi allo Stato Limite Ultimo una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo di classe C25/30 armata con 10 cm2 inferiori e 6 cm2 superiori in acciaio B450C, con copriferro c = 4 cm, soggetta alle sollecitazioni di calcolo MSd = 120 kNm e NSd = - 2500 kN

Riferimenti bibliografici

1.  D.M. 14 gennaio 2008. Norme tecniche per le costruzioni. Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, G.U. n. 29 del 4 febbraio 2008, Supplemento Ordinario n. 30, 2008, (NTC08).

2.  Circolare 2 febbraio 2009 n. 617. Istruzioni per l’applicazione delle Nuove norme tecniche per le costruzioni di cui al D.M. 14 gennaio 2008, approvata dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici.

3.  Mezzina Mauro (a cura di), Fondamenti di Tecnica delle Costruzioni, Città Studi Edizioni, 2013.

4.  Ghersi Aurelio, Il cemento armato (seconda edizione), Dario Flaccovio Editore, 2010.

5.  Cosenza E., Manfredi G., Pecce M., Strutture in cemento armato, basi della progettazione (seconda edizione), Ulrico Hoepli Editore, 2015.

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