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LE FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO E TANGENTE Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

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LE FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO E TANGENTE

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DEFINIZIONE

Seno e cosenoConsideriamo la circonferenza goniometrica

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

1. LE FUNZIONI SENO E COSENO

e un angolo orientato α,

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e sia B il punto della circonferenzaassociato ad α.

Definiamo coseno e seno di α, e indichiamo con cos αααα e sen αααα :

cos α = xB ,sen α = yB .

e un angolo orientato α,

Circonferenza di raggio unitario

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

1. LE FUNZIONI SENO E COSENO

Indichiamo con (x; y) le coordinate di B.

Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi

x = cos α

Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'.

Scopriamo che:

e

e quindi sen αααα e cos ααααnon dipendono dalla

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x = cos α

y = sen α

non dipendono dalla particolare circonferenza considerata,ma solo dall’angolo αααα.

Triangoli rettangoli

cos α = rapporto tra il cateto adiacenteall’angolo e l’ipotenusa .

Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

1. LE FUNZIONI SENO E COSENO

sen α = rapporto tra il cateto oppostoall’angolo e l’ipotenusa .

Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli.

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LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

2. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO

PROPRIETÀ

In particolare si verifica che:

–1 ≤ sen x ≤ 1 ;–1 ≤ cos x ≤ 1 ;

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Costruiamo il grafico delle funzioniy = sen x e y = cos x in [0; 2ππππ] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le coordinate dei punti della circonferenza goniometrica.

–1 ≤ cos x ≤ 1 ;

cos x = cos (–x) ;sen x = –sen (–x) .

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

sen (x + 2π) = sen x = sen (x + 4π) = ... ,cos (x + 2π) = cos x = cos (x + 4π) = … ,

3. SINUSOIDE E COSINUSOIDE

cioèsen (x + 2kπ) = sen x ,cos (x + 2kπ) = cos x .

periodiche 2ππππ

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Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide , quello della funzione coseno cosinusoide . I due grafici differiscono per una traslazione di π/2.

Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2ππππ .

ππππ2

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4. LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE

Prima relazione fondamentale della goniometria

cos2 α + sen2 α = 1

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mentre, se è noto sen α ,

.

Da cui, se è noto cos α ,

,

DEFINIZIONE

TangenteConsideriamo un angolo orientato α,e sia B il punto della circonferenza associato ad α.

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5. LA FUNZIONE TANGENTE

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associato ad α.

Definiamo tangente di α il rapporto, quando esiste, tra l’ordinata e l’ascissa di B:

.

Un altro significato geometrico

Consideriamo il cerchio goniometrico e la sua tangente t.

Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi

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5. LA FUNZIONE TANGENTE

Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'.

Triangolo rettangolo

tg α = rapporto tra il cateto oppostoall’angolo e il

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tangente t.all’angolo e il cateto adiacente . tg α = ordinata di T.

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6. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE TANGENTE

PROPRIETÀ

In particolare si verifica che:

tg x tende a +∞ o –∞quando x si avvicina a π/2,

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Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;ππππ] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse yl’ordinata del punto T.

quando si avvicina a /2,

tg x = – tg (–x).

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

tg (α + π) = tg α = tg (α + 2π) = ...

7. LA TANGENTOIDE

cioètg (α + kπ) = tg α .

periodica ππππ

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Il grafico completo della funzione tangente si

chiama tangentoide .

La funzione tangente è periodica di periodo ππππ .

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8. LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE

Seconda relazione fondamentale della goniometria

,

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yB = sen α , xB = cos α ,

.

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9. ESERCIZI: SENO E COSENO

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10. ESERCIZI: LA TANGENTE

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