TRASFORMAZIONE DEI GRAFICI

• Lezioni teoriche

• Esercizi

ringraziamenti

INDICE

• Traslazione verticale di parametro 1 della funzione y=cosx

• Traslazione orizzontale in parametro π/4 della funzione y=cosx

• Deformazione verticale di parametro 2 della funzione y=cosx

• Deformazione orizzontale di parametro 2 della funzione y=cosx

• Simmetria della funzione y=x rispetto all’asse y• Ribaltamento della funzione y= x rispetto all’asse x• Ribaltamento della funzione y= x rispetto all’origine• Moduli sulla funzione y=x3-1

• Modulo di se sulla funzione y=x3-1

FineGuarda gli esercizi

Traslazione verticale di parametro b della funzione y = f(x)

• y = cosx• y = cosx-1• y = cosx+1

Osservazioni

Traslazione verticale di parametro b della funzione y = f(x)

• y = cosx

Funzione base

• y = cosx–1

Traslazione verticale verso l’alto

• y = cosx+1

Traslazione verticale verso il basso

Osservazioni:

Questo grafico rappresenta la traslazione verticale di parametro1 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si alza o si abbassa. La formula di traslazione verticale di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=f(x)+b. Se b>0 il grafico si sposta verso l’alto, viceversa, se b<0, il grafico si sposta verso il basso.

x

Traslazione orizzontale in parametro a della funzione y = f(x)

• y = cosx• y = cos(x-π/4)• y = cos(x+ π/4)

Osservazioni

Traslazione orizzontale in parametro a della funzione y = f(x)

• y = cosx

Funzione base

• y = cos(x-π/4)

Traslazione orizzontale verso sinistra

• y = cos(x+ π/4)

Traslazione orizzontale verso destra

Osservazioni: Questo grafico rappresenta la traslazione orizzontale in parametro p/4 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si sposta verso destra o verso sinistra. La formula di traslazione orizzontale di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=f(x+a). Se a>0 il grafico si sposta verso sinistra, viceversa, se a<0 il grafico si sposta verso destra.

x

Deformazione verticale di parametro h della funzione y = f(x)

• y = cosx• y = 2cosx• y = 1/2cosx

Osservazioni

Deformazione verticale di parametro h della funzione y = f(x)

• y = cosx

Funzione base

• y = 2cosx

Deformazione verticale, allunga il grafico

• y = 1/2cosx

Deformazione verticale, restringe il grafico

Osservazioni:

Questo grafico rappresenta la deformazione verticale di parametro 2 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si allunga o si accorcia. La formula di deformazione verticale di una equazione generale y=f(x) è y=h*f(x). Se h>1 il grafico si allunga verticalmente, viceversa, se 0<h<1 il grafico si accorcia.

x

Deformazione orizzontale di parametro k della funzione y = f(x)

• y = cosx• y = cos(1/2x)• y = cos(2x)

Osservazioni

Deformazione orizzontale di parametro k della funzione y = f(x)

• y = cosx

Funzione base

• y = cos(1/2x)

Deformazione orizzontale, allarga il grafico

• y = cos(2x)

Deformazione orizzontale, restringe il grafico

Osservazioni:

Questo grafico rappresenta la deformazione orizzontale di parametro 2 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si allarga o si restringe. La formula di deformazione orizzontale di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=f(k*x). Se 0<k<1 si allarga il grafico, viceversa, se k>1 il grafico si comprime.

x

Simmetria della funzione y = x rispetto all’asse x

• y = x• y = - x

Osservazioni

Simmetria della funzione y = x rispetto all’asse x

• y = x

Funzione base

• y = - x

Ribaltamento della funzione base rispetto all’asse x

Osservazioni:

Questo grafico rappresenta la simmetria della funzione y=x rispetto all’asse y che cambiando il segno alla funzione della prima equazione, il secondo grafico viene ribaltato nel quarto quadrante. La formula della simmetria di un’equazione generale y=f(x) è y=-f(x).

x

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’asse y

• y = x• y = -x

Osservazioni

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’asse y

• y = x

Funzione base

• y = -x

Ribaltamento della funzione base rispetto all’asse y

Osservazioni:

Questo grafico rappresenta il ribaltamento della funzione y=x rispetto all’asse y che spostando il segno della x nella prima equazione, il grafico della seconda equazione viene ribaltato nel secondo quadrante . La formula generale del ribaltamento di un’equazione generale y=f(x) è y=f(-x).

x

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’origine

• y = x• y = --x

Osservazioni

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’origine

• y = x

Funzione base

• y = --x

Ribaltamento della funzione base rispetto all’origine

Osservazioni:

Questo grafico rappresenta il ribaltamento della funzione y=x rispetto all’origine e cambiando di segno sia la funzione sia la x nella prima equazione, il grafico della seconda equazione viene ribaltato nel quadrante opposto. La formula generale del ribaltamento di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=-f(-x).

x

Modulo sulla funzione y = x^3-1

• y = x^3-1• y = |x^3-1|

Osservazioni

Modulo sulla funzione y = x^3-1

• y = x^3-1

Funzione base

• y = |x^3-1|

Ribaltamento della funzione base rispetto all’origine

Osservazioni:

Questo grafico rappresenta il modulo della funzione y=x3-1(tra le due stelle). Il modulo agisce sulla funzione in due modi differenti: dove la funzione è negativa il grafico della funzione base viene ribaltato, mentre dove la funzione è positiva i due grafici si sovrappongono

>>segue

x

Modulo sulla funzione y = x^3-1

• y = x^3-1

Funzione base

• y = |x^3-1|

Ribaltamento della funzione base rispetto all’origine

In generale , se la funzione y=f(x) è negativa , il grafico del modulo è il simmetrico del grafico della funzione, altrimenti i due grafici si sovrappongono.

<<precede

x

Modulo di x sulla funzione y = x3-1

• y = x3-1• y = (|x|)3-1

Osservazioni

Modulo di x sulla funzione y = x3-1

• y = x3-1

Funzione base

• y = (|x|)3-1

Modulo di x sulla funzione base

Osservazioni:

Da questo grafico si può notare che la funzione modulo applicata solo alla x trasforma le x negative in positive, ribaltando la parte positiva del grafico (tra le due stelline).

Nel caso contrario il grafico rimane invariato.

>>segue

x

Modulo di x sulla funzione y = x3-1

• y = x3-1

Funzione base

• y = (|x|)3-1

Modulo di x sulla funzione base

In generale se si applica la funzione modulo solo sulla x si ha una trasformazione delle x negative in positive tramite un ribaltamento, altrimenti se le x sono positive, il grafico rimane invariato.

<<precede

x

INDICE

• Esempio 1

• Esempio 2

• Esempio 3

• Esempio 4

Guarda la teoria

Trasformazione di una funzione

• LAVORO DI:• Fornaro,• Delpero e• Agostini

y = senx y = sen3x

y = sen(3x-p/2) y = |sen(3x-p/2)|

SOVRAPPOSIZIONE DEI GRAFICI

Rappresenta la funzione base

T=2p D [0; 2p] C[-1;1]

y = senx

y = sen3x

T1:Deformazione orizzontale di parametro 3 che comprime il grafico T=p 03x2p D[0;p] C[-1;1]

y = sen(3x-p/2)

T2:Traslazione orizzontale di parametro p/6 verso destra. T=p 03x-p/22p D[0+p/6;p+p/6] C[-1;1]

y=|sen (3x-p/2)|

T3:modulo della funzione che lascia invariato il segno quando è positivo, e quando è negativo ribalta la funzione rispetto all’asse delle x trasformando il segno da negativo a positivo.

Esercizio sulla trasformazione di

funzioni

Realizzato da: Acucella & Fagnani & Tagliabue

Come sviluppare le trasformazioni

Data la funzione dobbiamo :• Riconoscere la funzione base • Analizzare la successione delle

trasformazioni ( traslazioni,deformazioni…) che applicate alla funzione base portano alla funzione richiestaEsempio

:)

62cos(

p

xy

Successione delle trasformazioni applicate

xy cos

)cos(62

xy

p

2cos

xy

Funzione base

:Il grafico di :Il grafico di questa questa funzione è il funzione è il grafico della grafico della funzione funzione coseno senza coseno senza variazionivariazioniIl suo Il suo codominio va codominio va da –1 a 1 da –1 a 1 mentre il suo mentre il suo dominio va da - dominio va da - a + a + . .

xy cos

Deformazione orizzontale di parametro

:Il :Il grafico di questa grafico di questa funzione è il grafico funzione è il grafico della funzione della funzione coseno deformata coseno deformata orizzontalmente di orizzontalmente di parametro parametro

2

x

)cos(2

xy

2

x

Osservazioni

Traslazione orizzontale di parametro

p

62

x

: Il grafico di : Il grafico di questa funzione è questa funzione è il grafico della il grafico della funzione coseno funzione coseno traslata traslata orizzontalmente di orizzontalmente di parametro parametro

)62

cos(p

x

y

p

62

x

Osservazioni

Osservazioni

Sviluppando le trasformazioni della funzione base abbiamo notato che essendo il coseno una funzione pari le trasformazioni che hanno la x positiva e quelle che hanno, invece, la x negativa sono identiche.

xy cos

)cos(2

xy e )cos(

2

xy

)cos(62

xy

p e )](cos[

62

xy

p

Esercitazione di:

Centrone

Detto Fabio

Catanzaro

•Funzione data

•Funzione base: sen(x).

•Deformazione orizzontale di parametro x/3.

•Traslazione orizzontale di parametro 12

p

senxY

)3

(x

senY

)123

(p

x

senY

Grafico della funzione dataGrafico della funzione data

Data la funzione l’abbiamo scomposta nelle singole Data la funzione l’abbiamo scomposta nelle singole trasformazionitrasformazioni

)123

(p

x

senY

Funzione originaria:Funzione originaria:

Funzione originaria sen(x) con Funzione originaria sen(x) con periodo [0;2periodo [0;2pp] e ampiezza di 2] e ampiezza di 2pp..

Funzione originaria deformataFunzione originaria deformata

Y=sen(x/3):questa Y=sen(x/3):questa funzionefunzione deriva deriva dalla funzione originaria e fa avvenire dalla funzione originaria e fa avvenire una deformazione orizzontale di una deformazione orizzontale di parametro x/3 (funzione in rosso).parametro x/3 (funzione in rosso).

Il periodo va da [0;6Il periodo va da [0;6pp] con ampiezza 6] con ampiezza 6pp

Funzione originaria deformata e traslataFunzione originaria deformata e traslata questa questa funzionefunzione fa fa avvenire una traslazione orizzontale di avvenire una traslazione orizzontale di parametro parametro pp/12 verso sinistra con un /12 verso sinistra con un periodo che va da [ ], cioè periodo che va da [ ], cioè [ ].[ ].

L’ampiezza è di 6L’ampiezza è di 6pp

4

p

)123

(p

x

senY

126;

120

ppp

pp12

71;

12

Esercizio sulle trasformazioni delle funzioni

Grafico

Y=senx Y=sen[-(1/3x+p/12)]Y=sen(1/3x+p/12)Y=sen 1/3x

-Ringraziamenti-

L’equazione base di questo grafico è y=senx (blu), l’intervallo è [o;2p], il suo periodo è 2p. Il codominio è [-1;1].

-Ringraziamenti-

All’equazione precedente abbiamo applicato una deformazione orizzontale di parametro 1/3 , che allarga il grafico:

y=sen1/3x (viola), l’intervallo è [o;6 p], il suo periodo è 6p, il codominio è [-1;1].

-Ringraziamenti-

All’equazione precedente abbiamo applicato una traslazione orizzontale verso sinistra di parametro -:

y=sen(1/3x+p/12 ), (verde), l’intervallo è [-p/4;6p-p/4], il suo periodo è 6p, il codominio è [-1;1].

-Ringraziamenti-

All’equazione precedente abbiamo applicato un ribaltamento rispetto all’asse delle y:

y=sen[-(1/3x+p/12 )], (rosso), l’intervallo è [ -p/4; 6p-p/4], il suo periodo è 6p, il codominio è [-1;1].

-Ringraziamenti-

Si ringrazia: