Microonde - Introduzione - Sezione di Elettronica Applicata lezioni... · Tutte le applicazioni a...

377
Microonde - Introduzione Microonde : onde elettromagnetiche aventi lunghezza d’onda nel vuoto 1 mm λ 1 m e quindi frequenza (λ =c/f) 300 MHz f 300 GHz. • I campi elettromagnetici nella banda di frequenza delle microonde hanno λ comparabile con le dimensioni dei componenti o dei circuiti 1 comparabile con le dimensioni dei componenti o dei circuiti il tempo di propagazione delle grandezze elettromagnetiche tra punti diversi delle strutture che si vogliono considerare è paragonabile al periodo delle oscillazioni in esame. L’analisi circuitale tipica delle basse frequenze, basata sulle definizioni di tensione e corrente, sulle leggi di Kirchoff e sull’ipotesi di costanti concentrate, non è più sufficiente per un’adeguata descrizione dei fenomeni e.m.. • La teoria delle microonde può essere sviluppata a partire dalla teoria dei campi elettromagnetici.

Transcript of Microonde - Introduzione - Sezione di Elettronica Applicata lezioni... · Tutte le applicazioni a...

Microonde - Introduzione

• Microonde: onde elettromagnetiche aventi lunghezza d’onda nel vuoto

1 mm ≤ λ ≤ 1 m

e quindi frequenza (λ =c/f)

300 MHz ≤ f ≤ 300 GHz.

• I campi elettromagnetici nella banda di frequenza delle microonde hanno λcomparabile con le dimensioni dei componenti o dei circuiti

1

comparabile con le dimensioni dei componenti o dei circuiti

il tempo di propagazione delle grandezze elettromagnetiche tra punti diversi delle strutture che si vogliono considerare è paragonabile al periodo delle oscillazioni in esame.

L’analisi circuitale tipica delle basse frequenze, basata sulle definizioni di tensione e corrente, sulle leggi di Kirchoff e sull’ipotesi di costanti concentrate, non è più sufficiente per un’adeguata descrizione dei fenomeni e.m..

• La teoria delle microonde può essere sviluppata a partire dalla teoria dei campi elettromagnetici.

Microonde - Introduzione Spettro elettromagnetico

3·105 3·106 3·107 3·108 3·109 3·1010 3·1011 3·1012 3·1013 3·1014

Frequenza (Hz)

LF (

Low

Fre

qu

ency

)O

nd

e lu

ng

he

MF

(M

ediu

m F

req

uen

cy)

HF

(H

igh

Fre

qu

ency

)3·104

VH

F (

Ver

y H

igh

Fre

qu

ency

)

Lon

tan

o in

frar

oss

o

On

de

mill

imet

rich

e

2Lunghezza d’onda (m)103 102 10 1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6

LF (

Low

Fre

qu

ency

)O

nd

e lu

ng

he

MF

(M

ediu

m F

req

uen

cy)

On

de

med

ie

HF

(H

igh

Fre

qu

ency

)O

nd

e co

rte

104

VH

F (

Ver

y H

igh

Fre

qu

ency

)

MICROONDE

Lon

tan

o in

frar

oss

o

Infr

aros

so

Vis

ibile

On

de

mill

imet

rich

e

Denominazione bande alle frequenze delle microonde

L 1-2 GHzS 2-4 GHzC 4-8 GHz

Microonde - Introduzione Spettro elettromagnetico

3

C 4-8 GHzX 8-12.4 GHzKu 12.4-18 GHzK 18-26 GHzKa 26-40 GHzU 40-60 GHz

Microonde - Introduzione Applicazioni

• Radar:

Lo sviluppo della tecnica delle microonde, all’epoca della seconda guerra mondiale, è stato legato alle applicazioni RADAR (Radio Detection And Ranging: radio rivelazione e localizzazione). Ancora oggi i Radar sono tra le principali applicazioni delle microonde.

Nei Radar l’uso delle microonde è legato alla possibilità di realizzare antenne di

4

Nei Radar l’uso delle microonde è legato alla possibilità di realizzare antenne di dimensioni ridotte, in grado di irradiare nello spazio gran parte della loro energia in un fascio ristretto (similmente ai laser in ottica). Ciò è in genere ostacolato da fenomeni di diffrazione che però possono essere regolati e ridotti scegliendo opportunamente il campo di frequenze, la forma e l’ampiezza dell’antenna.

Es.: per un’antenna parabolica, α° ≈140°λ /d è l’angolo di apertura del cono di emissione (d=diametro della parabola). A 10 GHz se d=90 cm l’antenna produce un fascio di circa 5° di apertura; per ottenere effetti equivalenti a 100 MHz sarebbe necessaria un’antenna avente d=90 m!

• Comunicazioni:

La necessità di avere a disposizione bande di frequenze sempre più ampie per le esigenze delle telecomunicazioni (maggiore numero di canali disponibili per la trasmissione e maggiore fedeltà nella riproduzione di informazioni) richiede l’impiego di frequenze sempre più elevate.

Nelle telecomunicazioni spaziali, la propagazione avviene in aria attraverso punti visibili tra loro ed il vantaggio delle microonde è quello di non subire riflessioni da parte degli strati alti dell’atmosfera.

5

riflessioni da parte degli strati alti dell’atmosfera.

Inoltre le piccole dimensioni dei satelliti implicano che le antenne poste su di essi devono avere anch’esse dimensioni contenute (utilizzabili efficacemente, come visto, solo alle iperfrequenze).

Esempi di applicazioni recenti: broadcasting a microonde, atterraggio stru-mentale a microonde, comunicazioni mobili, GPS per l’individuazione e la localizzazione di oggetti mobili sulla terra da parte di satelliti, ...

• Riscaldamento a microonde:

L’emissione di radiazione da un corpo è dovuta ad una transizione della sorgente da uno stato con una certa energia ad un altro con energia inferiore.

Se un atomo passa da una condizione fisica cui è associata l’energia E1 ad un’altra cui è associata l’energia E2 < E1, viene emessa una radiazione di frequenza f tale che risulta:

E - E =hf

6

E1 - E2=hf

( h ≈ 6.6·10-34 J ·s≈ 4.125·10-15 eV ·s , costante di Planck).

L’assorbimento della radiazione avviene per transizione del ricevitore dall’energia E’ all’energia E’’=E’+hf.

Si può dire che ad un campo e.m. di frequenza f sono associatifotonidi energia hf.

L’energia dei fotoni alle frequenze tipiche delle microonde è dell’ordine di 10-6

- 10-3 eV, molto minore dell’energia di ionizzazione (=energia necessaria per sottrarre ad un atomo l’elettrone meno fortemente legato) degli elementi presenti in natura: le microonde sono quindi radiazioni non ionizzanti.

L’energia hf è invece comparabile, alle iperfrequenze, con l’energia media di

7

L’energia hf è invece comparabile, alle iperfrequenze, con l’energia media di agitazione termica kT ( k ≈ 1.38·10-23 J ·K-1 ≈ 8.625·10-5 eV· K-1, costante di Boltzmann): le microonde possono essere usate come fonte energetica per riscaldare i materiali assorbenti(es.:forno a microonde, che lavora a f=2450 MHz).

• Astrofisica:

Ricevitori che analizzano le radiazioni e.m. solari e di varie stelle o le radiazioni del plasma, lavorano alle frequenze delle microonde.

• Fisica nucleare:

Molti fenomeni di risonanza di particelle molecolari, atomiche e nucleari, dovuti all’azione di forze periodiche derivanti dall’applicazione di un campo e.m., vengono esaminati alle frequenze delle microonde.

8

e.m., vengono esaminati alle frequenze delle microonde.

• Optoelettronica:

Lo sviluppo di laser e fibre ottiche ha stimolato la ricerca sulle possibilità di realizzare sistemi di comunicazione alle lunghezze d’onda intorno al visibile, banda di frequenze al di fuori di quella classica delle microonde.

Con qualche modifica, gran parte dell’analisi tecnica delle microonde può essere utilizzata per lo sviluppo di sistemi di telecomunicazione basati sull’ottica.

• Generatori ed amplificatori:

Negli acceleratori di particelle opportune strutture guidanti convogliano onde e.m. aventi velocità minori della velocità della luce, che interagiscono in maniera efficace con fasci di particelle accelerate alla stessa velocità, fornendo

• Radiometria:

Radiometri a microonde vengono usati per tracciare ad esempio mappe della temperatura atmosferica e dell’umidità del suolo.

9

maniera efficace con fasci di particelle accelerate alla stessa velocità, fornendo loro energia. Procedimenti opposti possono avvenire utilizzando fasci elettronici per l’amplificazione delle onde e.m.

Tutte le applicazioni a microonde richiedono l’uso di speciali dispositivi per la generazione e l’amplificazione: ad esempio gli amplificatori e gli oscillatori a microonde allo stato solido (maser o amplificatore quantico), gli amplificatori ad onda progressiva (TWT=Traveling-Wave Tube) e gli oscillatori ad onda regressiva (BWO).

• Applicazioni mediche:

• Radarterapia:

penetrazione ed assorbimento delle microonde da parte dei tessuti biologici, con produzione di calore (è utile per la riabilitazione fisica).

• Termoterapia localizzata con radiofrequenze (ipertermia):

10

le cellule cancerogene sono più sensibili al calore di quelle normali (l’azione del calore è potenziata dalla scarsa vascolarizzazione dei tumori che disperdono pertanto l’eccesso termico più lentamente dei tessuti sani). L’energia a microonde, applicata mediante speciali apparecchiature, può raggiungere tessuti alle desiderate profondità corporee, risparmiando dall’azione termica i tessuti interposti tra la superficie corporea e la massa tumorale. A temperature intorno ai 42-43°C le cellule cancerogene vengono distrutte ed i prodotti della loro distruzione stimolano le difese immunitarie dell’organismo.

Microonde - Introduzione Strutture guidanti

• Una delle principali caratteristiche delle onde elettromagnetiche alla frequenze delle microonde consiste nella possibilità di potersi propagare in apposite strutture guidanti senza apprezzabili perdite.

• Strutture guidanti di tipo diverso si sono affermate nel tempo, in relazione alle

11

• Strutture guidanti di tipo diverso si sono affermate nel tempo, in relazione alle tecniche costruttive disponibili, richiedendo una specifica tecnologia di costruzione dei vari componenti che intervengono nella emissione, trasmissione e ricezione dell’energia e.m.

• Le strutture guidanti più usate sono quelle cilindriche, in cui l’energia e.m. viene guidata secondo una direzione ben determinata, detta direzione assiale della struttura. Le sezioni normali alla direzione assiale sono tutte uguali tra loro.

• Cavo coassiale:

E’ costituito da due conduttori cilindrici coassiali.

E’ stata la prima struttura guidante ad essere usata nella tecnica delle microonde. Sezione cavo coassiale

12

Può essere di tipo rigido, in aria, con bassa attenuazione: il conduttore centrale è sostenuto da appositi supporti distanziati, che lo separano dal tubo conduttore esterno. Oppure può essere di tipo flessibile, con conduttore centrale immerso in un dielettrico, sul quale è disposta una sottile treccia di fili metallici (o due trecce, per limitare le irradiazioni verso l’esterno dovute alle fessure tra i fili) che ha la funzione di conduttore esterno.

microonde. Sezione cavo coassiale

• Guida d’onda:

a) b) c)

E’ costituita da un tubo metallico cavo.

13

Sezioni di guide d’onda:a) rettangolare; b) circolare; c) ellittica; d) corrugata; e) doppiamente corrugata.

d) e)

• Linea a striscia:

E’ costituita da una striscia centrale conduttrice e da due conduttori piatti paralleli posti allo stesso potenziale, nel caso di struttura bilanciata. E’ invece costituita da due conduttori separati nel caso di struttura sbilanciata.

E’ adatta all’integrazione con dispositivi a tecnologia planare.

14

Sezioni di linee a striscia (“stripline”):a) bilanciata; b) sbilanciata.

a) b)

• Linea a microstriscia:

E’ costituita da un sottile strato dielettrico (substrato) completamente metallizzato da un lato e con una striscia conduttrice sull’altro lato.

E’ una struttura tipica dei circuiti stampati. Per le dimensioni estremamente ridotte e per la particolare leggerezza, viene utilizzata come linea di interconnessione in un un vasto campo di applicazioni dei circuiti integrati a microonde.

15

Sezione di una guida a microstriscia (“microstrip”).

microonde.

striscia conduttrice

piano conduttore di massa(ground-plane)

dielettricoε0εr

ε0

• Linea a microstriscia invertita:

La parte di substrato opposta alla striscia conduttrice non è metallizzata ed il ground-plane è posto in aria. La lunghezza d’onda del segnale guidato ad una determinata frequenza è dunque maggiore di quella del segnale guidato da una convenzionale microstriscia alla stessa frequenza la microstriscia invertita può operare in maniera soddisfacente a frequenze più alte.

16

Sezione di una guida a microstriscia invertita.

striscia conduttrice

ground-plane

dielettricoε0εr

ε0

• Linea a microstriscia invertita “trapped” :

E’ simile alla microstriscia invertita, ma il ground-plane costituisce una sorta di canale sagomato intorno alla striscia conduttrice. Si ottiene, rispetto alla microstriscia invertita, una soppressione di alcuni modi di ordine superiore.

17

Sezione di una guida a microstriscia invertita “trapped”.

striscia conduttrice

ground-plane

dielettricoε0εr

ε0

• Guida coplanare:

Il piano conduttore di massa è coplanare con la striscia conduttrice centrale, mentre la parte inferiore dello strato dielettrico non è metallizzata.Si presta molto bene alla realizzazione di circuiti integrati a microonde potendosi integrare ottimamente con componenti attivi (è l’unica struttura guidante veramente planare: tutti i conduttori giacciono sullo stesso piano).

18

Sezione di una guida coplanare.

striscia conduttriceconduttore di massa

dielettricoε0εr

• Microstriscia sospesa:

E’ come una microstriscia invertita ma il ground-plane è realizzato in modo da chiudere interamente la struttura, mantenendo uno strato d’aria sia nella parte superiore che in quella inferiore.Le perdite sono basse ma possono facilmente essere eccitati modi d’ordine superiore (che vanno soppressi) la progettazione di questa struttura è complicata. conduttore

19

Sezione di una guida a microstriscia sospesa.

striscia conduttrice

dielettricoε0εr

ε0

ε0

conduttore

• “Slot line” :

E’ costituita da uno strato dielettrico metallizzato da un solo lato, con una fessura (slot) nella metallizazione. Ci sono notevoli difficoltà nel realizzare strutture di questo tipo che mostrino impedenza caratteristica minore di 60 Ω.

20

Sezione di una “slot line”.

dielettricoε0εr

ε0strisce conduttrici

• “Finline” :

All’interno di un conduttore a sezione rettangolare viene posto un substrato dielettrico, metallizzato da un solo lato; nella metallizzazione del substrato viene praticata una fessura.Le perdite sono basse. Si può usare a frequenze molto elevate.

conduttore

21

Sezione di una “finline”.

dielettricoε0εr ε0ε0

conduttore

• “Image line” :

E’ costituita da una striscia dielettrica continua posta su un piano conduttore. E’ equivalente ad una guida dielettrica di altezza (compresa l’immagine) doppia.

22

Sezione di una “image line”.

dielettricoε0εr ε0 piano

conduttore

• Strutture guidanti a più conduttori :

Linea bifilare schermata:

23

Microstrisce parallele:

dielettricoε0εr

ε0strisce conduttrici

I circuiti planari possono essere realizzati mediante tecniche fotolitografiche che consentono di riportare su opportuni substrati dielettrici la parte trasmissiva del circuito a microonde.

I componenti attivi possono essere inseriti in una fase successiva, ottenendosi un circuito integrato di tipo ibrido (M.I.C.=Microwave Integrated Circuit).

24

Oppure possono essere realizzati direttamente sopra o all’interno di un substrato dielettrico semiconduttore, ottenendosi un circuito integrato monolitico (M.M.I.C.:Monolithic Microwave Integrated Circuit).

La scelta del più opportuno materiale dielettrico da usare per il substrato è legata alle proprietà elettriche, metalliche e termiche del materiale ed al suo costo. Tra i più usati vi sono i substrati plastici, l’allumina ed il quarzo.

Microonde - Introduzione

• Le strutture guidanti a due conduttori con dielettrico omogeneo (cavo coassiale, stripline) permettono la propagazione di onde trasverse elettromagnetiche (TEM) che non hanno componenti di campo elettrico e magnetico nella direzione di propagazione.

• Le strutture ad un conduttore (guide d’onda) non consentono la

Considerazioni generali sulla proprietà delle strutture guidanti

25

• Le strutture ad un conduttore (guide d’onda) non consentono la propagazione di onde TEM, ma solo di onde TE o TM. E’ cioè necessaria per la propagazione una componente longitudinale di campo (E o H).

• Le strutture guidanti a più di due conduttori consentono la propagazione di più onde TEM diverse tra loro.

• Le strutture in cui il campo interessa due o più dielettrici (microstrip) consentono a rigore solo la presenza di modi ibridi, con entrambe le componenti diverse da zero.

• La struttura metallicamente chiusa del cavo coassiale e delle guide d’onda consente trasmissioni con basse perdite di energia.

• La struttura metallicamente aperta (in senso trasversale) delle linee a striscia e a microstriscia comporta maggiori attenuazioni del campo elettromagnetico.

26

e a microstriscia comporta maggiori attenuazioni del campo elettromagnetico.

• Come già accennato, poiché le strutture guidanti e gli altri componenti a queste collegati hanno dimensioni paragonabili alla lunghezza d’onda utilizzata, la propagazione delle microonde va esaminata attraverso l’applicazione della teoria dei campi elettromagnetici.

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Equazioni di Maxwell nella forma trasversa

• Considerando una regione esterna alle sorgenti del campo e.m. (correnti elettriche e magnetiche impresse nulle) le equazioni di Maxwell in regime armonico, in mezzi omogenei ed isotropi, assumono la forma:

C

E j H

H j E

ωµωε

∇ × = −∇ × =

j g jωε ωε= +

27

Cj g jωε ωε= +

• Principio di dualità: E H→ H E→ − Cµ ε→ ε µ→C

• Nella tecnica delle microonde ci si riferisce spesso a strutture guidanti in cui interessa la propagazione dell’energia e.m. secondo una determinata direzione costante che faremo coincidere con l’asse z.

• Per i piani normali a z assumeremo un sistema di coordinate curvilinee ortogonali, in generale ( q1, q2 ), scelto nella maniera più comoda per rappresentare la struttura.

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Equazioni di Maxwell nella forma trasversa

• Ad esempio, volendo considerare la propagazione delle onde e.m. all’interno di una guida d’onda a sezione circolare useremo le coordinate polari (ρ, θ), per una guida a sezione rettangolare useremo invece le coordinate cartesiane ( x, y )e così via.

In genere useremo un sistema di coordinate cilindriche generalizzate(q , q , z )

28

(q1, q2 , z )

• In un tale sistema di riferimento, le espressioni delle equazioni di Maxwell assumono una particolare forma semplificata. Infatti il campo elettrico ed il campo magnetico possono essere scomposti in una componente trasversale ed in una longitudinale rispetto alla direzione di propagazione delle onde:

0

0

t z

t z

E E z E

H H z H

= += +

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Equazioni di Maxwell nella forma trasversa

• Analogamente per l’operatore si ha: 0t zz∂∇ = ∇ +∂

e per il laplaciano: ∂∇ = ∇ +∂

222

2t z

• ( ) ( )0 0 0t tt z zE j H z E z E j H z Hz

ωµ ωµ∂ ∇ × = − ⇒ ∇ + × + = − + ∂

29

z∂

0 0 0t

t tt t z z

EE z E z j H j z H

zωµ ωµ∂

⇒ ∇ × + ∇ × + × = − −∂

• Ricordando la proprietà: A A A∇ × Φ = Φ∇ × − × ∇Φ

avremo che: 0 0 0 0t z z t t z t zz E E z z E z E∇ × = ∇ × − × ∇ = − × ∇

e sostituendo nell’espressione già ricavata si ottiene:

0 0 0t

t tt t z z

EE z E z j H j z H

zωµ ωµ∂∇ × − × ∇ + × = − −

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Equazioni di Maxwell nella forma trasversa

• Scomponiamo in termini paralleli e normali all’asse z:

0 0 0t

t tt t z z

EE z E z j H j z H

zωµ ωµ∂∇ × − × ∇ + × = − −

∂//// ⊥ ⊥ ⊥ rispetto all’asse z

E j z Hωµ∇ × = −

30

0

0 0

tt z

ttt z

E j z H

Ez E z j H

z

ωµ

ωµ

∇ × = −∂− × ∇ + × = −∂

• Per il principio di dualità si ha inoltre:

0

0 0

tt C z

ttt z C

H j z E

Hz H z j E

z

ωε

ωε

∇ × =∂− × ∇

+ × =∂

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Equazioni di Maxwell nella forma trasversa

• Le equazioni di Maxwell scritte nella forma ottenuta introducendo un sistema di riferimento di coordinate cilindriche generalizzate, possono essere semplificate se si considera una particolare classe di campi e.m., caratterizzati dalla seguente proprietà:

le componenti trasverse del campo Et e Ht, in genere funzioni delle tre coordinate q1, q2 , z, vengono scomposte ognuna nel prodotto di due termini: uno funzione vettoriale delle coordinate trasverse q , q , l’altro

31

termini: uno funzione vettoriale delle coordinate trasverse q1, q2, l’altro funzione scalare della sola coordinata longitudinale z:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

, , ,

, , ,

t t e

t t h

E q q z e q q Z z

H q q z h q q Z z

=

=Non tutti i campi e.m. possono essere posti in questa forma (es.: le onde e.m. sferiche), tuttavia la classe di campi che soddisfa questa ipotesi semplificatrice è la più opportuna per descrivere in maniera semplice la propagazione di un onda e.m. in una struttura guidante, permettendo di ricondurre lo studio delle microonde a quello delle linee di trasmissione.

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Equazioni di Maxwell nella forma trasversa

• Se si ha un campo trasverso elettrico (TE)0zE =

• Se si ha un campo trasverso magnetico (TM)0zH =

• Se si ha un campo trasverso elettromagnetico (TEM)0z zE H= =

32

• L’esistenza di campi TE, TM, TEM (che sono poi i tipi di campi utilizzati nella pratica) è strettamente condizionata dalla particolare struttura guidante che si usa.

Analizzeremo la forma che assumono le equazioni di Maxwell nel caso di onde TE, TM, TEM.

Esamineremo quali onde trasverse possono presentarsi nei vari supporti guidanti.

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Onde TE

• Nel caso di onde TE le equazioni di Maxwell in un sistema di riferimento di coordinate cilindriche generalizzate assumono la forma:

0

0

0

tt z

tt

E j z H

Ez j H

zH

ωµ

ωµ

∇ × = −∂× = −∂

∇ × =

(1)

(2)

(3)

33

• Introducendo l’ipotesi di separabilità delle variabili, la (1) diventa:

da cui si deduce che la dipendenza di da z è data unicamente dal termine e dunque anche può scomporsi come segue:

1 2( , , )zH q q z

0 0

0tt

ttt z C

H

Hz H z j E

zωε

∇ × =

∂− × ∇ + × =∂

(3)

(4)

( )eZ z zH

( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,z z eH q q z h q q Z z= (6)

01 2 1 2( , ) ( ) ( , , )tt e ze q q Z z j z H q q zωµ∇ × = − (5)

• Con l’uso della (6), la (5) diventa: 0tt ze j z hωµ∇ × =−

• Introducendo nella (2) l’ipotesi di separabilità delle variabili si ottiene:

ωµ ωµ∂× = − ⇒ × = −∂

1 20 01 2

( , ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )t e e

t tth h

e q q Z z dZ zz j h q q Z z z e j h Z z

z dz

• Analogamente, introducendo nella (3) l’ipotesi di separabilità delle variabili si ottiene:

34

ottiene:

1 2( , ) ( ) 0 0t tt h th q q Z z h∇ × = ⇒ ∇ × =

• Infine, introducendo nella (4) l’ipotesi di separabilità delle variabili si ottiene:

1 20 01 2 1 2

0 0

( , ) ( )( , ) ( ) ( , ) ( )t h

tt z e C e

ht te t z C e

h q q Z zz h q q Z z z j e q q Z z

zdZ

Z z h z h j e Zdz

ωε

ωε

∂− × ∇ + × =∂

⇒− × ∇ + × =

• Riassumendo, le espressioni trovate sono:

ωµ

ωµ

ωε

∇ × = −

× = −

∇ × =

− × ∇ + × =

0

0

0 0

0

tt z

ett h

tt

ht te t z C e

e j z h

dZz e j h Z

dzh

dZZ z h z h j e Z

dz

• Nella seconda equazione si nota che i vettori e hanno la stessa direzione (perpendicolare all’asse z): poiché i due membri dell’equazione

0 tz e× th

35

direzione (perpendicolare all’asse z): poiché i due membri dell’equazione devono avere la stessa dipendenza da z, sarà soddisfatta una relazione di proporzionalità del tipo:

ez h

dZk Z

dz=−

• Nella quarta equazione i vettori , e hanno la stessa direzione (perpendicolare all’asse z), quindi possiamo scrivere:

0 t zz h× ∇ te

hz e

dZk Z

dz=−

0 tz h×

ez h

hz e

dZk Z

dzdZ

k Zdz

=−

=−

• La legge di variazione del campo e.m. lungo la direzione di propagazioneè espressa pertanto dalle equazioni differenziali scalari lineari del primo ordine:

equazioni formalmente identiche alle note equazioni delle linee di trasmissione, nella particolare circostanza in cui le due costanti sono uguali

36

• La scelta della stessa costante di proporzionalità implica una precisa restrizione del valore di o , permettendoci di dedurre univocamente una delle due funzioni nota l’altra:differenziando la prima eq. otteniamo

zk

eZ hZ2 2

2

2 2e eh

z z e

d Z d ZdZk k Z

dz dz dz=− ⇒ =

tipica equazione delle onde la cui soluzione ha forma: 1 2( ) z zk z k zeZ z P e P e −= +

( )2 1 21

1( )

1z z zzk z k ze

z zz z

k z k zh

dZk P e k P e

k dz kZ z P e P e −−⇒ =− =− − +− =

• Introducendo l’ipotesi di separabilità delle variabili la quarta equazione diventa: 2

2 22

ee t z z e z

d ZZ h h k Z h

dz∇ + =

• Le equazioni delle onde (Helmholtz)sono:2

2 22

22 2

2

tt tt

zt z z

EE k E

zE

E k Ez

∂∇ + = ∂

∂∇ + = ∂

22 2

2

22 2

2

tt tt

zt z z

HH k H

zH

H k Hz

∂∇ + = ∂

∂∇ + = ∂

(nulla per i campi TE)

ω µε= −2 2Ck

37

• Ponendo si ha:

2

2 2 2 2 2 2( )

e t z z e z

e t z z e z e z t z z z

Z h h k Z hdz

Z h k Z h k Z h h k k h

∇ + =

⇒ ∇ + = ⇒ ∇ = −

2 2 2 2 2z C z tk k k kω µε− =− − = 2 2

t z t zh k h∇ =

Il problema e.m. relativo alle componenti trasversali di un campo TE consiste fondamentalmente nella risoluzione di questa eq. diff. scalare del II ordine, con le opportune condizioni al contorno, determinate dalla particolare struttura gui-dante. Nota hz si possono ricavare le altre componenti trasversali del campo TE.

ωµ

ωµ

ωε

∇ × = − × = −∇ × =

− × ∇ + × =

0

0

0 0

0

tt z

ett h

tt

ht te t z C e

e j z h

dZz e j h Z

dzh

dZZ z h z h j e Z

dz

0

0

0 0

0

tt z

ttz

tt

tt z z

tC

e j z h

k z e j h

h

z h k z h

j e

ωµωµ

ωε

∇ × =− × =∇ × =− × ∇ − × ==

• Per individuare , moltiplicando vettorialmente per entrambi i membri della seconda equazione si ha:

te 0z( ) ωµ× × = ×

38

( ) ( )0 0 0 0 0 0z

t tt t t tz z

kk z z e e z z k e j z h z h e

jωµ

ωµ ⇒ ⋅ − ⋅ =− = × ⇒ × =−

sostituendo questa espressione di nella quarta equazione:0 tz h×

della seconda equazione si ha: ( )0 0 0 ttzk z z e j z hωµ× × = ×

02

22

0z

t tz tt z

t

k kz

jj

ee z hk

ωµµ

−⇒− × ∇ = ⇒ =− × ∇

2 2

0 0z z

t t tt z C t z C

k kz h e j e z h j e

j jωε ωε

ωµ ωµ

− × ∇ + = ⇒− × ∇ = −

e moltiplicandola vettorialmente per si trova:0z

0z

t t

kz h e

jωµ× = −

• Ricavata la , considerando la relazione già trovata::te

0z

t t

kh z e

jωµ= ×

• Oppure è possibile giungere ad una formulazione in cui entrambe le

39

componenti trasversali dei campi elettrico e magnetico sono espresse esplicitamente in funzione di :

moltiplichiamo vettorialmente per l’eq. :0 0 t tt z z Cz h k z h j eωε− × ∇ − × =0z

ωεωµωε ωε

ω µε

× − × ∇ − × × = ×

⇒ ∇ + = × ⇒ ∇ + =

= ∇ − +

⇒ ∇ = − − ⇒ ∇ = ⇒

0 0 0 0 0

0

2

2

2 2

( ) ( )t tt z z C

t t ttt z z C t z z Cz

zC zt tt z z t z

z zt t z

t

z z h k z z h j z e

jh k h j z e h k h j h

k

k kh k h h

kkhh

kk

h

t zh∇

Ricapitolando, per risolvere il problema e.m. per le onde TE un possibile procedimento è il seguente:

1. Si risolve con le opportune condizioni al contorno l’equazione

2. Calcolata hz(q1, q2 ) si ricava il valore di et(q1, q2 ):

3. Si calcola ht(q1, q2 ):

2 2t z t zh k h∇ =

02t t z

t

je z h

k

ωµ= − × ∇

40

3. Si calcola ht(q1, q2 ):

oppure

4. Si calcolano Ze(z) e Zh(z):

5. Noti hz, et, ht, Ze, Zh, per avere l’espressione generale del campo TE:

con ; .

2z

t t z

t

kh h

k= ∇0

zt t

kh z e

jωµ= ×

1 2( ) z zk z k zeZ z P e P e −= + −= − +1 2( ) z zk z k z

hZ z P e P e

0

0

t z

t z

E E z E

H H z H

= += +

0z

t t e

E

E e Z

==

z z e

t t h

H h Z

H h Z

==

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Onde TM

• Nel caso di onde TM le equazioni di Maxwell in un sistema di riferimento di coordinate cilindriche generalizzate assumono la forma:

0 0

0tt

ttt z

E

Ez E z j H

zH j E z

ωµ

ωε

∇ × =∂− × ∇ + × = −∂

∇ × =

(1)

(2)

(3)

41

• Introducendo l’ipotesi di separabilità delle variabili, la (3) diventa:

01 2 1 2( ) ( , ) ( , , )th t C zZ z h q q j E q q z zωε∇ × =

da cui si deduce che la dipendenza di daz è data unicamente dal termine e dunque anche può scomporsi come segue:

1 2( , , )zE q q z

0

0

tt C z

ttC

H j E z

Hz j E

z

ωε

ωε

∇ × =∂

× =∂

(3)

(4)

( )hZ z zE

( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,z z hE q q z e q q Z z= (5)

0 0

0

0

0tt

etth t z h

tt C z

ht tC e

e

dZZ z e z e j Z h

dzh j e z

dZz h j Z e

dz

ωµ

ωε

ωε

∇ × =− × ∇ + × = −∇ × =

× =

• Esaminando la quarta e la seconda equazione, si possono trovare delle relazioni di proporzionalità tra le componenti Ze eZh (uguali a quelle trovate per le onde TE):

42

e h

per le onde TE):e

z h

dZk Z

dz= − h

z e

dZk Z

dz= −

0 0

0

0

0tt

ttt z z

tt C z

t tz C

e

z e k z e j h

h j e z

k z h j e

ωµωε

ωε

∇ × = × ∇ + × =∇ × =− × =

22 2

2

2 2 2 2 2

hh t z z h z

h t z z h z h z t z t z

d ZZ e e k Z e

dzZ e k Z e k Z e e k e

⇒ ∇ + =

⇒ ∇ + = ⇒ ∇ =

• L’ equazione di Helmholtz per Ez è:2

2 22z

t z z

EE k E

z∂∇ + =∂

2 2t z t ze k e∇ =• Risolvendo l’eq. diff. scalare del II ordine , con le opportune

condizioni al contorno determinate dalla particolare struttura guidante, si trova ez , da cui si possono poi ricavare le altre componenti trasverse del campo TM.

43

ez , da cui si possono poi ricavare le altre componenti trasverse del campo TM.

• Per individuare , si moltiplica vettorialmente per l’equazione

e si ottiene:

Sostituendo in quest’ultima l’equazione si trova:

te 0z

0 0 ttt z zz e k z e j hωµ× ∇ + × = 0 ttt z ze k e j z hωµ−∇ − = ×

0 t tz Ck z h j eωε− × =

2

2

2

Ct t tt z z t z z

z

z

z

ttt z t t z

tz

j ke k e j e e k e

k k

ke e

kk

e ek

ωεωµ −∇ − = − ⇒ ∇ = − +

=

⇒ ∇⇒ ∇ =

• Per trovare , si moltiplica vettorialmente per l’eq.

ottenendo:

th 0z0 t tz Ck z h j eωε− × =

0 0t t tzC

zC t

jh e

kk j zh z e

ωε εω= × ⇒ = ×

t ze∇• Oppure è possibile esprimere anche ht in funzione di :

02C

t t z

t

jh z e

k

ωε= × ∇

44

• Il procedimento per studiare il comportamento di un’onda TM è dunque analogo a quello che si segue per studiare un’onda TE.

• Le espressioni delle componenti del campo TM si possono anche ricavare da quelle del campo TE applicando semplicemente il principio di dualità.

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Onde TEM

• Nel caso di onde TEM il campo non ha componenti nella direzione di propagazione e le equazioni di Maxwell in un sistema di riferimento di coordinate cilindriche generalizzate assumono la forma:

0

0tt

tt

E

H

E ωµ

∇ × =∇ × =

∂× = −

(1)

(2)

45

• Utilizzando le condizioni di separabilità delle componenti del campo trasverso si ottiene:

0

0

tt

ttC

Ez j H

zH

z j Ez

ωµ

ωε

∂× = −∂

∂× =∂

(3)

(4)

0

0tt

tt

e

h

∇ × =∇ × =

0

0

ett h

ht tC e

dZz e j Z h

dzdZ

z h j Z edz

ωµ

ωε

× = − × =

• Si deducono le stesse relazioni di proporzionalità tra le componenti Ze eZh

che si erano trovate nel caso TE e nel caso TM:

ez h

dZk Z

dz= − h

z e

dZk Z

dz= −

• Moltiplicando vettorialmente per la terza equazione si ottiene: 0zjωµ

0

0tt

tt

e

h

∇ × =∇ × =

0

0

ttz

t tz C

k z e j h

k z h j e

ωµωε

× = × = −

46

0 0ttz

ttzk e j h zj

e h zkωωµ µ− = − × ⇒ = ×

• Ma dalla quarta equazione si ottiene direttamente:

0z

ttC

ke h z

jωε= ×

• Dovendo essere le due espressioni trovate per et necessariamente identiche, si ha:

2 22 2 0zz C t

C z

k jk k

j kk

ωµ ω µεωε

= ⇒ = = ⇒ =−

• Venendo a coincidere tra loro la terza e la quarta equazione, il sistema ricavato dalle equazioni di Maxwell non è più sufficiente per conoscere le componenti trasversali del campo. E’ opportuno allora riferirsi ad altre proprietà del campo e.m., derivanti dalle equazioni di Maxwell.

• Per il vettore induzione elettrica , considerando una regione di spazio in cui si ha , risulta:

D Eε=0ρ =

0D∇ ⋅ =

( )0 0 0tt zz E E zz

∂ ⇒ ∇ + ⋅ + = ∂

47

• Poiché per un’onda TEM otteniamo:

• Nel nostro caso , oltre ad essere solenoidale, è anche irrotazionale e può quindi essere ricavato dal gradiente di una funzione

scalare (potenziale):

( )0 0 0tt zz E E zz

⇒ ∇ + ⋅ + = ∂

0

0z

t te

E

E Z e z

= = ⊥

0tt e∇ ⋅ =

te( )0tt e∇ × =

( )1 2

2 0

( , )

0

t t

tt t tt

e q q

e

= −∇ Φ

⇒ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ −∇ Φ = ∇ Φ =⇒

Equazione di Laplace

• Un’espressione analoga all’equazione di Laplace si può ottenere per il campo magnetico trasverso, anch’esso solenoidale ed irrotazionale per onde TEM; introducendo un potenziale scalare magnetico Ψ si ha:

• La determinazione di un’onda TEM può essere derivata indifferentemente a partire dall’equazione di Laplace per Φ o per Ψ.

( ) 20 0tt t t th⇒ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ −∇ ∇= ⇒ Ψ =Ψ

48

partire dall’equazione di Laplace per Φ o per Ψ.

• Ricavato o applicando le opportune condizioni al contorno, si passa a determinare o tramite una delle due equazioni

• Si calcolano poi Ze e Zh, ottenendo così l’espressione completa di un campo TEM.

t te = −∇ Φ t th = −∇ Ψth te

0

0

ttz

t tz C

k z e j h

k z h j e

ωµωε

× = × = −

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Impedenze d’onda

• Onde TE:

Per le onde TE, eravamo giunti all’espressione:

0z

t t

kh z e

jωµ= ×

49

Da questa espressione si vede cheet, ht e z0 formano una terna rettangola destra (si tenga tuttavia presente che in genere et e ht sono vettori complessi).

Si vede inoltre che tra et e ht vi è una relazione di proporzionalità fornita dalla:

jωµ

TEz

jZ

kωµ=

Inoltre, ZTE non dipende dalle coordinate (q1, q2, z)ma dalle caratteristiche del mezzo, dalla frequenza e dalla struttura guidante (che, come vedremo, determina kt

2 e quindi anche kz).

La ZTE ha le dimensioni di un’impedenza, essendo il rapporto tra un campo elettrico ed uno magnetico:

[ ]1

1TE

V mZ

A m

⋅= = Ω⋅

50

Il valore di kz si ricava dalla:

In generale dunque kz è una quantità complessa del tipo:

2 2 2 2 2z t C tk k k kω µε= − = − −

( )α β= ± +z z zk j

(nel seguito ci riferiremo sempre alla radice il cui valore reale è positivo).

Abbiamo visto che nelle strutture guidanti è possibile considerare campi e.m. caratterizzati dalla seguente proprietà:

con:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

, , ,

, , ,

t t e

t t h

E q q z e q q Z z

H q q z h q q Z z

=

=

1 2( ) z zk z k zeZ z P e P e −= +

1 2( ) z zk z k zhZ z P e P e −= − +

51

La generica dipendenza longitudinale di Et e Ht può essere espressa nella forma:

La Z(z)è la somma di due componenti:

1 2h

1 2( ) z zk z k zZ z C e C e −= +

1zk zC e onda che si propaga nel verso delle z negative: onda riflessa

2zk zC e − onda che si propaga nel verso delle z positive: onda diretta

( )1 1 1

z z z z zk z j z z j zC e C e C e eα β α β+= =

Infatti il primo termine si può scrivere:

Nel dominio del tempo:

Per vedere costante la fase dell’onda un osservatore deve muoversi con velocità data da:

( )1 1

z z z zz j z z j z tj tC e e e C e eα β α β ωω +=

( ) 0 0dz

d t z dt dzωω β ω β+ = ⇒ + = ⇒ = −

52

che è evidentemente nel verso delle z negative.

Analogamente per il secondo termine si giunge alla relazione:

esprimente una propagazione nel verso delle z positive

2zk zC e −

( ) 0 0z zz

dzd t z dt dz

dtωω β ω ββ

+ = ⇒ + = ⇒ = −

( ) 0 0z zz

dzd t z dt dz

dtωω β ω ββ

− = ⇒ − = ⇒ =

Relativamente alla dipendenza longitudinale da z, possono verificarsi tre casi:

• Esiste solo l’onda diretta(C1=0): struttura adattata

2

2

( )

( )

z

z

k ze

k zh

Z z P e

Z z P e

=

=2

2

z

z

k zt t

k zt t

E e P e

H h P e

=

=

53

e quindi:

impedenza d’onda TE diretta:

0z

t t

kh z e

jωµ= × 0 0

2 2z z

t tz zt tk z k z

H k E kz H z E

j jP e P eωµ ωµ− −= × ⇒ = ×

( )TE

z

jZ

kωµ+ =

• Esiste solo l’onda riflessa(C2=0):

e quindi:

impedenza d’onda TE riflessa:

1

2

( )

( )

z

z

k ze

k zh

Z z P e

Z z P e

=

= −1

1

z

z

k zt t

k zt t

E e Pe

H h Pe

=

= −

0z

t t

kh z e

jωµ= × 0

zt t

kH z E

jωµ= − ×

( )TE

z

jZ

kωµ− = −

54

zk

• Esistono l’onda diretta e l’onda riflessa:

l’impedenza d’onda viene in questo caso a perdere il fondamentale vantaggio di essere indipendente da z.

ωµ −

+=− +

1 2

1 2

z z

z z

k z k z

TE k z k zz

P e P ejZ

k P e P e

0z

t t

kh z e

jωµ= × 0

1 2 1 2z z z z

t tzk z k z k z k z

H k Ez

jP e P e P e P eωµ− −= ×− + +

• Onde TM:

Per le onde TM, eravamo giunti all’espressione:

• Osserviamo che le impedenze d’onda e , oltre a dipendere dalla struttura guidante e dal mezzo, dipendono dal verso di propagazione dell’onda, infatti il trasporto di energia procede in versi opposti nel caso di onda diretta e riflessa (come potrebbe ricavarsi dall’espressione del vettore di Poynting).

( )TEZ −( )

TEZ +

55

Tra et e ht vi è una relazione di proporzionalità fornita dalla:

Facendo riferimento ai vettori Et e Ht, si possono trovare le espressioni di impedenza d’onda nei casi di sola onda diretta, sola onda riflessa, onde diretta e riflessa, con procedimenti identici a quelli seguiti per le onde TE.

zTM

C

kZ

jωε=

0C

t tz

jh z e

kωε= ×

• Esiste solo l’onda diretta:

• Esiste solo l’onda riflessa:

• Esistono l’onda diretta e l’onda riflessa:

( ) zTM

C

kZ

jωε+ =

( ) zTM

C

kZ

jωε− = −

1 2

1 2

z z

z z

k z k zz

TM k z k zC

k P e P eZ

j P e P eωε

+=− +

56

1 2C

• In un generico mezzo dissipativo, per lo stesso valore di kz, il prodotto di ZTE

e ZTM risulta sempre uguale al quadrato dell’impedenza caratteristica del mezzo Zm in cui si ha propagazione:

In un mezzo non dissipativo il prodotto vale µ/ ε.Nel vuoto il prodotto vale µ0 / ε0 : Z0 = (µ0 / ε0)1/2 376.7 è appunto l’impedenza caratteristica del vuoto.

2TE TM m

C

Z Z Zµε

⋅ = =

• Onde TEM:

Per le onde TEM, avevamo trovato:

e

Poiché per un’onda TEM è: ,

scegliendo la radice positiva, da entrambe le relazioni precedenti discende:

0ttz

je h z

kωµ= × 0

ztt

C

ke h z

jωε= ×

2 2 2z C z Ck k k jω µε ω µε= − = ⇒ = ±

57

scegliendo la radice positiva, da entrambe le relazioni precedenti discende:

La costante di proporzionalità tra et e ht dipende solo dal mezzo (e non più dalla forma della guida) e risulta essere uguale all’impedenza caratteristica del mezzo in cui si ha propagazione:

0ttC

e h zµε

= ×

TEM mC

Z Zµε

= =

Facendo riferimento ai vettori Et e Ht, anche nel caso di onda TEM si possono trovare le espressioni dell’impedenza d’onda nei casi di sola onda diretta, sola onda riflessa, onde diretta e riflessa, con procedimenti identici a quelli seguiti per le onde TE e le onde TM.

• Esiste solo l’onda diretta:

( )TEM

C

Zµε

+ =

58

• Esiste solo l’onda riflessa:

• Esistono l’onda diretta e l’onda riflessa:

1 2

1 2

z z

z z

k z k z

TEM k z k zC

P e P eZ

P e P eµε

+=− +

( )TEM

C

Zµε

− = −

• In letteratura a volte la ZTE viene indicata con Zh e la ZTM con Ze. Ciò è dovuto al fatto che:

- i campi TEsono chiamati anche onde H, considerando che l’unica componente presente lungo la direzione di propagazione è quella magnetica

- i campi TMsono chiamati anche onde E, considerando che l’unica componente presente lungo la direzione di propagazione è quella elettrica

59

• E’ spesso utile considerare le grandezze inverse delle impedenze d’onda, ossia le ammettenze d’onda:

( )

( )

1 zTE

TE

kY

jZ ωµ±

±= = ± ( )

( )

1 CTM

zTM

jY

kZ

ωε±±= = ±

( )

( )

1 CTEM m

TEM

Y YZ

εµ

±±= = ± = ±

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Condizioni al contorno

• Struttura perfettamente conduttrice dal punto di vista elettrico

PEP = parete elettrica perfetta, g=∞

Sulla superficie di una PEP si ha che il campo elettrico è diretto normalmente ad essa ed il campo magnetico tangenzialmente.

0:

EPEP τ = n

E

60

All’interno di un conduttore elettrico perfetto il campo e.m. è nullo:

0:

0n

EPEP

Hτ =

=

0 0 0n E E τ× = ⇒ = 0 0 0nn B H⋅ = ⇒ =

0nH

• Dualmente, abbiamo per una struttura perfettamente conduttrice dal punto di vista magnetico:

PMP = parete magnetica perfetta

che il campo magnetico è diretto normalmente ad essa ed il campo elettrico tangenzialmente.

0:

HPMP τ =

0n

H

61

• Sia per le PEP che per le PMP, il vettore di Poynting è tangente alla superficie il flusso di potenza e.m. è nullo attraverso le pareti PEP e PMP, e tali

pareti manifestano dal lato energetico le stesse proprietà guidanti.

0:

0n

HPMP

Eτ =

= E

• Preciseremo ora quali sono, relativamente ai vari tipi di onda, le condizioni al contorno implicate dalla presenza di strutture guidanti di tipo PEP (analoghe considerazioni varrebbero nel caso duale di PMP).

• Ci riferiremo ad una guida d’onda a simmetria cilindrica, costituita da un supporto metallico ad altissima conducibilità (da noi supposta per semplicità infinita) con all’interno un dielettrico.

La sezione trasversale Sdella S

sq2 s0

62

• La trattazione per ricavare le condizioni al contorno sulle onde TE e TM rimarrà valida anche per strutture con sezione a connessione lineare non semplice (es. cavi coassiali, linee a striscia, ecc.), invece ciò non avverrà per le onde TEM.

La sezione trasversale Sdella guida è di forma qualsiasi ma sempre semplicemente connessa; il suo contorno s sarà costituito perciò da una sola linea chiusa.

S

q1

q2

z0

s0

n0

• Onde TE:

Per le onde TE, la condizione sul contorno s diventa:

(essendo sempre Ez=0)

e la condizione sul contorno s diventa:

(essendo Hzz0 sempre normale an0)

Queste due condizioni sono ridondanti. Infatti abbiamo:

0Eτ =

0 0te s⋅ =

0 0th n⋅ =

0nH =

00 02 0t t z

je s z h s

kωµ⋅ = − × ∇ ⋅ =

63

Poiché il prodotto scalare tra un gradiente di una funzione ed un versore fornisce la derivata della funzione secondo la direzione del versore, avremo:

Dall’altra condizione si giunge alle stesse conclusioni:

00 02

0 0 00 0

0

0 0

t t zt

t z t z t z

e s z h sk

z h s s z h n h

⋅ = − × ∇ ⋅ =

⇒ × ∇ ⋅ = × ⋅ ∇ = ⇒ ⋅ ∇ =

0zhn

∂ =∂

sul contorno s PEP

0 02 0 0z zt t z

t

k hh n h n

k n∂⋅ = ∇ ⋅ = ⇒ =∂

sul contorno s PEP

• Onde TM:

Per le onde TM, la condizione impone una condizione sia sulla componente trasversale che su quella longitudinale:

e

La condizione sul contorno s diventa:

Queste tre condizioni sono ridondanti. Infatti abbiamo:

0Eτ =

0 0te s⋅ =

0 0th n⋅ =0nH =

0 0z zk ee s e s

∂⋅ = ∇ ⋅ = ⇒ =

0 01 20 ( , ) ( ) 0 0z z h zE z e q q Z z z e= ⇒ = ⇒ = sul contornos

( ) 0hZ z =implicherebbe l’annullarsi di tut-to il campo TM

64

Ma la condizione già include la La condizione al contorno che una PEP impone sul campo TM è:

0 02

0 0 0 0 02 2

02

0 0

0 0

z zt t z

t

C Ct t z t z

t t

C zt z

t

k ee s e s

k s

j jh n z e n n z e

k k

j es e

k s

ωε ωε

ωε

∂⋅ = ∇ ⋅ = ⇒ =∂

⋅ = × ∇ ⋅ = × ⋅ ∇ =

∂= − ⋅ ∇ = ⇒ =∂

to il campo TM

0ze = 0zes

∂ =∂

0ze = sul contorno s PEP∈

• Onde TEM:

Per le onde TM, la condizione impone:

La condizione diventa:

Anche in questo caso le due condizioni sono ridondanti. Infatti si ha:

0Eτ =

0 0te s⋅ =

0 0th n⋅ =

0nH =

sul contornos

sul contornos

65

Anche in questo caso le due condizioni sono ridondanti. Infatti si ha:

Dunque per un’onda TEM la condizione al contorno imposta dalla PEP è:

0 0

0 0 0

0 0

0

t t

zt t

e s ss

kh n z n

j sωµ

∂Φ⋅ = −∇ Φ ⋅ = ⇒ =∂

∂Φ⋅ = − × ∇ Φ ⋅ ⇒ =∂

0s

∂Φ =∂

sul contorno s PEP∈

0s

∂Φ =∂

sul contorno s PEP• Dalla condizione

deriva cheΦ è costante sus.Essendo d’altra parte la Φ soluzione dell’equazione di Laplace, deve godere della tipica proprietà di assumere i valori massimi e minimi sulla frontiera del dominio di definizione. Nel nostro caso, Φ è definita su una generica sezione Sa connessione semplice avente come frontiera il bordo s, quindi la condizione trovata Φ =costante su s, implica che Φ sia costante su tutta la sezione trasversale S.

66

trasversale S.

• La Φ costante su tutta S, implica , da cui: et =0 e ht =0. Essendo già Ez=Hz=0, si vede che il campo e.m. TEM è sempre nullo:

in una guida d’onda PEP a sezione semplicemente connessa non possono propagarsi onde TEM

• In strutture guidanti aventi sezione a connessione multipla la condizione Φ costante sui bordi non implica che Φ sia costante su tutta Se quindi si possono avere campi TEM nel caso, ad esempio, del cavo coassiale o delle linee a striscia.

0t∇ Φ =

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Autovalori ed Autofunzioni

• Si è visto come in una guida d’onda ideale sia possibile ricavare l’espressione del campo TE o del campo TM attraverso la risoluzione di un’equazione differenziale alle derivate parziali, del secondo ordine, scalare, omogenea, del tipo:

in cui:

2 2t tT k T∇ =

67

in cui:

per le onde TE (1)per le onde TM (2)

• Per risolvere le equazioni (1) e (2) vanno imposte le condizioni al contornoper la guida, che nel caso di parete elettrica perfetta sono:

per le onde TE

per le onde TM.

2 2 2 2t z Ck k k ω µε= + = −

1 2( , )zT h q q=1 2( , )zT e q q=

2 2t z t zh k h⇒ ∇ =2 2t z t ze k e⇒ ∇ =

0zhn

∂ =∂

sul contorno s PEP

0ze =

sul contorno s PEP∈

• Le condizioni al contorno, in relazione alla particolare forma e dimensione della sezione della struttura guidante, determinano i valori di . In tutti i casi che ci interessano, può assumere una infinità numerabile di valori che vengono chiamati autovaloridell’equazione differenziale (1) o (2) (che viene infatti detta equazione differenziale agli autovalori).

• Per ogni autovalore si può ricavare la corrispondente soluzione Tche viene detta autofunzione (in genere determinata a meno di una costante

2tk

2tk

2tk

68

moltiplicativa, essendo l’equazione differenziale agli autovalori una equazione omogenea).

• A partire dall’autofunzione si può risalire all’espressione dell’intero campo e.m. con le note relazioni derivate dalle Equazioni di Maxwell. Il campo e.m. associato a ciascun autovalore viene detto modo di propagazione. Per quanto detto, in una guida d’onda PEP a simmetria cilindrica si ha un’infinità numerabile di modi TE e TM, mentre non esistono campi TEM.

2tk

• Dimostriamo il seguente teorema:

In una guida d’onda ideale (PEP) il generico per modi TE e TM è una quantità reale negativa.

In relazione al solito sistema di riferimento scriviamo il Lemma di Green in due dimensioni:

2tk

( ) ( )

( )

20

2

t t t t t tS s S

t t t

X Y dS X Y n ds X Y X Y dS

YX ds X Y X Y dS

n

+

∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ∇

∂⇒ = ∇ ⋅ ∇ + ∇

∫ ∫ ∫

∫ ∫

69

Caso di onde TM: Se poniamo e il Lemma di Green diviene:

Per le onde TM, dalle condizioni al contorno si ha su s, per cui l’integrale a primo membro è nullo.

( )t t ts Sn+ ∂∫ ∫

( )2zz t z t z z t z

s S

ee ds e e e e dS

n

∗∗ ∗

+

∂ = ∇ ⋅ ∇ + ∇∂∫ ∫

1 2( , )zX e q q= 1 2( , )zY e q q∗=

0ze =

( ) 22 2 0t z t z z t z t z z t zS S S

e e e e dS e dS e e dS∗ ∗ ∗⇒ ∇ ⋅ ∇ + ∇ = ∇ + ∇ =∫ ∫ ∫

Dall’equazione di Helmholtz si ha:

e quindi:

( ) ( )2 2 2 2 2 2t z t z t z t z t z t ze k e e k e e k e

∗ ∗ ∗∗ ∗∇ = ⇒ ∇ = ⇒ ∇ =

22 22 2

2

2

22

0 0t z z t zt zS S S S

t zS

z t

t t

z

e dS e dS e dS e dS

e dS

e

k e k

kd

kS

∗ ∗∗

∇ + = ⇒ ∇ +

=−∇

=

=

∫ ∫ ∫ ∫

70

Nell’espressione ottenuta per , l’integrale a denominatore fornisce un contributo certamente reale e positivo (se su tutta S, si avrebbe l’annullamento dell’intero campo e.m.).L’integrale a numeratore è anch’esso reale e positivo (se fosse su tutta S, cioè costante su S, ne deriverebbe - dovendo essere su s -che in ogni punto di S, col conseguente completo annullamento del campo e.m.).

2tk

zS∫

0ze =

0t ze∇ =ze 0ze =

0ze =

Quindi è reale negativo e coincide con il generico autovalore .2tk

∗ 2tk

Caso di onde TE:Se poniamo e il Lemma di Green diviene:

Dalle condizioni al contorno ( su s) e dall’equazione di Helmholtz ( ), ricaviamo:

1 2( , )zY h q q= 1 2( , )zX h q q∗=

( )∗ ∗ ∗

+

∂ = ∇ ⋅ ∇ + ∇∂∫ ∫

2zz t z t z z t z

s S

hh ds h h h h dS

n

0zhn

∂ =∂2 2

t z t zh k h∇ =

22

2

2 220 t t

t zS

t z zS S z

h dS

h dS h dSh

kS

kd

∇= ∇ + ⇒ = −

∫∫ ∫

71

zS∫

Nell’espressione ottenuta per , l’integrale a denominatore è reale e positivo (se su tutta S, si avrebbe l’annullamento dell’intero campo e.m.).L’integrale a numeratore è non negativo, potendosi avere su tutta S ,cioè costante (infatti ciò non è in contrasto con la condizione al contorno). In corrispondenza a questo caso si ha nullo. Ma costante su S dà luogo a campi in cui è presente la sola componente magnetica longitudinale: questa particolare soluzione TE è di scarso interesse pratico, perciò si può pensare di escludere le autofunzioni costanti. Allora risulterà ancora reale negativo.

2tk

0zh =0t zh∇ =

zh2tk zh

zh2tk

• Il risultato ottenutoper , con tutte le conseguenze che ne derivano, è valido solo nel caso di guide d’onda perfettamente conduttrici(g=∞, quando sono verificate le condizioni al contorno su s per le onde TE e

su s per le onde TM). Vedremo in seguito le modifiche relative a guide d’onda con g<∞ (guide d’onda con perditedovute alla conducibilità finita del mantello cilindrico).

• Il fatto che sia reale negativo implica notevoli proprietà:1) Le autofunzioni relative a diversi autovalori risultano ortogonali fra

2tk

/ 0zh n∂ ∂ =0ze =

2tk

72

loro, con importanti conseguenze dal punto di vista energetico.2) Le autofunzioni(determinate a meno di una costante moltiplicativa complessa) possono essere considerate sempre reali, senza perdita di generalità. 3) I modi TE e TM in una guida d’onda ideale sono onde piane non uniformi.

La prima proprietà verrà studiata meglio in seguito.Ora dimostriamo invece la seconda e la terza proprietà.

• Dimostrazione della seconda proprietà (autofunzioni considerabili sempre reali):

Per un’autofunzione T generalmente complessa si può scrivere: T=TR+jTJ con TR e TJ funzioni reali. L’equazione di Helmholtz diviene allora:

Poiché è reale, l’annullamento della parte reale e della parte immaginaria 2k

2 2t tT k T∇ =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0t R J t R J t R t R t J t JT jT k T jT T k T j T k T∇ + = + ⇒ ∇ − + ∇ − =

73

Poiché è reale, l’annullamento della parte reale e della parte immaginaria dell’espressione precedente implica:

e

Scomponendo anche le condizioni al contorno su T nelle componenti reale ed immaginaria, ci si può quindi ricondurre sempre alla soluzione dell’equazione di Helmholtz per funzioni reali, esprimendo le soluzioni generali come loro combinazione lineare a coefficienti generalmente complessi.

2tk

2 2t R t RT k T∇ = 2 2

t J t JT k T∇ =

• Dimostrazione della terza proprietà (i modi TE e TM in una guida d’onda ideale sono onde piane non uniformi):

Come abbiamo visto, sia nelle componenti trasversali (Et, Ht) che nelle componenti longitudinali (Ezz0, Hzz0) per una generica onda TE o TM, si ha sempre la presenza di un fattore relativo alla dipendenza trasversale -esprimibile in funzione di T(q1 , q2) - e di un fattore relativo alla dipendenza longitudinale - tramite la Z(z).Essendo T(q , q ) reale, la fase di ogni componente (collegata con la parte

74

Essendo T(q1 , q2) reale, la fase di ogni componente (collegata con la parte immaginaria) non varia con q1 , q2 mentre dipende solo daz. Quindi i piani equifase sono piani z=cost..Pertanto i modi TE e TM nelle guide d’onda ideali sono onde piane non uniformi.

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Autovalori ed Autofunzioni

• Si è visto come in una guida d’onda ideale sia possibile ricavare l’espressione del campo TE o del campo TM attraverso la risoluzione di un’equazione differenziale alle derivate parziali, del secondo ordine, scalare, omogenea, del tipo:

in cui:

2 2t tT k T∇ =

75

in cui:

per le onde TE (1)per le onde TM (2)

• Per risolvere le equazioni (1) e (2) vanno imposte le condizioni al contornoper la guida, che nel caso di parete elettrica perfetta sono:

per le onde TE

per le onde TM.

2 2 2 2t z Ck k k ω µε= + = −

1 2( , )zT h q q=1 2( , )zT e q q=

2 2t z t zh k h⇒ ∇ =2 2t z t ze k e⇒ ∇ =

0zhn

∂ =∂

0ze =

sul contorno s PEP∈

sul contorno s PEP∈

• Le condizioni al contorno, in relazione alla particolare forma e dimensione della sezione della struttura guidante, determinano i valori di . In tutti i casi che ci interessano, può assumere una infinità numerabile di valori che vengono chiamati autovaloridell’equazione differenziale (1) o (2) (che viene infatti detta equazione differenziale agli autovalori).

• Per ogni autovalore si può ricavare la corrispondente soluzione Tche viene detta autofunzione (in genere determinata a meno di una costante

2tk

2tk

2tk

76

moltiplicativa, essendo l’equazione differenziale agli autovalori una equazione omogenea).

• A partire dall’autofunzione si può risalire all’espressione dell’intero campo e.m. con le note relazioni derivate dalle Equazioni di Maxwell. Il campo e.m. associato a ciascun autovalore viene detto modo di propagazione. Per quanto detto, in una guida d’onda PEP a simmetria cilindrica si ha un’infinità numerabile di modi TE e TM, mentre non esistono campi TEM.

2tk

• Dimostriamo il seguente teorema:

In una guida d’onda ideale (PEP) il generico per modi TE e TM è una quantità reale negativa.

In relazione al solito sistema di riferimento scriviamo il Lemma di Green in due dimensioni:

2tk

( ) ( )

( )

20

2

t t t t t tS s S

t t t

X Y dS X Y n ds X Y X Y dS

YX ds X Y X Y dS

n

+

∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ∇

∂⇒ = ∇ ⋅ ∇ + ∇

∫ ∫ ∫

∫ ∫

77

Caso di onde TM: Se poniamo e il Lemma di Green diviene:

Per le onde TM, dalle condizioni al contorno si ha su s, per cui l’integrale a primo membro è nullo.

( )t t ts Sn+ ∂∫ ∫

( )2zz t z t z z t z

s S

ee ds e e e e dS

n

∗∗ ∗

+

∂ = ∇ ⋅ ∇ + ∇∂∫ ∫

1 2( , )zX e q q= 1 2( , )zY e q q∗=

0ze =

( ) 22 2 0t z t z z t z t z z t zS S S

e e e e dS e dS e e dS∗ ∗ ∗⇒ ∇ ⋅ ∇ + ∇ = ∇ + ∇ =∫ ∫ ∫

Dall’equazione di Helmholtz si ha:

e quindi:

( ) ( )2 2 2 2 2 2t z t z t z t z t z t ze k e e k e e k e

∗ ∗ ∗∗ ∗∇ = ⇒ ∇ = ⇒ ∇ =

22 22 2

2

2

22

0 0t z z t zt zS S S S

t zS

z t

t t

z

e dS e dS e dS e dS

e dS

e

k e k

kd

kS

∗ ∗∗

∇ + = ⇒ ∇ +

=−∇

=

=

∫ ∫ ∫ ∫

78

Nell’espressione ottenuta per , l’integrale a denominatore fornisce un contributo certamente reale e positivo (se su tutta S, si avrebbe l’annullamento dell’intero campo e.m.).L’integrale a numeratore è anch’esso reale e positivo (se fosse su tutta S, cioè costante su S, ne deriverebbe - dovendo essere su s -che in ogni punto di S, col conseguente completo annullamento del campo e.m.).

2tk

zS∫

0ze =

0t ze∇ =ze 0ze =

0ze =

Quindi è reale negativo e coincide con il generico autovalore .2tk

∗ 2tk

Caso di onde TE:Se poniamo e il Lemma di Green diviene:

Dalle condizioni al contorno ( su s) e dall’equazione di Helmholtz ( ), ricaviamo:

1 2( , )zY h q q= 1 2( , )zX h q q∗=

( )2zz t z t z z t z

s S

hh ds h h h h dS

n∗ ∗ ∗

+

∂ = ∇ ⋅ ∇ + ∇∂∫ ∫

0zhn

∂ =∂2 2

t z t zh k h∇ =

22

2

2 220 t t

t zS

t z zS S z

h dS

h dS h dSh

kS

kd

∇= ∇ + ⇒ = −

∫∫ ∫

79

zS∫

Nell’espressione ottenuta per , l’integrale a denominatore è reale e positivo (se su tutta S, si avrebbe l’annullamento dell’intero campo e.m.).L’integrale a numeratore è non negativo, potendosi avere su tutta S ,cioè costante (infatti ciò non è in contrasto con la condizione al contorno). In corrispondenza a questo caso si ha nullo. Ma costante su S dà luogo a campi in cui è presente la sola componente magnetica longitudinale: questa particolare soluzione TE è di scarso interesse pratico, perciò si può pensare di escludere le autofunzioni costanti. Allora risulterà ancora reale negativo.

2tk

0zh =0t zh∇ =

zh2tk zh

zh2tk

• Il risultato ottenutoper , con tutte le conseguenze che ne derivano, è valido solo nel caso di guide d’onda perfettamente conduttrici(g=∞, quando sono verificate le condizioni al contorno su s per le onde TE e

su s per le onde TM). Vedremo in seguito le modifiche relative a guide d’onda con g<∞ (guide d’onda con perditedovute alla conducibilità finita del mantello cilindrico).

• Il fatto che sia reale negativo implica notevoli proprietà:1) Le autofunzioni relative a diversi autovalori risultano ortogonali fra

2tk

/ 0zh n∂ ∂ =0ze =

2tk

80

loro, con importanti conseguenze dal punto di vista energetico.2) Le autofunzioni(determinate a meno di una costante moltiplicativa complessa) possono essere considerate sempre reali, senza perdita di generalità. 3) I modi TE e TM in una guida d’onda ideale sono onde piane non uniformi.

La prima proprietà verrà studiata meglio in seguito.Ora dimostriamo invece la seconda e la terza proprietà.

• Dimostrazione della seconda proprietà (autofunzioni considerabili sempre reali):

Per un’autofunzione T generalmente complessa si può scrivere: T=TR+jTJ con TR e TJ funzioni reali. L’equazione di Helmholtz diviene allora:

Poiché è reale, l’annullamento della parte reale e della parte immaginaria 2k

2 2t tT k T∇ =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0t R J t R J t R t R t J t JT jT k T jT T k T j T k T∇ + = + ⇒ ∇ − + ∇ − =

81

Poiché è reale, l’annullamento della parte reale e della parte immaginaria dell’espressione precedente implica:

e

Scomponendo anche le condizioni al contorno su T nelle componenti reale ed immaginaria, ci si può quindi ricondurre sempre alla soluzione dell’equazione di Helmholtz per funzioni reali, esprimendo le soluzioni generali come loro combinazione lineare a coefficienti generalmente complessi.

2tk

2 2t R t RT k T∇ = 2 2

t J t JT k T∇ =

• Dimostrazione della terza proprietà (i modi TE e TM in una guida d’onda ideale sono onde piane non uniformi):

Come abbiamo visto, sia nelle componenti trasversali (Et, Ht) che nelle componenti longitudinali (Ezz0, Hzz0) per una generica onda TE o TM, si ha sempre la presenza di un fattore relativo alla dipendenza trasversale -esprimibile in funzione di T(q1 , q2) - e di un fattore relativo alla dipendenza longitudinale - tramite la Z(z).Essendo T(q , q ) reale, la fase di ogni componente (collegata con la parte

82

Essendo T(q1 , q2) reale, la fase di ogni componente (collegata con la parte immaginaria) non varia con q1 , q2 mentre dipende solo daz. Quindi i piani equifase sono piani z=cost..Pertanto i modi TE e TM nelle guide d’onda ideali sono onde piane non uniformi.

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Dipendenza longitudinale dei campi TE e TM

• La dipendenza longitudinale dei campi TE e TM in guida d’onda ideale è collegata con la costante kz infatti si era posto genericamente:

Il primo termine rappresenta un’onda riflessa, il secondo un’onda diretta.Ricordiamo anche che: per Ze(z) si ha C1=P1 e C2=P2;

per Z (z) si ha C=-P e C=P .

1 2( ) z zk z k zZ z C e C e −= +

83

per Zh(z) si ha C1=-P1 e C2=P2.

• kz è legato a k2 e kt2 dalla relazione di separabilità:

per cui si ha che kz è in genere una quantità complessa:

2 2 2 2t z Ck k k ω µε= + = −

( )2 2tz z zk k jk α β= ± − = ± +

Re( )z zkα =Im( )z zkβ =

• Dall’espressione di Z(z) si può notare che αz indica una sua variazione dell’ampiezzamentre βz indica una sua variazione della fase, al variare della coordinata longitudinale z.

• Riferiamoci ora a guide di tipo PEP nel cui interno vi sia un dielettrico non dissipativo, avente cioè conducibilità nulla (es.:aria “secca”): εc= ε , per cui k2=-ω2 µε è reale non positivo (in genere supporremocomunque di non essere in un caso statico, cioè ω≠0 ; inoltre riterremo il mezzo non dispersivo, per cui ε e µ non dipendono da ω).

84

• Con questa ipotesi fondamentale, kz risulta dato dalla radice quadrata della differenza tra due quantità negative e pertanto è o reale o immaginario puro. Scegliendo la determinazione positiva per la radice:

2 2z tk kω µε= ± − − =

zk

0zk =

zk

reale = 0,zα > se 2 2tk k>

se 2 2tk k=

immaginario = ,zj β se 2 2tk k<

• Quando (cioè ) si ha reale (positivo) e l’onda ha una dipendenza da z del tipo:

Se c’è solo l’onda diretta, il campo ha fase costante e si attenua in ampiezza al crescere di z.

• Quando (cioè ) si ha immaginario puro (con ) e l’onda ha una dipendenza da zdel tipo:

0zβ >

zk2 2tkω µε <2 2

tk k>

2 2tk k<

1 2( ) z zz zZ z C e C eα α−= +

2 2tkω µε > zk

( ) j z j zZ z C e C eβ β−= +

85

Se c’è solo l’onda diretta, il campo si propaga nel verso delle z positive senza attenuazione (ampiezza costante, fase variabile con z).

• Quando (cioè ) si ha nullo: questo è il caso che separa le due situazioni, così diverse dal punto di vista fisico, di onda che si attenua in ampiezza e onda che si propaga senza attenuazione al crescere di z. Quando è nullo, l’onda non dipende più dalla coordinata longitudinale, avendosi Z(z)costante in modulo e fase.

1 2( ) z zj z j zZ z C e C eβ β−= +

2 2tk k= 2 2

tkω µε = zk

zk

• Noto (determinato dalle condizioni al contorno e da forma e dimensioni della guida) si può risalire al valore della pulsazione ωc per cui :

• La frequenza corrispondente a ωc, cioè fc= ω c/2π, prende il nome di frequenza di taglioo frequenza di cut-off, relativa ad un certo modo di propagazione nella guida, determinato dal corrispondente autovalore .

2tk

ω µε ωµε

−− = ⇒ = >2

2 2 0tc t c

kk reale

0zk =

2tk

86

• Per frequenze superiori a quella di taglio l’onda si propaga senza attenuarsi:

Per frequenze inferiori a quella di taglio l’onda si attenua al crescere di z:

La guida d’onda ideale si comporta come un filtro passa-alto per i campi TE e TM.

t

2 2 2 2c t ck kω ω ω µε ω µε> ⇒ = > =

2 2 2 2c t ck kω ω ω µε ω µε< ⇒ = < =

• Si può esprimere in funzione di ωc:

• risulta essere funzione:- del mezzo tramite µ e ω- della particolare struttura guidante tramite ovvero ωc

- della frequenza, al variare della quale si ha, come visto:

zk

zk

tk

per : e Re( )z zk α= Im( ) 0zk =0 cω ω< <

22

22 2 2 2( 1 / ) 1c

z c ck ω µε ω µε ω µε ω µ ωω µεω

ε ω= − + = − = −+

87

• Esaminiamo in dettaglio l’andamento di in funzione di ω, studiando la parte reale e la parte immaginaria.Parte reale di :E’ nulla per . Per si ha:

zk = per : e Re( ) 0zk = Im( ) 0zk =cω ω=

per : e Re( ) 0zk = Im( )z zk β=cω ω>

zk

zk

cω ω≥ 0 cω ω< <2

21c

z

ωα ω µεω

= −

e quindi:

Parte immaginaria di :

( )2 2

2 2 22 2

1zz c

cc

α ωα ω µε ω µεωω µε

= − + ⇒ + =

2 cω2 cω µε

Re( )zk

ω( ,0)cω

(0, )cω µε

zk 2ω

che è l’equazione canonica di un’ellisse avente asse maggiore (passante per i fuochi) di lunghezza , asse minore di lunghezza , e centro nell’origine delle coordinate.

88

Parte immaginaria di :E’ nulla per . Per si ha: e quindi:

zkω ω> c0 cω ω< ≤

2

21 czj j

ωβ ω µεω

= −

( )2 2

2 2 222

1zz c

cc

ω ββ ω µε ω µεω ω µε

= − ⇒ − =

zβ ω µε= ±

che è l’equazione canonica di un’iperbole avente asse focale che coincide con quel-lo delle ω (con l’origine equidistante dai due fuochi); gli asintoti hanno equazio-ne:

Im( )zk

ω( ,0)cω

zβ ω µε= ±

• Per frequenze molto alte la costante di fase in propagazione guidata tende a quella nello spazio libero(come si vede dal grafico della parte immaginaria di ). Ciò si può spiegare intuitivamente considerando che per frequenze molto alte le lunghezze d’onda sono molto piccole rispetto alle dimensioni della guida, che ai fini della propagazione non differisce più molto dal comportamento dello spazio libero.

• Ad una frequenza di lavoro fL, i modi aventi fc > fL si attenuano esponenzialmente con z, mentre i modi aventi fc < fL si propagano senza attenuazione lungo la guida.

zk

zk

89

attenuazione lungo la guida.

• Il modo avente frequenza di taglio più bassa (corrispondente al valore minimo di ) viene detto modo dominante.

• Ai fini di un efficace trasporto di energia in una guida, conviene che questa sia legata alla propagazione di un solo modo: la banda in cui si lavora è quindi compresa fra la frequenza di taglio del modo dominante e quella del modo immediatamente superiore (al di fuori di questa banda si avrebbe infatti o assenza di propagazione o propagazione anche di altri modi).

2tk

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Velocità di fase• In regime armonico, supponendo che sia presente la sola onda diretta (guida adattata), una qualsiasi componente del campo TE o TM ha un’espressione spazio-temporale del tipo:

La fase dell’onda è legata al termine esponenziale immaginario:

α βω ω−− − = = (

2 1 1 22)

1 Re( , , , ) Re ( , ( )) , z zz z j tk z j t zCf q q e eA q q z t Cf q q e e

ω βΦ = −( , )t z t z

90

Per un osservatore che si muove senza notare variazione di fase:

ω βΦ = −( , ) zt z t z

ωβ

ω βωµεω

Φ = − = ⇒ = = = −

2

1( , ) 0

1

zz

c

z

dzd t z dt dz

dtu

velocità di fase

zu

ω( ,0)cω

(0, )c

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Velocità dell’energia

ωj te• In regime armonico monocromatico (dipendenza temporale del tipo ), il valor medio della densità di energia e.m. (energia per unità di volume) è:

• Il vettore di Poynting è:

( )ε µ∗ ∗= + = ⋅ + ⋅1 2

1( , , )

4E HW q q z W W E E H H − ⋅ 3J m

91

• Il vettore di Poynting è:

• La potenza media (energia media nell’unità di tempo) che attraversa la sezione Sdella guida è la parte reale del flusso del vettore di Poynting su S:

∗= ×12

P E H − ⋅ 2W m

( )∗= × ⋅∫ 0

1Re

2zS

P E H z dS [ ]W

• Nel tempo infinitesimo dt l’energia immagazzinata nel volume di base Se altezza dzè:

avendo posto: , energia per unità di lunghezza.

Si definisce velocità dell’energiala quantità:

= ∫zS

W W dS − ⋅ 1J m

τ

τ= = = ⋅ =∫ ∫z z zS

dE P dt Wd W dS dz W dz [ ]J

1

92

Questa espressione del tutto generale si semplifica per i modi TE e TM, assumendo nei due casi lo stesso valore (che come vedremo viene a coincidere con quello della velocità di gruppo).

( )ε µ

∗ ∗

× ⋅= = =

⋅ + ⋅

0

1Re

214

SzW

z

S

E H z dSdz P

udt W E E H H dS

− ⋅ 1m s

• Modi TM :Quando si propaga la sola onda diretta, in completa assenza di perdite, si ha:

Per il calcolo di Pz si ha che:

il secondo addendo rappresenta un vettore giacente sul piano trasversale ed è

∗ ∗ ∗× = × + ×0t t tzE H E H E z H

β β

β

− −

= + = +

= =0 02 2

2

z z

z

j z j zt tz z

j zt t

E E z E P e e P e e z

H H P e h

93

il secondo addendo rappresenta un vettore giacente sul piano trasversale ed è pertanto ininfluente ai fini del valore del flusso secondo :

Si era ricavato:

0z

∗ ∗= × ⋅ = ⋅ ×∫ ∫0 0

1 1Re Re

2 2t t t tzS S

P E H z dS E H z dS

( )ωε

ωεβ

∗∗+

+

∗ ∗

= × = × ⇒ × =

⇒ × =

( )0 0 0 ( )

0

1zt t t t tTM

C TM

t tz

kE Z H z H z H z E

j Z

H z E

Allora per Pz si ha:

Per il calcolo di Wz si ha:

ωε ωεβ β

∗ ∗= ⋅ × = =∫ ∫ ∫2 2

0 2 2

1Re

2 2 2t t t tzz zS S S

P E H z dS E dS P P e dS

( )µ µ µ∗

+⋅ = = =∫ ∫ ∫

22

2( )

1 1 14 4 4

tt

S S S TM

EH H dS H dS dS

Z

94

e

( )ω µε ω µε

β β∗= =∫ ∫

2 2 2 2 2

2 2

2

2 24 4

S S S TM

t

S z z

tS

Z

P eS PE d dS

( ) ε εε ε ∗ ∗∗⋅ = += +∫ ∫ ∫ ∫2 2 2

2 2 2 2

21 14 4 4 4t z

S St z

S S

E E dS P P e dS P P eE E dS dS

L’integrale in cui compare può essere espresso in funzione di , infatti si era trovato:

pertanto:

ze te

∇= −∫

2

22

t zS

zS

t

e dS

e dSk

= −∇∫

∫2

2

2

t zS

z

e dS

dk

e S

95

Dall’espressione dei campi TM si ha:

e quindi:

∫ 2S tk

β= ∇ ⇒ ∇ =

2

2tz

t tt z t zzt

kke e e e

jk

∗ ∗= −∫ ∫22 2

2 2 2 224 4 tt

zzS S

P P e dS P P ek

dSβεε

Tutto il contributo a Wz dell’energia elettrica può allora riscriversi come:

Si vede quindi che la densità di energia elettrica media immagazzinata è uguale a quella magnetica. Ciò poteva dedursi anche con semplici considerazioni sul Teorema di Poynting complesso (potenza reattiva nulla in una guida senza perdite).

∗ ∗ ∗ ⋅ −

==

∫ ∫∫

2 2

2 2 2

2

2

2 2

2 2

11

4 4 4t tz zS

t

S S

P P e dS P P e dk

E E dS Sε ωε

βµε

β

96

Possiamo finalmente ricavare il valore della velocità dell’energia per i modi TM:

∗= = =

∫2

2

2 2

2

2 22

2

2

2

tz S

t

z

z

zW

z S

P P e dS

P P

Pu

We dS

ωεβ

ω µεβ

βωµε

La velocità dell’energia può essere equivalentemente espressa in funzione di altre tipiche grandezze già note, ad esempio:

La velocità dell’energia, che è una velocità fisica, risulta sempre minore di quella della luce nel mezzo c.

+ = = = = = −

( ) 22

1T z cW

z

Mz Z ck

cu c

uβ ω

ωµβ

ωµε

97

zu

ω( ,0)cω

(0, )c

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidanti

Velocità di gruppo• Le definizioni e le proprietà della velocità di fase e della velocità dell’energia, introdotte in precedenza, sono relative ad onde e.m. di tipo monocromatico che si propagano in guide d’onda ideali.

• Un fenomeno che ha dipendenza temporale di tipo puramente sinusoidale, però, rappresenta un segnalenon avente alcun contenuto informativo. Si ha un segnale utile solo se la grandezza sinusoidale è soggetta ad una modulazione.

98

segnale utile solo se la grandezza sinusoidale è soggetta ad una modulazione.

• In maniera del tutto generale dovremo riferirci ad un segnale in cui siano presenti più frequenze contemporaneamente. In particolare dovremo esaminare come si propaga in guida un campo e.m. che occupa una certa banda di frequenzein relazione al suo spettro.

• Vedremo che un segnale avente uno spettro di frequenze molto stretto non viene distortonella trasmissione lungo la guida (canale perfetto), propagandosi con una certa velocità che sarà definita velocità di gruppo.

• In effetti possono considerarsi non distorti quei segnali composti da uno strettissimo spettro di frequenze(in cui può essere sostituito con buona approssimazione dal relativo sviluppo di Taylor del primo ordine), ovvero quelli aventi frequenze molto elevate(zona in cui tende asintoticamente alla retta dipendenza lineare da ω).

• Consideriamo ora un caso particolarmente significativo, come esempio di quanto detto: la propagazione in guida di un segnale con dipendenza temporale del tipo

β ω( )z

β ω( )z

ω µε

ω= 0( ) ( )cosf t m t t

99

dove m(t) è una funzione avente una banda in frequenza compresa fra -fm e +f m

(-ωm/2π e +ωm /2π) chemodula un segnale armonico con frequenza portante f0ed è collegato al contenuto informativo. Si ha: f0 fm. Nell’ipotesi semplificativa di m(t) reale pari, la M(ω) viene considerata reale. M(ω)

ω-ωm 0 ωm

• Lo spettro di frequenze di cos(ωmt) è costituito da due impulsi di area 1/2 centrati in ω=+ ω0 e ω=-ω0 cioè:

(essendo anche cos(ωmt) reale pari, la sua Trasformata di Fourier è reale)

ω-ω0 0 ω0

[ ]0 0 0

1cos( ) ( ) ( )

2tω δ ω ω δ ω ωℑ = − + +

0cos( )tωℑ

1/2

100

• Esprimendo il coseno in forma esponenziale ed applicando la proprietà di traslazione in frequenza della Trasformata di Fourier, possiamo ottenere lo spettro in ω di f(t):

ω-ω0 0 ω0

[ ]

0 0

0 0

0

( ) ( )0 0

( ) ( ) ( )cos( ) ( )2

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

j t j tj t j t

j t j t

e eF f t m t t e dt m t e dt

m t e dt m t e dt M M

ω ωω ω

ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

+∞ +∞ −− −

−∞ −∞+∞ +∞

− − − +

−∞ −∞

+= ℑ = = =

= + = − + +

∫ ∫

∫ ∫

Il segnale f(t) è limitato in banda con banda ωm/2π centrata in ω0/2π :

•:Antitrasformando si ottiene il segnale di uscita f0(t):

ω-ω0 0 ω0

0( ) ( )cos( )F m t tω ω= ℑ

ω0-ωm ω0+ωm-ω0-ωm ωm-ω0

101

•:Antitrasformando si ottiene il segnale di uscita f0(t):

avendo sfruttato il fatto che F0(ω) ha parte reale pari e parte immaginaria dispari (essendo l’uscita f0(t) un segnale reale), e che F(ω) risulta (per frequenze positive) non nullo solo nella banda (ω0-ωm , ω0+ωm).

0

0

( )0 0 0

0

( )0

1 1 1( ) ( ) 2Re ( )

2 2 2

1Re ( )

2

z

m

z

m

j lj t j t

j t j l

f t F e d M e e d

M e d

β ωω ω

ω ωω β ω

ω ω

ω ω ω ω ωπ π

ω ω ωπ

+∞ +∞−

−∞

+−

= = − =

= −

∫ ∫

• Nell’ipotesi che la banda del segnale sia molto stretta (ω0 ωm),può essere approssimato con i primi termini dello sviluppo in serie di Taylor intorno a ω0; in particolare, in relazione anche al comportamento dialle frequenze molto elevate, si può pensare di arrestare lo sviluppo al termine di primo grado:

( ) ( )ω ω

β ωβ ω β ω ω ω β ω β ω ω ωω =

≅ + − = + −0

0 0 0 0 0

( )( ) ( ) ( ) ( )Iz

z z z z

dd

β ω( )z

β ω( )z

0

0 0 0 0( '( ) ) ( ) '( )1( ) Re ( )

m

z z zj t l j l j lf t M e e dω ω

ω β ω β ω β ω ωω ω ω+

− − +

⇒ = − = ∫

102

0 0 0 0

0

0

0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0

0 0

( ) '( ) ( )( '( ) ) ( '( ) )0

( ) '( ) 1

( ) Re ( )2

1Re ( )

2

Re

z z z

m

m

z z z z

m

z z

j l j l j t l j t l

j l j l

f t M e e d

e M e e d

e M

ω ω

ω ωβ ω β ω ω ω ω β ω ω β ω

ω ω

β ω β ω ω

ω ω ωπ

ω ω ωπ

+− + − − −

− + −

⇒ = − =

= − =

= ℑ

0 0 0

0 0 0 0 0

'( ) ( '( ) )

( ) '( ) ( '( ) )0

0 0 0

( )

Re ( '( ) )

( '( ) )cos( ( ) )

z z

z z z

j l j t l

j l j l j t lz

z z

e e

e m t l e

m t l t l

β ω ω β ω

β ω β ω ω ω β ω

ω

β ω

β ω ω β ω

− −

− + −

=

= − =

= − −

• Il segnale modulante m(t) viene riprodotto all’uscita della guida lunga l senza distorsioni, con un tempo di ritardo e senza attenuazione in modulo essendo la struttura dalle caratteristiche ideali. Si ha inoltre uno sfasamento nel termine armonico.

• Il contenuto informativo, collegato a m(t), avendo percorso una distanza l, giunge dopo un tempo . Può allora definirsi la velocità di gruppo, ovvero la velocità di propagazione del segnale m(t), come segue:

0 0 0 0( ) ( '( ) )cos( ( ) )z zf t m t l t lβ ω ω β ω= − −

0'( )z lτ β ω=

0'( )z lτ β ω=

103

ovvero la velocità di propagazione del segnale m(t), come segue:

o in funzione di un qualsiasi pulsazione:

0 0

1

'( ) '( )gz z

lu

lβ ω β ω= =

11

2 2

2 2

1 21z zcg

c

d cu

d

dd c c

ωω βωω ωωω ω

β −−− = − = =

= −

2

g Wz

cu u

u= =

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiAttenuazione

• Finora ci si è sempre riferiti a strutture guidanti dalle caratteristiche ideali: mantello metallico perfettamente conduttore (g=∞) e dielettrico interno non dissipativo (g=0).

• Una struttura guidante reale avrà un mantello con conducibilità finitaed un dielettrico interno con conducibilità non nulla.

104

dielettrico interno con conducibilità non nulla.

• Volendo studiare la propagazione e.m. in guide d’onda reali, sarà necessario modificare opportunamente quelle relazioni che dipendono dalle caratteristiche proprie della struttura.

• Ci riferiremo ad una guida d’onda a simmetria cilindrica di sezione generica, avente il mantello metallico costituito da un buon conduttoredi un determinato spessore, ed il mezzo trasmissivo costituito da un buon dielettrico.

• Distinzione tra mezzi buoni conduttori e mezzi buoni dielettrici :

Nello spazio esterno alle sorgenti:

Un mezzo per cui risulta si dice buon dielettrico: in esso prevale largamente la corrente di spostamento su quella di conduzione.Un mezzo per cui risulta si dice buon conduttore: in esso la corrente di conduzione è molto superiore a quella di spostamento.

Si vede che la proprietà di un mezzo di essere buon dielettrico o buon

CH j E j E gEωε ωε∇ × = = +

contributo della densità di corrente di spostamento

contributo della densità di corrente di conduzione

gωε >>

gωε <<

105

Si vede che la proprietà di un mezzo di essere buon dielettrico o buon conduttore dipende dalla frequenza di lavoro. Nel campo di frequenze tipiche delle microonde, la classificazione non fornisce tuttavia mai situazioni controverse: - la conducibilità è in genere o altissima o bassissima nei materiali:

buoni conduttori: g ~ 107 buoni dielettrici: g ~ 10-10 - 10-17

- ε ~ 10 -17

- ωε ~ 10 8 - 10 10 ~ 10-7 - 10-9

Si vede perciò che le conducibilità g sono sempre molto diverse in valore dalla gamma possibile degli ωε.

• In genere nelle guide d’onda reali si ha dissipazione di potenza reale a causa delle perdite per effetto Joule sia nel metallo che nel dielettrico.

è presente un termine reale αz nell’espressione della costante di propagazione kz.

• Perdite dovute al dielettrico dissipativo:

Nel caso di pareti metalliche perfettamente conduttrici, se il dielettrico è non dissipativo:

ed al variare di ω può risultare o puramente immaginario (propagazione) o

2 2z tk kω µε= ± − −

106

ed al variare di ω può risultare o puramente immaginario (propagazione) o puramente reale (attenuazione), rimanendo così definita la frequenza di cut-off di ogni modo.

Se invece il dielettrico è dissipativo:

risulta complesso. Se le dissipazioni sono piccole, il caso reale non si discosta troppo da quello ideale, a patto di trovarsi lontano dalla frequenza di cut-off:

per per

2 2 2 2z c t t z zk k j g k jω µε ω µε ωµ α β= ± − − = ± − + − = +

cω ω>> cω ω<<z zk j β⇒ ≅ z zk α⇒ ≅

Per , ha una parte reale ed una immaginaria dello stesso ordine di grandezza. Questa diversità dal caso ideale ha soprattutto carattere teorico, infatti nella pratica, per dissipazioni piccole, quando , risulta molto piccolo in modulo e può essere considerato nullo (ancora come nel caso ideale).• In genere il contributo maggiore alle perdite è fornito dal fatto che la conducibilità del mantello metallico non è infinita, giacché è possibile avere, nella pratica, dielettrici tali da poter essere considerati con buona approssimazione ideali.

zkcω ω≅

zkcω ω≅

107

• Perdite dovute alla conducibilità non infinita del mantello metallico:

Nell’attraversare una superficie di discontinuità, la componente tangenziale diH subisce una variazione uguale alla densità lineare di corrente JS (corrente superficiale) che scorre sulla superficie stessa:Per ciò che riguarda la propagazione in guida, la corrente superficiale scorre sulla superficie metallica, e se il metallo ha conducibilità finita provoca una dissipazione di energia per effetto Joule.Ai fini della propagazione avremo un’attenuazione lungo l’asse z e quindi una parte reale di non nulla.

( )0 2 1 Sn H H J× − =

zk

In altri termini, il campo elettrico tangenziale non è più nullo ma deve soddisfare la condizione di Leontovic:

τ τ τ τµ ωµε ωε

= × = × = × =+0 0 0m

c

jE Z H n H n H n

j g

condizione diLeontovičτ τ

ωµ ωµ× = + ×≃ 0 0

jH n (1 j) H n

g 2g

108

E’ ben noto che , perciò, facendo uso della condizione di

Leontovič, si deduce che il vettore di Poynting ha una componente diretta normalmente al conduttore, cui corrisponde un flusso di potenza attraverso il metallo, in cui si dissipa per effetto Joule in un certo spessore della guida.

12

P E H ∗= ×

Consideriamo un tratto di guida lungo dz, compreso tra ze z+dz.La potenza media che transita attraverso la sezione di superficie S, alla generica z, è la parte reale del flusso del vettore di Poynting attraverso S:

In prima approssimazione in z+dzsi ha:

Nel caso di propagazione secondo le z positive, la potenza in z+dzrisulterà, a causa delle dissipazioni, minore di quella in z, per cui dP(z)sarà negativa.

[ ]W0

1( ) Re

2S

P z E H z dS∗= × ⋅∫

( ) ( ) ( )P z dz P z dP z+ = +

109

dP(z)rappresenta, cambiata di segno, la potenza che si dissipa in un tratto di guida lungo dz. La potenza dissipata per unità di lunghezzaè quindi:

Analizzeremo ora il valore di queste grandezze nell’ipotesi semplificatrice di sola onda progressiva:

essendo genericamente presente una attenuazione αz da determinare.

( ) ( ) ( )( )d

P z dz P zd

PP

dzzd z

z −+ −= − = 1[ ]W m −⋅

2 2( ) ( ) ( ) z z zk z z j ze hZ z Z z Z z P e P e eα β− − −= = = =

In tale ipotesi il campo e.m. trasverso può esprimersi come segue:

I campi trasversi sono legati tra loro tramite le impedenze d’onda:

Le precedenti relazioni possono compattarsi per un generico campo (TE o

( )( ) ( ) 0 ( ) 0

( )( ) ( ) 0 ( ) 0

t TE t TE t TETEz

zt TM t TM t TMTM

c

jE H z Z H z

k

kE H z Z H z

j

ωµ

ωε

+

+

= × = ×

= × = ×

( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,t tE q q z e q q Z z= ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,t tH q q z h q q Z z=

110

Le precedenti relazioni possono compattarsi per un generico campo (TE o TM) della guida d’onda: dove con Zw si è indicata l’impedenza d’onda.

0t twE Z H z= ×

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

0 0 0 0

0 0 0 0

( )

1R

1 1Re Re

2 2

1 1Re Re

e2

2 2

t tz zS S

t t t tw wS S

t twS

E H z dS E z E H z H z dS

Z H

P z

z H z dS Z H z H z dS

Z H H dS

∗∗

∗ ∗

⇒ = × ⋅ = + × + ⋅ =

= + × ⋅ = × ⋅ ×

=

=

∫ ∫

∫ ∫

( )1( ) Re

2 t twS

P z Y E E dS∗∗= ⋅∫

Analogamente si può esprimere P(z) in funzione del solo campo elettrico trasverso:

Ora esplicitiamo la dipendenza longitudinale della P(z):

( ) ( )

( )

2 2

( ) ( )2 2

1 1( ) Re Re

2 2

1Re

2

z z

z z z z

k z k zt t t tw w

S S

j z j zt tw

P z Z H H dS Z h P e h P e dS

Z P P e e h h dSα β α β

∗∗ ∗− −∗

∗− + − −∗

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ =

∫ ∫

111

La potenza dissipata nella guida per unità di lunghezza diventa:

e quindi:

( ) 22 2

2

1Re

2z

S

zt tw

S

Z P P e h h dSα ∗−∗= ⋅

( )( ) 2 ( )d z

dP zd

P z P zz

α−= =

( )12 ( )

dz

P zP z

α =

La costante αz di attenuazione ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza. Per la misura di αz si introducono spesso le unità logaritmiche.

Abbiamo già calcolato la forma assunta in genere dalla P(z), esprimiamo ora anche la Pd(z) in funzione del campo e.m.La potenza dissipata in un tratto di guida di sezione Se di lunghezza dz, è la parte reale del flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie laterale di area data dalla lunghezza di smoltiplicata per dz(il cui elemento infinitesimo è dato da dsdz):

1( ) ( ) ( ) ReP z dz P z P z dz E H n dsdz∗= − + = × ⋅∫

112

Le componenti del campo e.m. capaci di fornire un contributo non nullo per il flusso attraverso s lungo n0, sono solo quelle tangenti al mantello metallico:

0

0

1( ) ( ) ( ) Re

2

1( ) Re

2

ds

ds

P z dz P z P z dz E H n dsdz

P z E H n ds

= − + = × ⋅

⇒ = × ⋅

0

1( ) Re

2ds

P z E H n dsτ τ∗

⇒ = × ⋅∫

La condizione di Leontovič ci permette di esprimere la Pd(z) in funzione del solo campo magnetico tangenziale :

Per αz si ottiene allora:

0 0 0

1 1Re Re ( )

2 2( )

12 2

ms s

d

s

E H n ds Z H nP z

H H

H n ds

dsg

τ τ τ τ

τ τωµ

∗ ∗

= × ⋅ = ×

× ⋅ =

=

∫ ∫

ωµ

H τ

113

Per calcolare αz con l’espressione appena ricavata, è necessario conoscere il valore effettivo del campo e.m. in ogni punto della guida reale. Questa determinazione è generalmente assai difficile dal punto di vista analitico: a tal fine si dovrebbero infatti modificare le condizioni al contorno già considerate nel caso di struttura ideale.

( )τ τ

ωµ

α

⋅= =

t t

2( )1 12 ( ) 2 Re

d sz

w

S

H H dsgP z

P z Z H H dS

L’aver espresso αz in funzione del solo campo magnetico ci permette però di formulare la seguente ipotesi semplificante: giacchè la differenza tra campo magnetico ideale e reale è in pratica poco apprezzabile, nel calcolo di αz e della potenza supporremo di poter usare con buona approssimazione le espressioni ricavabili per il campo magnetico dal caso ideale(metodo perturbativo).

Tale ipotesi riferita al campo elettrico non fornirebbe un’approssimazione del caso reale, infatti con (situazione ideale) non si avrebbe affatto dissipazione di potenza.

Vogliamo ora particolarizzarel’espressione di αz per onde TE, TM e TEM.

0Eτ =

114

Vogliamo ora particolarizzarel’espressione di αz per onde TE, TM e TEM.

Onde TE:

τ τ

τ τ τ τ

ωµ

α ωµβ

ωµ β βωµ ωµ

∗ ∗− −

∗ ∗− −

∗ ∗∗ − −

∗ ∗∗ − −

⋅= =

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

2 2

2 2

2 2

2 2

212

12 2 8

z z

z z

z z

z z

k z k z

sz k z k z

t t

Sz

k z k zs sz z

k z k zt t t t

S S

P e h P e h dsg

P e h P e h dS

h h ds h h dsP P e e

g h h dS g h h dSP P e e

Gli integrali dell’ultima espressione possono essere ulteriormente sviluppati.Infatti per i modi TE si ha:

Riferendoci alla componente tangenziale possiamo scrivere (Ze=Zh solo onda progressiva):

= ∇2z

t t z

t

kh h

k

( ) ( )( )

τ = ⋅ + = ⋅ + =

= ⋅ +

0 00 0 0 0

00 0( )

t tz h e z

t z

H H s s H z Z h s s Z h z

Z z h s s h z

115

Allora αz diventa:

( )τ

∂⇒ = ⋅ + = ∇ ⋅ + = + ∂

0 0 00 0 0 0 02 2z z z

t z t z z z

t t

k k hh h s s h z h s s h z s h z

sk k

βαωµ

∂ ∂+ ⋅ + ∂ ∂ =

∇ ⋅ ∇

0 00 02 2

2 2

8

z z z zz z

s t tzz

z zt z t z

S t t

k h k hs h z s h z ds

s sk k

g k kh h dS

k k

Sviluppando i prodotti scalari:

α

β

ββ

βωµ

∂ + ∂

∂ +

=

∇=

=∫ ∫

22

22 4 2

22

4

2

2

1

8z

zz

z zz

s tz

zt z

S t

t zs s

hh ds

sk

gh d

hds k h ds

s

Sk

116

Si nota che la costante di attenuazione αz per i modi TE dipende da:- la frequenza (anche tramite la β(ω) essendo la struttura dispersiva)- le caratteristiche fisiche (la permeabilità µ e la conducibilità g del metallo)

- la forma e le dimensioni della sezione della guida (mediante kt e i domini di integrazione)

β ωµ ∇=

∫22 2

s s

z t zS

g h dS

E’ di fondamentale importanza analizzare l’andamento di αz al variare della frequenza.

Studiamo i due addendi separatamente:

a)

βα ω ωωµ β ωµ

∂ ∂ = + = +∇ ∇

∫ ∫

∫ ∫

22

4

2 2 ( ) ( )2 2 2 2

zz

s t szz

zt z t zS S

hds h ds

s kL C

g gh dS h dS

ω ωεωω

∂ −∂ =∇

2

2 2

2( )2 2

z

cs

hds

sL

g h dSω ω≥ ccon

117

ω∇∫22 2 t z

S

g h dSc

La dipendenza di L(ω) da ω è del tipo: ω ω

ωω−

=2 2

1( ) cL cL(ω)

ω(ωc,0)

a) ωµ ε ω ω ω

=∇ −

2

4

2 2 2

1( )

2 2

zt s

t z cS

h dsk

Cg h dS

ω ω≥ ccon

La dipendenza di C(ω) da ω è del tipo: ωω ω ω

=−

2

2 2( )

c

cC

C(ω)

ω(ω ,0)

118

ω(ωc,0)

L’ andamento di αz è allora:αz()

ω(ωc,0)

αz è molto elevata in prossimità della frequenza di cut-off; si ha poi una banda relativamente ampia in cui αz è più bassa (intorno a 1.2 - 1.8 della ωc); poi αz cresce ancora con la frequenza le guide d’onda si usano generalmente proprio nella banda di minima dissipazione.

Precisiamo meglio l’interpretazione fisica delle perdite energetiche:

αz è composto di due termini: - L(ω) è legato all’integrale di linea di ovvero di(componente tangenziale del campo magnetico trasverso ) - C(ω) è legato a (componente assiale del campo magnetico).

Il campo magnetico tangenziale trasversale ( su s) è collegato ad una corrente sul conduttore diretta secondo z (corrente longitudinale).

∂∂

zhs τ⋅ =0t th s h

th

zh

τ 0th s

119

corrente sul conduttore diretta secondo z (corrente longitudinale). Il campo magnetico longitudinale ( su s) è collegato ad una corrente sul conduttore diretta trasversalmente, perpendicolare cioè a z0 (corrente circonferenziale).

Le perdite energetiche possono vedersi come dissipazioni per effetto Joule, separatamente delle correnti longitudinali e circonferenziali che scorrono sul mantello (costituito da un buon conduttore) della guida d’onda.

0zh z

L’esame delle attenuazioni dovute alle correnti longitudinali e circonferenziali (espresse rispettivamente da L(ω) e C(ω)) mostra che per i modi TE:

- intorno alla frequenza di cut-off l’attenuazione è dovuta solo alle correnti circonferenziali

- crescendo sempre più la frequenza l’attenuazione viene a dipendere in massima parte dalle correnti longitudinali, sempre maggiori in intensità.

Ciò è stato sfruttato per ottenere modi con attenuazione sempre minore all’aumentare della frequenza (trasmissione in guida a grande distanza), attraverso particolari configurazioni TE in cui non si abbiano correnti

120

attraverso particolari configurazioni TE in cui non si abbiano correnti longitudinali.

Onde TM:

Con procedimento del tutto analogo al caso delle onde TE si ottiene:

τ τ τ τωµ

ωε ωµα β βωε

∗ ∗ ∗− −

∗∗ ∗− −

⋅ ⋅= =

⋅⋅

∫ ∫

∫∫

2 2

2 2

212 2 2

z z

z z

k z k z

s sz k z k z

z z t tt tSS

P e h P e h ds h h dsg

g h h dSP e h P e h dS

Gli integrali dell’ultima espressione possono essere ulteriormente sviluppati.Infatti per i modi TM si ha:

ωε= × ∇02t t z

t

jh z e

k

( )τωε ωε

ωε ωε

= ⋅ = × ∇ ⋅ = × ⋅ ∇ =

∂= ⋅ ∇ = ∂

0 00 0 0 0 0 02 2

0 0 02 2

t t z t z

t t

zt z

t t

j jh h s s z e s s s z e s

k k

j j en e s s

nk k

121

Allora αz diventa: t t

( ) ( )

ω εωε ωα

ε µ ω

µ

ω

β

β

ω ε ∗

∂ ∂ = =

× ∇ ⋅ × ∇

=

∂ ∂

22 2

4

0 0

2

2 2

4

22

2 2

2

z

z

s

z

z

ts

t z

zt z t

S

S

zt

eds

k n

gz e z

eds

n

g e

dk

dS

e S

Possono farsi considerazioni analoghe a quelle dei modi TE sull’espressione di αz(limiti di validità, dipendenza dal mezzo, dalla forma, ecc.).Per quanto riguarda la variazione di αz con la frequenza, per , αz è del tipo:

ω ω≥ c

ωα ωω ω

=−

3

2 2( )z

c

c

αz(ω)

122

Diversamente da quanto avviene per le onde TE, l’attenuazione per unità di lunghezza nelle onde TM, essendo , è collegata esclusivamente alle correnti longitudinali relative al campo magnetico tangenziale, che è solo trasversale.

= 0zh

ω(ωc,0) (√3ωc,0)

Modi TEM:

L’analisi svolta finora sulle perdite energetiche relative ai modi in guida, rimane sostanzialmente invariata per strutture costituite da due o più conduttori.

L’espressione integrale ottenuta per l’attenuazione mantiene la sua validità, dovendosi estendere l’integrale di linea a tutti i contorni dei conduttori.

In questo caso l’attenuazione per il modo TEM, che è il dominante, assume la

123

In questo caso l’attenuazione per il modo TEM, che è il dominante, assume la forma seguente (nel caso di onda diretta):

τ τ τ τωµ

ωµαµε

∗ ∗ ∗− −

∗∗ ∗− −

⋅ ⋅= =

⋅⋅

∫ ∫

∫∫

2 2

2 2

212 8

z z

z z

k z k z

s sz k z k z

t tt tSS

P e h P e h ds h h dsg

g h h dSP e h P e h dS

ed essendo:

εµ

= − × ∇ Φ0t th z

( ) ( )τε εµ µ

∂Φ= ⋅ = − × ∇ Φ ⋅ = −∂00 0 0 0 0t th h s s z s s sn

124

si ha infine per l’attenuazione:

ωµα

∂Φ ∂ =∇ Φ

2

28s

z

tS

dsn

g dS

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiOrtogonalità dei modi

• In una guida d’onda cilindrica ideale(struttura senza perdite: g=∞, εc = ε) a sezione generica, ogni modo trasporta energia indipendentemente dagli altri modi che contemporaneamente vi si propagano:

la potenza complessiva è data dalla somma delle potenze trasportate da ciascun modo, purchè questi viaggino con diversa velocità di fase.

125

ciascun modo, purchè questi viaggino con diversa velocità di fase.

• Ad eccezione del caso degenere, tale proprietà viene a coincidere con quella di ortogonalità dei modi, secondo la definizione:

dove gli indici m e n si riferiscono a modi diversi.

∗× ⋅ =∫ ( ) ( ) 0 0m n

S

E H z dS

• Consideriamo i campi e.m. relativi a due modi:E1, H1 e E2, H2, soluzioni linearmente indipendenti delle equazioni di Maxwell.

• Definiamo il campo e.m. E, H somma dei precedenti modi:

• Le equazioni di Maxwell, per la loro linearità, sono ancora soddisfatte dal

ωµωε

∇ × = −∇ × =

1 1

1 1C

E j H

H j E

ωµωε

∇ × = −∇ × =

2 2

2 2C

E j H

H j E

= + = +

1 2

1 2

E E E

H H H

126

• Le equazioni di Maxwell, per la loro linearità, sono ancora soddisfatte dal campo totale E, H.

• La potenza che attraversa la generica sezione S(reale e reattiva) è uguale al flusso del vettore di Poynting:

( ) ( )

( )

∗∗

∗ ∗ ∗ ∗

= × ⋅ = + × + ⋅ =

= × ⋅ + × ⋅ + × + × ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫

0 1 2 1 2 0

1 1 0 2 2 0 1 2 2 1 0

1 12 2

1 1 12 2 2

S S

S S S

P E H z dS E E H H z dS

E H z dS E H z dS E H E H z dS

( )∗ ∗ ∗ ∗= × ⋅ + × ⋅ + × + × ⋅∫ ∫ ∫1 1 0 2 2 0 1 2 2 1 0

1 1 12 2 2S S S

P E H z dS E H z dS E H E H z dS

potenza trasportata dal primo modo

potenza trasportata dal secondo modo

per asserire che la potenza totale è la somma di quelle relative ai singoli modi, è necessario dimostrare che

questo termine è sempre nullo

127

• Prendiamo in considerazione l’espressione seguente:

questo termine è sempre nullo

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

ωµ ωε ωµ ωε

ωµ ωε

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∇ ⋅ × + × = ∇ ⋅ × + ∇ ⋅ × =

= ⋅ ∇ × − ⋅∇ × + ⋅∇ × − ⋅ ∇ × =

= ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − =

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

1 2 2 1 1 2 2 1

2 1 1 2 1 2 2 1

2 1 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

E H E H E H E H

H E E H H E E H

H j H E j E H j H E j E

j H H H H j E E E E

I termini posti fra parentesi nel secondo membro, sono quantità reali (somma di due numeri complessi coniugati), per cui la divergenza dell’espressione considerata risulta sempre immaginaria o nulla.

• Consideriamo ora una parte di guida d’onda di volume τ avente superficie totale Stot=S1+S2+ S0, dove S1 eS2 indicano rispettivamente le superfici delle sezioni in corrispondenza delle quote z=z1 e z=z2, mentre S0 è la superficie del mantello metallico delimitato dalle stesse S1 eS2.

( ) ( ) ( )ωµ ωε∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∇ ⋅ × + × = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2E H E H j H H H H j E E E E

128

del mantello metallico delimitato dalle stesse S1 eS2.

S1

S2

S0

0n

0n0n

= 2( )z z

= 1( )z z

0z

= −==

0 0

0 0

0

n z

n z

n n

su S1

su S2

su S0

( ) ( )( ) ( )

( )

τ

τ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∇ ⋅ × + × = × + × ⋅ =

= − × + × ⋅ + × + × ⋅ +

+ × + × ⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫1 2

0

1 2 2 1 1 2 2 1 0

1 2 2 1 0 1 2 2 1 0

1 2 2 1

totS

S S

S

E H E H d E H E H n dS

E H E H z dS E H E H z dS

E H E H ndS

Poiché per ipotesi il conduttore metallico è perfetto, il flusso attraverso la

129

Poiché per ipotesi il conduttore metallico è perfetto, il flusso attraverso la superficie laterale S0 è nullo, infatti su una PEP: Allora per le osservazioni svolte in precedenza si deve avere che la quantità:

deve essere immaginaria o nulla (essendo l’integrale diche abbiamo già detto essere una quantità immaginaria o nulla, esteso ad un dominio reale).

( ) ( )∗ ∗ ∗ ∗− × + × ⋅ + × + × ⋅∫ ∫1 2

1 2 2 1 0 1 2 2 1 0

S S

E H E H z dS E H E H z dS

τ∗= = ⇒ × ⊥0, 0nE H E H n

( )∗ ∗∇ ⋅ × + ×1 2 2 1E H E H

β β

β β

β β

β β

− −

− −

− −

− −

= + = +

= + = +

= + = +

= + = +

1 1

1 1

2 2

2 2

1 1 0 011 2 2 1

1 1 0 1 01 2 2 1

2 2 0 022 2 2 2

2 2 0 2 02 2 2 2

z z

z z

z z

z

j z j zt tz z

j z j zt tz z

I Ij z j zt tz z

I Ij z j zt tz z

E E E z P e e P e e z

H H H z P h e P h e z

E E E z P e e P e e z

H H H z P h e P h e z

• Riferiamoci al caso ideale di propagazione ideale, quindiNell’ ipotesi che i due modi si propaghino nello stesso verso, ad esempio ,con diverse velocità di fase ( ), si ha:

ω ω β> ⇒ =c z zk j+ 0z

β β≠1 2z z

( ) ( )∗ ∗ ∗ ∗⇒ − × + × ⋅ + × + × ⋅ =∫ ∫E H E H z dS E H E H z dS

130

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )β β

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗ ∗−

⇒ − × + × ⋅ + × + × ⋅ =

= − + × + + + × + ⋅ +

+ + × + + + × + ⋅ =

= − × ⋅ −

∫ ∫

1 2

1

2

2 1 1

1

1 2 2 1 0 1 2 2 1 0

1 0 2 0 2 0 1 0 01 2 2 1

1 0 2 0 2 0 1 0 01 2 2 1

( )2 012 2 2 2

z z

S S

t t t tz z z zS

t t t tz z z zS

I j ztt

S

E H E H z dS E H E H z dS

E E z H H z E E z H H z z dS

E E z H H z E E z H H z z dS

P P e e h z dS P P β β

β β β β

∗− −

∗ ∗ ∗ ∗− − −

× ⋅ +

+ × ⋅ + × ⋅

∫ ∫

2 1 1

1

2 1 2 2 1 2

1 2

( )1 02

( ) ( )2 0 1 01 22 2 2 2

z z

z z z z

I j ztt

S

I Ij z j zt tt t

S S

e e h z dS

P P e e h z dS P P e e h z dS

Poiché le componenti trasversali et1, ht1, et2, ht2 non dipendono da z, gli integrali

e

assumono sempre gli stessi valori in corrispondenza a qualunque sezione trasversa; in particolare poniamo:

Indicando poi genericamente:

∗× ⋅∫ 2 01 ttS

e h z dS

∗× ⋅ = Ι∫ 2 01 12ttS

e h z dS

( )ϕ β β= − z ( )ϕ β β= −2 2 1 2z z z

∗× ⋅∫ 1 02 tt

S

e h z dS

∗× ⋅ = Ι∫ 1 02 21tt

S

e h z dS

131

si può scrivere:

( )ϕ β β= −1 2 1 1z z z ( )ϕ β β= −2 2 1 2z z z

( )

β β β β

β β β β

ϕ ϕ ϕ

∗ ∗ ∗ ∗− − −

∗ ∗ ∗ ∗− − −

∗∗ ∗ ∗−

− × ⋅ − × ⋅ +

+ × ⋅ + × ⋅ =

= −Ι − Ι + Ι + Ι

∫ ∫

∫ ∫

2 1 1 2 1 1

1 1

2 1 2 2 1 2

1 2

1 1 2

( ) ( )2 0 1 01 22 2 2 2

( ) ( )2 0 1 01 22 2 2 2

12 2 2 21 2 2 12 2 2 21 2

z z z z

z z z z

I Ij z j zt tt t

S S

I Ij z j zt tt t

S S

I I Ij j j

P P e e h z dS P P e e h z dS

P P e e h z dS P P e e h z dS

P P e P P e P P e P P( )( ) ( ) ( )

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

∗∗ −

∗∗ ∗ − −

=

= Ι − + Ι −

2

2 1 2 1

2

12 2 2 21 2 2

I j

I Ij j j j

e

P P e e P P e e

Le quantità tra parentesi quadre sono complesse coniugate, per cui possiamo scrivere:

In base a quanto detto questa espressione deve risultare immaginaria o nulla.Ricordiamo che le soluzioni trasverse et1, ht1, et2, ht2 dei modi presi in esame sono determinate a meno di una costante moltiplicativa (soddisfacendo anch’esse all’equazione di Helmholtz , con reale nel

( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ

ϑ ϑρ ρ

∗∗ ∗ − −

Ι − + Ι − =

= Ι + Ι

2 1 2 112 2 2 21 2 2

12 21

I Ij j j j

j j

P P e e P P e e

e e

[ ] [ ]∇ =2 2t tk 2

tk

132

anch’esse all’equazione di Helmholtz , con reale nel nostro caso ideale).Perciò tali componenti trasverse possono essere considerate reali.Questo implica fra l’altro che gli integrali indicati con I12 e I21 sono reali.

Dovendo questa relazione essere soddisfatta per qualsiasi valore di z1, z2, βz1, βz2 (con ), P2 , P2’ deve essere:

[ ] [ ]∇ =t tk tk

( ) ( )( )

ϑ ϑρ ρ ρ ϑ ϑ ρ ϑ ϑ

ρ ϑ

− ⇒ Ι + Ι = Ι + + Ι − =

= Ι + Ι =12 21 12 21

12 21

Re Re cos sin cos sin

cos 0

j je e j j

β β≠1 2z z Ι = −Ι12 21

• Si può vedere che alle stesse conclusioni si giunge prendendo in esame due modi entrambi propagantesi lungo .

• Ripetiamo invece il procedimento nel caso in cui i due modi si propagano in versi opposti: supponiamo ad esempio che il primo si propaghi nel verso di mentre il secondo in quello di (alle stesse conclusioni si giunge con la scelta opposta).Innanzitutto si ha:

− 0z

− 0z+ 0z

β− =

11 12

zj zt tE P e e β =

2

2 21zj z

t tE P e e

133

Per cui si ottiene:

β−

=1

1 12zj z

t tH P h e β= −

22 21

zj zt tH P h e

( ) ( )β β β β

β β β β

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗− + +

∗ ∗ ∗ ∗− + +

− × + × ⋅ + × + × ⋅ =

= × ⋅ − × ⋅ +

− × ⋅ + × ⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1 2

1 2 1 1 2 1

1 1

1 2 2 1 2 2

1 2

1 2 2 1 0 1 2 2 1 0

( ) ( )2 0 1 01 21 2 1 2

( ) ( )2 0 1 01 21 2 1 2

z z z z

z z z z

S S

j z j zt tt t

S S

j z j zt tt t

S S

E H E H z dS E H E H z dS

P P e e h z dS PP e e h z dS

P P e e h z dS PP e e h z dS

Con le posizioni:

avremo:

∗× ⋅ = Ι∫ 2 01 12ttS

e h z dS∗× ⋅ = Ι∫ 1 02 21tt

S

e h z dS

( )β β+ = Ψ1 2 1 1z z z ( )β β+ = Ψ1 2 2 2z z z

( ) ( )( ) ( ) ( )

ϑ ϑρ ρ

∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗− Ψ Ψ − Ψ Ψ

∗∗ ∗− Ψ − Ψ Ψ Ψ

Ι − Ι − Ι + Ι =

= Ι − − Ι − =

= Ι − Ι

1 1 2 2

1 2 1 2

12 1 2 21 1 2 12 1 2 21 1 2

12 1 2 21 1 2

12 21

j j j j

j j j j

j j

P P e P P e P P e P P e

P P e e P P e e

e e

134

Tale quantità deve risultare immaginaria o nulla, perciò:

• Le condizioni e devono essere verificate contemporaneamente, riferendoci a campi e.m. composti generalmente sia da un’onda diretta che da un’onda riflessa, quindi:

ρ ρ= Ι − Ι12 21e e

( )ϑ ϑρ ρ ρ ϑ− Ι − Ι = Ι − Ι =

⇒ Ι = Ι12 21 12 21

12 21

Re cos 0j je e

Ι = Ι12 21Ι = −Ι12 21

∗ ∗× ⋅ = × ⋅ =∫ ∫2 0 1 01 2 0t tt tS S

e h z dS e h z dS

• La fondamentale relazione trovata:

dimostra che i modi sono tra loro ortogonali, ovvero la potenza trasportata complessivamente attraverso una generica Sè la somma delle singole potenze dei modi.

• Consideriamo ora il caso in cui : i modi aventi la stessa costante di propagazione (e velocità di fase) vengono detti degeneri.

∗ ∗× ⋅ = × ⋅ =∫ ∫2 0 1 01 2 0t tt tS S

e h z dS e h z dS

β β=1 2z z

135

di propagazione (e velocità di fase) vengono detti degeneri. Per i modi degeneri in genere non valgono più le conclusioni precedentemente ricavate ( ).Consideriamo infatti due modi degeneri propagantesi nello stesso verso, ad esempio (ma le osservazioni che faremo possono ripetersi perfettamente con la scelta ).

Ι = Ι =12 21 0

− 0z+ 0z

β

β

=

=

1 12

1 12

z

z

j zt t

j zt t

E P e e

H P h e

β

β

=

=

2 22

2 22

z

z

I j zt t

I j zt t

E P e e

H P h e

Sviluppando la solita:

si ottiene una relazione che risulta indipendente da z , pertanto gli integrali estesi a S1 eS2 sono uguali.Potrà allora essere , cioè non è necessariamente vero che:

Nel caso di due modi propagantesi in versi opposti con si ha:

( ) ( )∗ ∗ ∗ ∗− × + × ⋅ + × + × ⋅∫ ∫1 2

1 2 2 1 0 1 2 2 1 0

S S

E H E H z dS E H E H z dS

Ι ≠ −Ι12 21

∗ ∗× ⋅ = − × ⋅∫ ∫2 0 1 01 2t tt tS S

e h z dS e h z dS

β β=1 2z z

136

Nel caso di due modi propagantesi in versi opposti con si ha:

In questo caso sviluppando la:

i termini integrali dipendono ancora da z (secondo fattori del tipo ) e quindi dovrà ancora essere soddisfatta la

β β=1 2z z

β

β

=

=

1 12

1 12

z

z

j zt t

j zt t

E P e e

H P h e

β

β

=

= −

2 21

2 21

z

z

j zt t

j zt t

E P e e

H P h e

( ) ( )∗ ∗ ∗ ∗− × + × ⋅ + × + × ⋅∫ ∫1 2

1 2 2 1 0 1 2 2 1 0

S S

E H E H z dS E H E H z dS

β± 2 zj ze∗ ∗× ⋅ = × ⋅∫ ∫2 0 1 01 2t tt t

S S

e h z dS e h z dS

Per le osservazioni fatte:

validità della

ma non della

si deduce che in genere i modi degeneri non sono ortogonali, per cui per essi non si può affermare che trasportino potenza separatamente.

∗ ∗× ⋅ = × ⋅∫ ∫2 0 1 01 2t tt tS S

e h z dS e h z dS

∗ ∗× ⋅ = − × ⋅∫ ∫2 0 1 01 2t tt tS S

e h z dS e h z dS

137

• I ragionamenti relativi al caso ideale di propagazione contemporanea di più modi hanno riscontri pratici di notevole interesse per quanto riguarda le dissipazioni energetiche.Nel caso di propagazione in guida d’onda reale (con piccole perdite dovute alla conducibilità non infinita del mantello metallico) è stata precedentemente calcolata l’espressione dell’attenuazione per un certo modo (tramite il metodo di perturbazione).

Qualora i termini di potenza misti

siano nulli (cosa che avviene sempre nei modi ortogonali nel caso ideale), il metodo di perturbazione risulta ancora valido e la potenza dissipata globalmente è data dalla somma delle potenze dissipate dai singoli modi.

Seinvece i termini di potenza misti non sono nulli, i modi si dicono accoppiatinelle perdite.

∗= × ⋅∫1

1 2 012S

P E H z dS ∗= × ⋅∫1

2 1 021S

P E H z dS

138

accoppiatinelle perdite.L’accoppiamento dei modi è in genere di scarso rilievo ai fini delle dissipazioni tranne che per i modi degeneri (che comunque non sono affatto sempre accoppiati).

Si può vedere che, con riferimento alle correnti J1 e J2 che scorrono per i due modi sul mantello conduttore di impedenza Zm, non si ha accoppiamento solo se le correnti in ogni punto del contorno risultano tra loro ortogonali.

Infine è interessante evidenziare che per i modi degeneri per cui i termini di potenza misti non sono nulli, è possibile ricavare una loro opportuna combinazione lineare tale che si abbiano due nuovi modi con termini di potenza misti nulli e che risultino non più accoppiati (così l’attenuazione totale può dedursi dalla somma delle singole).

139

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiGuida d’onda rettangolare

• Finora abbiamo analizzato le principali proprietà dei campi e.m. che si propagano in strutture guidanti a sezione generica formata da un solo conduttore.

• Ora studieremo i particolari modi TE e TM all’interno delle guide d’onda a sezione rettangolare.

140

• Nel caso di guida d’onda a sezione rettangolare, è conveniente riferirsi ad un sistema di coordinate cartesiane ortonormale destro:

q1=x, q2=y, z=z

(0,b)

(a,0) (0,0) x

y

z

a e b sono le dimensioni della sezione della guida, riferite alle pareti interne.

• Le componenti trasverse del campo e.m. TE possono essere dedotte dalla risoluzione dell’equazione differenziale scalare (Helmholtz):

• Poiché ci riferiremo a guide ideali (g=∞), h deve soddisfare la condizione:

• L’espressione generale del Laplaciano in coordinate curvilee ortogonali è:

Onde TE:

∇ =2 2t z t zh k h

∂ =∂

0zhn

sul contorno s PEP∈

141

• L’espressione generale del Laplaciano in coordinate curvilee ortogonali è:

• Nel caso delle coordinate cartesiane:

L’equazione di Helmholtz diviene:

[ ] [ ] [ ] [ ] ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 3 3 1 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 h h h h h hh h h q h q q h q q h q

==

1

1 1

q x

h

==

2

2 1

q y

h

==

3

3 1

q z

h

∂ ∂+ =∂ ∂

2 22

2 2

( , ) ( , )( , )z z

t z

h x y h x yk h x y

x y

e la condizione al contorno diviene:

• Si può tentare di risolvere l’equazione delle onde col metodo di separazione delle variabili, esprimendo come prodotto di due funzioni X e Y, rispettivamente dipendenti della sola x e della sola y:

= = ≤ ≤

0,

0

x x a

y bper

∂ =∂( , )

0zh x yx

≤ ≤ = =

0

0,

x a

y y bper

∂ =∂( , )

0zh x yy

( , )zh x y

142

rispettivamente dipendenti della sola x e della sola y:

Si può dimostrare che in tal caso le soluzioni ottenibili con questo metodo forniscono uno spettro completo: tale scelta non è quindi limitativa, in quanto un’opportuna combinazione lineare (eventualmente estesa ad infiniti termini) di queste soluzioni è in grado di rappresentare ogni soluzione dell’equazione di Helmholtz.In generale si può pensare di applicare con successo la separazione delle variabili qualora la struttura presenti determinate simmetrie, tali da permettere la corrispondente scomposizione delle condizioni al contorno.

=( , ) ( ) ( )zh x y X x Y y

Si ottiene:

con le condizioni:

∂ ∂+ =∂ ∂

2 22

2 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )t

X x Y yY y X x k X x Y y

x y

= = ≤ ≤

0,

0

x x a

y bper

∂ =∂( )

( ) 0X x

Y yx

≤ ≤ = =

0

0,

x a

y y bper

∂ =∂

( )( ) 0

Y yX x

y

143

Poiché la soluzione è priva di interesse (implica un campo e.m. nullo) possiamo dividere per X(x)Y(y)ambo i membri dell’equazione delle onde e semplificare le corrispondenti condizioni al contorno, supponendo

e :

= = 0,y y b ∂y

=( , ) 0zh x y

∂ ∂+ =∂ ∂

2 22

2 2

1 ( ) 1 ( )( ) ( ) t

X x Y yk

X x x Y y y

= = ≤ ≤

0,

0

x x a

y bper ∂ =

∂( )

0X x

x

≤ ≤ = =

0

0,

x a

y y bper

∂ =∂

( )0

Y yy

( ) 0X x ≠ ( ) 0Y y ≠

Posta nella forma precedente, l’equazione di Helmholtz esprime l’uguaglianza fra la somma dei due termini:

funzioni rispettivamente della sola x e della sola y, e la costante reale:

Affinchè ciò sia verificato per ogni x,y S, è necessario che i due addendi

∂∂

2

2

1 ( )( )

X xX x x

∂∂

2

2

1 ( )( )

Y yY y y

2tk

144

Affinchè ciò sia verificato per ogni x,y S, è necessario che i due addendi siano separatamente costanti:

dove e sono quantità reali non negative che devono soddisfare la relazione di separabilità:

∂ = −∂

22

2

1 ( )( ) x

X xk

X x x∂ = −

22

2

1 ( )( ) y

Y yk

Y y y

2xk 2

yk

− − =2 2 2x y tk k k

• Le equazioni ottenute sono omogenee, del secondo ordine, lineari, e sono note come equazioni dei moti armonici:

∂ + = ∂ ∂ + = ∂

22

2

22

2

( )( ) 0

( )( ) 0

x

y

X xk X x

xY y

k Y yy

145

I loro integrali generali sono del tipo:

= +1 2( ) sin( ) cos( )x xX x C k x C k x

= +1 2( ) sin( ) cos( )y yY y D k y D k y

= +1 2( )X x C x C

= +1 2( )Y y D x D

per

per

per

per

≠ 0xk

≠ 0yk

= 0xk

= 0yk

• Imponiamo le condizioni al contorno:

Supponendo dapprima si ha per X(x):

( )

=

= −

⇒ = = ⇒ =

1 2

1 10

( )cos( ) sin( )

( )0 0

:

( )

x x x

xx

dX xk C k x C k x

dxdX x

k C Cdx

e

dX x

≠ 0xk

146

Dovendo essere (altrimenti si avrebbe X(x)=0), la precedente espressione risulta verificata solo se:

che implica per :

=

= =2

( )sin 0x x

x a

dX xk C k a

dx

≠2 0C

=sin 0xk a

xk

π π= ⇒ =xxk ka mma

con m=1,2,...

Supponiamo ora :

Analogo procedimento può ripetersi per le condizioni al contorno per la Y(y):

per si ha:

=

=

⇒ = = ⇒ =

1

1 10,

( )

( )0 0

x a

dX xC

dxdX x

C Cdx

= 0xk

≠ 0yk

147

per si ha:≠ 0yk

( )

π

π

=

=

= −

= = ⇒ =

= − = ⇒ =

⇒ ==

1 2

1 1

0

2

( )cos( ) sin( )

( )0 0

( )sin 0

1,2,...

y y y

x

y

y y y

y b

y

dY yk D k y D k y

dy

dY yk D D

dy

dY yk D k b k b

nk

b

ndy

con n

= 0yk

=

=

= ⇒ =

1

1

0,

( )

( )0 0

y b

dY yD

dy

dY yD

dy

per si ha:

In definitiva le condizioni al contorno per i campi TE implicano:

π π= =

= = = =

1 10 0C D

m n

148

dove sono stati considerati anche i valori nulli degli indici m e n, compattando così i casi:

e

• Gli autovalori dei modi TE sono determinati da:

π π= = = =0,1,2,...; 0,1,2,...x y

m nk m k n

a b

= ≠0, 0x yk k≠ =0, 0x yk k

π π = − +

=− − =

=

2 22 2 2 0,1,2

0,1,2x yt

mk k con

nm n

ka b

• L’espressione dell’autofunzione è:

La costante moltiplicativa influisce solo sull’ampiezza del campo e.m. e risulta determinata dalle condizioni iniziali di eccitazione (per es. potenza immessa, ecc.).

• Ricaviamo le componenti trasverse del generico campo TE:

π π = =

= =

2 2

0,1,2

0,1,( , ) ( ) ( ) cos cos

2z

m nh x y

mX x Y y C D x o

an

ny

bc

2 2C D

149

π π π π π π

∂ ∂= + = ∇ = + = ∂ ∂

= − −

0 02 20 0

02 2 2 22 2 0

( , )

sin cos cos sin

z z z zt x y t z

t t

z z

t t

k k h hh x y h x h y h x y

k k x y

k m m n k n m nC D x y x C D x y y

k a a b k b a b

ωµ ωµ ωµ ωµ= + = × = = −0 00

0 0 00 0( , ) 0

0 0 1tt x y x y y x

z z z z

x y zj j j j

e x y e x e y h z h h h x h yk k k k

• Riassumendo, in una guida d’onda con pareti perfettamente conduttrici a sezione rettangolare di dimensioni a,b le componenti trasversali elettriche e magnetiche per un’onda TE sono:

2 2 2

2 2 2

( , ) cos sin

( , ) sin cos

( , ) 0

xt

yt

j n m ne x y C D x y

k b a b

j m m ne x y C D x y

k a a b

e x y

ωµ π π π

ωµ π π π

= −

=

=

150

2 2 2

2 2 2

( , ) 0

( , ) sin cos

( , ) cos sin

z

zx

t

zy

t

z

e x y

k m m nh x y C D x y

k a a b

k n m nh x y C D x y

k b a b

h

π π π

π π π

=

= −

= −

2 2( , ) cos cosm n

x y C D x ya bπ π =

• La legge di dipendenza da zè del tipo:

• Si ha quindi la completa conoscenza del campo TE:

1 2

1 2

( )

( )

z z

z z

k z k ze

k z k zh

Z z Pe P e

Z z Pe P e

= +

= − +

= = = +0 0( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )t t e x e y eE E e x y Z z e x y Z z x e x y Z z y

151

• La costante di propagazione kz risulta determinata per ogni modo dalla relazione:

= + = + == + +

0 0

0 00

( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )t tz h z e

x h y h z e

H H H z h x y Z z h x y Z z z

h x y Z z x h x y Z z y h x y Z z z

2 22 2 2

z t c

m nk k k

a bπ πω µε = − = − + +

• Considerando il dielettrico non dissipativo (come generalmente avviene in pratica) è possibile individuare la frequenza di taglio di un modotramite la:

2 22 2c t

m nk

a bπ πω µε = + = −

2 2

2 2c

m na b

πωµε

⇒ = +

2 2

[ , ] 2 22 2c

c m n

c m nf

a bω

π= +⇒ =

È usuale rappresentare tra parentesi quadre gli indici relativi alle grandezze delle onde TE, tra parentesi tonde quelli delle onde TM: notazione di Šelkunov

152

Si può osservare che la frequenza di cut-off di ogni modo dipende esclusivamente dalla struttura, tramite ε e µ del mezzo e le dimensioni a e bdella sezione.Poiché per convenzione si suppone che il lato di dimensione a (sempre posto sull’asse x) sia maggiore di quello di dimensione b (giacente su y), il minimo valore che la frequenza di taglio può assumere al variare degli indici m e n si ottiene per m=1 e n=0 (ricordiamo che non si può avere contemporaneamente m=0,n=0):

[1,0] 2c

cf

a=

• Il procedimento che consente di esplicitare l’intero campo TM in una guida rettangolare è analogo a quello seguito per le onde TE.

• Il campo e.m. trasverso può essere ricavato risolvendo l’equazione di Helmholtz:

dove, nel caso di guida con pareti perfettamente conduttrici, deve essere verificata la condizione:

Onde TM:

2 2t z t ze k e∇ =

0e = sul contorno s

153

• Nel sistema di riferimento adottato possiamo scrivere:

• Si possono separare le variabili ponendo:

0ze = sul contorno s

2 22

2 2

( , ) ( , )( , )z z

t z

e x y e x yk e x y

x y∂ ∂+ =

∂ ∂

( , ) ( ) ( )ze x y X x Y y=2 2 2 2

2 22 2 2 2

1 1t t

X Y X YY X k XY k

x y X x Y y∂ ∂ ∂ ∂

⇒ + = ⇒ + =∂ ∂ ∂ ∂

• La condizione implica che sia:

22

2

22

2

1

1

x

y

Xk

X x

Yk

Y y

∂ = − ∂⇒

∂ = − ∂

con 2 2 2x y tk k k− − =

0ze = sul contorno s

( ) 0

( ) 0

X x

Y y

= =

per0, ;

0

x x a

y b

= = ≤ ≤

per0, ;y y b= =

154

• Le soluzioni delle equazioni differenziali dei moti armonici per X(x) e Y(y)sono del tipo:

( ) 0Y y = per0, ;

0

y y b

x a

= = ≤ ≤

1 2

1 2

1 2

1 2

( ) sin cos

( ) sin cos

( )

( )

x x

y y

X x C k x C k x

Y y D k y D k y

X x C x C

Y y D y D

= + = +

= + = +

per 0xk ≠per 0yk ≠

per 0xk =per 0yk =

• Imponiamo le condizioni al contorno per la X(x):

e quindi supporremo ; 0xk ≠

2 2

1 1

(0) 0 0( ) 0 0

( ) 0 0 z

X C CX x e

X a C a C

= = ⇒ =⇒ = ⇒ = = = ⇒ =

per 0xk =

2 2

1

(0) 0 0

( ) sin 0 sin 0

, 1,2,...

x x x

x

X C C

X a C k a k a k a m

mk m

a

ππ

= = ⇒ = = = ⇒ = ⇒ =

⇒ = =

per 0xk ≠

155

• Analogamente per la Y(y):

e quindi supporremo ;

a

0yk ≠

2 2

1 1

(0) 0 0( ) 0 0

( ) 0 0 z

Y D DY y e

Y b D b D

= = ⇒ =⇒ = ⇒ = = = ⇒ =

per 0yk =

π

π

= = ⇒ = = = ⇒ = ⇒ =

⇒ = =

2 2

1

(0) 0 0

( ) sin 0 sin 0

, 1,2,...

y y x

y

Y D D

Y b D k b k b k b n

nk n

b

per 0yk ≠

• Per quanto visto gli autovalori per i modi TM sono dati da:

e l’autofunzione assume la forma:

Si nota che l’espressione che fornisce gli autovalori per i modi TE e TM è la

2 22 2 2 1,2,...

1,2,...t x y

mm nk k k

a b nπ π = = − − = − + =

( , )ze x y

1 1

1,2,...( , ) ( ) ( ) sin sin

1,2,...z

mm ne x y X x Y y C D x y

a b nπ π = = = =

156

Si nota che l’espressione che fornisce gli autovalori per i modi TE e TM è la stessa, però per le onde TM gli indici m e n non possono mai assumere il valore nullo.

• Ricaviamo le componenti del generico campo TM(m.n):

0 02 20 0

01 1 1 12 2 0

( , )

cos sin sin cos

z z z zt x y t z

t t

z z

t t

k k e ee x y e x e y e x y

k k x y

k m m n k n m nC D x y x C D x y y

k a a b k b a bπ π π π π π

∂ ∂= + = ∇ = + = ∂ ∂

= +

0 00

0 00

0 0

( , ) 0 0 1

0

c ct tx y

z zx y

c cy x

z z

x y zj j

h x y h x h y z ek k

e e

j je x e y

k k

ωε ωε

ωε ωε

= + = × = =

= − +

1 1 2( , ) cos sin

( , ) sin cos

zx

t

z

k m m ne x y C D x y

k a a b

k n m ne x y C D x y

π π π

π π π

=

=

157

1 1 2

1 1

1 1 2

1 1 2

( , ) sin cos

( , ) sin sin

( , ) sin cos

( , )

zy

t

z

cx

t

cy

t

k n m ne x y C D x y

k b a b

m ne x y C D x y

a b

j n m nh x y C D x y

k b a b

j mh x y C D

k

π π π

π π

ωε π π π

ωε π

=

=

= −

= cos sin

( , ) 0z

m nx y

a a b

h x y

π π

=

La legge di dipendenza da zè del tipo:

Si ha quindi la completa conoscenza del campo TM:

1 2

1 2

( )

( )

z z

z z

k z k ze

k z k zh

Z z Pe P e

Z z Pe P e

= +

= − +

0 0( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )t tz e z hE E E z e x y Z z e x y Z z z

e x y Z z x e x y Z z y e x y Z z z

= + = + == + +

158

• La costante di propagazione kz risulta determinata per ogni modo dalla relazione:

0 00

0 0

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

x e y e z h

t t h x h y h

e x y Z z x e x y Z z y e x y Z z z

H H h x y Z z h x y Z z x h x y Z z y

= + +

= = = +

2 22 2 2

z t c

m nk k k

a bπ πω µε = − = − + +

• Considerando il dielettrico non dissipativo (come generalmente avviene in pratica) è possibile individuare la frequenza di taglio di un modo TMtramite la:

2 22 2c t

m nk

a bπ πω µε = + = −

2 2

2 2c

m na b

πωµε

⇒ = +

2 2c c m n

fω = +⇒ =

159

Il minimo valore che la frequenza di taglio può assumere al variare degli indici m e n si ottiene per m=1 e n=1 (essendo sempre , ):

( , ) 2 22 2c

c m n

c m nf

a bω

π= +⇒ =

2 2(1,1) 2c

cf a b

ab= +

0m≠ 0n ≠

• In una guida d’onda a sezione rettangolare di dimensioni a,b (a>b), il modo dominanterisulta essere il TE[1,0], cui corrispondono la frequenza di taglio:

e l’autovalore:

Modo dominante e modi degeneri

=[1,0] 2c

cf

a

π= −2

22tk

a

160

Particolarizzando le espressioni trovate per i campi TE, le componenti del modo dominante divengono (m=1, n=0):

a

ω µε π ππ

ωµ ππ

π

− ==

= − =

= =

2 2 2

2 2

2 2

2 2

( , ) sin( , ) 0

( , ) sin ( , ) 0

( , ) 0 ( , ) cos

xx

y y

z z

j ah x y C D xe x y

aj a

e x y C D x h x ya

e x y h x y C D xa

• Il campo elettrico del modo TE[1,0] è polarizzato lungo la direzione di y0. La legge di variazione con le coordinate nel piano trasverso dipende solo da x.

• L’andamento con x delle componenti non nulle del TE[1,0] è rappresentata in figura:

0zH z

161

b

a

z

y

x

E

tH

z

• Linee di forza del TE[1,0]:

162

163

• Come detto in precedenza, nella maggior parte dei casi si lavora in una banda di frequenza in cui si possa propagare un solo modo (il dominante) mentre gli altri si attenuano più o meno rapidamente trovandosi al di sotto della loro frequenza di taglio.

Esempio: guida rettangolare dalle dimensioni standard: a=22.86mm, b=10.16mm

TE[1,0] TE[2,0]

TE[0,1]

TE-TM[1,1]

TE[3,0]

TE-TM[2,1]

TE-TM[3,1]

TE[4,0]TE[0,2]

TE-TM[4,1]

0 fc1[GHz]

164

[GHz]Ordine Modi Frequenze critiche

fc [GHz] Lunghezze d’onda

critiche λc [cm] Autovalori -|kt|

2 (cm-2) 1 TE 10 6.557 4.572 1.89 2 TE 20 13.114 2.286 7.56 3 TE 01 14.754 2.032 9.56 4 TE-TM11 16.145 1.857 11.45 5 TE 30 19.671 1.524 17.01 6 TE-TM 21 19.739 1.519 17.12 7 TE-TM 31 24.589 1.219 26.57 8 TE 40 26.229 1.143 30.24 9 TE 02 29.507 1.016 38.24 10 TE-TM 41 30.093 0.996 39.80 11 TE-TM 12 30.227 0.992 40.13

Con la scelta fatta di a e b il range di frequenza unimodale è quello compreso tra la fc del TE[1,0] e la fc del primo modo di ordine superiore (il TE[2,0]): 6.557 - 13.114 GHz, cui corrispondono lunghezze d’onda comprese tra a e 2a: 2.286 - 4.572cm.La guida si comporta come un filtro passa-alto: le onde e.m. aventi una lunghezza d’onda superiore al doppio della dimensione trasversale maggiore non si possono propagare.In pratica si deve tenere però conto delle attenuazioni di potenza, così ad esempio il range unimodale effettivamente utilizzato risulta essere quello compreso tra circa 1.2 fc[1,0] e 1.9 fc[1,0].

165

compreso tra circa 1.2 fc[1,0] e 1.9 fc[1,0].

Si noti che considerando m e n non nulli, per una scelta generica della coppia degli indici (m,n), gli autovalori per i corrispondenti modi TE[m,n] e TM(m,n)

sono gli stessi tali modi hanno la stessa frequenza di taglio, la stessa costante di propagazione, ecc., cioè sono modi degeneri.L’eccitazione di modi degeneri porta in genere, come già detto, a sgradevoli conseguenze per la dissipazione energetica (accoppiamento nelle perdite).Ulteriori casi di modi degeneri si avrebbero considerando guide d’onda in cui la dimensione del lato maggiore risulta un multiplo intero di quella del lato minore: a=kb.

Ad esempio, se a=2b (k=2), si vede dall’espressione di che oltre ai TE[m,n]

e TM(m,n), si avrebbero altri modi degeneri quali il TE[2,0] ed il TE[0,1], o il TE[4,0] ed il TE[0,2] o il TE-TM4,1 ed il TE-TM2,2, ecc..

• Di particolare interesse è il caso a=b (k=1), cioè di guida a sezione quadrata.In tal caso, fissati gli indici m e n non nulli, si hanno generalmente i quattro modi degeneri:TE[m,n], TM(m,n), TE[n,m], TM(n,m)

in corrispondenza dell’autovalore

2tk

π π = − +

2 2 2 22 m n

k

166

in corrispondenza dell’autovalore

Considerando uno degli indici nullo, si hanno invece due modi degeneri; alla più bassa frequenza critica corrispondono due modi dominanti: il TE[1,0] ed il TE[0,1], aventi il campo elettrico polarizzato rispettivamente secondo y0 e secondo x0.Questa situazione è sconsigliabile in pratica, in quanto per effetto di irregolarità della guida si hanno facilmente delle conversioni d’energia fra i modi; avendo all’uscita dei dispositivi capaci di ricevere modi polarizzati secondo una sola direzione, si possono avere forti perdite.

π π = − +

22 2t

m nk

a a

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiRichiami sulle funzioni di Bessel

• La funzione di Bessel di prima specie di ordine interoè esprimibile analiticamente come serie di potenze:

L’intero n può essere positivo, negativo o nullo, valendo la proprietà per cui:

2

0

( 1) ( / 2)( )

!( )!

k n k

nk

xJ x

k n k

+∞

=

−=+∑

167

• La funzione di Bessel di seconda specie di ordine intero è invece:

con: e (costante di Eulero)

( ) ( 1) ( )nn nJ x J x− = −

[ ]

21

0

2

0

1 ( 1)!( / 2)( ) 2 lg ( )

2 !

( 1) ( / 2)( ) ( )

!( )!

n kn

n nk

k n k

k

x n k xY x J x

k

xk n k

k n k

γπ

− +−

=

+∞

=

− − = + − +

−− Φ + Φ + +

( ) 1 1/ 2 1/ 3 ... 1/ 0.577...k k γΦ = + + + + =

• Le funzioni e sono soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione differenziale di Bessel con parametro intero

ed una loro combinazione lineare ne fornisce la soluzione generale:

( )nJ x ( )nY x

2 2

2 2

( ) 1 ( )1 ( ) 0

d B x dB x nB x

dx x dx x

+ + − =

1 2( ) ( ) ( )n nB x C J x C Y x= +

168

• Per le funzioni di Bessel valgono importanti formule di ricorrenza, ad es.:

e quando(per la valgono relazioni perfettamente analoghe)

1( ) ( ) ( )IxJ x J x xJ xν ν νν+ = −

0 10 : ( ) ( )IJ x J xν = = −( )nY x

per : con n≠0

e:

2 ( 1)!( ) ~

n

n n

nY x

xπ−−

• Per quanto riguarda il comportamento nell’origine, si ha:

per : con ν reale -1,-2,…

avendo indicato con Γ(α) la funzione euleriana di seconda specie, o funzione gamma, prolungata per α negativi ma non interi;

( ) ~2 ( 1)

xJ x

ν

ν ν νΓ +0x +→

0x +→

169

Quindi:

le hanno per degli zeri di ordine n nell’origine, mentre per n=0 si ha ,

le per divergono a -∞ con ordine n per , come il logaritmo per n=0.

0

2( ) ~ lg

2x

Y xπ

( )nJ x

0( ) 1J x =

( )nY x 0x +→ 0n ≠

0n ≠

Quindi le funzioni di Bessel di ordine intero vanno a zero con ordine 1/2 per

• Gli sviluppi asintoticidelle funzioni di Bessel di ordine intero permettono di scrivere:

( )

( )

1/ 23 / 2

1/ 23 / 2

2( ) cos

4 2

2( ) sin

4 2

J x x O x per xx

Y x x O x per xx

ν

ν

π πνπ

π πνπ

= − − + → ∞

= − − + → ∞

170

Quindi le funzioni di Bessel di ordine intero vanno a zero con ordine 1/2 per, annullandosi infinite volte; in particolare, tendono ad assumere

approssimativamente la forma di sinusoidi smorzate, infatti per K intero abbastanza grande i valori degli zeri di e sono dati circa dalle espressioni seguenti:

3( )

4 2

( )4 2

K

K

x k per la J x

x k per la Y x

ν

ν

ππ ν π

π πν π

= + +

= + +

( )nJ x ( )nY x

x → ∞

171

172

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiGuida d’onda circolare

• Nel caso della guida d’onda a sezione circolare, conviene riferirsi al sistema di coordinate cilindriche:

q1=r, q2= θ, z=z

• Le coordinate cilindriche sono legate a quelle cartesiane dalle seguenti relazioni:

173

r00θ r

θz0

a( )

2 2

cos

sin

/

x r

y r

z z

r x y

arctg y x

z z

θθ

θ

= = =

= + = =

z

y

x

• La determinazione delle componenti trasversali dei campi TE e TM è ricavabile risolvendo l’equazione di Helmholtz:

con le rispettive condizioni al contorno:

Ricordiamo l’espressione del Laplaciano trasverso in coordinate cilindriche

2 2 ( , ):

( , )z

t tz

h r per le onde TET k T dove T

e r per le onde TM

θθ

∇ = =

/ 0

0z

z

h n sul contorno s per le onde TE

e sul contorno s per le onde TM

∂ ∂ ==

174

Ricordiamo l’espressione del Laplaciano trasverso in coordinate cilindriche generalizzate (q1 , q2 , z):

Nel sistema di riferimento scelto (r, θ, z):

h1=1, h2=r, h3=1

[ ] [ ] [ ]2 2 1

1 2 1 1 1 2 2 2

1t

h hh h q h q q h q

∂ ∂ ∂ ∂∇ = + ∂ ∂ ∂ ∂

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2

22 2 2 2 2

1 1 1 1t r

r r r r r r r rθ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⇒ ∇ = + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

L’equazione di Helmholtz assume pertanto la forma:

e può essere risolta col metodo di separazione delle variabili, ponendo l’autofunzione uguale al prodotto di una funzione R(r) della sola r e di una funzioneΘ(θ) della sola θ :

2 22

2 2 2

( , ) 1 ( , ) 1 ( , )( , )t

T r T r T rk T r

r r r rθ θ θ θ

θ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

( , )T r θ

( , ) ( ) ( )T r R rθ θ= Θ

175

L’equazione delle onde diviene perciò:

L’autosoluzione nulla è priva di interesse, quindi dividiamo ambo i membri per :

2 22

2 2 2

( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

d R r dR r dR r k R r

dr r dr r dθθ θ θ

θΘΘ + Θ + = Θ

( ) ( ) 0R r θΘ ≠2 2

22 2 2

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) ( ) t

d R r dR r dk

R r dr rR r dr r dθ

θ θΘ+ + =

Θ

moltiplicando ancora per r2:

con l’ultima forma si vuole evidenziare l'uguaglianza tra il primo membro, che è funzione della sola variabile r, ed il secondo membro dipendente solo da θ : affinché questa equazione sia verificata, al variare dir e θ in S, entrambi i membri devono risultare costanti:

2 2 22 2

2 2

2 2 22 2

2 2

( ) ( ) 1 ( )0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) ( )

t

t

r d R r r dR r dk r

R r dr R r dr d

r d R r r dR r dk r

R r dr R r dr d

θθ θ

θθ θ

Θ+ + − =Θ

Θ⇒ + − = −

Θ

176

entrambi i membri devono risultare costanti:2 2

2 2 22

22

2

2 22 2 2

2

22

2

( ) ( )( ) ( )

1 ( )( )

( ) ( )0

( ) ( )

( )( )

t

t

r d R r r dR rk r

R r dr R r dr

dd

r d R r r dR rk r

R r dr R r dr

dd

ν

θ νθ θ

ν

θ ν θθ

+ − =

Θ− = Θ

+ − − =

Θ = − Θ

L’equazione:

è quella dei moti armonici. Per , la sua soluzione è del tipo:

Per avere l’univocità di Θ(θ) (e di conseguenza dell’autosoluzione e del campo e.m.) deve essere:

22

2

( )( )

dd

θ ν θθΘ = − Θ

( ) ( )1 2( ) sin cosA Aθ νθ νθΘ = +

θ π θΘ + = Θ( 2 ) ( )k

0ν ≠

177

Ciò è verificato per ogni θ se e solo se ν risulta intero, in modo che:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

θ π θν θ π ν θ π νθ νθ

νθ ν π νθ ν π νθ ν πνθ ν π νθ νθ

Θ + = Θ

⇒ + + + = +

⇒ + + +

− = +

1 2 1 2

1 1 2

2 1 2

( 2 ) ( )

sin 2 cos 2 sin cos

sin cos 2 cos sin 2 cos cos 2

sin sin 2 sin cos

k

A k A k A A

A k A k A k

A k A A

( )( )

os 2 1

sin 2 0

c k

k

ν πν π

=

=

Per ν =0, l’equazione dei moti armonici diviene:

avente la soluzione generica:

Dovendo ancora essere:

2

2

( )0

dd

θθΘ =

1 2( ) A Aθ θΘ = +

1 2 1 2( 2 ) ( ) ( 2 )k A k A A Aθ π θ θ π θΘ + = Θ ⇒ + + = +

178

segue necessariamente:Ma la soluzione ora trovata: è ricavabile dalla soluzione:

qualora si ponga ν =0.In definitiva l’espressione generale della Θ(θ) è:

1 2 1 2( 2 ) ( ) ( 2 )k A k A A Aθ π θ θ π θΘ + = Θ ⇒ + + = +

1 0A =1( ) Aθ θΘ =

( ) ( )1 2( ) sin cosA Aθ νθ νθΘ = +

( ) ( )1 2( ) sin cos 0,1,2,...A n A n con nθ θ θΘ = + =

La R(r) può essere ottenuta dalla già ricavata equazione differenziale:

Moltiplicando per R/r2:

Essendo il generico autovalore reale negativo, poniamo:

2 22 2 2

2

( ) ( )0

( ) ( ) t

r d R r r dR rk r n

R r dr R r dr+ − − =

( )+ + − − =2

2 2 22

( ) 1 ( )( ) 0t

d R r dR rk r n R r

dr r dr2tk

2 2tk χ− =

179

per cui risulta essere una quantità reale positiva; eseguiamo quindi il cambio di variabile:

Si ha:

t

x rχ=

2 22

2 2

( )

dR dR dx dRdr dx dr dxd R d dR d dR d dR d R rdr dr dx dx dr dx dx dr

χ

χ χ χ χ χ

= =

= = = =

Allora l’equazione in esame diviene:

che è la nota equazione di Bessel, nel caso particolare di ν parametro intero (ν=n); la sua soluzione generale è esprimibile come combinazione lineare dei due integrali particolari J (x) e Y (x), funzioni di Besseldi prima e seconda

2

2 2

2

22

2

2

2

2

2

( ) 1 ( )

( ) ( )1 ( ) 0

1 ( ) 0d R x dR x n

R xdx

d R x dR

x

x nR x

dx x dx x

dx x

χχ χ + + − =

+ + − =

180

due integrali particolari Jn(x) e Yn(x), funzioni di Besseldi prima e seconda specie, rispettivamente:

L’equazione differenziale di Bessel è in genere definita per x>0 ( r>0), ma la sua soluzione generale ha una singolarità per x=0 (r=0), dovuta alla presenza della Yn(x) che diverge quando .La R(x)è direttamente collegata ai valori delle grandezze fisiche del campo e.m. e deve perciò risultare determinata e finita in ogni punto della guida, compresi quelli dell’asse r=0 B2=0 e R(r)= B1 ϑν(χr)

1 2( ) ( ) ( )n nR x B J x B Y x= +

0x →

L’autosoluzione dell’equazione di Helmholtz assume quindi la forma:

Questa espressione può essere posta in forma più compatta.Le costantiA1 e A2 possono sempre essere espresse in funzione di un’altra opportuna coppia di costanti (P, ) mediante le seguenti relazioni:

( , ) ( ) ( )T r R rθ θ= Θ

[ ]1 1 2( , ) ( ) sin( ) cos( )nT r B J r A n A nθ χ θ θ= +

1 sin

cos

A P

A P

ϕϕ

= −=

181

In questo modo si ha:

e ponendo B1C=P l’autosoluzione può essere scritta come segue:

2 cosA P ϕ=

1 2sin( ) cos( ) sin sin( ) cos cos( ) cos( )A n A n P n P n P nθ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ+ = − + = +

2

0,1,2,...( , ) ( )cos( )n

t

nT r CJ r n con

kθ χ θ ϕ

χ

== + = −

• L’autosoluzione per i modi TE è:

• Imponiamo la condizione al contorno:

Nel sistema di riferimento che abbiamo scelto, il versore n0 della normale al mantello metallico ha direzione radiale (n0=r0 su s); per cui, avendo indicato con a il raggio della sezione della guida, la condizione al contorno diviene:

Onde TE:

( , ) ( )cos( )z nh r CJ r nθ χ θ ϕ= +

/ 0zh n su s∂ ∂ =

182

con a il raggio della sezione della guida, la condizione al contorno diviene:

Questa condizione deve essere verificata per qualsiasi valore di :

Indichiamo con l’m-esimo zero (ordinato secondo valori crescenti dell’argomento >0) della derivata della funzione di Bessel di prima specie di ordinen.

( , ) ( )0 cos( ) 0z n

r a r a

h r dJ rC n

r drθ χθ ϕ

= =

∂ = ⇒ + =∂

( )0 ( ) 0In

nr a

dJ rJ a

drχ χ

=

⇒ = ⇒ =

,In m aξ χ=

Ogni coppia di indici (n,m) individua il relativo per cui:

Ricordando che si era posto:

è quindi determinato lo spettro degli autovalori dei modi TE[n,m] in guida d’onda circolare:

,[ , ]

In m

n m a

ξχ χ= =

χ

2 2tk χ− =

ξ == − =

2

,2[ , ]

0,1,2

1,2,3

In m

t n m

nk con

a m

183

Il generico modo TE[n,m] è ricavabile dall’autofunzione:

= 1,2,3a m

,( , ) cos( )In m

z nh r CJ r na

ξθ θ ϕ

= +

costante di ampiezza individuabile dalle condizioni di eccitazione

angolo di fase connesso alla polarizzazione

iniziale dell’onda e.m.

184valori

numerici

ordinamento degli zeri delle

derivate 1,1Iξ 2,1

Iξ 0,1Iξ 1,2

Iξ 2,2Iξ 0,2

Iξ 1,3Iξ 2,3

Iξ 0,3Iξ

1 2 30 3.832 7.016 10.1741 1.841 5.331 8.5362 3.054 6.706 9.970

n m

Nell’ordinare le radici della non abbiamo considerato lo zero( ).

A questo zero corrisponde l’autovalore nullo e si ha:

( ) 0InJ aχ =

0I aξ χ= =2tk

( (0) 0) : ( , ) 00

( (0) 1) : ( , ) cos0n zJ h rper n

J h r Cper n

θθ ϕ

→ = =≠→ = ==

n∀

185

L’autosoluzione nulla o costante, dando luogo a campi e.m. privi di interesse, non viene presa in esame.Ciò comporta anche che in effetti è reale negativo.2

tk

0( (0) 1) : ( , ) cos0 zJ h r Cper n θ ϕ→ = ==

• Deduciamo ora le varie componenti del campo TE[n,m]:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]10 200 0

1 1 2 2

1t

q qr

h q h q r rθ

θ∂ ∂ ∂ ∂

∇ = + = +∂ ∂ ∂ ∂

[ , ]0 0 2

[ , ]

[ , ] [ , ]0 002 2

[ , ] [ , ]

, , cos( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1 I IIn m

z n mt r t z

t n m

z n m z n mz z

t n m t n m

n mn

kh r h r r h r h r

k

k kh hr C r

k r r kJ r n

a a

ϑθ θ θ θ

ξ ξθ ϕ

θ

θθ

⇒ = + = ∇ =

∂ ∂ = + = +

+ ∂ ∂

186

e:

[ , ,]2[ , ]

sin( )z n m

t n m

In m

n

k Cnk

J r nar

ξθ ϕ

+

+

0 00[ , ]

0 00

0 0[ , ] [ , ] [ , ]

( , ) ( , ) ( , )

0

0 0 1

tt rz n m

r rz n m z n m z n m

je r e r r e r h z

k

r zj j j

h h h r hk k k

θ

θ θ

ωµθ θ θ θ

θωµ ωµ ωµ θ

= + = × =

= = −

• Riassumiamo le componenti trasverse di un’onda TE in guida circolare ideale:

θ

ξωµθ θ ϕ

ξ ξωµθ θ ϕ

θ

= − +

= − +

=

,2[ , ]

, ,2[ , ]

( , ) sin( )

( , ) cos( )

( , ) 0

In m

r nt n m

I IIn m n m

nt n m

z

j ne r C J r n

k r a

je r C J r n

k a a

e r

187

θ

ξ ξθ θ ϕ

ξθ

= +

= −

[ , ] , ,2[ , ]

[ , ] ,2[ , ]

( , ) cos( )

( , )

z

I IIz n m n m n m

r nt n m

Iz n m n m

nt n m

kh r C J r n

k a a

k nh r C J r

k r aθ ϕ

ξθ θ ϕ

+

= +

,

sin( )

( , ) cos( )In m

z n

n

h r CJ r na

• La legge di dipendenza da zè del tipo:

• Si ha quindi la completa conoscenza del campo TE:

1 2

1 2

( )

( )

z z

z z

k z k ze

k z k zh

Z z Pe P e

Z z Pe P e

= +

= − +

0 0( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )t t e r e eE E e r Z z e r Z z r e r Z zθθ θ θ θ= = = +

188

• La costante di propagazione kz risulta determinata per ogni modo dalla relazione:

0 0

0 00

( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )t tz h z e

r h h z e

H H H z h r Z z h r Z z z

h r Z z r h r Z z h r Z z zθ

θ θθ θ θ θ

= + = + == + +

ξω µε

= − = − +

2

,2 2 2[ , ] [ , ]

In m

z n m t n m ck k ka

• Considerando il dielettrico non dissipativo è possibile individuare la frequenza di taglio di un modo tramite la:

Come al solito, si può osservare che la frequenza di cut-off di ogni modo ε µ

ξω µε

= − =

2

,2 2[ , ]

In m

c t n mka

,1 In m

c a

ξω

µε⇒ =

,[ , ] 2 2

In mc

c m n

cf

a

ξωπ π

⇒ = =

189

dipende esclusivamente dalla struttura, tramite ε e µ del mezzo e la dimensione a della sezione.Con riferimento ai dati della tabella degli zeri delle derivate delle funzioni di Bessel di prima specie mostrata in precedenza, il minimo valore che la frequenza di taglio può assumere al variare degli indici m e n si ottiene per m=1 e n=1 (in corrispondenza del primo zero della derivata della funzione di Bessel di prima specie di ordine 1: ):

,[1,1] 0.293

2

In m

c

c cf

a a

ξπ

= ≈

1,1 1.841...Iξ =

il modo TE[n,m] è il modo dominante in guida d’onda circolare

• L’autosoluzione per i modi TM è:

• Imponiamo la condizione al contorno:

Indichiamo con l’ m-esimo zero della funzione di Bessel di prima

Onde TM:

( , ) ( )cos( )z ne r CJ r nθ χ θ ϕ= +

0ze su s=

θ χ θ ϕ χ= =

= ⇒ + = ⇒ =( , ) 0 ( )cos( ) 0 ( ) 0z n nr a r ae r CJ r n J a

aξ χ=

190

Indichiamo con l’ m-esimo zero della funzione di Bessel di prima specie di ordinen.

,n m aξ χ=

Ogni coppia di indici (n,m) individua il relativo :

E’ quindi determinato lo spettro degli autovalori dei modi TM(n,m) in guida d’onda circolare (non consideriamo il caso banale, per n≠0, di ):

ξχ χ= = ,

( , )n m

n m a

χ

ξ == − =

2

,2( , )

0,1,2

1,2,3n m

t n m

nk con

a m

0ξ =

191valori

numerici

ordinamento degli zeri

0,1ξ 1,1ξ 0,2ξ2,1ξ 1,2ξ 2,2ξ 0,3ξ 1,3ξ1 2 3

0 2.405 5.520 8.6541 3.832 7.016 10.1742 5.135 8.417 11.620

n m

Il generico modo TM(n,m) è ricavabile dall’autofunzione:

,( , ) cos( )n mz ne r CJ r n

a

ξθ θ ϕ

= +

Deduciamo le varie componenti del campo TM(n,m):

( , )0 0 2

( , )

( , ) ( , )0 002 2

, , cos( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1

z n mt r t z

t n m

z n m In m n mn

z n mz z

ke r e r r e r e r

k

k ke er C r

k r r kJ r n

a a

ϑθ θ θ

ξ ξθ ϕ

θ θ

θθ

= + = ∇ =

∂ ∂ = +

+

= + ∂ ∂

192

0 002 2( , ) ( , )

( , )2( )

,

,

cos( )

sin( )

n

n mn

t n m t n m

z n m

t n m

r C rk r r k

J r na a

J rk Cn

nak r

θ ϕ

ξϕ

θθ

θ

= + +

+

= + ∂ ∂

+ −

0 00( , )

0 00

0 0( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

0 0 1

0

ct tr

z n m

c c cr

z n m z n m z n mr

jh r h r r h r z e

k

r zj j j

e r ek k k

e e

θ

θ

θ

ωεθ θ θ θ

θωε ωε ωε θ

= + = × =

= = − +

• Riassumiamo le componenti trasverse di un’onda TM in guida circolare ideale:

θ

ξ ξθ θ ϕ

ξθ θ ϕ

ξθ θ ϕ

= +

= − +

= +

( , ) , ,2( , )

( , ) ,2( , )

,

( , ) cos( )

( , ) sin( )

( , ) cos( )

Iz n m n m n mr n

t n m

z n m n mn

t n m

n m

ke r C J r n

k a a

k ne r C J r n

k r a

e r CJ r n

193

θ

ξθ θ ϕ

ξωεθ θ ϕ

ωεθ

= +

= +

=

,

,2( , )

( ,

( , ) cos( )

( , ) sin( )

( , )

n mz n

n mcr n

t n m

c

t n m

e r CJ r na

j nh r C J r n

k r a

jh r C

k

ξ ξθ ϕ

θ

+

=

, ,2

)

cos( )

( , ) 0

In m n mn

z

J r na a

h r

• La legge di dipendenza da zè al solito del tipo:

• Si ha quindi la completa conoscenza del campo TM:

1 2

1 2

( )

( )

z z

z z

k z k ze

k z k zh

Z z Pe P e

Z z Pe P e

= +

= − +

0 0( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )t tz e z hE E E z e r Z z e r Z z z

e r Z z r e r Z z e r Z z z

θ θθ θ θ θ

= + = + == + +

194

• La costante di propagazione kz risulta determinata per ogni modo dalla relazione:

0 00

0 0

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

r e e z h

t t h r h h

e r Z z r e r Z z e r Z z z

H H h r Z z h r Z z r h r Z z

θ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + +

= = = +

ξω µε

= − = − +

2

,2 2 2( , ) ( , )

n mz n m t n m ck k k

a

• Considerando il dielettrico non dissipativo è possibile individuare la frequenza di taglio di un modo tramite la:

2

,2 2 n mc tk

a

ξω µε

= − =

,1 n mc a

ξω

µε⇒ =

,( , ) 2 2

n mcc m n

cf

a

ξωπ π

= =⇒

195

Modo dominante

• Riferendosi ai dati forniti dai grafici e dalle tabelle sulle funzioni di Bessel e le loro derivate, è possibile ricavare lo spettro dei modi di propagazione in guida d’onda circolare (di sezione avente raggio a).

Ricordando che:

ξ = −

2

,2( , )

n mt n mk

a

ξ = −

2

,2[ , ]

In m

t n mka

196

si può costruire una tabella di valori per i primi modi.

a a

ξπ

= ,[ , ] 2

In m

c m n

cf

a

ξπ

= ,( , ) 2

n mc m n

cf

a

[ , ][ , ] ,

2πλξ

= =c m n Ic m n n m

c af

πλξ

=( , ),

2c m n

n m

a

Ordine Modi Zeri a|kt|2 (*) afc (*) λc/a (*)

1 TE 11 1.841 3.389 8.784 3.413 2 TM 01 2.405 5.784 11.475 2.613 3 TE 21 3.054 9.327 14.572 2.057 4 TE 01-TM 11 3.832 14.684 18.284 1.640 5 TM 21 5.135 26.368 24.501 1.224 6 TE 12 5.331 28.420 25.437 1.179 7 TM 02 5.520 30.470 26.338 1.138 8 TE 22 6.706 44.970 31.997 0.937 9 TE 02-TM 12 7.016 49.224 33.477 0.896 10 TM 22 8.417 70.846 40.161 0.746

197

• Nella banda di frequenze comprese tra 8.784/a e 11.475/a GHz(nel caso ideale) si ha propagazione del solo modo dominante TE[1,1].

10 TM 22 8.417 70.846 40.161 0.746 11 TE 13 8.536 72.863 40.729 0.736 12 TM 03 8.654 74.892 41.292 0.726 13 TE 23 9.970 99.401 47.572 0.630

(*) i valori numerici sono stati ottenuti considerando il raggio a della guida espresso in cm

( )

( )θ

ξωµθ θ ϕξωµθ ξ θ ϕξ

θ

= +

= +

=

/1 112

2/11

/1 112/

11

( , ) sin

( , ) cos

( , ) 0

r

I

z

rJ

j a ae r C

r

j a re r C J

a

e r

• Le componenti del modo dominante TE[1,1] sono rappresentate dalle seguenti espressioni:

198

( )

( )θ

θ

ω µε ξθ ξ θ ϕ

ξ

ξω µε ξθ θ ϕ

ξ

θ ξ

=

− = − +

− = +

=

22 2 /11 /

1 11/11

/22 2 / 1 11

11/

11

/1 11

( , ) 0

( , ) cos

( , ) sin

( , )

z

Ir

z

e r

j a rh r C J

a

rJ

ja a ah r C

r

rh r CJ ( )θ ϕ +

cos

a

Dalle espressioni precedenti può dedursi l’andamento qualitativo delle linee di forza per il campo e.m. TE[1,1] :

=0 = 0

199

campo elettricocampo magnetico

L’orientamento delle linee di forza del campo e.m. è direttamente individuato dal valore di ϕ, generalmente determinato dalle condizioni di eccitazione iniziale. La polarizzazione dell’onda è perciò indipendente dalla struttura (ciò è giustificabile intuitivamente in quanto la simmetria radiale della sezione della guida non presenta direzioni privilegiate).

• Poiché nella guida possono propagarsi onde comunque polarizzate, alcune alterazioni (deformazioni, imperfezioni varie, ecc.) in pratica vanno a modificare, se rilevanti, la polarizzazione del campo: generalmente ciò comporta perdite di informazione.Per ovviare a questo tipo di inconvenienti, si è pensato, fra le altre cose, di utilizzare al posto delle guide circolari quelle a sezione ellittica, i cui assi definiscono direzioni privilegiate per le linee di forza.

200

• La classe di modi TE[0,m] risulta particolarmente interessante.Dall’espressione generale dei TE, ponendo n=0, si ottiene:

Modi circolari e modi degeneri

θξ ξωµ ϕ

=

= −

=

0, 0,02

[0, ]

( ) 0

( ) cos

( ) 0

r

I IIm m

t m

z

e r

je r C J r

k a a

e r

201

Questi modi sono detti circolari elettrici in quanto il campo elettrico che (come quello magnetico) dipende solo da r, è puramente circonferenziale.

θ

ξ ξϕ

ξϕ

=

=

=

=

[0, ] 0, 0,02

[0, ]

0,0

( ) 0

( ) cos

( ) 0

( ) cos

z

I IIz m m m

rt m

Im

z

e r

kh r C J r

k a a

h r

h r C J ra

TE[0,1] TE[0,2],

• Linee di forza del campo elettrico per i modi circolari elettrici(criterio di Faraday):

202

e

r

10

II oe J r

aθξ

20

II oe J r

aθξ

e

r

• Analisi dell’attenuazione dei modi circolari elettrici:

Essendo sempre nulla la componente circonferenziale del campo magnetico

ed il mantello metallico della guida è percorso solo da correnti circonferenziali.Le perdite energetiche dovute alle dissipazioni per effetto Joule di queste correnti, possono essere valutate attraverso la costante di attenuazione per unità di lunghezza αz(ω). Secondo la notazione già adottata si ha: α (ω)=C(ω) (infatti il termine

00 0( ) 0Itt rh h s h r rτ θ= ⋅ = ⋅ =

203

Secondo la notazione già adottata si ha: αz [0,m](ω)=C(ω) (infatti il termine L(ω) si annulla).

Allora i modi circolari elettrici presentano un’attenuazione sempre minore all’aumentare della frequenza, tendendo a

zero con ordine 3/2 per.

αz[0,m](ω)

ω(ωc,0)

ω → ∞

La bassa attenuazione alle alte frequenze dei TE[0,m] rispetto ai generici TE[m,n], ha suggerito l’uso dei modi circolari per collegamenti a grande distanza.Questo tipo di trasmissione comporta però problemi di carattere tecnico che generalmente si manifestano quando si lavora con frequenze maggiori di quelle della banda unimodale (per evitare questo inconveniente si cerca di rendere massima l’attenuazione per i modi parassiti, ossia per i modi indesiderati di ordine inferiore, ad esempio con guide ad elica).

• Dalla proprietà delle funzioni di Bessel:

204

• Dalla proprietà delle funzioni di Bessel:

si ha che gli zeri della derivata della funzione di Bessel di ordine zero coincidono con quelli della funzione di Bessel di ordine uno:

I modi circolari elettrici TE[0,m] e i modi TM(1,m) sono pertanto degeneri.

0 1( ) ( )IJ x J x= −

0, 1, 1,2,3...Im m mξ ξ= =

2 2[0, ] (1, ) [0, ] (1, )t m t m z m z mk k k k⇒ = ⇒ =

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiStrutture guidanti a due o più conduttori

• Alcune fra le più note strutture guidanti a più conduttori:

linea bifilare linee a striscia

205

linea bifilare linee a striscia

microstriscia cavo coassiale linea bifilareschermata

• Le strutture guidanti a più conduttori possono essere divise in:- strutture dal contorno metallico aperto(il campo e.m. invade tutto lo spazio)- strutture dal contorno metallico chiuso(il campo e.m. rimanesostanzialmente confinato all’interno di un mantello conduttore schermante)

• Le strutture guidanti ideali a più conduttori con mezzo trasmissivo omogeneo ed isotropo sono caratterizzate dalla fondamentale proprietà di poter trasmettere onde TEM(oltre a quelle TE e TM). Per le microstrisce, costituite da dielettrico non omogeneo (esistendo due mezzi trasmissivi diversi), non è possibile avere la propagazione di onde TEM.

206

mezzi trasmissivi diversi), non è possibile avere la propagazione di onde TEM.

• Ricordiamo alcune proprietà dei campi TEM:- un campo TEM propagantesi in una struttura guidante ideale (metallo cong=∞), con dielettrico non dispersivo, omogeneo ed isotropo, a simmetrica cilindrica, ha per definizione nulle le componenti longitudinali di E e H :

1 2 1 2( , ) ( ) ( ( )

0

, )t t tt e

z z

hE E e q q Z z H H h q q Z

H

z

E

==

==

= =

1 2( ) z zk z k zeZ z P e P e −= + −= − +1 2( ) z zk z k z

hZ z P e P e

inoltre si ha:

- Se il dielettrico è anche non dissipativo(g=0):

ed il modo TEM può propagarsi senza attenuazione a qualsiasi frequenza (ilcaso ω=0 rappresentando un campo elettrostatico): esso risulta allora ilmodo dominante, avendo i campi TE e TM frequenza di taglio non nulla.

2 2 2 2 0z c tk k kω µε= − = =

2 2

0

z z

z

z zz

k j j

c

k ω µε α β ωα

ωβ ω µεµε

=

=

= − ⇒ = +

== ⇒

207

modo dominante, avendo i campi TE e TM frequenza di taglio non nulla.La banda di regime unimodale è pertanto delimitata dalla frequenza di tagliodel primo modo di ordine superiore (che, come può dimostrarsi, risultasempre un TE).

- Dalla dipendenza lineare con la frequenza della costante di fase dell’ondaTEM, consegue che le relative velocità di fase, dell’energia e di gruppocoincidono fra loro, risultando indipendenti da ω e pari alla velocità della luce nel mezzoc:

sistema non dispersivoz w gu u u c= = =

• In realtà la presenza di dissipazioni energetiche modifica le considerazioni teoriche:le correnti che si generano sui mantelli metallici implicano generalmente l’esistenza di componenti assiali dei campi e.m., per cui non si ha un vero e proprio modo TEM ma piuttosto un modo ibrido.

• Per quanto riguarda il problema e.m. sulla generica sezione trasversale, si ha

208

• Per quanto riguarda il problema e.m. sulla generica sezione trasversale, si ha che per un’onda TEM e sono tra loro ortogonali:

L’impedenza d’onda è indipendente dalla forma della struttura e coincide con l’impedenza caratteristica del mezzo in cui si ha propagazione:

1 2( , )te q q 1 2( , )th q q

0tt TEMe Z h z= ×

TEMc

Zµε

=

• Abbiamo visto che risulta irrotazionale e solenoidale in regioni prive di sorgenti, potendosi collegare ad un potenziale scalare mediante la relazione seguente:

dove Φ deve soddisfare l’equazione di Laplace:

1 2( , )te q q

1 2 1 2( , ) ( , )t te q q q q= −∇ Φ

2 ( , ) 0q q∇ Φ =

209

in ogni punto della sezione esterna ai conduttori, risultando costante sul bordo di ognuno di essi.

• Come già dimostrato, soluzioni Φ non costanti possono aversi solo in campi non semplicemente connessi, cui corrispondono strutture guidanti costituite da più conduttori disgiunti.

21 2( , ) 0t q q∇ Φ =

S

• Analizziamo per semplicità linee guidanti costituite da due conduttori ideali con dielettrico omogeneo, isotropo e privo di perdite.

Ss1

s2

1

2

l0AB

l0AB

s1

s2S

1

2

z0

210

Le condizioni al contorno sono sul bordo s1 del conduttore 1 sul bordo s2 del conduttore 2

Per l’esistenza di campi TEM deve imporsi:

2

struttura a due conduttorichiusa

struttura a due conduttoriaperta

1ϕΦ =2ϕΦ =

1 2ϕ ϕ≠

• L’integrale di linea di sul piano trasverso fra un generico punto A su s1 e uno B su s2, lungo un qualsiasi percorso orientato l S(con versore l0), è dato da:

esso è cioè indipendente dal percorso scelto, coincidendo col valore

te

[ ] ϕ ϕ

∂Φ⋅ = −∇ Φ ⋅ = − =∂

= − Φ − Φ = − =

∫ ∫ ∫0 0

( , ) ( , ) ( , )

1 2 0( ) ( )

t tl A B l A B l A B

e l dl l dl dll

B A V

0 1 2V ϕ ϕ= −

211

esso è cioè indipendente dal percorso scelto, coincidendo col valore

• Proprietà analoghe si possono dedurre per :

Si può quindi definire un’onda di potenziale V(z).

0 1 2V ϕ ϕ= −

tE

0 0 0

( , ) ( , ) ( , )

0

( )

( ) ( )

t tel A B l A B l A B

e

E l dl E l dl Z z e l dl

Z z V V z

⋅ = ⋅ = ⋅

= =

∫ ∫ ∫

• Per il campo diretto e per quello riflesso si ha rispettivamente:

e per l’onda di potenziale possiamo scrivere:

( )tE −( )

tE +

( ) ( )0 2 0

( , )

( )zjk zt

l A B

E l dl P e V V z+ − +⋅ = =∫

( ) ( )0 1 0

( , )

( )zjk zt

l A B

E l dl P e V V z− −⋅ = =∫( ) ( )( ) ( ) ( )V z V z V z+ −= +

212

00 0'

t t

s s S

H s ds H s ds H z dS⋅ = ⋅ = ∇ × ⋅∫ ∫ ∫

'S

• Consideriamo ora il campo magnetico: la sua circuitazione sul piano trasverso lungo una linea s (di versore s0) circondante un conduttore, diviene per il teorema di Stokes:

dove è la superficie piana (orientata secondo la convenzione per cui si vede spercorsa in verso antiorario) delimitata da s.

Sc

sc

n0

'S

s0

s

z0

Dall’equazione di Maxwell:

si ricava:

in cui il primo integrale a secondo membro è nullo ( ).La densità di corrente è presente solo sulla superficie esterna del conduttore che

t tH j E J H j E Jωε ωε∇ × = + ⇒ ∇ × = +

( ) 0 0 00' ' '

ωε ωε⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫ t t t

s S S S

H s ds j E J z dS j E z dS J z dS

0tE z⊥

213

La densità di corrente è presente solo sulla superficie esterna del conduttore che si è ipotizzato ideale, si ha infatti la nota condizione di continuità (n0 uscente dal metallo):

La densità superficiale di corrente è diretta assialmente, si ha quindi:

0 0t S S cn H J J z su s× = =

1SJ A m − ⋅

0 0

' c c

S SS s s

J z dS J z ds J ds⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

La circuitazione di diviene allora:

dove con I si è indicata la corrente che percorre la superficie esterna del conduttore in direzione longitudinale: essa è considerata positiva se è concorde con z0 ( ), negativa se discorde ( ).L’espressione trovata rappresenta la Legge di Ampere.

e I risultano dipendenti dalla coordinata zsecondo la stessa legge di variazione del campo magnetico; infatti:

tH

[ ]0

c

t Ss s

H s ds J ds A⋅ = = Ι∫ ∫

SJ0SJ > 0SJ <

SJ( )hZ z

( ) ( , ) ( , , ) ( )H s ds Z z h q q s ds J q q z z ds I z⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

214

e pertanto:

con I0 costante.In tal modo il problema in funzione delle sole coordinate trasverse diventa, essendo :

00 01 2 1 2( ) ( , ) ( , , ) ( )c

t t Shs s s

H s ds Z z h q q s ds J q q z z ds I z⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

1 2 1 2 0( , , ) ( ) ( , ) ( ) ( )S h hSJ q q z Z z j q q z Z z= Ι = Ι

0 0t S cSn h j j z su s× = =

001 2 1 2 1 2 0( , ) ( , ) ( , )c c

t S Ss s s

h q q s ds j q q z ds j q q ds⋅ = ⋅ = = Ι∫ ∫ ∫

• Analogamente a quanto visto per V(z), si definisce un’onda di correnteI(z):

( ) ( )0 2 0 ( )zjk z

t

s

H s ds P e z+ − +⋅ = Ι = Ι∫

( ) ( )0 1 0 ( )zjk z

t

s

H s ds P e z− −⋅ = − Ι = −Ι∫( ) ( )( ) ( ) ( )z z z+ −Ι = Ι − Ι

215

• Riassumendo, il problema della determinazione del campo e.m. TEM è riconducibile ad un problema di tipo statico, risultando Φ, et , ht indipendenti da ω.La componente et è infatti generata da due conduttori aventi differenza di potenziale elettrostatico V0.La componente ht è generata dalle correnti stazionarie ±I0 che percorrono in versi opposti le superfici metalliche.

• Accenniamo ora al comportamento di un campo e.m. generico, avente le componenti longitudinali di E e H non nulle. Infatti, come già osservato, non è possibile avere in pratica modi guidati propriamente del tipo TEM, TE o TM, a causa delle dissipazioni.Cercheremo anche di chiarire quali sono i limiti entro i quali è ragionevole approssimare i campi reali con quelli ideali.

In una struttura guidante a più conduttori il generico campo e.m. soddisfa le equazioni di Maxwell:

∫ ∫ ∫

216

essendo Suna qualsiasi superficie piana di contorno s.La precedente espressione (legge di Faraday-Neumann-Lentz), ricordando che:

assume la forma:

0 00S s S

E j H E z dS E s ds j H z dSωµ ωµ∇ × = − ⇒ ∇ × ⋅ = ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫

0 00 t t tz e z e zE z s H z E Z e H Z h⊥ ⊥ = =

00 0t tz zs S s S

E s ds j H z dS e s ds j h dSωµ ωµ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ = −∫ ∫ ∫ ∫

Quindi il campo elettrico trasverso è in genere non conservativo, per la presenza di un flusso assiale di induzione magnetica variabile (generante una forza elettromotrice indotta): si ha conservatività (per ω >0) solo sesu S(campi TM e TEM).

Analogamente si ottiene:

La precedente espressione ricordando che:

0 0 00S s S S

H j E J

H z dS H s ds j E z dS J z dS

ωµεωε

∇ × = +

⇒ ∇ × ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫

0zh =

217

La precedente espressione ricordando che:

ed indicando con

la somma algebrica delle correnti longitudinali che percorrono le superfici sci

dei conduttori concatenati con s ( ), abbiamo:

0 00 t t tz h z h zH z s E z H Z h E Z e⊥ ⊥ = =

0 0i

ci

s ii iS s

J z dS J z ds⋅ = ⋅ = Ι∑ ∑∫ ∫

0( ) ( )i h iz Z zΙ = Ι

0 0 0t tz i z ii is S s S

H s ds j E dS h s ds j e dSωε ωε⋅ = + Ι ⇒ ⋅ = + Ι∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

La non conservatività del campo magnetico è causata, oltre che dalle eventuali correnti di conduzione, anche dalla presenza della corrente di spostamento, legata al flusso assiale di : questa è nulla (per ω>0) solo sesuS(campi TE e TEM).

In definitiva è lecito ricondurre l’analisi di campi e.m. reali alla teoria ideale fin qui svolta per i modi TE, TM, TEM, per quella gamma di frequenze che rendono trascurabili i valori della correnti di spostamento (TE), di induzione (TM), o di entrambe (TEM).

0ze =D Eε=

218

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiCavo coassiale

• La struttura guidante considerata (conduttore e dielettrico perfetti) è la seguente:

y

x

Sistema di riferimento:coordinate cilindricheq1=r, q2=θ, z=z

219

2a 2b0θ rθ

z0

xz

diametro esternodel conduttore interno

diametro internodel conduttore

esternoS

• L’espressione delle componenti sul piano trasverso per il TEM si ottiene dalla:

con le condizioni al contorno:

• In coordinate polari:

∇ Φ =21 2( , ) 0t q q su S

ϕΦ = a

ϕΦ = b

costante sul bordo del conduttore interno sa

costante sul bordo del conduttore esterno sb

220

• In coordinate polari:

• Con il metodo di separazione delle variabili si può ricavare l’autofunzione nella forma:

θ θ θθθ

ϕ θϕ θ

∂ Φ ∂Φ ∂ Φ∇ Φ = + + =∂ ∂ ∂

Φ = = ∀Φ = = ∀

2 22

2 2 2

( , ) 1 ( , ) 1 ( , )( , ) 0

,

,

t

a

b

r r rr

r r r rper r a

per r b

θ θΦ = Θ( , ) ( ) ( )r R r

Moltiplicando per la quantità (dove l’autosoluzioneè priva di interesse):

θ

θθ θθΘΘ + Θ + =

2 2

2 2 2

( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) ( ) 0

d R r dR r dR r

dr r dr r d

Φ = Θ = 0RΘ2 /r R

Θ+ + =Θ Θ

Θ⇒ + = −

Θ Θ

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

10

1

r d R r dR dR dr R dr d

r d R r dR dR dr R dr d

221

L’uguaglianza tra i due membri, uno funzione della sola r, l’altro della sola θ, è verificata soltanto qualora questi assumano, al variare di r e θ, il medesimo valore costante:

ν

ν

ν

Θ+ = − =Θ Θ

+ − =

⇒ Θ = − Θ

Θ

2 2 22

2 2

2 22

2

22

2

1

0

r d R r dR dR dr R dr d

r d R r dRR dr R dr

dd

La seconda equazione è la nota equazione dei moti armonici, avente la soluzione:

Affinchè risulti costante sul contorno metallico

Θ θ

θ νθ νθ νθ θ ν

Θ = + ≠Θ = + =

1 2

1 2

( ) sin( ) cos( ) 0

( ) 0

A A per

A A per

Φ = ΘR

θ ϕθ ϕ

Θ =Θ =

( ) ( )

( ) ( )a

b

R a

R b

222

la funzione Θ deve considerarsi indipendente da θ, il che implica:

Per la R(r) si ha allora l’equazione differenziale:

ν θ= ⇒ Θ = ==1 2(0 0 ) cos tA Ae

+ = ⇒ + =

⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 2 2

2 2

33

0 0

0

r d R r dR d R dRr

R dr R dr dr drAd dR dR dR

r r Adr dr dr dr r

Integrando:

con A3, A4, costanti.L’autosoluzione Θ risulta dunque in questo caso indipendente dalla coordinata θ, avendosi (ponendo A2A3=C1 eA2A4=C2):

Le costanti C1 eC2 sono direttamente legate ai valori del potenziale Φ sul contorno ed alle dimensioni a e b della struttura, si hanno infatti le condizioni:

= +3 4( ) lnR r A r A

( )θΦ = Φ = + = +2 3 4 1 2( , ) ( ) ln lnr r A A r A C r C

223

condizioni:ϕ θϕ θ

ϕ ϕϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕϕ ϕ

= + = ∀ = + = ∀

−⇒ − = − ⇒ =

= + = +

−⇒ − = − ⇒ =

1 2

1 2

1 1 1

1 2

1 2

2 2 2

ln ,

ln ,

ln lnln( / )

ln ln ln ln

ln ln ln ln

ln lnln ln ln ln

ln( / )

a

b

b ab a

a

b

a ba b

C a C per r a

C b C per r b

C b C a Cb a

b C a b C b

a C a b C a

b ab a C b C a C

b a

In definitiva si ha per il potenziale scalare:

• Le espressioni del campo e.m. per il modo fondamentale in cavo coassiale sono date da:

Le componenti si ricavano da Φ con le note formule di derivazione:

( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ Φ = − + − 1

( ) ln ln lnln / b a a br r b a

b a

, tte h

= == =

t t e

t t h

E E e Z

H H h Z

224

Le componenti si ricavano da Φ con le note formule di derivazione:

Il campo elettrico risulta puramente radiale, quello magnetico puramente circonferenziale(essi sono indipendenti da θ e le loro intensità variano secondo 1/r): il loro verso è determinato dal segno della differenza di potenziale .

tt

ϕ ϕ

ϕ ϕε ε θθµ µ

Φ= −∇ Φ = − = =

= −× = =

− 00 00

0000

( ) 1( )

ln( / )

1( )

ln

1( )

ln( / )

1( / )

1( )

ln( / )

t

tTE

a bt

a bt

M

Vd rr r r

dr b a r

Vz e r

Z b

e r rb a r

h raa rb r

ϕ ϕ− = 0a b V

• Linee di forza del campo TEM:

ϕ ϕ>a b ϕ ϕ<a b

225

L’autofunzione Φ è interpretabile fisicamente come potenziale elettrostatico della struttura in esame: in pratica la scelta del valori ϕ a e ϕ b è arbitraria, risultando invece determinata la sola differenza di potenziale tra i due conduttori .Ricordando l’espressione di Φ(r) si osserva che questa è definita a meno di una costante additiva: il modo fondamentale è comunque ricavabile senza indeterminazione, dipendendo unicamente da V0 (le espressioni dei campi e.m. sono infatti legate a su cui la costante additiva non influisce).

ϕ ϕ− = 0a b V

∇ Φ( )t r

• La potenza media P (valor medio della potenza istantanea in un periodo) trasmessa nella linea coassiale, è esprimibile come parte reale del flusso del vettore di Poynting complesso attraverso la sezione S:

Nelle ipotesi poste (struttura ideale priva di perdite) per il TEM si ha:

Potenza

θ π∗

≤ ≤ ≤ ≤

= × ⋅∫ 0

: 0 2

1Re

2S

S a r b

P E H z dS

β ω µε= =

226

per cui considerando la sola onda progressiva si ha:

dove:

β ω µε= =z zk j j

∗∗= × ⋅∫ 2 2

0Re2 tt

S

P PP e h z dS

µε

∗ ∗ ∗

∗∗

× ⋅ = × ⋅ = ⋅

⇒ = ⋅∫

0 0

2 2

2

t t t tt t TEM

t t

S

e h z z e h Z h h

P PP h h dS

• Per il cavo coassiale:

θ π

θ

ε θµ

µ ε θε µ

ε ε

∗ = =

= =

∗∗

=

⇒ = ⋅ =

∫ ∫

00

2 202 2

20

2 2

1ln( / )

12 ln( / )

t

r b

r a

Vh

b a r

VP PP rdrd

b a r

V VP P b

227

Le condizioni di eccitazione iniziale sulla potenza determinano il valore di P2.

ε επ πµ µ

∗∗ = =

20 02 2

2 22 ln2 ln( / ) ln( / )

V VP P bP P

b a a b a

Attenuazione

• Per il calcolo della costante di attenuazione del modo dominante in cavo coassiale, ricordiamo l’espressione generale valida per un TEM guidato:

che era stata ricavata utilizzando il metodo di perturbazione, nell’ipotesi di buon conduttore, dielettrico perfetto, sola onda progressiva.

α z

τ τωε ωεα

∂Φ ⋅ ∂ = = =⋅ ∇ Φ

∫ ∫

∫ ∫

2

2

( )12 ( ) 8 8

d s sz

t t tS S

h h ds dsnP z

P z g gh h dS dS

228

buon conduttore, dielettrico perfetto, sola onda progressiva.• Nel caso del cavo coassiale si ha: (s=sa+sb ds=rdθ dS=rdrdθ)

θ π θ π

θ θθ π

θ

θ θωεα

θ

= =

= == == =

= =

∂Φ Φ= = ∇ Φ =∂

+

=∫ ∫

∫ ∫

0

2 220

2 2 20 0

220

2 20

( ) ( ) 1( )

ln( / )

1 1ln ( / )

8 1ln ( / )

t

r a r bz r b

r a

Vr d rr

n dr b a r

Vrd rd

b a r r

g Vrdrd

b a r

πωε ωεα

π

+ + = =⇒

1 1 1 12

8 2 ln( / ) 8 ln( / )z

a b a bg b a g b a

La costante di attenuazione dipende, oltre che dalla frequenza e dalle caratteristiche dei materiali usati, anche dalla geometria della struttura, tramite a e b.

• Per ottimizzare la trasmissione d’energia in cavo coassiale è importante

229

• Per ottimizzare la trasmissione d’energia in cavo coassiale è importante calcolare il particolare rapporto tra le dimensioni trasversali dei conduttori (ad es. b/a) per cui si abbia la minima perdita di potenza.La costante di attenuazione può essere riscritta come segue (fissate la frequenza e la dimensione b del conduttore esterno):

ωε ωεα + + += = =1 1 ( / ) 18 ln( / ) 8 ln( / ) lnz

a b b a xC

g ab b a g b b a x

Calcoliamo il valore minimo dell’attenuazione:

che risolta numericamente o graficamente fornisce:

Inoltre si ha:

α − += = ⇒ = +2

ln (1 ) / 10 ln 1

lnzd x x x

c xdx x x

( ) ( )= ≅ ⇒ ≅/ 3.591 / 0.278opt ottimale ottimalex b a a b

( )ωεα += = ≅ =

+min

1 3.5913.591

1 / 8opt

z opt

x

xC Cx C

x x b g

230

Fissato il rapporto ottimaletra b e a si può notare chel’attenuazione diminuisce ulteriormente al crescere deidiametri dei conduttori ed ovviamente all’aumentare della loro conducibilità.

• La possibilità di avere attenuazioni sempre minori all’aumentare delle dimensioni del cavo viene limitata dal fatto che al crescere di a e b diminuisce il valore della frequenza di taglio del primo modo di ordine superiore, restringendosi così l’ampiezza della banda di lavoro in regime unimodale.Per la propagazione a frequenze elevate, le dimensioni dei cavi coassiali devono perciò essere opportunamente delimitate, in considerazione anche di problemi di carattere pratico (peso, ingombro, costo, …).

• In funzione delle dimensioni del cavo, della conducibilità del metallo e della

231

• In funzione delle dimensioni del cavo, della conducibilità del metallo e della frequenza, l’attenuazione minima del modo TEM è:

ovvero, poiché :

α − −= ⋅ ⋅6 1min

19.470 10z

fNp m

b g

α − −= ⋅ ⋅3 1min

11.089 10z

fdB km

b g

≅1 0.115Np dB

Esempio: linea coassiale in rame

In realtà queste formule hanno carattere puramente teorico: i cavi utilizzati in pratica hanno infatti dimensioni normalizzate, con rapporti b/a leggermente diversi da quello ottimale; si ha ad es.:

α α− − − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅min min

( ) 9 1 ( ) 7 11.243 10 ; 1.430 10z z

Cu Cuf fNp m dB km

b b

−≅ ⋅ ⋅7 15.8 10Cug S m

232

diversi da quello ottimale; si ha ad es.:1) b=0.475 cm, a=0.130 cm b/a ≈ 3.654; ZC=77.7 Ω2) b=0.220 cm, a=0.060 cm b/a ≈ 3.667; ZC=77.9 Ω

In questi due casi il calcolo dell’attenuazione dà rispettivamente:

α

α

− − − −

− − − −

≅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ ⋅

≅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ ⋅min

min

( ) 7 1 5 1

( ) 7 1 5 1

1) 2.6 10 3 10

2) 5.65 10 6.5 10

z

z

Cu

Cu

f Np m f dB km

f Np m f dB km

• Per il calcolo dell’attenuazione per unità di lunghezza delle strutture guidanti finora esaminate, abbiamo supposto le perdite energetiche derivanti unicamente dalle dissipazioni sui mantelli metallici (costituiti da un buon conduttore), ipotizzando invece perfetto il dielettrico.

• Talvolta è inevitabile l’uso di mezzi trasmissivi dissipativi, in particolare nei cavi coassiali. E’ allora interessante determinare le perdite generate, per effetto Joule, dalle correnti di conduzione in un dielettrico non ideale.

In un mezzo omogeneo ed isotropo con g≠0:

233

In un mezzo omogeneo ed isotropo con g≠0:

La ricerca delle soluzioni del problema agli autovalori sul piano trasversale per i TE, TM e TEM, consistente in generale nell’integrazione della:

in cui è definito dalle proprietà geometriche della struttura, è sostanzialmente indipendente dalle caratteristiche del dielettrico.Le espressioni delle componenti possono quindi ottenersi da quelle ideali semplicemente sostituendo εc a ε.

ωε ωε ωε∇ × = + = + = cH j E J j E g E j E

∇ =2 2t tT k T

2tk

Importanti conseguenze si hanno invece per la costante di propagazione e quindi anche per quella di attenuazione.

Il calcolo della costante di attenuazione relativa al dielettrico (con conduttore perfetto), comporta in genere notevoli difficoltà di carattere analitico, dipendendo fra l’altro dal particolare valore di .Con opportune approssimazioni è facilmente ricavabile una forma particolarmente significativa per la costante di attenuazione dei modi TEM, per i quali il valore di coincide con quello di k ( ):

2tk

zk =2 0tk

234

per i quali il valore di coincide con quello di k ( ):

(dove la funzione Φ è la stessa del caso ideale)

εµ

= −∇ Φ = ×0c

tt tte h z e

zk = 0tk

ω µε ω µε ωµ

α β ω µε ωµ ω µεωε

= = − = − +

⇒ = + = − + = −

2 2 2 2

2 1

z c

z z z

k k j g

jgk j j g j

Nei buoni dielettrici le correnti di conduzione sono molto minori di quelle di spostamento (piccole perdite) per cui:

Allora ricordando che per |x|<<1 si ha con buona approssimazione (sviluppo in serie di MacLaurin arrestato al termine di primo grado):

per si può scrivere:

− ≅ −1 12x

x

zk

ωε ωε<< ⇒ <<g E j E g

235

Si ha cioè:

In tal caso è lecito considerare il modo TEM come un’onda piana che si propaga con costante di fase lineare con ω, attenuandosi lungo zproporzionalmente al valore di g.

µω µε ω µεωε ε

≅ − = + 1

2 2z

jg gk j j

µαε

β ω µε≅ ≅2z

g

Naturalmente si può anche determinare la costante di attenuazione con riferimento al suo significato fisico:

α

=

− + = = ⋅ ⇒

⇒ = ⋅

( )12 ( )

1( ) ( ) ( )

2

1( )

dz

dS

P zP z

P z P z dz P z dz g E E dSdz

P z g E E dS

236

Si è utilizzato ancora un metodo di perturbazione, ipotizzando che piccole perdite non alterano la configurazione del campo e.m. ideale: .

αεµ

µε

∗ ∗

∗ ∗

⇒ = ⋅

⋅ ⋅= = = =

× ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫0

( )2

1 12 2( )1 1 112 ( ) 2 2 1Re2 2

2

dS

d S Sz

S S

P z g E E dS

g E E dS g E E dSP zP z E H z S dS

g

d E E

cε ε→

• Nel cavo coassiale si possono considerare separatamente le perdite dovute ai conduttori ed al dielettrico, qualora esse non siano troppo grandi. Vale cioè, approssimativamente, la relazione:

( ) ( )( ) ( )( )1 12 ( ) 2 ( )

α+

= = =d dielettrico d conduttoredz

P z P zP zP z P z

zd zcα α= +

237

Modi TE e TM

• Esaminate le proprietà del modo dominante (TEM), vengono ora considerati i modi di ordine superiore (TE, TM) in cavo coassiale.

∇ =2 2t tT k T

θθ

θ πθ π

=

∂ ∂ = = = ≤ ≤= = = ≤ ≤

( , )

( , )

/ 0: ( , ;0 2 )

z

z

z

h r per onde TET e

e r per onde TM

h rTE su s r a r b

238

• Col metodo di separazione delle variabili si giunge, come nel caso di guida circolare, alle seguenti espressioni:

θ π= = = ≤ ≤0: ( , ;0 2 )zeTM su s r a r b

θ θ= Θ( , ) ( ) ( )T r R r

( ) ( )θ θ θ θ ϕΘ = + = + =1 2( ) sin cos cos( ) 0,1,2,...A n A n P n con n

χ χ χ= + = − >2 21 2( ) ( ) ( ) 0n n tR x B J r B Y r con k

• La condizione B2=0 che si doveva imporre nella guida circolare per avere un campo e.m. ovunque finito, non è necessaria in generale nel caso di cavo coassiale. La divergenza della per r tendente a zero, infatti, non influisce sulla determinazione dell’autosoluzione, definita ora nella corona circolare S.Si può però avere B2=0 nel caso degenere a=0, ovvero di una guida circolare con filo metallico assiale.

χ( )nY r

[ ]θ θ ϕ χ χχ=

= + + = −1 2 2 2

0,1,2,...( , ) cos( ) ( ) ( ) :n n

nT r P n B J r B Y r con

k

239

• ONDE TE:

[ ]θ θ ϕ χ χχ

= + + = −1 2 2 2( , ) cos( ) ( ) ( ) :n n

t

T r P n B J r B Y r conk

[ ]θ θ ϕ χ χ

= =

= + +

∂ ∂= =∂ ∂

1 2( , ) cos( ) ( ) ( )

0

z n n

z z

r a r b

h r P n B J r B Y r

h hr r

χ χθ ϕ

χ χθ ϕ

= =

= =

+ + =

+ + =

1 2

1 2

( ) ( )cos( ) 0

( ) ( )cos( ) 0

n n

r a r a

n n

r b r b

dJ r dY rP n B B

dr dr

dJ r dY rP n B B

dr dr

Dovendo ciò essere verificato per qualsiasi θ, si ottiene:

χ χχ χ

+ = + =

1 2

1 2

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

I In nI In n

B J a B Y a

B J b B Y b

240

Tale sistema omogeneo di due equazioni in due incognite (B1, B2) ammette soluzioni diverse dalla banale (autosoluzioni) se e solo se il determinante dei coefficienti è nullo:

che può anche porsi nella forma:

1 2n n

χ χ χ χ− =( ) ( ) ( ) ( ) 0I I I In n n nJ a Y b J b Y a

χ χχ χ

= = − =2

1

( ) ( )0,1,2,...

( ) ( )

I In nI I

n n

J a J b Bn

Y a Y b Bequazione caratteristica

Si dimostra che l’equazione caratteristica dei modi TE in cavo coassiale ammette per ogni n (fissati a e b) un’infinità numerabile di soluzioni χ.L’ m-esima radice (m=1,2,3,…) dell’equazione caratteristica di indice n per i TE, è indicata con cui corrisponde l’autovalore con n=0,1,2,…;m=1,2,…

Il problema analitico della determinazione delle soluzioni dell’equazione caratteristica può essere semplificato attraverso una normalizzazione opportuna che fa comparire il rapporto tra i diametri dei conduttori.Infatti, ponendo , per cui (con q=a/b), si ha:

χ Inm ( )χ= −

22[ , ]

It n m nmk

/a a b qχ ξ ξ= =bχ ξ=

241

Infatti, ponendo , per cui (con q=a/b), si ha:

La soluzione risulta dunque sempre la stessa per ogni classe di cavi coassiali aventi un determinato valore di q; da questa è poi possibile risalire all’autovalore per ciascun cavo:

ξ ξξ ξ

= =( ) ( )0,1,2,...

( ) ( )

I In nI I

n n

J q Jn

Y q Y

ξ Inm

ξ ξχ = ⇒ = −

2

2[ , ]

I II nm nmnm t n mk

b b

/a a b qχ ξ ξ= =bχ ξ=

• ONDE TM :

[ ]θ θ ϕ χ χ

= =

= + +

= =1 2( , ) cos( ) ( ) ( )

0

z n n

z zr a r b

e r P n B J r B Y r

e e

θ ϕ χ χ

θ ϕ χ χ

χ χ

= =

= =

+ + = ⇒

+ + =

+ =⇒

1 2

1 2

1 2

cos( ) ( ) ( ) 0

cos( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

n nr a r a

n nr b r b

n n

P n B J r B Y r

P n B J r B Y r

B J a B Y a

242

χ χχ χ

+ =⇒

+ =

1 2

1 2

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0n n

n n

B J a B Y a

B J b B Y b

χ χ χ χ− =( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n nJ a Y b J b Y a

χ χχ χ

= = − =2

1

( ) ( )0,1,2,...

( ) ( )n n

n n

J a J b Bn

Y a Y b Bequazione caratteristica

E di nuovo esistono autosoluzioni se e solo se:

Si dimostra che l’equazione caratteristica dei modi TM in cavo coassiale ammette per ogni n (fissati a e b) un’infinità numerabile di soluzioni χ.L’ m-esima radice (m=1,2,3,…) dell’equazione caratteristica di indice n per i TM, è indicata con cui corrisponde l’autovalore con n=0,1,2,…;m=1,2,…

Il problema analitico della determinazione delle soluzioni dell’equazione caratteristica può essere semplificato ponendo , per cui

(con q=a/b):

χnm ( )χ= −22

( , )t n m nmk

bχ ξ=/a a b qχ ξ ξ= =

243

(con q=a/b):

La soluzione risulta dunque sempre la stessa per ogni classe di cavi coassiali aventi un determinato valore di q; da questa è poi possibile risalire all’autovalore per ciascun cavo:

ξ ξξ ξ

= =( ) ( )0,1,2,...

( ) ( )n n

n n

J q Jn

Y q Y

ξnm

ξ ξχ = ⇒ = −

2

2( , )

nm nmnm t n mk

b b

/a a b qχ ξ ξ= =

• Si può ricavare analiticamente che fra tutte le soluzioni e , quella avente valore minimo è la , cui corrisponde il primo modo d’ordine superiore TE[1,1] (delimitante la banda di range unimodale).Per tale modo si ha:

ξ Inm ξnm

ξ1,1I

ξ

ξ

= −

2

2[ , ]

Inm

t n mkb 1.9

ξ1,1( )I q

244

ξω

ξπ

λ πξ

=

=

=

[ , ]

[ , ]

[ , ]

2

2

Inm

c n m

Inm

c n m

c n m Inm

cb

cf

bb

0 1 q1.0

• Al diminuire del raggio del conduttore interno ( , ), il valore diessendo:

si ottiene semplicemente dal primo zero della che si ha quando

Pertanto, nel caso limite di , il primo modo di ordine superiore in cavo coassiale tende ad assumere lo stesso autovalore, nonché la stessa frequenza di taglio e la stessa configurazione, del modo dominante in guida circolare (di

ξ1,1I

ξ ξξ ξ→

= =1 1

01 1

( ) ( )lim 0

( ) ( )

I I

I Iq

J q JY q Y

ξ =1( ) 0IJ

ξ ξ= =1,1 1.841...I

0a →

0a → 0q →

245

di taglio e la stessa configurazione, del modo dominante in guida circolare (di raggio b).

• Il caso limite , ,è privo di interesse, non esistendo più in pratica il mezzo trasmissivo; l’equazione caratteristica, e quindi B1 e B2, risultano in effetti indeterminate.

• Fissato un valore di q, il modulo di ed il valore di fc di ogni modo diminuiscono al crescere delle dimensioni del cavo, riducendosi tra l’altro la banda del range unimodale.

2tk

a b→ 0q →

• La tabella fornisce lo spettro dei primi per un cavo coassiale con q=0.278 (valore ottimale per l’attenuazione del TEM):

ξ1,1I

Ordine Modi Zeri ( ) bfc (*) λc/b (*) - TEM - 0 ℕ

1 TE 11 1.611 7.685 3.901 2 TE 21 2.990 14.269 2.101 3 TE 31 4.190 19.993 1.499 4 TM 01 4.272 20.384 1.471 5 TE 01 – TM 11 4.589 21.897 1.369 6 TE 12 5.072 24.199 1.239

246

6 TE 12 5.072 24.199 1.239 7 TE 41 5.318 25.377 1.181 8 TM 21 5.401 25.769 1.163 9 TE 22 6.304 30.081 0.997 10 TE 51 3.419 30.630 0.979 11 TM 31 6.463 30.838 0.972 12 TE 61 7.506 35.815 0.837 13 TM 41 7.514 36.331 0.825 14 TE 32 7.793 37.185 0.806

(*) i valori numerici sono stati ottenuti considerando il raggio esterno b del cavo e λc espressiin cm, fc espressa in GHz.

• Come nella guida circolare, i modi TE[0,m] e TM(1,m) sono degeneri, essendo:

• Diamo infine le espressioni delle componenti dei campi TE e TM.Indicando per semplicità le e con , e ponendo:

= − = −0 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ....I IJ x J x Y x Y x

χ Inm χnm χ

χχ χχ χ

− = = =

2 ( ) ( )( ) ( )

InI I

n nI I

aJ

bB J a J baB Y a Y b

247

si ha per i modi TE:

χ χ χ− = = =

1 ( ) ( )I IIn n

n

aB Y a Y bY

b

χθ θ ϕ χ χ

χ

= + −

1( , ) cos( ) ( ) ( )

In

z n nI

n

aJ

bh r PB n J r Y r

aY

b

θ

θ

χθ θ ϕ χ χ

χ

θ ϕθ χθ

θ θ θθ

∂ = = − + − ∂ −

∂ += =

∂ ∂ = ∇ = + = + ∂ ∂

− −∂

0 00 02

12 2

12 2

2

( , ) cos(

1

) ( ) ( )

1 sin( )( , ) ( )

( , )

In

I Iz z zr n n

It tn

In

z z zn

z z z zt t z r

t t

aJ

bk h kh r PB n J r

k k h hh r h r h r h

k k r r

Y rak r k Yb

aJ

k h k PB n nh r J r

k r k r

χχ

( )n

bY r

a

248

θ θ χθ

= = − −∂2 2

( , ) ( )nt t

h r J rk r k r

χχ

( )nI

n

Y ra

Yb

( ) ( )

θ

θ

θ θ θ

ωµ

ωµ ωµ ωµθ θ θ θ

θ

ωµθ

= × = + × = − = +

=

= −

0 0 0 0 00 0 0

( , )

( , )

( , )

rz

tt r r rz z

r

z

z

je r h

k

je r h

k

j j je r h z h r h z h r h e r e

k k k

Analogamente si ha per i modi TM:

χθ θ ϕ χ χ

χ

= + −

1( , ) cos( ) ( ) ( )n

z n n

n

aJ

be r PB n J r Y r

aY

b

θθ θ θθ

∂ ∂ = ∇ = + = + ∂ ∂ 0 00 02 2

1( , ) z z z z

t t z rt t

k k e ee r e r e r e

k k r r

249

θ

χθ θ ϕ χ χ

χ

χθ ϕθ χ

θ

∂ = = − + − ∂ −

∂ += = − −

12 2

12 2

( , ) cos( ) ( ) ( )

1 sin( )( , ) ( )

nI Iz z z

r n nt t

n

nz z z

nt t

aJ

bk e ke r PB n J r Y r

ak r k Yb

aJ

bk e k PB n ne r J r

k r k rχ

χ

( )nI

n

Y ra

Yb

( ) ( )θ

θ

θ

θ θωε ωε ωεθ θ θ

ωεθ

θ

ωεθ

= × = × + = − + = +

= −

=

0 0 0 0 00 0 0

(

, )

( , )

(

, ) c

c c ct t r r r

z

rz

c

z

r

z

z

jh r e

k

jh

j j jh r z e z e r e e r e h r

ek

k k

r

hk

• Le leggi di dipendenza con z sono le solite per i TE e i TM:

( ) z zk z k zZ z Pe P e−= +

250

1 2

1 2

( )

( )

z z

z z

e

k z k zh

Z z Pe P e

Z z Pe P e−

= +

= − +

ω µε= − −2 2z c tk k

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiGuida d’onda a piatti paralleli con due dielettrici

y

a

b c

xεr

ε = ε r ε 0 (dielettrico privo di perdite)

251

• Caratteristiche simili alla microstriscia.

• Il modo dominante è di tipo TM che tende ad un TEM per .

• Per frequenze basse la costante di propagazione è β= ω √LC, dove L e C sono l’induttanza e la capacità per unità di lunghezza, rispettivamente.

• Esiste un modo di propagazione superficiale che ha un campo concentrato in prossimità dell’interfaccia aria-dielettrico.

0f →

• Parete elettrica (PE):

Parete magnetica (PM):

Una PM può essere inserita laddove il campo magnetico tangenziale è nullo senza disturbare il campo elettromagnetico. Inoltre su una PM .

• Assumiamo che, essendo la struttura indefinita lungo l’asse x, il campo TM sia dipendente da y e z ma non dax.Poiché e

si ha:

0

0

n E

n H

× =× =

0n E⋅ =

0 0 0( , ) z z z

tz z t z

E E EE E y z E E x y y

x y y

E E y H z E H x

∂ ∂ ∂= ∝ ∇ = + =∂ ∂ ∂

= ⇒ ∝ × ∇ =

252

si ha:

ovvero:Quindi per il modo TM sono diversi da zero solo

Si può inserire una PM lungo ogni superficie x=cost. senza alterare il campo. Assumiamo che siano inserite due PM in x .

0 00

0

t ty t z x

y

E E y H z E H x

H

= ⇒ ∝ × ∇ =

=, ,y z xE E H

w= ±

x

y

+w-w

In questo modo ci riconduciamo ad una guida d’onda chiusa da PE in y=0,b e da PM in x .

b

w= ±

• Poiché il modo si propaga parte in aria e parte nel vuoto ci aspettiamo un valore di β z compreso fra quello che assumerebbe nel vuoto e quello in un dielettrico indefinito di costante dielettrica ε r:

• Studiamo l’andamento di Ez(y,z):

( , ) ( )zk zz zE y z Ce e y−=

0 0 0 0z rω µ ε β ω µ ε ε< <

253

• Poiché il campo elettrico tangenziale e quello magnetico tangenziale si devono conservare, all’interfaccia la costantekz deve essere la stessa.

2 222 2 2 2 0

2 2 2

'zt z t z z t z t

z

nell ariak ke k e e k e k

y nel dielettricok k

−∂∇ = ⇒ = = ∂ −

ω µ ε ε ω µ ε= − = −22 2 20 0 0 0 0,rk k

• Dobbiamo risolvere:2

22 0z

z

d el e y a

dy+ ≤ ≤

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0

2 2 2 2 20 01 ε

=

⇒ + = + = − = + = +

− = − = −

t

z t

r

jlk

jp

k p k l k k k k p k l

l p k k k

• Poniamo:

nell’aria

nel dielettrico

essendo:

254

con le condizioni al contorno:

dy2

22z

z

d ep e a y b

dy+ ≤ ≤

2 2

( ) 0

( ) ( )

1

z

z z

r z z

y a y a

e y

e a e a

e el y p yε

− +

− +

= =

=

=

∂ ∂=∂ ∂

in y=0,b

continuità campo elettrico tangenziale

continuità campo magnetico tangenziale

• Espressioni complete delle componenti trasverse:

Quindi avremo:

2

0 0 0 02 2 20

2

1

z

z

k zz zy

t

C z z z zx t z TM

t TM t t

k zz zx TM

t

k eE e

k y

j k e k eH x z e z y x Y

k Z k y k y

k eH Y e

k y

ωε

∂=∂

∂ ∂= × ∇ = × = −∂ ∂

∂⇒ = −

255

Quindi avremo:

ωε ωε ε ε

∂ ∂= ∂ ∂

∂ ∂ ∂− = − = − ∂ ∂ ∂= ∂ − ∂

2

2

0 0 02 2 2

0 02

z z

yz z

C r rz z z z

z tx

z

k el y

ek ep y

j j j k Yk e e ek k y l y l y

hjk Y ep y

nel dielettrico

nell’aria

nell’aria

nel dielettrico

• L’impedenza d’onda ( tale che ) è diversa nelle due regioni.

• Risolvendo le eq. differenziali per ez(y) nelle due regioni si ha:

• Continuità campo elettrico:

0tte Zh z= ×

[ ]1

2

1 2

sin( ) 0( )

sin ( )

,

z

C ly y ae y

C p b y a y b

C C

≤ ≤= − ≤ ≤costanti

256

• Continuità campo elettrico:

• Continuità campo magnetico:

[ ]1 2 2sin( ) sin ( ) sin( )C la C p b a C pc c b a= − = = −(posto )

[ ]1 22 2

1 2

1cos( ) cos( )

1cos( ) cos( )

r

r

C l la C p pcl p

C la C pcl p

ε

ε

= −

⇒ = −

Questa equazione va risolta assieme alla

Si ottiene un’infinità di risultati, cioè ∞modi TM si possono propagare.

• Poiché

tan( ) tan( )rl la p pcε⇒ = −

( )2 2 201 rl p kε− = −

257

per valori di p e l crescenti si ottengono modi che non si propagano, infatti per

kz è puramente reale ed il campo si attenua esponenzialmente lungo z, cioè non si propaga.

• Ricordiamo che

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0z rk k p k l p lω µ ε ω µ ε ε= + = + = − + = − +

0 0p ω µ ε>

z z zk jα β= +

Per un modo propagante nella struttura senza perdite (ideale) deve essere

•Perché si abbia

dovremo ammettere la possibilità che p sia immaginario, ad esempio p=jp con

2 2 2 20 0 0 00z z rj p lα β ω µ ε ω µ ε ε= ⇒ = − + = − +

0 0 0 0z rω µ ε β ω µ ε ε< <

258

dovremo ammettere la possibilità che p sia immaginario, ad esempio p=jp0 con p0 reale.Indicando con l0 il valore corrispondente di l abbiamo:

( ) ( )0 0 0 0

2 2 2 20 0 0 0 0

tan( ) tanh( )

1 1r

r r

l l a p p c

l p k

εε ε ω µ ε

= + = − = −

Soluzione a bassa frequenza:

Se f è piccola k0 è molto piccolo (es.: f=1MHz k0 =0.02094 rad/m) l0 e p0 piccoli.Assumiamo poi che b sia limitato a pochi centimetri anchel0a e p0c piccoli.Perciò:

Dalla segue che:( )2 2 20 0 0 01rl p ε ω µ ε+ = −

2 20 0 0 0 0 0tan( ) tanh( )r rl l a p p c l a p cε ε= ⇒ =ɶ

259

Per βz abbiamo, quindi:

( ) 20 02

0

1r

r

ap

a c

ε ω µ εε

−=

+

( )

2 2 2 20 0 0 0 0 0

20 02

0 0 0 0 0 0

1

1

z

r re

r r

j p p

a ba c a c

β ω µ ε ω µ ε

ε ω µ ε εω µ ε ω µ ε ω µ ε εε ε

= − − + = + =

−= + = =

+ +

def: εe costante dielettrica efficace

Calcoliamo, in situazione statica, la capacità C per unità di lunghezza e l’induttanza L per unità di lunghezza.

y

Jz

-w

260

Sulla superficie interna del conduttore superiore:

0 0 0 00 x z x z

x z

n H J y H x J z H z J z

H J

× = ⇒ − × = ⇒ =

⇒ =

-w

+w

0

x

z

L’energia magnetica immagazzinata per unità di lunghezza è pari a (vedremo fra poco che Hx non dipende da x e da y in questo caso):

che deve coincidere con:

2 20 0

04 2

b w

m x zw

W H dxdy wbJµ µ+

= =∫ ∫

214 zLΙ

261

La corrente è:

Si ottiene quindi:

2z zwJΙ =

0

2b

Lw

µ=

La capacità C per unità di lunghezza è la serie di:a) capacità di un condensatore a piatti paralleli di lunghezza unitaria, larghezza2w, altezza a, riempito di dielettrico

eb) capacità di un analogo condensatore di altezza c, riempito di aria.Quindi:

con:

//d aC C C=

0 2r wC

ε ε=

262

Dalle espressioni ricavate per L e C segue che:

0

0

0

2

2

rd

d

a d

a rd

r

Ca

wC

cC wC

CC c aC

ε

ε εε

=

=

=

=

+ +⇒

0 0 , . . .rz

r

bLC c v d

c aε ε µω ω βε

= ≡+

Continuità di ez per y=a:

per piccoli valoridi l0a e p0c:

Campi e.m. per a≤y≤b :

=1 0 2 0sin( ) sinhC l a C j p c

= ≅ −1 0 02 1

0 0

sin( )sinh

C l a l aC jC

j p c p c

263

1 0

1 00

0 0 0 0 10

2 2 00

02

( 0)β

εω µ

β

ωε ε

= −∂∇ = = =− ∂

× ∇= =

z z zt z x

t

z

zt

rt

ct z

t

e C l y

e j C yk j e

e y ek l y l

h x jYj zlk

Ce

Campi e.m. per a≤y≤b : (aria)

ββ

− = − = − − =

∂ =∂

≅ −

≅ −

01

012

0

02 2 0 1 0

0

0

( ) ( ) ( ) ( )z

z z zy

l aC p b y C jp b y jC jp b y

p b

j ep y

l ae C b y

b

l ae j C

p c

264

εω µ

ωε ωε

ω µ ε εω µ ε ε

∂≅ × ∇ = −∂

⇒ − −≅ = =

00 0

00 0 02 2

0 0

0 0 0 0 01 0 0 0 12 2

0 01

0

c zx t z

r rx

ex h j z e x j

p p y

j Y l a l aC j Y C

p c l aY

h j Cl

Nel limite di bassa frequenza ( ):

poiché:

e:

2 2 20 0

0 0 0 0

t z

z r

k β ω µ ε

ω µ ε β ω µ ε ε

= −

< <

20 0

2

0

0 tk

ω µ εω

→→ ⇒

p in aria

0 →

0ω →

265

inoltre:

Il modo TM diventa quasi TEM! Invece ey e hx rimangono costanti.

0

0t

z

kωβ

→ ⇒ → l nel dielettrico

0→

ze∝

p in aria

l nel dielettrico

0!ze⇒ →

Calcolo la tensione V fra il conduttore piano superiore e quello inferiore:

inoltre:

( )0

100 0

β ε= = − = − − = − +∫ ∫ ∫ ∫b a b

zy y y y r

b a

V e dy e dy e dy e dy j C a cl

( )20 00

0

0 0

1ω µ ε ε εεε

εβ ω µ εε

−= =

+

=+

r rr

r

rz

cp cl

a a c

ba c

266

La corrente totale sul conduttore superiore è pari a:

infatti siamo nel caso βz 0.

( ) ( )

0 0

1 1

β ω µ εε

εε

=+

⇒ = +−

zr

rr

a c

bV jC a c

c

Ι = = ≅2 2 2z z x xwJ wH wh

E’ quindi possibile definire l’impedenza caratteristica della linea di trasmissione associata al modo di propagazione come:

• Nel limite di bassa frequenza ho:- modo di propagazione quasi-TEM (ez 0, non esattamente =0)- costante di propagazione e impedenza caratteristica determinate da

( )εε+

= = = ≡Ι

0

2 2r

cz x r

c a bZV V LZ

wh w C

267

- costante di propagazione e impedenza caratteristica determinate da induttanza e capacità distribuite statiche.

Soluzione ad alta frequenza:

, l0 e p0 sono grandi

tanh (p0c) 1

e quindi:

equazione indipendente dalla distanza b fra i piatti paralleli

( ) 2 20 0 0 0 0 0 0 0tan( ) tanh( ) 1ε ε ε ε ω µ ε= = − −≃r r r rl l a p p c p l

ω µ ε0 0

268

Riprendiamo le soluzioni già trovate per ez(y):

Dalla continuità per y=a si ottiene:

[ ] ≤ ≤

= − ≤ ≤

1

2

sin( ) 0( )

sinh ( )z

C ly y ae y

C p b y a y b

= −−

1 02

0

sin( )sinh ( )

C l aC j

p b a

Inserendo l’espressione di C2 in quella di ez(y) per a≤y≤b si ha:

Poiché siamo nel limite di p0 grandi:

Quindi ez(z) decade in modo esponenzialedall’interfaccia aria dielettrico e non dipende da b, purché p0c= p0(b-a) sia grande.

[ ][ ]

−=

−0

1 00

sinh ( )( ) sin( )

sinh ( )z

p b ye y C l a

p b a

−− −

−≅ =0

0

0

( )( )

1 0 1 0( )( ) sin( ) sin( )p b y

p y az p b a

ee y C l a C l a e

e

269

dipende da b, purché p0c= p0(b-a) sia grande.Questo campo è guidato dall’interfaccia aria-dielettrico anche se il conduttore superiore è portato all’infinito. E’ un modo superficiale perché il suo campo è confinato in prossimità della superficie guidante.

ya

ez

Per analizzare le proprietà di propagazione dei modi dobbiamo risolvere l’equazione agli autovalori, già trovata:

La prima soluzione per l0 si ha per:

cioè:

Nella regione delle alte frequenze, quindi, l0 rimane limitato mentree p sono molto grandi (si ricordi che ). Avremo

( )ε ε ω µ ε= − −2 20 0 0 0 0tan( ) 1r rl l a l

π π< <0 02 2l a l

a

ω µ ε0 0

( )ε ω µ ε= − −2 2 21p l

270

e p0 sono molto grandi (si ricordi che ). Avremo inoltre:

ricordando che

si ottiene

( )ε ω µ ε= − −2 2 20 0 0 01rp l

ω µ ε ε ω µ ε> >>2 2 20 0 0 0 0r l

β ω µ ε ε ω µ ε ε ω µ ε ε= − + = − − ≅ −2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0z r r rj l l

β ω µ ε ε≅ 0 0z r

Quindi passando dalle basse alle alte frequenze varia daa .Risolvendo per ogni frequenza le equazioni:

si può costruire la curva mostrata in figura che fornisce l’andamento della costante dielettrica efficace in funzione della frequenza:

( )( )

εε ω µ ε

= + = −

0 0 0 02 2 20 0 0 0

tan( ) tanh

1r

r

l l a p p c

l p

ε ω µ ε0 0eβz

ε ω µ ε0 0r

εe

271f [GHz]

ε r

10 20 300

ε ω µ εε+ 0 0

r

r

ba c(valore statico)

(valore afrequenze elevate)

Naturalmente per valori crescenti di l0a si ottengono altri modi superficiali di propagazione. Oltre a tali modi ci sono quelli “non superficiali” che si ottengono per valori di p reali.

Analogamente anche i modi TE si dividono in superficiali e non. Per ci si riconduce al caso di guida a piatti paralleli con un solo dielettrico nella quale si propagano modi TEM, TM, TE.

0a →

272

quale si propagano modi TEM, TM, TE.

Il caso di guida a piatti paralleli si può considerare come un caso particolare di guida rettangolare quando il lato a della guida si estende all’infinito.Si deve inoltre tener conto del fatto che, in tal caso, il modo TM0 coincide con quello TEM.

substrato

piano di massa Linea di trasmissione amicrostriscia

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiLinea di trasmissione a microstriscia

273

modo TEM puro

modo quasi-TEM

Cavo coassiale

Linea a piattiparalleli

(un solo dielettrico)

Linea a piatti paralleli(due dielettrici)

• A frequenze “basse”(fino a qualche GHz, di solito) si propaga un modo quasi-TEM.

• Fino a circa 1 GHz la microstriscia può essere caratterizzata tramite la capacità e l’induttanza distribuite, analogamente alla guida d’onda a piatti paralleli con due dielettrici. Non è, però, possibile ricavare formule analitiche semplici per questi parametri, in generale, ed anche l’analisi statica non è molto semplice. Si possono ricavare soluzioni formali da risolvere con metodi numerici.

274

numerici.

• Bassa frequenzasi riferisce al rapporto fra le dimensioni lineari e la lunghezza d’onda. Questo rapporto stabilisce la regione per la quale la microstriscia può essere studiata in maniera adeguata usando il modo quasi-TEM. Nei Microwave Integrated Circuits (MIC) con larghezza del conduttore superiore di circa 100 µ, la larghezza della regione a “bassa frequenza” si può estendere fino a 20÷30 GHz.

Formule pratiche per la costante dielettrica efficace, l’impedenza caratteristica e l’attenuazione:

1 1 12 2

1 12

r re

Hw

ε εε + −≅ ++

275

0

60 8ln 1

4

1201

1.393 0.667 ln 1.444

e

e

H w ww H H

Z wHw w

H H

επ

ε

+ ≤ ≅ > + + +

Per una assegnata impedenza caratteristica Z0 ed una costante dielettrica ε r il rapporto w/H è dato da:

( ) ( )

2

82

2

2 1 0.611 ln 2 1 ln 1 0.39 2

2

A

A

r

r r

e we Hw

H wB B B

π ε ε

≤ −≅ − − − − + − + − >

276

dove:

0

0

1 1 0.110.23

60 2 1

377

2

r r

r r

r

ZA

BZ

ε εε ε

πε

+ −= + + +

=

Attenuazione dovuta a perdite dielettriche:

dove tanδ è la tangente delle perdite del dielettrico.

Attenuazione dovuta a perdite nel conduttore:

( )( )

0 0 1 tan

2 1r e

d

e r

Npm

ω µ ε ε ε δα

ε ε− ≅ −

277

dove:

resistività superficiale del conduttore.

In genere:

0

sc

R NpZ w m

α ≅

0

2sRωµ

σ=

c dα α>>

Microonde - Campi e.m. nelle strutture guidantiLinee di trasmissione e modi di propagazione

• Lo studio della propagazione dei modi in una guida d’onda può essere condotto non solo studiando direttamente le proprietà dei campi elettromagnetici, a partire dalle equazioni di Maxwell, ma anche tramite l’associazione di ciascun modo con una linea di trasmissione appropriata.

• Linea di trasmissione: modello matematico, basato su equazioni differenziali, che lega due funzioni

278

modello matematico, basato su equazioni differenziali, che lega due funzioni di variabile reale: tensione V(z) e corrente I(z) che, in generale, non hanno significato fisico.

V(z) V(z)+dV

I(z) I(z)+dI

z z+dz

• Le equazionidifferenziali, dette dei telegrafistio delle linee di trasmissione, che legano V e I sono:

dove Z e Y sono, rispettivamente, l’impedenzae l’ammettenza per unità di lunghezza della lineae sono dette costanti primarie della linea.Queste equazioni furono ricavate per lo studio delle linee bifilari,

dVZ

dzd

YVdz

= − Ι

Ι = −

279

Queste equazioni furono ricavate per lo studio delle linee bifilari, successivamente si capì che erano utilizzabili anche per lo studio della propagazione in altre strutture.

• La propagazione in una linea di trasmissione può essere studiata facendo uso delle costanti primarie oppure delle costanti secondarie, per le quali valgono le definizioni:

z

ZY

k ZY

η =

=

impedenza caratteristica

costante di propagazione

• Abbiamo già visto che i modi TE, TM e TEM che si propagano nelle strutture guidanti hanno dei campi trasversi che ammettono una fattorizzazione del seguente tipo:

• Inoltre abbiamo introdotto l’impedenza d’onda η z tramite la quale abbiamo

( )( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( , , ) ( , )

( , , ) ( , )

z z

z z

k z k zt t

k z k zt t

E q q z e q q Pe P e

H q q z h q q Pe P e

= +

= − +

280

z

espresso il legame fra et e ht:

• Vale, inoltre, la relazione di separabilità o di dispersione:

0

[ ] [ ] [ ], ,

tt z

zz TE z TM z TEM

z

e h z

j kk j

η

ωµ µη η ηωε ε

= ×

= = =

2 2 2z tk k ω µε+ = −

• Se le strutture guidanti sono prive di perdite, ovvero hanno conduttore e dielettrico perfetti, si ha:

reale e negativo

• Di conseguenza, in assenza di perdite, la costante kz può essere:

2tk

zk

reale attenuazione senza propagazione (sotto cut-off )

immaginaria propagazione (sopra cut-off )

281

• Se la struttura è priva di perdite et e ht sono o entrambi reali o entrambi immaginari.

• et e ht soluzioni di equazioni differenziali omogenee possono essere normalizzati in maniera arbitraria. La determinazione del coefficiente di proporzionalità può essere fatta se si considera l’eccitazione della guida. Trattando la guida solo in propagazione rimane l’arbitrarietà.

• Le proprietà del campo elettromagnetico, come abbiamo visto, sono espresse tramite due funzioni: una dipende dalle variabili trasverse e non ci interessa in questo argomento, l’altra dipende dalla variabile longitudinale.Questa dipendenza può essere descritta con il modello delle L.d.T.?

• Introduciamo due costanti arbitrarie Ke e Kh e poniamo:

( )

( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1( , , ) ( , )

1( , , ) ( , )

z z

z z

k z k zt te

e

k z k zt th

E q q z K Pe P e e q qK

H q q z K Pe P e qh qK

−= − +

= +

282

• Deriviamo le ultime due relazioni:

( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2( , , ) (

( ) ( )

, )

z z z z

t thh

k z k z k z k ze h

H q q z K Pe P

V z K Pe P e z K Pe

e q

e

h q

P

K− −= + Ι +

= − +

= −

( )

( )

1 2

1 2

( )

( )

z z

z z

k z k ze z e z

h

k z k zh z h z

e

dV zK k Pe P e K k

dz K

d V zK k Pe P e K k

dz K

Ι= − = −

Ι = − − = −

• Se, a questo punto, poniamo:

otteniamo le equazioni:

e z

h

h z

e

K kZ

K

K kY

K

=

=

dVZ

dz

= − Ι

283

cioè proprio le equazioni delle L.d.T.

• Ke e Kh non sono indipendenti, infatti:

dzd

YVdz

Ι = −

e

h z

K Z Z ZK k YZY

η= = = =

• Rimane da verificare che il trasferimento di potenza lungo la linea e quello del modo generico siano uguali.

- Linee di trasmissione: potenza trasmessa in una generica sezione:

- Struttura guidante:potenza trasmessa in una generica sezione S:

12

P V ∗= Ι

284

potenza trasmessa in una generica sezione S:

Dalle posizioni fatte in precedenza si ha:

0

12 t t

S

P E H z dS∗= × ⋅∫

( )

( )

t te

t th

V zE e

K

zH h

K

=

Ι=

Sostituendo:

Per avere una corretta corrispondenza fra i due metodi dovrà risultare, perciò:

Di conseguenza Ke e Kh non sono entrambe arbitrarie: lo è solo una. Inoltre et

e ht sono determinate a meno di costanti, quindi la quantità:

0

1 ( ) ( )2 tt

e Sh

V z zP e h z dS

K K

∗∗

Ι= × ⋅∫

0tt e hS

e h z dS K K∗ ∗× ⋅ =∫

285

e ht sono determinate a meno di costanti, quindi la quantità:

può essere normalizzata come si vuole.Poniamo, allora:

0ttS

e h z dS∗× ⋅∫

( ) ( )0 0 0

2

t t tt zS S

jt tz

S

e h z dS h z h z dS

h h dS e ϕ

η

η

∗ ∗

× ⋅ = × ⋅ × =

= ⋅ =

∫ ∫

Ovvero:

Poiché per ogni modo η z è noto ϕ è noto!L’associazione dei modelli è quindi corretta se:

1

2

t tzS

z

h h dSη

η ϕ

∗ ⋅ ⋅ =∠ =

K

1/ 2

1/ 21

e h h

e h e

K K K

K K K

η η

η

− = = ⇒

= =

per i moduli

286

Una delle due fasi e è arbitraria; se scegliamo:

2

e

h

je h

KK

K K e ϕ

η

=

=

22

e hz

e h

K K

K K

ηη ϕ η

ϕ∠ − ∠ = ∠

⇒ ∠ = ≡ ∠∠ − ∠ =per le fasi

eK∠ hK∠

e hK Kϕ ϕ∠ = ⇒ ∠ = −

In conclusione:

( )( )

1/ 2

1/ 2

1/ 2

1/ 2

1/ 21 2

1/ 21 2

1/ 21 2 1 2

( )

( )

( , , ) ( ) ( , )

z z

z z

j

j

e

h

k z k z

k z k z

t t

K

K

V z Pe P e

z Pe P e

E q q z V z e q q

e

e ϕ

ϕ

η η

η

η

η

η

η −

−−

− −

=

=

=

=

= +

Ι = − +

=

287

Rimane solo l’arbitrarietà sul |η|. Scegliendo tale valore abbiamo più formulazioni.

1 2 1 2

1/ 21 2 1 2( , , ) ( ) ( , )

1

t t

t t

ze z

h

h z

ez

H q q z z

K kK

K k

h

K

q q

Z k

Y k

η

η

η

= Ι

=

==

=

I formulazione:

e la linea equivalente ha tensione e corrente:

con:

z zη η η η⇒= =

( )( )

1/ 21 2

1/ 21 2

( )

( )

z z

z z

k z k zz

k z k zz

V z Pe P e

z Pe P e

η

η

− −

= +

Ι = − +

288

con:

1z z

zz

Z k

Y k

η

η

=

=

II formulazione:2

2 2

1 2 z

j

j

jz zZ e

e

k Y e kϕ

ϕ

ϕ

ϕ η ηη η−

⇒ = ∠ = ∠=

= =

=

La teoria sviluppata vale:a. in strutture ideali prive di perdite

a1. in propagazione (κz=βz)a2. in attenuazione (kz=αz)

b. in strutture con perdite solo dielettriche(kz= αz+jβz) ma con conduttore perfetto.

Conclusione

289

La propagazione di un modo guidato può essere studiata tramite una linea equivalente tale che:1) la costante di propagazione della linea è uguale a quella del modo

considerato2) la fase dell’impedenza caratteristica della linea è uguale alla fase

dell’impedenza d’onda del modo considerato3) il modulo dell’impedenza caratteristica può essere fissato a piacere

la linea associata non è unica!

Specializziamo i risultati precedenti ai vari modi.

Modo TM:

• Scegliendo

zz

c

kj

ηωε

=

22 2 2t cz

z

z z

z z

k kkj

jZ k k

j jω µεωµ

ωε

η η

η ηωε ε

η

ω

η =

⇒ = − +=

== =

=

290

ωc: pulsazione di cut-offdel modo consideratojωεc=g+jωε

c c czz z j

jZ k k

j jωµ

ωεη η

ωε εω⇒ = += == =

2 2

2 1c

z

c

z

c

cz

jg j

k k

jj

jj

Zg

Y g

ωµ ωεω

ω µ

µ

εωµωε

ωεη

ε ω µε

ωεη

= ++

== = = +

+ =+

Circuito equivalente(di lunghezza infinitesima, ovvero di tipo distribuito):

dzµ

2

1

c

dzω µ

2c dzg

ω µε

291

dzε1dz

g

cω µ

dz

Se il dielettrico è perfetto il circuito equivalente diventa:

dzµdzε2

1

c

dzω µ

292

• Scegliendo

Rappresentazione circuitale utile solo per g=0 e ω >ωc, cioè dielettrico senza perdite e modo in propagazione.In tal caso:

2

2

1j

c zj

c z

Z e j

Y e j

ϕ

ϕ

ωε ηωε η

η

=⇒

=

=

2

1 ck j jωω µε β = − =

293

2

2

1

j

j

cz z

z

z

Z e

Y e

k j j

j

j

ϕ

ϕ

ωω µε βω

ββ−

=⇒

= − =

=

0zz

βη ϕωε

= ⇒ =è reale

z

z

Z j

Y j

ββ

==

Circuito equivalente:

2

1ωβ ω µεω

= −

czdz dz

2

1ωβ ω µε = − cdz dz

294

i parametrisono dipendenti dalla frequenza, al contrario dei parametri del caso precedente.

1ωβ ω µεω

= −

czdz dz

Modo TE:

• Scegliendo

z

z z

z

zk kZ j

η ηη

η η

ωµη⇒ =

= =

=

⇒ =

zz

jkωµη =

295

z zzk kZ jη ωµη= =⇒ =

2

2

22 2

1

cz

c

t cz z

z

k k j jk k kj j

g

jY

jj

ωε ωµ ω µεη η ωµ ωµ

ω

ωµ

ωε

ω ε

− += = = = ==

+ +=

Circuito equivalente:

dzµ

dzε1

dz

296

dzεdzg

2

1

c

dzω ε

dz

Se il dielettrico è perfetto il circuito equivalente diventa:

dzµdzε

2

1

c

dzω ε

297

• Scegliendo

si ottengono le stesse espressioni del modo TM.

1η =

Modo TEM:

• Scegliendo

2 2 20

z

t zk k k

µηε

ω µε

=

= ⇒ = = −

/

1

z

z z z

z

kj

Z j Y jjk kω µεω µε

η

η η

ωµ ω

η η

µ µηε ε µ ε

ε

=

=

= == = =

= =

298

Circuito equivalente:

µ

ε

• Scegliendo

11z z

z

k

k

Z j

Y

k

j

k ω µη

η

εη

ω µε

= = =

⇒ =

==

=

Circuito equivalente:

µεµε

299

• Per il modo TEM in entrambe le formulazioni i parametri circuitalisono nondispersivi(non variano con la frequenza).• Per il modo TEM il circuito equivalente è lo stesso per ogni struttura. Al contrario, per i modi TE e TM, tramite la frequenza di cut-off, cioè l’autovaloree di conseguenza le condizioni al contorno, i parametri del circuito equivalente variano da un modo all’altro e da una struttura all’altra.

µε

• Nel caso dei modi TEM è possibile far ricorso ad una III formulazione che permette, al contrario di quanto accade per i modi TE e TM, di dare un significato fisico diretto alle funzioni V(z) e I(z). In particolare V(z) è la tensione fra i due conduttori e I(z) è la corrente che percorre un conduttore (nell’altro scorre in verso opposto).

Per le onde TEM:

20

10 tt tt t z

z

e h z eµϕ ϕ η

η ε∇ = = −∇ = × =

300

1 e 2 siano i due conduttori della struttura guidante. L’integrale di linea tra di essi è indipendente dal cammino scelto ed è pari alla differenza di potenziale fra essi.

0s

0t

1 2

2 2

0 1 21 1

tV e s ds dssϕ ϕ ϕ∂= ⋅ = − = −

∂∫ ∫

Inoltre la circuitazione del campo magnetico su una linea, che prendiamo coincidente con quella che delimita il cavo che circonda un conduttore, è pari alla corrente che scorre nel conduttore stesso:

0 00 0 01 1 1

1 1

1 1

t t tz z

t h dt t z e dt t z e dtη η

ϕϕ

Ι = ⋅ = ⋅ × = × ⋅ =

∂= − ⋅ ∇ = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

n entrante

301

L’impedenza caratteristica è, in questo caso, definita come il rapporto tra la differenza di potenziale fra i conduttori e la corrente che li percorre, cioè:

1 1

1 1

z z

n dt dtnϕϕ

η η∂= − ⋅ ∇ = −∂∫ ∫

2 2

1 2 1 1

1 1

z

ds dss s

dt dtn n

ϕ ϕϕ ϕ µη η ϕ ϕε

∂ ∂∂ ∂−= = =∂ ∂Ι∂ ∂

∫ ∫

∫ ∫

In questa formulazione interviene la geometria della struttura(negli integrali che intervengono nella definizione di η), al contrario di quanto accade nelle altre due formulazioni già viste per il modo TEM.Riepilogando in questa formulazione:

1 2

2

1 11

( )z

ds dts n

Z k j Y k j

jkϕ ϕη

ϕ ϕ

η ωµ ωε

ω µε−=Ι

∂ ∂∂ ∂

= = = =

=

∫ ∫

302

1 12

1 1

z zZ k j Y k jdt ds

sn

η ωµ ωεϕ η ϕ= = = =

∂ ∂∂ ∂∫ ∫

sono funzioni di z.

Nel caso in cui è presente la sola onda progressiva si ottiene una impedenza caratteristica η che non dipende da z, come deve essere per una L.d.T.Se c’è anche l’onda regressiva la dipendenza da z non si semplifica e la η non è più definibile in questo modo.

1 2, ,ϕ ϕ Ι

Microonde

Analisi di reti a microonde

• Circuito a microonde: è costituito da tratti di guida d’onda cilindrica che collegano regioni in cui confluiscono più guide, chiamate giunzioni a

• Le guide d’onda possono essere utilizzate per collegare trasmettitori, ricevitori, antenne, …, realizzando una rete o circuito a microonde.

303

collegano regioni in cui confluiscono più guide, chiamate giunzioni a microonde.

• Le onde che si propagano nelle guide vedono le giunzioni come delle discontinuità nella geometria cilindrica. Le discontinuità eccitano un grande numero di modi (in generale infiniti): alcuni si possono propagare, gli altri si attenuano.

• Spostandosi all’indietro ad una distanza sufficiente dalla giunzione, i modi attenuati (cioè sotto cut-off) danno un apporto trascurabile al campo in guida. Scegliamo, su ogni guida, una sezione trasversa di riferimento nella quale il campo può essere espresso come somma dei modi non attenuati.

• Ciascuna guida che accede alla giunzione, corrisponde ad una bocca della giunzione se, alla frequenza di lavoro, in essa può propagarsi il solo modo fondamentale; altrimenti corrisponde ad un numero di bocche pari al numero

304

fondamentale; altrimenti corrisponde ad un numero di bocche pari al numero dei modi non attenuati. Poiché nelle applicazioni pratiche si usano spesso guide nelle quali si propaga il solo modo fondamentale, facciamo riferimento a questo caso.

• Si utilizza la rappresentazione dei modi di propagazione tramite le linee di trasmissione facendo riferimento ad un circuito a n bocche, lo studio consiste nel determinare le relazioni fra le tensioni e le correnti alle n bocche.

• Giunzione a n bocche: regione di spazio di volume τ limitata da una superficie perfettamente conduttrice (che comprende anche i tratti iniziali delle pareti delle N guide d’onda, fino alle sezioni di riferimento). Nel volume τ siano contenuti mezzi lineari dissipativi o non dissipativi, ma non ci siano sorgenti: ci riferiamo a giunzioni passive.

Le correnti si considerano positive nel verso entrante:

305

positive nel verso entrante:

V

I

bocca generica

+

_

• Teorema di unicità (dominio della frequenza):

il campo e.m. in τ è determinato se è noto il campo elettrico, o il campo magnetico, sulla superficie che limita τ. Poiché il campo elettrico tangenziale è nullo ovunque, tranne sulle sezioni di riferimento delle

306

sezioni di riferimento delle strutture guidanti, il campo e.m. in tutta la giunzione è determinato univocamente se è nota la componente tangenziale (cioè trasversa) del campo elettrico, o del campo magnetico, sulle sezioni di riferimento.

• In virtù della linearità delle eq. Di Maxwell e del mezzo contenuto nelle struttura possiamo scrivere :

• D’altra parte, noto Et , si può ricavare facilmente Ht; inoltre nel ricavare le linee di trasmissione equivalenti abbiamo visto che ad Et si associa V(z) e ad Ht si associa I(z). Perciò sì può fare riferimento alle tensioni o alle correnti sulle sezioni di riferimento, per studiare la giunzione.

I1 = Y11V1 + Y12V2 +…….+Y1nVn

I = Y V + Y V +…….+Y V

307

I2 = Y21V1 + Y22V2 +…….+Y2nVn

In = Yn1V1 + Yn2V2 +…….+YnnVn

Ovvero: [I] = [Y][V]

con [I] e [V] vettori colonna che rappresentano le correnti entranti e le tensioni, rispettivamente, mentre [Y] prende il nome di matrice di ammettenza.

• La [Y] è univocamente determinata purché siano fissati η e i piani di riferimento. Spostando i piani di riferimento cambiano i valori degli Yij.

• L’elemento Yij è tale per cui :

Yij =

cioè è pari al rapporto fra Ii e Vj quando tutte le bocche, tranne la j-esima, sono chiuse in corto circuito. In particolare se i=j :

1 2 j 1 j 1 n

i

j V V .... V V ... V 0

I

V− += = = = = = =

308

sono chiuse in corto circuito. In particolare se i=j :

Yii =

è l’ammettenza d’ingresso alla bocca i quando tutte le altre sono chiuse in corto circuito.

1 j 1 j 1 n

i

i V .... V V ... V 0

I

V− += = = = = =

Chiudere in corto circuito : Et=0 Le altre bocche devono essere chiuse con piani metallici perfettamente conduttori

• In modo analogo, assegnate le correnti:

V1 = Z11I1 +…… + Z1nIn

...

V1n = Zn1I1 +…… + ZnnIn

ovvero [V] = [Z] [I] , e Zij =

1 j 1 j 1 n

i

j I ... I I ... I 0

V

I− += = = = = =

In particolare, se j=i, Zii è l’impedenza d’ingresso alla bocca i quando

309

In particolare, se j=i, Zii è l’impedenza d’ingresso alla bocca i quando tutte le altre bocche hanno corrente nulla, ovvero sono chiuse su un circuito aperto ideale (o su una parete magnetica perfetta : Ht = 0).

• La misura dei parametri Yij e Zij non è affatto semplice. Infatti, per i primi si devono chiudere in corto circuito tutte le porte tranne quella alla quale è collegato il generatore: ciò può portare ad elevate potenze riflesse sul generatore stesso con una notevole degradazione della qualità di funzionamento. Per quanto riguarda i secondi, non è facile realizzare una condizione di circuito aperto ideale: parte dell’energia fuoriesce sempre da una guida aperta.

Si introduce perciò un’altra rappresentazione detta della matrice di scattering [S]. Si fa riferimento alle tensioni incidenti e riflesse alle varie bocche, ad esempio alla bocca j-esima :

Vj(z) = Vji(z) + Vj

r(z) = Vj+(z) + Vj

-(z) ;

Note le Vj+(j = 1,…,n) Vj- (j = 1,…,n)

1

2

V

V

11 1n

21 2n

S S

S S

…1V

V

+

+

310

2

n

V

.

.

V

=

21 2n

n1 nn

S S

S S

⋱⋮ ⋮

2

n

V

.

.

V

+

+

o [V-] = [S] [V +]

Sij =

1 j 1 j 1 n

i

j V ... V V ... V 0

V

V + + + +− +

+= = = = = =

Inviando alla porta j-esima l’onda di tensione progressiva Vj+, si riceve alla bocca i-esima l’onda regressiva Vi

- = Sij Vj+ se tutte le rimanenti bocche

sono adattate, ovvero terminate su carichi adattati.

La valutazione sperimentale di Sij si fa, quindi, misurando Vi- mentre si pilota la porta j-esima con la tensione Vj

+ di un generatore che operi alla frequenza voluta, quando le altre bocche sono adattate.

• Vediamo ora i legami che esistono fra le varie rappresentazioni:

311

[V] = [Z] [I] (1)

[I] = [Y] [V] (2)

[V-] = [S] [V +] (3)

• Ricordiamoci che :

[A] [B] ≠ [B] [A] no proprietà commutativa

([A] [B]) [C] = [A] ([B] [C]) si proprietà assoc iativa

([A] [B]) T= [B] T [A] T matrice trasposta

([A] -1)T = ([A] T)-1 1 0 …

312

e, naturalmente: [A]-1[A] = [1] =

1 0

0 1

⋮ ⋱ ⋮

• Dalla (1) : [Z] -1 [V] = [I]

Confrontando con la (2): [Z] -1 = [Y] .

• Cerchiamo un legame fra [Z] ed [S] :

[V] = [V +] + [V -]

[I] = [I +] + [I -] = [ η] -1([V+] -[V -]) ([η] è diagonale)

o [η] [I] = [V +] -[V -]

(somma) 2[V+] = [V] +[ η] [I]

313

(diff.) 2[V-] = [V] - [ η] [I] , poiché [V] = [Z] [I +]

2[V+] = ([Z] + [ η]) [I]

2[V-] = ([Z] - [ η]) [I], ma [V-] = [S] [V +]

([Z] - [ η]) = [S] ([Z] + [ η]) , ovvero

[S] = ([Z] – [η] ) ([Z] + [ η]) -1.

PROPRIETA DELLE MATRICI PER RETI A MICROONDE.

• Se il mezzo contenuto nella giunzione è passivo e isotropo(non è una ferrite, un plasma, né un mezzo attivo…), è facile dimostrare che la matrice [Z] è simmetrica.

Si considerino presenti all’interno della rete due campi e.m. generati all’esterno della giunzione stessa. Tutte le porte siano chiuse in corto circuito ad eccezione di 2: la n.ro 1 e la n.ro 2.

Poiché non ci sono sorgenti all’interno del circuito, dal teorema di

314

Poiché non ci sono sorgenti all’interno del circuito, dal teorema di reciprocità di Lorentz abbiamo:

(*)

Scegliamo S coincidente con le pareti conduttrici della giunzione e gli h piani terminali. L’integrale sulle pareti conduttrici è nullo se si tratta di un conduttore perfetto o avente conducibilità finita.

i j j iS(E H E H ) nds 0.× − × ⋅ =∫

A) conduttore perfetto

( Ei ×H j) · n = (n × Ei) · Hj ma sulla PEP n× Ei = 0

(Ej × H i ) · n= (n × Ej) · Hi ma sulla PEP n× Ej = 0

Integrale nullo sulle PEP.

B) conduttore reale

all’interno di S sulle pareti metalliche:

315

Et = - Zm n × H , ovvero n × E = - Zm n × (n H)

(n uscente , come nell’eq. (*) )

( n × Ei ) · Hj - ( n × Ej ) ·Hi = - Zm[ n × ( n × Hi ) ] · Hj +

+ Zm[n × ( n × Hj )] · Hi = - Zm( n · Hi ) ( n · Hj ) +

+ Zm( n · Hj )( n · Hi ) = 0 Integrale nullo su pareti metalliche reali.

La (*) diventa, perciò, indicando le sezioni di riferimento con Sk

k

n

i j j i kSk 1

(E H E H ) ndS 0=

× − × ⋅ =∑∫

Nel nostro caso , però, ( n × Ei )porta k = (n × Ej )porta k = 0 se k ≠ 1,2

quindi abbiamo: (Ei × Hj . n= n × Ei .Hj )

1 2i j j i 1 i j j i 201 02S S

(E H E H ) z dS (E H E H ) z dS 0× − × ⋅ + × − × ⋅ =∫ ∫(**)

316

dove n(versore uscente ) è stato sostituito con i versori entranti z01

e z02.

1 2i j j i 1 i j j i 201 02S S

(E H E H ) z dS (E H E H ) z dS 0× − × ⋅ + × − × ⋅ =∫ ∫(**)

Nel caso di strutture aperte, come la microstriscia, la superficie S può essere, nelle zone che non corrispondono a conduttori, spostata ad una distanza sufficientemente grande, in modo che Etan 0 .

Si torna quindi anche in questo caso alla relazione (**) .

Esplicitando i prodotti vettoriali esprimendo i vettori E e H tramite le componenti trasverse e longitudinali, si vede che gli unici termini non nulli sono quelli che contengono la parte trasversa dei campi . Quindi la (**) diventa:

1 2ti tj tj ti 1 ti tj tj ti 201 02S S

(E H E H ) z dS (E H E H ) z dS 0× − × ⋅ + × − × ⋅ =∫ ∫

• La configurazione del campo in una sezione trasversa rimane la stessa (autovalori ed autofunzioni sono sempre gli stessi) anche se cambia

317

(autovalori ed autofunzioni sono sempre gli stessi) anche se cambia l’eccitazione alla porta generica. In tal caso varieranno, invece, V(z) e I(z). Sappiamo che:

Et(i/j) = et V(z)(i/j) ; Ht(i/j) = ht I(z) (i/j) .

Si ha, dunque,

(∆) 1 1

2 2

1i 1j t1 t1 1 1j 1i t1 t1 101 01S S

2i 2 j t2 t2 2 2 j 2i t2 t2 102 02S S

V I e h z dS V I e h z dS

V I e h z dS V I e h z dS 0

× ⋅ − × ⋅ +

× − − × ⋅ =

∫ ∫

∫ ∫

Ricordiamoci che, su una sezione S: t t 0Se h z dS× ⋅∫

può essere normalizzato a piacere, in particolare si può porre uguale a 1. Con questa posizione la potenza trasmessa è pari a:

P = 1

2V I*

Inoltre, in dipendenza del tipo di modo in esame, et e ht sono entrambi reali o entrambi immaginari (ed in quadratura con le componenti

318

reali o entrambi immaginari (ed in quadratura con le componenti longitudinali per i modi TE e TM). In definitiva si può porre:

1 2t t1 01 1 t t2 2021 2S S

e h z dS e h z dS× ⋅ = × ⋅ =∫ ∫1 et , ht reali

-1 et , ht imm. puri

L’eq. (∆) diventa, semplicemente:

V1i I1j-V1j I1j+V2i I2j- V2j I2i =0 (♣)

Lo schema circuitale che abbiamo scelto (tutte le porte in corto circuito, tranne la 1 e la 2) può essere trattato tramite la matrice [Y]:

I1 = Y11 V1 + Y12 V2

I2 = Y21 V1 + Y22 V2

Per le due eccitazioni avremo :[Ii] = [Y] [V i] e [I j] = [Y] [V j], sostituendo nella (♣) :

319

nella (♣) :

V1i(Y11 V1j+Y12 V2j) - V1j (Y11 V1i+Y12 V2i)+ V2i (Y21 V1j+Y22 V2j)+

- V2j (Y21 V1i+Y22 V2i) = 0

V1i Y12 V2j-V1j Y12 V2i + V2i Y21 V1j - V2j Y21 V1i = 0

ovvero: Y12 (V1i V2j - V1j V2i ) = Y21 ( V1i V2j - V1j V2i),

poiché le sorgenti i e j sono arbitrarie deve essere : Y12=Y21

Le due bocche indicate con 1 e 2 sono del tutto arbitrarie

se il componente è reciproco: [Y] = [Y]T

cioè la matrice [Y] è simmetrica . Questa proprietà vale qualunque sia il valore di η.

Inoltre, poiché [Z] = [Y]-1 : [Z] T =([Y] -1)T=([Y] T) -1=[Y] -1=[Z]

se la struttura è reciproca le matrici [Y] e [Z] sono simmetriche.

320

Cosa succede per la matrice di scattering [S] ?

Abbiamo ricavato che [S] = ([Z] -[η]) ([Z]+[ η]) -1 con η matrice diagonale.

Operiamo una trasposizione della matrice [S]:

[S] T =([Z] T+[ η] T) -1 ([Z] T-[η] T)=([Z] T+[ η] ) -1 ([Z] T-[η]),

poiché [η]=[ η] T in quanto matrice diagonale.

Inseriamo ora l’ipotesi di reciprocità : [Z]T =[Z], quindi [S]T=([Z]+[ η]) -1

([Z] -[ η]).

Se confronto le espressioni di [S] e [S]T, poiché, in generale, si ha:

[A] [B] ≠[B] [A]

risulta, nel caso più generale:

[S]T ≠[S].

321

Assumendo che le impedenze caratteristiche di tutte le linee di accesso siano uguali, ovvero [η]= η [1], si ha che è possibile applicare la proprietà commutativa (ovvero [A] [B] =[B] [A]) e quindi in questo caso per una struttura reciproca anche la matrice di scattering è simmetrica: [S]T =[S].Quindi i valori di [S] dipendono dalla definizione delle impedenze delle linee di accesso.

bocca 2 : guida rettangolare con η 2 = η modo TE10

η 1 ≠ η 2 ovvero [S] non è simmetrica anche se il componente è reciproco.

Esempio:

bocca 1 : cavo coassiale con η 1 = η modo TEM

322

È conveniente utilizzare la seconda formulazione: η = 1 per tutte le linee di accesso.

In alternativa ci si può riferire ai parametri generalizzati di scattering.

(rete a n bocche)

V1+, a1 η 1

V1- , b1

Vk+, ak η k

V - , b

PARAMETRI GENERALIZZATI DI SCATTERING :

bocca 1

bocca k

323

Vk- , bk

• Rete a n bocche, η k impedenza della bocca k

• Vk+ e Vk

- tensioni incidente e riflessa alla bocca k

• Definiamo le ampiezze d’onda in modo alternativo, questo ci consentirà di ottenere risultati significativi in termini della potenza:

bocca k

ak = k

k

V

η

+bk = k

k

V

η

ak : onda incidente sulla k-esima bocca

bk : onda riflessa dalla k-esima bocca.

Come noto si ha:

Vk = Vk+ + Vk

- = kη (ak + bk)1 1

324

Ik = k

1

η (Vk+ - Vk

-) = k

1

η(ak - bk).

La potenza media che transita nella bocca k-esima è pari a:

Pk = 1

2ReVk Ik*=

1

2Re 2 2 2 2

k k k k k k k k1 1

a b (b a * b *a ) a b2 2

− + − = −

perché bk ak* - bk* ak è un numero puramente immaginario essendo la

differenza fra due numeri complessi coniugati.

• Usando Vk+ e Vk-, come abbiamo visto, si ottiene un flusso di potenza che

dipende dalla scelta di η k , cosa che con la scelta di usare ak e bk non avviene. Con questa definizione la matrice [S] si introduce come:

[b] = [S] [a], S ij=

analoga alla relazione che avevamo già indicato nel caso di reti aventi la stessa impedenza caratteristica a tutte le bocche. Usando le definizioni

k

i

j a 0 per k j

b

a= ≠

per k ≠ j

325

stessa impedenza caratteristica a tutte le bocche. Usando le definizioni dei parametri ak e bk :

k

i iij

j j V 0

VS per k j

V

ηη +

+=

= ≠

Questa relazione mostra come si possano collegare i parametri di una rete con uguale impedenza caratteristica (Vi

- / Vi+ con Vk

+=0 per k ≠ j), con i parametri di una rete connessa a linee di trasmissione con impedenze caratteristiche diverse.

(rete a n bocche)

V1+

V1-

Vk+

V -

Vk’+

……

V1’+

V1’-

Z1=l 1 Z1=0

bocca 1

bocca k

326

Vk-

Vk’-

Zk=0Zk=l k

• Rete a n bocche di figura, in cui i piani di riferimento siano posti in zk=0 (k=1,….,n). In questa condizione la rete abbia una matrice di scattering [S]. Spostiamo i piani di riferimento in zk=l k (k=1,…,n); la matrice di scattering sia ora [S’].

bocca k

Pertanto :

[V-] =[S] [V +]

[V’ -] =[S’][V’ +]

Ci riferiamo a linee di trasmissione prive di perdite, le onde di tensione sono legate nel seguente modo:

Vk’+ = Vk+ejak

327

Vk’ = Vk e

Vk’ - = Vk-e -jak

ak= βklk

ak = lunghezza elettrica corrispondente allo spostamento verso l’esterno del k-esimo piano di riferimento.

In forma matriciale:

[ ]

1 1

2 2

n n

1 1

2 2

n n

ja ja

ja ja' '

ja ja

ja ja

ja ja' '

ja ja

e 0 0 e 0 0

V 0 e 0 V V 0 e 0 V

0 0 e 0 0 e

e 0 0 e 0 0

0 e 0 V S 0 e 0 V

0 0 e 0 0 e

−− − + +

−− +

= =

=

328

[ ]1 1

2 2

n n

ja ja

ja ja' '

ja ja

e 0 0 e 0 0

V 0 e 0 S 0 e 0 V

0 0 e 0 0 e

− −

− −− +

− −

=

Moltiplicando a sinistra per l’inversa della prima matrice:

n nja ja0 0 e 0 0 e−

[ ] [ ]1 1

2 2

n n

ja ja

ja ja

ja ja

e 0 0 e 0 0

S' 0 e 0 S 0 e 0

0 0 e 0 0 e

− −

− −

− −

=

S’kk=e-2jak Skk : la fase di Skk ha una variazione pari al doppio della lunghezza elettrica dello spostamento. Ciò corrisponde al fatto che l’onda attraversa due volte il tratto fra i due piani di riferimento, una volta in trasmissione l’altra in riflessione. Si considerano ora linee con impedenza unitaria.

329

unitaria.

• Potenza incidente su una generica bocca : Pki=

1

2Vk

+ Vk+*

quella totale : PTOTi =

n 2k

k 1

1V

2+

=∑

• Potenza riflessa totale : PTOTr =

n 2k

k 1

1V

2−

=∑

• Potenza netta entrante : P =

2n 2k k

k 1

1( V V )

2+ −

=−∑

Deriviamo ora una relazione che ci sarà utile, per lo studio dei circuiti a una bocca, a partire dal teorema di Poynting complesso. Come è noto, dato un volume V chiuso da una superficie S si ha:

S V V

1 1E H nds j (B H E D )dV E J dV.

2 2 2∗ ∗ ∗ ∗× ⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫

ω

Questa relazione, per un mezzo caratterizzato dai parametri

ε = ε’ - j ε”

330

ε = ε’ - j ε”

µ = µ’- j µ”

e dalla conducibilità σ, separando parte reale e immaginaria e cambiando segno ,diventa:

lS V V

H ES V

1 1Re E H nds ( "H H ''E E )dV E E dV P

2 2 2

1 H H E EIm E H nds 2 ( ' ' )dV 2 (W W ).

2 4 4

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗∗

− × ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ − × ⋅ = − = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

ω µ ε σ

ω µ ε ω

La prima relazione stabilisce che la potenza elettromagnetica reale trasmessa attraverso la superficie chiusa S è pari alla potenza dissipata per effetto Joule più quella dissipata nello smorzamento delle oscillazioni, lineari e rotatorie, di polarizzazione. Inoltre ε” e µ” devono essere positive per rappresentare delle dissipazioni.

La seconda relazione stabilisce che la parte immaginaria delle potenza entrante in V è pari a 2ω moltiplicata per l’energia reattiva netta immagazzinata nel campo magnetico (Wm) e nel campo elettrico (We).

331

I

V+

-

L R

C

In questo caso la potenza complessa entrante è :1 1 1 j

VI* ZII* II *(R j L )2 2 2 C

ωω

= = + −

In questo caso : Pl =1

2RII*, WH =

1

4LII*, WE =

1

4 2

II *

l H E1 1

VI* ZII* P 2j (W W )2 2

= = + −ω

Z= l H EP 2j (W W )1

II*2

+ −ω

Riprendiamo l’espressione o l H ES

1E H n ds P 2j (W W ).

2∗− × ⋅ = + −∫ ω

Se le pareti delle giunzione sono perfettamente conduttrici, la potenza può entrare solo attraverso le bocche. A secondo membro compaiono:

Pl: valore medio della potenza dissipata nella giunzione;

WH e WE: energie medie immagazzinate nel campo magnetico ed in quello

332

WH e WE: energie medie immagazzinate nel campo magnetico ed in quello elettrico.

Riferiamoci a una sola bocca:

i i

** *o oi t t oi is s s

1 1 1E H n ds E H z ds E H z ds

2 2 2− × ⋅ = × ⋅ = × ⋅∫ ∫ ∫

ma Et= η -1/2 et V(Z) , Ht= η -1/2 ht I(Z)

i i

** jt t oi i t t ois s

1 1 1E H * z ds VI e e h z ds VI .

2 2 21

− ∠ ∗× ⋅ = × ⋅ =

=

∫ ∫η

Consideriamo poi tutte le bocche:n

i i l H Ei 1

1V I * P 2j (W W )

2 == + −∑ ω

esplicitiamo il primo membro:n n * **

i i i i i ii 1 i 1

n n2 2 * *i i i i i i

i 1 i 1

1 1V I (V V )(V V )

2 2

1 1( V V ) (V V V V )

2 2

+ − + −

= =

+ − − + −+

= =

= + −

= − + −

∑ ∑

∑ ∑

Uguagliando parti reali e immaginarie :

333

Uguagliando parti reali e immaginarie :n n2 2

i i l i i i i H Ei 1 i 1

1 1( V V ) P e (V V * V V *) 2j (W W )

2 2+ − − + + −

= =− = − = −∑ ∑ ω

In forma matriciale:

1 1

n n

V V

V ... V ...

V V

+ −

+ −

+ −

= =

; inoltre

[V+] T=[V 1+ … Vn

+] ; [V-] T=[V 1- … Vn

-] ;

[V+] T*[V +]=n 2

ii 1

V +

=∑ ; [V-] T* [V -]=

2n

ii 1

V −

=∑

1

2([V+] T*[V+]-[V -] T*[V-])=P l , inoltre [V-]=[S][V +]

[V-] T = [V +] T [S]T e [V-] T* = [V +] T* [S] T*

Pl = 1

2( [V+] T* [V +] - [V +] T* [S] T* [S] [V +] ) =

1

334

1

2[V+] T* ([1] - [S] T* [S] ) [V +]

Se il sistema è privo di perdite deve esserePl=0.

Poiché[V+] è arbitrario deve essere:[S]T*[S] =[1] [S] -1=[S] T*

La matrice di scattering di una giunzione priva di perdite deve essere unitaria. Questa dimostrazione vale anche per componenti non reciproci, purché privi di perdite.

• Componenti reciproci([S]=[S] T ; h.p. [η]= η[1]) e privi di perdite:

[S] [S]* = [1]

• Dalla relazione che lega leVi- e Vi

+ conWH e WE:n

* *i i i i H E

i 1

1(V V V V ) 2j (W W )

2− + + −

=− = −∑ ω

Poiché[V-]=[S][V +] :1

([V+] T [S]T [V+]* - [V+] T [S]* [ V+]* = 2jω (W -W )

335

1

2 ([V+] T [S]T [V+]* - [V+] T [S]* [ V+]* = 2jω (WH-WE)

1

2[V+] T ([S]T - [S]*) [V +]* = 2j ω (WH-WE)

• In condizioni di risonanzaWH=WE [S]T = [S] *.

Proprietà generale che vale anche nel caso non reciproco.

Se vale anche la reciprocità:[S]T = [S] = [S *] [S] reale.

RETI A UNA BOCCA

zoI

V

S1no

S

V=Zin I

I=Yin V

V- = S11V+=Γin V+

Γin: coeff. di rifl. all’ingresso

Valgono anche:V (V V ) 1+ −+ + Γ

336

Valgono anche:

V=V+ + V- ; I= η -1 (V+-V-) Zin= in

in

V (V V ) 1

I 1V V

+ −

+ −+ + Γ= =

− Γ−η η

• Andamento temporale armonico: ejωt

• Teorema di Poynting:

*o r j l m eS

1(E H n )ds P jP P 2j (W W )

2× ⋅ = + = + −∫ ω

(WH Wm e WE We)≡ ≡

• Pl = valor medio in un periodo della potenza dissipata in τ acchiusoda S.

• Wm-We = differenza tra le energie magnetiche ed elettriche medie immagazzinate in τ.

• Nel caso di superficie esterna di tipo PEP flusso di potenza solo attraverso S1

1

*t t o 1 l m eS

1E H z ds P 2j (W W )

2× ⋅ = + −∫ ω

337

1t t o 1 l m eS2 ∫

• Ricordiamoci che Et=V(z) et , Ht=I(z) ht

*t t o 1 l m eS1

1VI e h z ds P 2j (W W )

2∗ × ⋅ = + −∫ ω

Inoltre la normalizzazione che usiamo è tale per cui:

1

*t t o 1S

e h z ds 1× ⋅ =∫ *l m e

1VI P 2j (W W )

2= + −ω

V e I sono relative alla sezioneS1 cioè V V(0) e I I(0).

Poiché V=ZinI : *in e m e

1Z II P 2j (W W )

2ω= + −

l m ein in in*

P 2j (W W )Z 2 R jX

II

+ −= = +ω

Rin =l

*2P

IIresist. d’ingresso pot. media che dissipata

X = m e4 (W W )−ω reattanza d’ingresso diff. tra energia

≡ ≡

338

Xin = m e*

4 (W W )

II

−ω reattanza d’ingresso diff. tra energia elettrica e magnetica immagazzinata

• In alternativa : * *in l m e

1VY V P 2j (W W )

2= + −ω

ovvero*

in l m e1

V Y V P 2j (W W )2

= − −ω

l m ein in in*

P 2j (W W )Y 2 G jB

VV

− −= = +ω

lin *

2PG

VV= conduttanza di ingresso

m ein *

4 (W W )B

VV

− −= ω suscettanza di ingresso

• Inoltre, poiché V=V+ + V- , I = η-1 (V+ - V-)

l m e1 1

(V V ) (V V ) P 2j (W W )2

+ − + −+ − = + −ωη , essendoΓ =

V

V

+

**1 1+ +

, nel casoη = ηreale

339

**in in l m e

1 1V (1 ) V (1 ) P 2j (W W )

η

+ ++Γ −Γ = + −

*2 *

in in in l m eV V

[(1 ) ( )] P 2i (W W )2

+ +− Γ + Γ − Γ = + −ω

ηSeparando parte reale e immaginaria:

2 *in l

1(1 )V V P

2η+ +− Γ = * *

in in m e1

( )V V 2j (W W )2

ωη

+ +Γ − Γ = −;

Dalle due precedenti equazioni segue, rispettivamente:

2 lin *

2 P1

V V

η+ +Γ = − in inj j

in m e*

2(e e ) 2j (W W )

V Vϕ ϕ η ω−

+ +Γ − = −;

m ein *

in

2 (W W )sin

V V

ηωϕ + +−=

Γ

• Consideriamo il caso di assenza di perdite: Pl=0

340

m ein in

4 (W W )R 0 X [Z]

II*

ω −= =

m ein in *

4 (W W )G 0 B [Y]

VV

ω− −= =

m ein in *

2 (W W )1 sin [S]

V V

ηωϕ + +−Γ = =

• Se l’energia magnetica accumulata nel volumeτ è pari a quella elettrica immagazzinata nello stesso volume si ha la

condizione di risonanza : Wm=We

• Tale condizione si verifica per:

a) V(0)=0 e I(0) ≠ 0 (V+= -V-)

b) I(0)=0 e V(0)≠ 0 (V+= V-)

341

V(0) e I(0) sono tensione e corrente sulla sezione di ingresso.

Il casoV(0) = I(0) = 0 non è un caso di risonanza perché corrisponde a un circuito isolato dalla linea di ingresso.

Esaminiamo a):

I ≠ 0 Xin=0

V=0 (a denominatore infinit.2o ordine) inB → ∞

in 1Γ = sinϕin=0 ϕin = 0

π

in inV V

ma 1V V

ϕ π− +

+ +Γ = = − = − ⇒ =

Condizioni di RISONANZA SERIE

L1

342

Rappresentazione circuitale:

1 e 1’ morsetti di ingresso del circuito a una bocca.

L

C

1

1’

Esaminiamob):

I=0

V ≠ 0 Bin=0

inin 1 0ϕΓ = =

Condizioni di ANTIRISONANZA o RISONANZA PARALLELA

inY → ∞

343

Rappresentazione circuitale: CL1

1’

Se si considerano anche le perdite:

A rigore in queste strutture non è possibile avere delle oscillazioni permanenti. Si

1

1’

SERIE

G=R-1 LC

1

1’

R

L

C

PARALLELO

344

A rigore in queste strutture non è possibile avere delle oscillazioni permanenti. Si

possono invece avere oscillazioni smorzatedel tipo :

t j ( i )tˆ ˆV(t) Ve sin( t ) Im[Ve e ]ξ ϕ ξ ωω ϕ− − += + =

t j ( i )tI(t) Ie sin( t ) Im[Ie e ]ξ Ψ ξ ωω Ψ− − += + =ɵ ɵ

Se si introducono la frequenza complessa p = -ξ+ j ω e i fasori

j jˆV Ve e I Ie= = ɵϕ ψsi ha:

pt ptˆV(t) Im[Ve ] ; I(t) Im[ Ie ]= = ɵ

Quindi anche nel caso di oscillazioni smorzate vale il formalismo delle oscillazioni permanenti purché si consideri una frequenza complessa.

• Per il circuito serie:dI(t) 1

V(t) RI(t) L Idt.dt C

= + + ∫

Passando ai fasori: 1

V (R pL )IpC

= + +

1

345

Per avere V 0 e I 0= ≠ si deve annullare l’impedenza:1

R pL 0pC

+ + =

I valori di p che soddisfano questa equazione permettono di ricavare le frequenze naturali (o libere) di oscillazione del sistema. Abbiamo, perciò:

p2LC + pRC+1 = 0 e, per L e C ≠ 0,

2 R 1p p 0

L LC+ + = 2R 1 R

p j2L LC 2L

= − ± −

Le oscillazioni naturali smorzatesi ottengono se

21 R

LC 2L <

Se invece:

21 R

LC 2L >

ovvero2 4L

RC

<

346

p è reale e non si ha oscillazione ma un decadimento esponenziale nel tempo.

Nel caso R=0, l’equazione per p si riduce a:

2 1 jp 0 p

LC LC

±+ = ⇒ =

cioè p è immaginario puro e si ritrova la2

01

LCω = del caso privo di perdite.

Nel caso reale di strutture con perdite, ponendo R

2L:ξ=

22 2 2

o 00

0

ˆ ˆp j j 1o

:

:

ˆ

, c n ,ξξ ω ξ ξ ω ω ω

ωωω

= − ± − = − ± = −

frequenza di oscillazione naturale

frequenza di oscillazione naturale senza perdite

• Struttura parallela:

risultato formalmente identico purché siaGξ =

347

risultato formalmente identico purché siaG

2Cξ =

• Perdite frequenza di risonanza complessa

• Perdite basse( , ) 0ω → ω

• Considerazioni energetiche.

• Strutture prive di perdite.

W(t)=Wh(t)+We(t)=1

2LIL

2(t) 1

2+ CVc

2(t)

0R→ 0G →

• Alla risonanza, cioè in presenza di oscillazioni permanenti alla frequenza reale

01

LCω = , nel caso serie:

L 0

c 00

I (t) I(t) Isin t

1 1V (t) I(t)dt Icos t

C C

= = ω

= = − ωω∫

ɵ

ɵ

2 2 22 20 0 02

0

1 1 1 1W(t) LI sin t I cos t , poichè

2 2 LCC⇒ = ω + ω ω =

ωɵ ɵ

348

202 2 LCCω

2 2 20

20

21LI (sin t co

1 1 ˆW(t) LI CV2 2

s t)2

= =ω + ω = ɵɵ

In risonanzaW(t) è costante e pari al valore massimo dell’energia immagazzinata nell’induttanza o nel condensatore.

W(t) = cost. = Whmax=Wemax= <W(t)>

essendoW(t) il valor medio in un periodo diW(t).

Anche per un circuito parallelo si giunge allo stesso risultato.

Consideriamo ora le perdite (alla risonanza alla pulsazione )ω

t

t

2 t

ˆI(t) Ie sin t

ˆ ˆV(t) Ve sin( t )

ˆ ˆ ˆP(t) VIe sin( t )sin t

−ξ

−ξ

− ξ

= ω

= ω + ϕ

= ω + ϕ ω

ɵ

ɵ

oscillazioni smorzate

R

C

L

I(t)

V(t)

+

-

349

-

Approx. piccole perdite:

a)

b) V(t) e I(t) sinusoidali in T0 = 2π/ ω0 e diminuiscono istantaneamente alla fine di un periodo. In altri termini, fissato un istante Ti per cui risulti Ti = π/2,ωsi ha:

i2 Ti

1 ˆP(T ) VIcos e2

− ξ= ϕɵ

e, dopo un periodo T0,i o o2 (T T ) 2 T

i o i1 ˆP(T T ) VIcos e P(T )e2

− ξ + − ξ+ = ϕ =ɵ

0ω ≅ ω

io o

0l

i oT

WQ FATTORE DI QUA

P(T )Def : 2 ln 2 T

P(T T

LI

)

De Tf : A 'P

δ = ξ

= ω

δ = = ξ ⇒+

(o coeff. di risonanza)

ω0 = pulsazione di risonanza del modo nella struttura priva di perdite

W= valore medio in un periodo dell’energia immagazzinata

350

W= valore medio in un periodo dell’energia immagazzinata

Pl = valore medio in un periodo della potenza dissipata

All’ istanteTi :

i

i o o

2 2 T1

2 2 (T T ) 2 T 22 1 1

1W LI e , dopo un periodo :

21

W LI e W e W e2

− ξ

− ξ + − ξ − δ

=

= = =

ɵ

ɵ

Diminuzione di energia media in un periodo = potenza media dissipata xTo:

W1-W2=PlT0

W1(1-e-2δ) W1[1-(1-2 δ)]=2 δ W1=PlTo δ = l o

1

P T

2W

Dalla definizione diQ:

l

0

0 l 0

W 2 WQ .

P T P T 2

ωπ π= = = =ξ ξ

351

l

2 2

0 0 00

1ˆ ˆf ( ) : 1 1

2Q

ξ ω = ω ω =ω − = ω − ω

Nei risonatori a microondeQ può avere valori anche molto elevati (103-104), ma

anche in un caso di Q=50 si ha:

4 20 0ˆ 1 10 , 10− −ω = ω − ω≃ errore inferiore a

• Zin alla risonanza:

RLC serie

20 00

0

LR 1 1Q ( )

2L 2 R CR LC

ω ωξ = ⇒ = = = ω =ξ ω

R

L

C

Zin

352

00

0in

0

pZ (p) R 1 Q

1 pRQ 1R pL R RQ

pC p p

ω= ++ + = + + ω =ω

+ ω

In condizioni prossime alla risonanza( , )

Zin è puramente reale

in0

00

p Z (j j 1 RR j) Q ωω

⇒ ω ω = + − = ω ω ω≃ ≃

0ω ≅ ω0ξ →

00i

0n

CG 1Q , e per .

2C G LC

1Z

G

ωξ = ⇒ = = ω = ω=ω

Zin G=R-1 LCRLC parallelo

353

1) Strutture prive di perdite.

• Caratterizzate da 2 parametri:

Riepilogo strutture a microonde a una bocca:

zoI

V

S1no

S

354

• Caratterizzate da 2 parametri:

ω0 = pulsazione di risonanzae W(t) = We(t)+Wh(t) = costante.

• Circuiti equivalenti:

Serie Parallelo

L e C legati a

ω0 e W(t)L

C

CL

• Caso serie

2) Strutture con perdite.

• Caratterizzate da 3 parametri:

ω0 = pulsazione di risonanzadel caso precedente,

Q = fattore di qualità 0l

WQ

P

π= ω =δ

Zin= impedenza d’ingresso

• Caso parallelo

355

• Caso serie

0

0

in

L 1Q

R RC

Z R

ω= =ω

=

0

0

in

C 1Q

G LG

1Z

G

ω= =ω

=

Noti ω0, Q e Zin si possono calcolareR (o G), L e C e utilizzare i circuiti

equivalenti. Invece diZin si può usarePl , infatti:

(serie) (parallelo)l2PR

II∗= l*

2PG

VV=

• Caso parallelo

RISONATORI A CAVITA’Nella banda delle microonde, tipiche strutture a una bocca risonanti sono costruite con tratti di guida d’onda chiusi in corto circuito da entrambi i lati. Si formano cioè delle scatole metalliche chiuse o cavità.

L’energia elettrica e magnetica è immagazzinata nella cavità, mentre la potenza è dissipata nelle pareti metalliche e nel dielettrico che riempie la cavità.

Il risonatore può essere eccitato tramite un piccolo foro, o un piccolo dipolo elettrico o magnetico.

356

Consideriamo dapprima strutture prive di perdite:

zz

z=0 z=l

Piani metallici posti inz=0 e z=l.

Campo elettrico trasverso:

Et = et(q1,q2)(P1e jβzZ +P2e -j βzZ) (kz = j βz)

et(q1,q2) è la stessa della guida indefinita. Devo imporre, però, la condizione al contorno sui piani metallici in z=0 e z=l:

Etang = Et = 0 in z=0 e z=l P1 e jβzZ+P2 e -jβzZ = 0 in z=0 e z=l

• in z=0: P1+P2 =0 P2 = - P1

-P2e jβzZ + P2e -jβzZ= -P2(e jβzZ- e -jβzZ) = -P2 2 j sin βz z

357

2 2 2 2 z

• in z=l: -P2j sinβzl =0 βz l= sπ con s = 1,2,3,…

Perciòβz = sπ/l (equivale a zz

z

2l s ,

2

λ π= λ =β )

In questo casoβz=βz(l), mentre in una guida indefinita βz=βz(ω).

Inoltre kt2+kz

2=kt2- βz

2= -ω2µε. Se impongo ora il valore diβz trovato, la

frequenza è proprio quella di risonanzaω0:2 22 2 2

0 t 0 ts 1 s

k k .l l

π π ω µε = − ⇒ ω = − µε

RISONATORE PARALLELEPIPEDO

0 a

b

x

y

358

2 2 2

0

2 22

t1 m n sm n

ka a bb l

π π π ω = + + µεπ π − = + ⇒

Esistono∞3 frequenze di risonanza; a ognuna di tali frequenze corrisponde un campo differente.

modi TM e TE:

• Modi TEm,n,s: m = 0,1,2,… n = 0,1,2,… (non contemp. nulli)

Se s=0: Et=(P1+P2)et(q1,q2) non dipende daz, inoltre deve essere

Et =0 in z=0 e z=l campo nullo. Allora s deve essere diverso da zero.

solo uno fra m, n, s può essere =0.

• Modi TMm,n,s: m = 1,2,3,… n = 1,2,3,…

359

In questo casoez ≠ 0 non si deve annullare (in quanto normale) inz=0 e z=l, quindi anche pers)=0 può esistere un campo normale. Quindis = 0,1,2,3,…

• Gli indici m, n, s sono collegati con le variazioni inx, y, z. Perciòs=0 campo costante inz.

• Le frequenze di risonanza formano uninsieme discreto che si addensa sempre di più al crescere degli indici m, n, s. Quando le frequenze di risonanza sono troppo vicine è difficile selezionare un solo modo. In genere si cerca di evitare tale situazione.

RISONATORE CILINDRICO

In questo caso un tratto di guida circolare viene chiuso in corto circuito con due

piani metallici inz=0 e z=l.

a

Modi TE:

'22 nm

t 2k

a

ξ− = (ξ’ nm: radice m-esima della derivata

della funzione di Bessel Jn)

360

quindi: 2 2

nm0 2

n 0,1,2,..1 s '

m 1,2,3,...l a

s 1,2,3,...

=π ξ ω = + = µε =

Modi TM:2

2 nmt 2

ka

ξ− = (ξnm: radice m-esima delle funzione di Bessel Jn)

2 2nm

0

n 1,2,3,..1 s

m 1,2,3,..l a

s 0,1,2,...

=π ξ ω = + = µε =

quindi:

• Nella progettazione dei risonatori è utile far ricorso alla “carta dei modi” o

“ carta dei modi risonanti”, un diagramma che ha in ascisse (2a/l)2 e in

ordinate (2af)2. Nella carta sono cioè riportati gli andamenti della frequenza,

normalizzata con il raggio, in funzione del rapporto a/l.

Per , si ritrovano i valori delle ξnmper i modi TM e delle

ξ’ nmper i TE.

Al variare di 2a/l si ottengono delle rette dette “di accordo” che hanno un

l → ∞ 2 / 0a l →

361

Al variare di 2a/l si ottengono delle rette dette “di accordo” che hanno un

pendenza dipendente da s: tutte le rette che hanno lo stesso valore di ssono

parallele. Per s=0 si hanno rette (modi TM) orizzontali. All’aumentare di scresce la pendenza. Rette coincidenti corrispondono a modi degeneri, ovvero modi che, pur avendo configurazione di campo diversa tra loro, hanno la stessa

frequenza di risonanza per ogni valore di (2a/l)2. Dove si intersecano linee di modi diversi si ha risonanza per più modi (modi non voluti o spuri e modo voluto).

• Risonatori “lunghi”:(2a/l)2 piccolo, il modo dominante è [1,1,1].

• Risonatori “corti” : (2a/l)2 grande, il modo

, (M

Hz

–cm

)2 15·108

20·108

Carta dei modi risonanti

362

(2a/l)2 grande, il modo dominanteè (0,1,0).

• I valori di Q per questi risonatori sono limitati dalle perdite sulle pareti conduttrici e dalla tecnica utilizzata per l’accordo, o “sintonia”.

(2a/l)2

(2a

f)2, (

MH

z

5·108

10·108

0 2 4 6

2a

l variabile

Risonatore accordabile

(o sintonizzabile)

• Il pistone mobile non garantisce un buon contatto con la guida d’onda circolare, di conseguenza in tale ragione penetrano delle correnti che dissipano parte dell’energia della cavità sulla superficie del pistone e nel tratto di guida corrispondente.

363

corrispondente.

• Valutazione del Q dovuto alla conducibilità non perfetta delle pareti del risonatore. Sono in genere trascurabili le perdite nel dielettrico.

0l

WQ

P= ω

ω0: di risonanza del risonatore senza perdite

W: energia media immagazzinata in un periodo To (costante nel caso privo di perdite, decrescente nel caso reale, discretizzata)

to to+T

W(t)

t

Pl: potenza media dissipata in To

* *1W ( H H E E )d

4 τ= µ ⋅ + ε ⋅ τ∫

• Per to < t < to+T l’energia immagazzinata rimane costante, siamo cioè in un

sistema privo di perdite per il qualeµH•H* = εE•E* in ogni punto di τ1 1

364

* *1 1W H H d E E d

2 2τ τ= µ ⋅ τ = ε ⋅ τ∫ ∫

• Pareti di conduttore non perfetto esiste un campo elettrico tangenzialeesiste una componente del vettore di Poynting uscente dalla cavità. La

potenza dissipata nel conduttore è:*

l oS

1P Re E H n dS

2 τ τ= × ⋅∫• Vale la condizione di Leontoviĉ:

*l c S

1P Re H H ds

2 τ τ ⇒ = η ⋅ ∫

τE

τ τ 0E = H ×ncη

• Dalla def. di 0l

WQ

P= ω si ha:

0*

c S

1H H*d

2Q ;1

Re H H dS2

τ

τ τ

µ ⋅ τ= ω

η ⋅

inoltre*0

c S(1 j) e H H dS

2g τ τω µη = + ⋅∫ è sicuramente reale

*ω µ ⋅ τ∫

365

*0

*0S

H H dQ

H H dS2g

τ

τ τ

ω µ ⋅ τ=

ω µ ⋅

• Q proporzionale direttamente a τ

inversamente a S

• Massimo Q corrisponde perciò a massimo volume a parità di superficie: i risonatori sferici sono i migliori da questo punto di vista.

• Scelta una forma se confronto un risonatore “piccolo” con uno “grande”:

piccolo freq. di risonanza elevate e distanziate fra loro, Q basso

grande freq. di risonanza basse e poco distanziate fra loro, Q alto

366

• Se le freq. di risonanza sono troppo vicine fra loro si rischia di eccitare un modo non voluto (spurio o parassita).

• Scelta ottimale : risonatore abbastanza grande per avere Q elevato , ma non

troppo grande per avere ∆ f ragionevoli.

Calcoliamo ilQ per il modo dominante(b sia

la dimensione più piccola del risonatore): TE01

2 2

01

a l

π π ω = + µε

• Ci servono le espressioni delle componenti di campo magnetico, cioè Hx e Hz, possiamo ricavarle dall’analisi generale o in maniera più semplice. Sappiamo che

l

a

b

x

y

367

possiamo ricavarle dall’analisi generale o in maniera più semplice. Sappiamo che

Hz ha un andamento tipo seno o coseno inx e z, ora in una sezione trasversaHz è tangente alle paretiPEP della guida e non deve annullarsi su esse

Hz

Per quanto riguarda la dipendenza longitudinale,Hz, essendo normale alle PEP poste in z=0 e z=l, deve annullarsi in z=0 e z=l

Hz

cos xa

π ∝

sin zl

π ∝ z z eH A cos x sin z h Z (z)

a l

π π = =

• Hxxo=htZh(z)

z zt t z o2 2

t t

z z

k kcon h h A sin x x ,

a ak k

inoltre k j j el

π π = ∇ = −

π= β =2

2tk

a

π = −

x h2j / l

H A sin x Z (z)a a( / a)

π π π ⇒ = −

− π

368

Ma Zh(z)=(-P1e j βz Z + P2e - j βz Z ) perché Hx, tangente

alle PEP poste inz=0 e z=l, non deve annullarsi inz=0 e z=l

P1 = - P2 , h 2Z (z) 2P cos zl

π =

xa

H j Asin x cos zl a l

π π ⇒ =

2 a a( / a) − π

cos xa

π ∝

22 2 2 2 2a

A cos x sin z sin x cos z da l l a lτ

π π π π = + τ =

∫2 22

2 a l a a l A aA b abl 1

2 2 l 2 2 4 l

= + = +

*∫

• Dobbiamo calcolare**

SH H d e H H dSτ ττ

⋅ τ ⋅∫ ∫2 2*

z xH H d ( H H )dτ τ

⋅ τ = + τ =∫ ∫

369

*H H somma di 6 contributi uguali a coppieτ ττ⋅ = =∫

2a b2 2

S(z 0) S(x 0) S(y 0) 0 0

a2 ... ... ... 2A sin x dxdy

l a= = =

π = + + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b l a l2 2 20 0 0 0

2 2 32 2 2

sin z dydz cos x sin zl a l

a al a asin x cos z dxdz A 1 bl 1

l a l 2 l l

π π π + + +

π π + = + + +

∫ ∫ ∫ ∫

Quindi

2

02 3

0

1 aabl 1

4 bQ

al a a1 bl 12g 2 l l

+ ω µ =

ω µ + + +

• Sea=b=l, risonatore cubico: 0

0

aQ

6

2g

ω µ=ω µ

, Q a.∝

370

Se, inoltre,a = 2cm: 2 2

01

a b

π π ω = + µε =6.664 x 1010 rad/sec

φο= ω0/2π ≈10.6 GHz =10.6 • 109 Hz.

Se il risonatore è di rame(g=5.8 x 107 S/m):

Q ≈ 10389,4 (modoTE101).

Come si inseriscono le cavità nei circuiti a microonde?

a) Accoppiamento di tipo elettrico:

si inserisce il conduttore centrale di un cavo

coassiale, che si comporta come una piccola

antenna (o sonda) lineare. L’accoppiamento

varia con il modo.

E

371

B

b) Accoppiamento di tipo magnetico:

in questo caso si realizza un loop di corrente

(dipolo magnetico); può essere realizzato

piegando il conduttore interno di un cavo coax

fino a fargli toccare una parete della cavità; si

eccita un campo magnetico perpendicolare al

piano del loop.

.

cavità

guida

c) Accoppiamento tramite fori:

attraverso il foro il campo e.m. guidato

va, in parte ,verso la cavità.

• In genere se si vuole eccitare un modo in cavità si cerca il massimo accoppiamento, mentre se si usa la cavità come elemento di un canale di misura (di solito della frequenza) si cerca di perturbare il meno possibile il campo in guida.

• Esempio: risonatore cilindrico a sezione circolare eccitato da un antennina lineare. Si cerca il max accoppiamento, si deve porre il cavo centrale del coassiale

372

lineare. Si cerca il max accoppiamento, si deve porre il cavo centrale del coassiale allineato con le linee di forza del campo elettrico e nella sezione in cui è massimo il campo elettrico in funzione delle coordinate spaziali.

sezione trasversa

373

sezione longitudinale modo TE11

in questo caso si cerca il massimo del campo magnetico

modo TM

In un circuito a microonde le cavità possono essere collegate:

a) Come terminazione

La cavità è usata come carico, cioè come struttura a una bocca, che produce delle riflessioni sulla linea di alimentazione (cavità a reazione)

374

Struttura tipica per le misure di frequenza. In questo caso si cerca un basso valore di accoppiamento per disturbare il campo in guida.

b) In derivazione

c) In trasmissione

In questo caso si ha una struttura a due bocche, tipica dei filtri a microonde.

• Supponiamo di poter variare la frequenza del generatore posto all’ingresso del circuito, mantenendo la stessa potenza, frequenza per frequenza. In uscita si ha:

375

circuito, mantenendo la stessa potenza, frequenza per frequenza. In uscita si ha:

caso b)

0

Pout Per frequenze diverse da quelle di risonanza il segnale passa invariato, per frequenze prossime a quella risonanza buona parte del segnale va ad eccitare la cavità e non arriva in fondo alla guida.

ω0 ω

Pout

In questo caso se la frequenza di ingresso è diversa da quella di risonanza il segnale non entra in cavità e non può essere trasmesso alla guida in uscita. Se invece la frequenza del segnale in ingresso è prossima alla risonanza si eccita la cavità e si trasmette il segnale in uscita. Si ha un comportamento da filtro passa banda.

• Cavità inserita in un circuito

Il Q della cavità è diverso da quello del risonatore isolato (“non caricato”) Q .

caso c)

376

Il Q della cavità è diverso da quello del risonatore isolato (“non caricato”) Q0.

In tal caso avevamo visto che:

0in

0Z ( ) R 1 jQ

ωωω = + − ω ω ω ω 0 caso serie

in0

0

1Z ( )

G 1 jQ

ω = ωω+ − ω ω

ω ω 0 caso parallelo

per ω = ω 0 Zin=R caso serie

1/G caso parallelo

V+• Nel progettare le cavità si cerca di avere adattamento fra linea di trasmissione e cavità

377

V

V-

adattamento fra linea di trasmissione e cavità alla frequenza di risonanza.

Se facciamo riferimento al caso di impedenza

caratteristica della linea η =1, per avere

adattamento dovrà risultare R=1.