1

Dall’ equazione del moto di un plasma MHD

si deduce che Il campo magnetico genera forze applicate al mezzo fluido MHD ideale. La densità di forza e’ nota nella forma f =(1/c) J x B, ortogonale sia a J che a B come mostrato in figura a).

Dato che densità di corrente ed il campo magnetico sono legati dalla ∇ x B = (4π/c) J, la conoscenza della corrente non è necessaria per esprimere la forza in un punto dello spazio se, oltre al campo magnetico locale è dato anche il campo in punti vicini (ovvero le sue le derivate parziali). Possiamo ottenere una rappresentazione più chiara del significato dell’ espressione:

(20.2)

espandendola nelle sue componenti rispetto ad un sistema di coordinate locale solidale colcampo magnetico (Figura b).

Densita’ di forza magnetica

(20.1)

8π

8π 8π

a) b)

2

Definiamo la terna di versori t, n e b, rispettivamente tangente, normale e binormale allalinea di campo e indichiamo le derivate nella direzione della linea di campo, nella direzione normale ed in quella binormale rispettivamente con ∂/∂s, ∂/∂n e ∂/∂b. In questo sistema, dato che ∂t/∂s = n/R dove R è il raggio di curvatura locale della linea.

(20.3)

D'altra parte:

Sostituendo nella (20.2), otteniamo:

(20.4)

Non vi sono componenti della forza in direzione del campo. Indicando con il versore cambiato di segno della direzione del raggio di curvatura

R

BB

ssB

s

BB

s πππππ 4)

8(

4))((

4

1

4

)( 22

ntt

tB

tBBB +

∂∂=

∂∂+

∂∂⋅=

∂∂⋅=∇⋅

bnt )8

()8

()8

()8

(2222

ππππB

b

B

n

B

s

B

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

bntBB

f )8

()84

(0)8

(4

)( 2222

πππππB

b

B

nR

BB

∂∂−

∂∂−+=∇−∇⋅=

RR

B

b

B

n

B Rbnf

ˆ

481 222

ππ−

∂∂+

∂∂−= (20.5)

8π

8π 8π

3

Dato che n e b sono i versori delle componenti del gradiente nel piano ortogonale alla linea di forza la (20.5) si può anche scrivere anche come

(20.6)

dove ∇⊥ è il gradiente del quadrato del campo nel piano perpendicolare alla linea di forza

Il primo termine al secondo membro della (20.6) rappresenta il gradiente trasversale della pressione magnetica, che determina la forza magnetica applicata quando le linee di forza sono delle rette, dato che, se R→∞, il secondo termine al secondo membro va a zero.L’azione di questa forza puo’ pertanto essere descritta come uno “sforzo” tra le linee di forza in direzione traversale alle linee di campo.

Il secondo termine al secondo membro della (20.6) determina invece una forza che èdiretta verso il centro di curvatura delle linee di forza ed è chiamata tensione del campo magnetico, in quanto si ottiene formalmente attribuendo alle linee di forza le proprietà di una corda tesa. Concludiamo osservando che l'equazione (4.44) può anche essere ricavata formalmente ponendo B=bB

utilizzando le identità vettoriali:

( ) ( ) ( ) φφφφφφφφφ ||||||||ˆˆˆˆˆ ∇−∇=∇∇⋅≡∇=∇∇⋅≡∇⋅=∇ ⊥bbbbb

(20.7)

4

Conservazione del flusso del campo magneticoPer un fluido perfettamente conduttore “ l'equazione di induzione” :

(20.8)

descrive la relazione fra il campo magnetico ed il moto del fluido. Per esaminare il significato di questa relazione consideriamo un contorno chiuso C (che sottende una superficie S) all’ interno del fluido. Il flusso del campo magnetico concatenato con C e’

Se C si muove con una velocità u nel fluido, la variazione di flusso totale e’ data da due termini:

Dato che si ottiene identicamente:

(20.10)

Quindi la (20.10) esprime la costanza del flusso attraverso una qualunque superficie materiale in un fluido perfettamente conduttore:

0)( =××∇−∂∂

BuBt

0=Φdt

d

∫∫∫ ⋅××∇−=⋅×−=×⋅SCC

dd SBulBudluB )()(

La quantita’ (u x dl) dt e’ l’ elemento d’ area spazzato nel tempo dt e B.(u dt x dl) = -dt u x B.dl) l’ elemento di flusso attraverso la superficie laterale. Integriamo sul contorno C ed applichiamo il teorema di Stokes :

Dovuta alla variazione di B Dovuta al moto di C (flusso tagliato)

Φ =• u x

x

Contorno al tempo t t+dt

(20.9)

(20.9)

xuu

u

)( BVB ××∇=

∂∂

t

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“Congelamento “ delle linee di campo

In generale, le linee di campo magnetico indicano soltanto la direzione del campo in un certo punto dello spazio e solo per convenzione si assume che la loro densità grafica sia proporzionale all’ intensità del campo. Non si può attribuire loro alcuna identità, e pertanto, se B e’ variabile, non possono essere contrassegnate, non sono identificabili ne’ possiamo parlare di "movimento’ delle linee di campo.

In un fluido perfettamente conduttore viceversa, il teorema di conservazione del flusso, permette una individuazione di linee di campo.con importanti conseguenze.

.Se infatti consideriamo una linea “materiale”qualunque, che si muova in un modo solidale col fluido definita come intersezione di due superfici materiali, ovunque tangenti al campo magnetico , e pertanto a flusso nullo , che si muovono anch'esse col fluido ad un istante t = 0, negli istanti successivi, la linea materiale si sposta e si spostano anche le superfici materiali lungo le quali avviene l'intersezione.

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Per il teorema di conservazione del flusso, queste superfici restano a flusso nullo ad ogni istante. Lo stesso vale per qualsiasi altra coppia di superfici che si intersecano lungo la stessa linea. Quindi la linea materiale che all'inizio (t = 0) co incideva con la linea di campo, si trova a coincidere con una linea di campo anche in un istante successivo

In altre parole, la linea di campo si è spostata in un modo solidale con il fluido .

Contrassegnare le linee materiali serve a contrassegnare anche le linee di campo, la velocità locale del fluido v(r,t) è anche la velocità con cui si muove il tratto di linea di campo che passa per quel punto; in breve, si dice che la linea di campo è 'congelata' nel fluido.

Come conseguenza della conservazione del flusso:

1. Se una linea materiale di fluido e’ coincidente a un certo istante con una linea di flusso magnetico rimane tale per ogni istante successivo

2. Il numero di linee di flusso attraverso ogni superficie e’ costante.

Questo teorema fornisce una base per il confinamento magnetico di un plasma perche’dimostra che, almeno nell’ approssimazione MHD, stabilire una relazione tra la geometria del fluido e quella del campo magnetico confinante.

Questa proprietà e tuttavia valida solo se si suppone una conduttività infinita

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Diffusione del campo magneticoNell'ipotesi di conduttività finita, l’ equazione di induzione e’

e pertanto il congelamento delle linee di flusso non è più vero, nel senso che ci si può aspettare un moto relativo fra fluido e linee di campo.

Consideriamo il caso particolare di un campo magnetico statico, per il quale le linee di forza siano immobili nel tempo. Un fluido a conduttività infinita, che si trova immerso in questo campo deve stare anche lui immobile, per il principio prima enunciato di fluido solidale alle linee di forza del campo magnetico. Il confinamento magnetico dei plasmi ad alta temperatura si basa proprio su questo principio.

Se invece le linee di campo sono fisse, ma il fluido ha una conduttività finita, il fluido si muove rispetto al campo dando luogo ad un processo di diffusione.

Per calcolare la velocità di diffusione del fluido, dobbiamo immaginare uno stato stazionario nel quale le forze di pressione (∇p) e le forze elettromagnetiche (JxB) sono in equilibrio:

(20.11)

BBVB 2

0

1)( ∇+××∇=

∂∂

σµt

BJ ×=∇pc

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La legge di Ohm e’:

(20.12)

dove η è la resistività.

Moltiplicando la (20.12) vettorialmente per B, otteniamo:

che può anche essere scritta come:

. Se

ossia;

Detta u⊥la componente di u perpendicolare a B si ottiene:

II primo termine a secondo membro della (20.14) rappresenta la velocità di deriva del plasma dovuta al campo elettrico . Il secondo termine è una velocità legata esplicitamente alla resistività del fluido.

)( BuEJ ×+=⋅η

)()( JEBBuB η+−×=××

)()(2 JEBBuBu ⋅+−×=⋅− ηB

)(2 JEBu ⋅+−×=⊥ ηB

BJBE

u ×−×=⊥ 22 BB

η (20.13)

kB zB= kBuB zuB2)( =⋅

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Nel caso di un fluido confinato da campo magnetico, la velocità di deriva elettrica e’parallela alla superficie di separazione vuoto-fluido; infatti, se c'è un campo elettrico con componente perpendicolare a B, e’ possibile dimostrare che essa è diretta perpendicolarmente alla superficie di separazione.

Nel caso tipico di una colonna di fluido a sezione circolare, confinata da campo magnetico, il moto di deriva causa, come vedremo, un moto rotatorio degli strati della colonna attorno al proprio asse (shear), ma nessun moto in senso radiale.

Il secondo termine a secondo membro della (20.13) rappresenta una velocità diretta perpendicolarmente alla superficie di separazione data da:

Si tratta di un fenomeno molto importante per sistemi di confinamento magnetico: è la diffusione del plasma attraverso le linee di campo magnetico.

Esso rappresenta evidentemente una perdita dal punto di vista del confinamento, che occorre minimizzare. Vediamo che esso è direttamente collegato alla resistività e si attenua fortemente al crescere del campo magnetico.

20.15pBB

vD ∇−=×−=22

ηηBJ

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Si può capire l'origine fisica di questo fenomeno con alcune semplici considerazioni.

In completa assenza di collisioni, le particelle del plasma compiono i loro moti a spirale attorno alle linee di campo magnetico e non vi sono perciò migrazioni in direzione perpendicolare e, se non quelle dovute a derive elettriche.

Quando però una particella collide il suo moto a spirale, ne viene bruscamente interrotto e riprende con il 'centro di guida’ spostato in generale su un'altra linea di campo magnetico, che per una collisione a circa 90°e’ in m edia circa rL = v/Ω

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Coefficienti di diffusione

Consideriamo un gas di particelle in uno stato stazionario e, fissato un asse x di riferimento, siano ∆x e τ rispettivamente la distanza percorsa (lungo l'asse x) e il tempo medio tra due urti consecutivi;

Supponiamo che il gas non abbia densità uniforme lungo l'asse x, come illustrato nella figura e analizziamo la diffusione delle particelle. Preso un punto di riferimento x0, la densità numerica n(x) può essere linearizzata in un intorno abbastanza piccolo di xq, per cui possiamo scrivere

x0- ∆x x0 x0+∆x

n(x)

Calcoliamo il flusso di particelle, i+, che nel tempo t passano da sinistra a destra rispetto a x0, cioè il numero di particelle che viaggiano nel verso positivo dell'asse x; queste particelle saranno circa la metà di quelle che nel tempo τ hanno subito urti tra x0 - ∆ x0; e x0 , cioè a una distanza da x0 minore di ∆ x, che, come si è detto, è lo spazio percorso lungo l'asse x nel tempo medio τ tra due urti consecutivi.

i+

i--

(20.16)

Figura 20.1

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Il flusso di particelle i+ sarà quindi:

In modo analogo, possiamo ricavare l'espressione del flusso di particelle, i-, che nel tempo t passano da destra a sinistra, per il quale l'integrale va calcolato da x0 a x0 + ∆ x0;; abbiamo quindi

II flusso netto:

è proporzionale al gradiente di densità e il coefficiente di proporzionalità D

è detto coefficiente di diffusione libera

(20.17)

(20.18)

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La (20.17) descrive la diffusione dovuta alla disomogeneità della densità delle particelle. In generale, potremo allora scrivere

(20.19)La diffusione delle particelle è una conseguenza del moto disordinato delle particelle stesse, cioè del loro moto termico. Pertanto, mentre in un plasma omogeneo il flusso di particelle attraverso un qualsiasi elemento di superficie è compensato da un flusso nel verso opposto, se esiste un gradiente di densità viene a crearsi un flusso netto di particelle.Se a essere disomogenea è la temperatura, cioè se si ha T = T(x), si può ragionare in modo analogo per il flusso di calore e calcolare i flussi nel verso positivo dell'asse x; e in quello negativo

dove nT è la densità di energia termica. Dunque, linearizzando ora T(x) nell'intorno di x0, il flusso netto di calore risulta essere:

Il flusso netto di calore è proporzionale al gradiente di temperatura e il coefficiente di proporzionalità κ

è detto conduttività termica

(20.20)

(20.21)

[D] = (m2 s-1)

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(La (20.20 ) descrive la diffusione dovuta al gradiente di temperatura, detta diffusione termica; in generale, possiamo scrivere per il vettore flusso di calore

(20.22)

Nel caso della diffusione termica associata al gradiente di temperatura, la differenza dei flussi nel verso del gradiente e in quello opposto è dovuta alla differenza dei valori medi della velocità termica delle particelle, che è legata alla temperatura dalla relazione

Questa differenza tra le velocità termiche porta a uno scompenso tra i flussi di particelle nel verso del gradiente di temperatura e nel verso opposto e quindi ad un flusso netto di diffusione termica.

Il trasporto di energia in presenza di gradiente di temperatura è determinato, oltre che da un eventuale moto diretto in presenza di flusso di particelle, anche dal solo moto termico delle particelle, per cui esso esiste anche in assenza di flusso di particelle. Infatti, le particelle che passano dalla regione con temperatura più alta a quella con temperatura piùbassa posseggono un'energia maggiore rispetto a quella delle particelle che vanno nel verso opposto; perciò, anche se i flussi di particelle nei due versi sono uguali, vi ècomunque un flusso di energia netto non compensato.

La conduttività termica κ è un'espressione che coincide, a meno del fattore moltiplicativo n, con il coefficiente di diffusione libera D: questo fatto riflette l'analogia nei meccanismi del trasporto per diffusione di particelle e del trasporto di energia associato al moto disordinato delle particelle.

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Un discorso analogo può essere fatto per la quantità di moto, facendo uso del tensore delle tensioni viscose ΠΠΠΠ (che è la parte anisotropa del tensore delle pressioni P), nel caso in cui abbiamo, per esempio, una velocità media u = uy(x)ý, cioè diretta lungo l'asse y e che varia lungo l'asse x, come illustrato nella figura (20.1), per cui c'è un flusso nella direzione dell'asse x della componente y della quantità di moto, per opera delle collisioni.

Linearizzando uy(x) nell'intorno di un punto di riferimento x0, cioè scrivendo '

(20.23)

e ragionando in modo analogo a quanto fatto in precedenza, possiamo calcolare i flussi della componente y della quantità di moto nel verso positivo dell'asse x e in quello negativo .

(20.24)

e osservare che la componente Πyx del tensore delle tensioni viscose rappresenta appunto il flusso netto nella direzione dell'asse x della componente y della quantità di moto, per cui :

(20.25),Il flusso è proporzionale alla variazione lungo l'asse x di uy, e il coefficiente di proporzionalitàη (da non confondere con la resistività elettrica, anche se usiamo lo stesso simbolo) è detto coefficiente di viscosità

(20.26)

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Abbiamo quindi stimato il trasporto della componente y della quantità di moto lungo l'asse x dovuto al gradiente della velocità media duy/dx e descritto dalla componente Πyx del tensore delle tensioni viscose.

Si noti che il flusso della quantità di moto è dovuto al fatto che, in presenza di un gradiente lungo l'asse x della componente y della velocità media, i momenti muy, trasportati nel moto termico lungo l'asse x in ambedue i versi, non si compensano a vicenda.

iI flusso della quantità di moto è proporzionale al gradiente della velocità media e il coefficiente di proporzionalità, che è detto coefficiente di viscosità η, coincide, a meno del fattore moltiplicativo nm, con il coefficiente di diffusione libera D. Nel caso generale, si può dimostrare che, per un fluido isotropo, il tensore Π è determinato dalla relazione:

Si ottengono flussi proporzionali ai gradienti se la frequenza di collisione vColl = τ-1 èindipendente dalla velocità v. Quando invece dipende da v, compare un termine aggiuntivo che è funzione della velocità media.

⋅∇∂−

∂∂+

∂∂−=Π uhk

h

k

k

hhk x

u

x

u

3

2η (20.27)

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Nelle espressioni da noi trovate per i vari coefficienti di trasporto (cfr. equazioni (20.18), (20.21), (20.26) figura il rapporto (∆x)2/τ, che si può scrivere per un gas nella forma

dove λ coll = vth/ νcoll è il cammino libero medio.

Per un plasma in assenza di campo magnetico B si ha un'espressione analoga, dove però bisogna distinguere tra elettroni e ioni, in quanto, nella descrizione a un solo fluido, a seconda del fenomeno che si sta considerando, possono prevalere gli uni o gli altri.

In presenza di un campo B, il tempo τ è sempre l'inverso della frequenza di collisione ma per la distanza ∆x dobbiamo distinguere due casi:

- se si considera il trasporto parallelo al campo, ∆x è il cammino libero medio λcoll e si ritrova il risultato precedente, cioè la (20.27).

(20.27)

(20.28)

- se si considera il trasporto perpendicolare al campo e le collisioni non sono troppo frequenti (cioè se νColl è inferiore alla frequenza di ciclotrone Ω = |q|B/m, nei coefficienti di trasporto si deve utilizzare per la distanza ∆x il raggio di Larmor

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Notiamo quindi che rispetto all'espressione data dalla (20.27) la frequenza di collisione vcou si sposta al numeratore, per cui le collisioni hanno un effetto inverso nelle due direzioni parallela e perpendicolare a B.

Se infine le collisioni sono frequenti (νcoll >> Ω ) le particelle non riescono a completare un'orbita di Larmor e quindi il cammino è casuale ("random"), come in assenza di campo magnetico, e gli spostamenti sono piccoli e dell'ordine di λcoii, per cui si ritrova la (20.27) Dunque, se le collisioni sono così frequenti che non c'è girazione, si ha che l'espressione di (∆x)2 /τ , valida per la direzione perpendicolare al campo tende a coincidere con quella valida nella direzione parallela (che è identica a quella in assenza di campo).

In generale, nei coefficienti di trasporto si può sostituire al posto di e si ottengono così espressioni valide per ogni valore di νcoll. Per esempio, nel caso della (20.28) si ha

che è equivalente alla (20.27) oppure alla (20.28) a seconda che sia νcoll >> Ω oppure νcoll << Ω La (20.28) può essere utilizzata in generale, tenendo però conto del fatto che, per quanto detto prima, il termine va lasciato oppure tolto a seconda che si consideri rispettivamente il trasporto perpendicolare oppure parallelo a B.

(20.29)