Note di Fisica Matematica I: Meccanica...

Note di Fisica Matematica I

Note diFisica Matematica I: MeccanicaRazionale

1 Marzo, 2008


Le presenti NOTE di non vogliono in nessun modo essere untesto ma un semplice ausilio per lo studio del corso, per questomotivo la trattazione μe succinta. Anzi, μe opportuno approfondiree studiare criticamente quanto svolto a lezione avvalendosi di testiveri e propri. Tra i testi piμu noti si possono ricordare i seguenti:

- V.I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica. Edi-tori Riuniti 1986.

- G. Dell'Antonio, Elementi di Meccanica. I: Meccanica Classica.Liguori Editore 1996.

- G. Gallavotti, Meccanica Elementare, Ed. Boringhieri 1986.- A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, Ed. Boringhieri1994.

Meno moderni ma sempre ricchi di interessanti spunti ed osser-vazioni sono i seguenti:

- T. Levi-Civita, Lezioni di Meccanica Razionale, Ed. Zanichelli,Ristampa anastatica 1974 (ed. 1929)

- E. Mach, La Meccanica nel suo Sviluppo Storico-Critico, Ed.Boringhieri 1992 (prima edizione del 1883)


Sommario

1 Calcolo Vettoriale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11.1 Operazioni sui vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori . . . . . . 21.1.3 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5 Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.6 Derivata di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.7 Appendice: curve nello spazio e terna

intrinseca, richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Risultante e momento risultante di un

sistema di vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Asse centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Sistemi equivalenti di vettori applicati e loro

riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Sistemi di vettori applicati paralleli . . . . . . . . . 151.2.5 Sistemi di vettori applicati riducibili . . . . . . . . . 16

2 Cinematica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 192.1 Cinematica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Velocitμa del moto di un punto. . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3 Classi¯cazione dei moti in base alla velocitμa

ed alla accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


VIII Sommario

2.1.4 Moti piani in coordinate polari. . . . . . . . . . . . . . 242.1.5 Esempi di moti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1 Sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2 Moti traslatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.3 Moti rotatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.4 Moti rototraslatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.5 Moti rigidi generali ed atti di moto . . . . . . . . . . 382.2.6 Composizione di atti di moto: Teorema di

Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.7 Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi . . . . . . . . . . 492.3.1 Velocitμa e accelerazione assolute e relative . . . . 492.3.2 Derivata vettoriale rispetto ad assi in moto . . . 512.3.3 Precessioni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Cinematica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.1 Sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.2 Sistemi anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.3 Spostamenti in¯nitesimi reali e virtuali . . . . . . 602.4.4 Sistemi a legami unilaterali . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 Generalitμa sui sistemi e grandezze meccaniche : : : 653.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica . . 65

3.1.1 Forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.2 Leggi di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3 Forze ¯ttizie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.4 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.5 Equilibrio di un punto materiale e legge del

moto incipiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.6 Forze posizionali e forze conservative . . . . . . . . 703.1.7 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1.8 Lavoro ed energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.1.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2 Cenni sull'attrazione Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.1 Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


Sommario IX

3.2.2 Appendice: Attrazione di una super¯ciesferica ¾ omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.3 Appendice: Attrazione di una corona sfericaomogenea di raggi R1 ed R2 (R1 > R2 ¸ 0) . . . 84

3.3 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3.1 Densitμa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3.2 Baricentro di un sistema discreto di punti

materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3.3 Baricentro di un corpo, di una super¯cie e di

una linea materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.3.4 Momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3.5 Ellissoide d'inerzia e assi principali . . . . . . . . . . 933.3.6 Matrice d'inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.3.7 Ellissoide centrale di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4 Statica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1034.1 Attrito e statica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.1.1 Punto appoggiato su di una super¯cie . . . . . . . 1034.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una

super¯cie o su una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2 Equazioni cardinali della statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.2.1 Commento sui sistemi di forze . . . . . . . . . . . . . . 1074.2.2 Sistemi equivalenti di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2.3 Condizioni necessarie per l'equilibrio di un

sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.4 Postulato caratteristico dei solidi e su±cienza

delle equazioni cardinali della statica . . . . . . . . 1124.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale . . . . . . 114

4.3.1 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3.2 Condizione generale d'equilibrio. Relazione

simbolica della Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3.3 Statica dei sistemi pesanti. Teorema di

Torricelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.3.4 Statica dei sinstemi olonomi: condizioni di

equilibrio in coordinate lagrangiane . . . . . . . . . 1194.3.5 Complemento: metodo dei moltiplicatori di

Lagrange e calcolo delle reazioni . . . . . . . . . . . . 1214.3.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


X Sommario

4.3.7 Calcolo delle reazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.4 Nozione statica di stabilitμa dell'equilibrio . . . . . . . . . . 126

4.4.1 Stabilitμa per un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo . 1274.4.3 Stabilitμa per un sistema meccanico . . . . . . . . . . 127

4.5 Statica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.5.1 Nozione di equilibrio relativo . . . . . . . . . . . . . . . 1294.5.2 Casi particolari notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5.3 Peso e attrazione terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5 Cenni di meccanica dei continui deformabili : : : : : 1355.1 Un caso particolare: statica dei ¯li . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1.1 Fili °essibili ed inestendibili. De¯nizione epostulato carattersitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1.2 Condizioni di equilibrio. Equazione inde¯nitedell'equilibrio dei ¯li. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.1.3 Complementi: ¯lo soggetto ad un sistema diforze parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.1.4 Complementi: ¯lo teso su una super¯cie . . . . . . 1435.2 Cinematica dei continui deformabili . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2.2 Punto di vista lagrangiano ed euleriano . . . . . . 1465.2.3 Equazioni di continuitμa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.2.4 Spostamenti e piccole deformazioni . . . . . . . . . . 1505.2.5 Analisi dello strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.2.6 Dilatazione cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3 Statica dei continui deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.3.1 Forze applicate e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.3.2 Condizioni di equilibrio per i continui

deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.3.3 Formule di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.3.4 Equazioni inde¯nite dell'equilibrio . . . . . . . . . . . 1595.3.5 Le equazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto : : : : : : : 1636.1 Dinamica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.1.1 Dinamica del punto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita . 1646.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali 165


Sommario XI

6.1.4 Dinamica del punto soggetto a forzedipendenti soltanto dalla velocitμa . . . . . . . . . . . 167

6.1.5 Comportamento dell'attrito durante il moto . . 1676.1.6 Moto di un punto su una super¯cie priva di

attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.1.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi . . . . . . . . . . . . . 1716.2.1 Lavoro elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.2.2 Corpo rigido libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane . . 1736.2.4 Lavoro virtuale e identitμa notevoli . . . . . . . . . . . 1736.2.5 Energia cinetica o forza viva . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.2.6 Quantitμa di moto e momento della quantitμa

di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.2.7 Quantitμa di moto e momento delle quantitμa

di moto di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni diLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.3.1 Generalitμa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.3.2 Teoremi della quantitμa di moto e del

momento delle quantitμa di moto. Equazionicardinali della Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistemaqualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.3.4 Principio di d'Alembert e relazione simbolicadella Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.3.5 Equazioni di®erenziali del moto di un sistemaolonomo in coordinate lagrangiane . . . . . . . . . . 195

6.3.6 Dimostrazione della "su±cienza" delleequazioni cardinali della Dinamica . . . . . . . . . . 197

6.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma . . . . . . 1986.3.8 Funzione Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.3.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200


1

Calcolo Vettoriale

1.1 Operazioni sui vettori

1.1.1 Vettori

Nello spazio R3 due segmenti orientati si dicono equipollentiquando hanno la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stessoverso. La relazione di equipollenza μe una relazione di equivalenza(valgono le proprietμa ri°essiva, simmetrica e transitiva).Sia V l'insieme dei segmenti in R3 modulo la relazione di

equipollenza. I suoi elementi si chiamano vettori e sono deno-tati nel seguente modo v. De¯niremo lunghezza (o modulo),direzione e verso di un vettore come quelli di uno qualunquedei suoi rappresentanti. Quindi, due vettori sono uguali se hannostessa lunghezza, direzione e verso. Il vettore nullo μe rappresen-tato da un qualunque segmento di lunghezza zero e viene denotatocome 0. Usualmente il modulo di un vettore v si denota come vo anche jvj.Scriveremo anche v = B¡A dove A e B sono gli estremi di un

qualunque segmento orientato rappresentante v.

De¯nizione 1.1. Uno spazio vettoriale su R μe un insieme nonvuoto V in cui sono de¯nite due operazioni, l'addizione e la molti-plicazione per un numero reale, tali che:

i. l'addizione μe associativa e commutativa;ii. esiste un elemento neutro 0 2 V per l'operazione di addizione,cio¶e tale che u + 0 = 0+ u = u per ogni u 2 V;


2 1 Calcolo Vettoriale

iii.per ogni u 2 V esiste l'elemento opposto v 2 V tale che u+v =0;

iv. esiste un elemento neutro 1 2 R per l'operazione di moltipli-cazione, cio¶e tale che u1 = 1u = u per ogni u 2 V;

v. sussiste la proprietμa distributiva del prodotto rispetto alla somma:

¸(u+ v) = ¸u + ¸v; 8u;v 2 V ; 8¸ 2 R:L'insieme V puμo essere strutturato come spazio vettoriale sui

reali introducendo in modo naturale la usuale somma tra segmentie il prodotto esterno come segue:

| dati due vettori u = B ¡ A e v = C ¡ B rappresentati dadue segmenti avente il secondo estremo del primo vettore coin-cidente con il primo estremo del secondo vettore. Si de¯niscesomma tra i due vettori il vettore

u+ v = (B ¡ A) + (C ¡ B) = C ¡A| dato un vettore u ed un numero reale ¸ si de¯nisce il prodottoesterno il vettore ¸u avente la stessa direzione di u, versoconcorde con il verso di u se ¸ > 0 altrimenti verso opposto, emodulo uguale al numero reale positivo j¸juIl vettore nullo coincide con il vettore neutro.

1.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori

Considerato un sistema di coordinate cartesiani ortogonali (O;x; y; z),

tali da costituire una terna destra, introduciamo i versori ³, ^ e kaventi verso e direzione concordi con gli assi coordinati. I versorifondamentali costituiscono una base ortonormale dello spazio vet-toriale V e ad ogni vettore v corrisponde in modo univoco unaterna di numeri reali vx, vy, vz, dette componenti del vettore,tali che

v = vx ³ + vy^+ vzk

μE immediato osservare che due vettori coincidono se, e solose, coincidono le componenti. Inoltre la somma tra vettori ed ilprodotto esterno puμo essere calcolato attraverso le loro compo-nenti:


1.1 Operazioni sui vettori 3

u + v = (ux³ + uy^+ uzk) + (vx³ + vy^+ vzk)

= (ux + vx)³ + (uy + vy )´ + (uz + vz)k

¸v = ¸(vx³ + vy^+ vzk) = (¸vx)³ + (¸vy )´ + (¸vz)k

1.1.3 Prodotto scalare

De¯nizione 1.2. Dati due vettori u e v si de¯nisce prodottoscalare tra i due vettori la grandezza scalare

u ¢ v = uv cos(®)dove ® μe l'angolo formato dai due vettori.

μE immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alleseguenti proprietμa

| commutativa: u ¢ v = v ¢ u| distributiva: (u+ v) ¢w = u ¢w+ v ¢w| u ¢ v = 0, (u = 0) _ (v = 0) _ (u ? v)| ³ ¢ ³ = ^ ¢ ^ = k ¢ k = 1 e ³ ¢ ^ = ³ ¢ k = ^ ¢ k = 0| se ux; uy; uz e vx; vy; vz sono le componenti dei due vettori u e vrispetto ad una base assegnata allora il prodotto scalare si puμocalcolare come

u ¢ v = uxvx + uyvy + uzvzIn particolare

ux = u ¢ ³; uy = u ¢ ^ e uz = u ¢ k| il modulo di un vettore viene calcolato come

u =pu ¢ u =

qu2x + u

2y + u

2z

1.1.4 Prodotto vettoriale

De¯nizione 1.3. Dati due vettori u e v si de¯nisce prodotto vet-toriale tra i due vettori il vettore

w = u£ vortogonale ad entrambi, avente verso tale che la terna u;v;w siadestra e modulo



ju £ vj = uvj sin(®)jdove ® μe l'angolo formato dai due vettori.


| anti-commutativa: u£ v = ¡v£ u| distributiva: (u+ v)£w = u £w + v£w| u£ v = 0, (u = 0) _ (v = 0) _ (u k v)| ³£ ³ = ^£ ^ = k£ k = 0 e ³£ ^ = k, ^£ k = ³ e k£ ³ = ^| se ux; uy; uz e vx; vy; vz sono le componenti dei due vettori u ev rispetto ad una base assegnata allora il prodotto vettoriale sipuμo calcolare come

u£ v =¯¯ ³ ^ kux uy uzvx vy vz

¯¯ = (uyvz ¡ uzvy )³ + (uzvx ¡ uxvz )´ + (uxvy ¡ uyvx)k

| il prodotto vettoriale tra i due vettori u e v ha modulo coici-dente con l'area del parallelogramma di spigoli de¯niti dai duevettori e avente entrambi il primo estremo in comune

| Si osserva che non vale la proprietμa associativa, infatti

¡k = (³£ ^)£ ^ 6= ³£ (´£ ^) = 0A partire dall'operazione di prodotto vettoriale μe possibile

de¯nire la operazione di divisione tra vettori: dati due vettori u ev ortogonali esiste almeno un vettore w tale che

u£w = v

Infatti, introduciamo la terna ortonormale destra (³;^; k) dove ³ e

k sono scelti nel seguente modo

³ =u

ue k =

v

v

e dove ^ viene determinato in modo tale che la terna ³, ^ e k siadestra:

^ = k£ ³ = v£ uuv

:



Di conseguenza

v = vk = v³£ ^ = vuu£·v£ uuv

¸= u£w

dove

w =v£ uu2

+ hu

per ogni h 2 R.1.1.5 Prodotto misto

De¯nizione 1.4. Dati tre vettori u, v e w si de¯nisce prodottomisto tra i tre vettori la grandezza scalare

u£ v ¢wdove le operazioni da eseguire sono, nell'ordine, il prodotto vetto-riale e poi il prodotto scalare.


| il prodotto misto coincide con il volume, con segno, del paral-lelepipedo di spigoli u, v e w. Il veluome viene preso con segnopositivo se la terna dei tre vettori u, v e w μe destra, altrimentiviene preso con segno negativo

| una rotazione dei tre vettori mantiene lo stesso carattere; quindiil prodotto misto soddisfa alla seguente propreitμa

u£ v ¢w = v£w ¢ u = w£ u ¢ v| il prodotto misto μe nullo se, e solo se, almeno un vettore μe nullooppure i tre vettori sono complanari:

u£ v ¢w = 0

m(u = 0) _ (v = 0) _ (w = 0) _ (u; v; w sono complanari)

| se ux; uy; uz, vx; vy; vz e wx; wy; wz sono le componenti dei trevettori u, v ew rispetto ad una base assegnata allora il prodottomisto si puμo calcolare come

u£ v ¢w =

¯¯ ux uy uzvx vy vzwx wy wz

¯¯



1.1.6 Derivata di vettori

Consideriamo una funzione a valori vettoriali

u : R! Vche ad ogni valore della variabile indipendente t 2 R associa unvettore u(t) 2 R. Assegnare la funzione u(t) equivale, dato unsistema di riferimento ¯sso, ad assegnare le tre funzioni scalariux(t), uy(t) e uz(t) tali che

u(t) = ux(t)³ + uy(t)´ + uz(t)k:

Identi¯cando poi il vettore u con il punto P tale che u = P¡O,allora il vettore u(t) dipendente dalla variabile t si identi¯ca conil punto P (t) individuato dalle coordinate x(t), y(t) e z(t) tali che

P (t)¡O = x(t)³ + y(t)´ + z(t)k:

Si de¯nisce derivata del vettore u(t) il vettore

limh!0

u(t+ h)¡ u(t)h

assumendo che tale limite esista ¯nito. In virtμu della linearitμadel limite segue che tale derivata esiste se, e solo se, le tre fun-zioni ux(t), uy(t) e uz(t) sono derivabili e inoltre vale la seguenterelazione:

du(t)

dt=dux(t)

dt³ +

duy(t)

dt^+

duz(t)

dtk:

In modo elementare seguono le seguenti proprietμa:

- Regola di Leibniz: dati due funzioni a valori vettoriali u(t) ev(t) e data una funzione f(t) a valori reali (supponendole tuttederivabili) segue che

d[f(t)u(t)]

dt=df(t)

dtu(t) + f (t)

du(t)

dtd[u(t) ¢ v(t)]

dt=du(t)

dt¢ v(t) + u(t) ¢ dv(t)

dtd[u(t)£ v(t)]

dt=du(t)

dt£ v(t) + u(t)£ dv(t)

dt



- La derivata di un vettore u(t) di modulo costante (ad esempioun versore) μe normale al versore stesso:

se ju(t)j = costante ) du(t)

dt? u(t): (1.1)

La dimostrazione di questa proprietμa μe immediata, infatti ricor-dando che juj = pu ¢ u allora derivando ambo i membri dellauguaglianza

costante = u ¢ usegue che

0 =du(t)

dt¢ u(t) + u(t) ¢ du(t)

dt= 2u(t) ¢ du(t)

dt

e da qui la tesi.

1.1.7 Appendice: curve nello spazio e terna intrinseca, richiami

Una curva ° nello spazio R3 puμo essere de¯nita mediante la suarappresentazione parametrica

° = f(x(t); y(t); z(t)); t 2 [t1; t2]gdove x(t), y(t) e z(t) sono tre funzioni assegnate che supporremosu±cientemente regolari, tipicamente assumiamo che esse siano diclasse C2 e che inoltre sia"

dx

dt

#2+

"dy

dt

#2+

"dz

dt

#26= 0:

Un caso particolare μe il caso, ben noto, di una curva de¯nitanel piano attraverso la rappresentazione cartesiana

x! y = f(x); x 2 [x1; x2]dove f(x) μe una funzione assegnata e dove [x1; x2] μe un intervalloassegnato. In questo caso la curva ° consiste in

° =n(x; y) 2 R2 : x 2 [x1; x2]; y = f(x)

oQuesto caso, infatti, puμo essere visto come un caso particolare delprecedente in cui x = t, y = f (t) e z = 0.



Sulla curva ° si puμo introdurre un'origine O1 ed un verso di per-correnza positivo, si puμo inoltre calcolare la lunghezza s detta as-cissa curvilinea, con segno, dell'arco di curva congiungente O1 conun generico punto P (t) di coordinate (x(t); y(t); z(t)) attraversol'integrale

s = s(t) = §Z t

t0

vuut"dx(t0)dt

#2+

"dy(t0)dt

#2+

"dz(t0)dt

#2dt0

dove t0 μe il valore del parametro corrisponde a O1 e dove pren-deremo il segno +, rispettivamente ¡, se P segue, rispettivamenteprecede, O1 secondo il verso assegnato sulla curva.La funzione t ! s(t) μe invertibile e, attraverso la sua funzione

inversa, t = t(s) μe possibile de¯nire la rappresentazione paramet-rica normale

° = f(x(s) = x[t(s)]; y(s) = y[t(s)]; z(s) = z[t(s)]); s 2 [s1 = s(t1); s2 = s(t2)]gtale che "

dx

ds

#2+

"dy

ds

#2+

"dz

ds

#2= 1:

Denotando con P (s) il punto di coordinate (x(s); y(s); z(s)) e

con P (s) ¡ O = x(s)³ + y(s)´ + z(s)k si puμo dimostrare che laderivata

t(s) =dP (s)

ds=dP

ds³ +

dP

ds^+

dP

dsk

μe un versore, detto versore tangente, tangente alla curva e direttosecondo il verso assegnato.La derivata del versore tangente, in virtμu di quanto dimostrato

nella (1.1), μe un vettore ortogonale al vettore t e si scrive come

dt

ds=1

½cn (1.2)

dove ½c μe un numero reale positivo, detto raggio di curvatura, edove n μe un versore, detto versore normale. Dalla (1.2) segue cheμe possibile determinare ½c e n attraverso le formule

½c =

¯¯dtds

¯¯¡1

e n = ½cdt

ds:



1.1.8 Esercizi

Esercizio 1.1.8.1: Siano dati i vettori

a = ³ + 2´ + k; b = ¡³ + k; c = 3³ + ^¡ k;si domanda:

i. calcolare il prodotto scalare a ¢ b;ii. calcolare il prodotto vettoriale d = a£ b;iii. calcolare il modulo dei vettori a e b e, essendo questi ortogonali,calcolare il modulo del loro prodotto vettoriale per mezzo dellaformula

ja £ bj = ab sin®;veri¯care poi tale risultato calcolando il modulo del vettore d;

iv. calcolare i prodotti misti a ¢ b £ c e a £ b ¢ c e veri¯care chesono uguali;

v. veri¯care la proprietμa distributiva per i vettori a; b; c:

a£ (b+ c) = a£ b+ a£ c;vi. veri¯care che non vale la proprietμa associativa per i vettoria; b; c:

a£ (b£ c) 6= (a£ b)£ c;vii.essendo a e b ortogonali, trovare un vettore e tale che:

b = e£ a:Esercizio 1.1.8.2: Siano dati i vettori:

a = 2³ + 3´¡ k; b = ¡2³ + ^¡ k;si domanda:

i. dimostrare che sono tra loro ortogonali;ii. trovare un vettore c0 tale che:

b = c0 £ a;iii. trovare un vettore c di modulo uno tale che:

b = c£ a:



Esercizio 1.1.8.3: Determinare in R3 l'equazione della rettaindividuata da 2 punti P1 e P2 distinti.

Esercizio 1.1.8.4: Determinare in R3 l'equazione del pianoindividuato da 3 punti P1, P2 e P3 distinti e non allineati.

Esercizio 1.1.8.5: Determinare in R3 l'equazione del pianotangente ad una super¯cie regolare, di equazione f(x; y; z) = 0per data f : R3 ! R, in un suo punto P0.

Esercizio 1.1.8.6: Introdurre una rappresentazione paramet-rica normale

s! (x(s); y(s); z(s)) ; [x0(s)]2 + [y0(s)]2 + [z0(s)]2 ´ 1;della circonferenza di raggio R e poi determinarne il raggio di

curvatura mediante la formula

½c =1q

[x00(s)]2 + [y00(s)]2 + [z00(s)]2dove 0 =

d

ds:

Esercizio 1.1.8.7: Data una curva regolare °, contenuta nelpiano (O; x; y) e avente rappresentazione cartesiana y = f (x), peruna f : R! R data, provare che il raggio di curvatura puμo esseredeterminato dalla formula

½c =

·1 +

³dfdx

´2¸3=2¯d2fdx2

¯ ;

Facendo poi uso di questa formula calcolare nuovamente il raggiodi curvatura della circonferenza di raggio R.

1.2 Vettori applicati

De¯nizione 1.5. Diremo vettore applicato la coppia (A;v)dove A denota un punto nello spazio e v un vettore.

1.2.1 Risultante e momento risultante di un sistema di vettoriapplicati

De¯nizione 1.6. Dato un vettore applicato (A;v) ed un punto Osi chiama momento di polo O del vettore v applicato in A ilvettore


1.2 Vettori applicati 11

M(O) = (A¡O)£ v = v £ (O ¡ A):De¯nizione 1.7. Dato un sistema § di vettori applicati

§ = f(A1;v1); (A2;v2); : : : ; (AN ;vN )gsi dirμa vettore risultante del sistema il vettore

R =NXs=1

vs

Scelto poi un qualunque punto O si denota momento risultantedi polo O del sistema il vettore

M(O) =NXs=1

vs £ (O¡ As):

Vale la seguente proprietμa:

Teorema 1.8. Dati due punti qualunque O e O0 nello spazio si hache

M(O0) =M(O) +R£ (O0 ¡O):Dimostrazione. La veri¯ca μe immediata:

M(O0) =NXs=1

vs £ (O0 ¡ As) =NXs=1

vs £ [(O0 ¡O) + (O ¡As)]

=R£ (O0 ¡O) +M(O): (1.3)

Da questa proprietμa segue che se il vettore risultante R μenullo allora il momento risultante μe indipendente dallascelta del polo, e viceversa.

De¯nizione 1.9. Dato un sistema § di vettori applicati aventerisultante R e momento risultante, rispetto ad un polo O, M(O),chiameremo invariante la grandezza scalare

I =M(O) ¢R:Proprietμa tipica dell'invariante μe che esso non dipende dal

polo O. Infatti, siano dati due punti qualunque O e O0, alloradalla (1.3) segue che:



M(O0) ¢R = [R£ (O0 ¡O) +M(O)] ¢R =M(O) ¢R:In particolare, l'invariante rappresenta la componente del mo-mento risultante proiettata sull'asse avente direzione datadal vettore risultante. Questa componente risulta costante edμe data da I=R dove R = jRj.

1.2.2 Asse centrale

Dato un sistema § di vettori applicati aventi vettore risultante Rnon nullo cerchiamo il luogo geometrico dei punti O0 rispetto aiquali il momento risultanteM(O0) μe parallelo al vettore risultanteR. Si dimostra che questo luogo geometrico μe una rettaavente la stessa direzione di R.Infatti, ¯ssato un punto O generico introduciamo un sistema

di riferimento centrato in O e con (O; z) parallelo ed equiverso ad

R = Rk. In questo caso la (1.3) proiettata lungo gli assi x, y e zprende la forma delle seguenti tre equazioni scalari

M 0x =Mx ¡ yR; M 0

y =My + xR; M0z =Mz

dove Mx;My;Mz sono le componenti di M(O), M 0x;M

0y;M

0z sono

le componenti di M(O0) e dove x; y; z sono le coordinate di O0.Scegliamo ora O0 tale che M 0

x =M0y = 0, cio¶e

x = ¡My

R; y =

Mx

R:

Il luogo cercato μe quindi una retta parallela al vettore risultanteR e passante per O0 di coordinate (¡My=R;Mx=R; z), z 2 R.In particolare, il momento risultante calcolato per i punti

di tale retta risulta avere modulo minimo rispetto allascelta del polo; infatti per i punti appartenenti a tale retta lacomponente ortogonale all'asse stesso μe nulla mentre, per ognipunto, la componente parallela μe costante: M 0

z = Mz. Talegrandezza μe detta momento minimo e coincide con jIj=R.Nel caso notevole in cui I = 0 e R 6= 0 segue che M(O0) = 0

per tutti i punti appartenenti a tale retta; cio¶e

Teorema 1.10. Quando R 6= 0 e l'invariante μe nulloI = 0



allora il luogo geometrico dei punti O0 rispetto ai quali il momentorisultante μe nullo M(O0) = 0 μe una retta, detta asse centrale,parallela al vettore risultatnte R.

1.2.3 Sistemi equivalenti di vettori applicati e loro riduzione

De¯nizione 1.11. Due sistemi di vettori applicati § e §0 si di-cono equivalenti quando hanno uguale vettore risultante e mo-mento risultante rispetto ad un dato polo O:

R = R0 e 9O j M(O) =M0(O): (1.4)

Dalla (1.3) segue che se la (1.4) μe vera per un polo O alloraμe vera per ogni polo.

Esempi:

i. un sistema § di vettori applicati ad un medesimo punto

§ = f(O;v1); (O;v2); : : : ; (O;vN )gμe equivalente al loro risultante R =

PNs=1 vs applicato nel

medesimo punto;ii. sono equivalenti tra loro due vettori equipollenti e applicatisulla retta parallela ai vettori stessi.

De¯nizione 1.12. Diremo coppia ogni sistema formato da duevettori applicati opposti (cio¶e paralleli e di verso opposto) (A;v)e (B;¡v). La distanza delle rispettive linee d'azione (cio¶e dellaretta passante per il punto di applicazione del vettore e parallela alvettore stesso) si dirμa braccio della coppia.

Essendo il vettore risultante di una coppia nullo allora il mo-mento risultante μe indipendente dalla scelta del polo ed μe dato, inmodulo, dal prodotto tra il modulo di v e del braccio della cop-pia. Inoltre μe ovvio dimostrare che dato un vettoreM si possonocostruire in¯nite coppie avente M come momento.Vale il seguente risultato:

Teorema 1.13 (Formulazione geometrica del Teorema diMozzi). Un sistema di vettori applicati § avente invariante nonnullo I 6= 0 equivale sempre ad un sistema §0 cosituitoda un vettore applicato e da una coppia. Nel caso in cuil'invariante sia nullo I = 0 allora il sistema μe equivalente a:



| un unico vettore applicato (O0;R) se e soltanto se R 6= 0,dove R μe il vettore risultante di § e dove il punto di appli-cazione O0 μe un punto qualunque dell'asse centrale;

| alla sola coppia se e soltanto se R = 0 e M(O) 6= 0, doveM(O) μe il momento risultante di § rispetto ad un dato polo O;

| al sistema nullo se, e soltanto se, R = M(O) = 0; inquest'ultimo caso si dirμa anche che il sistema di vettori applicatiμe equilibrato.

Dimostrazione. Consideriamo, per primo, il caso in cui sia l'invarianteI nullo:

I = 0() (R = 0) _ (M(O) = 0) _ (R ?M(O)):

SeM(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema elementare cos-tituito dal solo vettore applicato (O;R); se M(O) 6= 0 e R = 0allora esistono in¯nite coppie di momentoM ed il sistema equivalead una di queste coppie; in¯ne seM(O) 6= 0, R 6= 0 eM(O) ? Rallora esiste un vettore w tale che

M(O) = R£wSia ora O0 tale che O¡O0 = w, per costruzione segue che

M(O0) =M(O) +R£ (O0 ¡O) =M(O)¡R£w = 0

e quindi il sistema equivale ad una unico vettore R applicato inO0.Consideriamo ora il caso in cui l'invariante I sia non nullo e

denotiamo con M?(O) la componente perpendicolare a R e conMk(O) la componente non nulla (altrimenti l'invariante sarebbenullo) parallela a R:

M(O) =M?(O) +Mk(O)

Se M?(O) = 0 allora il sistema equivale ad un vettore applicato(O;R) e alla coppia di momento Mk(O); se invece M?(O) 6= 0allora, cambiando il polo O in modo opportuno, il sistema equivalead un vettore applicato (O0;R) e alla coppia di momento Mk(O)dove O0 e tale che

Mk(O) = R£ (O¡O0):



1.2.4 Sistemi di vettori applicati paralleli

De¯nizione 1.14. Si dice sistema di vettori applicati paralleli unsistema § di vettori applicati (As;vs), s = 1; 2; : : : ; N , dove

vs = vsa; s = 1; 2; : : : ; N

per un qualche versore a.

Osserviamo che per un sistema di vettori paralleli il vettorerisultante, quando non nullo, risulta essere parallelo al versore a:

R =NXs=1

vsa = Ra; R =NXs=1

vs

Teorema 1.15. Un sistema § di vettori applicati paralleli μe equiv-alente ad un unico vettore o ad una coppia.

Dimostrazione. La dimostrazione μe immediata e segue dal fattoche l'invariante

I =R ¢M(O) =

ÃNXs=1

vs

!a ¢"NXs=1

vsa£ (O ¡ As)#

=

ÃNXs=1

vs

!a ¢ a£

"NXs=1

vs(O ¡ As)#= 0

μe nullo. Nel caso particolare in cui R 6= 0 allora segue, da quantodetto, che il sistema equivale ad un unico vettore applicato in unpunto qualunque all'asse centrale; se inveceR = 0 allora il sistemaμe equivalente ad una coppia di momentoM(O).

Osserviamo che al variare della direzione a varia anche l'assecentrale. Si dimostra che:

Teorema 1.16. Sia dato un sistema § di vettori applicati paralleli

(As;vs); vs = vsa; s = 1; : : : ;N:

Se R = Ra 6= 0 allora esiste un unico punto C, detto centrodei vettori paralleli, tale che il sistema di vettori § μe equiva-lente all'unico vettore applicato (C;R) e tale che C non muta sesi cambia la direzione comune dei vettori stessi ma si conservano



i punti di applicazione e le lunghezze dei vettori. Assumendo Ol'origine del sistema di riferimento si ha che

C ¡O =

PNs=1 vs(As ¡O)

R:

Dimostrazione. La dimostrazione μe immediata: infatti C deve es-sere la soluzione della equazione M(C) = 0, che deve averesoluzione indipendente da a. Tale equazione ha la forma

0 =NXs=1

vsa£ (C ¡As) = a£"NXs=1

vs(C ¡As)#

che risulta soddisfatta indipendentemente da a se, e soltanto se,

0 =NXs=1

vs(C ¡ As)

da cui segue la tesi.

1.2.5 Sistemi di vettori applicati riducibili

Operazioni elementari

Dato un sistema di vettori applicati § chiameremo operazioni el-ementari le seguenti:

a) Composizione o decomposizione di vettori applicati: os-sia la sostituzione di vettori, applicati nel medesimo punto, conil loro risultante, e viceversa.

b) Scorrimento di vettori lungo la linea d'azione: ossia lasostituzione sulla linea d'azione di un vettore applicato qual-siasi con un altro equipollente situato in un altro punto dellalinea d'azione. Tale operazione equivale alla aggiunta o so-pressione di due vettori direttamente opposti.

μE ovvio che un sistema di vettori §0 ottenuta a partire da §mediante una successione di operazioni elementari μe equivalenteal sistema iniziale; infatti le operazioni di composizione o decom-posizione e di scorrimento non alterano i vettori caratteristicidi §. Vale anche il viceversa: cio¶e due sistemi equivalenti sonoriducibili l'uno all'altro mediante una successione di op-erazioni elementari.Questa proprietμa discende dal seguente Teorema:



Teorema 1.17. Ogni sistema § di vettori applicati μe riducibile adun sistema §0 costituito da due soli vettori applicati.

Dimostrazione. Dimostriamo prima il teorema nel caso in cui§ siacostituito dai soli tre vettori applicati (A1;v1), (A2;v2) e (A3;v3).Se, come caso particolare, le linee di azione di due vettori appli-cati, diciamo (A1;v1) e (A2;v2), sono incidenti in un punto Aallora mediante una operazione elementare di scorrimento e poi dicomposizione segue che questi due vettori applicati sono riducibiliall'unico vettore (A;v1 + v2). Se poi i tre vettori applicati sonoparalleli e contenuti in un piano ¼, cio¶e A1; A2; A3 2 ¼ e vi = viacon a che giace in ¼, allora scomponendo v1 = v

01+v

001, con v

01 e v

001

non paralleli ad a, otteniamo un nuovo sistema di quattro vettoriapplicati (A1;v

01), (A2;v2), (A1;v

001) e (A3;v3) costituito da due

coppie di vettori incidenti in un punto e quindi riducibile a duevettori applicati. Rimane quindi da dimostrare il caso generalein cui le linee di azione non sono tutte parallele tra loro e i puntinon appartenenti ad un unico piano o incidenti in un unico punto.Sia ora r la retta intersezione tra il piano ¼, avente asse (A2;v2)e passante per A1, ed il piano ¼

0, avente asse (A3;v3) e passanteper A1, e sia A un qualunque punto appartenente a r e distinto daA1. Scomponiamo (A2;v2) lungo le linee AA2 e A1A2 ottenendoun nuovo sistema (A2;v

02), (A2;v

002) riducibile a (A2;v2); analoga-

mente scomponiamo (A3;v3) lungo le linee AA3 e A1A3 ottenendoun nuovo sistema (A3;v03), (A3;v

003) riducibile a (A3;v3). Facciamo

ora scorrere ciascuno di questi vettori applicati lungo le proprie li-nee d'azione in modo da ottenere il sistema costituito dai 5 vettoriapplicati (A1;v1), (A1;v

02), (A1;v

03), (A;v

002) e (A;v

003) ridubili al

sistema costituito da due vettori applicati (A1;v1 + v02 + v03) e(A;v002 + v

003). Se il sistema μe costituito da n > 3 vettori applicati

allora, isolandone tre e riducendo questi a due, si riduce il sistemaa n¡1 vettori applicati seguendo lo schema appena descritto; ripe-tendo questo procedimento n¡2 volte alla ¯ne si riduce il sistemaoriginario a due soli vettori applicati.

Segue il corollario:

Corollario 1.18. Ogni sistema equivalente ad un sistema nullo μeriducibile ad un sistema assolutamente nullo, cio¶e costituitosolo da vettori nulli.



Dimostrazione. Il Corollario segue immediatamente dal Teoremaprecedente, infatti i due vettori che costituiscono §0 devono essereequivalenti al sistema nullo, cio¶e devono costituire una coppia dibraccio nullo che puμo essere ridotta al vettore nullo.

Riducibilitμa di due sistemi equivalenti

Consideriamo due sistemi § e §0 equivalenti tra loro e vogliamomostrare che μe possibile ridurre un sistema all'altro; per fare ciμointroduciamo il sistema ~§ costituito dai vettori applicati (A;¡v),dove (A;v) μe un vettore del sistema §, e consideriamo il sistemariducibile a §0 ottenuto da §0 aggiungendo i sistemi § e ~§: §0 )§ ~§§0: Il sistema ~§§0 avrμa, per ipotesi, risultante e momentorisultante nullo e quindi, per il corollario, μe riducibile al sistemaassolutamente nullo. Quindi possiamo concludere che § ~§§0 )§ e da ciμo segue la tesi.


2

Cinematica

Si dice Cinematica quella parte della Meccanica che studia e dis-cute in che modo, durante il moto, variano in rapporto al tempo icaratteri geometrici delle ¯gure o sistemi di punti, concepiti comerigidi oppure deformabili.La nozione di moto, come quella di quiete, μe di natura relativa:

cio¶e l'asserire che un dato corpo C μe in moto o in quiete ha sensopreciso solo in quanto il corpo C si intende riferito ad un altrodeterminato corpo C 0 e si constati che la posizione di C rispettoa C 0 va variando nel tempo o, rispettivamente, si conserva inal-terata. Perciμo in ogni considerazione cinematica, o piμu in generalemeccanica, μe necessario stabilire quale sia l'ente di riferimento.

2.1 Cinematica del punto

Consideriamo un punto P in moto rispetto ad una certa ternadi assi cartesiani ortogonale (O;x; y; z) destra. Ad ogni istante tdell'intervallo di tempo in cui μe de¯nito il moto, il punto P occupa,rispetto alla terna (O; x; y; z), una determinata posizione. Quindi,in questo intervallo risulta de¯nito come un punto variabile infunzione del tempo:

P ¡O = P (t)¡O: (2.1)

Questa equazione geometrica equivale alle equazioni scalari

x = x(t); y = y(t); z = z(t); t 2 [t0; t1]; (2.2)


20 2 Cinematica

nelle tre funzioni del tempo, che assumeremo in seguito di classeC2, che designano le coordinate della posizione occupata da Pall'istante t in un sistema di riferimento ortogonale destro(O; x; y; z). Le (2.1) o, indi®erentemente, le (2.2) si dicono equazioni(¯nite) del moto nel punto P . Il luogo delle posizioni occu-pate da P durante il moto μe una serie di curve che si dice trai-ettoria del punto mobile e che ammette le (2.2) come equazioniparametriche. Se la traiettoria μe un arco di curva piana o unsegmento di retta, il moto del punto si dice rispettivamente pianoo rettilineo.Assegnata la traiettoria e de¯nita su questa una ascissa curvi-

linea s, l'equazione

s = s(t) (2.3)

fornisce, per ogni generico istante t 2 [t0; t1], l'ascissa curvilinearaggiunta in quell'istante sulla traiettoria dal punto P (sulla qualeμe assegnata una origine ed un verso positivo di percorrenza). Essade¯nisce la legge temporale, secondo cui si muove il dato puntosulla traiettoria, detta equazione oraria del moto. Quindi ilmoto del punto P μe noto quando si conoscono le equazioni para-metriche (2.2) oppure quando si conoscono la traiettoria

P = P (s)

e la equazione oraria (2.3). Si puμo passare da una rappresentazioneall'altra; ad esempio, nota la traiettoria P = P (s) e la legge orarias = s(t) si ottiene la rappresentazione parametrica P = P (t) =P [s(t)].

De¯nizione 2.1. Il moto di un punto P su una traiettoria data sidice uniforme se l'ascissa curvilinea s(t) μe una funzione linearedel tempo.

2.1.1 Velocitμa del moto di un punto.

De¯nizione 2.2. In un generico istante t si dirμa velocitμa (scalare)di un punto mobile, secondo la equazione oraria s = s(t), la fun-zione _s(t). I moti uniformi

s(t) = v0t+ s0

sono caratterizzati dalla costanza della velocitμa (scalare).


2.1 Cinematica del punto 21

De¯nizione 2.3. Siano x(t); y(t); z(t) le componenti cartesianedel punto P (t) durante il moto rispetto ad una terna (O;x; y; z)ortogonale. Il vettore

v(t) = _x(t)³ + _y(t)´ + _z(t)k (2.4)

viene denominato velocitμa (vettoriale) del punto P all'istantet.

Il vettore velocitμa vettoriale del punto P coincide quindi con laderivata del vettore spostamento P (t)¡O:

v(t) = _P (t) =dP

dt=d(P ¡O)

dt

Osservando che possiamo sempre scrivere P = P (t) = P [s(t)],dove P (s) rappresenta la traiettoria del punto e s(t) la legge oraria,allora laprecedente derivata si puμo anche calcolare come

v(t) =dP [s(t)]

dt=dP (s)

ds_s(t) = _s(t)t (2.5)

dove t = dPdsμe il versore tangente alla traiettoria orientato con-

cordemente con il verso positivo della traiettoria ed s μe la ascissacurvilinea. Da qui segue che, in ogni istante, v ha modulo datodal valore assoluto j _s(t)j della velocitμa scalare nel punto, μe direttosecondo la tangente alla traiettoria nella posizione P (t), ed in¯neha il verso di t, cio¶e il verso delle s crescenti, o il contrario, secondoche _s(t) sia positiva o negativa.Dalla (2.5) segue inoltre che

_s(t) = §q_x2(t) + _y2(t) + _z2(t) e s(t) =

Z t

t0_s(¿ )d¿ + s0(2.6)

dove si sceglie il segno + o ¡ a seconda che la velocitμa vettorialev abbia verso concorde o discorde con il versore t.Il vettore velocitμa μe indipendente dal sistema di riferimento

scelto: se in luogo della terna (O; x; y; z) si sceglie la terna (O0;x0; y0; z0)¯ssa rispetto alla precedente, allora le equazioni (2.2) del motocambiano ma la velocitμa vettoriale non varia, cosμ³ come non vari-ano n¶e la forma geometrica della traiettoria n¶e la legge temporaledel moto. Ciμo si puμo ritenere evidente, dato il carattere intrin-seco, rispetto al moto, della de¯nizione di velocitμa vettoriale.


22 2 Cinematica

Ogni moto a velocitμa vettoriale costante μe rettilineo eduniforme (a di®erenza dei moti uniformi caratterizzati dalla ve-locitμa scalare costante):

x(t) = vt+ Cost:; y(t) = Cost:; z(t) = Cost: (2.7)

dove si μe scelto il sistema di riferimento (O; x; y; z) tale che v =(v; 0; 0); v costante. Le costanti che compaiono nelle (2.7) sonodeterminate in base alle condizioni iniziali P (t0):In generale: nota la posizione del punto P ad un dato istante

iniziale t0 e la velocitμa v(t) si puμo determinate il moto del punto:

P (t) = P (t0) +Z t

t0v(t)dt:

2.1.2 Accelerazione

De¯nizione 2.4. Consideriamo il moto di un punto P sopra unatraiettoria prestabilita con equazione oraria qualsiasi s = s(t). Side¯nisce come accelerazione scalare del punto, lungo la traiet-toria prestabilita, nell'istante t la funzione Äs(t):

De¯nizione 2.5. De¯niamo la accelerazione vettoriale del puntoP (t), che μe una determinata funzione vettoriale del tempo, come:

a(t) =dv

dt=d2P

dt2=d2(P ¡O)

dt2= Äx³ + Äy^+ Äzk (2.8)

dove x(t); y(t); z(t) sono le componenti cartesiane del punto P (t)durante il moto de¯niti rispetto ad un sistema di riferimento(O; x; y; z).

Dalla natura intrinseca, rispetto al moto, della de¯nizione diaccelerazione risulta senz'altro che le formule (2.8) restano validecomunque si cambino gli assi di riferimento, purch¶e ¯ssi gli unirispetto agli altri.Ricordando che

v = _st edt

ds=1

½cn;

dove ½c designa il raggio di curvatura della traiettoria ed n il vet-tore unitario diretto lungo la normale principale verso il centro dicurvatura otteniamo:



a =d2P [s(t)]

dt2=dv

dt=d( _st)

dt= Äst + _s

dt

dt(2.9)

= att + ann (2.10)

dove at = Äs e an =_s2

½c= v2

½c.

Introduciamo la terna destra, detta terna intrinseca, (t; n; b)con origine nel punto P e con versori t, versore tangente, n, ver-sore normale, e b = t£ n, versore binormale. Dalla (2.10) segueche, ad ogni istante, μe nulla la componente della accelerazione sec-ondo la binormale alla traiettoria, cioμe l'accelerazione appar-tiene ad ogni istante al piano osculatore della traiettorianella posizione occupata dal punto mobile in quell'istante.Le sue componenti at e an si dicono, rispettivamente, acceler-azione tangenziale e accelerazione normale o centripeta (si

noti che, essendo v2

½csempre positivo, allora l'accelerazione cen-

tripeta μe sempre diretta verso il centro di curvatura).I moti uniformi ( _s = Cost, cio¶e Äs = 0) sono caratteriz-

zati dall'annullarsi della accelerazione tangenziale. I moti ret-tilinei (1=½c = 0) sono caratterizzati dall'annullarsi della accel-erazione normale. I moti rettilinei uniformi sono caratterizzatidall'annullarsi identico della accelerazione.

2.1.3 Classi¯cazione dei moti in base alla velocitμa ed allaaccelerazione

Abbiamo la seguente situazione:

| Classi¯cazione in base alla velocitμa:

- moto diretto quando _s > 0;- moto retrogrado quando _s < 0;- moto uniforme quando _s(t) = v0 costante;- moto rettilineo quando t = t0 costante;- moto rettilineo e uniforme quando v = v0 costante;- moto curvilineo quando t non μe costante.

| Classi¯cazione in base alla accelerazione:

- moto accelerato quando _sÄs > 0, ovvero d _s2

dt> 0 o, equiva-

lentemente, j _sj crescente;- moto ritardato quando _sÄs < 0, ovvero d _s2

dt< 0 o, equiva-

lentemente, j _sj decrescente;


24 2 Cinematica

- moto uniformemente vario quando Äs = a0 costante;- moto uniformemente accelerato quando _sÄs > 0 ed Äs =a0 costante;

- moto uniformemente ritardato quando _sÄs < 0 ed Äs = a0costante.

2.1.4 Moti piani in coordinate polari.

De¯nizione 2.6. Consideriamo il moto piano del punto P (t),rispetto al sistema ortogonale (O; x; y), di equazioni x = x(t) ey = y(t). Riferiamo questo stesso moto al sistema di coordinatepolari che ha come polo l'origine O, come semi-asse polare il semi-asse positivo delle x e come verso positivo delle anomalie quellodell'asse orientato x verso l'asse orientato y. Durante il moto, ilmodulo ½ = OP e l'anomalia μ = dxOP di P saranno funzioni bendeterminate del tempo e le

½ = ½(t); μ = μ(t) (2.11)

si potranno dire equazioni del moto in coordinate polari.

La relazione tra le equazioni x = x(t); y = y(t) e le (2.11) μedata da:

x = ½ cos μ; y = ½ sin μ: (2.12)

Viceversa:

½ =qx2 + y2; μ = arctg(y=x): (2.13)

μE opportuno osservare che la rappresentazione del moto delmoto in coordinate polari presenta, per la natura stessa delle coor-dinate polari, una singolaritμa in coorispondenza dell'origine. In-fatti alla posizione P nell'origine O corrispono (coorispondenzaNON biunivoca!) ½ = 0 e μ qualunque.Consideriamo il versore

r =P ¡O½

;

orientato da O verso P , detto versore radiale, ed il versore hnormale a r, orientato rispetto alla retta OP come l'asse y rispettoad x, detto versore trasverso:



r = cos μ³ + sin μ^ e h = ¡ sin μ³ + cos μ´Se indichiamo con v½ e vμ le componenti di v rispetto ai due versoriallora si prova che:

v = v½r + vμh; v½ = _½; vμ = ½ _μ: (2.14)

La v½ si dice velocitμa radiale e la vμ si dice velocitμa trasversa;_μ si dice velocitμa angolare. La (2.14) si ottiene derivando ilvettore

P (t)¡O = ½(t)r[μ(t)]

espresso in coordinate polari e tenendo conto che ddμr = h.

Mentre il punto P si muove, il raggio vettore P ¡ O descriveun'area. Supponiamo di misurarla, a partire da un raggio inizialeP0 ¡O, positivamente nel senso in cui crescono le anomalie, neg-ativamente nel verso opposto. Sia A(t) il valore che assume in ungenerico istante t.

Teorema 2.7. Si dimostra che:

_A =1

2½2 _μ =

1

2(x _y ¡ _xy); (2.15)

ed μe chiamata velocitμa areolare (o areale) del punto P rispettoal centro O.

Dimostrazione. All'istante t il punto P ha coordinate polari μ(t)e ½(t); all'istante t+¢t le coordinate sono μ(t+¢t) e ½(t+¢t).Chiameremo ¢μ = μ(t+¢t)¡ μ(t) e

½max = max¿2[0;¢t]

½(t+ ¿ ); ½min = min¿2[0;¢t]

½(t+ ¿ )

e

¢maxμ = max¿2[0;¢t]

[μ(t+ ¿ )¡ μ(t)]:

Sia ¢A = A(t+¢t)¡A(t), allora questa puμo essere calcolata come

¢A =1

2½2¢μ +R (2.16)


26 2 Cinematica

dove 12½2¢μ rappresenta l'area di un settore circolare di raggio ½ e

angolo ¢μ. R rappresenta il resto che puμo essere stimato come

jRj · 1

2

h(½max)

2 ¡ (½min)2i¢maxμ:

Osservando che jRj = O(¢2t), dividendo ambo i membri della(2.16) per ¢t e passando al limite ¢t! 0 segue il Teorema.

Sia (O; x; y; z) una terna ortogonale destra tale che il motoavvenga nel piano (O; x; y); consideriamo il vettore

V =1

2(P ¡O)£ v = 1

2v £ (O¡ P ) = 1

2det

0B@ ³ ^ kx y 0_x _y 0

1CA=1

2(x _y ¡ _xy)k = _Ak

dato dalla metμa del momento della velocitμa vettoriale delpunto mobile rispetto al centro O (¯sso). Si ha che la com-ponente di V rispetto all'asse z coincide con la velocitμa areolare(2.15) e individua, come perpendicolare al piano della traiettoria,il piano in cui avviene il moto.

De¯nizione 2.8. De¯niamo

V =1

2(P ¡O)£ v (2.17)

come velocitμa areolare vettoriale del punto dato mobile, rispettoal centro O (¯sso).

Questa nuova de¯nizione ha il vantaggio di attribuire alla ve-locitμa areolare un signi¯cato intrinseco e, perciμo, indipendentedalla scelta della terna di riferimento. Scalarmente la (2.17) hacomponenti: 1

2(y _z ¡ _yz); 1

2( _xz ¡ x _z); 1

2(x _y ¡ _xy); nelle quali si

riconoscono le velocitμa areolari, rispetto ad O, in senso scalare,delle proiezioni ortogonali del punto P , rispettivamente sui piani(O; y; z); (O; x; z) e (O; x; y).Determiniamo ora l'accelerazione radiale e trasversa in un

moto piano (qualsiasi) denotate, rispettivamente, con a½ e aμ:

a = a½r + aμh



date da

a½ = Ä½¡ ½ _μ2; aμ = 2 _½ _μ + ½Äμ =1

½

d

dt(½2 _μ): (2.18)

Esse si ottengono derivando la giμa nota relazione v = v½r + vμh e

osservando che ddμh = ¡r. In particolare, si osserva che aμ = 2

½ÄA

dove _A μe la velocitμa areolare.

2.1.5 Esempi di moti

Consideriamo i seguenti esempi.

Moto dei gravi

Per grave intendiamo un corpo puntiforme pesante libero di muoversinello spazio e soggetto alla sola forza peso. Per studiarne il motoscegliamo, per riferimento, una terna il cui asse delle (O; y) siaverticale ed orientato verso l'alto, in modo che il piano (O; x; y)risulti verticale. Avremo, come componenti della accelerazione digravitμa g : (0;¡g; 0). Dalla Fisica μe ben noto che (ritorneremoin seguito su questo punto) che a = g e quindi le coordinate delpunto P dovranno soddisfare durante tutto il moto alle equazioniÄx = 0; Äy = ¡g; Äz = 0; che, integrate, danno:

x(t) = x0 + _x0t; y(t) = ¡12gt2 + _y0t+ y0; z(t) = _z0t+ z0(2.19)

dove v0 = _x0³ + _y0^ + _z0k μe la velocitμa all'istante iniziale e P0 =(x0; y0; z0) μe la posizione del punto all'istante iniziale. Si puμo,senza perdere in generalitμa, collocare l'origine O del sistema in P0e ruotare la terna d'assi intorno a y in modo che sia _z0 = 0 e_x0 ¸ 0. Le (2.19) diventano:

x = _x0t; y = _y0t¡ 1

2gt2; z = 0; con _x0 ¸ 0: (2.20)

Quindi risulta che il moto μe piano e nelle equazioni del moto sipuμo trascurare la componente z. Dalle (2.20) si ricava che:

v2 = v20 ¡ 2g _y0t+ g2t2 e v2 ¡ v20 = ¡2gy; (2.21)

quindi: sono fra loro proporzionali l'incremento del quadratodella velocitμa e la quota del punto mobile rispetto alla po-sizione iniziale.


28 2 Cinematica

Moti oscillatori

Se il punto P (t) si muove lungo la circonferenza x2 + y2 = r2

le equazioni del moto sono x = r cos μ e y = r sin μ dove μ(t)μe l'anomalia del vettore P ¡ O rispetto all'asse orientato x. Lavelocitμa ha componenti

_x = ¡r _μ sin μ e _y = r _μ cos μ

e la sua intensitμa vale v = rj _μj; come si poteva prevedere dalla(2.14) essendo v½ = _½ = 0: A±nch¶e il moto circolare sia uniforme

(cio¶e _s(t) = r _μ = Cost) occorre, e basta, che _μ sia costante; se

indicheremo ! = _μ allora dovremmo avere μ(t) = !t+ μ0, dove μ0μe l'anomalia di P nell'istante t = 0. In questo caso l'accelerazionediventa

a = Äx³ + Äy^ = ¡!2(P ¡O) = !2(O ¡ P ):Si noti che l'accelerazione μe sempre diretta dal punto P verso ilcentro del cerchio in quanto, trattandosi di un moto uniforme,l'accelerazione deve risultare tutta centripeta.

De¯nizione 2.9. De¯niamo armonico il moto del tipo

x(t) = r cos(!t+ μ0) (2.22)

dove r μe l'ampiezza, ! la frequenza e μ0 la fase iniziale.

Il moto armonico ha accelerazione che soddisfa alla seguenteequazione di®erenziale: Äx = ¡!2x. I parametri r e μ0 sono deter-minati in base alle condizioni iniziali.

Moti centrali, moti Kepleriani e formula di Binet

De¯nizione 2.10. Il moto di un punto P si dice centrale se lalinea di azione dell'accelerazione a passa sempre per un punto O¯sso, detto centro del moto. Si ha la seguente condizione vet-toriale caratteristica dei moti centrali:

(P ¡O)£ a = O; (2.23)

cio¶e si annulla il momento dell'accelerazione rispetto ad O.



Dalla (2.23) segue che la velocitμa areolare di ogni moto centralerispetto al centro O μe un vettore costante. Infatti: V = 1

2(P ¡

O)£ v ed

dtf(P ¡O)£ vg = dP

dt£ v+ (P ¡O)£ a = (P ¡O)£ a:(2.24)

Quindi: il moto μe centrale se, e solo se, (P¡O)£v = c, c denota unvettore costante. Da quanto scritto in precedenza segue che ognimoto centrale μe un moto piano. In particolare, scegliendoil sistema di riferimento in modo che il moto avvenga nel piano(O; x; y), cio¶e z = _z = Äz = 0, allora (P¡O)£v ha due componentinulle, mentre la terza vale x _y ¡ _xy = c costante.Dalle (2.18) segue che i moti centrali, caratterizzati da aμ = 0,

devono soddisfare alla seguente equazione di®erenziale:

2 _½ _μ + ½Äμ = 0 o ½2 _μ = c: (2.25)

In particolare si puμo dare alla accelerazione radiale a½ unaespressione puramente geometrica, cio¶e indipendente dallederivate di ½ e μ rispetto a t, e fare intervenire soltanto l'equazionepolare ½ = ½(μ) della traiettoria. Infatti, se c 6= 0 allora deve

necessariamente essere _μ 6= 0 da cui si puμo, per il teorema dellafunzione inversa, ricavare t = t(μ) e quindi ½ = ½(μ) = ½[t(μ)].Ora, pensando ½ = ½(μ) si ottiene che

_½ =d½

dμ_μ

e, in virtμu della (2.25), segue che

_½ =c

½2d½

dμ= ¡cd1=½

dμ:

Derivando ulteriormente si ottiene che:

Ä½ = ¡cdμdt

d21=½

dμ2= ¡ c

2

½2d21=½

dμ2

che, sostituite nella prima delle (2.18), dμa

a½ = ¡ c2

½2

(1

½+d2

dμ2

Ã1

½

!)(2.26)

che μe nota sotto il nome di formula di Binet.


30 2 Cinematica

2.1.6 Esercizi

Esercizio 2.1.6.1: Studiare il moto del punto P che si muovecon legge oraria

s(t) = t3 ¡ 2t2 + t; t ¸ 0su una traiettoria ° nota ed assegnata. In particolare si chiede dideterminare per quali valori di t si ha un istante di arresto, quandoil moto μe diretto o retrogrado e quando il moto μe accelerato oritardato.

Esercizio 2.1.6.2: Due punti P1 e P2 si muovono su una stessaretta AB orientata da B verso A e con origine in B. P1 μe all'istanteiniziale t = 0 fermo in B e si muove verso A con legge oraria

s1(t) =1

2a1t

2; a1 > 0:

P2, per t = 0, passa in A con velocitμa v0 diretta verso B ed halegge oraria

s2(t) =1

2a2t

2 ¡ v0t+ `; a2 > 0 e ` = jABj:

Studiare il moto di entrambi i punti e determinare come e quandoi due punti si incontrano.

Esercizio 2.1.6.3: Studiare il moto dell'estremoB di una biellalunga ` (vincolato a muoversi lungo l'asse x) nota la legge μ = μ(t)con cui si muove la manovella di lunghezza r < ` determinare, inparticolare, la velocitμa e l'accelerazione nel caso generale e poi nelcaso particolare μ(t) = !t con ! costante.

Esercizio 2.1.6.4: Un'asta AC lunga d puμo ruotare nel piano(O; x; y) attorno al punto C di coordinate (0;¡h) con legge dataμ = μ(t) e h > d. Dall'estremo A parte un ¯lo (°essibile e in-estendibile) che, dopo essere passato per la carrucola posta in O,porta appeso all'altro estremo un punto P (che, per e®etto delpeso, tiene sempre il ¯lo in tensione). Sapendo che il ¯lo μe lungo` ¸ d+h, studiare il moto di P e determinare, in particolare, la ve-locitμa e l'accelerazione nel caso generale e poi nel caso particolareμ(t) = !t con ! costante.



Esercizio 2.1.6.5: Il punto P μe mobile sulla parabola y = Kx2,K > 0, e la sua proiezione sull'asse x si muove con velocitμa ct(c =costante positiva):

v(P ) = vx ³ + vy^; vx = ct:

Studiare il moto di P sapendo che inizialmente μe in O; piμu pre-cisamente si chiede:

i. la velocitμa v di P ;ii. la velocitμa scalare _s(t) di P ;iii. l'accelerazione a di P ;iv. il versore tangente t ed il versore normale n alla traiettoria diP ;

v. l'accelerazione normale e tangenziale;vi. il raggio di curvatura;vii.la velocitμa areolare avendo supposto introdotto un sistema dicoordinate polari con polo in O ed asse polare coincidente conl'asse positivo delle ascisse;

viii.la velocitμa angolare _μ.

Esercizio 2.1.6.6: Studiare il moto di un punto P = P (x; y; z)sapendo che le coordinate di P sono, rispettivamente, date da:

a)

8><>:x(t) = C cos!ty(t) = C sin!tz(t) = 0

; C e ! costanti positive;

b)

8>><>>:x(t) = C cos

³12at2 + !t

´y(t) = C sin

³12at2 + !t

´z(t) = 0

; C; a e ! costanti positive;

c)

8><>:x(t) = C cos[A sin(!t)]y(t) = C sin[A sin(!t)]z(t) = 0

; C; A e ! costanti positive;

d)

8><>:x(t) = Ct cos!ty(t) = Ct sin!tz(t) = 0

; C e ! costanti positive:

Piμu precisamente si chiede:

i. la traiettoria di P ;


32 2 Cinematica

ii. la velocitμa v di P ;iii. la velocitμa scalare _s(t) di P e la legge oraria s(t);iv. l'accelerazione a di P ;v. il versore tangente t ed il versore normale n alla traiettoria diP ;

vi. l'accelerazione normale e tangenziale;vii.il raggio di curvatura;viii.la velocitμa areolare avendo supposto introdotto un sistema dicoordinate polari con polo in O e come asse polare l'asse (O; x);

ix. la velocitμa angolare _μ.

Esercizio 2.1.6.7: Studiare il moto di un punto P = P (μ; ½)nel piano sapendo che le coordinate polari di P sono, rispettiva-mente, date da:

a)

(½(t) = Rμ(t) = 1

2at2 + !t

; R; a e ! costanti positive;

b)

(½(t) = Ctμ(t) = !t

; C e ! costanti positive;

c)

(½(t) = Ct+ ½0μ(t) = 1

Kln³Ct+½0½0

´ ; t ¸ 0; C; K e ½0 costanti positive :

Piμu precisamente si domanda:

i. la traiettoria di P ;ii. la velocitμa v di P ;iii. la velocitμa scalare _s(t) di P e la legge oraria s(t);iv. l'accelerazione a di P ;v. la velocitμa areolare;

Esercizio 2.1.6.8: Studiare il moto di un punto P = P (x; y)nel piano (O; x; y) sapendo che le coordinate di P sono due funzioniperiodiche di periodo T1 e T2, cioμe:

x(t+ T1) = x(t) e y(t+ T2) = y(t); 8t:Piμu precisamente si domanda:

i. dimostrare che il moto μe periodico se, e solo se, T1 e T2 sonocommensurabili tra loro, cio¶e


2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 33

T1T2=n

m2 Q;

ed il periodo T del moto μe dato da T = mT1 = nT2;ii. assumendo che sia x(t) = cos(!t) e y(t) = sin(−t) gra¯careP (t) per diversi valori di ! e −;

iii. sempre nelle condizioni in ii. assumere ! = 1 e − = ¼=3:1415,gra¯care P (t) per intervalli crescenti di t e osservare che latraiettoria di P riempie progressivamente il quadrato [¡1;+1]£[¡1;+1];

iv. sempre nelle condizioni in ii. dimostrare che quando ! e − nonsono commensurabili tra loro allora la traiettoria di P riempiedensamente il quadrato [¡1;+1]£ [¡1;+1].

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi

Lo studio di sistemi materiali, costituiti da N punti materiali dis-tinti, puμo essere e®ettuato, almeno in linea di principio, con glistrumenti sviluppati nella sezione precedente. Di fatto questo pro-cedura μe ine±cace quando il numeroN di particelle μe grande, comead esempio il numero di molecole in un °uido o in un gas libera-mente mobili. μE quindi opportuno introdurre un modello descrit-tivo del sistema ¯sico che, in alcuni casi, permetta di studiare ilmoto del sistema senza descrivere necessariamente il moto di ogniparticella costituente il sistema. Nell'ambito della meccanica chestudiamo in questo testo noi facciamo la seguente ipotesi di lavoroche, in alcuni contesti, trova giusti¯cazione: noi assumiamo che isistemi materiali siano costituiti da uno o piμu corpi rigidi, non de-formabili qualunque sia il loro moto e comunque siano sollecitati.Con questa modellizzazione non μe ovviamente possibile studiare ladinamica dei °uidi e dei gas (termodinamica e °uidodinamica) enemmeno le deformazioni dei solidi (teoria della elasticitμa).

2.2.1 Sistemi rigidi

De¯nizione 2.11. Diremo sistema rigido una ¯gura S che, du-rante il moto, conservi inalterate le mutue distanze dei suoi punti.Cio¶e se P1 e P2 sono due punti qualsiasi di tale sistema S deveessere che


34 2 Cinematica

P1P2 = r = Costante (2.27)

durante il moto.

Osserviamo che la condizione (2.27) equivale alla identitμa

(P2 ¡ P1) ¢ (P2 ¡ P1) = r2

dove r μe indipendente dal tempo. Derivando ambo i membri sitrova la condizione equivalente di rigiditμa di un sistema:

(P2 ¡ P1) ¢ d(P2 ¡ P1)dt

= 0; 8P1; P2 2 S

cioμe si ha la seguente de¯nizione equivalente. I moti rigidi di unsistema di punti sono caratterizzati dalla circostanza che ad ogniistante la velocitμa di due punti quali si vogliano del sistemahanno la stessa componente secondo la congiungente deidue punti.Ai ¯ni dello studio del moto di un sistema rigido μe utile fare

la seguente osservazione di evidenza immediata. Dato un sistemarigido S, un sistema di riferimento ¯sso (O; x; y; z) ed un sistemadi riferimento solidale (O0; x0; y0; z0) con il sistema S (solidale=lecoordinate dei punti di S sono costanti). Il moto di S μe noto seμe nota l'evoluzione temporale di (O0; x0; y0; z0) rispetto a(O; x; y; z). A quest'ultimo scopo basta che siano assegnati, infunzione del tempo, l'origine O0 e i tre versori fondamentali³0;^0; k

0della terna solidale. In queste condizioni l'equazione del

moto del generico punto P di S μe fornita dalle

P = O0 + x0³0 + y 0´0 + z0k0

(2.28)

dove O0, ³0;^0 e k0si intendono de¯niti in funzione di t con riferi-

mento agli assi ¯ssi e le x0; y0; z0 si intendono costanti.La (2.28), proiettata sul sistema ¯sso, dμa:8><>:

x = ® + ®1x0 + ®2y0 + ®3z0

y = ¯ + ¯1x0 + ¯2y0 + ¯3z0

z = ° + °1x0 + °2y0 + °3z0(2.29)

dove O0 ha componenti (®; ¯; °) e (®i; ¯i; °i); i = 1; 2; 3; sono,rispettivamente, i coseni direttori di ³0;^0; k

0, cioμe:


2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 358>><>>:³0 = ®1³ + ¯1^+ °1k^0 = ®2³ + ¯2^+ °2kk0= ®3³ + ¯3^+ °3k

; dove

®1 = ³0 ¢ ³; ¯1 = ³0 ¢ ^; °1 = ³0 ¢ k

®2 = ^0 ¢ ³; ¯2 = ^0 ¢ ^; °2 = ^0 ¢ k

®3 = k0 ¢ ³; ¯3 = k0 ¢ ^; °3 = k0 ¢ k

Nelle (2.29) compaiono 12 funzioni del tempo, cio¶e le ®; ¯; ° e i9 coseni direttori (®i; ¯i; °i); i quali sono legati tra loro dalle 6note relazioni in quanto ortonormali:

®2i + ¯2i + °

2i = 1; i = 1; 2; 3

e

®i®j + ¯i¯j + °i°j = 0; i; j = 1; 2; 3; i 6= j:

2.2.2 Moti traslatori

De¯nizione 2.12. Un moto rigido si dice traslatorio quandoogni vettore P2 ¡ P1, determinato da due punti in moto quali sivogliano, si mantiene costante, non solo in lunghezza, come ognialtro moto rigido, ma anche in direzione e verso.

In particolare i tre versori ³0;^0; k0del riferimento solidale sono

costanti durante il moto (sia in verso che in direzione, oltre, comeμe ovvio, in lunghezza). Con una scelta particolare degli assi si hache le (2.29) diventano: x = x0 +®(t); y = y0+ ¯(t); z = z0 + °(t).Risulta dunque che in un moto traslatorio le traiettorie deisingoli punti sono uguali, sovrapponibili e percorse con lamedesima legge.Un moto traslatorio μe caratterizzato dal fatto che tutti i punti

del sistema, istante per istante, hanno velocitμa uguali _P2 = _P1(e quindi anche accelerazioni uguali). Quindi ogni moto traslatorioμe caratterizzato da un certo vettore, funzione esclusiva del tempo,che istante per istante, dμa la velocitμa comune, in quell'istante, atutti i punti del sistema mobile. Questo vettore dicesi velocitμadel moto traslatorio ed identi¯ca, in modo univoco, il mototraslatorio.

2.2.3 Moti rotatori

De¯nizione 2.13. Un moto rigido si dice rotatorio quando ri-mangono ¯ssi tutti i punti di una retta detta asse di rotazione.


36 2 Cinematica

Per realizzare un tale moto basta ¯ssare due punti dell'asse.Preso nel sistema mobile S, fuori dall'asse di rotazione (che,

con una opportuna scelta del sistema di riferimento, coinciderμacon l'asse (O; z)), un punto P , la perpendicolare PQ abbas-sata sull'asse si manterrμa di lunghezza costante e ortogonaleall'asse; cio¶e ogni punto di S, fuori dell'asse, si muoverμa sulla cir-conferenza del piano ortogonale a z, che ha il centro Q sull'assestesso.La posizione del sistema stesso S, rotante intorno a z, risulta in-

dividuata, istante per istante, dalla posizione di un solo suo puntoP esterno all'asse di rotazione (sulla rispettiva traiettoria circo-lare) o, equivalentemente, dalla posizione di un semi-piano p us-cente dall'asse e solidale con S. La posizione si potrμa individuareassegnando, ad ogni istante, l'anomalia μ = c¼p di p rispetto adun determinato semipiano ¼ uscente da z e ¯sso.Un moto rotatorio μe caratterizzato dal fatto che ad ogni is-

tante tutti i punti di un sistema rigido animato di moto rotatoriohanno la medesima velocitμa angolare _μ. Sia (O; z) l'asse ¯sso

e k il corrispondente versore, de¯niamo il vettore ! = _μk, dettovelocitμa angolare (vettoriale) del moto rotatorio, quel vettoreavente, ad ogni istante, modulo j _μ(t)j, la direzione dell'asse di ro-tazione e il verso rispetto a cui il moto appare destro. μE immediatoveri¯care che in un moto rotatorio, di velocitμa angolare !, la ve-locitμa v del punto P μe data da:

v(t) = ! £ (P ¡O) (2.30)

dove O μe un punto ¯sso dell'asse di rotazione. In particolare valeanche il viceversa; quindi: i moti rotatori attorno all'asse pas-sante per O e parallelo a ! sono tutti e soli i moti nei qualila velocitμa dei punti P μe data dalla (2.30) dove ! ha di-rezione costante.L'accelerazione a del punto P si decompone nelle componenti

tangenziale at e normale an. La seconda qui coincide con la accel-erazione radiale centripeta a½. Tenendo conto che _s = ½ _μ e che

½ = r rimane costante nel moto rotatorio, segue che: a½ = ½ _μ2 e

Äs = ½Äμ. In particolare, essendo

t =v

_s=_μk£ (P ¡O)

_μ½=1

½k£ (P ¡O) e n = ¡1

½(P ¡Q);(2.31)



si ha

a = att + a½n = ¡ _μ2(P ¡Q) + Äμk£ (P ¡O)= ¡!2(P ¡Q) + _! £ (P ¡O); (2.32)

dove Q μe la proiezione di P sull'asse di rotazione. Si noti che sela velocitμa angolare μe costante ( _! = 0) allora ciascun punto Pdel sistema si muove di moto circolare uniforme (con velocitμa chevaria da punto a punto proporzionalmente alla distanza dell'asse)e il moto rigido si dice rotatorio uniforme. La (2.32) si ottieneanche per semplice derivazione della (2.30) ricordando che ! e(P ¡Q) sono ortogonali e che

! £ [! £ (P ¡O)] = ¡!2(P ¡Q):Le equazioni del moto si possono in¯ne scrivere come:

x = x0 cos μ ¡ y0 sin μ; y = x0 sin μ + y0 cos μ; z = z0

dove si μe scelto come O = O0 un punto qualsiasi dell'asse individ-uato da !; z = z0 =asse di rotazione (quindi k = k

0e ! = _μk).

Inoltre gli assi x e x0 sono scelti come due semi-rette ortogonali az = z0, che giaciono rispettivamente nei due semi-piani p e ¼ chede¯niscono l'anomalia μ.

2.2.4 Moti rototraslatori

De¯nizione 2.14. Si dice rototraslatorio ogni moto rigido com-posto da un moto traslatorio e di un moto rotatorio.

Se il moto traslatorio μe identi¯cato da un vettore v± e se il mototraslatorio μe identi¯cato da un vettore velocitμa angolare ! e se O μeun punto del suo asse di rotazione, allora la velocitμa di un genericopunto P appartenente al sistema S μe data da

v(P ) = v± + ! £ (P ¡O): (2.33)

Osserviamo che il nuovo moto μe ancora rigido, infatti dati duepunti generici P1 e P2 di velocitμa

v(P1) = v± + ! £ (P1 ¡O); v(P2) = v± + ! £ (P2 ¡O)


38 2 Cinematica

da cui segue che v(P2)¡v(P1) = !£(P2¡P1) e in¯ne [v(P2)¡ v(P1)]¢(P2 ¡ P1) = 0:Nel caso di ! e v± costanti allora il moto si dirμa rototraslato-

rio uniforme.La (2.33) puμo essere espressa nella forma

v(P ) = v(O0) + ! £ (P ¡O0) (2.34)

dove

v(O0) = v± + ! £ (O0 ¡O);O0 μe un punto solidale con il sistema rigido anche se non appar-tiene all'asse de¯nito da !. Quindi, in base alla (2.34), il datomoto rototraslatorio risulta decomposto in un moto traslatorio divelocitμa v(O0) e in un moto rotatorio di velocitμa angolare ! in-torno ad un asse trasportato (parallelamente a se stesso) da questomoto traslatorio di velocitμa v(O0).Per ogni moto rototraslatorio uniforme esiste una decom-

posizione propria, cio¶e del tipo (2.33) con O sull'asse, in cui lavelocitμa angolare del componente rotatorio risulta parallela allavelocitμa del componente traslatorio:

v(P ) = v±k + ! £ (P ¡−); dove − = O +! £ v±!2

; (2.35)

v±k = componente di v± parallela ad !. Il moto de¯nito dalla(2.35) viene chiamato elicoidale e (!;−) viene chiamato assedel moto (con ovvio signi¯cato della notazione). In particolare:componendo con un moto rotatorio uniforme un moto traslatoriouniforme di direzione ortogonale all'asse di quello (cio¶e v±k = 0),si ottiene un moto rotatorio uniforme avente la stessa velocitμaangolare, intorno ad un asse parallelo al primitivo.

2.2.5 Moti rigidi generali ed atti di moto

Consideriamo un sistema rigido S; siano ³0;^0; k0i tre versori fon-

damentali di un sistema di riferimento (O0; x0; y0; z0) solidale conS. Quindi il moto di un punto P del sistema S μe descritto come:

P = O0 + x0³0 + y0´0 + z0k0; x0; y0; z0 costanti : (2.36)



Teorema 2.15 (Teorema di Poisson). Siano dati due sistemidi riferimento (O; x; y; z) e (O0; x0; y0; z0) in moto l'uno rispettoall'altro. Si dimostra che esiste un unico vettore ! tale che val-gano le seguenti (dette formule di Poisson):

d³0

dt= ! £ ³0; d´

0

dt= ! £ ^0; dk

0

dt= ! £ k0; (2.37)

dove la derivata viene e®ettuata rispetto all'osservatore (O; x; y; z).

Dimostrazione. μE su±ciente porre ! = p³0+ q^0+ rk0dove le com-

ponenti p; q; r di ! rispetto al riferimento solidale sono scelte come

p(t) =d´0

dt¢ k0 = ¡dk

0

dt¢ ^0; q(t) = dk

0

dt¢ ³0 = ¡ d³

0

dt¢ k0; r(t) = d³0

dt¢ ^0 = ¡ d´

0

dt¢ ³0:

Infatti

d³0

dt=

Ãd³0

dt¢ ³0!³0 +

Ãd³0

dt¢ ^0!^0 +

Ãd³0

dt¢ k0!k0= r´0 ¡ qk0 = ! £ ³0

come si puμo veri¯care in modo immediato. In modo analogo si hala validitμa delle altre due formule di Eulero. Abbiamo cosμ³ provatol'esistenza di un tale vettore. Per provarne l'unicitμa supponiamoche esista un altro vettore !? soddisfacente alla (2.37); quindi,sottraendo membro a membro segue

(! ¡ !?)£ ³0 = (! ¡ !?)£ ^0 = (! ¡ !?)£ k0 = 0da cui ! = !?.

Derivando rispetto al tempo t l'equazione geometrica (2.36) etenendo conto delle formule del Poisson otteniamo:

dP

dt=dO0

dt+ ! £ (P ¡O0); 8P 2 S (2.38)

dove O0 puμo essere un punto qualsiasi del sistema. L'espressione(2.38) μe caratteristica per la velocitμa dei punti di un corporigido ed μe detta formula fondamentale della cinematicarigida. Cosμ³, rispetto alla solita terna ¯ssa, un moto rigido risultadeterminato (a meno di opportune condizioni iniziali) quando,prescelto nel sistema mobile un punto O0 qualsiasi, si pre¯ssino


40 2 Cinematica

i vettori (dipendenti dal tempo) v0 = v(O0) e !. Questi due vet-

tori si dicono vettori caratteristici del moto rigido rispetto alpolo o centro di riduzione O0.Se cambiamio l'origine O0 nella (2.38) e prendiamo O00 6= O0 al-

lora la (2.38) si modi¯ca nel seguente senso: v = dO00dt+!00£(P¡O00)

dove !00 = !, poich¶e il vettore !, in quanto fornisce, istante per is-tante, la velocitμa angolare del moto elicoidale tangente, ha carat-tere intrinseco al moto rigido dato, come emerge anche dalle(2.37). Si puμo in¯ne osservare che ! non dipende nemmeno dallaterna (O0; x0; y0; z0) solidale; infatti, dovendo la (2.38) sussistere an-che per !?, riferito ad una nuova terna (anch'essa solidale rispettoad S), allora segue che

(P ¡O)£ (! ¡ !?) = 0

per ogni P e quindi ! = !?.Un altro modo per derivare il vettore! μe il seguente: riscriviamo

la (2.36) nel seguente modo:

x(t) = c(t) +A(t)y dove x =

0B@x1x2x3

1CA ; c =0B@O

0x

O0yO0z

1CA ; y =0B@y1y2y3

1CA(2.39)

rappresentano, rispettivamente, le coordinate di P e O0 rispetto alsistema centrato in O e ¯sso e le coordinate di P rispetto ad unsistema di riferimento centrato in O0 e solidale con il corpo rigido.La matrice A μe la matrice che permette di passare da un sistema diriferimento all'altro, quindi A μe una matrice ortogonale:A¡1 = AT .Derivando la (2.39) e sostituendo ad y la relazione y = A¡1(x¡c),si trova

_x(t) = _c(t) + _A(t)y = _c(t) + _A(t)AT [x(t)¡ c(t)] = _c(t) + J(t)[x(t)¡ c(t)]dove abbiamo posto J = _AAT . Osserviamo che J μe una matriceantisimmetrica; infatti derivando la identitμa AAT = I si ha cheJ = ¡JT e quindi possiamo scrivere

J = _AAT =

0B@0 ¡!3 !2!3 0 ¡!1¡!2 !1 0

1CA :Ponendo ! = !1³ + !2^+ !3k allora la relazione _x = _c + J(x¡ c)equivale alla v(P ) = v(O0) + ! £ (P ¡O0).



La (2.38) diventa v = v0+!£(P¡O0) dove v0 = dO0dt; quindi la

distribuzione delle velocitμa nei vari punti di S all'istantet ¯ssato μe la stessa che si avrebbe se il sistema fosse ani-mato da un moto rototraslatorio uniforme, cio¶e elicoidale,in cui la velocitμa del generico punto P μe decomponibile in sensoimproprio nel moto traslatorio di velocitμa v0 e nel moto rotatoriodi velocitμa angolare !, intorno all'asse per O0 nella direzione di!, trasportato parallelamente a se stesso con velocitμa traslatoriav0. Se poi diciamo atto di moto la distribuzione istantanea dellevelocitμa allora ogni atto di moto rigido μe elicoidale e l'asse delmoto elicoidale tangente si dice asse di Mozzi, avente coordinate(x0; y0; z0) determinate dalla condizione !kv0: Nel caso partico-lare in cui ! = 0 si ha un atto di moto traslatorio, quando invecev0 ? ! si ha un atto di moto rotatorio e la direzione de¯nita da(O0;!) si dice asse istantaneo di rotazione.Piμu precisamente, si ha che:

Teorema 2.16 (Teorema di Mozzi). Siano ! e v± = V(O) ivettori caratteristici, sia I = v± ¢! l'invariante. Allora segue che:i. se I 6= 0 allora lo stato cinetico μe elicoidale e l'asse di moto,detto asse di Mozzi, ha punti che si muovono con velocitμaI!2!;

ii. se I = 0 allora:ii1.se ! 6= 0 lo stato cinetico μe rotatorio;ii2.se ! = 0 e v± 6= 0 lo stato cinetico μe traslatorio;ii3.se ! = 0 e v± = 0 lo stato cinetico μe nullo (cio¶e tutti i puntihanno velocitμa nulla).

Dimostrazione. La dimostrazione si basa sulla formula ¯ndamen-tale della cinematica rigida. Consideriamo inizialmente il caso incui I = 0. L'invariante μe nullo se:- ! = 0 e v± = 0, allora in questo caso v(P ) = 0 per ogni puntoP del corpo rigido e lo stato cinetico μe nullo;

- ! = 0 e v± 6= 0, allora in questo caso v(P ) = v± 6= 0 per ognipunto P del corpo rigido e lo stato cinetico μe traslatorio;

- ! 6= 0 e v± = 0, allora in questo caso v(P ) = ! £ (P ¡O) perogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico μe rotatorio;


42 2 Cinematica

- ! 6= 0 e v± 6= 0 con ! ? v±, allora esiste O0 tale che v± =! £ (O¡O0) e in questo caso possiamo scrivere chev(P ) = v± + ! £ (P ¡O) = ! £ (O ¡O0) + +! £ (P ¡O)

= ! £ (P ¡O0)per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico μe rotatoriocon asse istantaneo di rotazione passante per O0 e parallelo a!;

Consideriamo in¯ne il caso in cui I 6= 0, ovvero! 6= 0; v± 6= 0 con ! 6? v±;

decomponendo v± = vk+v? lungo le direzioni parallela e perpen-dicolari a ! allora esiste O0 tale che v? = !£ (O¡O0) e in questocaso possiamo scrivere che

v(P ) = v± + ! £ (P ¡O) = vk + ! £ (O ¡O0) + +! £ (P ¡O)= vk + ! £ (P ¡O0)

per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico μe elicoidalecon asse di Mozzi passante per O0 e parallelo a !.

Derivando la (2.38) l'accelerazione viene scritta come:

a =d2O0

dt2+ _! £ (P ¡O0) + ! £ [! £ (P ¡O0)]

=d2O0

dt2+ _! £ (P ¡O0)¡ !2(P ¡Q)

dove Q μe la proiezione di P sull'asse di rotazione. In questa espres-sione i primi due addendi del secondo membro costituiscono ilcontributo della variabilitμa dei vettori caratteristici, men-tre il terzo addendo dipende, esclusivamente, dal moto elicoidaletangente e, perciμo, coincide con l'accelerazione che si avrebbe nelcaso di una rotazione uniforme intorno all'asse istantaneodi rotazione.

2.2.6 Composizione di atti di moto: Teorema di Mozzi

De¯nizione 2.17. Se, per un medesimo sistema di punti, si con-siderano due diversi atti di moto si dice moto composto tra i due



quello in cui ogni punto del sistema ha, come velocitμa, la sommavettoriale delle velocitμa spettanti a quel medesimo punto nei dueatti di moto considerati.

Si ha che l'atto di moto composto di due atti di motorigidi μe rigido; infatti, siano v0(P ) e v00(P ) le velocitμa relative aidue atti di moto e sia v(P ) = v0(P ) + v00(P ) la velocitμa relativaall'atto di moto composto; siano dati due punti P1 e P2 qualunquee appartenenti al sistema; allora sarμa

[v(P2)¡ v(P1)] ¢ (P2 ¡ P1) == [(v0(P2) + v00(P2))¡ (v0(P1) + v00(P1))] ¢ (P2 ¡ P1) = 0

essendo

(v0(P2)¡ v0(P1)) ¢ (P2 ¡ P1) = 0 e (v00(P2)¡ v00(P1)) ¢ (P2 ¡ P1) = 0:Se v00, !

0 e v000, !00 sono i vettori caratteristici dei due atti di

moto componenti rispetto ad un medesimo polo O0, allorai vettori caratteristici, rispetto allo stesso polo O0, di unatto di rigido composto si ottengono sommando vettorial-mente gli omonimi vettori caratteristici dei moti compo-nenti, rispetto a quel medesimo polo. Infatti:

v(P ) = v1(P ) + v2(P ) = v0O + !

0 £ (P ¡O0) + v00O + !00 £ (P ¡O0)= (v0O + v

00O) + (!

0 + !00)£ (P ¡O0)Da ciμo segue che:

i. componendo due atti di moto traslatori si ottiene ancoraun atto di moto traslatorio;

ii. componendo due atti di moto rotatori, con assi istantaneidi rotazione concorrenti in un punto O0, si ottiene un atto dimoto rotatorio avente asse istantaneo di rotazione pure con-corrente in O0 ed ha per velocitμa angolare la somma vettorialedelle velocitμa angolari degli atti di moto rotatori componenti;

iii. componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi par-alleli distinti r1, r2 e di velocitμa angolari !1, !2 non opposte,si ottiene un atto di moto rotatorio di velocitμa angolare!1 +!2, il cui asse μe parallelo ad r1, r2, e giace nel piano dellastriscia r1; r2, dividendola in parti inversamente proporzionali


44 2 Cinematica

a !1; !2, internamente od esternamente, secondo che !1, !2

siano di verso concorde o discorde. Infatti:

v(P ) = v1(P ) + v2(P ) = !1 £ (P ¡O1) + !2 £ (P ¡O2)= (!1 + !2)£ (P ¡O)

dove O1 e O2 sono due punti su r1 ed r2 tali che O2 ¡ O1 μeortogonale a r2, dove O μe tale che !1£(O¡O1) = !2£(O2¡O).Piμu precisamente, introduendo un asse orientato avente originein O1 e diretto verso O2 in modo che sia O2 ¡ O1 = d³, d > 0,!j = !j^, O¡O1 = x³, allora l'equazione !1£ (O¡O1)+!2£(O¡O2) = 0 diventa

x!1 + !2(x¡ d) = 0 che ha soluzione x = d!2

!1 + !2:

iv. componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi par-alleli distinti r1, r2 e di velocitμa angolari !1, !2 opposte (cio¶e!2 = ¡!1), si ottiene un atto di moto traslatorio, in di-rezione ortogonale al piano della striscia r1, r2 dei moti compo-nenti ed ha per velocitμa il momento della coppia delle velocitμaangolari !1, !2 localizzate ciascuna lungo l'asse rispettivo. In-fatti:

v(P ) = v1(P ) + v2(P ) = !1 £ (P ¡O1)¡ !1 £ (P ¡O2)

= !1 £ (O2 ¡O1)che μe independente da P .

2.2.7 Angoli di Eulero

Un sistema rigido S μe determinato rispetto ad un sistema di rifer-imento ¯sso (O; x; y; z) se μe determinato il sistema di riferimentosolidale (O0; x0; y0; z0) rispetto a quello ¯sso. Per fare ciμo μe su±-ciente determinare le coordinate di O0 (3 parametri) e i tre versori³0;^0; k

0(9 parametri, di cui solo 3 indipendenti). Supponendo,

senza perdere in generalitμa, che O = O0 si utilizza il seguentemetodo di rappresentazione della terna solidale rispetto a quella¯ssa.Sia N la retta intersezione tra i piani (O; x; y) e (O;x0; y0) (sup-

posti, per un momento, non complanari), perpendicolare a z e z0,



passante per O = O0 e orientata in modo che l'angolo dzOz0 appaiadestro, detta linea dei nodi. L'angolo dzOz0, in (0; ¼), si diceangolo di nutazione (designato con μ). Si dice poi angolo di

precessione, e si denota con Ã, l'anomalia dxON (misurata nelverso destro rispetto a z). In¯ne si dice angolo di rotazione

propria, e si denota con Á, l'anomalia dNOx0 (misurata nel versodestro rispetto a z0). I due angoli Ã e Á sono variabili ciascunonell'intervallo [0; 2¼), cio¶e sul toro S1. I tre angoli μ, Ã e Á cosμ³de¯niti si chiamano angoli di Eulero.Nel caso, al momento escluso, in cui i piani (O; x; y) e (O; x0; y0)

coincidano allora l'angolo di nutazione μ corrisponde a 0 o a ¼ men-tre la linea dei nodi N resta indeterminata (e quindi tali risultanoanche gli angoli Ã e Á). In ogni caso resta determinata la somma

Ã + Á = dxOx0 e questa anomalia, insieme a μ = 0 o μ = ¼, de-termina la posizione del sistema di riferimento solidale rispetto aquello assoluto.Non μe inutile esprimere le formule di trasformazione delle co-

ordinate tra i due sistemi in funzione di questi tre parametri. Se(x; y; z) e (x0; y0; z0) sono le coordinate di un generico punto rispettoai due sistemi di riferimento allora varranno le formule di trasfor-mazione: 8><>:

x = ®1x0 + ¯1y0 + °1z0

y = ®2x0 + ¯2y0 + °2z0

z = ®3x0 + ¯3y0 + °3z0

(2.40)

dove

®1 = ³ ¢ ³0 ¯1 = ³ ¢ ^0 °1 = ³ ¢ k0®2 = ^ ¢ ³0 ¯2 = ^ ¢ ^0 °2 = ^ ¢ k0®3 = k ¢ ³0 ¯3 = k ¢ ^0 °3 = k ¢ k0

sono i coseni direttori degli assi del sistema (O; x0; y0; z0).Osserviamo che il modo per passare da un sistema all'altro con-

siste nell'e®ettuare, nell'ordine:

i. una rotazione Ã attorno all'asse (O; z) in modo da portare l'asse(O; x) sull'asse nodale (O;N);

ii. una rotazione μ attorno all'asse (O;N) in modo da portarel'asse (O; z) sull'asse (O; z0);


46 2 Cinematica

iii. una rotazione ' attorno all'asse (O; z0) in modo da portarel'asse nodale (O;N) sull'asse (O; x0).

Osserviamo che se i due piani (O; x; y) e (O; x0; y0) si sovrap-pongono allora μ = 0 (o μ = ¼) e la prima e la terza rotazionesono e®ettuate attorno allo stesso asse e possono essere sostituireda una rotazione dell'angolo Ã§'. Le formule di trasformazionepossono essere scritte in forma matriciale come0B@xy

z

1CA = EÃμ'0B@x

0

y0

z0

1CA ; EÃμ' = EÃEμE' (2.41)

dove

i. EÃ de¯nisce una rotazione Ã attorno all'asse (O; z)

EÃ =

0B@cosÃ ¡ sinÃ 0sinÃ cosÃ 00 0 1

1CA ;ii. Eμ de¯nisce una rotazione μ attorno all'asse (O;N )

Eμ =

0B@1 0 00 cos μ ¡ sin μ0 sin μ cos μ

1CA ;iii.E' de¯nisce una rotazione ' attorno all'asse (O; z0)

E' =

0B@cos' ¡ sin' 0sin' cos' 00 0 1

1CA :E®ettuando i prodotti si ottiene in¯ne

EÃμ' =

0B@®1 ¯1 °1®2 ¯2 °2®3 ¯3 °3

1CA=

0B@(cosÃ cos'¡ sinÃ cos μ sin') (¡ cosÃ sin'¡ sinÃ cos μ cos') (sinÃ sin μ)(sinÃ cos'+ cosÃ cos μ sin') (¡ sinÃ sin'+ cosÃ cos μ cos') (¡ cosÃ sin μ)(sin μ sin') (sin μ cos') (cos μ)

1CA



e, identi¯cando la (2.40) con la (2.41), si ottiene il risultato cercato:cio¶e una parametrizzazione dei coseni direttori in funzione di treparametri indipendenti.Determiniamo in¯ne l'espressione della velocitμa angolare ! nel

moto rigido istantaneo. Per determinare ! in funzione dei treparametri lagrangiani si osserva che il generico stato cinetico dirotazione puμo essere scritto come la composizione di tre stati ci-netici di rotazione aventi asse passante per O:

! = _Ãk + _μN + _'k0:

Proiettando ! sulla terna solidale si ottiene

! = p³0 + q´0 + rk0

dove

N = cos '³0 ¡ sin '´0k = (k ¢ ³0)³0 + (k ¢ ^0)´0 + (k ¢ k0)k0 = ®3³0 + ¯3^0 + °3k0

da cui segue8><>:p = _μ cos'+ _Ã®3 = _μ cos'+ _Ã sin μ sin'

q = ¡ _μ sin'+ _Ã¯3 = ¡ _μ sin'+ _Ã sin μ cos'

r = _'+ _Ã°3 = _'+ _Ã cos μ

(2.42)

2.2.8 Esercizi

Esercizio 2.2.8.1: Una lamina quadrata ABCD rigida di lato` μe, all'istante considerato t, soggetta ai seguenti quattro staticinentici di rotazione (!; A), (!; B), (¡!; C) e (¡!;D), dove ! μenormale alla lamina, nota che lo stato cinetico di rotazione (!; O1)μe lo stato cinetico avente velocitμa angolare ! e asse istantaneodi rotazione parallelo a ! e passante per O1. Studiare lo statocinetico risultante.

Esercizio 2.2.8.2: Il triangoloOAB, rettangolo, rigido, isoscele,retto in O e con cateti lunghi `, ha, all'istante considerato t, ilcateto OB sull'asse (O; z) e l'altro cateto OA sul piano (O; x; y)formante angoli uguali con gli assi (O;x) e (O; y). Del moto rigidosi conoscono all'istante t le velocitμa:


48 2 Cinematica

v(O) = vO ³ e v(B) = vBx ³ + vBy^:

Sapendo inoltre che il vettore velocitμa angolare ! = p³ + q^ + rkha componente nulla lungo l'asse z (r = 0), si chiede:

i. il vettore velocitμa angolare del corpo rigido;ii. la velocitμa del punto A;iii. tipo di stato cinetico all'istante t.

Esercizio 2.2.8.3: All'istante considerato t un cubo rigido dispigolo ` ha il vertice A nell'origine del sistema di riferimento ed ilati AB , AC e AD lungo gli assi (O; x), (O; y) e (O; z) ed μe dotato

di due stati cinetici di rotazione (!1 = 3a³; B) e (!2 = 4ak; D) edi uno stato cinetico di traslazione di velocitμa v0³; si domanda:

i. il vettore velocitμa angolare dello stato cinetico risultante;ii. la velocitμa del vertice E opposto ad A;iii. lo stato cinetico risultante;iv. se, all'istante considerato, lo stato cinetico risultante μe elicoidaledeterminare l'equazione dell'asse di Mozzi.

Esercizio 2.2.8.4: All'istante considerato t un cubo rigido dispigolo ` ha il vertice A nell'origine del sistema di riferimento ed ilati AB , AC e AD lungo gli assi (O; x), (O; y) e (O; z); sapendoche le velocitμa dei vertici B, E (di coordinate (`; `; 0)) e F (dicoordinate (`; `; `)) sono all'istante considerato t

v(B) = v0k; v(E) = ¡v0 ³ + vEy^ e v(F ) = vFy^+ vFz k;

dove v0 μe noto e vEy , vFy e vFz sono da determinare, si domanda:

i. la condizione di rigiditμa;ii. se, all'istante considerato, lo stato cinetico risultante μe elicoidaledeterminare l'equazione dell'asse di Mozzi;

iii. la velocitμa dei punti dell'asse di Mozzi.

Esercizio 2.2.8.5: Il triangolo rettangolo isoscele rigido ABCretto in A ha, all'istante considerato, il vertice A nell'origine delsistema di riferimento ed i cateti AB e AC, entrambi lunghi `,lungo gli assi (O; y) e (O; z); sapendo che le velocitμa dei verticisono all'istante t


2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi 49

v(A) = ¡K sin(−t)³ +K cos(−t)k

v(B) = vBy^+ vBz k

v(C) = vFz k;

dove K e − sono noti e vBy , vCz e vCz sono da determinare, sidomanda:

i. la condizione di rigiditμa del triangolo;ii. lo stato cinetico;iii. se, all'istante considerato, lo stato cinetico risultante μe elicoidaledeterminare la velocitμa dei punti dell'asse di Mozzi;

iv. se, all'istante considerato, lo stato cinetico risultante μe elicoidaledeterminare l'equazione dell'asse di Mozzi.

2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi

2.3.1 Velocitμa e accelerazione assolute e relative

Consideriamo due sistemi di riferimento (O; x; y; z) e (O0; x0; y0; z0)dove assumeremo il secondo mobile rispetto al primo, il primosistema prende il nome di sistema di riferimento ¯sso o assolutomentre il secondo prende il nome di sistema di riferimentomobileo relativo.Vogliamo ora studiare il moto assoluto di un punto P rispetto

al primo riferimento se μe noto il moto relativo di P rispetto alsecondo e se μe noto il moto dell'osservatore mobile rispetto a quello¯sso (e viceversa).

De¯nizione 2.18. Diremomoto di trascinamento il moto rigidodella terna mobile (O0; x0; y0; z0) e dei punti solidali con essa rispettoa quella ¯ssa.

Il moto assoluto di P μe dato dalla legge

P ¡O = (O0 ¡O) + x0³0 + y 0´0 + z0k0 (2.43)

dove x0 = x0(t); y0 = y0(t); z0 = z0(t) sono le equazioni delmoto relativo di P e dove i versori ³0, ^0 e k

0si muovono rispetto

all'osservatore assoluto. μE immediato provare che:


50 2 Cinematica

Teorema 2.19. Se denotiamo con va(P ) e vr(P ) le velocitμa delpunto P rispetto al sistema ¯sso (velocitμa assoluta) e rispettoal sistema mobile (velocitμa relativa) allora vale la seguente re-lazione:

va(P ) =dP

dt= vr(P ) + v¿(P )

dove

v¿ (P ) =dO0

dt+ ! £ (P ¡O0) (2.44)

μe la velocitμa di trascinamento, v± = dO0dt

e ! sono i vettoricaratteristici del moto del sistema mobile, e

vr(P ) = _x0³0 + _y 0´0 + _z0k0

μe l'espressione della velocitμa relativa.

Da ciμo segue che, in generale, ogni atto di moto assolutosi ottiene componendo i due atti simultanei di moto relativo e dimoto di trascinamento.

Teorema 2.20. Se denotiamo con aa(P ) e ar(P ) le accelerazionidel punto P rispetto al sistema ¯sso (accelerazione assoluta) erispetto al sistema mobile ( accelerazione relativa) allora sus-siste la seguente relazione:

aa(P ) =d2P

dt2= ar(P ) + a¿ (P ) + ac(P ) (2.45)

dove

a¿ (P ) =d2O0

dt2+ x0

d2 ³0

dt2+ y0

d2^0

dt2+ z0

d2k0

dt2(2.46)

μe l'accelerazione di trascinamento,

ar(P ) = Äx0³0 + Äy0´0 + Äz0k0

(2.47)

μe l'accelerazione relativa e

ac(P ) = 2

8<: _x0 d³0

dt+ _y0

d´0

dt+ _z0

dk0

dt

9=; = 2! £ vr(P ) (2.48)



μe l'accelerazione di Coriolis detta anche accelerazione com-plementare (sempre ortogonale all'asse del moto di trascina-mento e alla velocitμa relativa).

Da quanto detto in precedenza si ha che l'accelerazione di trasci-namento assume anche la forma

a¿ (P ) =d2O0

dt2+ _! £ (P ¡O0) + ! £ [! £ (P ¡O0)] (2.49)

2.3.2 Derivata vettoriale rispetto ad assi in moto

Se un vettore v(t) μe riferito ad una terna (O; x; y; z) resta de¯nitala derivata vettoriale di v come quel vettore che ha per compo-nenti, rispetto alla terna ¯ssata, le derivate delle componenti di v.Tale derivata non varia se calcolata rispetto ad un'altra terna sol-idale (o anche traslante) con la prima; essa varia, invece, quandocalcolata rispetto ad una terna in moto rispetto a quella data. De-

notiamo con³dvdt

Óla derivata (assoluta) di v rispetto alla terna

¯ssa (O; x; y; z) e con³dvdt

Ó0la derivata (relativa) di v rispetto

alla terna mobile (O0; x0; y0; z0). Possiamo supporre, al ¯ne del cal-colo della derivata vettoriale, O = O0. Sia P ¡ O = v, quindi i

due vettori³dvdt

Óe³dvdt

Ó0non sono altro che la velocitμa assoluta e

relativa di P ; quindi, se ! designa la velocitμa angolare della terna(O0; x0; y0; z0) rispetto alla terna (O; x; y; z), segue che:Ã

dv

dt

!O

=

Ãdv

dt

!O0+ ! £ (P ¡O0) =

Ãdv

dt

!O0+ ! £ v(2.50)

si noti che le due derivate coincidono sempre e solo quando siannulla ! £ v.Dalla (2.50), applicata al vettore !, segue che:Ã

d!

dt

!O

=

Ãd!

dt

!O0;

cio¶e nel moto di un sistema rigido la velocitμa angolare ha la stessaderivata rispetto alla terna ¯ssa e a quella solidale con il sistema.In particolare, osservando che la derivata di uno scalare μe indipen-dentente dalla terna di riferimento, segue che


52 2 Cinematica Ãdvers!

dt

!O

=

Ãdvers!

dt

!O0;

cio¶e:

Teorema 2.21. Se durante il moto di un sistema rigido l'asse dimoto ha direzione ¯ssa entro il sistema allora ha direzione¯ssa nello spazio e viceversa.

La (2.50) permette inoltre di dimostrare il seguente: ogni motoelicoidale uniforme ha, per qualsiasi centro di riduzione, vettoricaratteristici costanti rispetto agli assi mobili.

2.3.3 Precessioni regolari

Sia dato un sistema rigido S che ruota uniformemente intornoad un asse f solidale con esso; il quale, a sua volta, mantenendosisolidale ed incidente ad un asse ¯sso p, ruoti uniformementeintorno a quest'ultimo. Diremo precessione regolare il motoassoluto di S, generato dal moto di trascinamento di f intorno ap e dal moto relativo di S intorno a f (l'uno e l'altro moti relativiuniformi). L'asse p, ¯sso nello spazio, si dice asse di precessione;l'asse f , ¯sso nel corpo, asse di ¯gura; il punto O, comune ai dueassi, si dice polo della precessione.Se !1 μe la velocitμa angolare di S intorno a f (vettore di

lunghezza costante e di direzione e verso costante rispetto al sis-tema rigido) e !2 quella di f intorno a p (vettore di lunghezzacostante e ¯sso nello spazio), allora la velocitμa angolare ! dell'attodi moto rotatorio della precessione μe data ad ogni istante da! = !1 + !2 e l'asse di istantanea rotazione passa per O.Durante la precessione regolare il prodotto scalare !1 ¢ !2 ri-

mane costante. Infatti, il parallelogramma, individuato da !1 e!2 supposti applicati in O, pur ruotando uniformemente intornoal suo lato disposto lungo la p, conserva inalterata la sua con¯g-urazione. Inoltre la linea d'azione della velocitμa angolare ! dellaprecessione, cio¶e il rispettivo asse di moto, si mantiene inclinatadi un angolo costante tanto sulla p quanto sulla f . Infatti, se chi-amiamo ' l'angolo formato dall'asse di ¯gura e l'asse di moto siavrμa



cos' =! ¢ !1

!!1=!21 + !1 ¢ !2

!!1; ! =

p! ¢ ! =

q!21 + !

22 + 2!1 ¢ !2

costante. In modo analogo si prova che l'angolo formato dall'assedi precessione e l'asse di moto μe costante.Un esempio di precessione regolare μe fornito dal moto della

terra intorno al suo centro O. Infatti l'asse polare f non con-serva (rispetto alle stelle ¯sse) direzione invariabile, bensμ³ ruotaa sua volta uniformemente intorno ad una retta p di direzione¯ssa, passante per il centro terrestre O, ortogonale al pianodell'eclittica.

2.3.4 Esercizi

Esercizio 2.3.4.1: Un punto P si muove con legge nota x1 =x1(t) su una retta (O1; x1) che a sua volta ruota nel piano (O; x; y)attorno ad un asse normale a tale piano passante per O ´ O1 conlegge assegnata μ = μ(t), dove μ = dxOx1. Studiare il moto di Prispetto all'osservatore O facendo uso dei Teoremi di composizionedelle velocitμa e delle accelerazioni. Discutere poi i casi particolari:

a)

(_x1(t) = c_μ(t) = !

; c e ! costanti positive;

b)

(x1(t) = A cos(−t)μ(t) = !t

; A; − e ! costanti positive :

Esercizio 2.3.4.2: Un punto P si muove lungo una circon-ferenza di raggio R e centro O1 con legge μ = μ(t), a sua volta lacirconferenza trasla nel piano con legge

a)

(_x1(t) = cty1(t) = 0

; c μe una costante;

b)

(x1(t) = A cos(−t)y1(t) = 0

; A; e − costanti positive:

dove (x1; y1) sono le coordinate di O1 rispetto all'osservatore O.Studiare il moto di P rispetto all'osservatore O facendo uso deiTeoremi di composizione delle velocitμa e delle accelerazioni. Dis-cutere poi il caso particolare _μ = ! costante.


54 2 Cinematica

2.4 Cinematica dei sistemi

2.4.1 Sistemi olonomi

Si consideri, in generale, un sistema costituito da un numero Nqualsiasi di punti Ps; s = 1; 2; : : : ; N , i quali, anzich¶e liberamentemobili gli uni rispetto agli altri, siano vincolati ad assumere istanteper istante soltanto le posizioni rappresentabili mediante certe de-terminate funzioni di un numero n · 3N di parametri arbitariq1; q2; : : : ; qn ed, eventualmente, del tempo:

Ps = Ps(q1; q2; : : : ; qn; t); s = 1; 2; : : : ; N: (2.51)

Scalarmente avremo quindi 3N equazioni scalari negli argomentiqh ed, eventualmente, t; che noi supporremo univalenti, ¯nite, con-tinue e derivabili (¯no al II± ordine almeno) entro un determinatocampo di valori per gli argomenti.Ad un dato istante t le (2.51), al variare di qh entro il rispettivo

campo di valori, forniscono tutte e sole le possibili con¯gurazionidel sistema nell'istante considerato. μE manifesto che, se i vincolidipendono dal tempo, le con¯gurazioni possibili del sistema in undato istante t1 non coincidono, in generale, con quelle relative adun istante diverso t2.Se la matrice Jacobiana avente 3N colonne e n righeÃ@x1@qh

;@y1@qh

;@z1@qh

; : : : ;@xN@qh

;@yN@qh

;@zN@qh

!; h = 1; : : : ; n;(2.52)

ha rango massimo n per valori generici delle qh allora si dice che lacon¯gurazione del sistema varia se, e solo se, variano le coordinatelagrangiane (assumendo t ¯ssato) e si dice che n μe il grado dilibertμa del sistema. Quindi il grado di libertμa di un sistemaolonomo μe il numero di parametri essenziali da cui dipendonole sue con¯gurazioni in un generico istante.Se fra le 3N equazioni scalari, derivanti dalle (2.51), eliminiamo

le n coordinate lagrangiane otteniamo, nella ipotesi che la (2.52)abbia rango n, 3N ¡ n equazioni indipendenti fra le xs; ys; zs ed,eventualmente, il tempo:

fk(xs; ys; zs; t) = 0; k = 1; 2; : : : ; 3N ¡ n; (2.53)


2.4 Cinematica dei sistemi 55

le quali esprimono, analiticamente, le relazioni che, istante peristante, intercedono fra le posizioni simultanee dei singoli puntidel sistema. Esse si dicono vincoli o legami.Viceversa, se un sistema di N punti μe soggetto a ` equazioni

indipendenti della forma (2.53) allora, risolvendo le (2.53) rispettoad ` delle 3N coordinate xs; ys; zs e assumendo come parametrilagrangiani le rimanenti 3N ¡ `, si ottiene un sistema della forma(2.51).

De¯nizione 2.22. Un sistema soggetto a vincoli della forma (2.53)si dice olonomo. I parametri arbitrari q1; q2; : : : ; qn si chiamanocoordinate generali o lagrangiane del sistema.

De¯nizione 2.23. Se il tempo t non compare nelle (2.51) o,equivalentemente, nelle (2.53), il sistema olonomo si dice a vin-coli indipendenti dal tempo o scleronomi; altrimenti si dicea vincoli dipendenti dal tempo o reonomi.

Vediamo alcuni esempi:

i. Una ¯gura rigida mobile su di un piano μe un sistema olonomocon 3 gradi di libertμa, in quanto occorrono e bastano 2parametri per individuare la posizione di un suo punto M nelpiano ed un ulteriore parametro per ¯ssare la sua orientazioneattorno ad M ;

ii. Il sistema di due aste rigide mobili nel piano collegate a cernieraμe un sistema olonomo con 4 gradi di libertμa, perchμe la po-sizione della cerniera dipende da 2 parametri, ed altri 2 ne oc-corrono e bastano per individuare le orientazioni delle 2 aste;

iii. Una sbarra nello spazio μe un sistema olonomo con 5 gradi dilibertμa. Per ¯ssare infatti la con¯gurazione di un tale sistemabasta conoscere la posizione di un suo punto P , che dipendeda tre parametri, e la direzione della sbarra, che dipende dadue parametri (ad esempio l'angolo di nutazione e l'angolo diprecessione).

iv. Per un sistema rigido nello spazio i gradi di libertμa sono6, cio¶e tanti quanti quelli di una terna di assi (solidale conla ¯gura): tre parametri occorrono per ¯ssarne l'origine e trel'orientazione. Se il sistema ha un punto ¯sso allora il nu-mero di gradi di libertμa si riduce a 3. Se il sistema ha un


56 2 Cinematica

asse ¯sso invece il numero di gradi di libertμa si riducea 1.

Il moto del sistema risulterμa de¯nito quando le coordinate la-grangiane del sistema sono assegnate in funzione del tempo. Leequazioni

qh = qh(t); h = 1; 2; : : : ; n;

cui si dμa luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in co-ordinate lagrangiane. Per l'atto di moto del sistema, cio¶e per levelocitμa vs = v(Ps) dei suoi punti Ps, si ha, derivando le (2.51):

vs =dPsdt

=@Ps@t

+nXh=1

@Ps@qh

_qh s = 1; 2; : : : ; N: (2.54)

Coordinate lagrangiane sovrabbondanti

Se ad un sistema olonomo S di coordinate lagrangiane q1; q2; : : : ; qnsi impongono uno, o piμu, vincoli olonomi ulteriori allora questi sitraducono in una o piμu equazioni nelle qh (ed eventualmente neltempo):

fk(q1; q2; : : : ; qn; t) = 0; k = 1; 2; : : : ; `0; `0 · n; (2.55)

che potremo supporre fra loro indipendenti rispetto alle qh. Ilnuovo sistema che si ottiene μe ancora olonomo e il suo grado dilibertμa si riduce a n¡ `0. In particolare per ogni possibile sistemaolonomo di N punti si possono assumere come coordinate sovrab-bondanti le 3N coordinate cartesiane xs; ys; zs dei suoi N punti, lequali, se n μe il grado di libertμa del sistema, risulteranno legate fradi loro da ` = 3N ¡ n equazioni del tipo (2.53).

2.4.2 Sistemi anolonomi

Se ad un sistema olonomo di coordinate lagrangiane indipendentiqh, si impone un ulteriore vincolo olonomo

f(q1; q2; : : : ; qn; t) = 0; (2.56)

questo implica una limitazione, non soltanto per le con¯gurazionidel sistema, ma anche per i suoi spostamenti possibili. In partico-lare si ha il seguente vincolo di mobilitμa:

Pnh=1

@f@qh

_qh +@f@t= 0,

ottenuto derivando le (2.56).



Introduciamo il concetto di vincolo di mobilitμa espresso me-diante una forma di®erenziale lineare del tipo:

nXh=1

ahdqh + bdt = 0; (2.57)

o equivalentemente, essendo dqh = _qhdt,

nXh=1

ah _qh + b = 0;

dove le ah e b siano funzioni delle coordinate q1; q2; : : : ; qn ed,eventualmente di t, comunque pre¯ssate, anche se la (2.57) nonsia deducibile per di®erenzazione da una relazione in termini ¯niti(2.56) fra le qh ed, eventualmente, la t.

De¯nizione 2.24. Ogni vincolo di mobilitμa (2.57) non deducibileper di®erenzazione da una relazione in termini ¯niti tra le qh ed,eventualmente, t si dice anolonomo. Si dice omogeneo o no,secondo che la funzione b μe o no identicamente nulla. Diremo poisistema anolonomo ogni sistema soggetto ad uno o piμu vincolianolonomi.

La di®erenza tra i vincoli olonomi e anolonomi risiede nelfatto che questi ultimi non impongono alcuna limitazione allecon¯gurazioni del sistema ma implicano soltanto delle re-strizioni per gli spostamenti possibili del sistema, cio¶e perla sua mobilitμa.

Interpretazione geometrica dei vincoli olonomi e anolonomi

Come si puμo facilmente osservare il sistema meccanico a n gradidi libertμa ha vincoli olonomi indipendenti dal tempo sel'insieme delle sue con¯gurazioni μe individuato da una sottovarietμaregolare Vn, detto spazio delle con¯gurazioni, Vn£R prende ilnome di spazio-tempo delle con¯gurazioni.

Esempio di vincolo di mobilitμa integrabile

Consideriamo un disco rigido mobile nel piano (O; x; y) che si man-tenga sempre appoggiato all'asse (O; x) e che sia vincolato a


58 2 Cinematica

scorrere senza strisciare su quest'asse. Si possono assumerequali parametri lagrangiani la coordinata ascissa x del centro Cdel disco e l'angolo μ di rotazione. La condizione di puro rotola-mento implica v¿ (K) = 0 dove K μe il punto di contatto tra il discoe l'asse; v¿(K) μe la velocitμa di trascinamento. Questa condizionesi traduce nella relazione

_x+R _μ = 0

che rappresenta quindi un vincolo di mobilitμa omogeneo.Questo μe immediatamente integrabile e dμa la relazione

x = ¡Rμ + x0che rappresenta un vincolo olonomo. Osserviamo che se imponi-amo al disco di rotolare senza strisciare su un piano senza pre-¯ssare la traiettoria del punto di contatto allora il vincolodi puro rotolamento si traduce in due vincoli di mobilitμanon integrabili, cio¶e anolonomi.

Vincoli propriamente anolonomi

μE possibile poi caratterizzare ulteriormente i vincoli anolonomi.

De¯nizione 2.25. Diremo propriamente anolonomo un sis-tema se i vincoli di mobilitμa (2.57), cui esso μe soggetto, sono taliche non esista nemmeno una relazione

F (q1; q2; : : : ; qn; t) = Cost: (2.58)

il cui di®erenziale si possa porre sotto forma di una combinazionelineare delle (2.57).

Esempio di sistema propriamente anolonomo

Consideriamo una sfera rigida S costretta a rotolare senza strisciaresu di un piano ¯sso. Si posso scegliere come coordinate lagrangianedel nostro sistema i cinque parametri: x; y (coordinate dellaproiezione del centro C della sfera sul piano) e μ; Ã; Á (angolidi Eulero); ovviamente z = R. Ad ogni sistema di valori di questi5 parametri corrisponde una posizione della sfera a contatto con



il piano z = 0. Se queste 5 coordinate sono funzioni del tempo siottengono le equazioni di un moto della sfera S a contatto con ilpiano. Ma questo moto non μe, in generale, di puro rotolamento,bensμ³ implica, istante per istante, uno strisciamento della sferasul piano. La condizione di puro rotolamento implica che deve es-sere costantemente nulla la velocitμa di trascinamento del puntodi contatto K, il quale, in generale, varia da istante ad istantetanto sul piano ¯sso quanto sulla sfera. Denotando con v± e ! ivettori caratteristici del moto della sfera rispetto al suo centro C,si dovrμa avere, ad ogni istante, che la velocitμa di trascinamento diK sia nulla:

v¿ (K) = v± + ! £ (K ¡ C) = 0:Scalarmente:

_x¡RÂ = 0; _y +R¼ = 0 (2.59)

dove ¼; Â; ½ sono le componenti di ! rispetto agli assi ¯ssi dove

¼ = _μ cosÃ + _Á sin μ sinÃ; Â = _μ sinÃ ¡ _Á sin μ cosÃ (2.60)

da cui seguono, in particolare,

@¼

@Ã= ¡Â; @Â

@Ã= ¼: (2.61)

Le equazioni (2.59) sono le equazioni del vincolo di puro roto-lamento ed esse non si possono integrare. Infatti esse si possonoscrivere come (

_x¡R sinÃ _μ +R sin μ cosÃ _Á = 0_y +R cosÃ _μ +R sin μ sinÃ _Á = 0

e la condizione necessaria a±nchμe le (2.59) siano integrabili implicache siano veri¯cate le seguenti identitμa:

@(R sin μ cosÃ)

@μ=@(¡R sinÃ)

@Áe

@(R sin μ sinÃ)

@μ=@(R cosÃ)

@Á

che risultano manifestamente non veri¯cate identicamente.Inoltre, si puμo veri¯care che non esiste nessuna relazione (2.58) intermini ¯niti, fra le coordinate lagrangiane x; y; μ; Á; Ã e il tempo,la quale, derivata rispetto a t, conduca ad una combinazione lin-eare delle (2.59).


60 2 Cinematica

2.4.3 Spostamenti in¯nitesimi reali e virtuali

Spostamenti in¯nitesimi reali

Durante il moto del sistema olonomo soggetto alla (2.51) si ha chela velocitμa del generico punto Ps vale

v(Ps) =nXh=1

@Ps@qh

_qh +@Ps@t; s = 1; : : : ; N:

Pertanto il di®erenziale dPs, che rappresenta lo spostamento in-¯nitesimo reale del punto Ps, vale

dPs =nXh=1

@Ps@qh

dqh +@Ps@tdt; s = 1; : : : ; N:

Spostamenti in¯nitesimi virtuali

De¯nizione 2.26. Diremo spostamenti virtuali di un sistemaolonomo gli ipotetici spostamenti (in¯nitesimi) che sono atti a farpassare il sistema da una qualsiasi sua con¯gurazione ad un'altra(in¯nitamente vicina) relativa al medesimo istante.

Dato un sistema olonomo, lo spostamento subito da un suopunto Ps in uno spostamento virtuale dell'intero sistema si in-dica con ±Ps e le sue componenti secondo gli assi si denotano con±xs; ±ys; ±zs. Si trova per gli spostamenti virtuali, nel caso di unsistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane indipendenti,l'espressione generale

±Ps =nXh=1

@Ps@qh

±qh s = 1; 2; : : : ; N (2.62)

che risulta lineare omogenea nelle variazioni elementari (arbi-trarie e indipendenti) ±qh delle coordinate lagrangiane (anche se ivincoli dipendono dal tempo).Di fatto gli spostamenti (in¯nitesimi) sono una forma di®eren-

ziale lineare rispetto alle n variabili q1; q2; : : : ; qn.Componendo, a partire dalla stessa con¯gurazione del sistema,

due o piμu spostamenti virtuali, si ottiene ancora uno spostamentovirtuale.



Se i vincoli sono indipendenti dal tempo si ha che gli sposta-menti virtuali coincidono con i possibili spostamenti (in¯nitesimi)reali. In generale questo non μe vero; infatti se denotiamo con dPlo spostamento in¯nitesimo reale allora

dP =nXh=1

@P

@qhdqh +

@P

@tdt

che di®erisce da ±P per il termine @P@tdt.

Spostamenti virtuali dei sistemi anolonomi

Se il vincolo anolonomo era de¯nito mediante vincoli di mobilitμadel tipo (2.57) allora sarμa considerato come spostamento vir-tuale ogni spostamento ipotetico che sia atto a far passare il sis-tema da una con¯gurazione C ad un'altra in¯nitamente vicinaC 0, compatibile con lo stato dei vincoli al medesimo istante; conl'ulteriore condizione che anche l'ipotetico spostamentoobbedisca a quei medesimi vincoli di mobilitμa che sonoimposti ad ogni moto e®ettivo del sistema. Cio¶e la vari-azione ±qh delle coordinate lagrangiane dovrμa essere tale che:

nXh=1

ah±qh = 0: (2.63)

Cio¶e, per un sistema anolonomo, gli spostamenti virtuali sonodati dalle (2.62) dove i termini ±qh non sono piμu arbitari e indipen-denti, bensμ³ devono soddisfare i vincoli di mobilitμa.

Spostamenti invertibili

Dalla (2.62) segue che un sistema olonomo, ad ogni istante e a par-tire da ogni con¯gurazione, ammette insieme con ogni suo sposta-mento virtuale ±Pi anche il suo opposto ¡±Pi; cio¶e nei sistemiolonomi tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili. In-fatti se le ±qh soddisfano le (2.62) allora anche ¡±qh le soddisfano.

Spostamenti virtuali di un sistema rigido

I vincoli di rigiditμa sono espressi da equazioni della forma:


62 2 Cinematica

(xi ¡ x|)2 + (yi ¡ y|)2 + (zi ¡ z|)2 = cost; i; j = 1; : : : ; N:

e sono, manifestamente, olonomi e indipendenti dal tempo;quindi in un sistema rigido gli spostamenti (in¯nitesimi) virtualinon di®eriscono dagli spostamenti (in¯nitesimi) reali o e®ettivi.Questi ultimi rientrano nel tipo

dP = dO0 + adμ £ (P ¡O0) (2.64)

dove dO0 rappresenta lo spostamento (in¯nitesimo) del centro diriduzione e adμ la rotazione (in¯nitesima) attorno all'asse istan-taneo passante per O0 e, all'istante considerato t, avente verso edirezione dati da a; completamente arbitrari nel caso di un sistemarigido libero. In tal caso la (2.64) fornisce la rappresentazione ditutti gli spostamenti virtuali di un sistema rigido:

±P = ±O0 + !0 £ (P ¡O0);dove designamo a±μ con !0.Se il sistema rigido, invece che essere libero, ha un punto ¯sso,

conviene prendere tale punto come centro di riduzione O0; quindiil vettore caratteristico ±O0 μe sempre nullo. Il complesso di tuttigli spostamenti virtuali si riduce quindi a

±P = !0 £ (P ¡O0):

2.4.4 Sistemi a legami unilaterali

De¯nizione 2.27. Un sistema ad n gradi di libertμa

Ps = Ps(q1; : : : ; qn; t); s = 1; 2; : : : ; N; (2.65)

si dice soggetto a vincoli unilateri (di posizione), se le rispettivecoordinate lagrangiane debbono soddisfare ad un certo numero direlazioni (dipendenti o no dal tempo) del tipo:

Áj(q1; q2; : : : ; qn; t) · 0; j = 1; 2; : : : ; r: (2.66)

Viceversa si dicono bilateri i vincoli olonomi considerati prece-dentemente.

Fra le con¯gurazioni, di cui μe suscettibile un sistema (2.65)soggetto a vincoli unilateri, si dicono ordinarie quelle in cui le re-lazioni (2.66) sono soddisfatte tutte come vere disuguaglianze,



mentre si dicono con¯gurazioni di con¯ne quelle in cui almenouna delle (2.66) μe soddisfatta per uguaglianza.Un esempio tipico μe costituita da due punti P1 e P2 collegati

tra loro da un ¯lo inestendibile di lunghezza ¸: la relazione (2.66)diventa

(x2 ¡ x1)2 + (y2 ¡ y1)2 + (z2 ¡ z1)2 ¡ ¸2 · 0:Quando la distanza tra i due punti μe minore di ¸ allora saremonel caso di con¯gurazioni ordinarie, quando la distanza μe inveceesattamente ¸ allora saremo nel caso di con¯gurazioni di con¯ne.Estendendo ai sistemi a vincoli unilateri la de¯nizione di sposta-

mento virtuale avremo che, per un sistema (2.65), sottopostoai vincoli (2.66), ogni spostamento virtuale, a partire dalla con-¯gurazione di coordinate lagrangiane q1; q2; : : : ; qn, sarμa dato da±Ps =

Pnh=1

@Pi@qh±qh; s = 1; : : : ;N ; dove le variazioni ±qh delle co-

ordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni

Áj(q1 + ±q1; q2 + ±q2; : : : ; qh + ±qh; t) · 0; j = 1; 2; : : : ; r;ossia, a meno di in¯nitesi di ordine superiore al primo, alle

Áj(q1; q2; : : : ; qn; t) + ±Áj = Áj(q1; q2; : : : ; qn; t) +nXh=1

@Áj@qh

±qh · 0:(2.67)

Da ciμo segue che, per ragioni di continuitμa, a partire da una con-¯gurazione ordinaria, i vincoli unilaterali non impongono alcunalimitazione di mobilitμa. Se, invece, si parte da una con¯gurazionedi con¯ne, cio¶e da una con¯gurazione in cui si annulla almeno unadelle Áj , ad es. Áj0, la corrispondente relazione (2.67) impone lacondizione

±Áj0 =nXh=1

@Áj0

@qh±qh · 0: (2.68)

Segue che: i vincoli unilaterali implicano delle condizioniper gli spostamenti virtuali soltanto a partire dalle con-dizioni di con¯ne. Piμu precisamente: purch¶e si parta da unacon¯gurazione ordinaria, per un sistema a vincoli unilateri tuttigli spostamenti virtuali sono invertibili. Non cosμ³ se si muove dauna con¯gurazione di con¯ne, in particolare: a partire da una con-¯gurazione di con¯ne, gli spostamenti virtuali sono in generale


64 2 Cinematica

non invertibili. Sono invertibili tutti e solo quelli che con ognirelazione (2.66) soddisfatta per uguaglianza, soddisfano anche lacorrispondente ±Áj0 = 0.Ad esempio: un punto appoggiato al piano (¯sso) z = z0 deve

soddisfare alla relazione Á(x; y; z) · 0, dove Á(x; y; z) = z0 ¡ z:La (2.68) assume la forma ±Á = ¡±z. Se prendiamo spostamentivirtuali che lasciano il punto nel piano (cio¶e con ±x e ±y arbitrarie con ±z = 0) allora questi sono invertibili poich¶e per questi si ha±Á = 0. Se invece prendiamo spostamenti virtuali che ci spostanoil punto dal piano (cio¶e con ±z > 0) allora questi non sono invert-ibili.

2.4.5 Esercizi

Esercizio 2.4.5.1: Si consideri il sistema meccanico costituitoda un'asta rigida mobile nel piano (O; x; y) e soggetta al seguentevincolo: la velocitμa del punto medio dell'asta deve essere paral-lela all'asta stessa (pattino). Dimostrare che questo vincolo μeanolonomo, cio¶e tale vincolo di mobilitμa si traduce in una formadi®erenziale lineare non integrabile.


3

Generalitμa sui sistemi e grandezze meccaniche

3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica

3.1.1 Forza

Assumeremo come primitivo il concetto di forza dove intenderemoper forza ogni ente ¯sico capace di modi¯care il moto olo stato di quiete di un punto materiale rispetto ad undato osservatore e lo rappresenteremo matematicamente comeun vettore applicato (P;F) in cui P μe il punto di applicazione

della forza e F μe un vettore. μE possibile misurare la forza at-traverso un dinamometro, la direzione del dinamometro coincidecon la direzione della forza, ha verso opposto e l'elongazione deldinamometro μe proporzionale alla intensitμa della forza.

Sovrapposizione degli e®etti di forze simultanee

Qualunque sia il numero delle forze agenti sopra un punto ma-teriale (vettori applicati nel punto), esse sono sempre sostituibili,nei riguardi del moto del punto, con un'unica forza, rappresentatadalla loro risultante geometrica, che si dice forza totale applicataal punto.

3.1.2 Leggi di Newton

Enunciamo ora le seguenti 3 leggi della Meccanica che hanno ev-idenza sperimentale. Queste leggi derivano, sostanzialmente, conquelle poste da Newton (per una analisi delle leggi di Newton, della


66 3 Generalitμa sui sistemi e grandezze meccaniche

de¯nizione di forza e di massa μe opportuno approfondire mediantetesti opportuni, ad es. E. Mach "La Meccanica nel suo sviluppoStorico Critico").

I) Il Primo principio della Meccanica postula l'esistenza di al-meno un riferimento (O; x; y; z), detto riferimento assoluto,tale che un punto materiale che si trovi "lontano" dagli altrioggetti dell'universo risulti sottoposto a forza nulla in tale sis-tema di riferimento. Per de¯nizione di forza segue che talepunto sarμa in quiete rispetto a tale riferimento. Questoriferimento si identi¯ca sperimentalmente con un riferimentosolidale con la terra in prima approssimazione; con precisionemaggiore sono assoluti i sistemi di riferimento solidali con ilSole, con le stelle avente origine in una "stella ¯ssa" e con assiorientati verso altre tre "stelle ¯sse", etc.. Si de¯niscono usual-mente come forze assolute o vere le forze che agiscono su unpunto materiale osservato in questo riferimento.

II) Il Secondo principio della Meccanica postula l'esistenzadi una costante m > 0, caratteristica del punto materiale eindipendente dal sistema di riferimento scelto, tale che

ma = F

dove a μe l'accelerazione del punto e F μe il vettore della forzaapplicata sul punto misurate da uno stesso osservatore. Taleequazione prende il nome di equazione di Newton. La costantem prende il nome dimassa (inerziale) del punto μe puμo esseresperimentalmente misurata attraverso una massa-peso cam-pione.

III)Il Terzo principio della Meccanica, detto anche principiodi azione e reazione, postula che dati due corpi puntiformi Ae B, se su A μe applicata una forza (A;F) dovuta a B allora suB μe applicata la forza (B;¡F) dovuta a A ed entrambe hannola stessa linea d'azione (cioμe sono passanti per la congiungente)

3.1.3 Forze ¯ttizie

Consideriamo due osservatori (O; x; y; z) e (O0; x0; y0; z0) in mototra loro con moto qualsiasi e noto, dove il primo osservatore μe unosservatore assoluto. Il secondo principio della Meccanica a®ermache rispetto ai due osservatori sono valide le equazioni


3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 67

ma = F e ma0 = F0

dove a e a0 sono le accelerazioni di un punto libero P rispettoai due osservatori e F e F0 sono le forze misurate su P dai dueosservatori, la forza (F; P ) sarμa la forza assoluta applicata in P .Cerchiamo di studiare la relazione che lega F e F0. Dal Teoremadi composizione delle accelerazioni segue che

F0 = F¡ma¿(P )¡mac(P ):Il termine

F¿ (P ) = ¡ma¿ (P )prende il nome di forza di trascinamento e dipende dalla po-sizione del punto e, eventualmente, dal tempo. Il termine

Fc(P ) = ¡mac(P )prende il nome di forza di Coriolis o complementare e dipendedalla velocitμa relativa del punto e, eventualmente, dal tempo.Queste due forze prendono il nome di forze ¯ttizie.In Dinamica μe consuetudine chiamare moto assoluto il moto

riferito ad una qualsiasi terna che conservi posizione invariatarispetto al riferimento assoluto. Quando scriveremo

ma = F (3.1)

senza speci¯care altro allora le grandezze vettoriali F e a si pen-sano misurate in tale riferimento. L'equazione fondamentale (3.1)si conserva rigorosamente valida quando il moto del punto sia rifer-ito ad una qualsiasi terna, aninamata da un moto traslatoriouniforme rispetto al riferimento stellare poich¶e in tal casoF¿(P ) = Fc(P ) = 0. Tali terne si diranno terne inerziali ogalileiane. Ogni sistema di riferimento che si muove di mototraslatorio uniforme rispetto al riferimento assoluto si dice in-erziale.

3.1.4 Reazioni vincolari

Consideriamo un punto materiale P , comunque vincolato e sol-lecitato, e supponiamo di saper riconoscere le varie forze che



agirebbero su P se fosse libero, e indichiamone con (P;F) larisultante, che chiameremo forza attiva o direttamente ap-plicata. μE ovvio che il moto del punto vincolato μe dovuto nonsoltanto alla sollecitazione attiva, ma anche all'azione dei vincoli.In particolare vale il seguente:Postulato delle reazioni vincolari Per un punto materiale

comunque vincolato e sollecitato da forze, l'azione dei vincoli μesostituibile con quella di una forza aggiuntiva, che si dicereazione o forza vincolare denotata con Á.In virtμu di tale postulato l'equazione fondamentale della Di-

namica diventa:

ma = F+ Á: (3.2)

Le azioni dei vincoli si manifestano quindi mediante forze; esseperμo hanno proprietμa diverse dalle forze ordinarie applicate aicorpi, usualmente denotate forze attive per distinguerle dallereazioni vincolari. Infatti, mentre nei problemi concreti le forzeattive sono, in generale, note, le reazioni vincolari sono incog-nite. Molto spesso perμo si conoscono i punti di applicazione dellereazioni vincolari, che sono situati dove il vincolo agisce. Ad es-empio le reazioni dovute a un punto ¯sso sono sul punto stesso,quelle dovute ad un appoggio sui punti del corpo a contatto conl'appoggio. Talvolta μe poi possibile prevedere la direzione e an-che il verso della reazione vincolare; piμu precisamente assumiamovalido il seguente postulato di evidenza sperimentale:Postulato: La reazione vincolare applicata in un certo punto ha

direzione e verso opposto di uno spostamento (totalmente) proibitodi quel punto.Per spostamento totalmente proibito da P a P 0 (in un intorno

di P ) si intende uno spostamento ipotetico, impedito dalla naturadei vincoli e tale che lo porterebbe in P 0, P non puμo avvicinarsi aP 0 in nessun modo con spostamenti consentiti dai vincoli. Cosμ³,ad esempio, per un punto materiale P appoggiato ad un pianoorizzontale gli spostamenti (totalmente) proibiti sono solo quelliche porterebbero il punto P dentro al piano verticalmente, unospostamento di P verso il piano (ma non verticale) puμo essereinfatti realizzata mediante uno spostamente prima orizzontale (cheavvicina P a P 0) e poi verticale. In questo caso abbiamo che la



reazione vincolare μe necessariamente normale al piano e direttadal piano verso il punto, cio¶e μe determinata la direzione ed ilverso della reazione vincolare mentre rimane incognitala intensitμa. Altri casi di notevole interesse sono il caso di unpunto vincolato ad un piano, dove la reazione μe normale al pianoma di verso arbitrario, ed il caso di un punto ¯sso, dove tuttigli spostamenti sono (totalmente) proibiti e quindi la reazione μecompletamente indeterminata.

Commento alle leggi della Dinamica

A dispetto del nome (leggi di Newton) queste leggi sono enunciatein modo diverso da diversi autori e la stessa de¯nizione di forza emassa viene data in modo diverso. Secondo alcuni autori (ad es-empio Mach e poi Fasano-Marmi) la massa viene de¯nita a partiredal concetto di accelerazione, la forza (vedi Fasano-Marmi) vienede¯nita come ma, etc.. Qui si μe scelto di seguire la impostazionedi Gallavotti. Vogliamo anche ricordare l'impostazione propostada Gra± nella quale la prima legge della Dinamica coincide, es-senzialmente, con la nostra de¯nizione di forza. Di interesse anchela impostazione proposta da Romano.

3.1.5 Equilibrio di un punto materiale e legge del moto incipiente

De¯nizione 3.1. Si dice che un punto materiale μe in equilibrio,o che le forze che lo sollecitanto si fanno equilibrio, quando l'azionecomplessiva di queste forze μe tale da mantenere in quiete ilpunto; cio¶e non determina sul punto, a partire dalla quiete, alcunavariazione di velocitμa.

Dalla (3.2) risulta che per l'equilibrio di un punto, vale a direperch¶e esso abbia un'accelerazione costantemente nulla, occorre ebasta, che si annulli la forza attiva, se si tratta di un puntolibero, o la risultante della forza attiva e della reazione, sesi tratta di un punto vincolato. In quest'ultimo caso condizionenecessaria e su±ciente per l'equilibrio μe che la forza attiva siadirettamente opposta alla reazione. Piμu precisamente:

Teorema 3.2. Condizione necessaria e su±ciente per l'equilibriodi un punto materiale μe che esista un sistema di reazioni vincolari,



compatibili con la natura dei vincoli, tale da equilibrare le forzeattive.

Legge del moto incipiente

Supponiamo che un punto P , ad un dato istante t0, cominci amuoversi a partire dalla quiete, sotto la sollecitazione di un forzanon nulla di vettore F. Dovendo essere

F(t0)

m= a(t0) = lim

t!t0v(t)¡ v(t0)t¡ t0 = lim

t!t0

v(t)

t¡ t0segue, per continuitμa, che la direzione ed il verso del motonell'istante t immediatamente successivo a t0 coincidonocon quelli di F; in altri termini si ha che

v(t) =F(t0)

m(t¡ t0) + o(t¡ t0):

3.1.6 Forze posizionali e forze conservative

Nella Meccanica, in generale, se consideriamo un punto P soggettoa forze dovute alla presenza di altri corpi e al moto dell'osservatorerispetto ad un riferimento inerziale si osserva che la forza (P;F)ha vettore F che dipende, oltre che dalla posizione P del punto,anche dal tempo t e dalla velocitμa v = _P del punto stesso:

F = F(P; _P ; t):

Noi, nel seguito, supporremo tale dipendenza regolare. Se il puntofosse isolato e l'osservatore inerziale tale forza avrebbe vettore F =0. Se, invece di un punto solo, consideriamo un sistema di N puntiPs, s = 1; : : : ; N , soggetti alla forza dovuta alla presenza di altricorpi, al moto dell'osservatore rispetto ad un riferimento inerziale ealla mutua interazione tra i punti Ps si osserva che la forza (Ps;Fs)ha vettore Fs che dipende dalle posizioni dei punti, dal tempo edalle velocitμa dei punti:

Fs = Fs(P1; : : : ; Pn; _P1; : : : ; _PN ; t) = Fs(Pr; _Pr; t); r = 1; : : : ;N:

Se, in particolare, tutti i punti Pr, r 6= s, sono ¯ssi rispetto alriferimento in cui si sta considerando il moto (tra loro) allora si



avrμa Fs = Fs(Ps; _Ps; t). Osserviamo poi che le forze tra i puntiPs (e tra i punti e gli eventuali vincoli) dipendono e®ettivamentedalle mutue posizioni Ps¡Pr e dalle mutue velocitμa _Ps¡ _Pr; quindipossiamo concludere che queste forze interne e le reazioni vincolarinon dipendono dall'osservatore.

Forze posizionali

De¯nizione 3.3. Una forza applicata nel punto P e di vettore F,si dirμa posizionale se F μe esprimibile come vettore funzione diP :

F = F(P ):

Ossia, indicando con Fx; Fy; Fz le componenti di F rispetto a treassi e con x; y; z le coordinate della posizione di P , sarμa:

Fx = Fx(x; y; z); Fy = Fy(x; y; z); Fz = Fz(x; y; z):

De¯nizione 3.4. La regione spaziale C, in cui μe de¯nita una forzaposizionale, si dice campo di forza. Un campo di forza si dicesi dice uniforme se la rispettiva forza μe costante (di direzione edi intensitμa).

De¯nizione 3.5. Data una forza posizionale e quindi de¯nito uncampo di forza diremo linee di forze (o linee del campo) le curve° che in ogni punto P risultano tangenti al vettore F della forzaapplicato in P .

Si ha che per ogni punto passa una, ed una sola, linea di forza(purch¶e la forza non sia nulla) e le linee di forza risultano de¯nitecome le curve integrali del sistema

dx

Fx=dy

Fy=dz

Fz:

Infatti, sia P = P (t) una rappresentazione paramentrica di talecurva. Allora deve essere _P (t) = ½F[P (t)] dove ½ > 0. Suppo-nendo, per ¯ssare le idee, _x(t) 6= 0, μe possibile esprimere (almenolocalmente) y = y(x) e z = z(x) ottenendo ½Fy = _y = dy

dx_x =

dydx½Fx e quindi

dydx= Fy

Fx; analogamente si trova dz

dx= Fz

Fx.



Forze conservative

Tra i campi di forza sono particolarmente interessanti quelli il cuiprodotto scalare F ¢ dP della forza F del campo, applicata in P ,per un qualsiasi spostamento elementare dP = dx³+dy^+dzk delpunto di applicazione P μe il di®erenziale esatto di una funzioneU di P :

F ¢ dP = Fx(x; y; z)dx+ Fy(x; y; z)dy + Fz(x; y; z)dz = dU:(3.3)Tali campi di forza si dicono conservativi, e la funzione U(x; y; z),che noi supporemo uniforme (=monodroma, cio¶e ad un sol valore),¯nita, continua e derivabile, almeno ¯no al II± ordine, in tutto ilcampo, si dice potenziale del campo ed μe de¯nita a meno di unacostante additiva.Scrivendo la (3.3) in forma esplicita

Fxdx+ Fydy + Fzdz =@U

@xdx+

@U

@ydy +

@U

@zdz

e, notando che questa identitμa deve sussistere per qualsiasi sceltadello spostamento elementare dx; dy; dz deve essere:

Fx =@U

@x; Fy =

@U

@y; Fz =

@U

@zcio¶e F = rU: (3.4)

In particolare: la derivata del potenziale secondo una di-rezione qualsiasi non μe altro che la componente della forzadel campo secondo quella direzione.Dalle (3.4) si trovano le tre relazioni:

@Fy@z

=@Fz@y

;@Fz@x

=@Fx@z

;@Fx@y

=@Fy@x

; (3.5)

cio¶e l'esistenza di un potenziale implica condizioni restrittiveper le tre funzioni Fx; Fy; Fz di x; y; z: in altri termini una forzaposizionale F non μe in generale conservativa.La condizione (3.5) μe sotto alcune condizioni pure su±ciente

per de¯nire una forza conservativa. Piμu precisamente:

Teorema 3.6. Condizione necessaria a±nch¶e una forza (P;F)sia conservativa μe che essa sia posizionale e che la (3.5) sia ver-i¯cata. Condizione su±ciente a±nch¶e una forza (P;F) siaconservativa μe che essa sia posizionale e che la (3.5) sia veri¯catasu un dominio C semplicemente connesso.



Dimostrazione. Rimane da dimostrare la parte su±ciente: sup-poniamo, per semplicitμa, che il punto P si muova nel piano (O; x; y)e che sia Fz ´ 0; quindi Fx = Fx(x; y), Fy = Fy(x; y) e la (3.5) siriduce alla condizione

@Fx@y

=@Fy@x

vera per ogni (x; y) 2 C nel piano. Il dominio C, essendo sem-plicemente connesso e piano, allora non contiene "buchi" e, per¯ssare le idee, assumiamo sia del tipo C = [a1; a2] £ [b1; b2]. Sia(x0; y0) 2 C ¯ssato e sia (x; y) 2 C qualunque, de¯niamo

U(x; y) =Z x

x0Fx(»; y)d» +

Z y

y0Fy(x0; ´)d´ (3.6)

e proviamo che

@U

@x= Fx e

@U

@y= Fy:

La prima veri¯ca μe immediata. Per ciμo che riguarda la secondaveri¯ca assumendo che Fx sia su±cientemente regolare1 in mododa potere derivare sotto il segno di integrale; cosμ³ facendo si ottieneche

@U

@y=Z x

x0

@Fx(»; y)

@yd» + Fy(x0; y) =

Z x

x0

@Fy(»; y)

@xd» + Fy(x0; y)

= Fy(x; y)¡ Fy(x0; y) + Fy(x0; y) = Fy(x; y)completando cosμ³ la dimostrazione. Nel caso generale in cui laforza dipenda anche dalla variabile z il ragionamento puμo esserefacilmente esteso quando C = [a1; a2] £ [b1; b2] £ [c1; c2] e doveprendiamo

U(x; y; z) =Z x

x0Fx(»; y; z)d» +

Z y

y0Fy(x0; ´; z)d´ +

Z z

z0Fz(x0; y0; ³)d³:

1 Piμu precisamente si assume che, vedi Teorema 9.1 a pag. 257 del Giusti, la funzioneFx(»; y) sia integrabile rispetto a » e di classe C

1 rispetto a y, inoltre assumiamoche esistano due funzioni g0(x) e g1(x) integrabili tali che jFx(»; ´)j · g1(») e¯@Fx(»;´)

@»

¯· g1(»).



Osserviamo che questo caso, a di®erenza del caso in cui C μepiano, non μe il piμu generale poich¶e nello spazio μe possibile avereinsiemi semplicemente connessi con "buchi". Osserviamo ancheche la dimostrazione fornita μe di tipo costruttivo, ovvero vienefornita con la (3.6) l'espressione esplicita del potenziale.In un campo di forze conservativo di potenziale U , si dicono

super¯ci equipotenziali le super¯ci de¯nite dalla condizioneU(x; y; z) = Cost:. Se al punto di applicazione della forza si fasubire uno spostamento elementare dP sulla super¯cie equipoten-ziale allora, in quanto U si mantiene costante, F ¢dP = 0, quindi laF μe ortogonale a dP . Poich¶e ciμo vale qualunque sia lo spostamentoelementare dP sulla super¯cie equipotenziale, allora in un campoconservativo le linee di forza sono le traiettorie ortogonalialle super¯ci equipotenziali.

Esempi di campi conservativi

i. μE conservativo ogni campo uniforme. Se F μe il vettore dellaforza (costante di intensitμa, verso e direzione) allora (con una

opportuna scelta degli assi) F = F k e F ¢ dP = Fdz μe undi®erenziale esatto, integrando si ottiene U = Fz+U0, dove U0μe una costante additiva arbitraria.

ii. La forza ha direzione ¯ssa e intensitμa dipendente esclusivamentedalla distanza del punto di applicazione da un certopiano ¯sso, ortogonale alla direzione della forza. Scelto questopiano come piano di riferimento z = 0 allora F = Á(z)k, quindiF ¢ dP = Á(z)dz μe un integrale esatto, integrando si ottieneU(z) =

R zz0Á(¿ )d¿ + U0.

iii. La forza μe, in ogni punto P , diretta verso un certo punto ¯ssoO ed ha intensitμa dipendente esclusivamente dalla dis-tanza ½ = OP , del punto di applicazione dal centro O (forzacentrale):

F = Á(½)r; r =1

½(P ¡O):

Il prodotto scalare F ¢ dP si puμo esprimere come prodotto dellecomponenti F e di dP secondo la stessa direzione P ¡O:

F ¢ dP = Á(½)r ¢ d(½r) = Á(½)r ¢ [d½r + ½dr] = Á(½)d½



poich¶e r ? dr. Quindi F ¢dP = Á(½)d½ μe un di®erenziale esattoe integrando si ottiene:

U(½) =Z ½

½0Á(¿ )d¿ + U0:

Le super¯ci equipotenziali U(½) = Cost: sono le sfere concen-triche in O: ½ = Cost:.

iv. Diamo un esempio di potenziale non univalente (=polidroma,cio¶e a piμu valori) in due dimensioni. Immaginiamo introdotte lecoordinate polari e sia la forza (P;F) del campo, in un genericopunto del piano P , distinto dall'origine O, cosμ³ de¯nita: F hadirezione normale al raggio vettore P ¡ O, verso delle anoma-lie crescenti, intensitμa k=½ con k costante. Abbiamo esclusol'origine. Il prodotto scalare F ¢ dP = kdμ, e quindi kμ si puμoconsiderare come potenziale del campo. Si noti che U non μefunzione univalente del posto; infatti, partendo da un puntoP e girando attorno all'origine con continuitμa si torna a P conU incrementato (o decrementato) di 2¼k. Osserviamo che, incomponenti cartesiane, si ha

Fx = ky

x2 + y2e Fy = ¡k x

x2 + y2

e che la condizione (3.5) viene veri¯cata; osserviamo perμo che ciμovale sul dominio R2¡f(0; 0)g che non μe semplicemente connesso.

3.1.7 Lavoro

Sia (P;F) una forza variabile qualsiasi, cio¶e, per considerare il casopiμu generale, dipendente dal tempo, dalla posizione del suo puntodi applicazione P , e della rispettiva velocitμa _P . Sia de¯nito per ilpunto P un moto qualsiasi

P = P (t) ossia x = x(t); y = y(t); z = z(t): (3.7)

Pertanto, durante tale moto del punto di applicazione, il vettore

F = F[ _P (t); P (t); t]

risulta de¯nita come funzione esclusivamente del tempo.



De¯nizione 3.7. Diremo lavoro compiuto dalla forza (P;F) cor-rispondente al moto (3.7) del punto di applicazione fra due istantigenerici t1 e t2, o dalla posizione P (t1) alla posizione P (t2), lagrandezza scalare:

L =Z t2

t1F ¢ vdt =

Z t2

t1(Fx _x+ Fy _y + Fz _z) dt; (3.8)

dove, a secondo membro, compare un integrale de¯nito ordinario.

Da ciμo segue che, nel caso piμu generale, il lavoro dipendedalla traiettoria e dalla legge oraria con cui la traiettoriaviene percorsa dal punto, inoltre il lavoro dipende anchedal tempo t.

Lavoro delle forze posizionali

In questo caso non μe necessaria la conoscenza delle equazioni delmoto del punto di applicazione del punto P , ma basta conoscerela traiettoria. Infatti, se

P = P (s); ossia x = x(s); y = y(s); z = z(s) (3.9)

sono le equazioni di tale traiettoria allora la forza posizionale havettore

F = F(P )

che, mentre P percorre tale traiettoria, risulta de¯nito come fun-zione della sola variabile s. Tenendo presente che dP = vdt segueche il lavoro compiuto dalla forza (F; P ) lungo la curva (3.9) fradue punti generici P1 = P (s1) e P2 = P (s2) sarμa determinatodall'integrale curvilineo

L =Z t2

t1F ¢ vdt =

Z°P1;P2

F ¢ dP =Z°P1;P2

dL (3.10)

dove dL = F ¢ dP prende il nome di lavoro in¯nitesimo e doveabbiamo operato il cambio di variabile t! P (t), °P1;P2 μe la traiet-toria percorsa dal punto P nell'intervallo [t1; t2]. Osservando chev = _st e dP = dst allora si puμo esprimere il lavoro ¯nito L come

L =Z s2

s1Ftds =

Z s2

s1

ÃFxdx

ds+ Fy

dy

ds+ Fz

dz

ds

!ds



dove Ft μe la componente del vettore della forza riguardo alla di-rezione tangente alla traiettoria in P nel verso delle s crescenti.Dalla (3.10) si puμo dedurre che se si inverte il verso del cammino

del punto di applicazione, il lavoro di una forza posizionale cambiaverso.Nel caso di forze posizionali μe allora evidente che il lavoro non

dipende esplicitamente dal tempo t, inoltre dalla (3.10) appareanche evidente che il lavoro non dipende dalla legge oraria masolo dalla traiettoria.

Lavoro delle forze conservative

Per questa classe di forze posizionali si veri¯ca la circostanza cheper il calcolo del lavoro non si richiede nemmeno la conoscenzadella traiettoria del punto di applicazione della forza, ma basta nesiano assegnati gli estremi P1 e P2. Infatti:

dL = F ¢ dP = dUdove U(x; y; z) rappresenta il potenziale. Integrando la (3.10), siottiene per il lavoro L lungo un qualsiasi cammino del punto diapplicazione da P1(x1; y1; z1) a P2(x2; y2; z2) il valore

L = U(x2:y2; z2)¡ U (x1; y1; z1): (3.11)

Pertanto abbiamo il seguente risultato.

Teorema 3.8. Qualunque sia il cammino descritto dal punto diapplicazione di una forza conservativa entro il suo campo, il lavoroda essa compiuto μe uguale alla di®erenza di potenziale frala posizione di arrivo e quella di partenza del punto diapplicazione.

In particolare:

Corollario: Il lavoro compiuto da una forza conservativa lungouna curva chiusa μe nullo.

Tale proprietμa μe caratteristica per le forze conservative (eda alcuni autori μe posta come de¯nizione di forza conservativa).Cio¶e se per una forza F il lavoro compiuto per un qualsiasi



cammino del punto di applicazione, fra due punti gener-ici P1 e P2 di una certa regione spaziale C, dipende es-clusivamente dalle posizioni estreme P1; P2 (e non dallatraiettoria), la F μe conservativa. Infatti, sia P0, di coordinate(x0; y0; z0), ¯ssato e sia P , di coordinate (x; y; z), variabile in C;possiamo quindi de¯nire la seguente funzione scalare univalente

U(x; y; z) = U (x; y; z)¡ U (x0; y0; z0) = LP0;Pdove si μe scelta la costante adittiva del potenziale tale che U siannulli in P0. Dato P e dato lo spostamento in¯nitesimo dP ab-biamo che tale relazione diventa, a meno di in¯nitesimi di ordinesuperiore,

LP0;P + F ¢ dP = LP0;P + LP;P+dP = LP0;P+dP= U(x+ dx; y + dy; z + dz) = U(x; y; z) + dU

dove abbiamo usato il fatto che LP;P+dP = dL = F ¢ dP . Da ciμorisulta che deve essere

F ¢ dP = dUe quindi la forza μe conservativa.Se consideriamo il lavoro di una forza come una forma di ener-

gia ¯sica, ceduta o eventualmente sottratta al suo punto di appli-cazione, constatiamo che questa energia μe complessivamentenulla per un generico ciclo; vi μe dunque, nel senso accen-nato, conservazione di energia.

3.1.8 Lavoro ed energia cinetica

De¯nizione 3.9. De¯niamo energia cinetica di un punto ma-teriale P il semi-prodotto

T =1

2mv2 (3.12)

dove m μe la massa e v μe il modulo della velocitμa v di P .

Il lavoro elementare compiuto dalla forza (F; P ) per uno sposta-mento elementare da essa impresso al punto materiale cui μeapplicata μe dato da



dL = dT (3.13)

dove dT denota il di®erenziale (calcolato rispetto al tempo) dell'energiacinetica. Infatti abbiamo separatamente che

dL = F ¢ dP e dT =d

dt

μ1

2mv2

¶dt = ma ¢ vdt = ma ¢ dP

e queste due quantitμa coincidono dovendo essere F = ma perl'equazione fondamentale della Dinamica. Osserviamo che, sta-volta, abbiamo assunto che il moto (3.7) non μe qualsiasi ma μe ilmoto impresso dalla forza F al punto P . La (3.13) giusti¯ca ilseguente Teorema:

Teorema 3.10 (Teorema della forza viva). Durante il motodeterminato da una forza su di un punto materiale libero,il lavoro elementare della forza μe, per ogni intervallo in¯nitesimodt, uguale (in valore e segno) all'incremento subito nel medesimointervallo dall'energia cinetica del punto.

In termini piμu precisi questo teorema a®erma che il di®erenziale(rispetto al tempo) dell'energia cinetica durante il moto coincidecon il lavoro in¯nitesimo reale dL = F ¢ dP dove dP μe lo sposta-mento in¯nitesimo reale.Si consideri ora il lavoro L compiuto da F su P nell'intervallo di

tempo da un istante ¯sso t0 ad un istante variabile t. Integrandola (3.13) da t0 a t, otterremo:

L = T ¡ T0; (3.14)

dove T0 indica la energia cinetica del punto nell'istante t0; cio¶e: lavariazione che, in un qualsiasi intervallo di tempo, subiscel'energia cinetica di un punto libero sollecitato μe ugualeal lavoro compiuto in quell'intervallo di tempo dalla forzatotale sollecitante. In particolare T ¡ L = T0 = Cost:, cio¶e lasomma tra l'energia T , che il mobile possiede ad ogni istante sottoforma di energia cinetica, e l'energia¡L, che da un generico istantet0 in poi esso μe andato cedendo all'esterno sotto forma di lavoro,rimane costante (energia totale). Nel caso di forze conservative,essendo l'energia ¡L uguale al potenziale U cambiato di segno (ameno di costanti addittive), allora l'energia meccanica totale,denotata con E, ha espressione



T ¡ U = E(equazione delle forza viva). La¡U si chiama energia poten-ziale (usualmente denotata con V ). Si ha quindi che:

Teorema 3.11 (Principio di conservazione dell'energia mec-canica). Durante il moto determinato da una forza conservativasu di un punto materiale libero la grandezza meccanica

T + V = E (3.15)

si mantiene costante.

Osserviamo che la (3.15) a®erma che, essendo P = P (t) la leggedel moto, allora si deve avere che

1

2mv2(t) + V [P (t)] = E; 8t ¸ t0:

3.1.9 Esercizi

Esercizio 3.1.9.1: Calcolare i seguenti potenziali:

i. potenziale della forza peso di vettore ¡mg^;ii. potenziale della forza costante di vettore a³ + b´ + ck;iii. potenziale di una forza centrale di vettore f (½)r dove r μe unversore diretto dal punto di applicazione ad un punto ¯sso edove ½ μe la distanza tra il punto di applicazione e il punto ¯sso;

iv. potenziale della forza di attrazione gravitazionale.

Esercizio 3.1.9.2: Sia data la forza posizionale (P;F = 3y³ +2x´), dove P ha coordinate (x; y; z); calcolare il lavoro compiutoda questa forza quando:

i. il punto P di applicazione della forza percorre la parabola y =Kx2, K costante positiva, partendo dall'origine ¯no al puntodi ascissa a;

ii. il punto P di applicazione della forza percorre il segmento ret-tilineo di estremi l'origine ed il punto (a;Ka2);

iii. confrontando i due risultati rispondere alla domanda: la forzadata μe conservativa?


3.2 Cenni sull'attrazione Newtoniana 81

Esercizio 3.1.9.3: Sia data la forza posizionale

(P;F = ay³ + ax´ + ck)

con a e c costanti. Si domanda:

i. veri¯care che la forza data ammette la funzione U (x; y; z) =axy + cz come potenziale;

ii. facendo uso della funzione potenziale U calcolare il lavoro dellaforza quando il punto P di applicazione passa da P1(0; 0; 0) aP2(R;R; 0);

iii. per altra via determinare il lavoro della forza quaindo il puntoP passa da P1 a P2 lungo:

- un arco di circonferenza di centro C(R; 0; 0) e raggio R,- un segmento rettilineo che congiunge direttamente P1 conP2,

- due segmenti rettilinei, il primo che congiunge P1 con C edil secondo che congiunge C con P2.

Esercizio 3.1.9.4: Dimostare che la forza

(P;F = (3x2y ¡ y2)³ + (x3 ¡ 2xy + 1)´)μe conservativa, calcolarne la funzione potenziale e il lavoro dellaforza quando il suo punto di applicazione passa da P1(3;¡2; 0) aP2(1; 3; 0).

3.2 Cenni sull'attrazione Newtoniana

3.2.1 Potenziale

Dati due punti materiali P e Q un osservatore inerziale misurasu questi, in virtμu del III± principio di Newton, due forze ugualied opposte e dirette lungo la congiungente, che si esercitano,rispettivamente, sopra P e sopra Q. μE utile considerarne unasola, per es. quella risentita dal punto P ; diremo quindi Q punto(o massa) potenziante e P punto potenziato. L'attrazioneNewtoniana esercitata da Q, riguardata come dipendente dallaposizione di P e pensando Q ¯sso, ha intensitμa che vale f mm1

r2ed

μe diretta verso Q, dove f μe la costante (positiva) di attrazione



universale, m; m1 sono le masse gravitazionali dei due punti e r laloro distanza. Pertanto risulta essere una forza centrale (pensandoQ ¯sso) e quindi conservativa. Il potenziale μe, a meno di unacostante additiva,

U = fmm1

r:

In generale, considerando il punto P come punto potenziato,supponiamo vi sia un numero qualsiasi di punti potenzianti Qi.Prescindendo dalla massa m di P , chiameremo potenziale New-toniano la funzione

U = fXi

mi

jP ¡Qij (3.16)

La U , considerata come funzione delle coordinate x; y; z del puntoP , μe ¯nita e continua per tutti i punti dello spazio, fattasoltanto eccezione per i punti potenzianti Qi.Un breve calcolo prova che:

@ 1ri

@x=@[(x¡ xi)2 + (y ¡ yi)2 + (z ¡ zi)2]¡1=2

@x

= ¡12

2(x¡ xi)[(x¡ xi)2 + (y ¡ yi)2 + (z ¡ zi)2]3=2 = ¡

x¡ xir3i

;

e

@2 1ri

@x2= ¡ 1

r3i+ 3

(x¡ xi)2r5i

e quindi si osserva che

¢U =@2U

@x2+@2U

@y2+@2U

@z2= 0;

cio¶e U μe una funzione armonica.Nel caso di masse potenzianti continue di densitμa ¹ e occu-

panti il volume S avremo che per ogni punto potenziato P , es-terno al campo S occupato dalle potenzianti, le componentidell'attrazione sono ancora date dalle derivate del potenziale U ,che ha l'espressione

U = fZS

¹

rdS:


3.2 Cenni sull'attrazione Newtoniana 83

Tale potenziale, come funzione delle coordinate x; y; z di P , μe¯nito, continuo e derivabile a piacere.In particolare vale la regola di derivazione sotto il segno di

integrale:

@U

@x= f

ZS¹@ 1r

@xdS:

Derivando ulteriormente si veri¯ca che:

¢U = fZS¹¢

μ1

r

¶dS = 0:

Notiamo che, a di®erenza del caso di un numero ¯nito di puntipotenzianti, il caso di masse distribuite con continuitμa ammette,per il potenziale e per le sue derivate, che il punto potenziato Psi avvicini al campo o, addiritura, lo penetri. Consideri-amo anzitutto il potenziale di una distribuzione di materia a tredimensioni U = U(x; y; z); se il punto P (x; y; z) va a sovrapporsi,o tende, ad un punto Q(x; y; z) del corpo la funzione integrandadiventa in¯nita, ma poich¶e il suo ordine di in¯nito μe 1 allora essa simantiene integrabile e il potenziale U risulta ¯nito e continuo,insieme alla sua derivata prima, non soltanto fuori dalla massapotenziante ma anche sul contorno e all'interno. Nel caso diuna distribuzione della materia a due dimensioni allora il poten-ziale U (x; y; z) μe ¯nito e continuo per ogni punto potenziato P .In¯ne nel caso di distribuzione lineare della materia l'integraleU = f

R`¹rd` diventa in¯nito sulla linea potenziante `.

3.2.2 Appendice: Attrazione di una super¯cie sferica ¾ omogenea

L'attrazione complessiva di una super¯cie sferica omoge-nea μe nulla in tutti i punti P interni alla sfera. Quindi intutto lo spazio interno a ¾ (dove l'attrazione μe nulla) il potenziale

U (x; y; z) = fZ¾

¹

rd¾

ha un valore costante, dove ¹ = mj¾j =

m4¼R2

μe la densitμa della

super¯cie sferica; per determinare tale valore basterμa calcolarloper un punto particolare, scelto a piacere, e converrμa scegliere il



centro della sfera in cui r = R μe costante, dove R μe il raggio dellasfera. Risulta quindi U = f m

R.

Nel caso di un punto potenziato esterno alla sfera distante½ > R dal centro O avremo che: U = f m

½, cio¶e una super¯ce sferica

omogenea agisce sui punti esterni come se tutta la massa fosseraccolta nel centro.

3.2.3 Appendice: Attrazione di una corona sferica omogenea diraggi R1 ed R2 (R1 > R2 ¸ 0)

Noi possiamo pensare di realizzare la corona mediante coronesferiche comprese tra i raggi ½ e ½+ d½. Utilizzando i risultati giμatrovati per la super¯cie sferica omogenea segue che nei punti in-terni alla cavitμa l'attrazione μe nulla ed il potenziale μe costantedentro la cavitμa e vale

U = 4¼fZ R1

R2¹sds = 2¼f¹(R2

1 ¡R22) dove ¹ =m

4¼(R31 ¡R3

2)=3

μe la densitμa della corona sferica.Nel caso di punto potenziato esterno alla corona, ½ > R1,

poich¶e ogni elemento della massa potenziante agisce sul puntocome se la relativa massa fosse tutta raccolta in O, segue che ilpotenziale avrμa ancora l'espressione U = f m

½dove m sta a des-

ignare la massa totale della corona.Consideriamo in¯ne un punto potenziato interno alla corona

potenziante R2 · ½ · R1. Il potenziale si puμo calcolare approf-ittando della circostanza che per ogni distribuzione di volume, ilpotenziale e le sue derivate prime si mantengono ovunque fun-zioni ¯nite e continue (malgrado la singolaritμa della funzioneintegrando sotto il segno di integrale per P interno alla corona).Il potenziale si puμo riguardare come somma di due contributi, unodovuto alla corona interna e l'altro dovuto alla corona esterna:

U = 4¼fZ R1

½¹sds+

4¼f

½

Z ½

R2¹s2ds = 4¼f¹

ÃR212¡ ½2

6¡ R3

2

3½

!

=3fm

R31 ¡R3

2

ÃR212¡ ½2

6¡ R3

2

3½

!:

Le super¯cie equipotenziali sono sfere concentriche e le linee diforza sono i relativi raggi, cosμ³ l'attrazione μe una forza centrale che


3.3 Geometria delle masse 85

ha O per centro di forza. La componente radiale Á μe data da dUd½:

Á =dU

d½=

8>><>>:0 0 · ½ · R2¡ fm

½2½3¡R32R31¡R32

R2 · ½ · R1¡ fm

½2½ > R1

: (3.17)

Si noti che, anche all'interno della corona potenziante,l'attrazione μe sempre diretta verso il centro.Il caso della attrazione dovuta ad una sfera piena e omogenea

rientra nel caso appena studiato ove si ponga R2 = 0.

3.3 Geometria delle masse

Abbandoniamo per un attimo la visione particellare della Mecca-nica e ammettiamo che la massa di un corpo non sia necessaria-mente concentrata in un punto ma sia distribuita in modo continuosu tutta una regione dello spazio.

3.3.1 Densitμa

I corpi ¯sicamente omogenei sono caratterizzati dalla proprietμache le masse delle loro parti sono proporzionali ai respet-tivi volumi. Indicando con S il volume di un qualsiasi corpoomogeneo C, con m la sua massa e con ¢S e ¢m il volume e lamassa di una qualsiasi sua parte, avremo ¹ = ¢m

¢S= m

Sdove questo

rapporto μe costante e indipendente dalla porzione ¢S scelta. Di-remo questo rapporto densitμa del corpo omogeneo C.Passando al limite avremo

¹ =dm

dS(3.18)

cio¶e ¹ fornisce il rapporto tra la massa di una porzione in¯nitesimadel nostro corpo e il corrispondente volume in¯nitesimo. Scriver-emo

dm = ¹dS (3.19)

e la massa m dell'intero corpo C si potrμa rappresentare conl'integrale



m =ZS¹dS = ¹S

esteso a tutta la regione S di spazio occupata da C ritrovando, inaccordo con quanto giμa visto, ¹ = m

S.

Generalizziamo tali concetti ad un corpo non omogeneo:de¯niremo densitμa del corpo la funzione ¹(P ), dipendente solodal punto P 2 S, tale che

¢m =Z¢S¹dS (3.20)

dove ¢S μe il volume di una parte qualunque del corpo e ¢m lasua massa. Cio¶e ammetteremo come caratteristica di ungenerico corpo naturale C l'esistenza della densitμa locale¹ e quindi, in particolare, integrabile nei punti P del campo Soccupato dal corpo. La funzione ¹ ha le dimensioni di una massasu un volume: m`¡3. La massa m μe data da

m =ZS¹dS: (3.21)

Nel caso in cui la massa sia distribuita su una super¯cie ¾ o suuna curva ° allora, in analogia al caso precedente, si introduceuna densitμa super¯ciale (di dimensione m`¡2) o una densitμalineare (di dimensione m`¡1) e la (3.21) deve essere sostituita,rispettivamente, da un integrale super¯ciale o curvilineo

m =Z¾¹d¾ o m =

Z°¹ds:

La densitμa ¹ rappresenta, dal punto di vista matematico, unamisura; nel caso in cui questa si riduca alle misure atomiche deltipo ± di Dirac allora ritroviamo la usuale rappresentazione parti-cellare.

3.3.2 Baricentro di un sistema discreto di punti materiali

De¯nizione 3.12. Diremo baricentro o centro di gravitμa delsistema, costituito da un numero ¯nito N di punti Ps di massams, il punto G individuato dall'equazione vettoriale

G¡O =

PNs=1ms(Ps ¡O)

m; dove m =

NXs=1

ms (3.22)



μe la massa totale del sistema ems sono le masse dei punti matarialiPs costituenti il sistema; O μe un qualsiasi punto (geometrico) diriferimento.

Osserviamo che dalla (3.22) segue immediatamente che

NXs=1

ms(Ps ¡G) = 0:

La (3.22) si puμo proiettare lungo assi assegnati:

xG =

PNs=1msxsm

; yG =

PNs=1msysm

; zG =

PNs=1mszsm

; (3.23)

dove xG; yG; zG designano le coordinate del baricentro e xs; ys; zsquelle dei punti Ps.Diamo alcune ovvie proprietμa:

i. Se tutti i punti Ps appartengono ad un medesimo piano o aduna medesima retta, lo stesso avviene per il loro baricentro.

ii. De¯niamo momento statico di un punto P di massa mrispetto ad un piano ¼, il prodotto di m per la sua distanzadal piano (distanza con segno in base al riferimento ¯ssato).Allora, facendo coincidere il piano ¼ con il piano z = 0, dallaterza delle (3.23) segue che: la somma dei momenti staticidelle masse di un sistema, rispetto ad un generico piano¼, coincide con il momento statico della massa totale,supposta localizzata nel baricentro.

iii. Proprietμa distributiva del baricentro: siano S 0 ed S 00 due sitemimateriali (costituiti da un numero ¯nito N 0 ed N 00 di punti).Il baricentro del sistema S formato dai punti di S0 e di S00 puμoessere calcolato come il baricentro tra due punti P 0 e P 00 postinei baricentri di S 0 ed S 00 e aventi masse m0 ed m00 uguali allemasse totali dei due sistemi S 0 ed S 00.

iv. Se tutti i punti Ps sono contenuti in un insieme convesso allorail baricentro stesso vi appartiene.

Mentre le i., ii. e iii. sono evidenti la iv. necessita di una di-mostrazione. Supponiamo per assurdo che il baricentro sia es-terno. Poich¶e un dominio convesso (assumendo per semplicitμa cheil suo contorno sia regolare) si puμo ottenere come l'inviluppo di



tutti i suoi piani tangenti allora esiste un piano che divide il bari-centro dal dominio. Il momento statico del baricentro, rispetto atale piano, avrμa quindi segno opposto a quello del sistema cadendoquindi in assurdo.Osserviamo che tale dimostrazione si basa sul fatto che il con-

torno del dominio μe regolare. μE possibile dare una dimostrazionealternativa diretta che non necessita di ipotesi sul contorno del do-minio ma che fa uso della seguente proprietμa degli insiemi convessi:dati due punti qualsiasi apparteneneti all'insieme allora anche ognipunto del segmento congiungente vi appartiene. Consideriamo oradel sistema di punti S contenuti nel convesso i primi due punti ecalcoliamone il loro baricentro. Esso appartiene al segmento con-giungente e quindi μe interno al convesso. Calcoliamo ora il bari-centro tra un terzo punto P3 di S ed il baricentro dei primi duepunti appena trovato al quale assegnamo massa m1 +m2. Anchequesto nuovo baricentro apparterrμa al convesso. Insomma, proce-dendo in N ¡ 1 passi alla ¯ne si troverμa il baricentro totale di S equesto sarμa ancora interno al convesso.

Piani diametrali di simmetria

Si dice che un sistema S di punti materiali possiede un piano di-ametrale ¼, coniugato ad una assegnata direzione r (non parallelaal piano), quando ad ogni punto di S ne fa riscontro un altro, diegual massa, situato sulla parallela ad r passante per il primo,alla stessa distanza dal piano ¼ e dalla banda opposta. I punti,che cosμ³ si corrispondono, si chiamano coniugati. Un piano di-ametrale ¼ si chiama in particolare piano di simmetria quandola direzione coniugata r μe perpendicolare al piano.Segue che: se un sistema possiede un piano diametrale,

o in particolare un piano di simmetria, il baricentro giacein questo piano. Infatti, le coppie di punti coniugati hanno illoro baricentro nel punto medio del segmento congiungente, cio¶esul piano diametrale. In particolare: se un sistema ammette piμupiani diametrali, questi hanno necessariamente almeno un puntoin comune, cio¶e il baricentro del sistema.



Momento polare

De¯nizione 3.13. De¯niamo come momento polare di un sis-tema S, rispetto ad un punto O, la somma dei prodotti delle massems dei punti Ps di S per i quadrati delle loro distanze da O, cio¶eil numero:

MO =NXs=1

msjO ¡ Psj2:

Teorema 3.14 (Teorema del Lagrange). Si puμo caratterizzareil baricentro di un generico sistema come quel punto dello spazioper cui il momento polare risulta minimo.

Dimostrazione. Infatti si prova direttamente che

MO =NXs=1

msjO ¡ Psj2

=NXs=1

msjO ¡Gj2 +NXs=1

msjG¡ Psj2 + 2NXs=1

ms(G¡ Ps) ¢ (O¡G)

=MG +mjO¡Gj2

poich¶ePNs=1ms(G¡ Ps) = 0.

3.3.3 Baricentro di un corpo, di una super¯cie e di una lineamateriale

Nel caso di sistemi continui il baricentro di un corpo μe de¯nitodall'espressione vettoriale

G¡O =RS(P ¡O)¹dSR

S ¹dS(3.24)

dove S μe la regione dello spazio occupata dal corpo e ¹ ne μe lasua densitμa. Dalla (3.24), proiettata sugli assi, si ottengono per lecoordinate xG; yG; zG di G, le espressioni

xG =

RS x¹dSRS ¹dS

; yG =

RS y¹dSRS ¹dS

; zG =

RS z¹dSRS ¹dS

: (3.25)

Tali formule restano valide anche per un qualsiasi super¯cie o lineamateriale, quando si intenda ¹ la densitμa super¯ciale o lineare e



al campo di integrazione a tre dimensioni una super¯cie o, rispet-tivamente, una curva.I risultati giμa visti nel caso di un sistema discreto di punti con-

tinuano a sussistere.Consideriamo il baricentro di alcune ¯gure elementari:

Lamina triangolare omogenea

Osservando che ciascuna mediana μe linea diametrale coniugata alladirezione del lato che essa dimezza allora il baricentro appartienead ogni mediana e quindi il baricentro μe dato dalla intersezione trale mediane (piμu precisamente si ha che, ¯ssato un lato come base,il baricentro si trova sulla corrispondente mediana, ad un terzodella sua lunghezza a partire dalla base).

Arco di circonferenza omogenea

Sia AB l'arco avente un angolo al vertice ® e raggio r, O il centrodella circonferenza ed M il punto medio dell'arco. La retta OMμe manifestamente un asse di simmetria, quindi il baricentro sta sutale retta. Per precisare la posizione diG su tale retta si procede alseguente calcolo: introducendo un sistema di coordinate cartesianeaventi centro O e l'asse OM quale asse (O; y) allora abbiamo che

xG = 0 e yG =1

m

ZAB¹yds

dove m μe la massa dell'arco e ¹ la sua densitμa data da ¹ = m=r®.

Introducendo l'angolo μ = dPOM , dove P μe un generico puntosull'arco, l'integrale prende la forma

yG =1

r®

Z ®=2

¡®=2r cos μrdμ =

r

®

Z ®=2

¡®=2cos μdμ =

2r

®sin(®=2):

Questo risultato puμo essere anche rivisto nel seguente modo: as-sumendo 0 · ® · 2¼ ed essendo AB = 2r sin(®=2) la lunghezzadella corda congiungente A e B e S = r® la lunghezza dell'arco,allora segue che

OG = rAB

S:



3.3.4 Momenti di inerzia

De¯nizione 3.15. Sia P un punto materiale di massa m, r unaretta generica, d la distanza di P da r. Per momento di inerziadi P rispetto all'asse r, si intende il prodotto md2 della massa diP per il quadrato della sua distanza dall'asse. In generale, datoun sistema S, costituito da N punti materiali Ps di massa ms, sichiamerμamomento di inerzia Ir del sistema rispetto all'asser, la somma dei momenti di inerzia dei singoli suoi punti:

Ir =NXs=1

msd2s; (3.26)

dove indichiamo con ms la massa del punto generico Ps del sistemae con ds la sua distanza da r. Nel caso di masse distribuite concontinuitμa nel volume S il momento di inerzia μe dato da:

Ir =ZSd2¹dS

dove d μe la distanda dall'asse del generico elemento dS di campointorno a un punto P e ¹ denota la densitμa.

Nel seguito discuteremo le proprietμa principali dei momenti diinerzia supponendo di operare con una distribuzione discreta dicorpi puntiformi. I risultati ottenuti valgono anche nel caso piμugenerale di distribuzione continua dove, nelle dimostrazioni, bastasostituire alle somme gli integrali.

Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli

Teorema 3.16 (Teorema di Huyghens). Il momento di inerziaIr di un sistema S rispetto ad un asse r μe uguale al momento diinerzia Ir0 rispetto all'asse parallelo r0, passante per il baricen-tro, aumentato del prodotto della massa totale m per il quadratodella distanza d tra questi due assi:

Ir = Ir0 +md2:Segue che, tra tutti gli assi paralleli a una direzione data, quelloper cui il momento di inerzia μe minimo passa per il baricentro.



Dimostrazione. Scegliamo un sistema di riferimento (O; x; y; z) incui O coincide con il baricentro, l'asse (O; z) con l'asse r0 e l'asse rcon l'asse di equazioni y = 0 e x = d. Rispetto a questo sistema diriferimento e assumendo che il sistema sia costituito da un numerodiscreto di punti avremo che

Ir0 =NXs=1

ms(x2s + y

2s ) e Ir =

NXs=1

ms((xs ¡ d)2 + y2s )

che sviluppata dμa

Ir =NXs=1

ms(x2s + y

2s + d

2 ¡ 2dxs)

=NXs=1

ms(x2s + y

2s) + d

2NXs=1

ms ¡ 2dNXs=1

msxs = Ir0 +md2

essendoPNs=1msxs = mxG = 0 poich¶e G = O.

Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti

Teorema 3.17. Sia data una retta r, sia (O; x; y; z) un sistemadi riferimento ortogonale destro con O appartenente alla retta r,siano ®; ¯; ° i coseni direttori della retta r (comunque orientata)rispetto agli assi coordinati. Si prova che il momento di inerziadi un dato sistema S rispetto alla retta r vale:

Ir = A®2 + B¯2 + C°2 ¡ 2A0®¯ ¡ 2B0®° ¡ 2C0¯° (3.27)

dove si μe posto:8><>:A = Ix =PN

s=1ms(y2s + z2s )

B = Iy =PNs=1ms(x2s + z

2s )

C = Iy =PNs=1ms(y

2s + x

2s)

e

8><>:A0 =PN

s=1msxsysB0 =PN

s=1msxszsC0 =PN

s=1msyszs

(3.28)

Dimostrazione. la dimostrazione si e®ettua con un calcolo direttoosservando che la distanza ds di un punto Ps da un asse passanteper O avente direzione individuata da un versore r = ®³ + ¯^+ °kμe data da

ds = j(Ps ¡O)£ rj =¯¯det

0B@ ³ ^ kxs ys zs® ¯ °

1CA¯¯

=q(ys° ¡ zs¯)2 + (xs° ¡ zs®)2 + (xs¯ ¡ ys®)2:



Quindi

Ir =NXs=1

msd2s =

NXs=1

ms

h(xs¯ ¡ ys®)2 + (xs° ¡ zs®)2 + (ys° ¡ zs¯)2

i

=NXs=1

ms

h(x2s + z

2s )¯

2 + (y2s + z2s )®

2 + (x2s + y2s)°

2+

¡2xsy2®¯ ¡ 2x2z2°® ¡ 2yszs¯°]completando cosμ³ la dimostrazione.

La (3.27) determina il momento di inerzia, rispetto ad ognidirezione ®; ¯; °, passante per O, in funzione delle sei costantiA; B; C; A0; B0 e C0, che dipendono dalla natura del sistemama non del particolare asse r. Si noti che la (3.27) μe unafunzione quadratica e omogenea nelle ®; ¯; °; in particolarerimane inalterata quando invertiamo ®, ¯ e ° con ¡®, ¡¯ e ¡°.I coe±cienti A; B; C hanno un signi¯cato ovvio, sono i mo-

menti di inerzia di S rispetto agli assi coordinati. Gli altritre coe±cientiA0; B0; C0 si chiamano prodotti di inerzia o anchemomenti di deviazione.Si noti che il calcolo dei tre momenti d'inerzia si puμo e®ettuare

come:

A = s2 + s3; B = s1 + s3; C = s2 + s1; (3.29)

dove s1; s2; s3 sono i momenti di inerzia del sistema S rispetto aipiani coordinati:

s1 =NXs=1

msx2s; s2 =

NXs=1

msy2s ; s3 =

NXs=1

msz2s : (3.30)

3.3.5 Ellissoide d'inerzia e assi principali

Immaginiamo di portare su ciascun raggio (determinato da ®; ¯; °)uscente da O il segmento di lunghezza (perdendone il signi¯catodimensionale)

OL =1pIr ; cio¶e x = ®=

qIr; y = ¯=

qIr e z = °=

qIr;



dove Ir μe la funzione quadratica di ®; ¯; ° de¯nita dalla (3.27).Escludendo il caso particolare che tutti i punti appartenganoad una medesima retta passante per O, il momento di inerziaIr = Ir(®; ¯; °) non puμo essere mai nullo. Perciμo 1pIr μe, in cor-rispondenza ad ogni raggio, un numero ¯nito ed il luogo E deipunti L costituisce una super¯cie chiusa simmetrica rispetto alpunto O. Designando ora con x; y; z le coordinate di un genericopunto L e essendo ® = x

pIr; ¯ = ypIr; ° = z

pIr; la (3.27)diventa:

Ax2 + By2 + Cz2 ¡ 2A0yz ¡ 2B0zx¡ 2C0xy = 1; (3.31)

che μe l'equazione di una quadrica E che, essendo chiusa, μe un el-lissoide il cui centro μe O.

De¯nizione 3.18. L'ellissoide E di equazione (3.31) si chiama el-lissoide d'inerzia relativo al punto O.

Noto tale ellissoide si ha subito il momento di inerzia rispettoad ogni retta r passante per O. Infatti, essendo L uno dei duepunti in cui r incontra l'ellissoide, sarμa Ir = 1

OL2. Da qui risulta

che, tra tutti gli assi condotti per O, quello che dμa il piμu pic-colo momento di inerzia μe l'asse maggiore dell'ellissoide,quello che dμa il piμu grande momento di inerzia μe l'asse mi-nore dell'ellissoide. Gli assi dell'ellissoide di inerzia si chiamanoassi principali di inerzia relativi al punto considerato e,assumendoli, come assi coordinati, la (3.31) si riduce alla formaparticolare

Ax2 + By2 + Cz2 = 1;in questo caso A; B; C prendono il nome di momenti di inerziarelativi agli assi principali omomenti principali di inerzia.

Calcolo di ellissoidi d'inerzia

Premettiamo le seguenti osservazioni che facilitano il calcolo dell'ellissoided'inerzia:

i. Se un sistema S ammette un piano di simmetria, ogni perpen-dicolare a questo piano μe asse principale di inerzia rispetto al



suo piede, cio¶e rispetto all'ellissoide di inerzia avente centrodato dalla intersezione tra l'asse ed il piano. Infatti, sia z = 0questo piano; quindi ad ogni punto Ps di coordinate (xs; ys; zs)e massa ms corrisponde attraverso la simmetria un punto Pj dicoordinate (xj = xs; yj = ys; zj = ¡zs) e massa mj = ms. Daciμo segue che i momenti di deviazione

B0 =NXs=1

msxszs e C 0 =NXs=1

msyszs

sono nulli poich¶e le somme si possono organizzare come unaserie di somme di due elementi aventi stessa massa, stesse co-ordinate xs e ys e coordinata zs opposta. Inoltre se un sistemapossiede due piani ortogonali di simmetria, questi sono neces-sariamente piani principali dell'ellissoide di inerzia relativo adun punto qualsiasi della loro intersezione.

ii. Sia il sistema S appartenente ad un piano e sia il centro Odell'ellissoide appartenente anch'esso al piano. Scegliamo il sis-tema di coordinate (O;x; y; z) con z ortogonale al piano. Il pi-ano (O; x; y), in quanto contenente la ¯gura, μe manifestamenteun piano di simmetria materiale e quindi l'asse z μe un asseprincipale d'inerzia: B0 = C0 = 0. Inoltre vale anche la seguenteproprietμa, essendo zs = 0 per ogni punto Ps allora:

C =Xs

ms(x2s + y

2s ) =

Xs

ms(x2s + z

2s ) +

Xs

ms(y2s + z

2s ) = A+ B:

Vediamo alcuni esempi:

Lamina rettangolare omogenea

Volendo calcolare l'equazione dell'ellissoide d'inerzia di centro O,dove O coincide con uno dei vertici della lamina, sia (O;x; y; z)scelto in modo che la lamina sia contenuta nel piano (O; x; y) eche gli assi (O; x) e (O; y) siano paralleli ai lati del rettangolo inmodo che lamina sia tutta nel primo quadrante. Siano i lati dilunghezza a e b. Essendo ¹ = m=ab si ha che:

A =Zlamina

¹y2dxdy =m

ab

Z a

0dxZ b

0y2dy =

1

3mb2:



Analogamente segue che B = 13ma2 e quindi C = A+B = 1

3m(a2+

b2). Per ciμo che riguarda il momento di deviazione abbiamo cheB0 = C0 = 0 e che

A0 =Zlamina

¹xydxdy =m

ab

Z a

0xdx

Z b

0ydy =

1

4mab:

Disco piano omogeneo

Calcoliamo l'equazione dell'ellissoide d'inerzia di centro O, doveO coincide con il centro del disco. Sia (O; x; y; z) scelto in modoche il disco sia contenuto nel piano (O; x; y). L'asse z μe un asseprincipale d'inerzia e inoltre, poich¶e ogni asse passante per il centroe appartenente al piano (O; x; y) μe di simmetria, segue che anche gliassi x e y sono principali di inerzia; in¯ne si osservi che ruotando di¼=2 il disco il sistema materiale si presenta invariato allora segueche A = B e che quindi A = B = 1

2C. Rimane dunque da calcolare

solo C, sia R il raggio del disco e ¹ = m=¼R2, si ha che:

C =Zdisco

¹(x2 + y2)dxdy =m

¼R2

Z 2¼

0dμZ R

0r2rdr =

1

2mR2:

3.3.6 Matrice d'inerzia

Matrice d'inerzia

Fissata una terna (O; x; y; z) si de¯nisce la matrice d'inerzia

I =

0B@I11 I12 I13I21 I22 I23I31 I32 I33

1CAdove

I11 = A; I22 = B; I33 = Ce

I12 = I21 = ¡A0; I13 = I31 = ¡B0; I23 = I32 = ¡C0:Quindi si ha che l'equazione dell'ellissoide di inerzia puμo essereanche scritta come



(x; y; z)I

0B@xyz

1CA = 1 o, in modo piμu, sintetico vT Iv = 1; v =

0B@xyz

1CA :Usando le notazioni introdotte nel primo capitolo si ha che, as-

segnata la base (O; x; y; z) gli elementi della matrice d'inerzia sonoIij e cambiando il sistema di riferimento mediante una matrice or-togonale A allora la nuova matrice d'inerzia assume la forma

I 0 = AIAT :

Gli assi principali d'inerzia sono gli autospazi della matriced'inerzia ed i corrispondenti momenti di inerzia ne sono gli autoval-ori ¸1, ¸2 e ¸3 (supposti distinti). La ricerca delle terne principalidi inerzia equivale alla diagonalizzazione della matrice d'inerzia.Nel riferimento principale la matrice d'inerzia ha infatti rappre-sentazione

I =

0B@¸1 0 00 ¸2 00 0 ¸3

1CADeterminazione di due assi principali d'inerzia noto il terzo

Scegliamo un sistema di riferimento (O; x; y; z) dove O μe il centrodell'ellissoide e (O; z) coincide con l'asse principale d'inerzia noto.La corrispondente matrice d'inerzia ha quindi la forma

I =

0B@I11 I12 0I21 I22 00 0 ¸3

1CAdove assumiamo I12 6= 0 (poich¶e altrimenti il problema μe giμarisolto). E®ettuiamo una rotazione del piano (O; x; y) su sμe stessoin modo da lasciare l'asse (O; z) invariato; la matrice ortogonaleche de¯nisce questa rotazione μe data da

A =

0B@cos' sin' 0¡ sin' cos' 00 0 1

1CAdove ' denota l'angolo dx0Ox. Rispetto al nuovo sistema di riferi-mento la matrice d'inerzia assume la forma



I 0 = AIAT =

0B@I011 I

012 0

I 021 I022 0

0 0 ¸3

1CA dove I 012 = (I22 ¡ I11) sin 2'+ 2I12 cos 2':

Gli assi principali d'inerzia hanno direzione tale che I 012(') = 0,cio¶e:

i. se I11 = I22 allora deve essere cos 2' = 0, ' = §¼=2 e gliassi principali d'inerzia coincidono con le bisettrici del piano(O; x; y);

ii. se I11 6= I22 allora deve essere tan2' = 2 I12I11¡I22 ed i due val-

ori che soddisfano questa equazione danno i due assi principalid'inerzia.

3.3.7 Ellissoide centrale di inerzia

De¯nizione 3.19. L'ellissoide di inerzia avente come centro ilbaricentro G del sistema si dice ellissoide centrale di inerzia.

Si ha che:

Teorema 3.20. Ogni asse principale di inerzia dell'ellissoide cen-trale di inerzia μe asse principale di inerzia anche rispetto adogni altro suo punto.

Infatti sia, per l'ipotesi, l'asse (G; z) principale di inerzia:

B0 =Xs

msxszs = 0 e C0 =Xs

msyszs = 0:

Prendendo ora un altro punto O sull'asse (G; z), distante d dalbaricentro, come centro dell'ellissoide di inerzia (lasciando gli assiinalterati) e calcolando i prodotti d'inerzia rispetto a questo nuovosistema di riferimento abbiamo che

B01 =NXs=1

msys(zs ¡ d) =NXs=1

msyszs ¡ dNXs=1

msys = B0 ¡mdyG = 0

dove sono nulli sia B0 che la coordinata yG del baricentro in quantoquesto appartiene all'asse z. Analogamente si prova che C01 = 0.Viceversa:



Corollario: Se una retta μe asse principale d'inerzia rispetto adun suo punto, e passa per il baricentro, allora μe asse prin-cipale di inerzia rispetto al baricentro (e quindi rispetto adogni altro suo punto).

Si noti che, assegnati (oltre alla massa totale) gli assi e i mo-menti principali relativi al baricentro, allora si riesce a caratteriz-zare in modo completo la distribuzione dei momenti di inerzia diun dato sistema.

3.3.8 Esercizi

Esercizio 3.3.8.1: Calcolare il baricentro del sistema costituitoda un'asta OP omogenea lunga 2` e massa 2m avente nell'estremoP una pallina di massam e collegata ad angolo retto inO con l'astaOA omogenea lunga 4` e massa 5m.

Esercizio 3.3.8.2: Calcolare le coordinate del baricentro di unarco omogeneo di raggio R e massam corrispondente ad un angoloal centro di ampiezza ®.

Esercizio 3.3.8.3: Calcolare il baricentro di un settore circo-lare omogeneo di raggio R e con angolo al centro ®.

Esercizio 3.3.8.4: Calcolare il baricentro di un settore omo-geneo di corona circolare corrispondente ad un angolo al centro ®e di raggi r1 < r2.

Esercizio 3.3.8.5: Calcolare le coordinate del baricentro di undisco omogeneo (di densitμa ¹ nota) di raggio r2 e centro O a cuiμe stato tolto un disco di raggio r1 <

12r2 avente centro C distante

12r2 da O.

Esercizio 3.3.8.6: Calcolare il baricentro di una zona di su-per¯cie sferica omogenea essendo noti il raggio r della sfera e lequote z1 < z2 della zona sferica.

Esercizio 3.3.8.7: Calcolare il baricentro di una semisferaomogenea di raggio R.

Esercizio 3.3.8.8: Calcolare il baricentro di una asta rigidaABdi lunghezza ` non omogenea e di densitμa ¹(P ) = m

`2(jAP j+ `).

Esercizio 3.3.8.9: Calcolare il baricentro di una colonna cilin-drica d'aria di altezza h e raggio R sapendo che la densitμa dell'aria



dipende dall'altezza z secondo la legge ¹(z) = ¹0e¡Kz, ¹0 e K

costanti.

Esercizio 3.3.8.10: Calcolare il momento di inerzia I di un'astaAB omogenea, di massa m e lunghezza `, rispetto a:

i. una retta r passante per il baricentro dell'asta e inclinata di unangolo ® rispetto all'asta, determinare, in particolare, il mo-mento per ® = ¼=2;

ii. una retta r0 passante per un estremo dell'asta e inclinata di unangolo ® rispetto all'asta facendo uso del risultato trovato ini) e del Teorema di Huyghens, determinare, in particolare, ilmomento per ® = ¼=2.

Esercizio 3.3.8.11: sia dato il sistema di riferimento (O; x; y; z)e sia data una lamina rettangolare ABCD, rigida, omogenea, dimassa m e con lunghezze dei lati a e b. I vertici di tale laminahanno coordinate A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0) e D(0; b; 0). Sidomanda:

i. determinare i momenti d'inerzia ed i momenti di deviazionerispetto agli assi coordinati;

ii. facendo uso dell'equazione dell'ellissoide di inerzia, determinareil momento d'inerzia Ir per la lamina rispetto alla retta r con-giungente i vertici A e C;

iii. facendo uso dell'equazione dell'ellissoide di inerzia, determinareil momento d'inerzia Ir0 per la lamina rispetto alla retta r

0 biset-trice del primo quadrante;

iv. facendo uso del risultato trovato in iii. e del Teorema di Huyghenstrovare il momento d'inerzia Ir00 per la lamina rispetto alla rettar00 passante per il baricentro della lamina e parallela alla biset-trice del primo quadrante;

v. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principalidi inerzia sia calcolando gli autovalori e autovettori della ma-trice d'inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O; x; y)in sμe stesso.

Esercizio 3.3.8.12: sia dato il sistema di riferimento (O; x; y; z)e sia data una lamina triangolareABC, rigida, omogenea, di massam e con lunghezze dei cateti a e b. I vertici di tale lamina hannocoordinate A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) e C(0; b; 0). Si domanda:



i. determinare i momenti d'inerzia ed i momenti di deviazionerispetto agli assi coordinati;

ii. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principalidi inerzia sia calcolando gli autovalori e autovettori della ma-trice d'inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O; x; y)in sμe stesso.

Esercizio 3.3.8.13: Sia dato il sistema di riferimento (O; x; y; z);calcolare i momenti d'inerzia e di deviazione rispetto agli assi co-ordinati di:

i. un ¯lo circolare omogeneo, di massa m, raggio R, centrato in Oe contenuto nel piano (O; x; y), a tal ¯ne μe su±ciente osservareche i momenti di deviazione sono nulli, che Ix = Iy per ragionidi simmetria, che Iz = Ix + Iy poich¶e la ¯gura μe contenuta nelpiano (O; x; y) e in¯ne che Iz = mR2 poich¶e tutti i punti del¯lo distano R da O;

ii. un disco omogeneo, di massa m, raggio R, centrato in O econtenuto nel piano (O;x; y).

Esercizio 3.3.8.14: Calcolare il momento d'inerzia di una sferaomogenea di raggio R e massam, rispetto ad un qualsiasi diametror, a tal ¯ne conviene osservare che Ix = Iy = Iz = Ir per ognidiametro r e quindi che Ir =

23IO dove IO μe il momento di inerzia

polare.


4

Statica

4.1 Attrito e statica del punto

4.1.1 Punto appoggiato su di una super¯cie

Si μe visto che a±nch¶e un punto materiale, in un certo intervallodi tempo, si mantenga in equilibrio μe necessario e su±ciente che,ad ogni istante, si annulli il risultante di tutte le forze agenti sulpunto; vale a dire di tutte le forze attive

F = 0

se si tratta di un punto libero, delle forze attive e delle reazionivincolari

F + Á = 0 (4.1)

se si tratta di un punto vincolato. Studiamo ora alcuni casi.

Punto su piano orizzontale

Se consideriamo un corpo puntiforme P appoggiato ad un pianoorizzontale e soggetto alla sola forza peso esso resta in quiete e,in base alla condizione di equilibrio (4.1), che la reazione μe diret-tamente opposta al peso; cio¶e si esplica normalmente al piano diappoggio. Se sottoponiamo poi il punto ad una trazione orizzon-tale, oltre che alla forza peso, diremo trazione limite la massimaintensitμa ¿0 di una forza orizzontale che applicata in P lo lascia inquiete. Se p μe il peso del punto P , ¿0 la corrispondente trazionelimite, allora si osserva sperimentalmente che il rapporto ¿0=p non


104 4 Statica

dipende dal peso considerato o dalla forma ed estensione dellasuper¯cie di appoggio, ma solo dalla natura ¯sica del punto Pe del suolo. Il rapporto ¿0=p si chiama coe±ciente di attrito(statico) e si suole indicare con f (o fs per precisare che μe uncoe±ciente di attrito statico).Quindi possiamo assumere valida, come da evidenza sperimen-

tale, la seguente legge: per l'equilibrio di un punto materialeP di peso p, appoggiato su di un suolo orizzontale e sol-lecitato da una trazione orizzontale di intensitμa ¿ , occorree basta che ¿ non superi la trazione limite ¿0, ossia che,indicando con f il coe±ciente di attrito fra le sostanzecostitutive del punto e del suolo si abbia ¿ · fp.

Punto appoggiato ad un piano qualsiasi (non necessariamenteorizzontale)

Sia il punto P appoggiato ad una parete piana e sia soggetto allasollecitazione di certe forze attive di cui sia F la risultante (in-clusovi il peso se P μe un punto materiale pesante); indichiamo con

N la normale interna in P alla parete, cio¶e la perpendicolare alpiano orientata nel verso in cui al punto μe vietato il moto dal vin-colo. Segue quindi come condizione necessaria per l'equilibrioin P la relazione

F ¢ N = FN ¸ 0: (4.2)

Denotiamo con Ft = F¡FNN la componente della forza F secondoil piano; indicando con f il coe±ciente di attrito del puntoP rispetto alla parete, la condizione necessaria e su±ciente perl'equilibrio μe data, sotto l'ipotesi (4.2), dalla relazione

jFtj · fFN : (4.3)

μE ovvio che sotto la condizione FN < 0 il vincolo, per la sua naturaunilaterale, non μe atto a limitare in alcun modo la libertμa del punto(quindi si comporta come un punto materiale libero soggetto allaforza F).

Punto appoggiato ad una super¯cie ¾ qualsiasi

Se f μe il coe±ciente di attrito di P sulla super¯cie ¾ ed FN e Ftsono rispettivamente le intensitμa delle componenti di F secondo


4.1 Attrito e statica del punto 105

la normale interna e il piano tangente, le condizioni necessarie esu±cienti per l'equilibrio sono date dalle (4.2) e (4.3). La (4.3) sipuμo scrivere come

jFtjFN

= tg® · f;

dove ® μe l'angolo formato dal vettore F e la normale alla super¯cie.Se indichiamo con Á l'angolo la cui tangente μe f allora la (4.3)diventa ® · Á. Chiamando angolo di attrito questo angolo Á efalda interna del cono di attrito il luogo delle semirette uscentida P che formano l'angolo Á con la normale interna, concludiamoche per l' equilibrio di un punto materiale appoggiato aduna super¯cie μe necessario e su±ciente che la forza attivatotale non sia esterna alla falda interna del cono di attrito.Sapendo che la condizione di equilibrio del punto deve essere

F+Á = 0 e chiamando falda esterna del cono di attrito la faldaopposta al vertice della falda interna, possiamo a®ermare che: lareazione Á, che una super¯cie materiale ¾ esplica su diun punto materiale P in contatto con essa, dipende dallasollecitazione totale attiva F di P . In condizioni statiche,la Á μe sempre rivolta verso l'esterno ed μe non esterna allafalda esterna del cono di attrito. La componente tangenzialedella reazione Á, in condizioni statiche, si dice attrito radente ostatico.

Super¯cie priva di attrito

Quando f = 0, si dice che l'appoggio o il contatto sono realizzatisenza attrito, o anche che la super¯cie ¾ μe priva d'attrito. Ilcono di attrito si riduce alla normale e la (4.3) si riduce alla solacondizione

Ft = 0: (4.4)

Si esige dunque, per l'equilibrio, che la forza attivaF sia puramentenormale; nel caso di un vincolo unilaterale di appoggio μe poi nec-essario, in virtμu della (4.2), che questa sollecitazione normale siarivolta verso l'interno del corpo che realizza l'appoggio oil contatto con P .


106 4 Statica

Nel caso ideale di una super¯cie priva di attrito, la componentetangenziale della reazione μe nulla o, in altre parole, la reazione siesplica tutta secondo la normale esterna.Osserviamo che: nelle questioni statiche, prescindendo

dall'attrito, si agisce in favore della sicurezza. Cio¶e se leforze esterne attive rimangono equilibrate da reazioni normali al-lora lo sono anche da forze appartenenti alle falde dei coni d'attrito(qualunque siano questi coni). Occorre rilevare che possono darsicasi di equilibrio, non soltanto favoriti, ma traenti addiritturadall'attrito la possibilitμa di sussistere.Secondo alcuni autori (ad es. M Fabrizio), l'attrito viene con-

siderato come una forza attiva (perμo incognita!); questa interpre-tazione μe giusti¯cata dall'osservazione che l'attrito interviene sulpunto come una azione in grado di modi¯carne il moto ed ha quinditutte le caratteristiche di una forza resistente; mentre non puμo es-sere interpretato come una reazione vincolare poich¶e non limita apriori in alcun modo gli spostamenti e le velocitμa del punto.

4.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una super¯cie o su unacurva.

Consideriamo un punto materiale P costretto a muoversi su unadata super¯cie ¾ (vincolo bilaterale), realizzato immaginando cheil punto sia costretto a muoversi su due super¯ci uguali vicinissimel'una all'altra. Ragionando come nel caso di un punto appoggiatoad una super¯cie chiamiamo cono di attrito l'insieme delle duefalde di cono relative ai due vincoli unilaterali costituenti il vincolobilaterale. Avremo che:

Teorema 4.1. Condizione necessaria e su±ciente a±nch¶e un puntomateriale, vincolato a muoversi su di una super¯cie, resti in equi-librio sotto la sollecitazione di una forza μe che questa non sia es-terna al cono di attrito.

In particolare, se la super¯cie μe priva di attrito, sarμa nec-essario e su±ciente che la forza sia diretta secondo la normalealla super¯cie. La reazione Á, in condizioni statiche, risulta uni-vocamente determinata, come direttamente opposta alla forzasollecitante. Estendendo poi questo ragionamento ad una curva °abbiamo il seguente risultato.


4.2 Equazioni cardinali della statica 107

Teorema 4.2. Condizione necessaria e su±ciente per l'equilibriodi un punto materiale P costretto a restare sopra una curva ° μeche il valore assoluto della componente tangenziale Ft della forzaattiva non superi una certa frazione f del valore assoluto FN dellacomponente normale:

jFtj · fFN = fqjFnj2 + jFbj2:

Cio¶e che la forza non sia interna ad un certo cono rotondo cheha la tangente per asse. Il caso di un vincolo privo di attritoimplica Ft = 0, cio¶e una sollecitazione puramente normale allacurva.

4.2 Equazioni cardinali della statica

4.2.1 Commento sui sistemi di forze

Nella nostra trattazione consideriamo un qualunque sistema mec-canico come costituito da un numero ¯nito di punti discreti dimassa ¯nita (e non nulla) sui quali si pensano applicate le eventu-ali forze attive e vincolari.Di fatto le forze attive possono essere concentrate, rappresen-

tate appunto da vettori Fs applicati nei punti Ps, o di massa,rappresentate da una forza speci¯ca fm = fm(r; _r; t) dove r 2 S edove S μe la porzione di spazio occupata dal sistema meccanico (adesempio la forza peso). I vettori caratteristici (vettore risultantee momento risultante) saranno de¯niti come

R =NXs=1

Fs +ZS½(s)fmds

e

−(O) =NXs=1

Fs £ (O ¡ Ps) +ZS½(s)fm £ (O¡ P (s)) ds:

Le reazioni vincolari sono quelle che si esplicano a seguito del mu-tuo contatto di due o piμu solidi ed hanno la loro origine ¯sicanelle forze di interazione tra le molecole dei solidi in prossimitμa


108 4 Statica

delle super¯ci di contatto. Ricordando che queste mutue inter-azioni hanno un raggio di azione molto breve allora si puμo con-cludere che queste si possono riguardare come forze di super-¯cie; supporremo che anche per queste sia possibile de¯nire unaforza per unitμa di super¯cie fs = fs(r; _r; t), continua rispetto aisuoi argomenti. Si deve osservare che queste forze sono profonda-mente in°uenzate, per la loro stessa natura, dalle deformazioni chesubiscono i corpi nelle regioni adiacenti alle super¯ci di contatto.L'ipotesi di rigiditμa, non considerando queste deformazioni, rendeimpossibile la determinazione della funzione fs che risulterμa quindiincognita (al contrario delle forze attive per le queli sono note leleggi di forza). Talvolta accade che il contatto tra due solidi, adesempio, avvenga su super¯ci ¾ di estensione su±cientemente pic-cola in modo da potere confondere queste super¯ci con un sololoro punto (vedremo poi che, almeno per certe analisi, μe necessarioaggiungere alla reazione che si desta in questo punto una coppia dimomento incognito). In questo caso avremo un sistema di reazionivincolari di vettori Ás applicate nei punti Or, r = 1; : : : ; N 0, ed ivettori caratteristici saranno dati da

©e =N 0Xr=1

Ár +Z@Sfsd¾

e

ª(O) =N 0Xr=1

Ár £ (O¡Or) +Z@Sfs £ (O ¡ Ps)d¾

dove gli integrali si intendono estesi alla super¯cie del corpo.Osserviamo che la impossibilitμa di assegnare le leggi di forza

non rende "a priori" arbitrari i vettori Ás e il campo vettoriale fs,as esempio μe sperimentalmente noto che una super¯cie perfetta-mente levigata puμo esplicare soltanto le reazioni vincolari ad essanormali. Se i contatti non sono lisci e cio¶e sono scabri, le con-dizioni precedenti vanno sostituite con altre piμu complesse, diversea seconda che il sistema meccanico sia in quiete o in moto.Premesso ciμo nel seguito assumeremo che il sistema di forze,

sia attive che vincolari, sia costituito da forze applicate su singolipunti del sistema materiale.



4.2.2 Sistemi equivalenti di forze

Un sistema di forze μe rappresentato come un insieme di vettoriapplicati (Ps;Fs), s = 1; : : : ; N . In analogia con quanto giμavisto nel primo capitolo possiamo introdurre i vettori caratter-istici del sistema di forze: il vettore risultante: R =

PNs=1Fs

ed il momento risultante rispetto ad un dato polo O:−(O) =

PNs=1Fs £ (O¡Ps). Valgono i seguenti risultati, di fatto

giμa dimostrati per sistemi di vettori applicati:

i. Due sistemi di forze sono tra loro equivalenti se, rispetto adun dato polo, hanno uguali vettori caratteristici e sarμa inoltrepossibile provare che due sistemi di forze sono riducibili l'unoall'altro, mediante operazioni elementari di composizione, de-composizione e scorrimento, se, e solo se, essi sono equivalentitra loro.

ii. Un sistema di forze μe equivalente ad un sistema costituito dauna forza e da una coppia, in generale; in alcuni casi particolariesso puμo essere equivalente ad una coppia sola, ad una sola forzae al sistema nullo. Nel caso in cui il sistema sia equivalente aduna sola forza questa prende il nome di forza risultante.

iii. Introducendo l'invariante I = R ¢−(O) si ha che:- se I 6= 0 allora il sistema equivale ad una coppia ed unaforza;

- se I = 0 e R 6= 0 allora il sistema equivale ad una sola forza;- se I = 0, R = 0 e −(O) 6= 0 allora il sistema equivale aduna sola coppia;

- se I = 0, R = −(O) = 0 allora il sistema equivale al sistemanullo.

iv. Nel caso di sistemi di forze parallele (Ps;Fs) in cui Fs = Fsaallora si prova che l'invariante I μe sempre nullo; quindi sePns=1 Fs 6= 0 allora il sistema di forze parallele equivale ad una

sola forza di vettore R = (Pns=1 Fs) a. Tale forza puμo essere

applicata su un punto C, detto centro delle forze parallele,che risulta essere indipendente dalla direzione a delle forze eche ha equazione

C ¡O =Pns=1 Fs(Ps ¡O)Pn

s=1 Fs:


110 4 Statica

v. Nel caso particolare in cui queste forze parallele siano le forzepeso allora Fs = ps = msg ed il centro delle forze parallele haequazione

C ¡O =

Pns=1ms(Ps ¡O)Pn

s=1ms

cio¶e coincide con il baricentro.

4.2.3 Condizioni necessarie per l'equilibrio di un sistemameccanico

Forze interne ed esterne

Sia S un sistema materiale qualsiasi considerato come un certo in-sieme di punti materiali soggetto alle sollecitazioni di un sistemadi forze, fra le quali annoveremo anche le reazioni che rappresen-tano le azioni di eventuali vincoli che limitano la libera mobilitμadei singoli punti materiali di S. Fissato in S un punto materialePs distingueremo le forze applicate in Ps in due categorie:

i. Forze esercitate su Ps dagli altri punti dello stesso sistema S;queste si dicono forze interne, attive e vincolari, e le denoter-emo rispettivamente Fs;i e Ás;i.

ii. Forze di altra origine, esterne al sistema; queste si dicono forzeesterne, attive e vincolari, e le denoteremo rispettivamente Fs;ee Ás;e.

Le forze interne, considerate nel loro insieme, sono a due adue, direttamente opposte (III± principio della Dinamica) e di-rette lungo la congiungente, quindi in ogni sistema materialesollecitato le forze interne sono, per la loro stessa natura,tali che i vettori applicati, che le rappresentano, costitu-iscono un sistema equivalente ad zero o equilibrato; cio¶eaventi nulli il risultante

Ri +©i = 0 dove Ri =NXs=1

Fs;i e ©i =NXs=1

Ás;i

ed il momento risultante (rispetto ad ogni centro di riduzione):

−i(O) +ªi(O) = 0



dove

−i(O) =NXs=1

Fs;i £ (O ¡ Ps) e ªi(O) =NXs=1

Ás;i £ (O ¡ Ps):

Si noti che questa osservazione μe applicabile ad ogni sistemaS0 ottenuto isolando idealmente ogni parte di S dove ora le forzedovute ai punti di S esterni ad S 0 vanno riguardate come forzeesterne.

Equazioni cardinali dell'equilibrio: condizione necessaria

Teorema 4.3 (Equazioni cardinali dell'equilibrio). Se unqualsiasi sistema materiale sollecitato μe in equilibrio, il sistemadi vettori applicati che rappresentano le forze esterne, agenti sulsistema, μe equivalente a zero. Se, rispetto ad un qualsiasi centrodi riduzione O, sono Re, ©e e −e(O), ªe(O) il vettore risultantee il momento risultante delle forze esterne attive e vincolari, lacondizione di equilibrio comporta le seguenti equazioni vettoriali:(

Re +©e = 0−e(O) +ªe(O) = 0

(4.5)

dette equazioni cardinali della statica.

Dimostrazione. Poich¶e tutti i punti sono supposti in equilibrioallora per ogni punto Ps deve essere

0 = Fs;i + Fs;e + Ás;i + Ás;e; s = 1; 2; : : : ; N; (4.6)

dove Fs;i rappresenta il vettore della forza risultante di tutte leforze attive interne applicate a Ps, Fs;e rappresenta il vettore dellaforza risultante di tutte le forze attive esterne applicate a Ps, Ás;irappresenta il vettore della forza risultante di tutte le reazionivincolari interne applicate a Ps e Ás;e rappresenta il vettore dellaforza risultante di tutte le reazioni vincolari esterne applicate a Ps.Sommando le (4.6) rispetto ad s e ricordando che le forze interne(sia vincolari che attive) costituiscono un sistema equivalente alsistema nullo allora si ottiene la prima delle (4.5). Moltiplicando(vettorialmente) le (4.6) per O¡Ps e poi sommando rispetto ad se ricordando che le forze interne (sia vincolari che attive) costitu-iscono un sistema equivalente al sistema nullo allora si ottiene laseconda delle (4.5) completando cosμ³ la dimostrazione.


112 4 Statica

Le equazioni (4.5), condizioni necessarie per l' equilibrio, nonsono, in generale, condizioni su±cienti come ci si puμo rendereconto pensando al caso di due punti liberi soggetti alla mutuaattrazione gravitazionale.Vediamo due esempi:

i. Consideriamo una catena pesante, in equilibrio ed appesa pergli estremi a due ganci A e B. Le forze esterne sono le reazioni(A;ÁA) e (B;ÁB) applicate nei due ganci e i pesi sui singolianelli che possono essere sostituiti con il peso totale (G;p) dellacatena applicato sulla verticale del baricentro G. La condizionenecessaria per l'equilibrio (4.5) implica che i tre vettori ÁA, ÁBe p costituiscano un sistema equilibrato, cio¶e che siano compla-nari e che le linee di azione delle reazioni vincolari si incontrinosulla verticale passante per il baricentro.

ii. Consideriamo un sistema pesante S appoggiato ad un suoloorizzontale in piμu punti. Le reazioni vincolari nei punti di ap-poggio, comunque disposti, devono esercitare una forza di in-tensitμa ¡p per sostenere il sistema pesante S.

4.2.4 Postulato caratteristico dei solidi e su±cienza delle equazionicardinali della statica

Le equazioni cardinali (4.5) che, per un sistema materiale qualsi-asi, risultano soltanto necessarie per l'equilibrio, diventano anchesu±cienti nel caso dei solidi. Dove diremo solido ogni sistemamateriale che, di fronte a qualsiasi sollecitazione ed in qualsiasicondizione di moto, si comporti come assolutamente rigido; cio¶ele mutue distanze tra i punti rimangono inalterate.Enunciamo il seguente principio di evidenza sperimentale:Postulato caratteristico dei solidi. L'equilibrio di un solido

non si altera, quando a due suoi punti, quali si vogliano, si appli-cano due forze direttamente opposte (cio¶e di vettori ¡F e Fdirette lungo la congiungente).Da tale principio, dai risultati su sistemi di forze equivalenti

giμa visti e ricordando che l'equilibrio di un solido S non risultaturbato se a due o piμu forze, applicate ad un medesimo puntodel sistema, si sostituisce la rispettiva risultante o, viceversa, seuna forza agente su di un punto di S si decompone comunque inuna o piμu forze, applicate a quel medesimo punto, allora possiamo



a®ermare che: l'equilibrio di un solido non si altera quandoal sistema delle forze (attive e vincolari) e®ettivamenteagenti su di esso si sostituisca un qualsiasi altro sistemadi forze, equivalente al primitivo; cio¶e avente il medes-imo vettore risultante ed il medesimo momento risultanterispetto ad ogni punto. In particolare se le (4.5) sono soddis-fatte allora possiamo sostituire alle forze e®ettivamente agenti sulsolido un sistema di forze nulle. Da quanto enunciato segue che:nel caso dei solidi le condizioni cardinali dell'equilibrio(4.5) non sono soltanto necessarie ma anche su±cienti.Cosμ³ possiamo a®ermare che:

Teorema 4.4 (Equazioni cardinali della statica). Condizionenecessaria e su±ciente a±nch¶e un corpo rigido sia in quiete μeche esista esista un sistema di reazioni vincolari, compatibile conla natura dei vincoli, tale che le equazioni(

Re +©e = 0−e(O) +ªe(O) = 0

(4.7)

risultano soddisfatte. Queste equazioni prendono il nome di equazionicardinali della statica. Re ed −e(O) sono il vettore risultanteed il momento risultante rispetto ad un polo qualunque della forzeattive esterne; ©e ed ªe(O) sono il vettore risultante ed il mo-mento risultante della reazioni vincolari esterne.

Osserviamo che le (4.7) (cosμ³ come nelle (4.5)) le incognite sono,oltre ai parametri lagrangiani, anche le reazioni vincolari.

Esempio: solido con un punto ¯sso O

Se al solido S sono applicate certe date forze di vettore risultanteRe, per avere tutte le forze esterne agenti su S dobbiamo aggiun-gere alle forze attive le reazioni vincolari applicate nel punto ¯ssoO e di vettore risultante ©e. Denotando con −e(O) il momentorisultante rispetto ad O delle sole forze attive abbiamo comecondizioni necessarie e su±cienti per l'equilibrio del solido le dueequazioni:

Re +©e = 0; −e(O) = 0: (4.8)


114 4 Statica

La equazione Re+©e = 0 non costituisce alcuna restrizione per leforze attive, ma serve a individuare la reazione ©e del punto¯sso O. Condizione necessaria e su±ciente per l'equilibrioμe la −e(O) = 0, ossia l'annullarsi del momento risultante di tuttele forze direttamente applicate rispetto al punto tenuto ¯sso. Os-serviamo che un corpo rigido con punto ¯sso μe un sistema a tregradi di libertμa e possiamo assumere gli angoli di Eulero qualiparametri lagrangiani. L'equazione −e(O) = 0 μe un'equazionevettoriale che equivale a tre equazioni scalari nelle tre incogniterappresentate dai parametri lagrangiani.

4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale

4.3.1 Principio dei lavori virtuali

Il principio dei lavori virtuali, nella sua forma piμu generale, ap-plicabile tanto ai problemi statici quanto a quelli dinamici, si puμoenunciare nei seguenti termini:Principio dei lavori virtuali. Le reazioni (Ps;Ás), s =

1; : : : ; N , provenienti da legami privi di attrito sono tali cheil lavoro virtuale complessivo ±½ =

PNs=1Ás ¢ ±Ps da esse e®ettuato

μe nullo per ogni spostamento virtuale reversibile, positivoo nullo per ogni spostamento virtuale irreversibile.Trascurando i sistemi a legami unilaterali il principio dei lavori

virtuali richiede che si annulli il lavoro virtuale delle reazioni perogni spostamento virtuale conciliabile con i legami. Il principiodei lavori virtuali si legittima per induzione facendo vedere cheesso risulta veri¯cato in tanti casi particolari:

i. Nel caso di un punto costretto a restare sopra una super-¯cie o sopra una curva (priva d'attrito). Consideriamo,ad esempio, il caso di una punto P vincolato a muoversi suuna super¯cie liscia e ¯ssata; in questo caso ogni sposta-mento virtuale ±P sarμa tangente alla super¯cie in P , d'altraparte la reazione vincolare, essendo la super¯cie liscia, ha di-rezione necessariamente normale alla super¯cie stessa e quindi

±½ = Á ¢ ±P = 0: (4.9)


4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 115

ii. Nel caso di un vincolo unilaterale, ad es. un punto che puμooltrepassare una certa super¯cie, pur non essendo impedito distaccarsene dalla banda opposta. In questo caso la (4.9) prendela forma ±½ = Á ¢ ±P = 0 per spostamenti invertibili del puntoe ±½ ¸ 0 per spostamenti virtuali di distacco.

iii. Nel caso dei sistemi rigidi basta osservare che le reazioni vin-colari (quelle di rigiditμa) sono forze interne e quindi a due a dueuguali e direttamente opposte. Il lavoro complessivo si puμoperciμo considerare come somma dei lavori e®ettuati da ciascunadi queste coppie, e risulterμa dimostrato l'asserto se si proverμanullo il lavoro corrispondente ad una coppia generica. Piμu indettaglio consideriamo un sistema meccanico costituito da duecorpi puntiformi collegati da una asta di lunghezza ¯ssa` e massa trascurabile. Le reazioni vincolari applicate neidue punti saranno rappresentate da due vettori Á1 e Á2 uguali(di intensitμa) e opposti e diretti lungo la congiungente (in virtμudella terza legge di Newton) per cui possiamo scrivere

±½ = Á1 ¢ ±P1 + Á2 ¢ ±P2 = Á1 ¢ ±(P1 ¡ P2):Ponendo P2 ¡ P1 = `r, Á1 = Á1r e ricordando che r ? ±r seguein¯ne che

±½ = Á1`r ¢ ±r = 0:iv. Se un solido μe ulteriormente vincolato, presentando un punto¯sso, o una retta ¯ssa o appoggi (privi di attrito) su altri corpi,si riconosce subito che il lavoro virtuale delle reazioni proveni-enti da questi vincoli μe nullo nei primi due casi, positivo o nullonel terzo. Ad esempio, se due corpi rigidi sono connessida una cerniera in un punto A allora, trascurando la massae le dimensioni della cerniera, si puμo asserire che le reazioniche un corpo esercita sull'altro sono entrambre applicate in A esono uguali ed opposte e quindi il lavoro complessivo sarμa nullo.Consideriamo ora il caso se due corpi rigidi hanno le lorosuper¯ci in contatto idealmente liscie, anche in questocaso le due reazioni sono uguali ed opposte e dirette normal-mente al piano tangente comune alle due super¯ci nel punto dicontatto. I possibili spostamenti virtuali (che lasciano le super-¯ci ancora in contatto) sono tali per cui lo spostamento virtuale


116 4 Statica

relativo del punto di contatto deve avvenire sul piano tangentee quindi avremo ancora ±½ = 0. Nel caso poi di appoggio allorale reazioni vincolari sono dirette da un corpo verso l'altro (oltreche normali al comune piano tangente) e quindi avremo ±½ ¸ 0per spostamenti virtuali di distacco e ±½ = 0 per gli altri.

4.3.2 Condizione generale d'equilibrio. Relazione simbolica dellaStatica

Nel proseguio faremo l'ipotesi di vincoli privi di attrito. Ciμopremesso, consideriamo un generico sistema di punti materialiPs; s = 1; : : : ; N , soggetti a vincoli privi di attrito, e cerchi-amone le condizioni di equilibrio, vale a dire le condizioni nec-essarie e su±cienti, a±nch¶e le forze Fs, direttamente applicateai singoli punti Ps, siano atte a mantenerli in quiete. In base alprincipio dei lavori virtuali, nella sua accezione piμu generale, si con-clude che per l'equilibrio del sistema μe necessario e su±cienteche le forze attive rendano soddisfatta, per tutti gli spostamentivirtuali, la relazione

±L =NXs=1

Fs ¢ ±Ps = ¡±½ · 0; essendo ±½ ¸ 0: (4.10)

Piμu precisamente:

Teorema 4.5 (Teorema dei lavori virtuali). Condizione nec-essaria e su±ciente per l'equilibrio di un sistema materiale avincoli privi di attrito (e indipendenti dal tempo) μe che le forzeattive compiano un lavoro virtuale totale negativo o nullo per ognispostamento virtuale a partire dalla con¯gurazione di equilibrio.

Dimostrazione. Per dimostrare la parte necessaria supponiamo ilsistema in equilibrio; quindi ogni punto μe in equilibrio e pertantodeve essere

Fs + Ás = 0; s = 1; 2; : : : ; N:

Moltiplicando scalarmente ambo i membri per ±Ps, sommandorispetto a s e facendo uso del principio dei lavori virtuali segue±L · 0. La dimostrazione della parte su±ciente viene data inseguito attraverso le equazioni di Lagrange.



Come si vede, una tale conclusione μe indipendente dalle modalitμadi realizzazione dei vincoli, in quanto la condizione in essa enunci-ata fa intervenire gli spostamenti virtuali, che rispecchiano l'e®ettogeometrico e cinematico dei vincoli, ma non i particolari dispositiviche li attuano.La (4.10) prende il nome di relazione simbolica della Stat-

ica. Se il sistema non ammette spostamenti virtuali irreversibili,il che accade se non vi sono vincoli unilaterali, essa si riduce alla

±L = 0 (4.11)

e si chiama equazione simbolica della statica.Dalla (4.10) possiamo dedurre due corollari:

i. Se ad un sistema § di forze attive, atte a mantenere in equi-librio un dato punto materiale S, si aggiunge una seconda sol-lecitazione §0, pure atta a mantenere S in equilibrio, la sol-lecitazione risultante § +§0 veri¯ca anch'essa la condizione diequilibrio.

ii. Se un sistema materiale S0 di®erisce da un sistema S perl'aggiunta di alcuni legami, e se una certa sollecitazione §mantiene S in equilibrio, a maggior ragione manterrμa in equi-librio S 0.

Quando poi tutti i vincoli sono bilaterali (o piμu generalmente,quando non si tratta di una con¯gurazione di con¯ne) si rilevadalla (4.11): se un sistema di forze attive applicate ad un sistemamateriale μe in equilibrio, lo μe pure il sistema costituito dalle stesseforze prese in verso opposto.

Esempio: solido ¯ssato in un suo punto

Se O μe il punto ¯ssato allora basta scegliere in questo punto ilpolo, perch¶e il piμu generale spostamento virtuale del punto Ps siadato da

±Ps = !0 £ (Ps ¡O); s = 1; 2; : : : N;

e conseguentemente si abbia

±L = !0 ¢−e(O):


118 4 Statica

Poich¶e il vettore in¯nitesimo !0 μe completamente arbitrario epoich¶e i vincoli di rigiditμa non consentono spostamenti virtu-ali irreversibili, segue che l'annullamento di questo ±L equivaleappunto alla condizione −e(O) = 0, giμa riconosciuta necessaria esu±ciente per l'equilibrio.Non sarμa inutile fare notare che, mentre le forze cui si riferisce

il lavoro virtuale ±L nella condizione simbolica della Statica sonotutte e sole le forze attive, nelle equazioni cardinali della Stat-ica si applicano prima le equazioni cardinali alle forze esterne epoi si cerca di eliminare tutto ciμo che proviene dalle reazioni vin-colari, in modo che le condizioni ¯nali si riferiscano solo a forze,che sono ad un tempo attive (cio¶e non prevenienti da legami) edi origini esterna.

4.3.3 Statica dei sistemi pesanti. Teorema di Torricelli.

Consideriamo un sistema materiale S, comunque costituito, in cuile forze attive si riducano ai pesi dei singoli elementi. Sia l'assez verticale e diretto verso l'alto e sia ms la massa di un gener-ico elemento Ps, la forza di vettore Fs applicata in Ps avrμa percomponenti (0; 0;¡msg). In un generico spostamento virtuale delsistema siano ±xs; ±ys; ±zs le componenti dello spostamento ±Pssubito da Ps. Il lavoro virtuale delle forze attive si riduce a

±L =NXs=1

Fs ¢ ±Ps = ¡gNXs=1

ms±zs = ¡mg±zG

dove

zG =

PNs=1mszsm

μe la quota del baricentro e m la massa totale del sistema. Lacondizione di equilibrio ±L · 0 assume di conseguenza l'aspetto±zG ¸ 0, valendo l'eguglianza per gli spostamenti reversibili. Daquanto sopra detto: condizione necessaria e su±ciente perl'equilibrio di un sistema pesante μe che il suo baricentro non siasuscettibile di innalzamento per e®etto di alcun spostamentovirtuale in¯nitesimo del sistema. Ad esempio, nel caso di legamitutti reversibili, la condizione diventa ±zG = 0, cio¶e l'equilibrio puμosussistere senza che l'altezza del baricentro sia minima, in parti-colare quando essa μe massima.



4.3.4 Statica dei sinstemi olonomi: condizioni di equilibrio incoordinate lagrangiane

Si consideri un sistema a n gradi di libertμa olonomo a vincolilisci e bilaterali costituito da N punti Ps; s = 1; : : : ; N . Rifer-endolo ad un generico sistema di coordinate lagrangiane (indipen-denti) qh; h = 1; : : : ; n, segue che:

Ps = Ps(q1; q2; : : : ; qn; t); s = 1; : : : ; N; (4.12)

e ogni spostamento virtuale assume la forma

±Ps =nXh=1

@Ps@qh

±qh (4.13)

(dove le ±qh sono arbitrarie e indipendenti) e risulta reversibile.Allora le condizioni necessarie e su±cienti perch¶e il sistema, sottouna data sollecitazione (Ps;Fs); s = 1; 2; : : : ; N; sia in equilibriosaranno fornite dall'equazione simbolica della Statica

±L =NXs=1

Fs ¢ ±Ps = 0; (4.14)

dove, tenendo conto delle (4.13), assume la forma:

nXh=1

Qh±qh = 0 ponendo Qh =NXs=1

Fs ¢ @Ps@qh

; h = 1; : : : ; n:(4.15)

Dalla (4.15), dovendo sussistere per ogni possibile scelta dellearbitrarie ±qh, ne segue che in condizioni statiche devono valeresimultaneamente le n equazioni

Q1 = 0; Q2 = 0; : : : ; Qn = 0; (4.16)

e viceversa. Le quantitμa scalari Q1, Q2; : : : ; Qn si usano chiamarele componenti della sollecitazione del dato sistema secondole coordinate lagrangiane qh o anche forze generalizzate diLagrange.Se si tiene conto delle (4.12) e delle espressioni che ne con-

seguono per le velocitμa dei vari punti Ps:

vs = vPs =nXh=1

@Ps@qh

_qh +@Ps@t; s = 1; 2; : : : ; N;


120 4 Statica

si riconosce che la sollecitazione μe nota quando ciascuno dei vettoriFs μe dato in funzione delle qh, delle _qh ed, eventualmente, deltempo; di consegueneza, in generale,

Qk = Qk(q1; : : : ; qn; _q1; : : : ; _qn; t); k = 1; 2; : : : ; n:

Ai ¯ni dello studio del problema dell'equilibrio sarμa naturale porre_qh = 0 e richiedere, inoltre, che le forze non dipendano dal tempoin modo che le Q1; Q2; : : : ;Qn dipendano solamenta dalle qh.Quindi, possiamo riassumere quanto detto nel seguente risul-

tato.

Teorema 4.6. Le condizioni necessarie e su±cienti per l'equilibriodel sistema olonomo a vincoli lisci e bilaterali considerato sonodate dalle n equazioni (4.16).

Le condizioni di equilibrio (4.16) forniscono n equazioni frale n coordinate lagrangiane qh, le quali caratterizzano le con¯g-urazioni di equilibrio del sistema, analogamente a quanto accadenel caso di un punto libero sollecitato da una forza posizionale, perle equazioni che si ottengono eguagliando a zero le tre componenticartesiane della forza attiva.Se le forze (Ps;Fs), s = 1; : : : ; N , sono tutte conservative

allora esistono N funzioni

Us = Us(Ps) = Us(qh)

poich¶e Ps = Ps(qh) (assumiamo, in Statica, di operare con vincoliindipendenti dal tempo). Se poniamo U = U (qh) =

PNs=1 Us(qh)

allora la funzione U , determinata a meno di una costante addittivaarbitraria, si dice, come nel caso di una unica forza conservativa,potenziale della sollecitazione ed μe tale che

@U

@qh=

NXs=1

@Us@qh

=NXs=1

rUs ¢ @Ps@qh

=NXs=1

Fs ¢ @Ps@qh

= Qh:

Quindi, si conclude

Q1 =@U

@q1; : : : ; Qn =

@U

@qn(4.17)

o equivalentemente



NXh=1

Qh±qh = ±U:

Possiamo estendere la de¯nizione di forze conservative (intesecome "campi di forza") a sistemi di forze nei quali si tengonoconto anche dei legami posti dai vincoli; questi ultimi si dirannoconservativi se la forma di®erenziale lineare

Pnh=1Qh±qh μe esatta,

cio¶e si puμo esprimere come il di®erenziale (virtuale) di una funzionedata U detta potenziale.Tutte le volte che le componenti lagrangiane Qh ammettono

un potenziale, si desume dalle condizioni di equilibrio (4.16) edalle identitμa (4.17) che ad ogni punto di stazionarietμa delpotenziale corrisponde per il sistema olonomo una con-¯gurazione di equilibrio. Se poi si estende, come vedremo nelseguito, all'equilibrio dei sistemi olonomi il criterio qualitativodi stabilitμa si riconosce che anche per questi sistemi sono con-¯gurazioni di equilibrio stabile quelle cui corrisponde perpotenziale un valore massimo (relativo).

4.3.5 Complemento: metodo dei moltiplicatori di Lagrange ecalcolo delle reazioni

Per metterci nelle condizioni di maggior generalitμa, consideriamoun sistema S di N punti Ps soggetti solamente (per ¯ssare le idee)a vincoli bilaterali, di posizione e di mobilitμa. Gli spostamentivirtuali ±Ps del sistema, riferiti ad una terna di assi (O; x; y; z),sono caratterizzati da certe r equazioni, corrispondenti ai vincoli(sia olonomi che anolonomi) bilaterali della forma:

Bk =NXs=1

aks ¢ ±Ps = 0; k = 1; 2; : : : ; r; (4.18)

cui devono soddisfare le 3N variazioni ±xs, ±ys e ±zs e dove gliaks denotano rN vettori determinati (puramente posizionali) dicomponenti axks; a

yks; a

zks.

Assumeremo r · 3N e che le equazioni Bk = 0 siano tra loroindipendenti.Per l'equilibrio del sistema S, sollecitato dalle forze Fs applicate

nei generici punti Ps, sarμa necessario e su±ciente che, per tutti gli


122 4 Statica

spostamenti virtuali, a partire dalla con¯gurazione di equilibrio,soddisfacenti alle (4.18) le Fs soddisfano alla condizione

±L =NXs=1

Fs ¢ ±Ps = 0: (4.19)

Assegnamo per le Fs delle espressioni che dipendono linearmentedalle aks:

Fs = ¡rX

k=1

¸kaks (4.20)

e veri¯chiamo poi, dalle (4.18) e (4.19), a che condizioni devonosottostare le costanti ¸k. Il lavoro complessivo ±L di queste forzeFs, per un qualsiasi spostamento ±Ps, si puμo esprimere come:

±L = ¡rX

k=1

¸kBk;

quindi si conclude che, per tutti gli spostamenti virtuali del sistemaS, caratterizzati dalle (4.18), le Fs de¯nite dalle (4.20) soddisfanoveramente alla condizione di equilibrio (4.19), comunque si sianoscelte le ¸k. I coe±cienti arbitrari ¸k si chiamano moltiplicatoridi Lagrange.Si dimostra che:

Teorema 4.7. Si ha che:

i. Nelle espressioni (4.20) i moltiplicatori ¸k sono essenziali, nelsenso che al variare di essi varia anche la corrispondente sol-lecitazione equilibrante.

ii. Le (4.20) forniscono la piμu generale sollecitazione atta a man-tenere in equilibrio il sistema S per una opportuna scelta deimoltiplicatori ¸k.

Dimostrazione. La proprietμa i. segue immediatamente dal fattoche si sono supposte le equazioni Bk = 0 indipendenti tra loro (edin numero complessivo minore o uguale a 3N) Dimostriamo laproprietμa ii.. Le equazioni Bk = 0 indipendenti tra loro ammet-tono ` = 3N ¡ r soluzioni linearmente indipendenti in modo che ipossibili spostamenti virtuali soddisfacenti a queste hanno formadel tipo



±Ps =Xj=1

ºj¿sj ; s = 1; : : : ; N;

dove i vettori ¿ sj sono tra loro linearmente indipendenti e i co-e±cienti ºj sono completamente arbitrari. La piμu generale sol-lecitazione che lascia in quiete il sistema dovrμa quindi essere taleche

0 = ±L =NXs=1

Fs ¢ ±Ps =Xj=1

ºj

"NXs=1

Fs ¢ ¿ sj#

e quindi, per la arbitrarietμa dei coe±cienti ºj, sarμa tale che

NXs=1

Fs ¢ ¿ sj = 0; j = 1; : : : ; `:

Le sollecitazioni che soddisfano a questo sistema sono del tipo(4.20). Infatti l'insieme di soluzioni del sistema Bk = 0 μe unospazio vettoriale V di dimensione ` = 3N ¡ r avente i vettori¿j = (¿ 1j ; : : : ; ¿

Nj ) come base. Inoltre i vettori di tale spazio sono

ortogonali tanto ai vettori ak = (ak1; : : : ; akN ) e (che formano unabase di uno spazio di dimensione r) quanto ai vettori costruiti dalleforze attive (F1; : : : ;FN ) che soddisfano alla condizione ±L = 0;quindi il vettore (F1; : : : ;FN ) deve appartenere allo spazio vetto-riale generato dalla base costituita dai vettori ak = (ak1; : : : ; akN ).La dimostrazione μe cosμ³ completata.

Questa conclusione ci pone in grado di riconoscere se una sol-lecitazione data a priori sia equilibrante o no per il nostro sistema:basta veri¯care se essa rientri nelle (4.20) per una opportuna sceltadei moltiplicatori ¸k. Dalle osservazioni precedenti si consegueche, in tal caso, questi moltiplicatori risultano determinati univo-camente. Le (4.20) forniscono in ultima analisi la risoluzioneparametrica della relazione (4.19) subordinatamente alle (4.18);tenendo conto dell'osservazione fatta che esse costituiscono lecondizioni di equilibrio di S sotto forma parametrica.

4.3.6 Esempi

Punto P vincolato a muoversi su di una super¯cie priva di attrito

Sia f(x; y; z; t) = 0 l'equazione della super¯cie. Gli spostamentivirtuali sono caratterizzati dall'unica condizione


124 4 Statica

@f

@x±x+

@f

@y±y +

@f

@z±z = 0:

Quindi si tratta di una sola equazione del tipo B e, quindi, avremoun solo vettore a, de¯nito dalle componenti @f

@x; @f@y; @f@z. Perciμo la

condizione parametrica dell'equilibrio, se F μe la forza attiva totale,sarμa espressa sotto forma vettoriale

F = ¡¸a; ¸ 2 R:

Punto P vincolato a restare su di una curva priva di attrito

La curva ha equazione

f1(x; y; z; t) = 0; f2(x; y; z; t) = 0

avremo due equazioni del tipo B e, quindi, due vettori a e duemoltiplicatori ¸. Le condizioni di equilibrio saranno date da

Fx = ¡¸1@f1@x

¡ ¸2@f2@x; Fy = ¡¸1@f1

@y¡ ¸2@f2

@y; Fz = ¡¸1@f1

@z¡ ¸2@f2

@z:

4.3.7 Calcolo delle reazioni

Riferiamoci esclusivamente al caso in cui per ogni sollecitazioneatta a mantenere in quiete il sistema, i moltiplicatori ¸k risultanounivocamente individuati. Sappiamo che in questa ipotesi la rapp-resentazione parametrica delle forze attive (4.20) μe equivalente allarelazione simbolica della Statica. Introducendo le reazioni comp-lessive phis = ¡Fs provenienti sui singoli punti Ps dall'insiemedegli r vincoli e tenendo conto della (4.20), otteniamo per lereazioni le espressioni generali

phis =rXk=1

¸kaks (4.21)

che mettono in luce, per ogni singola reazione, una decomposizionenella somma di r componenti. Fissando l'attenzione, ad esempio,sul vincolo bilaterale B1 = 0 notiamo che le condizioni paramet-riche d'equilibrio (4.20) del nostro sistema si possono anche scri-vere



Fs + ¸1a1s = ¡rX

k=2

¸kaks: (4.22)

Le equazioni (4.22) si possono interpretare come le condizioniparametriche dell'equilibrio di un sistema sistema S1, soggetto atutti i vincoli di S, tolto B1 = 0, e sollecitato, anzich¶e dalle Fs,dalle forze attive Fs + ¸a1s. In tal modo le N forze addizionali¸1a1s, si presentano come l'equivalente, in condizioni statiche,dell'azione esercitata sui singoli punti Ps dal vincolo soppressoB1 = 0 e forniscono, perciμo, le reazioni provenienti da questo vin-colo, astrazione fatta dai rimanenti.Avendo riconosciuto ai vettori ¸kaks il carattere di reazioni es-

ercitate sul generico punto Ps dai singoli legami, Bk = 0 rispettiva-mente, possiamo dare una interpretazione signi¯cativa della formaparametrica (4.20) delle condizioni di equilibrio. Scritte sotto laforma

Fs = ¡rX

k=1

¸kaks (4.23)

esse ci dicono che per l'equilibrio di un sistema comunquevincolato (a vincoli privi di attrito) μe necessario e suf-¯ciente che le forze direttamente applicate si possano,punto per punto, equilibrare con reazioni, quali i vincolisono atti ad o®rire.

Calcolo e®ettivo delle reazioni provenienti dai singoli vincoli

Poich¶e i vettori aks sono supposti noti, il calcolo delle reazioni¸kaks, che nei vari punti Ps provengono da un determinato vincolo(Bk = 0) si riduce alla determinazione del corrispondente molti-plicatore ¸k. Consideriamo ora il sistema S1 che si ottiene daldato sopprimendo il vincolo B1 = 0 e annoverando tra le forzeattive, oltre le Fs, le reazioni ¸1a1;s provenienti del vincolo sop-presso. Per un tale sistema gli spostamenti virtuali reversibili (apartire da una con¯gurazione di equilibrio) sono de¯niti dalle

Bk = 0; k = 2; 3; : : : ; r

quindi il piμu generale spostamento ±Ps μe uno spostamento virtualereversibile di S con la condizione di non essere compatibile con ilvincolo soppresso.


126 4 Statica

Ora, applicando al sistema S1 l'equazione simbolica della Stat-ica, con riguardo ad un tale spostamento ±Ps e sotto la sol-lecitazione attiva Fs + ¸1a1s, otteniamo l'equazione

NXs=1

(Fs + ¸1a1s) ¢ ±Ps = 0;

considerando spostamenti virtuali ±Ps a partire dalle con¯gu-razioni di equilibrio (supposte giμa determinate in precedenza) noncompatibili con il vincolo soppresso (cio¶e tali che B1 6= 0), si per-viene alla determinazione di ¸1.Abbiamo quindi provato che: per determinare, in date con-

dizioni di sollecitazione, le reazioni provenienti da un datovincolo si aggiunge alla sollecitazione attiva le corrispon-denti reazioni e si applica l'equazione simbolica della Stat-ica per un qualsiasi spostamento virtuale del nuovo sis-tema che sia incompatibile con il vincolo soppresso.

4.4 Nozione statica di stabilitμa dell'equilibrio

4.4.1 Stabilitμa per un punto

μE intuitivo ritenere stabile uno stato di equilibrio per un puntose, quando lo si perturbi (spostando il punto, o il sistema, dallaposizione di equilibrio verso un'altra vicina, pur essa compatibilecon i vincoli) le forze tendono a riportare il punto (o il sis-tema) alla sua posizione di equilibrio. In termini del lavorocompiuto da tali forze nasce la seguente de¯nizione precisa di sta-bilitμa dell' equilibrio (in senso statico) per un punto:

De¯nizione 4.8. Considerato un qualunque spostamento, com-patibile con i vincoli, che faccia passare il punto dalla posizione diequilibrio P0 ad un'altra posizione P , sia LP0P il lavoro totale ef-fettuato dalle forze attive agenti sul punto durante lo spostamento.Se esiste un intorno della posizione di equilibrio P0 tale cheil lavoro LP0P , per qualsiasi spostamento in tale intornocompatibile con i vincoli, risulta negativo, l'equilibrio sidice stabile. Se, in ogni intorno della con¯gurazione di equilib-rio, esiste anche un solo spostamento per cui LP0P > 0 l'equilibrio


4.4 Nozione statica di stabilitμa dell'equilibrio 127

si dice instabile; mentre se μe sempre LP0P = 0 l'equilibrio si diceindi®erente.

Queste de¯nizioni, si noti, presuppongono la conoscenza di ogniforza F non solo in corrispondenza alla data posizione di equilib-rio ma anche in ogni altra posizione compatibile con i vincoli.Per forze posizionali ciμo μe implicito; in caso diverso bisognerμa ren-derse conto preventivamente a norma delle speciali circostanze difatto. μE il caso, ad esempio, delle reazioni vincolari quando ab-biamo vincoli non lisci; in questo caso si osserva comunque che lacomponente normale alla traiettoria della reazione vincolare noncompie lavoro e che la componente tangente, tipicamente dovutaall'attrito radente, favorisce l'equilibrio. In questi casi si ha chele con¯gurazioni di equilibrio trovate stabili in assenza di attritorimangono stabili quando teniamo conto anche dell'e®etto degliattriti (non μe in generale vero il viceversa).

4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo

Sia U(x; y; z) il potenziale delle forze attive, P0 una posizione diequilibrio ed P un'altra posizione qualsiasi vicino ad P0. La con-dizione di stabilitμa si traduce nella seguente:

LP0P = UP ¡ UP0 < 0; (4.24)

per ogni P appartenete ad un certo intorno di P0 (e non coinci-dente con P0). Ciμo equivale a dire che il potenziale U deveammettere un massimo relativo nella posizione P0. Re-ciprocamente: se U ha in P0 un massimo relativo allora a questaposizione corrisponde uno stato di equilibrio stabile. Anzituttosi ha equilibrio poich¶e la forza attiva F = rU si annulla in P0.L'equilibrio μe poi stabile in virtμu della (4.24).

4.4.3 Stabilitμa per un sistema meccanico

μE immediato estendere la de¯nizione ed il criterio di stabilitμa ad unsistema meccanico a n gradi di libertμa e avente una con¯gurazionedi equilibrio corrispondente a C0 = (q01 ; : : : ; q0n). La con¯gurazionedi equilibrio C0 si dice stabile se esiste un intorno U(C0) taleche per ogni spostamento ¯nito in U da C0 ad un qualunque


128 4 Statica

C 2 U ¡ fC0g il lavoro delle forze attive durante tale spostamentorisulti negativo:

LC0C =NXs=1

Z Ps(C)

Ps(C0)dLs < 0:

Diversamente la con¯gurazione si dice instabile.Se le forze attive derivano da un potenziale U (q1; : : : ; qn) allora

segue che condizione necessaria e su±ciente a±nch¶e C0 siastabile μe che C0 sia un massimo relativo per U .

Esempio: solido pesante con un punto ¯sso O

Notiamo che le forze interne e le reazioni in O non compiono alcunlavoro in uno spostamento che mantenga O ¯sso. Ciμo μe evidenteper le reazioni vincolari, in quanto applicate in O; quanto alle forzeinterne, esse equivalgono a zero e, come dimostreremo, questaequivalenza a zero di un sistema di forze basta nel casodei solidi perch¶e sia nullo il lavoro da esse compiuto. Quiammettiamolo ed osserviamo che, se per il nostro solido ¯ssatoin O, le forze attive si riducono al peso, dovrμa la sua linea diazione passare per O in corrispondenza ad una con¯gurazione diequilibrio, cio¶e nella posizione di equilibrio, il baricentro G dovrμatrovarsi sulla verticale del punto ¯sso O. Distinguiamo tre casi:

i. G coincide conO; in questo caso, per ogni spostameno del solidocompatibile con i vincoli, anche il baricentro G rimane ¯sso, equindi il peso fa lavoro nullo. Si tratta, di conseguenza, di unequilibrio indi®erente.

ii. G sta sotto O; in questo caso, comunque si muova il corpo, ilbaricentro G si eleva (escludiamo il caso di rotazioni attornoall'asse OG). Ne consegue che, a partire dalla con¯gurazionedi equilibrio ¯no ad una generica posizione, il peso del corpo faun lavoro negativo. L'equilibrio μe dunque stabile.

iii.G sta sopra O; in modo analogo al caso ii. si prova chel'equilibrio μe instabile.


4.5 Statica relativa 129

4.5 Statica relativa

4.5.1 Nozione di equilibrio relativo

Consideriamo un sistema di riferimento (O0; x0; y0; z0), animati daun moto comunque assegnato rispetto ad un osservatore (O; x; y; z),e proponiamoci di trovare le condizioni cui debbono sottostare leforze direttamente applicate ad un sistema materiale, a±nch¶e esso,malgrado la sollecitazione, rimanga in quiete rispetto alla terna(O0; x0; y0; z0). μE questo che si chiama equilibrio relativo, at-tribuendo, in caso di ambiguitμa, la quali¯ca di equilibrio assolutoa quello di cui ci siamo occupati ¯nora.

Equilibrio relativo per un punto libero

Nel caso di un unico punto materiale la condizione di equilib-rio relativo sarμa data da vr ´ 0 e, di conseguenza, ar ´ 0 eac ´ 0, dove vr denota la velocitμa relativa e ar e ac, rispettiva-mente, l'accelerazione relativa e l'accelerazione di Coriolis. Sia Fla risultante di tutte le forze che sollecitano P misurate rispettoall'osservatore (O; x; y; z), dal teorema del Coriolis e dalla leggefondamentale del moto (assoluto), avremo che se il punto P μe inequilibrio relativo allora deve essere:

F¡ma¿ = 0: (4.25)

μE questa la condizione cui deve necessariamente soddisfare laforza F, quando il punto si trova in equilibrio relativo. Ma essa μepur su±ciente; cio¶e se la (4.25) μe veri¯cata per un dato P0, e se ilpunto P μe all'istante t = t0 in quiete in P0 rispetto all'osservatorerelativo allora l'equilibrio sussiste. Infatti, la forza F0 misuratadall'osservatore (O0; x0; y0; z0) μe data da

F1 = F¡ma¿ (P )¡mac(P ):In virtμu della (4.25) la funzione P = P (t) ´ P0 μe tale da annullareidenticamente la F0 e quindi μe una soluzione della equazione dif-ferenziale mar = F0 che soddisfa alle condizioni iniziali. Segueche la (4.25) μe dunque condizione necessaria e su±cienteperch¶e il punto P sia in equilibrio relativo rispetto allaterna (O0; x0; y0; z0).


130 4 Statica

La (4.25) puμo interpretarsi come la condizione di equilibrio as-soluto per un punto materiale sollecitato, oltre che dalla forza F(e®ettivamente applicata) anche da una forza addizionale F¿ =¡ma¿ . Questa forza ¯ttizia si suole chiamare forza di trascina-mento. Da ciμo: tutte le questioni di equilibrio relativo delpunto si discutono come se si trattasse di equilibrio asso-luto, avendo perμo cura di annoverare tra le forze esternedirettamente applicate anche la forza di trascinamento.

Equilibrio relativo per un sistema meccanico qualunque

La regola di Statica relativa, sopra stabilita nel caso del punto, siestende a sistemi materiali di natura qualsiasi e risulta senz'altroapplicabile a tutti quei casi (solidi liberi, vincolati, ecc.) per i qualigiμa si conoscono le condizioni di equilibrio assoluto. Per giusti¯-care questa asserzione basta, se si tratta di vincoli privi di at-trito, invocare il principio dei lavori virtuali, cio¶e la relazione

±½ =Xs

Ás ¢ ±Ps ¸ 0

e notare che, nel caso dell'equilibrio relativo ogni reazione Ás μeprecisamente uguale a

Ás = ¡ [ forza attiva + forza di trascinamento ] :

Si arriva quindi allo stesso enunciato della condizione necessaria esu±ciente per l'equilibrio assoluto con la sola avvertenza che, nelcaso dell'equilibrio relativo, vanno annoverate fra le forze attiveanche quelle di trascinamento.

4.5.2 Casi particolari notevoli

Traslazioni

Gli assi di riferimento (O0; x0; y0; z0) sono animati da un mototraslatorio. Denotando con aO0 l'accelerazione dell'origine O

0

del sistema (O0; x0; y0; z0) avremo cosμ³ la forza di trascinamentoF¿ = ¡maO0 . In particolare: una traslazione uniforme (aO0 =0) non ha alcuna in°uenza sulle condizioni statiche: essesono identiche a quelle valide per l'equilibrio assoluto.



Rotazioni uniformi

Gli assi di riferimento sono animati da un moto rotatorio uni-forme. Essendo! la velocitμa angolare (costante) eQ la proiezionesull'asse di rotazione del generico punto P che si considera, sappi-amo che:

a¿ = !2(Q¡ P ); da ciμo F¿ = m!

2(P ¡Q): (4.26)

A questa forza di trascinamento si dμa il nome di forza centrifuga.Si prova che:

Teorema 4.9. La forza centrifuga ha carattere di forza conserva-tiva; il suo potenziale unitario vale 1

2m!2jPQj2.

Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che il vettore F¿ha componenti date da

F¿;x0 = m!2x0; F¿;y0 = m!2y0; F¿;z0 = 0

dove abbiamo scelto, per comoditμa, un sistema di riferimento(O0; x0; y0; z0) con (O0; z0) coincidente con l'asse di rotazione e dovem denota la massa del punto P . Quindi, per ispezione diretta,segue che F¿ = rU dove

U =1

2m!2jPQj2 = 1

2m!2[(x0)2 + (y0)2]:

Inoltre si trova che:

Teorema 4.10. La forza centrifuga per un corpo rigido ha poten-ziale dato da 1

2Ir!2 dove Ir μe il momento di inerzia rispetto all'asse

di rotazione.

Dimostrazione. Se consideriamo il corpo rigido costituito da unsistema di punti Ps di massa ms allora sia Us =

12ms!

2r2s il poten-ziale della forza centrifuga sul punto Ps distante rs dall'asse dirotazione. Quindi

U =NXs=1

Us =NXs=1

1

2ms!

2r2s =1

2!2

NXs=1

msr2s =

1

2Ir!2:


132 4 Statica

4.5.3 Peso e attrazione terrestre

De¯nizione 4.11. De¯niamo peso di un punto pesante P inprossimitμa della super¯cie della terra la forza che occorre vincereper impedirne la caduta; cio¶e per mantenerlo in equilibrio relativorispetto alla terra.

Per l'enorme distanza, le attrazioni dei vari corpi celesti risul-tano trascurabili in confronto all'attrazione terrestre G. Cosμ³quest'ultima μe sensibilmente la sola forza agente su P . Sarebbequindi necessario e su±ciente bilanciare G per mantenerlo inequilibrio assoluto. Se si vuole invece studiare l'equilibrio rela-tivo rispetto ad assi solidali con il nostro globo, si sarμa condottiad associare a G la forza di trascinamento F¿ , proveniente dalmoto di questi assi (rispetto alle stelle ¯sse). In ultima analisi laconcezione Newtoniana porta ad identi¯care il peso (forzada vincere per l'equilibrio relativo del generico P ) con la sommaG+F¿ della attrazione terrestre e della forza di trascina-mento.

Speci¯cazione di F¿

Il movimento della Terra si intenderμa composto di una rotazioneuniforme intorno all'asse polare (rotazione diurna) e di unatraslazione di insieme, per cui (conformemente alle leggi di Ke-plero) la Terra descrive, in un anno, un'ellisse attorno al sole, comefuoco. La forza di trascinamento F¿ risulterμa di conseguenza dallasomma di due addendi: l'uno F¿;1 dovuto alla rotazione, l'altroF¿;2 dovuto alla traslazione. Se si pensa che in quest'ultimomovimento si richiede un intero anno a compiere un giro e chequindi (per intervalli di tempo piccoli di fronte al periodo) il motopuμo sensibilmente considerarsi come rettilineo uniforme, si μe trattia trascurare senz'altro F¿;2. Non solo, la forza F¿;2 μe dovuta almoto della terna attorno al sole, moto che μe dovuto alla forza diattrazione del sole; di fatto la F¿;2 si elide con la forza di attrazionedel sole. Quando si tiene conto di F¿ ¼ F¿;1 si ha la equazionevettoriale

g =G + F¿;1 (4.27)



la quale spiega, a prima vista, il fatto qualitativo che l'accelerazionedi gravitμa g va aumentando dall'equatore verso i poli. Il vettoreG μe diretto dal punto P verso il centro della terra ed ha intensitμaG = f mM

R2(dove R μe il raggio terrestre, M la massa della terra ed

m la massa del punto); il vettore F¿;1 μe normale e uscente dall'assedi rotazione ed ha intensitμa !2R cos ¸ dove ¸ indica la latitudinedi P e dove ! = 2¼

24¢3600 .


5

Cenni di meccanica dei continui deformabili

Esamineremo ora alcune nozioni generali, nello schema classico,della meccanica dei continui; ossia di quei sistemi ¯sici costituitida una in¯nitμa continua di punti materiali privi del vincolo dirigiditμa, e perciμo detti corpi deformabili, occupanti una certaposizione dello spazio euclideo tridimensionale che puμo essere, aseconda dei casi, un volume V , una super¯cie ¾ o un arco di curva°. Rientrano in questo schema i ¯li, le membrane, i °uidi e, inparticolare, i liquidi, i corpi elastici, plastici, etc..Per mezzo continuo si intende un qualsiasi corpo consid-

erato come una estensione continua di materia prescindendodalla struttura atomica o molecolare.Come primo caso studiamo un caso particolare: i ¯li. Nel se-

guito studiamo il problema in generale.

5.1 Un caso particolare: statica dei ¯li

5.1.1 Fili °essibili ed inestendibili. De¯nizione e postulatocarattersitico

De¯nizione. Diremo ¯lo °essibile ed inestendibile ogni sistemamateriale ad una dimensione tale che:

a) sia possibile, esercitando convenienti forze, disporre il ¯lo sec-ondo una linea geometrica qualsiasi;

b) presi comunque sul ¯lo due punti, l'arco fra essi compreso con-serva, in ogni possibile con¯gurazione, la medesima lunghezza.


136 5 Cenni di meccanica dei continui deformabili

Assumeremo, per la statica dei ¯li, valido il seguente postulatodi immediata evidenza sperimentale:Postulato caratteristico dei ¯li: Condizione necessaria e

su±ciente per l'equilibrio di un tratto AB di ¯lo °essibile e ines-tendibile, sollecitato esclusivamente da due forze di vettore FA eFB applicate agli estremi, μe che il tratto di ¯lo sia rettilineo e ledue forze siano direttamente opposte e dirette verso l'esterno diAB.Dal postulato segue subito che: ¯ssato un punto P qualsiasi sul

¯lo tra A e B e pensando, idealmente, di eliminare il tratto PBconsiderando il solo tratto AP allora questo tratto AP rimarrμaancora in equilibrio e sarμa soggetto, oltre che alla forza in A, aduna forza incognita ¿ in P dovuta al tratto di ¯lo che abbiamoidealmente eliminato. Applicando il postulato al tratto di ¯lo APsegue che FA e ¿ sono direttamente opposte, cio¶e ¿ μe uguale aFB. Segue che la forza di vettore ¿ μe sempre diretta versol'esterno del tratto di ¯lo AP che viene idealmente isolatoed μe la stessa per tutti i punti del ¯lo. Questa forza prendeil nome di tensione, ha natura di forza interna (vincolare) ed ¶edovuta alla presenza del tratto PB che pensiamo idealmente dieliminare. Si osservi che lungo il tratto rettilineo del ¯lo in equi-librio si ha trasmissione perfetta in grandezza e direzionedella tensione.

5.1.2 Condizioni di equilibrio. Equazione inde¯nite dell'equilibriodei ¯li.

Consideriamo un ¯lo AB che sia sollecitato, oltre agli estremi, an-che in un numero ¯nito di punti Pi dalle forze Fi, i = 1; 2; : : : ; n¡1(poniamo A = P0 e B = Pn). Sui punti Pi saranno poi applicatele tensioni ¿ i (dovuta al tratto di ¯lo PiPi+1 in equilibrio) e ¡¿ i¡1(dovuta al tratto di ¯lo Pi¡1Pi in equilibrio); la condizione di equi-librio del ¯lo impone che ogni punto Pi sia in equilibrio, quindidovrμa essere

Fi ¡ ¿ i¡1 + ¿ i = 0; i = 1; 2; : : : ; n¡ 1; (5.1)

e

FA + ¿ 0 = 0 FB ¡ ¿n¡1 = 0:


5.1 Un caso particolare: statica dei ¯li 137

Queste rappresentano quindi le condizioni necessarie e su±ci-enti per l'equilibrio di un tratto di ¯lo °essibile ed ines-tendibile sollecitato in un numero ¯nito di punti.Consideriamo ora il caso in cui il ¯lo sia soggetto ad una sol-

lecitazione distribuita su tutto il ¯lo. A tal ¯ne introduciamo unafunzione F(s), che prende il nome di forza unitaria e dove s μe laascissa curvilinea sul ¯lo, tale che Fds rappresente il vettore (in-¯nitesimo) della forza applicata al tratto di ¯lo di lunghezza ds. Laequazione cardinale della statica implica la condizione necessariaper l'equilibrio del ¯lo:

FA + FB +Z `

0F(s)ds = 0

dove ` μe la lunghezza del ¯lo. In analogia al caso precedente an-diamo ad introdurre la tensione ¿ (s) del ¯lo dovuta al tratto di¯lo che, idealmente, andiamo ad eliminare nel punto P = P (s),s 2 [0; `], denota l'ascissa curvilinea. Consideriamo il tratto di¯lo AP (s) che, essendo in equilibrio, dovrμa soddisfare alla analogaequazione

FA + ¿ (s) +Z s

0F(»)d» = 0; (5.2)

la stessa equazione dovrμa essere soddisfatta anche per il tratto di¯lo AP (s+¢s) e, sottraendo membro a membro le due equazioni,si ottiene che deve essere

¿ (s+¢s)¡ ¿ (s) +Z s+¢s

sF(»)d» = 0:

Dividendo per ¢s e passando al limite ¢s ! 0 si ottiene laequazione inde¯nita dell'equilibrio dei ¯li

F(s) +d¿ (s)

ds= 0 (5.3)

che deve essere soddisfatta in ogni punto P = P (S) internoall'arco AB. Negli estremi dovrμa essere

FA + ¿ (0) = 0; FB ¡ ¿ (`) = 0:Queste due equazioni danno, nel loro complesso, le condizioninecessarie e su±cienti per l'equilibrio dei ¯li (a rigore, in



questo modo ne viene provata la sola condizione necessaria, perprovare la condizione su±ciente con analogo ragionamento occorreinvocare il postulato per la statica dei mezzi continui).Osserviamo che noi abbiamo dedotto la equazione inde¯nita

dei ¯li tramite le condizioni (necessarie) per l'equilibrio dei sis-temi. Un altro modo per ottenerle (dimostrando anche la con-dizione su±ciente) consiste nell'approssimare la curva attraversouna poligonale e ottenere la (5.3) attraverso un passagio al limitedelle (5.1); in questo modo segue che le (5.3) sono su±cienti perl'equilibrio e non solo necessarie. Pi¶u precisamente la (5.1) prendela forma

F(s)¢s ¡ ¿ (s) + ¿ (s+¢s) = 0dove ¿ (s) ¶e la tensione dovuta al tratto di ¯lo P (s)B e dove ¢s¶e un incremento della ascissa curvilinea. Dividendo ambo i mem-bri per ¢s e passando al limite si ottiene la equazione inde¯nitadell'equilibrio dei ¯li.Dimostriamo che la tensione ¿ (s) μe tangente al ¯lo. A tal

¯ne consideriamo la equazione dei momenti per il tratto di ¯loAP (s) che prende la forma

FA £ (O ¡ A) + ¿ (s)£ (O¡ P (s)) +Z s

0F(»)£ (O ¡ P (»))d» = 0;

derivando questa rispetto ad s si ottiene

¿ (s)

ds£ (O¡ P (s))¡ ¿ (s)£ dP (s)

ds+ F(s)£ (O ¡ P (s)) = 0

che si riduce alla

¿ (s)£ dP (s)

ds= 0

in virtμu della (5.3). Quindi, essendo dPds= t segue che ¿ (s) =

¿(s)t(s).L'equazione vettoriale (5.3) puμo essere scissa nelle componenti

scalari; le componenti della tensione, in virtμu della osservazioneprecedente, valgono ¿ dx

ds; ¿ dy

dse ¿ dz

ds. Quindi, con ovvio signi¯cato

delle notazioni, si ha che


5.1 Un caso particolare: statica dei ¯li 1398>>><>>>:dds

³¿ dxds

´+ Fx = 0

dds

³¿ dyds

´+ Fy = 0

dds

³¿ dzds

´+ Fz = 0

(5.4)

Poich¶e s non μe un parametro arbitrario, bensμ³ la lunghezza dell'arcodella funicolare, deve essere anche soddisfatta la ulteriore relazioneÃ

dx

ds

!2+

Ãdy

ds

!2+

Ãdz

ds

!2= 1: (5.5)

Le (5.4) e (5.5) sono 4 equazioni di®erenziali (ordinarie) nelle 4incognite x(s); y(s); z(s) e ¿ (s) e dipendenti da sei costanti ar-bitrarie. Queste saranno determinate, ad esempio, a partire dallecomponenti delle forze applicate negli estremi o, piμu generalmente,essendo questi incogniti, imponendo che per s = 0 l'estremo dellacorda sia in A e che per s = ` l'altro estremo sia in B.Un altro modo di proiettare l'equazione vettoriale

d¿

ds+ F = 0 (5.6)

consiste ponendo ¿ = ¿ t e ricordando che 1½cn = dt

ds, dove ½c denota

il raggio di curvatura. Segue che la (5.6) assume la forma

d¿

dst +

¿

½cn + F = 0:

Queste equazioni, proiettate sulla terna intrinseca, diventano

d¿

ds+ Ft = 0;

¿

½c+ Fn = 0; Fb = 0 (5.7)

che prendono il nome di equazioni intrinseche dell'equilibriodei ¯li °essibili ed inestendibili. In particolare risulta che incondizioni statiche, la forza unitaria, in ogni punto dellafunicolare, μe contenuta nel rispettivo piano osculatore.Un'altra notevole proprietμa segue direttamente dalla prima

delle (5.7) nel caso di forze posizionali. Infatti, se U denota unaprimitiva di Ft, cio¶e U(s) =

R s Ft(s)ds+c, coincidente con il poten-ziale di F nel caso in cui questa sia conservativa, allora segue che



d(¿ + U)

ds= 0; cio¶e ¿ + U = costante:

Quindi se le forze sono conservative (o anche posizionali),la tensione di®erisce solo per una costante dal potenzialecambiato di segno (cio¶e dell'energia potenziale).

5.1.3 Complementi: ¯lo soggetto ad un sistema di forze parallele

Supponiamo che il ¯lo sia sollecitato da forze parallele e che siscelga il sistema di riferimento in modo tale che sia Fx ´ Fz ´ 0.La prima e la terza delle (5.4) danno, rispettivamente

¿dx

ds= '; ¿

dz

ds= C

dove C e ' designano due costanti arbitrarie. Da queste re-lazioni, eliminando ¿ si ottiene C dx

ds¡ 'dz

ds= 0 che integrata,

Cx(s) ¡ 'z(s) = Cost: esprime il fatto che la curva giace in unpiano parallelo all'asse delle y, cio¶e alla comune direzione delleforze attive. Osserviamo che abbiamo escluso il caso particolarein cui C = ' = 0; tale caso μe possibile solo quando siamo neiseguenti due casi banali (che quindi escluderemo): il caso in cui Fμe identicamente nulla ed il caso della funicolare rettilinea aventela stessa direzione della forza F. Escludendo quindi questi duecasi scegliamo il riferimento con origine O in A, in modo che siax(0) = y(0) = z(0) = 0 da cui deve essere Cx(s) ¡ 'z(s) = 0,e orientato in modo che sia C = 0; cio¶e la funicolare sia nel pi-ano z = 0. Rimangono, per de¯nire la curva e la tensione, le treequazioni 8>><>>:

¿ dxds= '

dds

³¿ dyds

´= ¡Fy;³

dxds

´2+³dyds

´2= 1

dove la ' μe una costante a priori arbitraria e di®erente da zero.Dalla prima equazione e ricordando che ¿ ¢t = ¿ dx

dssi osserva subito

che: lungo la funicolare μe costante la componente dellatensione normale alla direzione della sollecitazione, nel casoparticolare della forza peso μe costante la componente orizzontale.



Catenaria omogenea

Consideriamo il caso in cui la funicolare sia omogenea e siasoggetta alla sola forza peso p, sia inoltre sospesa a due estremiA e B (non situati sulla stessa verticale). La funicolare giacerμanel piano verticale di A e B e, orientando l'asse y verticale ascen-dente e x in modo che sia xB > xA allora le equazioni precedentiassumono la forma 8>><>>:

¿ dxds= '

dds

³¿ dyds

´= p;³

dxds

´2+³dyds

´2= 1

dove la costante ' deve essere positiva in virtμu di quanto detto inprecedenza ed in virtμu della scelta dell'orientamento dell'asse x.Da ci¶o segue che ¿ (s) > 0 e dx

ds6= 0 per ogni s, da quest'ultima

relazione e dal teorema della funzione inversa ¶e possibile esprimerela curva attraverso una relazione y = y(x), pertanto il sistemaprende la forma 8>><>>:

¿ dxds= '

dds(y0) = p

';³

dxds

´2 h1 + y02

i= 1

dove y0 denota dydx. Dalla terza relazione allora la seconda equazione

puμo essere scritta come

y00q1 + y02

=p

'

che integrata dμa

logμq

1 + y02 + y0¶=p

'x+ Cost:

dove, per e®etto di una traslazione degli assi parallela all'asse y, sipu¶o scegliere l'origine in modo che l'asse delle x sia parallelo allatangente alla funicolare (in modo che sia y0(0) = 0), si sceglie lacostante nulla. Questa equazione puμo poi essere messa nella formaq

1 + y02 + y0 = ep'x



che, osservandoμq

1 + y02 + y0¶μq

1 + y02 ¡ y0¶= 1, deve valere

anche la q1 + y02 ¡ y0 = e¡ p

'x:

Allora, sottraendo la seconda alla prima, si ottiene

y0 = sinh(px=')

che ha soluzione generale

y(x) = ¸cosh(x=¸) + Cost: (5.8)

dove abbiamo posto ¸ = '=p e dove la costante di integrazione puμoessere scelta nulla per e®etto di una traslazione degli assi parallelaall'asse x. La curva (5.8) prende il nome di catenaria omogeneae (assumendo la costante nulla) ha vertice di valore ¸.Per determinare la tensione la prima delle equazioni inde¯nite

dμa

¿ = '

"dx

ds

#¡1= '

q1 + y02 = '

Ã'

py00!='2

p¸cosh(x=¸) = py

cio¶e in un punto generico di una catenaria omogenea la tensione μeuguale al peso di un tratto di ¯lo di lunghezza uguale alla distanzadel punto dalla base; quindi la tensione μe minima nel puntopiμu basso della funicolare ed assume qui il valore p¸ = ',componente tangenziale costante della tensione.Inoltre

dx

ds=

1p1 + y02

=1q

1 + sinh2(x=¸)=

1

cosh(x=¸)

da cui segue

ds

dx= cosh(x=¸) e quindi s(x) = ¸sinh(x=¸) (5.9)

convenendo di misurare gli archi s della funicolare a partire dalpunto della curva di ascissa x = 0 e nel verso delle x crescenti.Imponiamo ora che la catenaria passi per due punti dati A e B

e abbia lunghezza `; per fare ciμo esprimiamo la catenaria rispetto



ad un sistema di coordinate avente centro A dove, e®ettuando unatraslazione qualunque, le (5.8) e (5.9) diventano

y(x) = ¸cosh[(x¡ x0)=¸] + y0; s(x) = ¸sinh[(x¡ x0)=¸]dove s(x) denota l'ascissa curvilinea della catenaria, misurata apartire dal punto di ascissa x0. Supponiamo, senza perdere ingeneralitμa, che sia 0 = xA < xB e 0 = yA · yB, cioμe A coincidecon l'origine e xB > 0 e yB ¸ 0, ed inoltre sarμa `2 ¸ x2B + y2B. Lacondizione che la curva passi per A e poi per B impone(¡y0 = ¸cosh(x0=¸)

yB = ¸ fcosh[(xB ¡ x0)=¸]¡ cosh(x0=¸)ged inoltre deve essere ` = s(xB)¡ s(0), cio¶e

` = ¸ fsinh[(xB ¡ x0)=¸] + sinh(x0=¸)g :Ora quadrando le ultime due e sottraendole tra loro si ha `2 ¡y2B = 2¸2 [cosh(xB=¸)¡ 1] e, ponendo » = xB=2¸ e q2 = (`2 ¡y2B)=x

2B ¸ 1, e ricordando che coshz ¡ 1 = 2sinh2(z=2), si ottiene

in¯ne sinh2»

»2= q2 e quindi sinh»

»= q essendo q e » positivi. Questa

μe una equazione nella sola incognita » o, in ultima analisi, nellatensione orizzontale essendo ' = xBp

2»; questa equazione ha una sola

soluzione (per » positivi). Individuato cosμ³ il valore di » segue ilvalore di ¸ e quindi il valore di x0 e, poi, di y0.

5.1.4 Complementi: ¯lo teso su una super¯cie

Superi¯e liscia (o levigata)

Applichiamo le equazioni intrinseche (5.7) allo studio delle con-¯gurazioni di un ¯lo (teso) appoggiato ad una super¯cie levi-gata. Qui, la sollecitazione continua lungo il ¯lo si riduce allasola reazione o®erta dall'appoggio (supponendo che il peso com-plessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate sugli es-tremi). Supponendo l'assenza di attrito allora la reazione μe tuttanormale; d'altra parte, lungo la funicolare, essa deve appartenereal piano osculatore e quindi in ogni punto della funicolare ilpiano osculatore μe normale alla super¯cie di appoggio o,equivalentemente, la normale alla funicolare ha la stessa direzione



della normale alla super¯cie di appoggio. Quindi la funicolaredescrive sulla super¯cie una curva geodetica. Possiamo quindiconcludere cheTeorema. Un ¯lo teso sopra una super¯cie priva d'attrito e

soggetto a forze attive soltanto agli estremi, si dispone secondouna geodetica della super¯cie.Inoltre, poich¶e in condizioni statiche, la reazione μe in ogni punto

normale alla super¯cie si ha Ft = 0 e quindi risulta ¿ = costante.Cio¶e la tensione si trasmette inalterata in intensitμa da uncapo all'altro del ¯lo.

Super¯cie scabra

Applichiamo le equazioni intrinseche (5.7) allo studio delle con-¯gurazioni di un ¯lo (teso) appoggiato ad una super¯cie scabra.Qui, la sollecitazione continua lungo il ¯lo si riduce alla solareazione o®erta dall'appoggio (supponendo che il peso complessivosia trascurabile rispetto alle tensioni esercitate sugli estremi). Adi®erenza del caso precedente F non μe necessariamente normalealla super¯cie di appogio ¾ e quindi Ft sarμa in generale diversada zero e quindi ¿ varierμa lungo il ¯lo. Per valutare la tensionedi ¿ lungo il ¯lo ci restringiamo al caso particolare in cui il ¯loμe adagiato lungo una geodetica in modo che Fn si identi¯chi conla reazione normale (in quanto la normale principale alla curva nμe normale alla super¯cie, deve essere anche Fn · 0 in modo che¿ ¸ 0) e che, essendo Fb = 0, l'attrito statico risulti diretto lungola tangente alla funicolare e perci¶o coincide con Ft. Quindi lacondizione dell'attrito radente

jFtj · f jFnj assume la forma

¯¯d¿ds

¯¯ · f ¿½c : (5.10)

Premesso ci¶o valutiamo la massima di®erenza tra le intensitμa diFA e FB per le quali si ha ancora equilibrio. La massima intensitμasi avrμa quando la (5.10) μe della forma

d¿

ds= f

¿

½cche ha soluzione log(¿B=¿A) =

Z°fds

½c(5.11)

dove ¿B e ¿A denotano le intensitμa della tensione in A e B e dove° μe la traiettoria congiungente A e B.


5.2 Cinematica dei continui deformabili 145

Nel caso particolare di una corda avvolta ad un cilindro di rag-gio r allora la (5.11) assume la forma (indipendente dal raggior) ¿B = ¿Ae

fμ dove μ designa l'angolo al centro (μ 2 R) compresotra A e B.

5.2 Cinematica dei continui deformabili

Nel seguito, per comodit¶a di notazione, gli assi del sistema di rifer-imento hanno coordinate x1, x2 e x3 invece che, come usuale, x, ye z.

5.2.1 Introduzione

Studieremo inizialmente, da un punto di vista cinematico (cio¶esenza occuparci delle forze), i movimenti e le deformazioni deimezzi continui; rientra in questo studio, come caso particolare,anche il caso dei corpi rigidi anche se ¯sseremo l'attenzione sulledeformazioni dei corpi elastici e sui movimenti dei °uidi. La dif-ferenza tra i tre casi, da un punto di visto cinematico, μe solo questa:in un corpo rigido la distanza tra due punti qualunque simantiene sempre invariata, in un corpo soggetto a de-formazione elastica tale distanza varia entro certi limitiristretti mentre in un °uido la distanza tra due particellepuμo variare comunque.Uno dei primi e basilari postulati che si ammettono a base di

questa teoria μe quello della conservazione della massa che im-plica che i punti materiali P , riguardati come particelle di volumedv e massa dm = ½dv, se ½ = ½(P ; t) μe la densitμa, non possono inogni istante n¶e lacerarsi e n¶e sovrapporsi. Ciμo equivale a ritenereche, ¯ssata una qualunque terna di riferimento (O; x1; x2; x3), visia in ogni istante una corrispondenza biunivoca e con-tinua fra i punti P 0(x01; x

02; x

03) di una con¯gurazione iniziale

C0 del corpo ad un istante t0 ed i punti P (x1; x2; x3) di unacon¯gurazione C generica ad un istante t, cos¶³ che ogni par-ticella P μe distinta (individualizzata) fra tutte le altre dalla suaposizione iniziale P 0. Analiticamente ciμo equivale a pensare

P = P (x01; x02; x

03; t); ossia xi = xi(x

01; x

02; x

03; t); i = 1; 2; 3:(5.12)



La corrispondenza espressa dalla (5.12) deve dunque diventare in-vertibile e bicontinua, perch¶e ¯ssato un qualunque P 2 C vi deveessere un solo P 0 2 C0 da cui esso proviene. A tale scopo si richiedeche le funzioni xi = xi(x

01; x

02; x

03; t) siano continue con derivata

priva continua e che il determinante Jacobiano de¯nito da

J(P ; t) =

¯¯@xi@x0j

¯¯ = det

0BB@@x1@x01

@x1@x02

@x1@x03

@x2@x01

@x2@x02

@x2@x03

@x3@x01

@x3@x02

@x3@x03

1CCA (5.13)

sia sempre diverso da zero. In particolare, poich¶e per t = 0 μe

J(P ; 0) = det

0B@1 0 00 1 00 0 1

1CA = 1; (5.14)

per continuitμa risulta J(P ; t) > 0 in un conveniente intorno dit = 0 e, quindi, anche per qualunque t data l'arbitrarietμa dellascelta dell'istante iniziale.

5.2.2 Punto di vista lagrangiano ed euleriano

Punto di vista lagrangiano (o sostanziale)

Le equazioni (5.12)

xi = xi(x01; x

02; x

03; t); (5.15)

¯ssato P0, sono le equazioni lagrangiane del moto della particellaP individuata dalla posizione P0 nella con¯gurazione C0, o, se sivuole, delle x01; x

02; x

03 costanti rispetto al tempo. Le variabili xi,

rispetto a t, si prestano a descrivere il moto particella perparticella: per seguire una particella basta ¯ssare P0 in C0, ovverole x0i , e far variare t. Cos¶³ , ad esempio, la funzione vettoriale dit e P0:

v =@P

@t= v(x0i ; t)

di componenti

_xi =@xi@t(x01; x

02; x

03; t) (5.16)



dμa, in funzione di t, la velocitμa all'istante t della generica particellache si trovava in P0 per t = t0. Analogamente

a = a(x0i ; t) =@v

@t(x0i ; t) =

@2P

@t2

di componenti

Äxi =@2xi@t2

(x01; x02; x

03; t) (5.17)

ne dμa la accelerazione. Questo μe il cosidetto punto di vista la-grangiano o sostanziale.

Punto di vista euleriano (o locale)

Il moto di un mezzo continuo si puμo studiare, oltre che seguendouna determinata particella (detto punto di vista sostanziale oLagrangiano), anche considerando quanto avviene in un deter-minato punto dello spazio dove passano successivamente diverseparticelle ( detto punto di vista locale o Euleriano). Nelprimo caso viene ¯ssato il punto iniziale (x01; x

02; x

03) e le coordinate

(5.15) sono variabili e dipendenti da t; nel secondo caso viene ¯s-sato il punto nello spazio di coordinate (x1; x2; x3) e saranno quindidipendenti dal tempo le coordinate x0i del punto che all'istante tsaranno in (x1; x2; x3).

Derivata sostanziale e derivata locale

Corrispondentemente ad qualsiasi grandezza ¯sica f = f (x1; x2; x3; t)si hanno due tipi di derivate rispetto al tempo, secondo che si con-sideri la variazione di f per una determinata particella, e quinditenendo costanti x01; x

02; x

03 e pensando x1; x2; x3 variabili nel

tempo secondo la (5.15) ottenendo

f = f [xi(x0j ; t); t];

o per un dato punto dello spazio, e quindi tenendo costantix1; x2; x3 ottenendo

f = f(xi; t):



La prima derivata, detta sostanziale, si denota con dfdt; la seconda

derivata, detta locale, si denota con @f@t.

Per trovare la relazione tra le due derivate si osserva che laderivata sostanziale vale

df

dt=@f

@t+ _x1

@f

@x1+ _x2

@f

@x2+ _x3

@f

@x3

=@f

@t+ v1

@f

@x1+ v2

@f

@x2+ v3

@f

@x3=@f

@t+ v ¢ rf (5.18)

dove rf μe il vettore di componenti @f@x1; @f@x2; @f@x3

calcolate in

(x1(t); x2(t); x3(t)).

5.2.3 Equazioni di continuitμa

Moti stazionari

De¯nizione 5.1. Si chiama moto stazionario il moto di unmezzo quando, da un punto di vista locale, la velocitμa v μe costanterispetto al tempo:

@v1@t

=@v2@t

=@v3@t

= 0:

Cio¶e in un qualsiasi punto dello spazio la velocitμa del mezzo nonvaria in grandezza n¶e in direzione con il tempo.

Flusso di un °uido

Sia assegnata, nello spazio occupato da un °uido in movimento,una super¯cie regolare ¾ ¯ssa e su di essa assegnamo, ad arbitrio,un verso positivo per la normale N. Si chiama °usso del °uidoattraverso la super¯cie ¾ la massa di °uido che l'attraversa, perunitμa di tempo. Se la super¯cie ¾ μe chiusa allora si chiama °ussouscente il °usso calcolato orientando la normale verso l'esterno, e°usso entrante quello calcolato con la convenzione opposta. Siha che:

Teorema 5.2. Sia ¾ una super¯cie chiusa non normale N uscente,sia v la velocitμa che hanno le particelle nell'attraversare ¾ e sia ½ ladensitμa del °uido; allora il °usso ª uscente attraverso la super¯cie¾ in una unitμa di tempo μe dato da



ª =Z¾½vNd¾; vN = v ¢ N: (5.19)

Dimostrazione. Infatti, ¯ssato l'elemento di super¯cie in¯nitesimod¾, la quantit¶a di °uido che attraversa ¾ nell'unit¶a di tempo sar¶adato dalla massa (in¯nitesima) ½d¾ moltiplicata per la velocit¶adi queste particelle normale alla super¯cie. Sommando rispetto atutti i contributi in¯nitesimi si ottiene la (5.19).

Equazione di continuit¶a

Sia ¾ una super¯cie chiusa, ¯ssa e regolare qualunque racchiudenteun volume S, la massa contenuta in essa sarμa

RS ½dS funzione, in

generale, del tempo essendo tale la densitμa ½. Il suo incrementonell'unitμa del tempo sarμa

RS@½@tdS mentre, se N μe la normale es-

terna, per la (5.19), la quantit¶a di massa entrante nell'unitμa ditempo, sarμa ¡ R¾ ½vNd¾. Uguagliando queste due relazioni si ot-tiene la seguente Z

S

@½

@tdS +

Z¾½vNd¾ = 0 (5.20)

che deve valere per qualunque volume S interno al °uido. Facendouso del teorema della divergenza segue che1Z

S

"@½

@t+ div (½v)

#dS = 0

che dovendo valere per ogni S dovrμa essere in ogni punto (as-sumendo la funzione integranda continua su tutto R3 in ogni is-tante)

@½

@t+ div (½v) = 0: (5.21)

Questa equazione prende il nome di equazione di continuitμa(dal punto di vista euleriano).Poich¶e div (½v) = ½div v + v ¢ r½ segue che la (5.21) assume

la seguente forma (lagrangiana)

1 Dato un generico vettore v di compoenti (v1; v2; v3) si denota con divergenza div, e si denota div v, la grandezza scalare @v1

@x1+ @v2

@x2+ @v3

@x3.



d½

dt+ ½ div v = 0 (5.22)

in virt¶u delle (5.18).Se il °uido μe incomprimibile (e omogeneo) la sua densitμa ½ μe

costante e l'equazione di continuitμa diventa

div v = 0;

cio¶e la velocitμa μe un campo vettoriale a divergenza nulla. Questicampi vettoriali a divergenza nulla si dicono campi solenoidali.

5.2.4 Spostamenti e piccole deformazioni

Cominciamo con una analisi puramente cinematica, cio¶e indipen-dentemente dalle forze che lo producono, delle piccole defor-mazioni di un mezzo continuo. A tale scopo ci riferiamo ad unsistema cartesiano (O; x1; x2; x3) ed indichiamo con P (x1; x2; x3)un generico punto del mezzo nello stato naturale C (cio¶e in as-senza di deformazioni), e con P ? la posizione di P nella genericacon¯gurazione deformata C?. Denoteremo con s(P ) = P ? ¡ P lafunzione spostamento del punto P e con si(P ) le sue componenticartesiane. Studiamo ora la distribuzione degli spostamenti in unintorno V di P introducendo un sistema di riferimento cartesiano(P ; »1; »2; »3) con origine in P ed assi paralleli rispettivamente ax1; x2; x3. Sia poi Q = Q(»1; »2; »3) un generico punto del dettointorno V e s(Q) = Q? ¡Q lo spostamento di Q dello stato natu-rale C alla con¯gurazione deformata C?. Le componenti cartesianesi(Q) sono funzioni delle coordinate di Q rispetto ad O e cioμe dixi + »i e potranno essere sviluppate in serie di Taylor di puntoiniziale P , trascurando gli in¯nitesimi di ordine superiore al primoordine nelle »i, ottenendo

si(Q) = si(xj + »j) (5.23)

= si(P ) +

Ã@si@x1

!P

»1 +

Ã@si@x2

!P

»2 +

Ã@si@x3

!P

»3 +O(j»j2)

dove O(j»j2) denota un in¯nitesimo del secondo ordine per j»j pic-colo (che nel seguito trascuriamo) e dove assumiamo si regolare(ad esempio di classe C2(R)). Ponendo



®i;k =@si@xk

¯¯P

; i; k = 1; 2; 3;

tenendo presente l'identitμa

®i;k =1

2(®i;k + ®k;i) +

1

2(®i;k ¡ ®k;i)

e ponendo

°i;k = °k;i =1

2(®i;k + ®k;i) =

1

2

Ã@si@xk

+@sk@xi

!P

; i; k = 1; 2; 3;(5.24)

e

R1 =®3;2 ¡ ®3;2

2; R2 =

®1;3 ¡ ®3;12

; R3 =®2;1 ¡ ®1;2

2: (5.25)

le (5.23) forniscono

s1(Q) = s1(P ) + (°1;1»1 + °1;2»2 + °1;3»3) + (¡R3»2 +R2»3) +O(j»j2);s2(Q) = s2(P ) + (°2;1»1 + °2;2»2 + °2;3»3) + (R3»1 ¡R1»3) +O(j»j2);s3(Q) = s3(P ) + (°3;1»1 + °3;2»2 + °3;3»3) + (¡R2»1 +R1»2) +O(j»j2):Sinteticamente queste possono essere scritte

s(Q) = s(P ) + d+ r+O(jP ¡Qj2) (5.26)

dove le componenti di d sono

di =3Xk=1

°i;k»k; i = 1; 2; 3; (5.27)

e il vettore r vale

r = R£ (Q¡ P ) = det

0B@ e1 e2 e3R1 R2 R3»1 »2 »3

1CA (5.28)

essendo R il vettore di componenti (R1; R2; R3).Osserviamo ora che dei tre termini in cui, in base alla (5.26) μe

stato decomposto s(Q), il primo s(P ) rappresenta una traslazione(essendo uguale per tutti i punti Q dell'intorno considerato), ilterzo r rappresenta, per la (5.28), una rotazione individuata



dal vettore velocit¶a angolare (P;R), e quindi s(P ) + r rap-presenta un atto di moto rigido rototraslatorio di tuttol'intorno di P considerato. Allora la (5.26) ci dice che, a menodi termini in¯nitesimi di ordine 2, lo spostamento del gener-ico punto Q μe composto da uno spostamento rigido e dauno spostamento d nel quale interviene la deformazione.Dalle (5.27) poi appare che d μe il risultato dell'applicazione diun operatore lineare T sul vettore Q¡ P , cio¶e

d = T (Q¡ P ) (5.29)

tale operatore lineare (detto anche omogra¯a o tensore), ana-liticamente de¯nito dalla matrice simmetrica (°i;k), con °i;k = °k;i,μe noto come il tensore delle deformazioni o strain. Poich¶e lamatrice μe simmetrica segue che il tensore μe simmetrico.

5.2.5 Analisi dello strain

Le componenti °i;k dello strain hanno un notevole signi¯cato ¯sico.Per studiarlo in maggiore dettaglio supponiamo, per semplicit¶a,nullo lo spostamento rigido dell'intorno di P e trascuriamo ora iresti del tipo O(j»j2), per cui si avrμa semplicemente

s1(Q) = °1;1»1 + °1;2»2 + °1;3»3; (5.30)

s2(Q) = °2;1»1 + °2;2»2 + °2;3»3; (5.31)

s3(Q) = °3;1»1 + °3;2»2 + °3;3»3: (5.32)

Consideriamo poi quella particolare deformazione caratterizzatada °i;k = 0 per i; k 6= 1 (e con °1;1 6= 0). Il corrispondente sposta-mento s(Q) avrμa le seguenti componenti

s1(Q) = °1;1»1; s2(Q) = s3(Q) = 0 (5.33)

e perciμo il punto Q(»1; »2; »3) dello stato naturale passa nel puntoQ? della con¯gurazione deformata di coordinate

»?1 = (1 + °1;1)»1; »?2 = »2; »

?3 = »3; (5.34)

ossia si sposta parallelamente all'asse »1 (e all'asse x1) della quan-titμa °1;1»1. Ciμo signi¯ca che tutti i segmenti paralleli all'asse x1 sidilatano del rapporto 1+°1;1 mentre quelli ortogonali a x1 restano



invariati; la corrispondente deformazione μe allora una pura di-latazione (nel caso in cui °11 > 0, altrimenti se °11 < 0 ¶e unacontrazione) parallela all'asse x1 e °1;1 viene detto il coe±cientedi dilatazione lineare secondo l'asse x1 nel punto P . Analoga-mente °2;2, °3;3 sono i coe±cienti di dilatazione lineare secondo x2,x3 nel punto P .Consideriamo ora una deformazione caratterizzata da tutte le

°i;k = 0 eccetto °2;3 e °3;2. Gli spostamenti corrispondenti sono

s1(Q) = 0; s2(Q) = °2;3»3; s3(Q) = °3;2»2; °3;2 = °2;3:(5.35)

Da qui si vede cheQ si sposta in un piano perpendicolare all'asse »1(o x1) e che il suo spostamento non dipende da »1; possiamo quindilimitarci a studiare il fenomeno nel piano (»2; »3). In questo casoi punti A dell'asse »2 (cio¶e »1 = »3 = 0) appartenenti all'intornodi P si spostano nei punti A?(»1; »2; »3 = °3;2»2), cio¶e sulla retta diequazione »3 = °3;2»2 passante per P e di coe±ciente angolare

°3;2 =»3»2= tan ® » ®:

Similmente i punti dell'asse »3 si portano sulla retta »2 = °2;3»3inclinata rispetto all'asse »3 di un uguale angolo ®. Si puμo alloradire che 2°2;3 rappresenta la variazione che subisce, per e®ettodella deformazione, l'angolo formato dagli assi »2; »3 uscenti daP . Una tale deformazione si chiama uno scorrimento paralleloal piano »2; »3. Analogamente per °1;2 e °1;3, per cui le °i;k coni 6= k si dicono coe±cienti di scorrimento.Data poi la linearitμa delle relazioni (5.30, 5.31, 5.32), si puμo

concludere che la deformazione piμu generale μe ottenuta sovrappo-nendo sei deformazioni particolari corrispondenti alle sin-gole °i;k e determinate quindi dalla sovrapposizione di tredilatazioni parallele agli assi e da tre scorrimenti paralleliai piani coordinati.In¯ne, poich¶e la matrice (°i;k) μe simmetrica, ad essa corrisponde

una quadrica di centro P per cui esistono sempre tre assi prin-cipali che, se presi come assi cartesiani, permettono di scriverel'equazione della quadrica stessa in forma canonica, cioμe tale che°1;2 = °1;3 = °2;3 = 0. Quindi si puμo concludere, in generale, che:



Teorema 5.3 (Teorema di Helmotz). Ogni deformazione μedata dalla sovrapposizione di tre dilatazioni (o compressioni)principali secondo tre direzioni opportune.

5.2.6 Dilatazione cubica

La quantitμa

° = °1;1 + °2;2 + °3;3 =@s1@x1

+@s2@x2

+@s3@x3

= div s(P ) (5.36)

μe detta invariante lineare di deformazione poich¶e si puμo di-mostrare che esso non cambia per trasformazione di coordinate(infatti ° =tr(°i;j) coincide con la traccia del tensore di strain cheμe invariante per trasformazioni di coordinate). Per vederne il suosigni¯cato ¯sico consideriamo la terna costituita dagli assi princi-pali passanti per P ed un parallelepipedo con gli spigoli ¢»1, ¢»2,¢»3 paralleli agli assi principali; il suo volume vale

¢V = ¢»1 ¢¢»2 ¢¢»3:A seguito della deformazione che, per quanto si μe detto, con-siste solo di tre dilatazioni principali, si otterrμa ancora un par-allelepipedo di lati (1 + °1;1)¢»1, (1 + °2;2)¢»2, (1 + °3;3)¢»3, cioμedi volume

¢V ? = (1 + °1;1) ¢ (1 + °2;2) ¢ (1 + °3;3) ¢¢V:Ora, nel limite di piccole deformazioni possiamo trascurare iprodotti della °i;k rispetto all'unitμa ottenendo:

¢V ? ¼ (1 + °1;1 + °2;2 + °3;3)¢V = (1 + °)¢V (5.37)

e quindi ° ha il signi¯cato ¯sico di dilatazione cubica nel puntoP .

5.3 Statica dei continui deformabili

5.3.1 Forze applicate e sforzi

Passiamo ora in rassegna i vari tipi di forze che possono agiresui continui deformabili. Anzitutto possiamo distinguere le forzeesterne, che nei casi concreti sono note in genere, in due tipi:


5.3 Statica dei continui deformabili 155

i. forze di massa, agenti su ogni elemento di massa del corpo(ad esempio il peso);

ii. forze super¯ciali, agenti su ogni elemento della super¯cie dicontorno del corpo.

La forza di massa che agisce sull'elemento (in¯nitesimo) dimassa dm centrato in P si ritiene proporzionale a dm stesso e sipuμo esprimere con Fdm, dove F μe un vettore ¯nito dipendente, alsolito, dalla posizione del punto P , dalla sua velocitμa e dal tempo(in statica assumiamo la dipendenza di F solo dalla posizione diP ). Detta poi ½ la densitμa materiale del corpo, la forza di massapuμo anche essere espressa da

½FdV; (5.38)

essendo dV l'elememto (in¯nitesimo) di volume contenente dm.Analogamente la forza super¯ciale agente sull'elemento d¾ si es-prime con

©d¾; (5.39)

dove ©, forza per unitμa di super¯cie, μe anch'esso un vettore ¯nito.Ci sono poi le forze interne, generalmente incognite, dovute

alla mutua azione delle particelle del corpo (pressione o tensioneinterna) e che preciseremo introducendo in concetto di sforzointerno. Gli sforzi interni sono dovuti a forze molecolari, cio¶ealla mutua interazione tra le molecole. Un fatto essenziale μe chequeste forze sono "a corto raggio", cio¶e esercitano la loro azionesolo sui punti vicini; se ne consegue che le forze interne, con lequali una parte qualunque del corpo μe sollecitata dalle parti con-tigue, agiscono solo direttamente attraverso la super¯cie di taleparte (questo μe vero in generale; pur con qualche eccezione, ad es. icorpi piezoelettrici). Se immaginiamo di considerare all'interno delcorpo un generico elemento super¯ciale d¾, centrato in un puntoP del corpo, su cui ¯ssiamo una faccia positiva e una negativaorientando il versore della normale N allora il sistema delle forzeinterne che le particelle del corpo situate dalla parte della fac-cia negativa esercitano sulle particelle situate dalla parte positivasono in generale, come μe noto, equivalenti a una coppia e a unaforza. In quel che segue ammetteremo che tali forze interne sianoequivalenti ad una sola forza (quando si tiene conto anche della



coppia si parla di continui semi°essibili), proporzionale a d¾,detta sforzo sulla faccia negativa di d¾ che indicheremo ancoracon

©d¾; (5.40)

dove © μe un vettore ¯nito, generalmente incognito, detto sforzospeci¯co nel punto P . Esso μe funzione in generale, oltre che diP e t, anche di N: © = ©(P; t; N).

Se l'angolo tra © ed N μe acuto si parla di © come di una pres-sione, se μe ottuso di una tensione. Ovviamente le particellesituate dalla parte della faccia positiva esercitano sulle particellesituate dalla parte opposta uno sforzo uguale ed opposto, ¡©d¾,per il principio di mutua azione.

5.3.2 Condizioni di equilibrio per i continui deformabili

Come visto a suo tempo, condizione necessaria per l'equilibrio diun qualunque sistema meccanico μe l'annullarsi del vettore risul-tante R e del momento risultante − di tutte le forze (esterne)attive e reattive. Tale condizione non μe perμo, in generale su±-ciente. Per i corpi deformabili ammettiamo il seguente postulato:Postulato fondamentale della statica dei mezzi continui:

Se le condizioni (R = 0− = 0

(5.41)

sono soddisfatte, non solo per il corpo nel suo insieme, ma ancheper una qualsiasi parte di esso, considerato come un sistema a sμe,allora il corpo μe in equilibrio.Osserviamo che nelle (5.41), scritte per una porzione del corpo,

compariranno le forze esterne che competono alla porzione consid-erata e gli sforzi interni esercitati dalle particelle circostanti allaparte stessa.

5.3.3 Formule di Cauchy

Consideriamo per un punto generico P , interno al corpo, tre ele-menti super¯ciali paralleli ai piani coordinati e siano



©1 = ©1;1e1 + ©1;2e2 + ©1;3e3 (5.42)

©2 = ©2;1e1 + ©2;2e2 + ©2;3e3 (5.43)

©3 = ©3;1e1 + ©3;2e2 + ©3;3e3 (5.44)

gli sforzi speci¯ci che si esercitano sugli elementi super¯ciali nor-mali, nell'ordine, agli assi x1; x2; x3. Ciascuno degli sforzi speci¯cisi puμo pensare come somma di tre sforzi, uno normale all'elementosuper¯ciale considerato e due tangenti ad esso. Ad esempio, ©1 μela somma di uno sforzo speci¯co normale misurato da ©1;1 e didue sforzi speci¯ci tangenziali (o di taglio), dati da ©1;2 e ©1;3,paralleli rispettivamente a x2 e a x3. Quindi ©1;1, ©2;2, ©3;3 sonogli sforzi normali e ©i;k, con i 6= k, sono gli sforzi di taglio.Consideriamo ora lo sforzo speci¯co © relativo ad un generico

elemento super¯ciale passante per un punto P interno al corpo.Mandiamo da P tre rette parallele agli assi coordinati e tracciamoun piano d¾ (in¯nitamente) vicino a P e parallelo (cio¶e con lenormali parallele) al piano tangente in P all'elemento super¯cialeconsiderato. Tale piano incontra le rette nei punti A, B e C iquali, con P , individuano un tetraedro (in¯nitesimo) ABCP . Siapoi

N = ®1e1 + ®2e2 + ®3e3

il versore normale alla faccia ABC orientato verso l'esterno deltetraedro. Le facce

d¾1 = PBC; d¾2 = PAC; d¾3 = PAB;

sono tre elementi super¯ciali passanti per P e paralleli ai piani co-ordinati e su di essi orientiamo la normale concordemente al versodell'asse ad esso ortogonale, per cui su di esse agiscono gli sforzispeci¯ci (5.42, 5.43, 5.44); indichiamo poi con © ´ (©1; ©2; ©3)lo sforzo speci¯co relativo alla faccia d¾ = ABC e alla normaleesterna (cioμe quello esercitato dalle particelle del tetraedro versol'esterno attraverso ABC).All'interno del tetraedro agiscono poi le forze esterne di massa

½Fdv = (½F1dv; ½F2dv; ½F3dv) (5.45)

dove dv μe il volume (in¯nitesimo) del tetraedro, e gli sforzi interni



©1d¾1; ©2d¾2; ©3d¾3; ¡©d¾: (5.46)

Per le condizioni di equilibrio R = 0 avremo

R1 = ½F1dv + ©1;1d¾1 + ©2;1d¾2 + ©3;1d¾3 ¡ ©1d¾ = 0 (5.47)e le analoghe R2 = R3 = 0. Se si indica con h l'altezza deltetraedro relativo alla base d¾ e ricordando la (5.45) si ha

dv =1

3hd¾ e d¾1 = ®1d¾; d¾2 = ®2d¾; d¾3 = ®3d¾ (5.48)

per cui la (5.47) diventaμ1

3½F1h+ ©1;1®1 + ©2;1®2 + ©3;1®3 ¡ ©1

¶d¾ = 0:

da cui

1

3½F1h+ ©1;1®1 + ©2;1®2 + ©3;1®3 ¡ ©1 = 0: (5.49)

Passando ora al limite per h! 0 l'elemento d¾ tende all'elementosuper¯ciale passante per P avente la stessa normale N e © tendeallo sforzo speci¯co relativo a tale elemento super¯ciale ©(P; t; N).Si ottengono cosμ³ le formule di Cauchy8><>:

©1(P ) = ©1;1®1 + ©2;1®2 + ©3;1®3©2(P ) = ©1;2®1 + ©2;2®2 + ©3;2®3©3(P ) = ©1;3®1 + ©2;3®2 + ©3;3®3

(5.50)

che ci danno lo sforzo speci¯co in un punto P relativo adun elemento super¯ciale, comunque orientato, in funzionedegli sforzi speci¯ci che si esercitano sui tre elementi, sem-pre passanti per P , normali agli assi di riferimento.Analogamente a quanto fatto nel caso delle deformazioni, le

(5.50) si possono scrivere sinteticamente come

© = SN; (5.51)

dove S μe un operatore lineare caratterizzato dalla matrice (©i;k),detto anche omogra¯a o tensore degli sforzi o stress. L'applicazionedi tale operatore sul versore della normale all'elemento super¯cialed¾ passante per P produce appunto lo sforzo speci¯co in P relativoa tale elemento d¾.



5.3.4 Equazioni inde¯nite dell'equilibrio

Consideriamo una regione qualsiasi V interna al corpo, limitata dauna super¯cie regolare ¾ di normale esterna N aventi componenti®1; ®2; ®3, e scriviamo per essa le condizioni di equilibrio R = 0,− = 0. Su ogni elemento dv agisce la forza di massa ½Fdv, percui il vettore risultante delle forze di massa agenti su V sarμaZ

V½Fdv:

Attraverso poi ogni elemento super¯ciale d¾ dall'interno versol'esterno si esercita lo sforzo speci¯co ©d¾ per cui il vettore risul-tante degli sforzi agenti sulle particelle della regione V attraversola super¯cie ¾ = @V sarμa:

¡Z¾©d¾:

In conclusione, l'equazione R = 0 per la sezione V si scrive

Re =ZV½Fdv ¡

Z¾©d¾ = 0: (5.52)

Della (5.52) consideriamone la prima componente e, tenendo contodelle formule di Cauchy, segue che:Z

V½F1dv ¡

Z¾(©1;1®1 + ©2;1®2 + ©3;1®3)d¾ = 0; (5.53)

da cui, per il Teorema di Gauss, si deduceZV

Ã½F1 ¡ @©1;1

@x1¡ @©2;1@x2

¡ @©3;1@x3

!d¾ = 0: (5.54)

La (5.54), assieme alle reazioni analoghe che si ottengono con-siderando le altre componenti della (5.52), poich¶e il volume V μearbitrario, permette di ottenere le seguenti equazioni inde¯nitedell'equilibrio

@©1;1@x1

+ @©2;1@x2

+ @©3;1@x3

= ½F1 (5.55)@©1;2@x1

+ @©2;2@x2

+ @©3;2@x3

= ½F2 (5.56)@©1;3@x1

+ @©2;3@x2

+ @©3;3@x3

= ½F3 (5.57)



che sono equazioni di®erenziali nelle variabili spaziali a cui devonosoddisfare gli sforzi speci¯ci in condizioni di equilibrio.Analogamente, partendo dalla equazione − = 0, si giunge alle

seguenti condizioni

©i;k = ©k;i; 8i 6= k (5.58)

cioμe la matrice dello stress, in condizioni di equilibrio, μesimmetrica. Osserviamo comunque che questo risultato μe con-seguenza dell'aver ammesso che il sistema delle forze interne at-traverso un elemento super¯ciale interno al corpo μe equivalente aduna sola forza; se invece si ammette anche la coppia, alloralo stress non μe piμu simmetrico.Dimostriamo la (5.58). A tal ¯ne calcoliamo la componente

rispetto all'asse di versore e1 del momento risultante delle forze dimassa, esso sarμa:

− 01 =

ZV(x2F3 ¡ x3F2)½dv;

mentre la componente rispetto all'asse di versore e1 del momentorisultante degli sforzi agenti attraverso la super¯cie ¾ sarμa:

−001 = ¡

Z¾(x2©3 ¡ x3©2)½d¾: (5.59)

Quindi

−1 =ZV(x2F3 ¡ x3F2)½dv ¡

Z¾(x2©3 ¡ x3©2)½d¾:

In virtμu delle formule di Cauchy si ha che la (5.59) assume la forma

−001 = ¡

Z¾[x2 (©1;3®1 + ©2;3®2 + ©3;3®3)¡ x3 (©1;2®1 + ©2;2®2 + ©3;2®3)] ½d¾:

che dal Teorema di Gauss diventa

−001 = ¡

Z¾[(x2©1;3 ¡ x3©1;2)®1 + (x2©2;3 ¡ x3©2;2)®2 + (x2©3;3 ¡ x3©3;2)®3]½d¾

= ¡ZV

"@

@x1(x2©1;3 ¡ x3©1;2) + @

@x2(x2©2;3 ¡ x3©2;2)+

+@

@x3(x2©3;3 ¡ x3©3;2)

#½dv



= ¡ZV

"x2

Ã@©1;3@x1

+@©2;3@x2

+@©3;3@x3

!+ ©2;3+

¡x3Ã@©1;2@x1

+@©2;2@x2

+@©3;2@x3

!¡ ©3;2

#½dv

= ¡ZV[(x2F3 ¡ x3F2)½+ ©2;3 ¡ ©3;2] ½dv

in virtμu delle equazioni inde¯nite dell'equilibrio. Quindi si con-clude che

−1 =ZV(©2;3 ¡ ©3;2)½dv

e dovendo essere −1 = 0 per ogni possibile scelta del volume Vsegue che

©2;3 = ©3;2:

Analogamente segue che

©1;3 = ©3;1 e ©1;2 = ©2;1

completando la dimostrazione.Le equazioni inde¯nite (5.55, 5.56, 5.57) e le (5.58) non bastano

da sole per lo studio dell'equilibrio di un continuo deformabile,ma occorrono anche le cosiddette condizioni al contorno. Questeultime si ottengono osservando che, per l'equilibrio, la forza su-per¯ciale esterna ª assegnata e gli sforzi speci¯ci esercitati dalcorpo sulla faccia interna della super¯cie di contorno ¾ devonoavere vettore risultante nullo, ossia essere © = ¡ª, cioμe, per le(5.50),

©1;1®1 + ©2;1®2 + ©3;1®3 = ¡ª1; (5.60)

©1;2®1 + ©2;2®2 + ©3;2®3 = ¡ª2; (5.61)

©1;2®1 + ©2;2®2 + ©3;2®3 = ¡ª2: (5.62)

Le equazioni (5.55), (5.56), (5.57) e (5.58) devono essere ver-i¯cate per ogni punto del corpo mentre le (5.60), (5.61) e (5.62)devono essere veri¯cate per ogni punto della super¯cie.

5.3.5 Le equazioni costitutive

Le considerazioni ¯n qui svolte valgono per un qualunque con-tinuo deformabile e proprio per questa loro generalitμa il problema



dell'equilibrio μe ancora indeterminato. In realtμa non si sono fatteancora intervenire le proprietμa ¯siche e strutturali del corpo chedistinguono un corpo elastico da un °uido, ad esempio; occorre cioμeassegnare le equazioni costitutive, che ovviamente variano datipo a tipo di corpo deformabile. In particolare i °uidi perfetti(liquidi e gas non viscosi) sono caratterizzati dalla proprietμa chelo sforzo ©d¾ su un elemento di super¯cie d¾ qualsiasi all'internodel °uido μe sempre normale a d¾ stesso. In altre parole in un°uido perfetto non esistono sforzi di taglio, quindi rispettoa un qualsiasi sistema di assi μe sempre

©1;2 = ©2;3 = ©3;1 = 0: (5.63)

Ciμo signi¯ca che qualunque sistema di assi μe un sistema di assiprincipali per la quadrica associato allo stress, cioμe tale quadricaμe una sfera. Inoltre, a±nchμe poi l'equazione

©1;1x21 + ©2;2x

22 + ©3;3x

23 = 1

rappresenti una sfera si deve avere

©1;1 = ©2;2 = ©3;3 = P:

Da ciμo segue subito il principio di Pascal: in un °uido il valore©N dello sforzo speci¯co (normale) su d¾ μe indipendentedall'orientazione di d¾; infatti μe

©N = © ¢ N = ©1®1 + ©2®2 + ©3®3= ©1;1®

21 + ©2;2®

22 + ©3;3®

23 = P (®

21 + ®

22 + ®

23) = P:

P si chiama poi la pressione del °uido. Le equazioni inde¯nitedell'equilibrio dei °uidi perfetti diventano

@P

@x1= ½F1;

@P

@x2= ½F2;

@P

@x3= ½F3 ossia rP = ½F:


6

Dinamica: equazioni di®erenziali del moto

6.1 Dinamica del punto

Lo studio del moto di un sistema meccanico μe basato sulla II leggedi Newton

ma = F+ Á (6.1)

che mette in relazione la massa m, l'accelerazione a di un singolopunto e le forze, esterne e interne, attive (di vettore F) e vincolari(di vettore Á), cui esso μe soggetto. Inizialmente ci dedicheremo allostudio del moto di un singolo punto P e, in seguito, analizzeremoil problema della dinamica per sistemi materiali costituiti da piμupunti.

6.1.1 Dinamica del punto libero

Nel caso del moto di un punto materiale libero l'equazione diNewton prende la forma

ma = F(P; _P ; t)

che rappresenta, dal punto di vista matematico, una equazionedi®erenziale del II ordine in forma vettoriale. Se proiettamotale equazione lungo gli assi coordinati essa si riduce ad un sistemadi 3 equazioni di®erenziali del II ordine poste in forma normale8><>:

mÄx = Fx(x; y; z; _x; _y; _z; t)mÄy = Fy(x; y; z; _x; _y; _z; t)mÄz = Fz(x; y; z; _x; _y; _z; t)


164 6 Dinamica: equazioni di®erenziali del moto

nelle incognite

x = x(t); y = y(t); z = z(t)

Assumendo la dipendenza regolare della forza attiva dai suoi ar-gomenti e associandovi le condizioni iniziali

x(t0) = x±; y(t0) = y±; z(t0) = z±

e

_x(t0) = _x±; _y(t0) = _y±; _z(t0) = _z±

allora il problema di Cauchy ammette una, ed una sola, soluzioneche rappresenta la legge oraria del moto.

6.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita

Nel caso in cui il moto del punto non sia libero occorre una analisibasata sulla natura dei vincoli.Supponendo nota a priori la traiettoria ° di un punto P allora

per caratterizzare il moto non rimane che determinare la leggeoraria s = s(t) dove s μe la lunghezza dell'arco ° fra una arbitrariaorigine e P , misurata positivamente in un pre¯ssato verso (ascissacurvilea di P ). La (6.1) proiettata, in ciascun punto della °, sullarispettiva tangente, orientata nel verso delle s crescenti, diventa:

mÄs = Ft + ©t (6.2)

dove la componente tangenziale ©t di © μe, per lo piμu, incognita.Tuttavia vi sono dei casi in cui la ©t μe preventivamente asseg-nabile. In particolare: un punto vincolato su una curva privadi attrito si muove su di essa come se fosse esclusiva-mente soggetto all'azione della forza attiva (tangenziale),cio¶e ©t = 0. La (6.2) in questo caso si riduce alla

mÄs = Ft: (6.3)

Se la componente tangenziale Ft della forza totale μe una funzionef( _s; s; t) nota la (6.3) assumerμa la forma

mÄs = f( _s; s; t) (6.4)


6.1 Dinamica del punto 165

e, nell'ipotesi di limitatezza, continuitμa e derivabilitμa nei tre argo-menti della f , la (6.4) ammette una, ed una sola, soluzione (nel do-minio considerato) soddisfacente alle condizioni iniziali assegnate.Quindi la (6.3) (piμu precisamente nella forma (6.4)) μe su±cienteper caratterizzare univocamente il moto.Proiettando la (6.1), per ogni punto della traiettoria, sulla

rispettiva normale principale n (orientata verso il centro di cur-vatura della traiettoria) si ottiene, ricordando l'espressione an =v2=½c della accelerazione normale,

©n = mv2

½c¡ Fn (6.5)

dove ½c μe il raggio di curvatura e v il modulo della velocitμa. Lacomponente ©n dell'azione complessiva © esercitata dai vincoli sichiama reazione centripeta della traiettoria.Proiettando la (6.1) sulla binormale in¯ne si ottiene che 0 =

Fb + ©b, cio¶e ©b = ¡Fb.

Esempio: anello della morte

Consideriamo un anello della morte di raggio R = 3 metri e cal-coliamo quale μe la velocitμa minima che deve essere mantenuta perevitare di cadere nel vuoto. La condizione di "non distacco" μedata da ©n > 0 e si ha distacco quando ©n = 0. Quindi la ve-locitμa minima vmin μe tale che

mv2min½c

¡ Fn = 0 dove ½c = R e Fn = ¡mg cos®;

® 2 [0; 2¼) denota l'angolo formato tra la normale e la verticale.Quindi deve essere

v > vmin =qRg ¼

p30m=sec ¼ 3:6

p30km=h ¼ 20km=h:

6.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali

Nel caso di forze posizionali sarμa Ft = f(s), quindi la (6.4)assumerμa la forma

mÄs = f(s) (6.6)



Per mostrare come la (6.6) si riduca con una quadratura aduna equazione del I± ordine ricordiamo che l'energia cinetica Tμe de¯nita da 1

2m _s2, da cui risulta: dT

dt= m _sÄs. Osservando che,

essendo f funzione della sola s, questa μe necessariamente conser-vativa e quindi la funzione potenziale U(s) =

Rf(s)ds μe tale che

dU

ds= f (s): (6.7)

In virtμu della (6.6) segue che dTdt= dU

ds_s.

Il secondo membro, in quanto si consideri U come funzione di t,tramite l'arco s, non μe altro che la derivata di U = U [s(t)] rispettoa t; integrando rispetto a t e designando con E la costante diintegrazione, si ricava:

T ¡ U = E: (6.8)

Questa relazione in termini ¯niti, fra la energia cinetica T e lasua posizione sulla curva (caratterizzata dalla funzione U(s)), sichiama integrale delle forze vive. Esso fornisce, in ultima anal-isi, una relazione fra s e _s.Nel caso attuale, in cui si suppone prestabilita la traiettoria, si

perviene alla (6.8) senza bisogno di introdurre l'ipotesi che la forzatotale sia conservativa, basta infatti che essa sia posizionaleperchμe la (6.7) valga limitatamente alla mobilitμa del punto sopra lacurva °. Nel caso poi in cui la forza derivi da un potenziale allorala U che compare nella (6.8) si ottiene restringendo il potenzialedella forza alla curva °.Ponendo

u(s) =2

m[U(s) + E] ; (6.9)

l'equazione delle forze vive (6.8) si puμo scrivereÃds

dt

!2= u(s); da cui

ds

dt= §

qu(s); (6.10)

dove va preso il segno positivo o negativo secondo che la velocitμascalare ds

dtsia positiva o negativa. La (6.10) μe una equazione dif-

ferenziale del I± ordine, sostanzialmente equivalente all'originaria



equazione (6.6), che puμo essere integrata mediante una quadraturae fornisce la cercata relazione in termini ¯niti tra s e t:

t¡ t0 =Z dsq

u(s):

Le due costanti arbitrarie da cui essa deve dipendere sono datel'una dalla costante additiva dell'ultima quadratura, l'altra dallaE dell'integrale delle forze vive.

6.1.4 Dinamica del punto soggetto a forze dipendenti soltantodalla velocitμa

Un secondo caso, in cui l'equazione del moto (6.4) di un punto sutraiettoria prestabilita diventa integrabile per quadrature, μe quellocorrispondente ad una forza tangenziale che dipenda soltanto dallavelocitμa. La (6.4) assume in tal caso la forma mÄs = f( _s), ossia,per separazione delle variabili _s e t dove assumiamo f ( _s) 6= 0 (inparticolare assumiamo f( _s) > 0 per semplicitμa), m Äs

f( _s)= 1. Di

qui, con una quadratura (rispetto a t), si deduce una relazione intermini ¯niti fra _s e t, diciamo anzi fra _s e t¡ t0, indicando con t0la costante di integrazione, del tipo

mF ( _s) = t¡ t0dove F (s) μe una primitiva di 1=f(s). Con una nuova quadraturasi ottiene s(t).

6.1.5 Comportamento dell'attrito durante il moto

Consideriamo un punto appoggiato ad una curva (o ad una super-¯cie) e sia © la reazione vincolare che l'appoggio o®re al punto.Denominando con ©N il valore assoluto della componente nor-male ©N = © ¡ ©t di ©, e ©t la componente tangenziale di ©.Quest'ultimo, ©t, si denomina attrito. Si hanno le seguenti regole(di evidenza empirica):

i. L'attrito μe direttamente opposto alla velocitμa del moto. Sequesta eventualmente si annulla durante il corso del moto, tor-nano a valere le leggi dell'attrito statico.



ii. L'intensitμa ©t dell'attrito dinamico μe direttamente proporzionalealla reazione normale ©N :

©t = f©N :

Il coe±ciente f di proporzionalitμa non dipende dalla velocitμadel mobile. Questo coe±ciente di proporzionalitμa si chiamacoe±ciente di attrito dinamico e talvolta viene anche indi-cato con fd. In particolare il coe±ciente di attrito dinamico μesempre inferiore al coe±ciente di attrito statico, cio¶e fs < fd.

In virtμu di queste leggi, proiettando nella direzione tangente tl'equazione

ma = F+©;

si ha che l'equazione del moto diventa(mÄs = Ft ¡ f©N ; per _s > 0mÄs = Ft + f©N ; per _s < 0

; (6.11)

il caso _s = 0 va trattato a parte (seguendo le leggi dell'attrito

statico). Essendo ©n = mv2

½c¡ Fn e ©b = ¡Fb allora

©N =q©2n + ©

2b =

vuut"mv2½c¡ Fn

#2+ F 2

b :

6.1.6 Moto di un punto su una super¯cie priva di attrito

Consideriamo il moto di un punto materiale P che, sotto la sol-lecitazione di forze attive, di risultante F, sia costretto a muoversisu di una super¯cie ¾ priva di attrito avente equazione

f (x; y; z; t) = 0: (6.12)

L'equazione del moto μe data da

ma = F +© (6.13)

dove © μe la reazione vincolare o®erta dalla super¯cie al punto.Nell'ipotesi che ¾ sia priva di attrito (sia poi ¾ indipendente o no

dal tempo) allora la reazione © = ©N, incognita, sarμa ortogonalealla super¯cie, pertanto avrμa componenti



¸@f

@x; ¸

@f

@y; ¸

@f

@z; ¸ =

©

jrf j 2 R

dove ¸ designa un fattore di proporzionalitμa a priori incognito.Proiettando la (6.13) sugli assi si ottengono le tre equazioni8><>:

mÄx = Fx + ¸@f@x

mÄy = Fy + ¸@f@y

mÄz = Fz + ¸@f@z

(6.14)

che insieme alla (6.12) formano un sistema di quattro equazioninelle quattro incognite x; y; z (fondamentali) e ¸ (ausiliaria).

6.1.7 Esercizi

Esercizio 6.1.7.1: Studiare il moto di un punto libero P dimassa m soggetto alla sola forza peso note le condizioni inizialix0 = y0 = z0 = 0 e v0 = v0 cos ®³ + v0 sin®k (problema della bal-istica senza attrito). Calcolare inoltre l'energia meccanica totale.

Esercizio 6.1.7.2: Studiare il moto di un punto libero P dimassa m soggetto alla forza peso (P;F1 = ¡mgk) e alla resistenzadell'aria (P;F2 = ¡¸v(P )), ¸ > 0, note le condizioni iniziali x0 =y0 = z0 = 0 e v0 = v0 cos ®³ + v0 sin®k. Dimostrare che nel limite¸! 0+ si ritrovano, puntualmente, le soluzioni viste nell'esercizioprecedente.

Esercizio 6.1.7.3: Studiare il moto di un punto P di massa mvincolato a scorrere, senza attrito, lungo l'asse (O; x) e soggetto

alla forza peso (P;F1 = ¡mgk) e ad una forza elastica (P;F2 =¡k2x³) dovuta ad una molla di costante di elasticitμa k2 aventel'altro estremo ¯sso in O. Discutere inoltre se il punto P puμooltrepassare un punto D posto a distanza d da O ed in tal casocalcolare con quale velocitμa oltrepassa D (facendo uso del principiodi conservazione dell'energia meccanica) e quanto tempo impiegaper andare da O a D ammesso che le condizioni iniziali al tempot0 = 0 siano:

x(0) = 0 e _x(0) = v0; v0 > 0:

Sempre sotto le stesse condizioni iniziali, supponiamo il punto siasoggetto, oltre alla forza elastica e alla forza peso, ad un attrito



radente di coe±cienti, rispettivamente, fs e fd(< fs); discutere ilmoto del punto P e calcolare l'energia meccanica totale del puntoin funzione del tempo t.

Esercizio 6.1.7.4: Sia dato un punto materiale P di massa mvincolato a scorrere lungo un asse (O; x1) orizzontale. Sapendo chetale asse ruota, rispetto al riferimento assoluto (O;x; y; z), attorno

all'asse verticale (O; z) con velocitμa angolare ! = _μk si domanda:

i. scrivere le equazioni di Newton rispetto all'osservatore relativo;ii. supponendo che la velocitμa angolare ! sia costante e indicandocon fs il coe±ciente di attrito radente, calcolare le eventualicon¯gurazioni di equilibrio relativo;

iii. supponendo che la velocitμa angolare ! sia costante, in assenzadi attrito e introducendo una forza elastica dovuta ad una molladi costante k e avente ai suoi capi P e O, determinare il motorelativo del punto P ;

iv. supponendo che la velocitμa angolare ! sia costante, in assenzadi attrito e assumendo che l'asse (O; x1) sia inclinato rispettoall'asse verticale (® 2 (0; ¼=2) μe l'angolo tra i due assi), cal-colare le con¯gurazioni di equilibrio relativo e discutere la lorostabilitμa.

Esercizio 6.1.7.5: Sia dato un corpo puntiforme P di massa mvincolato a scorrere senza attrito lungo una circonferenza di centroO e raggio ` posta in un piano verticale che ruota attorno all'asseverticale (O; z) con velocitμa angolare ! = _μk con μ = μ(t) nota.Sia (O1; x1; y1; z1) il sistema di riferimento relativo con O ´ O1,l'asse (O1; z1) coincidente con l'asse di rotazione e con il piano(O1; x1; z1) contenente la circonferenza; il sistema μe ad un gradodi libertμa ed assumiamo come parametro lagrangiano l'angolo for-mato dal segmento P ¡O ed il semi-asse verticale discendente. Sidomanda:

i. calcolare il potenziale e l'energia cinetica rispetto all'osservatorerelativo;

ii. calcolare le con¯gurazioni di equilibrio relativo e studiarne lastabilitμa;

iii. disegnare il diagramma delle biforcazioni per le con¯gurazionidi equilibrio relativo in funzione del parametro positivo adimen-sionale ° = g

!2`;


6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 171

iv. calcolare il periodo delle piccole oscillazioni delle con¯gurazionidi equilibrio relativo distinguendo i due casi ° < 1 e ° > 1.

Esercizio 6.1.7.6: Tenendo conto della forza di Coriolis e dellaforza peso calcolare, per una secchia puntiforme di massa m las-ciata cadere dalla cima della Ghirlandina con velocitμa inizialenulla, la deviazione verso oriente della secchia rispetto alla ver-ticale quando questa impatta al suolo.

Esercizio 6.1.7.7: Sia dato un oscillatore accoppiato costituitoda due corpi puntiformi P1 e P2 di masse, rispettivamente, m1 em2, vincolati a scorrere senza attrito lungo l'asse (O; x), il puntoP1 μe collegato adO mediante una molla di costante k1, il punto P1 μecollegato ad un punto ¯sso A, distante L da O, mediante una molladi costante k2, i due punti sono poi collegati tra loro mediante unamolla di costante K. Introducendo i parametri lagrangiani x1 e x2(scelti in modo che sia P1¡O = x1³ e P2¡A = ¡x2 ³), e ponendo,per semplicitμa, m = m1 = m2 e k = k1 = k2, si domanda discrivere le equazioni di®erenziali del moto, integrarle e osservare,almeno per alcuni valori iniziali e dei parametri, il fenomeno deibattimenti.

6.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi

6.2.1 Lavoro elementare

De¯nizione 6.1. Sia dato un sistema S di N punti materialisoggetto ad un sistema di forze (Ps;Fs), s = 1; 2; : : : ; N , sia at-tive che vincolari. In un istante qualsiasi t sia vs la velocitμa diPs e dPs = vsdt lo spostamento (in¯nitesimo) che esso subiscenell'intervallo dt, diremo lavoro elementare complessivo del sis-tema di forze Fs la somma

dL =NXs=1

Fs ¢ dPs =NXs=1

Fs ¢ vsdt: (6.15)

6.2.2 Corpo rigido libero

La velocitμa di un generico punto Ps di un corpo rigido μe espressaper mezzo di due vettori caratteristici, cio¶e della velocitμa v0 di



un qualsiasi punto O solidale col sistema e della velocitμa angolareistantanea ! del sistema stesso. In questo modo si ottiene

vs = v0 + ! £ (Ps ¡O)o, equivalentemente,

dPs = dO + !0 £ (Ps ¡O)

dove abbiamo posto !0 = !dt = dμa essendo (O; a) l'asse istan-taneo di rotazione. Sostituendo nella (6.15) e tenendo conto dellaregola del prodotto misto si ottiene

dL = dO ¢Ã

NXs=1

Fs

!+ !0 ¢

NXs=1

(Ps ¡O)£ Fs= R ¢ dO +−(O) ¢ !0 (6.16)

In particolare per un moto (o atto di moto) puramente traslatorio(! = 0), l'espressione del lavoro elementare μe quella stessa checompeterebbe ad una unica forza applicata il O di vettore R.Dalla (6.16) si nota che il lavoro di tutte le forze interne μe nullo,

essendo Ri = 0 e −i(O) = 0, quindi: durante il moto di uncorpo rigido, comunque vincolato e sollecitato, le forze in-terne eseguono un lavoro elementare identicamente nullo.Dalla (6.16) appare anche che due sistemi di forze equiv-

alenti compiono lo stesso lavoro elementare o, in altri ter-mini, lo stesso lavoro virtuale.Se il corpo rigido μe ¯ssato in un punto e questo si sceglie come

centro di riduzione, si ha v0 = 0 e la (6.16) si riduce a

dL = −(O) ¢ !0: (6.17)

Se poi il corpo rigido ruota intorno ad un asse ¯sso di direzionea, basta scegliere il polo O in un punto qualsiasi di quest'asseperch¶e continui a sussistere la (6.17); in particolare il vettore !,pur variando, in generale, di intensitμa col tempo, ha sempre l'asse¯sso e ! = _μa. Essendo −a la proiezione sull'asse a del momento−(O) (momento risultante delle forze rispetto all'asse a) siha:

dL = −adμ: (6.18)



6.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane

Se il sistema S ha n gradi di libertμa e, rispetto alla generica n¡upladi coordinate lagrangiane (indipendenti) qh (h = 1; 2; : : : ; n), μede¯nito dalle equazioni parametriche

Ps = Ps(q1; q2; : : : ; qn; t) (6.19)

il generico spostamento in¯nitesimo del sistema μe dato da

dPs =nXh=1

@Ps@qh

dqh +@Ps@tdt:

Il lavoro elementare del sistema diventa quindi

dL =nXh=1

Qhdqh +

ÃNXs=1

Fs ¢ @Ps@t

!dt (6.20)

denotando con

Qh =NXs=1

Fs ¢ @Ps@qh

la forza generalizzata di Lagrange o componente del sis-tema di forze Fs secondo la coordinata lagrangiana qh. Asecondo membro della (6.20) il secondo termine si annulla identica-mente quando i vincoli sono indipendenti dal tempo (@Ps=@t) = 0.

6.2.4 Lavoro virtuale e identitμa notevoli

Nel caso di spostamenti virtuali ±Ps si perviene per il lavoro vir-tuale

±L =NXs=1

Fs ¢ ±Ps; e quindi ±L =nXh=1

Qh±qh: (6.21)

Se le forze (Ps;Fs) derivano da un potenziale U , espresso in coor-dinate lagrangiane per mezzo delle equazioni parametriche (6.19),funzione delle q e anche del tempo t, se i vincoli sono dipendenti daesso. In ogni caso sappiamo giμa che si ha ±L = ±U , dove ±U denotail di®erenziale totale della U in quanto dipendente dalle sole q, cio¶e±U =

Pnh=1

@U@qh±qh; quindi, identi¯cando con la (6.21) e tenendo



conto della arbitrarietμa dei ±qh nell'ipotesi di vincoli olonomi (inmodo che gli spostamenti in¯nitesimi ±qh sono arbitrari e indipen-denti tra loro), si ottengono per le componenti lagrangiane dellasollecitazione, nel caso conservativo, le espressioni Qh =

@U@qh.

Nel caso di un corpo rigido libero i vincoli sono indipendentidal tempo. Quindi, come nel caso appena visto, il generico sposta-mento virtuale μe de¯nito da

±Ps = ±O + !0 £ (Ps ¡O);

dove ±O denota lo spostamento virtuale del polo O e !0 la cor-rispondente rotazione virtuale, e si trova

±L = R ¢ ±O +−(O) ¢ !0; (6.22)

dove, naturalmente, R e −(O) denotano ancora il vettore risul-tante e il momento risultante, rispetto ad O, delle forze (Ps;Fs).

6.2.5 Energia cinetica o forza viva

De¯nizione 6.2. Diremo energia cinetica o forza viva di unsistema materiale S di N punti Ps di massa ms la somma

T =1

2

NXs=1

msv2s =

1

2

NXs=1

msvs ¢ vs: (6.23)

Si tratta di una grandezza scalare, sempre positiva, salvoche negli istanti di arresto di tutti i punti del sistema, nei qualil'energia cinetica si riduce a zero; μe manifesto che essa μe di naturarelativa al riferimento adottato (in Dinamica quando si parla di en-ergia cinetica, senza ulteriore speci¯cazione, si sottointende che ilmoto sia riferito ad una terna ¯ssa o, piμu generalmente, galileiana).

Teorema di KÄonig

Denotando con (O0; x0; y0; z0) un sistema di riferimento mobile e con(O; x; y; z) il sistema di riferimento ¯sso, la velocitμa di un puntoPs rispetto al sistema ¯sso μe data da vs = v¿;s + v

0s; dove v¿;s μe

la velocitμa di trascinamento di Ps e v0s μe la velocitμa relativa di Ps.

Nel caso particolare in cui il sistema mobile si muova di moto



traslatorio allora v¿;s = v(O0) = v0 e l'energia cinetica T assume

la forma

T =1

2mv0

2 +1

2

NXs=1

msv0s2+ v0 ¢

ÃNXs=1

msv0s

!; (6.24)

dove m denota la massa totale del sistema. La (6.24) presental'energia cinetica del sistema, nel suo moto rispetto a (O; x; y; z),come somma di tre termini, cio¶e l'energia cinetica che competerebbeal punto O0 qualora fosse un punto materiale di massa m, l'energiacinetica del sistema nel suo moto relativo ad O0, ed, in¯ne, unaquantitμa che dipende sia dal moto di O0 che dal moto relativo.La formula (6.24) si sempli¯ca quando si assume come riferi-mento mobile O0 il baricentro G del sistema. In tal caso, essendoPNs=1ms(Ps ¡G) = 0, si ha che PN

s=1msv0s = 0.

Pertanto abbiamo il seguente risultato:

Teorema 6.3 (Teorema del KÄonig). L'energia cinetica di unqualsiasi sistema materiale in moto μe, istante per istante, egualealla somma dell'energia cinetica che competerebbe in quell'istanteal baricentro, qualora fosse un punto materiale in cui si trovasseconcentrata tutta la massa del sistema, piμu l'energia cinetica nelmoto del sistema relativo al baricentro (ovvero all'osservatore cen-trato nel baricentro e traslante):

T =1

2mv2G + TG; TG =

1

2

NXs=1

msv0s2; m =

NXs=1

ms: (6.25)

Energia cinetica di un corpo rigido

Nel caso di un corpo rigido abbiamo vs = v0 + v0s, dove v0 =v(O0), e v0s = !£ (Ps¡O0) con ovvio signi¯cato di tali grandezzevettoriali. In particolare, ponendo m =

PNs=1ms e:

T 0 =1

2mv20;

T 00 =1

2

NXs=1

ms f! £ (Ps ¡O0)g2 ;

T 000 = v0 ¢NXs=1

ms! £ (Ps ¡O0)



allora la (6.24) diventa:

T = T 0 + T 00 + T 000: (6.26)

Qui dobbiamo esprimere T 0; T 00; T 000 in termini delle sei caratter-istiche date da v0 = u³ + v´ + wk e ! = p³

0 + q^0 + rk0(dove μe piμu

conveniente, ma non necessario, proiettare ! su una terna solidale

di versori ³0, ^0 e k0)).

Il primo addendo T 0, che fornirebbe l'intera energia cinetica delcorpo rigido qualora il moto fosse puramente traslatorio, μe dato da

T 0 =1

2mv20 =

1

2m³u2 + v2 + w2

´(6.27)

dove si μe denotata con m la massa totale del corpo rigido.Per trovare l'espressione esplicita di T 00, che darebbe la in-

tera energia cinetica se il punto solidale O0 fosse ¯sso, con-siderariamo la distanza ds del generico punto Ps del corpo rigidodall'asse istantaneo di rotazione (O0;!). Poich¶e f! £ (Ps ¡O0)g2 =!2d2s allora, raccogliendo ! a fattor comune, si trova che:

T 00 =1

2I!2; dove I =

NXs=1

msd2s

rappresenta il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asseistantaneo di rotazione passante per O0. In particolare, essendoA; B; C e A0; B0; C0 i momenti e i prodotti d'inerzia del corporigido rispetto alla terna solidale al corpo rigido, si ha:

T 00 =1

2I!2

=1

2

nAp2 + Bq2 + Cr2 ¡ 2A0pq ¡ 2B0pr ¡ 2C 0qr

o(6.28)

dove i momenti A; B; C e A0; B0; C0 calcolati rispetto al riferi-mento solidale sono costanti durante il moto del corpo rigido.Infatti, il momento di inerzia I rispetto all'asse di istantanea ro-tazione passante per O di equazioni (®x; ¯x; °x), x 2 R e dove® = p=!, ¯ = q=! e ° = r=! sono i coseni direttori della retta, μedato da

I = A®2 + B¯2 + C°2 ¡ 2A0®¯ ¡ 2B0®° ¡ 2C¯°=1

!2

³Ap2 + Bq2 + Cr2 ¡ 2A0pq ¡ 2B0pr ¡ 2Cqr

´:



Il terzo addendo, in¯ne, T 000 si puμo scrivere, per una nota proprietμadel prodotto misto:

T 000 =NXs=1

ms(Ps ¡O0) ¢ (v0 £ !)=m(G¡O0) ¢ (v0 £ !) : (6.29)

Dalla (6.26) e dalle formule (6.27), (6.28) e (6.29) risulta chein ogni caso la energia cinetica di un corpo rigido μe unaforma quadratica nelle 6 caratteristiche dell'atto di moto(u; v; w; p; q; r).Osserviamo che: se il centro di riduzione O0 (che μe al tempo

stesso origine delle coordinate) si sceglie nel baricentro si an-nulla (G ¡ O0) = 0 e quindi T 000; se poi si scelgono come assicoordinati i rispettivi assi principali di inerzia allora si an-nullano i tre prodotti di inerzia A0 = B0 = C0 = 0, mentre A; B; Cdiventano i tre momenti principali di inerzia baricentrali. Per laenergia cinetica si ottiene l'espressione notevolmente semplice inaccordo con il Teorema di KÄonig:

T =1

2m³u2 + v2 + w2

´+1

2

³Ap2 + Bq2 + Cr2

´(6.30)

Corpo rigido con un punto ¯sso o un asse ¯sso

Quando il corpo rigido S sia ¯ssato in un suo punto, basta sceglierequesto punto O0 come centro di riduzione del moto rigido (e comeorigine della terna solidale); allora l'energia cinetica, per un corporigido rotante intorno ad un asse ¯ssato con velocitμa angolare !,μe data da

T = T 00 =1

2I!2;

dove si μe scelto il centro di riduzione O0 (origine anche della ternasolidale) sull'asse e dove I denota il momento di inerzia del corporigido rispetto al suo asse di rotazione. Operando come prima siha la seguente espressione equivalente (con ovvio signi¯cato deitermini):

T = T 00 =1

2

nAp2 + Bq2 + Cr2 ¡ 2A0pq ¡ 2B0pr ¡ 2C0qr

o:



Energia cinetica di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane

Dato un sistema olonomo S costituito da N punti Ps, dotato di ngradi di libertμa, dove i vincoli sono rappresentati dalle equazioniparametriche (6.19); per cui le velocitμa (possibili) vs dei singolipunti Ps, in funzione delle coordinate qs e delle velocitμa lagrangiane_qs e del tempo, sono date da

vs =nXh=1

@Ps@qh

_qh +@Ps@t; s = 1; : : : ; N: (6.31)

Sostituendole nelle (6.23) si puμo scrivere

T = T2 + T1 + T0; (6.32)

designando, rispettivamente, con T2; T1; T0 l'insieme dei terminidi II± grado nelle _q, dei termini di I± grado e, in¯ne, dei terminiindipendenti dalle _q. Piμu precisamente si ottiene

T2 =1

2

nXh;k=1

ah;k _qh _qk; ah;k = ah;k(q; t) =NXs=1

ms@Ps@qh

¢ @Ps@qk

;

T1 =nXk=1

Ak _qk; Ak = Ak(q; t) =NXs=1

ms@Ps@qk

¢ @Ps@t

T0 =1

2

NXs=1

ms

Ã@Ps@t

!2dove i coe±cienti ah;k,Ak e T0 dipendono dai parametri lagrangianie dal tempo. In particolare μe immediato osservare che ah;k = ak;h.Se i vincoli sono indipendenti dal tempo, le espressioni

(6.31) delle velocitμa si riducono alla loro parte lineare nelle velocitμalagrangiane _q:

vs =nXh=1

@Ps@qh

_qh: (6.33)

In particolare T1 = T0 = 0 e l'energia cinetica assume la forma

T =1

2

NXh;k=1

ah;k _qh _qk; ah;k =NXs=1

ms@Ps@qh

¢ @Ps@qk

(6.34)



dove i coe±cienti ah;k dipendono dalle sole qh. μE questa dunquel'espressione generale della energia cinetica di un sistemaolonomo a vincoli indipendenti dal tempo e ad n gradidi libertμa (di fatto l'ipotesi di olonomia non μe necessaria a questostadio).Vale il seguente risultato:

Teorema 6.4. T2 μe una forma quadratica nelle _qh de¯nita pos-itiva; cio¶e T2 ¸ 0 per ogni scelta delle velocitμa lagrangiane_q1; : : : ; _qn e T2 = 0 se, e solo se, _q1 = : : : = _qn = 0.

Dimostrazione. Supponiamo, per un momento, i vincoli indipen-denti dal tempo e dimostriamo prima il teorema sotto questaipotesi. Osserviamo che T μe per sua natura stessa de¯nita posi-tiva e quindi, essendo T = T2 sarμa necessariamente T2 ¸ 0. Se poiT2 = 0 allora T = 0 e quindi deve essere vs = 0; resta quindi dafare vedere che

_qh = 0; h = 1; 2; : : : ; n , vs = 0; s = 1; 2; : : : ; N

ovvere le _qh sono tutte nulle sempre e solo quando tali sono tuttele vs. Dalla (6.31), in cui

@Ps@t= 0, μe immediato che vs = 0 quando

_qh = 0. Per dimostrare il viceversa osserviamo che se tutte le vssono nulle allora abbiamo che deve essere

nXh=1

@xs@qh

_qh = 0;nXh=1

@ys@qh

_qh = 0;nXh=1

@zs@qh

_qh = 0

che implica _qh = 0 poich¶e la matrice Jacobiana delle xs; ys; zsrispetto alle qh, in virtμu della ipotesi della indipendenza delle co-ordinate lagrangiane, μe, per valori generici di esse, di caratteristican. Supponiamo ora i vincoli dipendenti dal tempo; T sarμa ancorade¯nita positiva ma ora T = T2 + T1 + T0. Mostriamo per primacosa che T2 ¸ 0. Supponiamo per assurdo che esistano _¹qh nontutte nulle tali che ¹T2 < 0, quindi sarμa T2 = ®2 ¹T2 < 0 anche per® _¹qh per qualunque ® 2 Rnf0g e inoltre sarμa

T = ®21

2

nXh;k=1

ah;k _¹qh _¹qk + ®nXh=1

Ah _¹qh + T0 = ®2 ¹T2 + ® ¹T1 + ¹T0:

Poich¶e abbiamo supposto per assurdo ¹T2 < 0 allora, per ® su±-cientemente grande, sarμa T < 0 cadendo in assurdo. Mostriamo



ora che T2 = 0 implica _qh = 0. Supponiamo, per assurdo, che esis-tano _¹qh non tutte nulle tali che ¹T2 = 0, quindi sarμa T2 = ®

2 ¹T2 = 0anche per ® _¹qh per qualunque ® 2 Rnf0g. Quindi

T = ®nXh=1

Ah _¹qh + T0 = ® ¹T1 + ¹T0:

Se ¹T1 6= 0 allora basta prendere ® di segno opposto a ¹T1 e su±-cientemente grande per avere T < 0 cadendo in assurdo; quindideve essere anche ¹T1 = 0, ottenendo

T = ¹T0 =NXs=1

ms

Ã@Ps@t

!2:

Osserviamo che ¹T0 μe indipendente da _¹qh e quindi da ® mentre Tdipende da ® attraverso ¹vs e la (6.31), poich¶e _¹qh 6= 0 per un qualcheh, cadendo ancora in assurdo. Quindi abbiamo provato che T2 ¸ 0e che se T2 = 0 allora deve necessariamente essere _qh = 0 per ognih.

Notiamo, in¯ne, che nell'uno e nell'altro caso il determinantekah;kk degli n2 coe±cienti ah;k, appunto come discriminante di unaforma de¯nita (positiva), non puμo annullarsi. Per dimostrarequesto risultato indipendentemente dal Teorema precedente sipuμo procedere come segue: supponiamo i vincoli indipendenti daltempo (per semplicitμa) e sia, per assurdo, questo determinantefosse nullo, per una qualche scelta dei parametri lagrangiani qh et; allora esistono _¹qh non tutte nulle soddisfacenti al sistema di nequazioni lineari

@T

@ _qh=

nXk=1

ah;k _¹qk = 0; h = 1; 2; : : : ; n:

Moltiplicando i membri di questa equazione per _¹qh si ottiene chedeve essere

0 =nXh=1

_¹qh@T

@ _qh= 2T

per il teorema di Eulero, cadendo in assurdo.



6.2.6 Quantitμa di moto e momento della quantitμa di moto

De¯nizione 6.5. De¯niamo quantitμa di moto di un sistema dipunti Ps di massa ms la somma vettoriale

Q =NXs=1

msvs: (6.35)

Derivando l'equazione vettoriale m(G¡O) = PNs=1ms(Ps¡O),

dove G μe il baricentro e vG la sua velocitμa, abbiamo

mvG =NXs=1

msvs = Q: (6.36)

Abbiamo dunque che:

Teorema 6.6. La quantitμa di moto di un sistema qualsiasi μe adogni istante eguale alla quantitμa di moto che, in quell'istante, spet-terebbe al baricentro, qualora fosse un punto materiale, in cui sitrovasse concentrata la massa totale del sistema.

De¯nizione 6.7. Dato un sistema materiale S si dice momentodelle quantitμa di moto rispetto ad un qualsiasi punto O il mo-mento risultante rispetto ad O delle quantitμa di moto dei singolipunti Ps del sistema, cio¶e la grandezza vettoriale

K(O) =NXs=1

(Ps ¡O)£msvs =NXs=1

msvs £ (O¡ Ps): (6.37)

Il momento della quantitμa di moto μe legato alla scelta del puntoO secondo la seguente relazione:

K(O0) = K(O) + (O ¡O0)£Qdove Q μe la quantitμa di moto del sistema. Infatti

K(O0) =NXs=1

msvs £ (O0 ¡ Ps) =NXs=1

msvs £ [(O ¡ Ps) + (O0 ¡O)]

=NXs=1

msvs £ (O ¡ Ps) +NXs=1

msvs £ (O0 ¡O)

=K(O) + (O ¡O0)£Q:



Scegliendo come centro di riduzione dei momenti il baricentroG del sistema ed essendo v0s le velocitμa dei punti del sistema nelloro moto relativo a G (cio¶e rispetto ad un osservatore baricentricotraslante): vs = vG + v

0s si ha che:

K(G) =NXs=1

msvs £ (G¡ Ps)

=NXs=1

msv0s £ (G¡ Ps) +

NXs=1

msvG £ (G¡ Ps)

=NXs=1

msv0s £ (G¡ Ps) + vG £

NXs=1

ms(G¡ Ps)

=NXs=1

msv0s £ (G¡ Ps) =K0(G):

Pertanto si conclude che:

Teorema 6.8. Comunque si muova un sistema, il momento dellequantitμa di moto (assoluto) rispetto al baricentro coincide conl'analogo momento delle quantitμa di moto relativo al baricentrostesso (cio¶e rispetto all'osservatore baricentrico e traslante):

K(G) = K0(G):

Derivata del momento della quantitμa di un sistema

Derivando la relazione (6.37) si ottiene

dK(O)

dt=

NXs=1

(Ps ¡O)£msas ¡ v0 £Q: (6.38)

Se il centro di riduzione O μe ¯sso (v0 = 0), la (6.38) si sempli¯canella forma

dK(O)

dt=

NXs=1

(Ps ¡O)£msas: (6.39)

Si noti che tale sempli¯cazione rimane valida anche quando il cen-tro di riduzione O (pur non essendo, in generale, ¯sso) coincida,istante per istante, con il baricentro del sistema, infatti intal caso il termine vG£Q μe identicamente nullo dalla (6.36), o op-pure abbia velocitμa parallela a quella del baricentro, infattiv0 £Q = v0 £ (mvG) = 0.



6.2.7 Quantitμa di moto e momento delle quantitμa di moto di uncorpo rigido

Quando il sistema S in moto μe un corpo rigido, e si assume a centrodi riduzione O0 un punto solidale con il sistema, i due vettori Qe K(O0) si esprimono in modo notevolmente semplice per mezzodelle caratteristiche u; v; w e p; q; r del moto di S rispetto ad unaqualsiasi terna solidale (O0; x0; y0; z0) dove

v0 = u³0 + v^0 + wk

0; ! = p³0 + q^0 + rk

0:

Piμu precisamente si ha che:

Teorema 6.9. Le componenti di Q e K si identi¯cano con lederivate parziali dell'energia cinetica T del corpo rigido rapportoalle 6 caratteristiche:

Q = r(u;v;w)T =@T

@u³0 +

@T

@v^0 +

@T

@wk0

e

K(O0) = r(p;q;r)T =@T

@p³0 +

@T

@q^0 +

@T

@rk0:

Dimostrazione. Infatti, partendo dalla de¯nizione T = 12

PNs=1msv

2s ,

dove

vs = v0 + ! £ (Ps ¡O0) = vs;x0 ³0 + vs;y0^0 + vs;z0 k0; v0 = v(O);viene proiettata sulla terna solidale e dove

vs;x0 = u+ ~vs;x0(p; q; r):

L'energia cinetica T sarμa funzione di u; v;w; p; q; r e, derivandolarispetto ad u si ottiene che solamente vs;x0 dipende da u e che@vs;x0@u

= 1; quindi:

@T

@u=

NXs=1

msvs;x0; (6.40)

il cui secondo membro non μe altro che la componente Qx0 di Qsecondo l'asse delle x0. Analogamente per y0 e z0 ottenendo:



Qx0 =@T

@u; Qy0 =

@T

@v; Qz0 =

@T

@w: (6.41)

Derivando ora la T rispetto a p si perviene all'identitμa

@T

@p=

NXs=1

ms@vs@p

¢ vs =NXs=1

ms

"@!

@p£ (Ps ¡O)

#¢ vs

=NXs=1

ms³0 £ (Ps ¡O) ¢ vs =

NXs=1

ms³0 ¢ (Ps ¡O)£ vs = Kx0:

Analogamente

Ky0 =@T

@q; Kz0 =

@T

@r(6.42)

completando cosμ³ la dimostrazione.

In particolare dalle (6.26) e (6.27){(6.28){(6.29) si ottengono leespressioni delle componenti di Q e K(O0). In particolare, quandoil centro di riduzione O0 coincide con il baricentro o quando O0 sia¯ssato nello spazio (da ciμo T 000 = 0), allora le (6.42) assumono laforma 8><>:

Kx0 =Ap¡ B0r ¡ C0qKy0 = ¡C0p + Bq ¡A0rKz0 = ¡B0p¡A0q + Cr

(6.43)

e basta prendere come assi solidali i tre assi principali d'inerzia inO0 (baricentro o punto solidale ¯sso) per ridurle ulteriormente allaforma canonica

Kx0 = Ap; Ky0 = Bq; Kz0 = Cr (6.44)

dove A; B; C denotano i momenti principali di inerzia.Vale il seguente teorema:

Teorema 6.10. L'energia cinetica di un corpo rigido vale

T =1

2v(O0) ¢Q+

1

2! ¢K(O0):

Dimostrazione. Il Teorema si dimostra applicando il Teorema diEulero all'energia cinetica T



2T =@T

@uu+

@T

@vv +

@T

@ww +

@T

@pp +

@T

@qq +

@T

@rr;

considerata come forma quadrattica delle 6 caratteristiche (vedi lanota a seguito della formula (6.29)) e tenendo conto delle (6.41),(6.42).

Se il polo O0 dei momenti si fa coincidere con il baricentro(Q = mvG), allora si puμo scrivere (μe il Teorema di KÄonig) T =12mv2G+

12! ¢KG. Inoltre, nel caso in cui O0 sia ¯sso allora abbiamo

che T = 12! ¢K(O0):

Corpo rigido ad asse ¯sso

Se un corpo rigido S ruota intorno ad una retta ¯ssa a con velocitμaangolare ! allora, scegliendo l'asse a coincidente con uno degli assidi riferimento (ad es. l'asse x0) per cui p = §! e q = r = 0, le(6.41) e (6.42) assumono la forma:

Qx0 = 0; Qy0 = ¡mz0p; Qz0 = my0p;

Kx0 = Ap; Ky0 = ¡C0p; Kz0 = ¡B0p:Si prova cosμ³ che il momento delle quantitμa di moto rispettoall'asse di rotazione μe dato dal prodotto di §! per A (mo-mento di inerzia del corpo rispetto allo stesso asse).

6.2.8 Esercizi

Esercizio 6.2.8.1: Sia data un'asta rigida OA omogenea, lunga `e di massa m vincolata a ruotare attorno all'asse (O; z) rimanendoinclinata rispetto all'asse stesso (sia ® 2 (0; ¼=2) l'angolo che l'astaforma con la verticale). Essendo ! = _μk la velocitμa angolaredell'asta (dove μ μe l'angolo di rotazione), calcolare l'energia cineticadell'asta, in particolare calcolare l'energia cinetica quando ® = 0.

Esercizio 6.2.8.2: sia data un'asta rigida OA omogenea, lunga` e di massam avente l'estremoO ¯sso. Calcolare l'energia cineticadell'asta.

Esercizio 6.2.8.3: Sia data un'asta rigida AB omogenea, lunga` e di massa m vincolata a muoversi nel piano (O; x; y) e avente



l'estremo A vincolato ad una circonferenza di centro O e raggio R.Calcolare l'energia cinetica dell'asta.

Esercizio 6.2.8.4: Calcolare l'energia cinetica del sistema ma-teriale, mobile nel piano (O; x; y), formato da:

- un'asta rigida OC omogenea, lunga `, di massa m e con asse¯sso normale al piano (O;x; y) e passante per O;

- un disco rigido omegeneo, di raggio R e massa M il cui centroμe incernierato all'estremo C dell'asta.

Esercizio 6.2.8.5: Calcolare l'energia cinetica dell'asta ABomogenea, mobile nel piano (O; x; y), lunga ` e di massa m aventeun estremo A vincolato a scorrere lungo l'asse x.

Esercizio 6.2.8.6: Calcolare l'energia cinetica dell'asta ABomogenea, mobile nel piano (O; x; y), lunga ` e di massa m aventel'estremo A vincolato a scorrere lungo l'asse x e l'altro estremo Bvincolato a scorrere lungo l'asse y.

Esercizio 6.2.8.7: Calcolare l'energia cinetica di un disco omo-geneo di massa m, raggio R, mobile nel piano e che ruota senzastrisciare su un asse.

Esercizio 6.2.8.8: Sia dato il sistema materiale (detto bi-lanciere) costituito da:

- due sfere omogenee di massa M e raggio R ciascuna,- un'asta rigida, omogenea, lunga 2` e massa 2m;

l'asta μe rigidamente collegata alle due sfere come in ¯gura. Cal-colare l'energia cinetica del sistema sapendo che l'asta ruota at-torno ad un asse ¯sso passante per il centro dell'asta e normaleall'asta stessa.

Esercizio 6.2.8.9: Calcolare il momento della quantitμa di motodi un'asta AB omogenea, lunga ` e massa m che ruota attorno adun asse normale all'asta stessa e passante per l'estremo A.

Esercizio 6.2.8.10: Calcolare il momento della quantitμa dimoto di un'asta OA omogenea, lunga ` e massam avente l'estremoO ¯sso.

Esercizio 6.2.8.11: Calcolare il momento della quantitμa dimoto di un'asta AB omogenea, lunga ` e massa m che si muoveliberamente nel piano (O; x; y).


6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 187

6.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni diLagrange

6.3.1 Generalitμa

Se ci riferiamo ad un sistema S di N punti materiali Ps ogni sol-lecitazione sarμa costituita da forze applicate agli N punti del sis-tema che, in base al postulato di indipendenza degli e®etti delleforze, si potranno ridurre ad N forze applicate rispettiva-mente agli N punti Ps, sostituendo, per ciascuno di questi, allevarie forze agenti su di esso la rispettiva risultante.Se gliN punti Ps sono liberi ed μe data la sollecitazione risultante

Fs cui essi sono sottoposti, il problema del moto si pone immedi-atamente nelle equazione vettoriali (e quindi 3N equazioni scalari)del II± ordine nelle N incognite vettoriali Ps = Ps(t) dell'unicavariabile indipendente t:

msas = Fs

dove as μe l'accelerazione del punto Ps, di massa ms, valutata conriferimento alla terna rispetto alla quale sono misurate le forzeagenti sui punti del sistema.In generale avremo, oltre alle forze attive, anche dei vincoli

(sistemi materiali vincolati); per quanto μe noto dal postu-lato delle reazioni vincolari possiamo ritenere che su ciascunpunto del sistema l'azione esercitata dai vincoli, nelle datecondizioni di sollecitazione, sia sostituibile con una forza(incognita) che chiameremo reazione o forza vincolare. Sene consegue che, anche nel caso piμu generale di sistemi vincolati,varranno le equazioni fondamentali

msas = Fs + Ás (6.45)

purch¶e vi si interpreti ciascuna delle Fs come risultantecomplessiva delle forze attive e Ás delle reazioni, cui μesoggetto il corrispondente punto Ps. Si noti che, in gen-erale, si conoscono, oltre alle forze attive, le modalitμa di realiz-zazione dei vincoli, ma non le corrispondenti reazioni, le qualihanno perciμo il carattere di incognite ausiliarie; di qui appareche le equazioni (6.45) costituiscono, per il problema del moto diun sistema vincolato, una interpretazione provvisoria.



Per una piμu precisa caratterizzazione seguiteremo il percorso giμatracciato nella Statica dove, distinguendo le forze in interne ed es-terne, siamo pervenuti alle equazioni cardinali della Statica;mentre poi, nella Statica generale, partendo dalla distinzione delleforze in attive e vincolari e aggiungendo opportune ipotesi allanatura dei vincoli (assenza di attrito), siamo riusciti ad elim-inare, grazie al principio dei lavori virtuali, dalle condizioni diequilibrio le incognite reazioni.

6.3.2 Teoremi della quantitμa di moto e del momento delle quantitμadi moto. Equazioni cardinali della Dinamica

Teorema della quantitμa di moto

Dato un sistema materiale S di N punti Ps comunque vincolato esollecitato, distinguiamo l'insieme di tutte le forze attive e vinco-lari agenti sul sistema in esterne ed interne (attive e vincolari)avente vettori denotati, rispettivamente, Fs;i e Ás;i e Fs;e e Ás;e.Le equazioni del moto si potranno scrivere:

msas = Fs;i + Ás;i + Fs;e + Ás;e; s = 1; : : : ; N: (6.46)

Le forze interne (Ps;Fs;i) e (Ps;Ás;i), per la loro stessa natura,costituiscono un sistema vettorialmente equivalente a zero(cio¶e avente nulli il risultante e il momento risultante); quindi,sommando ambo i membri della (6.46), si ottiene:Ã

dQ

dt=

NXs=1

msdvsdt

=

!NXs=1

msas =NXs=1

Fs;e +NXs=1

Ás;e

e denotando con Re il vettore risultante di tutte le forze attiveesterne e denotando con ©e il vettore risultante di tutte le reazionivincolari esterne, si ottiene la relazione

dQ

dt= Re +©e: (6.47)

Abbiamo dunque il seguente risultato:

Teorema 6.11 (Teorema della quantitμa di moto). La derivatadella quantitμa di moto di un qualsiasi sistema materiale μe, istanteper istante, uguale al vettore risultante delle forze esterne (attivee vincolari).



Ricordando che Q = mvG, dove m μe la massa del sistema e vGla velocitμa del baricentro, la (6.47) si puμo scrivere

maG = Re +©e: (6.48)

Cio¶e:

Teorema 6.12 (Teorema del baricentro). Qualunque sia il sis-tema materiale che si considera e qualunque sia la sollecitazionecui esso μe sottoposto, il baricentro si muove come se fosse un puntomateriale dotato della massa totale del sistema e come se tutte leforze esterne (attive e vincolari) agenti sul sistema fossero appli-cate in esso.

Il teorema precedente ci assicura che nessuna azione di congegniinterni verrμa a modi¯care la traiettoria del baricentro. In partico-lare se Re +©e μe identicamente nullo dalla (6.48) segue aG = 0;cio¶e il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme.Se poi, piμu generalmente, μe costantemente nulla la componentedi Re + ©e secondo una qualche direzione ¯ssa a si ottiene cherimane costante, durante il moto del sistema, la compo-nente della velocitμa del baricentro secondo la direzionea.

Teorema del momento delle quantitμa di moto

Riprendiamo le equazioni (6.46) e consideriamo come elementoausiliare di riduzione, un punto O qualsiasi. Se, dopo avere molti-plicato vettorialmente ambo i membri per (Ps ¡ O), sommianorispetto all'indice s si ha, ricordando che il momento risultantedelle forze interne rispetto ad O μe costantemente nullo:

NXs=1

msas £ (O ¡ Ps) =NXs=1

(Ps ¡O)£msas

=dK(O)

dt+ v(O)£Q:

Che si puμo scrivere come:

dK(O)

dt+ v(O)£Q = −e(O) +ªe(O): (6.49)



Se, in particolare, il centro di riduzione O μe ¯sso o coincidecon il baricentro o ha velocitμa parallela a quella del bari-centro, allora la (6.49) assume la forma piμu semplice

dK(O)

dt= −e(O) +ªe(O): (6.50)

Vale quindi il seguente:

Teorema 6.13 (Teorema del momento della quantitμa dimoto). Comunque si muova un sistema materiale, la derivatain rapporto al tempo del momento delle quantitμa di moto rispettoad un punto ¯sso o coincidente con il baricentro o avente velocitμaparallela a quella del baricentro μe, istante per istante, uguale al mo-mento risultante di tutte e sole le forze (attive e vincolari) esternerispetto al medesimo centro di riduzione.

Il Teorema μe qui dimostrato nella solita ipotesi implicita che ilmoto del sistema sia riferito al riferimento rispetto al quale sonomisurate le forze. Ma sappiamo che, assumendo come centro diriduzione il baricentro, il momento della quantitμa di moto(assoluto) del sistema coincide con quello della quantitμadi moto relativa al baricentro (cio¶e relativa al riferimento bari-centrico e traslante); perciμo la (6.50) sussiste anche quandoper K(G) si prenda quest'ultimo momento K0(G), purch¶e,beninteso, i momenti −e(G) e ªe(G) delle forze esterne sicalcolino rispetto all'osservatore iniziale.Se la sollecitazione del sistema μe tale che il momento risultante

−e(O)+ªe(O) delle forze esterne si mantenga costantemente nulloallora, durante tutto il moto, il vettore K(O) si conservacostante (in grandezza e direzione) e l'equazione K(O) = cost: sichiama integrale del momento (vettoriale) delle quantitμa dimoto. Ad esempio, nel caso di un solido soggetto a forze esternein cui sia nullo il momento risultante rispetto al baricentro (μe ilcaso di un sistema pesante), se questo si muove a partire dallaquiete, il suo moto μe necessariamente traslatorio. In generale lecomponenti del vettoreK(G) (date da Ap; Bq; Cr) si mantengonocostanti (e per sistemi inizialmente in quiete dovrμa aversi p = q =r = 0 per tutto il moto).



6.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistema qualsiasi

Le due equazioni vettoriali

dQ

dt=Re +©e (6.51)

dK(O)

dt=−e(O) +ªe(O)¡ v(O)£Q; (6.52)

o, piμu particolarmente, la (6.51) e la

dK(O)

dt= −e(O) +ªe(O); (6.53)

si dicono le equazioni cardinali della Dinamica.Cosμ³ come nel caso statico (Q = K(O) = 0) queste val-

gono necessariamente per ogni sistema materiale mobile e nonsaranno in generale su±cienti a caratterizzarne il moto. Se perμosarμa possibile ridurre da esse un numero di equazioni di®erenzialiindipendenti, non contenenti le reazioni vincolari, ma solamente iparametri lagrangiani del sistema allora esse possono essere "su±-cienti" a caratterizzare il moto. Cio¶e la soluzione di tali equazionisoddisfacenti alle condizioni iniziali dμa, per il teorema di unicitμadelle equazioni di®erenziali, il moto del sistema. Piμu precisamentesi puμo pensare che, in accordo con il caso statico, per i sistemirigidi esse bastano in ogni caso a de¯nirne il moto completamentee perciμo costituiscono la base di tutta la Dinamica dei solidi.Mostriamo che questa proposizione μe veri¯cata per alcuni casi

notevoli.

Corpo rigido libero

In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 6 gradi di libertμae le equazioni cardinali della Dinamica sono

Md2G

dt2= Re e

dK(O)

dt= −e(O)

dove O μe un punto ¯sso o coincidente con il baricentro e doveRe e −e(O) dipendono, in generale, dai parametri lagrangiani,dalle loro derivate e dal tempo. Abbiamo cosμ³ ottenuto un sistemadi equazioni di®erenziali costituito da 6 equazioni in 6 incognite.



Con una scelta opportuna dei parametri lagrangiani (ad es. le trecoordinate del baricentro e i 3 angoli di Eulero) si prova che talesistema μe riducibile in forma normale e quindi, in virtμu del Teoremadi Cauchy, questo caratterizza tutte e sole le soluzioni del moto.

Corpo rigido con punto ¯sso

In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 3 gradi di libertμae le equazioni cardinali della Dinamica, in cui prendiamo come poloil punto ¯sso O, sono

Md2G

dt2= Re +©e e

dK(O)

dt= −e(O)

poich¶eªe(O) = 0 in quanto tutte le reazioni vincolari esterne sonoapplicate in O. Quindi la seconda equazione cardinale rappresentaun sistema di equazioni di®erenziali costituito da 3 equazioni nelle3 incognite (ad esempio gli angoli di Eulero) non contenente lereazioni vincolari. Tale sistema μe riducibile in forma normale equindi, in virtμu del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tuttee sole le soluzioni del moto.

Corpo rigido con asse ¯sso

In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 1 grado di lib-ertμa e la seconda equazione cardinale della Dinamica, in cui prendi-amo come polo un punto ¯sso O sull'asse ¯sso, proiettata sull'assestesso (coincidente con l'asse z) dμa luogo all'equazione di®erenziale

Iz Äμ = −e;z (6.54)

dove μ indica l'angolo di rotazione attorno all'asse ¯sso, Iz il mo-mento di inerzia del corpo rigido rispetto a quest'asse. Infattile reazioni vincolari sono tutte applicate a punti dell'asse (da cuideriva ªe;z = 0). Tale equazione μe in forma normale e quindi, invirtμu del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte e sole lesoluzioni del moto.

6.3.4 Principio di d'Alembert e relazione simbolica della Dinamica

Distinguendo tra forze attive e vincolari durante il moto var-ranno le equazioni fondamentali



msas = Fs + Ás (6.55)

che si possono scrivere

Fs ¡msas + Ás = 0: (6.56)

Se durante il moto si interpreta ciascuno dei vettori ¡msas comeuna forza, che diremo forza d'inerzia concernente il punto Ps, sirileva dalle (6.56), in quanto si riferiscono ad N punti da consid-erarsi come liberi, che: durante il moto di un sistema mate-riale, comunque vincolato e sollecitato, si fanno, istanteper istante, equilibrio le forze attive, le forze di inerzia ele reazioni. In particolare, dando il nome di forze perdute aitermini Fs ¡msas, avremo che

Principio di d'Alembert: Durante il moto di un sistema ma-teriale, comunque vincolato e sollecitato, si fanno istante per is-tante equilibrio, in virtμu dei vincoli, le forze perdute e le reazionivincolari.

Il principio di d'Alembert ha un notevole interesse in quantoriduce l'impostazione di una qualsiasi questione Dinamicaad una questione di Statica.Il principio del d'Alembert, unitamente al principio dei lavori

virtuali (che vuole il lavoro virtuale delle reazioni vincolari nullonell'ipotesi di vincoli lisci), conduce a caratterizzare il moto di unsistema a vincoli privi di attrito mediante la relazione

NXs=1

(Fs ¡msas) ¢ ±Ps · 0 (6.57)

da considerarsi valida per tutti e soli gli spostamenti virtuali ±Ps,a partire dalla con¯gurazione assunta dal sistema, durante il suomoto, nel generico istante che si considera. La (6.57) prende ilnome di relazione simbolica della Dinamica; nel caso di vincolibilaterali va sostituita alla corrispondente equazione

NXs=1

(Fs ¡msas) ¢ ±Ps = 0 (6.58)

detta equazione simbolica della Dinamica.



La relazione simbolica della Dinamica μe stata determinata nelcaso in cui i vincoli siano privi di attrito. Qualora vi siano vincoliscabri noi possiamo ripetere il procedimento che ci ha portato atale relazione con la sola variante che si consideri direttamenteapplicata a ciascun punto Ps, accanto alla risultante Fs delle forzeattive (interne ed esterne), anche la risultante Ás delle reazionivincolari (interne ed esterne) dovute ai vincoli scabri. Si pervienein tale modo alla relazione simbolica

NXs=1

(Fs + Ás ¡msas) ¢ ±Ps = 0: (6.59)

Questa relazione μe, in generale, di utilitμa puramente teorica. Ac-quista un reale interesse nel caso di vincolo di puro rotolamento.Infatti, in questo caso particolare, il punto in cui si esercita lareazione dovuto al vincolo scabro μe istantaneamente fermo e quindiÁs ¢ ±Ps = 0 e la (6.59) si riduce alla (6.58).

Commento al Principio di D'Alembert

Alcuni autori (ad esempio Gallavotti e Dell'Antonio) preferisconointrodurre il principio dei lavori virtuali (Il lavoro virtuale dellereazioni vincolari μe nullo) e poi speci¯care che i vincoli per i qualiquesto principio μe soddisfatto si chiamano vincoli perfetti o vin-coli ideali. Si veri¯ca sperimentalmente che, nel caso di sistemimeccanici, quanto piμu le super¯ci di vincolo sono "levigate" o "li-scie" allora tanto migliore μe la descrizione del moto mediante ilprincipio di D'Alambert.Osserviamo anche che questo principio μe giusti¯cato esclusiva-

mente dalla veri¯ca sperimentale e non μe conseguenza delle treleggi di Newton. La sua importanza risiede nel fatto che questoprincipio permette di caratterizzare quei sistemi meccanici per iquali la equazione di Newton rappresenta un problema ben posto(cio¶e si ha la esistenza ed unicitμa della soluzione per ogni datoiniziale compatibile con il vincolo e la continuitμa rispetto ai datiiniziali).Osserviamo in¯ne che altri autori postulano la validitμa della

equazione (o relazione) simbolica della Dinamica e da questa fannodiscendere il principio dei lavori virtuali; questo approccio, seppur



legittimo, priva il principio dei lavori virtuali della evidenza sper-imentale e lo fa discendere da un postulato piμu astratto.

6.3.5 Equazioni di®erenziali del moto di un sistema olonomo incoordinate lagrangiane

Riferiamo il nostro sistema olonomo S, ad una n¡upla qualsiasidi coordinate lagrangiane indipendenti qh dove n denota il gradodi libertμa del sistema. Sia Ps = Ps(qh; t) che, derivate rispetto altempo, danno le velocitμa

vs =nXh=1

@Ps@qh

_qh +@Ps@t

(6.60)

e gli spostamenti virtuali

±Ps =nXh=1

@Ps@qh

±qh (6.61)

dove le n componenti ±qh sono arbitrarie e indipendenti.Riprendendo la equazione simbolica della Dinamica, consideratavalida per tutti gli spostamenti virtuali, si ha:

NXs=1

msas ¢ ±Ps =NXs=1

Fs ¢ ±Ps; (6.62)

Per il secondo membro, lavoro virtuale ±L delle forze attive com-plessivo, si ha identicamente:

NXs=1

Fs ¢ ±Ps =nXh=1

Qh±qh dove Qh =NXs=1

Fs ¢ @Ps@qh

(6.63)

μe la componente della sollecitazione attiva secondo la co-ordinata lagrangiana qh. Quanto al primo membro della (6.62)esso si puμo scrivere, dalla (6.61), come

NXs=1

msas ¢ ±Ps =nXh=1

¿h±qh; dove ¿h =NXs=1

msas ¢ @Ps@qh

: (6.64)

In base alla arbitrarietμa dei termini ±qh e alle due identitμa (6.63)e (6.64) l'equazione simbolica della Dinamica equivale alle nequazioni:



¿h = Qh; h = 1; 2; : : : ; n: (6.65)

Si conclude cosμ³ che per il sistema olonomo, e a vincoli lisci ebilateri, considerato le n equazioni (6.65) equivalgono allaequazione simbolica della Dinamica e sono perciμo atte acaratterizzare il moto.Piμu precisamente abbiamo dimostrato che:

Teorema 6.14. Supponendo il sistema olonomo, e a vincoli liscie bilateri, allora, in virtμu del postulato dei lavori virtuali, discendeche, durante il moto, le (6.65) sono necessariamente veri¯cate.

Si veri¯ca che esse costituiscono precisamente un sistemadi n equazioni di®erenziali (indipendenti) del II± ordinenelle n funzioni incognite qh della variabile t, riducibile aforma normale, cio¶e risolubile rispetto alle derivate sec-onde. Infatti i termini dipendenti dalle Äqh compaiono solamentenella ¿h, tramite le as, come (ottenuta derivando la (6.60) rispettoal tempo):

as =nXh=1

@Ps@qh

Äqh + rs( _qh; qh; t):

Si riconosce quindi che nella generica equazione (6.65) (di indiceh) il coe±ciente delle Äqk μe uguale a

ah;k =NXs=1

ms@Ps@qh

¢ @Ps@qk

coincidente con il coe±ciente ah;k di _qh _qk nella espressione, in co-ordinate lagrangiane, della energia cinetica T o della sua partequadratica T2, secondo che i vincoli siano indipendenti o no daltempo; e dove si μe dimostrato che il determinante kah;kk non μemai nullo. Con le (6.65) si μe raggiunto lo scopo indicato: si μecio¶e ridotto il problema della determinazione del moto diun sistema olonomo alla integrazione di un sistema dif-ferenziale (del II± ordine) nel minimo numero possibile difunzione incognite (numero dei gradi di libertμa).Noti i valori q0h e _q

0h di qh e _qh in un determinato istante, cio¶e

assegnate la con¯gurazione iniziale del sistema e le velocitμa inizialidei singoli punti, allora avremo, per i noti teoremi di esistenza ed



unicitμa delle equazioni di®erenziali, una unica soluzione qh = qh(t)delle (6.65) che darμa, necessariamente, il moto del sistema. Cio¶e:

Teorema 6.15. Suppondendo il sistema olonomo e a vincoli lisci ebilateri e assumendo condizioni su±cienti di regolaritμa, siano qh(t)soluzioni del sistema (6.65) soddisfacenti alle condizioni inizialiassegnate q0h e _q

0h. Allora qh(t) determina la legge oraria del moto

(almeno in un intorno dell'istante iniziale).

6.3.6 Dimostrazione della "su±cienza" delle equazioni cardinalidella Dinamica

Consideriamo il caso di un corpo rigido soggetto a vincoli bilaterie lisci. Siamo in grado di provare che le equazioni cardinali dellaDinamica sono su±cienti a determinare il moto. Cio¶e:

Teorema 6.16. Nel caso di un corpo rigido con vincoli bilateri al-lora le equazioni cardinali della Dinamica (6.51) e (6.52) (o 6.53)sono su±cienti a caratterizzare il moto.

Dimostrazione. Infatti, basta provare che dalle equazioni cardinalidella Dinamica segue che il Teorema dei lavori virtuali μe veri¯cato,cio¶e

PNs=1(Fs ¡msas) ¢ ±Ps = 0, e da qui segue che sono veri¯cate

le equazioni di Lagrange. A tal ¯ne ricordiamo che ±Ps = ±O +±μa£ (Ps ¡O) dove O μe un punto qualunque del corpo rigido, adesempio prendiamo O ´ G. Un calcolo immediato dμa:

NXs=1

(Fs ¡msas) ¢ ±Ps =

=NXs=1

Fs ¢ ±O +NXs=1

Fs ¢ ±μa£ (Ps ¡O)¡NXs=1

msdvsdt¢ ±O +

¡NXs=1

msdvsdt¢ ±μa£ (Ps ¡O)

= Re ¢ ±O +−e(O) ¢ ±μa¡ dQ

dt¢ ±O¡ dK(O)

dt¢ ±μa

= ¡ÃdQ

dt¡Re

!¢ ±O¡

ÃdK(O)

dt¡−e(O)

!¢ ±μa:

D'altra parte le reazioni vincolari, in virtμu del principio dei lavorivirtuali, soddisfano alla relazione



0 =NXs=1

Ás ¢ ±Ps =NXs=1

Ás ¢ [±O + ±μa(Ps ¡O)]=©e ¢ ±O +ªe(O) ¢ ±μa:

Sottraendola alla precedente allora si ottiene

NXs=1

(Fs ¡msas) ¢ ±Ps = ¡ÃdQ

dt¡Re ¡©e

!¢ ±O +

¡ÃdK(O)

dt¡−e(O)¡ªe(O)

!¢ ±μa = 0

che risulta essere identicamente nulla se le equazioni cardinali dellaDinamica (6.51) e (6.53) risultano veri¯cate. Quindi la equazionesimbolica della dinamica risulta essere veri¯cata e da qui le con-seguenti equazioni di Lagrange.

6.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma

Riprendiamo le (6.65), si veri¯ca immediatamente che vale laseguente, detta seconda forma delle equazioni del Lagrange:

d

dt

@T

@ _qh¡ @T

@qh= Qh; h = 1; 2; : : : ; n: (6.66)

Esse danno la completa impostazione del problema del moto diun sistema olonomo; e, sotto l'aspetto analitico, costituisconoun sistema di®erenziabile del II± ordine nelle n funzioni incogniteqh(t), riducibile a forma normale.La dimostrazione μe immediata e segue ricordando che T =

12

PNs=1msvs ¢ vs e notando che dalla (6.60) risulta

@vs@ _qh

=@Ps@qh

ed

dt

@Ps@qh

=@

@qh

dPsdt

=@vs@qh

;

allora

@T

@qh=

NXs=1

msvs ¢ @vs@qh

e



@T

@ _qh=

NXs=1

msvs ¢ @vs@ _qh

=NXs=1

msvs ¢ @Ps@qh

:

Derivando quest'ultima rispetto al tempo si ottiene che

d

dt

Ã@T

@ _qh

!=

NXs=1

msas ¢ @Ps@qh

+NXs=1

msvs ¢ @vs@qh

= Qh +@T

@qh:

Notiamo che, nelle (6.66), tutto ciμo che dipende dalla sol-lecitazione attiva μe riassunto nelle sue componenti lagrangiane Qh,tutto quello che attiene alla struttura materiale del sistema μe sin-tetizzato nell'unico elemento globale T , cio¶e nella forza viva.Si veri¯ca facilmente che quando i vincoli sono indipen-

denti dal tempo, le (6.66) implica il teorema delle forze viveche, come giμa sappiamo, sussiste per ogni sistema con tali vincoli.Infatti, dalle equazioni di Lagrange (6.66) segue immediatamenteche deve essere

nXh=1

"d

dt

@T

@ _qh¡ @T

@qh

#dqh =

nXh=1

Qhdqh = dL(a):

Dal Teorema di Eulero segue che

2T =nXh=1

_qh@T

@ _qh

che derivata rispetto al tempo dμa

2dT

dt=

nXh=1

_qhd

dt

Ã@T

@ _qh

!+

nXh=1

Äqh@T

@ _qh:

D'altra parte T dipende esplicitamente della q e _q e quindi si hache

dT

dt=

nXh=1

_qh@T

@qh+

nXh=1

Äqh@T

@ _qh

che sottratta a quella precedentemente ottenuta dμa

dT

dt=

nXh=1

"d

dt

Ã@T

@ _qh

!¡ @T

@ _qh

#_qh

ovvero



dT =nXh=1

"d

dt

Ã@T

@ _qh

!¡ @T

@ _qh

#dqh

che, unita a quella precedentemente ottenuta, dμa dT = dL(a).

6.3.8 Funzione Lagrangiana

Supponiamo che le forze attive Fs derivino da un potenziale Us;quindi

U = U (qh; t) =NXs=1

Us(Ps)

e ammettiamo che i vincoli dipendano dal tempo t. Avremo an-cora, in coordinate lagrangiane, Qh =

@U@qh. Da ciμo, e dalla indipen-

denza di U da _qh, le equazioni di Lagrange assumono la forma

d

dt

@L@ _qh

¡ @L@qh

= 0; h = 1; 2; : : : ; n; (6.67)

dove si μe posto

L( _qh; qh; t) = L = T + U: (6.68)

Alla funzione L si dμa il nome di funzione Lagrangiana.In generale, possiamo considerare sistemi piμu generali, detti

sistemi Lagrangiani, caratterizzati dalle equazioni (6.67) doveL = L( _qh; qh; t) μe una funzione con determinante della matricesimmetrica @2L

@ _qh@ _qkmai nullo.

6.3.9 Esercizi

Esercizio 6.3.9.1: Sia mobile nel piano (O; x; y), (O; y) verti-cale ascendente, il sistema articolato costituito di due aste omoge-nee OA e AB lunghe, rispettivamente, `1 e `2 e di massa, rispet-tivamente, m1 e m2. L'asta OA ha un asse ¯sso passante perO e normale al piano (O; x; y) ed μe incernierata in A all'astaAB. Sul sistema agisce, oltre alla forza peso, una forza costante(B;F = F ³), F > 0. Assumendo come parametri lagrangiani gliangoli ® 2 [0; 2¼) e ¯ 2 [0; 2¼) che le due aste rispettivamenteformano con le verticali discendenti, si domanda:



i. scrivere le equazioni cardinali della statica, determinare le con-¯gurazioni di equilibrio e le reazioni vincolari in corrispondenzaa queste con¯gurazioni;

ii. scrivere le equazioni cardinali della dinamica;iii. calcolare il potenziale delle forze attive e l'energia cinetica delsistema, scrivere poi le equazioni di Lagrange;

iv. ritrovare le soluzioni viste in ii. e studiarne la stabilitμa;v. assumendo ora F = 0 calcolare il periodo delle piccole oscil-lazioni, le frequenze ed i moti normali.

Esercizio 6.3.9.2: Nel piano verticale (O; x; y), (O; y) verticaleascendente, μe mobile il sistema materiale pesante costituito da:

- un disco rigido di raggio R, centroG, massaM e densitμa ½(C) =cr dove r μe la distanza del generico punto C dal centro G deldisco e dove c > 0 μe una costante data;

- un punto P di massa M=2.

Il disco rigido μe vincolato a ruotare senza strisciare sul pianoinclinato AB, soggetto alla forza peso e, mediante una molla, aduna forza applicata in G e di vettore ¡k2(G ¡ O). Il punto P μeappeso ad un ¯lo (che supponiamo °essibile e inestendibile e dimassa trascurabile) passante per una carrucola (di dimensioni emassa trascurabili) posta in D(d; h) e che si avvolge su un discocentrato in G, di raggio R=2 e rigidamente connesso con il disco diraggio R. Supponiamo che il ¯lo, la carrucola e il disco di raggioR=2 abbiano di massa trascurabile ed assumiamo dBAx = ¼=6,jOAj = 2R e che il punto D sia tale che il ¯lo si mantiene paralleload AB (come anche la molla). Scelto come parametro la distanza» di G dall'origine O, si domanda:

i. il momento IH del disco di raggio R calcolato rispetto ad un asseperpendicolare al piano e passante per il punto H di contattotra il piano inclinato ed il disco;

ii. l'energia cinetica e il potenziale della sollecitazione attiva delsistema;

iii. le con¯gurazioni d'equilibrio del sistema e la loro stabilitμa;iv. le reazioni vincolari interne ed esterne in condizioni statiche;v. l'equazione e la legge oraria del moto supponendo che, all'istanteiniziale, il disco di raggio R sia fermo e che jAHj = jHBj;



vi. determinare la tensione ¿ del ¯lo, in funzione del tempo, du-rante il moto.

Esercizio 6.3.9.3: Nel piano (O; x; y), (O; y) verticale ascen-dente, μe mobile il sistema materiale pesante costituito da:

- un'asta OA rigida, omogenea, di lunghezza `, massa m, saldataad un disco di centro O, raggio R, massa M e densitμa ½(C) =c»(R¡ ») dove » = jOCj, C denota un generico punto del discoe c denota una opportuna costante positiva;

- un corpo puntiforme P di massa ¹.

L'asta e il disco, saldati assieme, hanno un asse ¯sso normale alpiano e passante per O. Il punto P μe appeso ad un ¯lo (°essibile,inestendibile e di massa trascurabile) che si avvolge sul disco. As-sumendo come parametro lagrangiano l'angolo μ 2 R che l'astaforma con l'asse verticale, si domanda:

i. la costante c che compare nella espressione della densitμa deldisco;

ii. calcolare il potenziale delle forze attive e l'energia cinetica delsistema;

iii. ponendo ® = 2¹Rm`, determinare le con¯gurazioni di equilibrio

del sistema e studiarne la stabilitμa in funzione del parametro ®,disegnare il diagramma di biforcazione;

iv. scrivere le equazioni cardinali della Dinamica;v. scrivere la funzione Hamiltoniana.vi. sia t il versore normale all'asta OA e diretto in verso antiorario;introducendo in A una forza di vettore F = F0 cos(!t)t, trascu-rando la massa m dell'asta e assumendo le condizioni inizialiμ0 = 0 e _μ0 = 0 determinare il moto del sistema.

Esercizio 6.3.9.4: Nello spazio (O; x; y; z), (O; z) verticale as-cendente, μe mobile il sistema materiale pesante costituito da duepunti P eQ di massa m ciascuno, posti agli estremi di una astarigida PQ di lunghezza 2` e massa trascurabile. Il punto medioMdell'asta μe vincolato a scorrere, senza attrito, lungo l'asse (O; x1)passante per O e inclinato di un angolo ®, 0 < ® < ¼, rispettoall'asse (O; z). Inoltre l'asta PQ, mobile nel piano (O; x1; z), puμoruotare attorno ad un asse passante per M e normale al piano



(O; x1; z). Sul sistema agisce, oltre alla forza peso, una forza elas-tica (M; k2(H ¡ M)) dove H μe la proiezione di M lungo l'asse

(O; z). Inoltre, l'asse (O; x1) ruota con velocitμa angolare ! = !k,cone ! costante attorno all'asse (O; z). Essendo x1, ascissa di Mlungo l'asse (O;x1), e ', angolo formato tra la verticale in M eQM , i parametri lagrangiani, si domanda:

i. il potenziale e l'energia cinetica del sistema rispetto all'osservatoremobile, determinare inoltre le equazioni di®erenziali del motorispetto all'osservatore mobile;

ii. determinare le con¯gurazioni di equilibrio relativo e la loro sta-bilitμa nell'ipotesi k 6= 2m!2;

iii. determinare le frequenze ed i moti normali attorno alle con¯g-urazioni di equilibrio stabile;

iv. determinare l'energia cinetica, rispetto all'osservatore ¯sso, delsistema supponendo l'asta PQ omogenea e di massa M .

Esercizio 6.3.9.5: Sia data un'asta omogenea AB, lunga ` emassa m con A e B vincolati a scorrere, senza attrito, lungo gliassi (O1; x1) e (O1; z1) di un sistema mobile (O1; x1; y1; z1) doveO1 ´ O e (O1; z1) coincide con l'asse verticale ascendente. Il

sistema mobile ruota con velocitμa angolare ! = _'k nota attornoall'asse verticale, '(t) μe una funzione nota. Si domanda:

i. scrivere le equazioni cardinali della dinamica riferite all'osservatorerelativo;

ii. nell'ipotesi che ! sia costante determinare le con¯gurazioni diequilibrio relativo e le reazioni vincolari in corrispondenza a talicon¯gurazioni;

iii. nell'ipotesi che ! sia costante calcolare il potenziale e l'energiacinetica rispetto all'osservatore relativo, scrivere poi le equazionidi Lagrange;

iv. nell'ipotesi che ! sia costante ritrovare le con¯gurazioni di equi-librio relativo con il metodo del potenziale, studiarne la sta-bilitμa e disegnarne il diagramma di biforcazione in funzione delparametro adimensionale ° = 3

2g`!2.

Note di Fisica Matematica I: Meccanica...

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