Računarska grafika 2 Transformacije u 2D i 3D grafici · 2019-10-31 · 10.196 B' M B » » » ¼...

Računarska grafika 2

Transformacije

u 2D i 3D grafici

Elementarne transformacije

u 3D grafici

Rotacija

Objekat rotira oko X ose za ugao α,

oko Y ose za ugao β i oko Z ose za ugao γ.

Pozitivan smer rotacije je

nasuprot kretanja kazaljke časovnika.

Skaliranje

Faktori skaliranja po X, Y i Z osi: SX , SY , SZ

=

1000

100

010

001

zyx

T

T

T

TM

Translacija

Objekat se pomera za vektor ( )TTT zyxT ,,

• Koristi se konvencija pokretnog objekta i matrice kolona

−=

1000

0cossin0

0sincos0

0001

M RX

−=

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

M RY

−

=

1000

0100

00cossin

00sincos

M RZ

=

1000

000

000

000

Z

Y

X

S

S

S

S

• Transformacije u 2D prostoru su slične, samo je potrebno

ukloniti 3. vrstu i 3. kolonu priloženih matrica

Zadatak 1

• U X-Y koordinatnom sistemu trougao je određentemenima: A(2,6), B(4,6) i C(3,8). Ukoliko se objekat translatorno pomeri za vektorO1(-1,-1), zatim rotira u smeru kretanja kazaljke načasovniku za ugao 30 i konačno skalira faktorimaza X-osu Sx=2, odnosno Y-osu: Sy=1, odrediti:

– kompozitnu matricu transformacije

– nove koordinate datog trougla

Zadatak 1 – rešenje (1/2)

Matrice elementarnih transformacija su:

=

100

010

002

S

Kompozitna matrica je:

−

−

=

100

110

101

T

−−

−

==

100

366.0866.05.0

732.21732.1

TRSM

−=

100

030cos30sin

030sin30cos

R

Zadatak 1 – rešenje (2/2)Početno stanje

8

x

y

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

AB

C

Izgled nakon transformacija

8

x

y

6

1 2 3 4

A B

C

==

1

83.3

732.6

' AMA

==

1

83.2

196.10

' BMB

==

1

062.5

464.10

' CMC

• U OpenGL-u bi se isti objekat pozicionirao na sledeći način

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

glPushMatrix();

glLoadIdentity();

glTranslated(-1,-1,0);

glRotated(-30, 0, 0, 1);

glScaled(2,1,1);

// crtanje figure u k.s. objekta

glPopMatrix();

Zadatak 2

• Trougao ABC nalazi se na ekranu u položajudefinisanom koordinatama tačakaA(1,3), B(3,1), C(3,3). Koordinatni početak se nalazi u donjem levom uglu ekrana.

Odrediti kompozitnu matricu transformacija pokretnogobjekta tako da se promeni položaja trougla ABC u položaj:

– A’B’C’, gde su koordinate tačaka A’(7,5), B’(5,7), C’(5,5)

– A’’B’’C’’, gde su koordinate tačaka A’’(5,7), B’’(7,5), C’’(5,5)

Zadatak 2

8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

A

B

CA’

B’

C’

8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

A

B

CB’’

A’’

C’’


8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

A

B

CA’

B’

C’

8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

A

B

C

A’

B’

C’

8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

A’

B’

C’

B

A

C

1.Translacija objekta tako da teme C bude u koordinatnom početku

2.Rotacija objekta u smeru kretanja kazaljke na časovniku za ugao =

3.Translacija temena C u tačku (5,5)

−

−

=

−

−

−

−

==

100

810

801

100

310

301

100

010

001

100

510

501

12 TRTM


8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

A

B

CB’’

A’’

C’’

8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

A

B

C

B’’

A’’

C’’

8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

A

B

C

B’’

A’’

C’’

8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2A

B

C

B’’

A’’

C’’1. Translacija objekta tako da je teme C u koord. početku

2. Refleksija prema X-osi

3. Rotacija objekta u smeru kretanja kazaljke za ugao =90

4. Translacija temena C u tačku (5,5).

−

−

=

−

−

−

−

==

100

801

810

100

310

301

100

010

001

100

010

001

100

510

501

12 TOOTM xy

Zadatak 3

• Ukoliko je tačka P određena vektorom (x, y, z) u koordinatnom sistemu objekta,

pronaći koordinate iste tačke u koordinatnom sistemu sveta (world space).

Na slici dole je prikazan položaj ova dva koordinatna sistema.

−

=

−

==

1000

0100

)sin(0)cos()sin(

)cos(0)sin()cos(

1000

0100

0010

001

1000

0100

00cossin

00sincos

R

RR

TRM

• Potrebno je pronaći matricu transformacije, M,

koja “poravnava” sistem objekta u sistem sveta

PMP ='P

α

R

yW

xW

yO

xO'P

• Postoje dva načina razmišljanja:• Prvi je da se pođe od situacije da su k.s. bili preklopljeni,

a da je onda k.s. sveta dospeo u datu poziciju translacijom i rotacijom.

Iz perspektive k.s. sveta to izgleda kao da se tačka P pomerala,

pa su i matrice transformacije u skladu sa konvencijom pokretnog objekta

Zadatak 3 – rešenje

• Drugi način je da pronađemo vektore i ( i )

kao i vektor translacije koordinatnog početka k. s. modela u k. s. sveta.

Na osnovu toga se direktno dobija matrca transformacije.

xO

yO

zO

α

yW

xW

yOxO

)0,sin,cos( xO

)0,cos,sin( −yO

=

−

=

1000

0100

)sin(0)cos()sin(

)cos(0)sin()cos(

R

R

M

)1,0,0(zO

)0,sin,cos( RRT

Zadatak 4

• Pronaći matricu transformacije koja

preslikava k.s. sveta u k.s. objekta iz

prethodnog zadatka.

• Jedan način je da se traže projekcije

osa k.s. sveta u k.s. objekta

−

=

1000

0100

)sin(0)cos()sin(

)cos(0)sin()cos(

R

R

M

P

α

R

yW

xW

yO

xO

'P

• Drugi način je da se pronađe inverz

matrice M iz prethodnog zadatka


• Za ortonormalne matrice važi da jeTMM =−1

−

−

=

−== −

1000

0100

00)cos()sin(

0)sin()cos(

10

1

R

TMMM

T

P

T

P

=

−

=10

1000

0100

)sin(0)cos()sin(

)cos(0)sin()cos(

TMR

R

MP

Projekcije

ortonormalnih vektora Translacija

PTMPMPTPMTPMP T

P

T

PPP =−==−=+= − ')'(' 1

• Matrica je ortonormalna ukoliko su vektori kolona međusobno ortogonalni i

imaju jedinične dužine => mora drukčije da se traži inverz matrice M

Transformacija

prozor → prikazni prozor window→viewport

• Obezbeđuje razdvajanje postupka sastavljanja scene

od njenog prikazivanja

• Window (prozor): određuje deo scene koji se posmatra

• Viewport (prikazni prozor): određuje poziciju, veličinu i

orijentaciju dela prikazne površi u kojoj se prikazuje

deo scene vidljiv u prozoru

prozor

prikazni

prozor

Zadatak 5

Izračunati kompozitnu matricu preslikavanja objekata iz

prozora (Window) sa slike 1 u prikazni prozor (Viewport)

na slici 2. Prozor se nalazi u koordinatnom sistemu

realnog sveta, a prikazni prozor u normalizovanom

koordinatnom sistemu prikaznog uređaja.

x

y( 1 0 , 9 )

( 2 , 3 )

x

ya b

r

= 3 0

a = 0 . 4

b = 0 . 6

r = 0 . 5

Slika 1 Slika 2


8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

8

x

y

6

2 4 6 8 10

4

2

Translacija: donji levi ugao pravougaonika

se postavlja u koordinatni početak

Skaliranje: (8,6)(0.6,0.4)


0.8

x

y

0.6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.4

0.2

0.8

x

y

0.6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.4

0.2

30°

Translacija: donji levi ugao pravougaonika

se postavlja u (0, r)

Rotacija: oko koordinatnog

početka za ugao 30°


0.8

x

y

0.6

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.4

0.2

M = R TVP S TW

=

100

00

00

y

X

S

S

S

6

4.08

6.0

=

=

y

x

S

S

−

−

=

100

310

201

wT

=

100

5.010

001

VPT

−=

100

030cos30sin

030sin30cos

R

−=

100

3348.00577.00375.0

0201.00333.00649.0

M

Zadatak 6

• Pronaći koordinate tačke P(5,1,-9) iz k.s. sveta

u k.s. normalizovanog uređaja (NDC) nakon projekcije,

ukoliko se k.s. kamere poklapa sa k.s. svetai ukoliko su parametri glFrustum funkcije bili sledeći:

10f

1n

t

5b

5r

5l

=

=

=

−=

=

−=

5

n

fb

t

l

r

-1

1

1

-1

-1

1

O

PPp

P’

• Potrebno je pronaći koordinate tačke P’

1. Pronađe se Pp , odnosno projekcija tačke P na bližoj strani odsecanja (near clipping plane)

2. Komponente x’ i y’ tacke P’ se dobijaju linearnom transformacijom komponenti xp i yp tačke

Pp , dok se z’ komponenta tacke P’ dobija linearnom transformacijom recipročne vrednosti

z komponente originalne tacke P

3. Na osnovu 2. se dobija matrica projekcije, kojom se tačka P preslikava

u homogeni prostor odsecanja (w komponenta projekcije je dubina tačke P u k.s. kamere)

4. Na kraju se koordinate dele sa w komponentom,

čime projekcija tačke P dospeva u normalizovani prostor odsecanja ili NDC

(ovo radi hardver!)


1,,, zyx PPPP =

n

fb

t

l

r

-1

1

1

-1

-1

1

O

PPp 'P

−

−−

−

+−

−

+

−

−

+

−

==

1

0100

200

02

0

002

'z

y

x

PROJP

P

P

nf

nf

nf

nfbt

bt

bt

nlr

lr

lr

n

PMP

• Kamera je u koordinatnom početku i gleda u negativnom smeru z ose.


x

z

p PP

nx −=

y

z

p PP

ny −=

12'

12'

−−

−=

−−

−=

bt

byy

lr

lxx

p

p

bt

bt

P

P

bt

ny

lr

lr

P

P

lr

nx

z

y

z

x

−

+−

−

−=

−

+−

−

−=

2'

2'

Linearno preslikavanjeSmena

Bz

Az +='

Recipročno

preslikavanje

z=−n, z’=−1

z=− f, z’=1 nf

nf

Pnf

nfz

z −

++

−

−−=

12'

nf

nfP

nf

nfPz

Pbt

btP

bt

nPy

Plr

lrP

lr

nPx

zz

zyz

zxz

−−

−

+−=−

−

++

−=−

−

++

−=−

2'

2'

2'

−

−−

−

+−

−

+

−

−

+

−

==

1

0100

200

02

0

002

'z

y

x

PROJP

P

P

nf

nf

nf

nfbt

bt

bt

nlr

lr

lr

n

PMP

• Postupak dobijanja matrice projekcije

Zadatak 6 - rešenje (2/2)

−=

−

−

−−

==

99

25

11

1

9

1

5

01009

20

9

1100

005

10

0005

1

PM'P PROJh

−

−−

−

+−

−

+

−

−

+

−

==

1

0100

200

02

0

002

z

y

x

PROJhP

P

P

nf

nf

nf

nfbt

bt

bt

nlr

lr

lr

n

PM'P

10f

1n

5b

5t

5r

5l

=

=

−=

=

=

−=

P(5,1,-9)

1,81

2,

45

1,

9

1' −=P

• Konkretna primena dobijene matrice projekcije

Zadatak 7

• Pronaći koordinate tačke P(0,1,-5)iz k.s. sveta

u NDC sistemu nakon projekcije,

ukoliko je k.s. kamere pozicioniran u k.s. svetapozivom gluLookAt(0,5,0, 0,0,- , 0,1,0)

i ukoliko je vidljivi prostor kamere postavljenpozivom glFrustum(-1,1, 1,-1, 1,10).

3

5

•P

α = 30

V = 5

yW

zW

zCyC

H = -3

5•

•


1. Matrica preslikavanja k.s. sveta u k.s. kamere

−

−−=

−

−−=

1000

33.45.0866.00

5.2866.05.00

0001

1000

cossincos0

sincossin0

0001

V

VM view

2. Matrica projekcije

−

−−=

−

−−

−

+−

−

+

−

−

+

−

=

01009

20

9

1100

0010

0001

0100

200

02

0

002

nf

nf

nf

nfbt

bt

bt

nlr

lr

lr

n

M PROJ

=

−

−−

−−

−−==

96.5

06.5

33.2

0

1

5

1

0

33.45.0866.00

063.361.0057.10

5.2866.05.00

0001

PMMP VIEWPROJH

=

1

849.0

391.0

0

PP

Zadatak 8

• Pronaći matricu rotacije koja rotira objekat oko ose

zadate jediničnim vektorom A(-0.25, -0.433, 0.866) za ugao 75° u pozitivnom matematičkom smeru.

• Problem će najpre biti rešen u opštem slučaju,

kada je potrebno rotirati tačku P

za ugao φ u pozitivnom mat. smeru

oko ose čiji je pravac određenjediničnim vektorom A

xz

y

A

P


• Projektovanjem vektora P na osu određenu vektorom A,

vidi se da je potrebno je pronaći samo rotaciju normalne komponente, dok se paralelna komponenta sabira nepromenjena.

A

P

APAPP

= )(

APAPPN

−= )(

• Rotacija vektora PN za ugao φ oko ose A se dobija kao linearna

kombinacija vektora PN i vektora PAxP dobijenog rotacijom vektora PN oko

ose A za ugao od 90° u supr. smeru od kretanja kazaljke časovnika.

sin)(cos))((sincos_ +−=+= PAAPAPPPP PANRotN

NP

PAP

RotNP _


• Iz poslednjeg sledi celokupni izraz rotiranog vektora P

sin)(cos))(()(_ +−+=+= PAAPAPAPAPPP RotNPRot

• Primenom matrične predstave gornji izraz je ekvivalentan sledećem

)cos1()(sin)(cos −++= PAAPAP

)cos1(sin

0

0

0

cos

100

010

001

2

2

2

−

+

−

−

−

+

= P

AAAAA

AAAAA

AAAAA

P

AA

AA

AA

PP

zzyzx

zyyyx

zxyxx

xy

xz

yz

Rot

• Odakle sledi matrica rotacije ( ) sin,cos == sc

−++−−−

−−−++−

+−−−−+

=2

2

2

)1()1()1(

)1()1()1(

)1()1()1(

)(

zxzyyzx

xzyyzyx

yzxzyxx

A

AccAsAAcAsAAc

AsAAcAccAsAAc

AsAAcAsAAcAcc

R


• Zamenom konkretnih vrednosti u opštu formulu dobija se matrica

tražena u zadatku ( A (-0.25, -0.433, 0.866) , φ=60°)

−++−−−

−−−++−

+−−−−+

=2

2

2

)1()1()1(

)1()1()1(

)1()1()1(

)(

zxzyyzx

xzyyzyx

yzxzyxx

A

AccAsAAcAsAAc

AsAAcAccAsAAc

AsAAcAsAAcAcc

R

−

−−

=

875.0404.0266.0

029.0594.0804.0

483.07.0531.0

)60( AR

0.063 0.187 0.75 0.108 -0.217 -0.375

2

xA2

yA 2

zA yx AAzx AA zy AA c s

0.5 0.866

Zadatak 8

• Izvesti matricu skaliranja duž proizvoljne ose

Ideja je slična kao u prethodnom zadatku.

Na slici je prikazana osa određena vektorom A

i neka tačka P treba da se skalira s puta duž te ose.

A

P

APAPP

= )(

APAPPN

−= )(

Zadatak 8 - rešenje

A

P

APAPP

= )(

APAPPN

−= )(

Skaliranje duž ose A će uticati samo na komponentu Pp.

Prema tome, tačka P će nakon skaliranja da se transformiše u tačku P’

na sledeći način:

P

AAAAA

AAAAA

AAAAA

sP

APAsPsAPAAPAP

sPPPPP

zzyzx

zyyyx

zxyxx

PNPN

−+

=−+=+−

=+=+=

2

2

2

)1(

100

010

001

)()1()()(

''

Zadatak 9

• Pronaći matricu skaliranja duž osa drugog k. s. čiji su

jedinični vektori pravca u tekućem k. s.

Sx(0.866, 0.433, -0.25)

Sy(-0.5, 0.75, -0.433)

Sz(0, 0.5, 0.866).

Faktor skaliranja duž x ose je 2, dok je duž y ose 3.

== −

1000

0500.1750.0433.0

0750.0375.2217.0

0433.0217.0125.2

1 MSMM S

−−

−

=

1000

0866.0433.025.0

05.075.0433.0

005.0866.0

M

−−

−

=−

1000

0866.05.00

0433.075.05.0

025.0433.0866.0

1M

=

1000

0100

0030

0002

S

Literatura

• Eric Langel, Mathematics for 3D Game

Programming and Computer Graphics

Računarska grafika 2 Transformacije u 2D i 3D grafici · 2019-10-31 · 10.196 B' M B » » » ¼...

Documents

Transcript of Računarska grafika 2 Transformacije u 2D i 3D grafici · 2019-10-31 · 10.196 B' M B » » » ¼...