FUNZIONI delle MODIFICAZIONI delle proteine per GLICOSILAZIONE
Esercitazioni di Fisica venerdì 10:00-11:00 aula...
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Richiami
di
trigonometria
Definizioni goniometriche
Relazione goniometrica fondamentale
)α
I grafici delle funzioni f(x) = sin(x) e f(x) = cos(x) sul piano cartesiano.
Il grafico della funzione f(x) = tan(x) sul piano cartesiano.
Nota la funzione trigonometrica di un angolo è
possibile ricavare le altre:
NOTO senα cosα tgα
senα senα
cosα cosα
tgα tgα
α−± 2sen1α−±
α
2sen1
sen
α−± 2cos1α
α−±cos
2cos1
α+±
α
2tg1
tg
α+± 2tg1
1
Da evidenti simmetrie sulla circonferenza si deducono poi i valori delle funzioni trigonometriche di altri archi particolari:
Archi
associati:
sen
(π/2 -
α)
= cos
αcos
(π/2 -
α)
= sen
α
sen
(π -
α) = sen
αcos
(π -
α)
= - cos α
sen
(π/2 + α)
= cos
αcos
(π/2 + α)
= −
sen
α
sen
(π + α)
= - sen αcos
(π + α)
= - cos α
sen
(2π -
α) = - sen αcos
(2π -
α) = cos
α
α senα cosα tgα
15°
= π/12
18°
= π/10
30°
= π/6 1/2 /2 /3
45°
= π/4 /2 /2 1
60°
= π/3 /2 1/2
90°
= π/2 1 0 non esiste
180°
= π 0 -1 0
270°
= 3/2π -1 0 non esiste
0°
= 360°
= 2π
0 1 0
426 −
426 + 32 −
415 −
45210 +
5525 −
33
2 2
33
Valori delle funzioni goniometriche di archi particolari
Applicazioni nello studio dei triangoli:Le funzioni trigonometriche sono definite come le lunghezze di diversi segmenti costruiti dal cerchio unitario ma possono essere definite come rapporti fra i lati di un triangolo rettangolo contenenti l'angolo.
1.
Il seno di un angolo è
il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell'ipotenusa.
2.
Il coseno di un angolo è
il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell'ipotenusa.
3.
La tangente di un angolo è
il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente.
Nota sui triangoli:Tutti i triangoli vengono considerati appartenenti al piano euclideo
in
modo che la somma degli angoli interni è
π
radianti(o 180°); di conseguenza, per un triangolo rettangolo, i due angoli non retti
sono
compresi fra 0 e π/2 radianti.
Esercizi:
1.
In un triangolo rettangolo sia
b = 3 e cosγ
= 1/3, risolvere il triangolo.
2.
In un triangolo rettangolo sia
a =√2 e β = 60°, risolvere il triangolo.
3.
In un triangolo rettangolo sia
a = 3 e b = 1, risolvere il triangolo.
4.
In un triangolo rettangolo sia
b = 4 e c = √3, risolvere il triangolo.
5. Semplificare le seguenti espressioni con le regole degli archi associati:sen( π
–
α
) =
sen (π
/2 –
α) = sen (π
+ α
) =
sen
( 2 π
-
α
) =
6. Sapendo che α
è
acuto e positivo e che senα
= 3/5 calcolarne le altre funzioni trigonometriche.
7. Semplificare le seguenti espressioni:tg(π
+ α)sen(π
-
α) cos(π
+ α) + tg2(π
-
α)cos2(-
α)
sen4 α
– sen2 α
– cos4 α
+ cos2 α
Vettori
e scalariNello studio della meccanica si incontrano due principali categorie di grandezze: scalari
e vettori.
Quantità
scalari: è
sufficiente un numero e la rispettiva unità
per
caratterizzarlo completamente
massaenergialavoropotenzatemperatura assoluta
Le grandezze vettoriali hanno necessità
di 4 informazioni:
modulo direzioneversopunto di applicazione
Il vettore può essere individuato anche tramite le sue componenti
lungo un sistema di assi cartesiani:
Il modulo
del vettore puo’
essere espressoin funzione delle componenti:
Anche l’
angolo α
può essere espressoin funzione delle componenti:
x
y
vv
tan =α
2y
2x
2 vvv +=r
)sin(vv
)cos(vv
y
x
α
αr
r
=
=
Esistono dei vettori speciali, detti versori, che possono essere utilizzati per caratterizzare tutti gli altri vettori.
Caratteristiche:
Hanno modulo 1;Sono diretti lungo gli assi cartesiani;Indicano il verso positivo degli assi cartesiani.
Un qualunque vettore puo’
essere espresso per mezzo delle sue componenti e dei versori i, j e k .
Operazioni con vettori
Somma
di vettori
Metodo grafico: regola del parallelogrammo
Differenza
di vettoriIl segno –
davanti a un vettore ne mantiene
direzione e modulo, e ne inverte il verso:
Somma per componenti: Le componenti della somma di due vettori sono uguali alla somma delle rispettive componenti dei vettori addendi
Prodotto di un vettore per uno scalare
Per moltiplicare un vettore per uno scalare c si moltiplica per c ciascuna componente:
Prodotto di vettoriProdotto scalare: il prodotto scalare tra due vettori ha come
risultato una grandezza scalare
Proprietà:
calcolo con le componenti:
Nota: non si può definire il prodotto scalare di 3 vettori
Prodotto vettoriale: prodotto tra due vettori che ha come risultato un terzo vettore
Modulo
Direzione
perpendicolare al piano individuato da a e bVerso
avanzamento vite destrorsa, cavatappi, mano
destra
Proprietà:
calcolo con le componenti:
Casi particolari
1.
Dati i vettori a=4.2 m i-1.6 m jb=-1.6 m i+2.9 m jc=
-3.7 m j
trovare il vettore r che rappresenta la somma di a, b e c.
2.
Determinare le coordinate del vettore 4a-5b sapendo che risulta a=(2,6,1) e b=(-2,3,-3). Si trovi successivamente il suo modulo.
5.
I vettori a= e b=
sono espressi dalle a=4i-3j e b=-7i+8j. Determinare la rappresentazione cartesiana di AB
OA OB
6.
Verificare che i vettori a=(3,-5,1) e b=(2,6,24) sono ortogonali
3. Si trovi
la componente
orizzontale
e quella
verticale
del vettore
A, di
modulo 15 che
ha una
inclinazione
di
20°
sud-est.
4. Un vettore
ha componenti
(-5, 10). Determinare
il
modulo del vettore e l’angolo
che
forma con l’asse
x.
Esercizi sui vettori:
7. Un cane effettua
3 spostamenti
consecutiviD1
= (15 i +30j +12 k) cmD2
= (23 i -14j -5 k) cmD3
= (-13 i + 15j ) cmTrovare
le componenti
dello
spostamento
risultante
e il
modulo.
8. Calcolare
il
prodotto
scalare
e vettoriale
di
2 vettori
che
hanno intensità
6 unità
e 3 unità
e formano
un angolo
di
45°. Indicare
direzione
e verso del vettore
risultante
nel
prodotto
vettoriale.
9. Un auto viaggia
per 32 Km verso Est
e da
qui per 47 Km verso Nord. Trovare
il
vettore
spostamento
10. Si considerino
i seguenti
vettori
A = -
i + 2j, B = 5 I, C = 3j, D = i -
2j-
Disegnare
i vettori
A e B, trovare
la risultante
graficamente
e
determinare
le sue componenti
cartesiane.-
Determinare
graficamente
la risultante
R = A + B + C + D
-
Calcolare
il
prodotto
scalare
p = A·D.-
Disegnare
i vettori
C e D e determinare
il
prodotto
vettoriale
M = C x D.
11. Dati
2 vettori
A = ( 3 i - 2 j) m e B = (-
i –4 j) mCalcolare: a) A + B; b) A –
B; c) |A+B| d) |A-B| e) la direzione
di
A +
B e di
A –
B
12. In quale
diagramma
la somma
A + B dei
due vettori
ha una componente
positiva
lungo
l’asse
x?
Quale affermazione è
errata? 1.
due vettori di modulo diverso possono avere risultante nulla2.
se la risultante di tre vettori è
nulla, allora i tre vettori sono complanari 3.
tre vettori ciascuno ortogonale agli altri due, non possono avere risultante nulla4.
quattro vettori aventi lo stesso modulo possono avere risultante
nulla
Il prodotto scalare di due vettori paralleli è:1.
pari al prodotto dei moduli dei vettori2.
nullo3.
un numero minore del prodotto dei moduli dei vettori4.
un numero il cui valore assoluto è
pari al prodotto dei moduli
Dati due vettori
a e
b entrambi non nulli. Se vale la condizione
|a+b|= a + b, allora se ne deduce che:
1.
L’angolo formato da a e b vale 602. a è
perpendicolare a b3. a e b sono paralleli ed hanno stessa direzione4.
L’angolo formato da a e b vale 45
Il modulo del prodotto vettoriale dei versori della terna cartesiana vale:1.
02.
-13.
14.
√3
Due vettori, aventi diverso modulo, possono avere risultante nulla:1.
quando sono perpendicolari2.
quando sono paralleli ed hanno verso opposto3.
quando sono paralleli ed hanno lo stesso verso4.
mai
Tre vettori, aventi diverso modulo (ciascuno diverso dagli altri
due), possono avere risultante nulla:
1.
quando sono coplanari2.
quando non sono coplanari3.
mai4.
quando sono a coppie perpendicolari
Due vettori a e b hanno componenti (1,0) e (-3,0), il loro prodotto scalare è:1.
zero2.
33.
-34.
-4
Il vettore b=a/6 è
definito come quel vettore:1.
ortogonale ad a con modulo b=6a2.
parallelo ed equiverso
ad a con modulo b=6a3.
ortogonale ad a con modulo b=a/64.
parallelo ed equiverso
ad a con modulo b=a/6
Dati tre vettori A=-3i+2j-k,B=i-3j+5k, C=2i+j-4k, è
possibile verificare se sono perpendicolari tra loro?
1.
Solo i vettori B e C sono perpendicolari tra loro2.
I vettori A, B e C non sono perpendicolari tra loro3.
Solo i vettori A e C sono perpendicolari tra loro4.
Solo i vettori A e B sono perpendicolari tra loro
Il prodotto vettoriale tra due vettori axb è
nullo quando:1.
a e b sono paralleli2.
a e b sono perpendicolari 3.
a e b formano un angolo acuto4.
a e b hanno lo stesso modulo
Il prodotto scalare tra due vettori è
espresso:1.
Dalla somma dei moduli dei vettori2.
Dalla regola del parallelogramma3.
Dal prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell’angolo compreso4.
Dal prodotto dei moduli dei vettori
Il prodotto scalare di due vettori assume il valore massimo quando:1.
I due vettori sono paralleli e controversi2.
I due vettori sono paralleli ed equiversi3.
I due vettori sono perpendicolari tra loro4.
I due vettori formano un angolo acuto
