08/03/2012

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Esercizi sul calcolo delle

probabilità

Svolti

e da svolgere (per MAR 13 marzo)

Esercizio

• Dati due eventi A e B dello spazio

campionario Ω. Si sappia che P(Ac)=0,3

P(B)=0,4 e P(A ∩ Bc)=0,5 si determinino le

probabilità

• P(A) ? P(A)=1-p(Ac)=1-0,3=0,7

• P(A ∩ B)?

• P(A U B)?

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Ω

A B

P(A ∩ Bc)=0,5 P(A)=0,7 noti Obiettivo P(A ∩ B)?

• Che cos’è P(A ∩ Bc)?

• P(A ∩ Bc)=P(A)-P(A ∩ B)

• P(A ∩ B)=P(A)-P(A ∩ Bc)=0,7-0,5=0,2

Esempio: superenalotto

• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,

40, 90}

• Prob di fare 6?

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Esempio: superenalotto

• Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25,

40, 90}

• Prob di fare 6?

• Casi favorevoli =1

• Casi possibili = Combinazioni di 90

elementi di classe 6 = C90,6

• C90,6=90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)=

• C90,6=90!/(6! 84!)= 622.614.630

Esercizio

• Un docente di statistica ha distribuito un

elenco di 20 domande da cui sceglierà a

caso quattro domande per l’esame finale.

Avendo poco tempo lo studente x prepara

solo 4 domande. Qual è la probabilità che

proprio queste costituiscano la prova di

esame

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Soluzione

• Casi favorevoli = 1

• Casi possibili C20,4=4845

• Pr = 1/4845=0,00021

Esercizio

• Supponiamo di disporre di un mazzo di 52

carte. Si estrae una sola carta. Qual è la

probabilità di estrarre una carta di quadri

oppure una carta rossa?

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Soluzione

• Pr (carta di quadri U carta rossa) =

Pr (carta di quadri)

+Pr(carta rossa)

-P(carta di quadri ∩ carta rossa)=

13/52+26/52-13/52=26/52=1/2

Esercizio

• Da un mazzo di 52 carte da poker se ne

estraggono a sorte 5.

• Si determini la probabilità che delle 5 carte

3 siano assi

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Soluzione

• Casi favorevoli tre assi

C4,3

• Casi favorevoli due altre carte qualsiasi

C48,2

• Casi possibili =C52,5

• Pr richiesta = C4,3 × C48,2 / C52,5 =0,0017

Esercizio

• Un dado viene lanciato 2 volte. Si calcoli

– La probabilità che l’esito del primo lancio sia

5, se la somma dei punteggi è 7

– La probabilità che l’esito del secondo lancio

sia un numero doppio dell’esito del primo

lancio

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Soluzione (senza usare la

regola della prob. condizionata) • Probabilità che l’esito del primo lancio sia 5, se

la somma dei punteggi è 7

• Spazio degli eventi

• Ω:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

• Casi possibili = 6

• Casi favorevoli =1

• Prob richiesta =1/6

Soluzione (usando la regola

della prob. condizionata) • Probabilità che l’esito del primo lancio sia 5, se la

somma dei punteggi è 7

• A= esito del primo lancio sia 5

• B = somma dei punteggi è 7 Ob. P(A|B)?

• P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)

• B:{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

• P(B)= 1/6

• P(A)= 1/6

• P(B|A)=1/6

• P(A|B) = 1/6 × 1/6 / 1/6 = 1/6

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Esercizio 5.45 • Un’urna contiene 15 palline bianche e 8 nere.

Calcolare

• Probabilità di estrarre una pallina bianca alla prima

estrazione (evento A)?

• Probabilità in due estrazioni senza ripetizione di

estrarre una pallina bianca nella seconda estrazione

(evento B) dato che nella prima estrazione è stata

estratta una pallina bianca (evento A)?

• Probabilità di estrarre in entrambe le estrazioni una

pallina bianca

Soluzione • Formalizzazione

• A=estrazione pallina bianca prima estraz

• P(B|A)= estrazione pallina bianca seconda

estr. data prima estraz bianca?

• P(A)=15/23

• P(B|A)= 14/22

• P(A ∩ B) =P(B|A) P(A)=(14/22)*(15/23)

15Bianche

8Nere

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Soluzione

• Casi

favorevoli=3

• Casi

possibili =36

• Prob

richiesta =

1/12

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Ω

Probabilità che l’esito del secondo lancio sia un

numero doppio dell’esito del primo lancio

Esempio

• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due

dei quali contengono un buono per un

nuovo boero. Probabilità di mangiare 3

boeri comprandone uno solo?

• A=“Il primo boero contiene il buono”

• B=“Il secondo boero contiene il buono”

• P(A ∩ B)=“entrambi i boeri contengono il

buono”

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Esempio

• Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due

dei quali contengono un buono per un

nuovo boero. Probabilità di mangiare 3

boeri comprandone uno solo?

• A=“Il primo boero contiene il buono”

• B|A=“Il secondo boero contiene il buono dato

che il primo buono è già stato estratto”

• P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)= (2/30) (1/29)=0,0023

Esercizi da svolgere

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Esempio totocalcio

• Gioco la schedina mettendo a caso i segni

1 X 2

• Qual è la prob. di fare 14?

Esercizio

• Dati due eventi incompatibili A e B tali che

P(A) =0,35 e P(B)=0,40 si trovino le

seguenti probabilità

• P(Ac)

• P(A ∩ B )

• P(A U B)

• P(Ac U Bc)

• P(Ac ∩ Bc)

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Esercizio

• Per i due eventi A e B sono note le

probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39

P(A ∩ B )=0,18 si determinino le

probabilità nella tabella che segue

A Ac

B

Bc

• E si calcolino P(A ∩ Bc ) e P(Ac ∩ Bc )

Esercizio

• Si calcoli la probabilità di ottenere un 2

almeno una volta in tre lanci consecutivi di

un dado.

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Esercizio

• Delle 80 confezioni di yogurt esposte nel

bancone di un supermercato,

10 scadono fra una settimana,

50 fra due settimane

e le restanti 20 fra tre settimane.

Si calcoli la probabilità che su 5 confezioni

scelte a caso due scadano tra una

settimana, due scadano fra due settimane

e una fra tre settimane

Esercizio

• Si calcoli la probabilità che estraendo a

sorte due carte da un mazzo di 40

appaiano 2 assi.

– Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo

prima dell’estrazione della seconda

– Nel caso che la prima non sia reinserita nel

mazzo prima dell’estrazione della seconda

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Esercizio

• Si dimostri che se due eventi A e B sono

indipendenti, allora A e l’evento

complementare di B (Bc) sono indipendenti

Esercizio

• Un dado viene lanciato 2 volte. Si indichi

con A l’evento “al primo lancio esce un

numero minore o uguale a 2” e con B

l’evento “al secondo lancio esce un

numero uguale o superiore a 5”. Calcolare

la probabilità dell’evento unione di A e B.

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Esercizio

• Si hanno tre scatole che contengono: la

prima, 2 banconote da €100; la seconda, 1

banconota da € 100 e 1 da € 50; la terza,

2 banconote da € 50. Si scelga a caso una

delle tre scatole (tra loro equiprobabili) e si

estragga una banconota. Risulta estratta

una banconota da €100; qual è la

probabilità che la scatola dalla quale è

stata estratta sia la prima?

Esercizio

• Si considerino 3 urne, numerate da 1 a 3;

ogni urna contiene 5 palline. La generica

urna i contiene i palline bianche e (5-i)

palline nere, con i=1,2,3 (cioè, ad

esempio, l’urna numero 2 contiene 2

palline bianche e 5-2=3 palline nere). Si

estrae a caso un’urna, e da questa una

pallina. Calcolare la probabilità che la

pallina estratta sia bianca.