x r cosθ y r sin θ cos sin θ r - -e-4°-ora-10marzo2016.pdf · PDF...

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2 Teorema In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto uguale a quella dellaltro cateto moltiplicato per la tangente dellangolo opposto al primo, o per la cotangente dellangolo adiacente.

Trigonometria

r

x

y

P = (x,y)

x

y

sinr cosr == yx

1Teorema In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto uguale al prodotto della misura dellipotenusa per il coseno dellangolo adiacente oppure per il seno dellangolo opposto.

tg cossinx

xyy ==

cotg sincosy

yxx ==

sin cosry

rx

==

Funzioni trigonometriche Le funzioni trigonometriche (sin, cos, tan, cotan, ) sono funzioni periodiche, cio che dopo un determinato periodo si ripetono identiche a loro stesse; per le funzioni seno e coseno il periodio pari a 2 (360), per la tangente e la cotangente il periodo pari a

x

Periodo

sinx cosx

==yy

y

Periodo

tan x =y

x

y

-/2 /2

0

1

x xcos

sin

x

tan

x -1 sinx 1 -1 cosx 1 -

Identit trigonometriche

c b

a

sin c cos c == ba

( ) ( )

( )

cos1cos1

2tan

tan1tan22tan

cos121

2cos

2sin2cos1cos1

21

2sin

sincos2cos

cossin22sin

1cossin

2

2

22

22

22

+

=

=

+=

==

=

=

=+

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2tan1tan22tan

21sin

21sin2coscos

21cos

21cos2coscos

21cos

21sin2sinsin

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

=

+=

+=+

=

=

=

Formule di Prostaferesi

Grandezze Scalari e Grandezze Vettoriali

Grandezza completamente definita da un VALORE NUMERICO (positivo o

negativo) espresso nellunit di misura appropriata

Massa, temperatura, distanza, intervallo temporale, energia,

lavoro, potenza

Aritmetica ordinaria somma, sottrazione,

moltiplicazione, divisione,

Spostamento, velocit, accelerazione, forza, momento

angolare, momento di una forza

Grandezza completamente definita da un valore numerico positivo,detto

MODULO, espresso nellunit appropriata, da una DIREZIONE e

da un VERSO

Vettori

Algebra vettoriale somma e sottrazione di vettori,

proiezioni, prodotto scalare, prodotto vettoriale,

Scalari

Si indica:

Vettori

Un vettore si rappresenta graficamente attraverso una freccia

A

B

La lunghezza del corpo della freccia indica il modulo

La retta su cui giace la freccia indica la direzione

a!

a

Con una lettera in grassetto : a

a!

Con una lettera e una freccia :

ABCon gli estremi e una freccia :

La punta della freccia indica il verso

Notazione: Vettore entrante nel foglio Vettore uscente

Caso particolare di vettore: Versore: vettore adimensionale di lunghezza unitaria introdotto per specificare una data direzione orientata: Es:

a=1

a

kji ,, Sono i VERSORI della TERNA CARTESIANA x,y,z

Somma di Vettori(1)

Non possono essere sommati vettori associati a grandezze diverse Non possono essere sommati vettori associati alla stessa grandezza ma espressi con unit di misura diverse ( bisogna prima effettuare una conversione ad ununit di misura comune)

)()( mmBcmA!!

+

( )cmA!

( )mmB!

( )cmA!

( )cmB!

)()( cmBcmA!!

+Conversione di unit di misura (moltiplicando il modulo di per ) B

! 1cm10mm

Regola del parallelogramma

=+ BA!!A

!B!

!B

A!

B!

BAR!!!

+=

Somma di Vettori (metodo geometrico)(2)

A!

B!

C!

BA!!

+

CBAR!!!!

++=

( ) CBAR !!!! ++=

A!

B!

C!

CB!!

+

( )CBAR !!!! ++=

ABBAR!!!!!

+=+=

Propriet Commutativa della

somma BAR!!!

+=

B!

A!

ABR!!!

+=

A!

( )( ) ( )CABCBA

CBACBAR!!!!!!

!!!!!!!

++=++=

++=++=

Propriet associativa della

somma

Vettore opposto e Differenza di Vettori

A!

B!

BAR!!!

+=A!

B!

BAR!!!

+=

A!

( )BABA !!!! +=

A!

A!

( ) 0=+ AA !!

Possiamo vedere la sottrazione come la somma di un vettore con lopposto dellaltro

Ma quale quel vettore che sommato ad mi d zero? A!

I vettori e hanno stesso modulo e direzione, ma verso opposto A!

A!

BAR!!!

=A!

B!

A!

B!

B!

B!

0=+= BAR!!!

B!

Si definisce opposto del vettore quel vettore che sommato ad d come risultato 0 A!

A!

B!

BAR!!!

=

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

A!

direzione uguale a quella di ; A!

verso opposto a quello di se s0; A!

s= 2

A!2s= -2

s = A!

se s=0 si ottiene il vettore nullo;

A!modulo uguale al prodotto tra il

modulo di e il valore assoluto di s.

Il prodotto s di un vettore per un numero s (scalare) un vettore avente: A!

A!

A!

2A!2

A!

Vettori (nello spazio tridimensionale) q Un vettore rappresentato graficamente da un segmento, la cui lunghezza o modulo, una volta fissata lunit di misura, definisce lintensit del vettore stesso

A!1A

!

2A!

3A!

=A!

Vettore libero

321 ,, AAA!!!

Vettori equipollenti: Due vettori si dicono uguali se hanno stesso modulo e puntano nella stessa direzione e verso

Il modulo del vettore pari alla lunghezza del segmento OP La direzione del vettore nello spazio definita dai due angoli e che il vettore forma con allasse z e con il piano xy (della terna cartesiana scelta) rispettivamente

B!

B!

321 AAAA!!!!

===

x

z

y O

Vettore definito univocamente dal punto di applicazione ( ,P)

B!

B!

B!

P

sono i versori,della terna cartesiana. In particolare:

kji ,, diretto lungo lasse positivo delle x i diretto lungo lasse positivo delle y j diretto lungo lasse positivo delle z k

Componenti di Vettori e Versori(1) q Il metodo geometrico per la somma di vettori diventa complicato da attuare quando si ha bisogno di descrivere i vettori nello spazio tridimensionale q Conviene utilizzare un metodo pi analitico che fa uso delle proiezioni di un vettore lungo gli assi di un sistema cartesiano ( sistema di coordinate ortogonali sperando che questa sia una puntualizzazione ovvia) qSe con la somma troviamo un vettore che rappresenta la combinazione di uno o pi vettori, analogamente si pu anche scomporre un vettore nella somma di altri due o pi vettori ( Decomposizione)

x

z

y O

Ay

A!

P

Az

Ax

I Valori numerici Ax, Ay, Az sono le proiezioni di sui rispettivi assi x, y, z

A!

ijk

Possiamo quindi riscrivere il vettore intermini dei tre versori e delle sue proizioni

A!

kji ,,

kAjAiAA zyx ++=!

sono a loro volta 3 vettori la cui somma d il vettore

kAjAiA zyx ,,A!

q Modulo: !A = A = Ax

2 + Ay2

Vettori e componenti

y

xO

P

Un vettore, una volta scelti gli assi cartesiani, pu essere individuato anche tramite le sue componenti lungo tali assi:

!A = Axi + Ay j =

!Ax +

!Ay

Ay

Ax ji

A!

q Angolo : x

y

AA

=tan

Ax

Ay

Teorema di Pitagora A

=

=

sin

cos

AA

AA

y

x

cossin

=x

y

AA

tan=

iAA xx =!

jAA yy =!

NB: le proiezioni di un vettore possono essere anche negative

I vettori componenti: hanno per modulo il valore assoluto delle componenti e direzione del versore associato allasse di proiezione Il verso pu essere lo stesso od opposto del versore associato.

Somma per componenti Abbiamo visto che un vettore pu essere espresso mediante le sue componenti lungo gli assi cartesiani

y

xO

Ay

Ax

A!

+=

+=

jBiBB

jAiAA

yx

yx

!

!

B!

Bx

By R!

Ry

Rx

Domanda: Come si fa a sommare ad un vettore di componenti Ax e Ay un vettore di componenti Bx e By? A

!B!

( ) ( )2222 yyxx BABARRR yx +++=+=Modulo

jRiRR yx +=!

Dati i due vettori e , sia il vettore risultante dalla somma di essi. BAR!!!

+=A!

B!

Risposta: Si sommano le componenti lungo x e lungo y separatamente

!R =

!A +!B = A

xi + A

yj( )+ Bxi +By j( )

Rx Ry

xxx BAR +=

yyy BAR +=

Angolo