Sovrapposizione di onde sinusoidali

Ettore Focardi 1

Consideriamo due onde sinusoidali che si propagano verso destra con stessa f, λ e ampiezza ma con differenza di fase φ:

€

y1 = Asen(kx −ωt) y2 = Asen(kx −ωt + φ)La funzione d’onda risultante sarà:

€

y = y1 + y2 = A[sen(kx −ωt) + sen(kx −ωt + φ)

Dall’identità:

€

sena+ senb = 2cos(a − b2)sen(a + b

2)

€

y = 2Acos(φ2)sen(kx −ωt +

φ2)

La funzione d’onda risultante y è sinusoidale con stessa frequenza e lunghezza d’onda delle singole onde. L’ampiezza è 2Acos(φ/2) e la costante di fase è φ/2. Se φ=0, l’ampiezza è 2A, interferenza costruttiva (fig.(a)). Se φ=π, l’onda ha ampiezza nulla, Si ha interferenza distruttiva.

Onde stazionarie

Ettore Focardi 2

Supponiamo di avere due onde identiche che si propagano nel mezzo in direzioni opposte.

€

y1 = Asen(kx −ωt) y2 = Asen(kx +ωt)

€

y = y1 + y2 = Asen(kx −ωt) + Asen(kx +ωt)

Ricordando sen (a±b)= sena cosb ± cosa senb si ha:

€

y = (2Asenkx)cosωt

Onda stazionaria non rappresenta un’onda che si propaga. Particolare tipo di moto armonico. Particella mezzo oscilla con stessa ω. L’ampiezza del moto armonico della particella dipende dalla posizione x della stessa. L’oscillazione avviene all’interno della funzione inviluppo 2Asenkx

Minimo spostamento per kx= π, 2π,etc. x=λ/2, λ,..=nλ/2 n=0,1,2…. Nodi Massimo spostamento per kx=π/2,3π/2,.. x=λ/4,3 λ/4,..=nλ/4 n=1,3,5… antinodi (ventri)

Soluzione: onda elettromagnetica piana

Ettore Focardi 3

La soluzione più semplice delle due equazioni per E e B è un’onda piana sinusoidale in cui le ampiezze dei campi E e B variano con x e t secondo le espressioni:

€

E = Emax cos(kx −ωt) B = Bmax cos(kx −ωt)

k=2π/λ è il numero d’onda e ω=2πf è la pulsazione, con f frequenza dell’onda.

€

ωk

=2πf2π /λ

= λf = c valida per ogni onda

z x

y

In figura è rappresentata schematicamente un’onda elettromagnetica piana in un certo istante, polarizzata linearmente, che si propaga con velocità c nel verso positivo dell’asse x.

Eseguendo le derivate parziali rispetto a x e t si ha:

€

∂E∂x

= −kEmaxsen(kx −ωt)∂B∂t

=ωBmaxsen(kx −ωt)

che sostituite in danno in ogni istante:

€

∂E∂x

= −∂B∂t

€

€

kEmax =ωBmax →Emax

Bmax=ωk

= c

e quindi in ogni istante in un’onda

e.m.il rapporto E/B=c. Le onde e.m. obbediscono al principio di sovrapposizione. €

Emax

Bmax=EB

= c

esempio

Ettore Focardi 4

Un’onda e.m. piana sinusoidale di frequenza f=40 MHz si propaga nel vuoto in direzione x. Trovare lunghezza d’onda e periodo. In un certo punto ed istante il campo E raggiunge il massimo Emax=750 N/C con verso y positivo. Trovare valore e verso di B in quella posizione ed istante.

da c=λf si ha:

€

λ =cf

=3⋅ 108m /s4⋅ 107 s−1

= 7.5m

Il periodo dell’onda è l’inverso della frequenza:

€

T =1f

=1

4⋅ 107s−1= 2.5⋅ 10−8 s = 25 ns

Dalla relazione tra E e B si ha:

€

Bmax =Emax

c=750N /C3⋅ 108m /s

= 2.5⋅ 10−6T

Le espressioni analitiche di B ed E sono allora:

€

E = Emax cos(kx −ωt) = (750N /C)cos(kx −ωt)B = Bmax cos(kx −ωt) = (2.5⋅ 10−6T)cos(kx −ωt)

€

ω = 2πf = 2π (4⋅ 107 s−1) = 2.51⋅ 108rad /s

k =2πλ

=2π7.5m

= 0.838rad /m

Vettore di Poynting

Ettore Focardi 5

Le onde e.m. trasportano energia per cui, propagandosi nello spazio, possono trasferire energia agli oggetti che incontrano nel loro cammino. Il flusso di energia per unità di tempo di un’onda e.m. è descritto dal vettore S, vettore di Poynting, definito come:

€

S ≡ 1

µ0

E ∧ B

Il modulo del vettore di Poynting è uguale al flusso di energia che passa nell’unità di tempo attraverso l’unità di area di una superficie alla direzione di propagazione dell’onda, Rappresenta quindi la potenza per unità di area. Verso e direzione del vettore coincidono con il verso e direzione di propagazione dell’onda.

€

⊥

[S]= J/(s m2)= W/m2

Calcoliamo |S| per un’onda e.m. piana per cui In questo caso è: ma dato che B/E=c è:

€

E ∧ B = EB

€

S =

EBµ0

€

S =E 2

µ0c=cµ0B2

valore di S in ogni istante

Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche

Ettore Focardi 6

Per un’onda e.m. piana sinusoidale la quantità più interessante è il <S> nel tempo, calcolato su uno o più cicli, chiamato l’intensità I dell’onda:

€

I =< S >=1T

EBµ0

dt =t

t+T

∫ EmaxBmaxTµ0

cos2(kx −ωt)dt =t

t+T∫ EmaxBmax

Tµ0

T2

=EmaxBmax2µ0

=E 2

max

2µ0c=

c2µ0

B2max

Ricordiamo che la densità di energia uE=1/2ε0E2 e che uB=1/(2µ0)B2. Per un’onda e.m. piana dalle relazioni B=E/c e c=1/√(µ0ε0) si ha:

€

uB =(E c)

2

2µ0=

µ0ε 02µ0

E 2 =12ε 0E

2 = uE

In un’onda e.m. piana, la densità di energia associata al campo magnetico è uguale, istante per istante, alla densità di energia associata al campo elettrico. La densità istantanea totale di energia u=uE+uB: u=uE+uB=ε0E2=B2/µ0 Se facciamo la media di questa quantità si ottiene sempre il fattore ½, quindi l’energia totale media per unità di volume è: umed=ε0(E2)med=1/2ε0Ε2

max=B2max/2µ0 da cui si ha:

I = Smed=c umed L’intensità di un’onda e.m.è uguale al prodotto della densità di energia media per la velocità della luce.

Quantità di moto e pressione di radiazione

Ettore Focardi 7 Apparecchio per la misura della pressione di radiazione

pannelli solari Mariner 10

Nasa ha usato p trasferita da Sole ai pannelli solari di Mariner 10 per piccole correzioni di rotta vicino Mercurio.

Le onde e.m. trasportano anche quantità di moto. Se un’onda incide su una superficie esercita una pressione. Supponiamo che l’onda colpisca la superficie perpendicolarmente e che essa assorba tutta la energia incidente U in un certo tempo t. Maxwell dimostrò che la quantità di moto totale p trasportata su questa superficie ha modulo

p = U/c La pressione sulla superficie è definita come P=F/A= (1/A)dp/dt=(1/A)(d/dt)(U/c)=(dU/dt)/cA, Ma (dU/dt)/A è energia per s per unita’ di area, cioè il modulo del vettore di Poynting è:

P=S/c Se la superficie è perfettamente riflettente(specchio) e l’incidenza è normale, la p trasferita in t è doppia (p luce incidente + p luce riflessa) p=2U/c. La quantità di moto trasferita ad una superficie arbitraria varia tra U/c e 2U/c a seconda del potere riflettente della superficie. La pressione di radiazione

su superficie perfettamente riflettente e è:

P=2S/c

€

⊥

esempio

Ettore Focardi 8

Pressione prodotta da un puntatore laser. Se un puntatore laser di potenza P=3 mW produce un punto luminoso di 2 mm di diametro, trovare la pressione di radiazione nel caso in cui lo schermo riflette il 70% della luce incidente.

Occorre trovare il vettore di Poynting del fascio dividendo la potenza media emessa dalle onde e.m. per l’area della sezione trasversa:

€

S =PA

=Pπr2 =

3⋅ 10−3W

π(122⋅ 10−3m)

= 955W /m2

Questa è circa l’intensità della luce del Sole sulla superficie terrestre. Per questo è pericoloso puntare il fascio laser verso gli occhi dei presenti; potrebbe essere più dannoso che guardare direttamente il sole. Calcoliamo ora la pressione. Supponiamo che la superficie assorba il fascio e quindi P=S/c. Se essa riflette solo una frazione f, la pressione dovuta al fascio riflesso è P=fS/c. Da qui la pressione totale:

€

P =Sc

+ f Sc

= (1+ f ) Sc

= (1+ 0.7) 955W /m2

3⋅ 108m /s= 5.4⋅ 10−6N /m2

(valore piccolo, confronto con pressione atmosferica 105 N/m2).

Onde elettromagnetiche da un’antenna

Ettore Focardi 9

Ogni volta che la corrente che attraversa un filo conduttore, varia nel tempo, il filo emette una radiazione elettromagnetica. Il meccanismo di produzione di tale radiazione è l’accelerazione di una particella carica. Una tensione alternata applicata ai fili di un’antenna mette in oscillazione le cariche elettriche nell’antenna. Questa è la tecnica usata per accelerare cariche ed è la sorgente delle onde radio emesse dall’antenna di trasmissione di una stazione radio.

Campo elettrico prodotto da cariche che oscillano sull’antenna. Il campo si allontana dall’antenna alla velocità della luce. Un campo magnetico oscillante al piano accompagna il campo elettrico oscillante.

€

⊥

Spettro onde elettromagnetiche

Ettore Focardi 10

I vari tipi di onde dello spettro elettromagnetico sono classificati in figura. La radiazione è prodotta da cariche accelerate. onde radio: 0.1-104 m comunicazione radio-TV Microonde: 0.3-10-4m sistemi radar, cucina Infrarosse: 10-3-7 10-7 m onde prodotte dai corpi a

T ambiente e facilmente assorbite dai materiali riscaldamento. Terapia fisica.

Visibile: 7 10-7 (rosso)- 4 10-7 (violetto) m sensibilità massima occhio ~5.5 10-7 m

palle da tennis di colore giallo-verde, perchè? Ultravioletto: 4 10-7- 6 10-10 m . Sole sorgente UV scottatura pelle. Parte delle radiazione da Sole è assorbita nella stratosfera dall’ozono (O3). Tale schermo converte radiazione UV (pericolosa) in calore. Buco dell’Ozono meno protezione Raggi X: 10-8-10-12 m prodotti da accelerazione di e- frenati in lastra metallica. Diagnosi e terapia medica Raggi γ : 10-10-10-14 m. Onde prodotte da nuclei radioattivi.