COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

Integrantes: Brusliz mamani condoriJhoke lupaka lima

INTRODUCCIÓN

MECANICA

MECÁNICA DE FLUIDOS

MECÁNICA DE CUERPO

DEFORMABLE

MECANICA DE CUERPO RIGIDOS

DINAMICAESTATICA

CINETICACINEMATICA

NOCION DE CINEMATICA La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la

rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento.

En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas

para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

objetivos Determinar las componentes normal y tangencial de la

velocidad y la aceleración de una partícula que se encuentra moviéndose en un trayectoria curva.

APLICACIONES

Cuando un auto se mueve en una curva experimenta una aceleración, debido al cambio en la magnitud o en la dirección de la velocidad. ¿Podría Ud. preocuparse por la aceleración del auto?.

Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a razón constante. ¿Cómo podría determinar su velocidad y aceleración en la parte más alta de su trayectoria.

POSICIÓN

Cuando la trayectoria de una partícula es conocida, a veces es conveniente utilizar las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actúan en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria.

En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y un

El origen se encuentra ubicado sobre la trayectoria de la partícula.

El eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la dirección del movimiento y el eje n es perpendicular al eje t y esta dirigido hacia el centro de curvatura

POSICIÓN

En un movimiento plano las direcciones n y t se encuentran definidas por los vectores unitarios ut y un

El radio de curvatura ρ, es la distancia perpendicular desde curva hasta el centro de curvatura en aquel punto.

La posición es la distancia S medida sobre la curva a partir de un punto O considerado fijo

VELCOIDAD

Debido a que la partícula se esta moviendo, la posición S está cambiando con el tiempo.

La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectoria y su magnitud se determina derivando respecto del tiempo la posición S = f(t). Por lo tanto se tiene

/tv vu

v s dS dt

ACELERACIÓN

Consideremos el movimiento de una partícula en una trayectoria curva plana

En el tiempo t se encuentra en P con una velocidad v en dirección tangente y una aceleración a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleración puede descomponerse en una componente tangencial at (aceleración tangencial) paralela a la tangente y otra paralela a la normal an (aceleración normal)

La aceleración tangencial es la responsable del cambio en el modulo de la velocidadLa aceleración normal es la responsable del cambio en la dirección de la velocidad

ACELERACIÓN

Tracemos en A un vector unitario . La aceleración será

Si la trayectoria es una recta, el vector sería constante en magnitud y dirección, por tanto

Pero cuando la trayectoria es curva la dirección de cambia por lo tanto

ˆ ˆ( )ˆt t

t

d ve dedv dva e v

dt dt dt dt

ˆ0tde

dt

t̂e

t̂e

t̂e

ˆ0tde

dt

ACELERACIÓN

Introduzcamos el vector unitario normal a la curva y dirigido hacia el lado cóncavo de la curva. Sea β el ángulo que forma la tangente en A con el eje x. Entonces se tiene

La derivada del vector unitario tangente será

ˆne

ˆˆ cos

ˆˆ cos( ) ( )2 2

ˆˆ cos

t

n

n

e i sen j

e i sen j

e sen i j

ˆ ˆ( ) cos

ˆˆ

t

tn

de d dsen i j

dt dt dtde d

edt dt

ACELERACIÓN

Por otro lado se tiene que

Donde dS es el pequeño arco a lo largo del movimiento en un dt.

Las normales a la curva en A y A´ se intersecan en C. Entonces

La razón de cambio del vector unitario tangencial es

d d dS dv

dt dS dt dS

1

dS d

d

dS

ˆ 1ˆt

n

dee

dt

ACELERACIÓN

Remplazando esta ecuación en la aceleración se tiene

Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben

La magitud de la aceleración total será

2

ˆˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

tt

t n

t t n n

dedva e v

dt dt

dv va e e

dt

a a e a e

2

ˆ ˆ: t t t n

dv va e a e

dt

2 2t na a a

CASOS ESPECIALES1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta => an = v2/ a = at =

v

La componente tangencial representa la razón de cambio de la magnitud de la velocidad

2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante

at = v = 0 => a = an = v2/La componente normal representa la razón de

cambiode la dirección de la velocidad

3) La componente tangencial de la aceleracón es constante, at = (at)c.

So and vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0

4. La partícula se mueve a lo largo de la rayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es

20 0

0

2 20 0

1( )

2( )

2( ) ( )

c c

c c

c c

s s v t a t

v v a t

v v a s s

2 3/ 2

2 2

[1 ( / ) ]

/

dy dx

d y dx

CASOS ESPECIALES

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración

Ejemplo 02

Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.

Solución Se sabe que la aceleración

tangencial es constante e igual a

La aceleración normal será

La aceleración total será

La velocidad en este instante será

2

0

2,1 /

0 2,1

t

t

a m s

Entonces

v v a t

v t

2 22 2(2,1 )

0.049 /90n

v ta t m s

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ2,1 0.049

2,1 [0.049 ]

2,4 2,1 [0.049 ]

4,87

t t n

t n

va a e e

a e t e

a t

t

t

2.1 10.2 /v t m s

Ejemplo 03Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razón de at = (0.2t) m/s2

y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por B

Ejemplo 03La posición de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A.

La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es

0 0

2

0.2 (1)

0.2

0.1 (2)

t

v t

a v t

dv tdt

v t

Ejemplo 03Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), después obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir

De la geometría se tiene sB = 3 + 2π(2)/4 = 6.142 m.

Entonces tenemos

2

2

0 0

3

0.1

0.1

0,0333 (3)

S t

dsv t

dt

ds t dt

S t

36,142 0,0333

5,69

t

t s

Ejemplo 03Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta

En el punto B el radio de curvatura es ρ = 2 m, entonces la aceleración será

La aceleración total será

Su modulo y dirección serán

2

2

( ) 0.2(5.69) 1.138 /

0.1(5.69) 3.238 /

B t B

B

a v m s

v m s

22( ) 5.242 /B

B nB

va m s

2

, ˆ ˆ

ˆ ˆ1,138 5,242

BB t B t n

B t n

va a e e

a e e

2 2 2

2

1,138 [5,242]

5,36 /

a

a m s

1 5.242[ ] 77,751,138

tg