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Disciplina: 109.118 Estatstica aplicada EngenhariaCap. III Normal 3.3 Distribuio NormalProf.M.Sc. Joo Carlos de Campos

Cap.II 2.4 Distribuio NormalA distribuio ou curva normal (tambm conhecida como curva de Gauss) definida pela expresso dita, funo densidade probabilidade:A varivel X definida no campo dos reais; e so ctes maiores do que zero.

Caractersticas: 1. 2. A curva simtrica em relao mdia; A curva representa uma funo probabilidade a rea compreendida por ela igual a 1; A funo assinttica, ou seja, para qualquer valor de x ela nunca ser igual a zero

3.

Cap.II 2.4 Distribuio Normal .f

Propriedades da Distribuio Normal

Distribuio Normal Mdia Variana ou Varincia Desvio-Padro V = 2

X =0 Distribuio normal com fixo ( = 0)

Cap.II 2.4 Distribuio Normal Clculo de probabilidade utilizando da Distribuio Normal ou Curva NormalPara se calcular a probabilidade em dado intervalo devemos calcular a rea que determinada por este intervalo; Para se calcular a rea delimitada por uma determinada funo basta efetuarmos a integral definida por aquele intervalo, ou seja: P(a x b) = b f(x) dx a

Cap.II 2.4 Distribuio Normal P(a x b) = f(x) dx a

b

O clculo da rea utilizando-se a integrao da funo de Gauss, como ela foi apresentada anteriormente, torna-se bastante trabalhosa. No sentido de simplificar aquela equao utilizamos o artifcio de substituio da varivel X pela varivel Z denominada varivel padronizada, ou unidade padro, onde: Z = (x )

Cap.II 2.4 Distribuio NormalVamos denominar a distribuio normal com mdia e variana 2 por N(, 2). Substituindo Z = (x ) / na funo da distribuio esta passa a ser denominada de distribuio ou curva normal padro. Logo,

Utilizando-se dessa equao simplificada, fazendo = 0 e 2 = 1, podemos obter o seguinte

grfico para esta distribuio (Z = X)

Cap.II 2.4 Distribuio Normal

Notemos que para 1 X 1 obtemos 68,2% da rea sob a curva e para 2 X 2 obtemos 95,4% da rea sob a curva. Esses valores so obtidos pela equao anterior, mas tambm podem ser obtidos pelas tabelas a seguir:

Cap.II 2.4 Distribuio Normal

Cap.II 2.4 Distribuio Normal

Cap.II 2.4 Distribuio NormalEx.1 A mdia e o desvio-padro de um exame, de uma determinada turma so: 74 e 12 respectivamente. Encontre as notas em unidade padro z dos estudantes que receberam notas: a) 65; b) 74; c) 86 e d) 92Lembrando que a unidade padro Z = (x )

Za Zb Zc Zd

= = = =

(65-74)/12 (74-74)/12 (86-74)/12 (92-74)/12

= = = =

-0,75 0 1,0 1,5

Cap.II 2.4 Distribuio Normal Ex.2 Para a mesma turma encontre as notas correspondentes s seguintes notas em unidade padro: a) 1; b) 0,5; c) 1,25 e d) 1,75Lembrando que a unidade padro Z = (x )/; podemos escrever que: X = *z + Xa Xb Xc Xd = = = = 12*(-1) + 74 = 62 12*(0,5) + 74 =80 12*(1,25) + 74 = 89 12*(1,75) + 74 = 95

Cap.II 2.4 Distribuio Normal Ex. 3 Se f(z) a distribuio normal padro, encontre f(z) para: a) z= 1,63; b) z= - 0,75; c) z = -2,08Utilizando-se da tabela f(z) encontramos: F(za=1,63) = tabela = 0,1057 F(zb=-0,75 por simetria) = tabela = 0,3011 F(zc=-2,08 por simetria) = tabela = 0,0459

Ordenada da Curva Normal.pptx

Cap.II 2.4 Distribuio Normal Ex. 4 Seja Z uma varivel aleatria com distribuio normal padro f(z). Encontre:

a) P(0 Z 1,42) = 0,4222 b) P(-0,73 Z 0) = 0,2642 c) P(-1,37 Z 2,01) = 0,4147 + 0,4778 = 0,8925 d) P(0,65 Z 1,26) = 0,3962 0,2422 = 0,154 e) P(-1,79 Z -0,54) = 0,4633 0,2054 = 0,2579 f) P(Z 1,13) = P(Z 0) P(0 Z 1,13)= 0,500 0,3708 = 0,1292

Curva Normal Padro.pptx

g) P( Z 0,5) =

P(- 0,5 Z 0,5) = = 2*0,1915 = 0,3830

Cap.II 2.4 Distribuio NormalEx. 5 O tempo de durao de baterias para automveis, de certa marca, se distribui segundo uma normal de mdia 803 dias e desvio padro 41 dias. Pede-se a probabilidade que: a) Uma bateria qualquer falhe depois de 830 dias; b) uma bateria qualquer falhe antes de 750 dias; c) Uma bateria qualquer falhe entre 850 e 950 dias; d) uma bateria falhe depois de 500 dias; e e) Qual o prazo de garantia que o fabricante deve oferecer a fim de que se tenha de repor, no mximo, 10% das baterias?

a)

Curva Normal Padro.pptx

Mudana de varivel X para varivel padro Z Z= (X-m)/ = (830-803)/41 = 0,65

logo, P(X830) = P(Z0,65) = P(Z0) P(0 Z 0,65) = tabela =0,500 0,2422 = 0,2578 (25,78%)

Cap.II 2.4 Distribuio NormalEx. 5 b) uma bateria qualquer falhe antes de 750 dias

b)

Curva Normal Padro.pptxMudana de varivel X para varivel padro Z Z= (X-)/ = (750-803)/41 = -1,29

logo, P(X