Distribuição normal

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Probabilidade Distribuição Normal
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  • Probabilidade

    Distribuio Normal

  • Distribuio Normal

    | Uma varivel aleatria contnua tem uma

    distribuio normal se sua distribuio :

    z simtrica

    z apresenta (num grfico) forma de um sino

  • 2)(

    2

    21

    =x

    exf

    Funo Densidade daDistribuio Normal

  • Distribuio Normal

    | Quando uma distribuio contnua, o grfico de distribuio uma linha contnua

    | No se visualiza as barras de um histograma, mas freqncias de ocorrncias de cada valor de x em intervalos infinitesimais

    | Forma uma Curva de Densidade de Probabilidade (funo pdf Probability DensityFunction)

  • +

    =1)( dxxP

    1)(0 xP

    A funo densidade da normal (e de qualquer outra varivel aleatria contnua) pode ser compreendida como uma extenso natural de um histograma

    0)( xP

    A probabilidade a rea sob a curva de densidade. Portanto, para qualquer P(x):

    Funo Densidade daDistribuio Normal

  • Note que a distribuio normal especificada por dois parmetros: representa a mdia populacional, e representa o desvio-padro populacional

    2)(

    2

    21

    =x

    exf

    Distribuio Normal

  • | Cada par de parmetros (, ) define uma distribuio normal distinta!

    | A figura mostra as curvas de densidade para alturas de mulheres e homens adultos nos EUA

    Distribuio Normal Padronizada

  • | A distribuio normal padronizada tem mdia e desvio padro iguais a:

    0= 1= A distribuio normal padronizada facilita os clculos de

    probabilidade, evitando o uso da frmula e projetando qualquer anlise mediante utilizao de ESCORES (Z)

    = xz

    Distribuio Normal Padronizada

  • | Se x uma observao de uma distribuio que tem mdia e desvio-padro , o valor padronizado de x

    | Note que o valor padronizado representa o nmero de desvios-padro pelo qual um valor x dista da mdia (para mais ou para menos)

    = xz

    Distribuio Normal Padronizada

  • | Ou seja, como a distribuio normal padronizada aquela que tem mdia 0 e desvio-padro 1, ou seja N(0, 1)

    | Se uma varivel aleatria x tem distribuio normal qualquer N(, ), ento a varivel padronizada

    tem distribuio normal= xz

    Distribuio Normal Padronizada

  • Exemplo

    | Um professor de clculo aplica dois testes diferentes a duas turmas do seu curso. Os resultados foram:

    Turma 1: mdia = 75 desvio = 14Turma 2: mdia = 40 desvio = 8

    | Que nota relativamente melhor: 82 na turma 1, ou 46 na turma 2?

  • Distribuio Normal Padronizada

    | A estimativa de probabilidades associadas a variveis aleatrias contnuas envolve o clculo de reas sob a curva da densidade.

    | O uso da distribuio normal padronizada nos permite calcular reas sob a curva de uma distribuio normal qualquer, pois as reas associadas com a normal padronizadas so tabeladas.

    | A Tabela A-2 ser usada para os clculos de probabilidade envolvendo distribuies normais.

  • | Uma empresa fabrica termmetros que devem acusar a leitura de 0 Cno ponto de congelamento da gua. Testes feitos em uma grande amostra desses termmetros revelaram que alguns acusavam valores inferiores a 0 C e alguns acusavam valores superiores.

    | Supondo que a leitura mdia seja 0C e que o desvio-padro das leituras seja 1,00 C, qual a probabilidade de que, no ponto de congelamento, um termmetro escolhido aleatoriamente marque entre 0 e 1,58 C ?

    | Admita que a freqncia de erros se assemelhe a uma distribuio normal.

    Exemplo

  • Exemplo

    | A distribuio de probabilidade das leituras uma normal padronizada porque as leituras tm = 0 e = 1.

    | A rea da regio sombreada, delimitada pela mdia 0 e pelo nmero positivo z, pode ser lida na Tabela A-2

  • EXEMPLO

    Portanto, a probabilidade de se escolher aleatoriamente um termmetro com erro entre 0 e 1,58 C 44,29 %

    Outra maneira de interpretar este resultado concluir que 44,29% dos termmetros tero erros entre 0 e 1,58 C

    Distribuio Normal Padronizada

  • EXEMPLO

    Com os termmetros do exemplo anterior, determine a probabilidade de se selecionar aleatoriamente um termmetro que acuse (no ponto de congelamento da gua), uma leitura entre -2,43 C e 0 C?

    Distribuio Normal Padronizada

  • Distribuio Normal Padronizada| Estamos interessados na regio sombreada da Figura

    (a), mas a Tabela A-2 se aplica apenas a regies direita da mdia (0), como a da Figura (b)

    | Podemos ver que ambas as reas so idnticas porque a curva de densidade simtrica !

  • EXEMPLO

    Portanto, a probabilidade de se escolher aleatoriamente um termmetro com erro entre -2,43C e 0C 49,25 %

    Em outras palavras, 49,25% dos termmetros tero erros entre -2,43 C e 0 C

    Distribuio Normal Padronizada

  • EXEMPLO

    Mais uma vez, faremos uma escolha aleatria da mesma amostra de termmetros.

    Qual a probabilidade de que o termmetro escolhido acuse (no ponto de congelamento da gua), uma leitura superior a +1,27 C ?

    Distribuio Normal Padronizada

  • Distribuio Normal Padronizada| A probabilidade de escolher um termmetro que acuse

    leitura superior a 1,27 C corresponde rea sombreada da figura

    | Se a rea total sob a curva da densidade igual a 1, a rea direita de zero vale metade, isto , 0,5. Assim, podemos calcular facilmente a rea sombreada !

  • EXEMPLO

    Podemos concluir que h uma probabilidade de 10,20% de escolher aleatoriamente um termmetro com leitura superior a +1,27 C.

    Podemos dizer, ainda, que, em um grande lote de termmetros escolhidos aleatoriamente e testados, 10,20% deles acusaro leitura superior a +1,27 C

    Distribuio Normal Padronizada

  • EXEMPLO

    De novo, faremos uma escolha aleatria da mesma amostra de termmetros.

    Qual a probabilidade de que o termmetro escolhido acuse (no ponto de congelamento da gua), uma leitura entre 1,20 e 2,30 C ?

    Distribuio Normal Padronizada

  • Distribuio Normal Padronizada| A probabilidade de escolher um termmetro que acuse leitura

    entre 1,20 e 2,30 C corresponde rea ombreada da figura| fcil perceber que podemos calcular esta rea, subtraindo-

    se a rea de 0 at o maior valor (2,30), da rea de 0 at o menor valor (1,20), que so lidas na Tabela A-2 !

  • Dos exemplos anteriores, podemos expressar as probabilidades calculadas com a notao seguinte:

    P (a < z < b) denota a probabilidade de o valor de z estar entre a e b

    P (z > a) denota a probabilidade de o valor de z ser maior do que a

    P (z < a) denota a probabilidade de o valor de z ser menor do que a

    Distribuio Normal Padronizada

  • As figuras abaixo ajudam na interpretao das expresses mais comuns no clculo de probabilidades:

  • | Os exemplos feitos com o termmetro no so muito realistas porque a maioria das populaes distribudas normalmente tm mdia diferente de 0, desvio diferente de 1, ou ambos.

    | Como proceder, ento, para calcular probabilidades de distribuies normais no-padronizadas ?

    Distribuio Normal NoPadronizada

  • A idia utilizar a frmula dos valores padronizados e TRANSFORMAR qualquer distribuio normal dada na normal padronizada, como mostrado abaixo.

    Distribuio Normal NoPadronizada

  • EXEMPLO

    As alturas das mulheres americanas segue uma distribuio normal com mdia de 63,6 e desvio-padro de 2,5.

    Selecionada uma mulher americana ao acaso, qual a probabilidade da sua altura estar entre 63,6 e 68,6 polegadas ?

    Distribuio Normal NoPadronizada

  • | Devemos proceder da maneira descrita a seguir:z Trace uma curva normal, assinale a mdia e outros valores de

    interesse, e sombreie a regio que representa a probabilidade desejadaz Para cada valor x da fronteira da regio sombreada, aplique a frmula

    para achar o valor padronizado zz Utilize a Tabela A-2 para

    achar a rea da regio sombreada

    Distribuio Normal NoPadronizada

  • Distribuio Normal No Padronizada

    EXEMPLO| H, portanto, uma probabilidade de 0,4772 de

    escolher uma mulher com altura entre 63,6 pol. e 68,6 pol. Usando a notao, teramos:z P (63,6 < x < 68,6) = P (0 < z < 2,00) =

    47,72%| Outra forma de interpretar este resultado

    consiste em concluir que 47,72% das mulheres americanas tm altura entre 63,6 pol. e 68,6 pol.

  • Regra 68-95-99,7Numa distribuio normal N(, ) ou N(x, s)

  • ProbabilidadeDistribuio NormalFuno Densidade daDistribuio NormalDistribuio NormalFuno Densidade daDistribuio NormalDistribuio NormalDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaExemploDistribuio Normal PadronizadaExemploExemploDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal PadronizadaDistribuio Normal No PadronizadaDistribuio Normal No PadronizadaDistribuio Normal No PadronizadaDistribuio Normal No PadronizadaDistribuio Normal No PadronizadaRegra 68-95-99,7