DISTRIBUCIÓN NORMAL
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La mayoría de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, físicas y biológicas, por ejemplo, el peso de niños recién nacidos, talla de jóvenes de 18 años en una determinada región, son continuas y se distribuyen según una función de densidad , que tiene la siguiente expresión analítica : Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviación típica. Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente. El área bajo la función de densidad es 1. La función de densidad, en el caso de la distribución Normal, tiene forma de campana : DISTRIBUCIÓN NORMAL 2 2 1 2 1 ) ( e x x f
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La mayoría de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, físicas y biológicas, por ejemplo, el peso de niños recién nacidos, talla de jóvenes de 18 años en una determinada región, son continuas y se distribuyen según una función de densidad , que tiene la siguiente expresión analítica :
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviación típica. Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente. El área bajo la función de densidad es 1.
La función de densidad, en el caso de la distribución Normal, tiene forma de campana :
DISTRIBUCIÓN NORMAL
2
2
1
2
1)( e
x
xf
Es un ejercicio interesante comprobar que ésta alcanza un único máximo (moda) en , que es simétrica con respecto al mismo, y por tanto
con lo cual en coinciden la media, la mediana y la moda.
La mayor parte de la masa de probabilidad (área comprendida entre la curva y el eje de abcisas) se encuentra concentrado alrededor de la media, y las ramas de la curva se extienden asintóticamente a los ejes, de modo que cualquier valor ``muy alejado" de la media es posible (aunque poco probable).
La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros y :
DISTRIBUCIÓN NORMAL
21 XPXP
indica la posición de la campana (parámetro de centralización)
será el parámetro de dispersión. Cuanto menor sea, mayor cantidad de masa de probabilidad habrá concentrada alrededor de la media
b
a
x
ebXap
2
2 2
2
1)(
Para una variable aleatoria X, que se distribuye normalmente con media : μ y desviación típica: σ, la probabilidad de que la variable X esté comprendida entre los valores a y b es el área oscura en la siguiente figura :
DISTRIBUCIÓN NORMAL
analíticamente se puede calcular así:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Como el cálculo de esta integral es laborioso, para calcular el área se realiza el siguiente cambio de variable:
X
Z
Este cambio origina una distribución normal estándar de media μ = 0 y desviación típica σ = 1 cuya función de densidad es :
et
zf 2
2
2
1)(
2
2
1
2
1)( e
x
xf
Y cuyos valores se tabulan :
Ejemplo 1:Consideremos que el peso de los niños varones españoles en el momento del nacimiento se distribuye normalmente.Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 3,25 kgs y la desviación típica es de 0,82 kgs, ¿cúal es la probabilidad de que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 kgs?
Tipificamos la variable aleatoria X, peso de los niños al nacer. En el proceso de tipificación, al valor de X=4, le corresponde el valor, z=0,9146 :
9146.082.0
25.34
X
z
4 0,91460
En la tabla de la distribución normal tipificada, buscamos el valor de α correspondiente al valor de z=0,9146 ; la probabilidad de z > 0,9146 es,
18,0)9146,0()4( zpXp
Ejemplo 2:Según un estudio, la altura de los varones de cierta ciudad es una v.a. X, que podemos considerar que se distribuye según una ley gaussiana de valor esperado =175 cm y desviación típica =10 cm . Dar un intervalo para el que tengamos asegurado que el 50% de los habitantes de la ciudad estén comprendidos en él.
En este caso tenemos que buscar en la tabla de la N(0,1) que valor me deja el 25% de los datos hacia la derecha y el valor que me deja el 25 % a la izquierda, de esta manera tenemos el 50% en los valores centrales.
El 50% de la población tiene un peso comprendido en el intervalo [168,25,181,75].
75,181175)10675,0(10
175675,0
X
X
Buscamos el valor tipificado que me da la Probabilidad de 0,25 en la N(0,1) que es aproximadamente 0,675
Por lo tanto si “destipificamos”
N(175, 10)
Como es simétrica la distribución, el valor que nos deja el 25% por debajo es -0,675
25,168175)10675,0(10
175675,0
X
X
Se puede demostrar (teorema central del límite) que una v.a. discreta con distribución binomial,
se puede aproximar mediante una distribución normal si n es suficientemente grande y p no está ni muy próximo a 0 ni a 1. Como el valor esperado y la varianza de X son respectivamente np y npq, la aproximación consiste en decir que
El convenio que se suele utilizar para poder realizar esta aproximación es:
aunque en realidad esta no da resultados muy precisos a menos que realmente n sea un valor muy grande y
DISTRIBUCIÓN NORMAL.Aproximación de una Binomial a la Normal
Ejemplo. Durante cierta epidemia de gripe, enferma el 30% de la población. En un aula con 200 estudiantes de Medicina, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 40 padezcan la enfermedad? Calcular la probabilidad de que haya 60 estudiantes con gripe.
La v.a. que contabiliza el número de alumnos que padece la gripe es
cuya media es =200x0,3=60 y cuya =200x0,3x0x7=42
Realizar los cálculos con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen números combinatorios de gran tamaño, y potencias muy elevadas. Por ello utilizamos la aproximación normal de X, teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error sea aceptable:
Con una N(60; 6,48)Tipificando
Buscamos
Por simetría
Por suceso contrario
Buscando en la tabla
09,348,6
6040
X
z
)09,3()09,3( zPzP
)09,3(1)09,3( zPzP
999,0001,01)09,3(1 zP
)09,3()40( zPxP
Con una N(60; 6,48)Tipificando
Buscamos
Por simetría
Buscando en la tabla
09,348,6
6040
X
z
)09,3()09,3( zPzP
)09,3()40( zPxP
Tipificando
Buscamos
Por simetría
Buscando en la tabla
09,348,6
6040
X
z
)09,3()09,3( zPzP
)09,3()40( zPxP
