DISTRIBUCI“N NORMAL

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DISTRIBUCIÓN NORMAL. - PowerPoint PPT Presentation

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  • La mayora de las variables aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, fsicas y biolgicas, por ejemplo, el peso de nios recin nacidos, talla de jvenes de 18 aos en una determinada regin, son continuas y se distribuyen segn una funcin de densidad , que tiene la siguiente expresin analtica :

    Donde es la media de la variable aleatoria y es su desviacin tpica. Este tipo de variables se dice que se distribuye normalmente. El rea bajo la funcin de densidad es 1.La funcin de densidad, en el caso de la distribucin Normal, tiene forma de campana : DISTRIBUCIN NORMAL

  • Es un ejercicio interesante comprobar que sta alcanza un nico mximo (moda) en m , que es simtrica con respecto al mismo, y por tanto

    con lo cual en m coinciden la media, la mediana y la moda.La mayor parte de la masa de probabilidad (rea comprendida entre la curva y el eje de abcisas) se encuentra concentrado alrededor de la media, y las ramas de la curva se extienden asintticamente a los ejes, de modo que cualquier valor ``muy alejado" de la media es posible (aunque poco probable). La forma de la campana de Gauss depende de los parmetros m y s : DISTRIBUCIN NORMAL m indica la posicin de la campana (parmetro de centralizacin)s ser el parmetro de dispersin. Cuanto menor sea, mayor cantidad de masa de probabilidad habr concentrada alrededor de la media

  • Para una variable aleatoria X, que se distribuye normalmente con media : y desviacin tpica: , la probabilidad de que la variable X est comprendida entre los valores a y b es el rea oscura en la siguiente figura :

    DISTRIBUCIN NORMAL analticamente se puede calcular as:

  • DISTRIBUCIN NORMAL Como el clculo de esta integral es laborioso, para calcular el rea se realiza el siguiente cambio de variable: Este cambio origina una distribucin normal estndar de media = 0 y desviacin tpica = 1 cuya funcin de densidad es : Y cuyos valores se tabulan :

  • Ejemplo 1:Consideremos que el peso de los nios varones espaoles en el momento del nacimiento se distribuye normalmente.Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 3,25 kgs y la desviacin tpica es de 0,82 kgs, cal es la probabilidad de que el peso de un nio varn al nacer sea superior a 4 kgs? Tipificamos la variable aleatoria X, peso de los nios al nacer. En el proceso de tipificacin, al valor de X=4, le corresponde el valor, z=0,9146 : 40,91460

  • En la tabla de la distribucin normal tipificada, buscamos el valor de correspondiente al valor de z=0,9146 ; la probabilidad de z > 0,9146 es,

  • Ejemplo 2:Segn un estudio, la altura de los varones de cierta ciudad es una v.a. X, que podemos considerar que se distribuye segn una ley gaussiana de valor esperado m=175 cm y desviacin tpica s=10 cm . Dar un intervalo para el que tengamos asegurado que el 50% de los habitantes de la ciudad estn comprendidos en l. En este caso tenemos que buscar en la tabla de la N(0,1) que valor me deja el 25% de los datos hacia la derecha y el valor que me deja el 25 % a la izquierda, de esta manera tenemos el 50% en los valores centrales.

  • El 50% de la poblacin tiene un peso comprendido en el intervalo [168,25,181,75]. Buscamos el valor tipificado que me da la Probabilidad de 0,25 en la N(0,1) que es aproximadamente 0,675

    Por lo tanto si destipificamos

    N(175, 10)Como es simtrica la distribucin, el valor que nos deja el 25% por debajo es -0,675

  • Se puede demostrar (teorema central del lmite) que una v.a. discreta con distribucin binomial, se puede aproximar mediante una distribucin normal si n es suficientemente grande y p no est ni muy prximo a 0 ni a 1. Como el valor esperado y la varianza de X son respectivamente np y npq, la aproximacin consiste en decir que El convenio que se suele utilizar para poder realizar esta aproximacin es: aunque en realidad esta no da resultados muy precisos a menos que realmente n sea un valor muy grande y DISTRIBUCIN NORMAL.Aproximacin de una Binomial a la Normal

  • Ejemplo. Durante cierta epidemia de gripe, enferma el 30% de la poblacin. En un aula con 200 estudiantes de Medicina, cul es la probabilidad de que al menos 40 padezcan la enfermedad? Calcular la probabilidad de que haya 60 estudiantes con gripe. La v.a. que contabiliza el nmero de alumnos que padece la gripe es cuya media es m=200x0,3=60 y cuya s2 =200x0,3x0x7=42 Realizar los clculos con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen nmeros combinatorios de gran tamao, y potencias muy elevadas. Por ello utilizamos la aproximacin normal de X, teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error sea aceptable:

  • Con una N(60; 6,48)Tipificando

    Buscamos

    Por simetra

    Por suceso contrario

    Buscando en la tabla

  • Con una N(60; 6,48)Tipificando

    Buscamos

    Por simetra

    Buscando en la tabla

  • Tipificando

    Buscamos

    Por simetra

    Buscando en la tabla