Ejerci ci osyprobl emasdel adistri buci nnormal1Si Xesunavar i abl eal eat ori adeunadi st r i buci nN(, ),hal l ar :p(3X+3)2Enunadi st r i buci nnor mal demedi a4ydesvi aci nt pi ca2,cal cul ar el val or deapar aque:P(4ax4+a) =0. 5934 3Enunaci udadseest i maquel at emperat ur amxi maenel mes dej uni osi gueunadi st r i buci nnor mal , conmedi a23ydesvi aci n t pi ca5. Cal cul ar el nmer oded asdel mesenl osqueseesper a al canzar mxi masent r e21y27.4Lamedi adel ospesosde500est udi ant esdeuncol egi oes70kg yl adesvi aci nt pi ca3kg. Suponi endoquel ospesossedi st r i buyen nor mal ment e, hal l ar cunt osest udi ant espesan:1.Ent r e60kgy75kg.2.Msde90kg.3.Menosde64kg.4.64kg.5.64kgomenos.5Sesuponequel osr esul t adosdeunexamensi guenuna di st r i buci nnor mal conmedi a78yvar i anza36. Sepi de:1.Cul esl apr obabi l i daddequeunaper sonaquesepr esent aelexamenobt engaunacal i f i caci nsuper i or a72?2.Cal cul ar l apr oporci ndeest udi ant esque t i enenpunt uaci ones queexcedenpor l omenosenci ncopunt osdel apunt uaci nquemar ca l af r ont er aent r eel Apt oyel No-Apt o(sondecl ar adosNo-Apt osel 25% del osest udi ant esqueobt uvi er onl aspunt uaci onesmsbaj as).3.Si sesabequel acal i f i caci ndeunest udi ant eesmayorque72 cul esl apr obabi l i daddequesucal i f i caci nsea, dehecho, super i or a84? 6Tr asunt est decul t ur agener al seobser vaquel aspunt uaci ones obt eni dassi guenunadi st r i buci nunadi st r i buci nN(65, 18). Sedesea cl asi f i car al osexami nadosent r esgr upos(debaj acul t ur agener al , de cul t ur agener al acept abl e, deexcel ent ecul t ur agener al )demodoque hayenel pri meroun20%l apobl aci n, un65%el segundoyun15% enel t er cero. Cul eshandeser l aspunt uaci onesquemar canel paso deungr upoal ot r o? 7Var i ost est dei nt el i genci adi eronunapunt uaci nquesi gueuna l eynor mal conmedi a100ydesvi aci nt pi ca15.1.Det er mi nar el por cent aj edepobl aci nqueobt endr aun coef i ci ent eent r e95y110.2.Qui nt er val ocent r adoen100cont i eneal 50%del a pobl aci n? 3.Enunapobl aci nde2500i ndi vi duoscunt osi ndi vi duosse esper anquet enganuncoef i ci ent esuper i or a125?8Enunaci udadunadecadat resf ami l i asposeet el f ono. Si se el i genal azar 90f ami l i as, cal cul ar l aprobabi l i daddequeent r eel l as hayapor l omenos30t engant el f ono.9Enunexament i pot est de200pr egunt asdeel ecci nml t i pl e,cadapr egunt at i eneunar espuest acor r ect ayunai ncor r ect a. Se apr uebasi secont est aamsde110r espuest ascor r ect as. Suponi endo quesecont est aal azar , cal cul ar l apr obabi l i daddeapr obar el examen.10Unest udi ohamost r adoque, enunci er t obar ri o, el 60%del os hogar est i enenal menosdost el evi soresSeel i geal azar unamuest r a de50hogar esenel ci t adobar ri o. Sepi de:1.Cul esl apr obabi l i daddequeal menos20del osci t ados hogar est engancuandomenosdost el evi sor es?2.Cul esl apr obabi l i daddequeent re35y40hogar est engan cuandomenosdost el evi sor es? Sesuponequel osr esul t adosdeunexamensi guenuna di st r i buci nnor mal conmedi a78yvar i anza36. Sepi de:1.Cul esl apr obabi l i daddequeunaper sonaquesepr esent aelexamenobt engaunacal i f i caci nsuper i or a72? 2.Cal cul ar l apr opor ci ndeest udi ant esquet i enenpunt uaci ones queexcedenpor l omenosenci ncopunt osdel apunt uaci nquemar ca l af r ont er aent r eel Apt oyel No-Apt o(sondecl ar adosNo-Apt osel 25% del osest udi ant esqueobt uvi er onl aspunt uaci onesmsbaj as). 3.Si sesabequel acal i f i caci ndeunest udi a nt eesmayorque72 cul esl apr obabi l i daddequesucal i f i caci nsea, dehecho, super i or a 84? Tr asunt est decul t ur agener al seobservaquel aspunt uaci ones obt eni dassi guenunadi st ri buci nunadi st r i buci nN(65, 18). Sedesea cl asi f i car al osexami nadosent r esgr upos(debaj acul t ur agener al , de cul t ur agener al acept abl e, deexcel ent ecul t ur agener al )demodoque hayenel pri mer oun20%l apobl aci n, un65%el segundoyun15%en el t er cer o. Cul eshandeser l aspunt uaci onesquemar canel pasode ungr upoal ot r o? Baj acul t ur ahast a49punt os.Cul t ur aacept abl eent r e50y83.Excel ent ecul t ur aapar t i r de84punt os. Var i ost est dei nt el i genci adi eronunapunt uaci nquesi gueuna l eynor mal conmedi a100ydesvi aci nt pi ca15.1.Det er mi nar el por cent aj edepobl aci nqueobt endr aun coef i ci ent eent r e95y110. 2.Qui nt er val ocent r adoen100cont i eneal 50%del a pobl aci n? 3.Enunapobl aci nde2500i ndi vi duoscunt osi ndi vi duosse esper anquet enganuncoef i ci ent esuper i or a125? Enunaci udadunadecadat r esf ami l i asposeet el f ono. Si se el i genal azar 90f ami l i as, cal cul ar l apr obabi l i daddequeent r eel l as hayapor l omenos30t engant el f ono. Enunexament i pot est de200pr egunt asdeel ecci nml t i pl e,cadapr egunt at i eneunar espuest acor r ect ayunai ncor r ect a. Se apr uebasi secont est aamsde110r espuest ascor r ect as. Suponi endo quesecont est aal azar , cal cul ar l apr obabi l i daddeapr obar el examen. Unest udi ohamost radoque, enunci er t obar ri o, el 60%del os hogar est i enenal menosdost el evi sor esSeel i geal azar unamuest r a de50hogar esenel ci t adobar ri o. Sepi de:1.Cul esl apr obabi l i daddequeal menos20del osci t ados hogar est engancuandomenosdost el evi sor es? 2.Cul esl apr obabi l i daddequeent re35y40hogar est engan cuandomenosdost el evi sor es? 1Lamedi ayl osquedel ospesosde500est udi ant esdeuncol egi o es70kgyl adesvi aci nt pi ca3kg. Suponi endoquel ospesosse di st r i buyennor mal ment e, hal l ar cunt osest udi ant espesan:1.Ent r e60kgy65kg.2.Msde90kg.3.Menosde64kg.4.64kg.5.64kgomenos.2Enunaci udadseest i maquel at emperat ur amxi maenel mes dej uni osi unadi st r i buci nnor mal , conmedi a23ydesvi aci nt pi ca 5. Cal cul ar el nmer oded asdel mesenl osqueseesper aal canzarmxi masent r e21y27.3Sesuponequel osr esul t adosdeunexamensi guenuna di st r i buci nnor mal conmedi a78yvar i anza36. Sepi de:1.Cul esl apr obabi l i daddequeunaper sonaquesepr esent aelexamenobt engaunacal i f i caci nsuper i or a72?2.Cal cul ar l apr opor ci ndeest udi ant esquet i enenpunt uaci one s queexcedenpor l omenosenci ncopunt osdel apunt uaci nquemar ca l af r ont er aent r eel Apt oyel No-Apt o(sondecl ar adosNo-Apt osel 25% del osest udi ant esqueobt uvi er onl aspunt uaci onesmsbaj as).3.Si sesabequel acal i f i caci ndeunest udi ant ees mayorque72 cul esl apr i ori daddequesucal i f i caci nsea, dehecho, super i or a 84? 4Var i ost est dei nt el i genci adi er onunapunt uaci nquesi gueuna l eynor mal conmedi a100ydesvi aci nt pi ca15.1.Det er mi nar el por cent aj edepobl aci nqueobt endr aun coef i ci ent eent r e95y110.2.Qui nt er val ocent r adoen100cont i eneal 50%del a pobl aci n? 3.Enunapobl aci nde2500i ndi vi duoscunt osi ndi vi duosse esper anquet enganuncoef i ci ent esuper i or a125?5Enunexament i pot est de200pr egunt asdeel ecci nml t i pl e,cadapr egunt at i eneunar espuest acor r ect ayunai ncor r ect a. Se apr uebasi secont est aamsde110r espuest ascor r ect as. Suponi endo quesecont est aal azar , cal cul ar l apr obabi l i daddeapr obar el examen.6Enunadi st r i buci nnor mal demedi a4ydesvi aci nt pi ca2,cal cul ar el val or deapar aque:P(4ax4+a) =0. 5934 7Si Xesunavar i abl eal eat ori adi st ri bui dasegnunadi st r i buci n N(, ) , hal l ar :p(3X+3) DISTRIBUCIN NORMAL Ejercicio 1.1 Se calcul que el promedio de enf riamiento de todas las neveras para una lnea de cierta compaa, emplean una temperatura de -4C con una desviacin t pica de 1.2C. a. Cul es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3C? b. Cul es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5C? SOLUCIN a. La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3C es de 20,33% b. La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5C es de 10,56%. Sabiendo que la variable Z sigue una distribucin Normal cero, uno, calcule las siguientes Probabilidades: P(Z s 0,93) P(Z s 1,68) P(Z s -2,27) P(Z s -0,27) P(Z > 0,62) P(Z > 2,05) P(Z > -1,07) P(Z > -3,39) P(0,56 < Z s 2,80) P(-2,81 < Z s -0,33) P(-0,85 < Z s 0,72) Solucin. Los ejercicios de la primera fila se resuelven buscando directamente en las tablas de la distribucin Normal, donde se obtienen los siguientes valores: P(Z s 0,93) = 0,8238 P(Z s 1,68) = 0,9535 P(Z s -2,27) = 0,0116 P(Z s -0,27) = 0,3936 Para resolver los ejercicios de la segunda fila se recurre a calcular la probabilidad del suceso contrario: P(Z > 0,62) = 1 - P(Z s 0,62) = 1 - 0,7324 = 0,2676 y de forma anloga se obtiene: P(Z > 2,05) = 0,0202 P(Z > -1,07) = 0,8577 P(Z > -3,39) = 0,9996 En la tercera fila se pide calcular la probabilidad de una serie de intervalos, para ello debe recordarse que la probabilidad de un intervalo es igual al valor de la Funcin de Distribucin para el extremo superior menos el valor de la Funcin de Distribucin para el extremo inferior, es decir: P(0,56 < Z s 2,80) = P(Z s 2,80) - P(Z s 0,56) = 0,9974 - 0,7123 = 0,2851 Terma 3. Distribuciones. 11 y para los otros dos intervalos sera: P(-2,81 < Z s -0,33) = 0,3707 - 0,0025 = 0,3682 P(-0,85 < Z s 0,72) = 0,5665 Siendo Z una N(0,1), calcule los valores de la variable que verifican las siguientes condiciones: P(Z s z) = 0,70 P(Z s z) = 0,90 P(Z s z) = 0,35 P(Z s z) = 0,05 P(Z > z) = 0,25 P(Z > z) = 0,05 P(Z > z) = 0,85 P(Z > z) = 0,69 P(-z < Z s z) = 0,90 P(-z < Z s z) = 0,60 Solucin. Los ejercicios de la primera fila se resuelven buscando en las tablas de la Normal el valor ms prximo a la probabilidad pedida y viendo a que valor de la variable corresponde: P(Z s z) = 0,70 z ~ 0,52 P(Z s z) = 0,90 z ~ 1,28 P(Z s z) = 0,35 z ~ -0,39 P(Z s z) = 0,05 z ~ -1,64 La resolucin de los ejercicios de la segunda fila utiliza las propiedades de la probabilidad del suceso contrario: P(Z > z) = 0,25 P(Z s z) = 1- 0,25 = 0,75 z ~ 0,67 anlogamente: P(Z > z) = 0,05 z ~ 1,64 P(Z > z) = 0,85 z ~ -1,04 P(Z > z) = 0,69 z ~ -0,5 Para resolver los ejercicios de la tercera fila se aplica la simetra de la Normal P(-z < Z s z) = 0,90 P(Z s -z) = 0,05 y P(Z s z) = 0,95 z ~ 1,64 P(-z < Z s z) = 0,60 z ~ 0,84 3.5- Partiendo de que X es una variable que sigue una distribucin Normal de media 50 y desviacin tpica 4, calcule las siguientes probabilidades: P(X s 55) P(X s 59) P(X s 47,5) P(X s 45,6) P(X > 60,4) P(X > 58,64) P(X > 48,2) P(X > 46,26) P(52 < X s 54) P(44,5 < X s 49) P(47,25 < X s 53,48) Solucin. Estos ejercicios se resuelven merced a la propiedad de que al tipificar una variable Normal la variable resultante sigue una distribucin Normal cero, uno. P( X s ) = P Z s P(Z ) | \|. | 55 = s = 55 50 4 1,25 0,8944 anlogamente: 12 Problemas de Anlisis de Datos. Jos M. Salinas P(X s 59) = 0,9878 P(X s 47,5) = 0,2676 P(X s 45,6) = 0,1357 Para los ejercicios de la segunda fila vuelve a utilizarse las propiedades del suceso contrario: P(X > ) = P Z > P(Z ) P(Z ) | \|. | 60 4 = > = s = 60 4 50 4 , 2 6 1 2 6 0 0047 , , , , de forma semejante: P(X > 58,64) = 0,0154 P(X > 48,2) = 0,6736 P(X > 46,26) = 0,8264 Los intervalos de la tercera fila se resuelven en la forma siguiente: P(52 X 54) P( X 54) P( X 52) P Z P Z 54 50 4 52 50 4 < s = s s = s | \|. | s | \|. | ( ) ( ) = s s = = P Z P Z 1 0 5 0 8413 0 6915 0 1498 , , , , similarmente P(44,5 < X s 49) = 0,3175 P(47,25 < X s 53,48) = 0,5627 3.6- La variable aleatoria Y sigue una distribucin Normal de media 2,55 y desviacin tpica 0,36. Halle los valores de la variable que cumplen las siguientes condiciones: P(Y s y) = 0,54 P(Y s y) = 0,95 P(Y s y) = 0,42 P(Y s y) = 0,1 P(Y > y) = 0,38 P(Y > y) = 0,05 P(Y > y) = 0,54 P(Y > y) = 0,01 P(a < Y s b) = 0,80 P(a < Y s b) = 0,95 Solucin. P(Y y) P Z y s = s | \| . | 0 54 = 2 55 0 36 , 0 54 , , , buscando en las tablas de la Normal: P(Z ) y s ~ y 0 1 0 54 = = + = 2 55 0 36 , , 0 1 2 55 0 36 0 1 2 586 , , , , , , , de manera semejante: P(Y s y) = 0,95 y = 3,1404 P(Y s y) = 0,42 y = 2,478 P(Y s y) = 0,1 y = 2,0892 Terma 3. Distribuciones. 13 P(Y y) P(Y y) P Z y > = s = s | \| . | 0 38 0 62 = 2 55 0 36 , , 0 62 , , , buscando en las tablas de la Normal cero, uno: P(Z ) y s ~ y 0 31 0 62 = = + = 2 55 0 36 , , 0 31 2 55 0 36 0 31 2 6616 , , , , , , , anlogamente: P(Y > y) = 0,05 y =3,1404 P(Y > y) = 0,54 y = 2,514 P(Y > y) = 0,01 y = 3,3888 P(a < Y s b) = 0,80 P(Y s a) = 0,1 P(Y s b) = 0,9 P Z ( ) a P Z a s a | \| . | = s = = = 2 55 0 36 0 1 1 28 0 1 2 55 0 36 1 28 2 0892 , , , , , , , , , P Z ( ) b P Z b s b | \| . | = s = = = 2 55 0 36 0 9 1 28 0 9 2 55 0 36 1 28 3 0108 , , , , , , , , , y para el otro intervalo: P(a < Y s b) = 0,95 a = 1,8444 y b = 3,2556 3.7- Las calificaciones en un examen siguen una distribucin Normal de media 5,6 y desviacin tpica 0,8. a) Qu proporcin de alumnos tendr puntuaciones inferiores o iguales a 4? b) Qu proporcin de alumnos aprobar? c) Qu proporcin de alumnos obtendr Notable o Sobresaliente? Solucin. a) Pr( ) Pr ( ) , , X s = Z s Pr Z , | \| . | 4 = s = 4 5 6 0 8 2 0 0228 b) Pr( ) Pr ( ) , , X > = Z > Pr Z , , , | \| . |= s = = 5 5 5 6 0 8 1 0 75 1 0 2266 0 7734 c) Pr( ) Pr ( ) , , X > = Z > Pr Z , , , | \| . | 7 = s = = 7 5 6 0 8 1 1 75 1 0 9599 0 0401 3.8- Las puntuaciones en un test de ansiedad-rasgo siguen, en una poblacin de mujeres, una distribucin Normal de media 25 y desviacin Tpica 10. Si queremos clasificar la poblacin en cuatro grupos de igual tamao Cuales sern las puntuaciones que delimiten estos grupos? Solucin. 14 Problemas de Anlisis de Datos. Jos M. Salinas Las puntuaciones que delimitan estos cuatro grupos sern el primer, segundo y tercer cuartil de la distribucin Pr(X Q ) , Pr Z , Q s = s | \| . | = 1 1 0 25 25 10 0 25 buscando en las tablas de la Normal cero, uno el valor de la variable que deja por debajo de si una probabilidad de 0,25 tenemos: Pr(Z s 0,67) = 0,25 luego Q1 25 10 0 67 = , y despejando Q1 = 2510 0,67 = 18,3 Como en la distribucin Normal Media y Mediana son iguales tendremos que: Q2 = 25 Pr(X Q ) , Pr Z , Q s = s | \| . | = 3 3 0 75 25 10 0 75 buscando en las tablas Pr(Z s 0,67) = 0,75 luego Q3 25 10 0 67 = , despejando Q3 = 25+10 0,67 = 31,7 Por consiguiente el primer grupo seran los individuos con puntuaciones inferiores o iguales a 18,3, el segundo aquellos con puntuaciones entre 18,3 y 25, el tercero los sujetos con puntuaciones entre 25 y 31,7 y el cuarto aquellos que tengan puntuaciones superiores a 31,7. 1. Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una variable que mide el nmero de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribucin de Poisson con parmetro = E [ ] = 8=4 = 2. Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente: 9. Supongamos que el nmero de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribucin Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milmetro. (a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milmetro de alambre. (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milmetros de alambre. (c) Determine la probabilidad de al menos una imperfeccin en 2mm de alambre SOLUCIN: (a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milmetro de alambre. Entonces E(x)=2.3 imperfecciones y P(x=2)= 0.265 2! 2.33*32 = e (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milmetros de alambre. Sea que X denote el nmero de imperfecciones en 5 milmetro de alambre. Entonces, X tiene una distribucin Poisson con E(x)=5mmx2.3 imperfecciones/mm= 11,5 imperfecciones. Por lo tanto, P(x=10)=e 11.511.5/10!= 0.113 (c) Determine la probabilidad de al menos una imperfeccin en 2mm de alambre. Sea que x denote el nmero de imperfecciones en 2 milmetros de alambra. Entonces, X tiene una distribucin de Poisson con E(x)=2mmx2.3imperdecciones/mm=4.6imperfecciones Por lo tanto, P(x 1)=1-P(x=0)=1-e 4.6 =0.9899 10. La contaminacin constituye un problema en la fabricacin de discos de almacenamiento ptico. El nmero de partculas de contaminacin que ocurre en un disco ptico tiene una distribucin de Poisson y el nmero promedio de partculas por centmetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El rea de un disco bajo estudio es 100 centmetros cuadrados. (a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partculas en el rea del disco bajo estudio. (b) La probabilidad de que ocurran cero partculas en el rea del disco bajo estudio (c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partculas ocurran en el rea del disco bajo estudio SOLUCIN: Sea que x denote el nmero de partculas en el rea de un disco bajo estudio. Puesto que el nmero promedio de partculas es 0.1 partculas por cm 2 . E(x)=100 cm 2 x0.1 partculas/ cm 2 = 10 partculas Por lo tanto, (a) P(x=12)= 12! e101012 = 0.095 (b) La probabilidad de que ocurran cero partculas en el rea del disco bajo estudio es P(x=0)=e 10 =4.54x10 5 (c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partculas ocurran en el rea del disco bajo estudio. La probabilidad es P(X 12 )=P(x=0)+P(x=1)+..+P(x=12)== 12 0 10 ! 10