Distribución Normal o gaussiana

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Distribución Normal o gaussiana. La distribución normal o Gaussiana es la más importante y la de mayor uso de todas las distribuciones de probabilidad. Una  distribución normal  de  media μ  y  desviación típica σ  se designa por  N(μ, σ) . Su gráfica es la  campana de Gauss :. Definición. - PowerPoint PPT Presentation

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Distribucin Normal o gaussiana

Distribucin Normal o gaussianaLa distribucin normal o Gaussiana es la ms importante y la de mayor uso de todas las distribuciones de probabilidadUnadistribucin normaldemedia ydesviacin tpica se designa porN(, ). Su grfica es lacampana de Gauss:

DefinicinSe dice que una variable aleatoria X se encuentra normalmente distribuida si su funcin de densidad est dada por

El 99% de los datos se encuentra entre el promedio y 3 desviaciones estandarCalculo de probabilidades distribucin normal

EjemploSe sabe que la longitud de las alas extendidas de un tipo de ave rapaz es una variable aleatoria que sigue una distribucin Normal, de media 120 cm. y desviacin tpica 8 cm.X N (120; 8) Calclese la probabilidad de que la longitud de un ave elegida al azar sea:a.- Mayor de 130 cmb.- Menor de 100 cmc.- Est comprendido entre 110 y 130 cmDistribucin Normal TpicaLa forma anterior de calculo de probabilidad resulta muy difcil de calcular, Ante lo cual se realiza un cambio de parmetro y se cambia la variable x por la variable z y se pasa de la distribucn normal general a la distribucin normal tipica

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribucin normal de parmetros = = 0 y = 1

Y su funcin de densidad es:

=0 y = 1

Por lo tanto debemos realizar el cambio de variable

Calculo de probabilidad distribucin normal tipificada

Suponga que x tiene una distribucin normal con normal =10 y = 2CalcularP(x9)P(6x14)

EjemploSe sabe que la longitud de las alas extendidas de un tipo de ave rapaz es una variable aleatoria que sigue una distribucin Normal, de media 120 cm. y desviacin tpica 8 cm.X N (120; 8) Calclese la probabilidad de que la longitud de un ave elegida al azar sea:a.- Mayor de 130 cmb.- Menor de 100 cmc.- Est comprendido entre 110 y 130 cmMuestreoPoblacinEs un conjunto finito o infinito de elementos cuyas caractersticas se desean estudiarMuestraSubconjunto de la poblacinMuestreoProcedimiento para obtener una muestraParmetrosSon ciertos valores numricos fijos que pueden describir las caractersticas de una poblacin (promedio, varianza, proporcin)

Inferencia estadsticaEs un tipo de inferencia inductiva que permite generalizar las conclusiones obtenidas en una muestra de la poblacin a todos los elementos de la poblacin.La generalizacin de las conclusiones obtenidas en una muestra a toda la poblacin est sujeta a riesgos por cuanto la muestra se debe seleccionar con un muestreo probabilsticoEl estudio de la inferencia estadstica se acostumbra a dividir en 3 partes.Estimacin puntualEstimacin por intervaloContraste de hiptesis.

Diseo de muestreoEs el plan que se llevar a cabo para seleccionar la muestra, de tal manera que exista un conocimiento bien fundado de que la muestra sea representativaMtodo de seleccin de la muestraExisten dos tipos de muestreo: el probabilstico y el no probabilstico.Con el muestreo probabilstico, todos los sujetos tienen la misma probabilidad de entrar a formar parte del estudio. La eleccin se hace al azar.El no probabilstico es aquel en el que no todos los sujetos tienen la misma probabilidad de formar parte de la muestra de estudio.Los tipos de muestreo probabilsticos ms utilizados son: aleatorio simple, aleatorio sistemtico, aleatorio estratificado y aleatorio por conglomerados.Muestreo aleatorio simple: Muestra seleccionada de manera que cada elemento o individuo de la poblacin tenga las mismas posibilidades de que se incluya. Por ejemplo, los nmeros del cartn de los juegos de azar es una muestra aleatoria imple ya que todos los nmeros tienen igual probabilidad de salir.

Muestreo aleatorio sistemtico: Se selecciona un punto aleatorio de inicio y posteriormente se elige cada k-simo miembro de la poblacin. El k se calcula dividiendo el total de la poblacin por la muestra necesaria: k = N/n. Si se tiene una poblacin de 8 000 individuos y el tamao de la muestra necesario es de 400, se seleccionar uno de cada 20, que ser la fraccin de muestreo (8 000/400). Para decidir por cul se ha de comenzar, se selecciona aleatoriamente, o por sorteo, un nmero del 1 al 20, y a partir de dicho nmero se va seleccionando a un sujeto de cada 20.

Muestreo aleatorio estratificado: Una poblacin se divide en subgrupos segn alguna caracterstica, y se forman los denominados estratos y se selecciona al azar una muestra de cada estrato. La estratificacin se suele hacer en funcin de diferentes variables o caractersticas de inters: gnero, edad, situacin laboral, etc.Por ejemplo, si se desea efectuar una estratificacin por gnero y se sabe que en la poblacin la distribucin es de 55 mujeres y 45 hombres, por tanto, si el tamao de la muestra es de 400, se elegirn aleatoriamente 220 mujeres y 180 hombres.

Definicin de intervalo de confianza

Dada una muestra aleatoria simple (X1, X2,, Xn) de una variable aleatoria X se llama intervalo de confianza para un parmetro , con nivel o coeficiente de confianza 1-, 0< < 1, a un intervalo aleatorio (dado que sus extremos dependen de las muestras elegidas)Nivel de Confianza.Probabilidad de que la estimacin efectuada se ajuste a la realidad. Cualquier informacin que queremos recoger est distribuida segn una ley de probabilidad (Gauss o Student), as llamamos nivel de confianza a la probabilidad de que el intervalo construido en torno a un estadstico capte el verdadero valor del parmetro. (1-)Estimacin de Intervalos de confianza para la mediaCaso 1La muestra es seleccionada de una poblacin con distribucin normal y varianza poblacional conocida

[ x - z1-/2 */n , x + z1-/2 */n]

Caso 2La muestra es seleccionada de una poblacin que tiene una distribucin cualquiera con media y varianza 2 conocida. En este caso n 30

[ x - z1-/2 */n , x + z1-/2 */n]

Caso 3

La muestra aleatoria es seleccionada de una poblacin distribuida de manera normal pero los parmetros , (poblacionales) son desconocidos y n30

[ x - t1-/2 (n-1)*s/n , x +t1-/2 (n-1) *s/n]

Datos importantesMuestralPoblacionalPromedio x Desviacin estandar s varianza s Como consecuencia de la falta de gas registrada en la ciudad de La Plata, en los meses de invierno, la Empresa Camuzzi - Gas Pampeana decide hacer un estudio para determinar la cantidad gastada en este combustible para calefaccin casera en un ao en particular. Con tal motivo se selecciona una muestra de n = 64 hogares de la ciudad. La media muestral del gasto en gas para calefaccin result de $83,6. Se sabe por experiencia que la desviacin estndar de la poblacin es $17,8.a) Halle un intervalo de confianza del 95% para el gasto promedio anual en este tipo de combustible en las viviendas de la ciudad de La Plata.b) Calcule un intervalo de confianza del 99% para ese gasto promedio anual.. Se encuentra que la concentracin promedio de zinc de una muestra de 36 cereales es de 2.6 gramos por miligramo. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentracin media de zinc en el cereal. Suponga que la desviacin estndar de la poblacin es 0.3 y los datos se distribuyen de manera normal.Una muestra aleatoria de 16 cigarrillos de una cierta marca tiene un contenido medio de nicotina de 1.6mg. y una desviacin tpica de 0.7mg. Suponiendo que la variable X=contenido de nicotina en un cigarrillo, sigue una distribucin N(; ), obtngase un intervalo de conanza al 99% del contenido medio de nicotina por cigarrillo en esa marca.Una empresa fabrica bombillas cuya duracin en horas sigue una distribucin N(; 200).Una muestra aleatoria de 36 bombillas ha dado una vida media de 7000 horas. Constryase un intervalo de conanza al nivel del 95%, 99 % para la vida media de las bombillas fabricadas por esa fbrica.Error muestral y tamao muestralError muestral

E=

Tamao muestral

N=

La desviacin tpica de la altura de los habitantes de un pas es de 8 cm y los datos se distribuyen de manera normal . Calcular el tamao mnimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho pas para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 90%La Consejera de Trabajo planea un estudio con el inters de conocer el promedio de horas semanales trabajadas por las mujeres del servicio domstico. La muestra ser extrada de una poblacin de 10000 mujeres que figuran en los registros de la Seguridad Social y de las cuales se conoce a travs de un estudio piloto que su varianza es de 9.648. Trabajando con un nivel de confianza de 95% y estando dispuestos a admitir un error mximo de 0,1, cul debe ser el tamao muestral que empleemos?.Intervalo de confianza para una proporcinIntervalo de confianza para una proporcin

Error muestral

E=

Tamao Muestral

Se quiere estimar el resultado de un referndum mediante un sondeo. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple conn=100 personas y se obtienen 35% que votarn a favor y 65% que votarn en contra (suponemos que no hay indecisos para simplificar el problema a una variable dicotmica). Con un nivel de error del 5%, calcule un intervalo de confianza para la verdadera proporcin de las elecciones.Tomada al azar una muestra de 500 personas en cierta comunidad, se encontr que 220 personal lean el peridico habitualmente. Calcula con un nivel de confianza de 90%, 95% y 99% el intervalo en que se encontrar la verdadera proporcin de electores

Una multinacional est estudiando la posibilidad de instalar un nuevo sistema de produccin en sus empresas; antes de hacerlo decide consultar a sus trabajadores. Como no tienen ninguna referencia previa sobre la opinin de sus empleados, supone que tal opinin est dividida en partes igual 50% a favor y 50% en contra. Si desea una fiabilidad del 99% con un error mximo del 4% Cul debe ser el tamao mnimo de la muestra?