ESTADÍSTICA I

Docente: Lic. Quiñones Malpartida, Jonathan Peter

Definiciones:

TEMA: DISTRIBUCIÓN NORM AL

Distribución normal o de Gauss está caracterizada por dos parámetros: La media, μ, y la desviación típica, σ.

Esta es una distribución de probabilidades continua, simétrica, mesocùrtica, y gráficamente representada tiene la forma de una campana. Puesto que la distribución normal es simétrica, el punto medio bajo la curva, es justamente la media aritmética de la distribución ( µ ). La forma de la curva normal, indica que las frecuencias están concentradas en la porción central de la curva y los valores hacia abajo y hacia arriba de la media están igualmente distribuidos.

“Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal.

CURTOSIS K2= 3

K2> 3 K2< 3

“Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal.

COEFICIENTE DE ASIMETRIA:

As= 0 As> 0

As< 0

Tipificación Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina

valor tipificado, z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir

FORMULA A UTILIZAR

En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exactamente la misma probabilidad por debajo.

Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.

xz

Que tiene un arreglo uniforme o estándar

Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.

Calcular P[Z<1,85]

Solución: 0,968 = 96,8%

Tabla N(0,1) Z es normal tipificada.

Calcular P[-0,54<Z<1,85]

Solución: 0,968-0,295= 0,673

Uso de la tabla Z

Para calcular las probabilidades de variables aleatorias.TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL

Área bajo la curva normal: P Z z

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.53586 0.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.57535 0.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.61409 0.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.65173 0.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.68793 0.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240 0.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490 0.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.78524 0.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.81327 0.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.83891

1.0 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214 1.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.88298 1.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.90147 1.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.91774 1.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.93189 1.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.94408 1.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.95449 1.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.96327 1.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.97062 1.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670

Ejemplo: Cálculo con probabilidades normales1.- El colesterol en la población tiene distribución normal, con media 200 y desviación 10.

a) ¿Qué porcentaje de individuos tiene colesterol inferior a 210? b) ¿Cuál es la probabilidad que las personas tenga colesterol entre 180 y 195? c) ¿Cuál es la probabilidad de que los individuos tenga un colesterol superior a 220?

Graficar cada uno de los casos y calcular el numero de personas, teniendo como muestra 400 personas.2.- Se calculo que el promedio de enfriamiento de todas las neveras

para una línea de cierta compañía, emplean una temperatura de -4°C con una desviación típica de 1.2°C.

  a) ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3°C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a - 5.5 °C?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15

a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110

b) En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

3. La media de los pesos de 500 estudiantes de un Instituto es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:a) Entre 60 kg y 65 kg. b) Más de 90 kg. c) Menos de 64 kg. d) 64 kg. e) 64 kg o menos.

4. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el

examen obtenga una calificación superior a 72? b) ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho,

superior a 84?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

5. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°

6. La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

a) Entre 60 kg y 75 kg.b)Más de 80 kg.c)Menos de 64 kg.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

APROXIM ACIÓN DE L A DISTRIBUCIÓN BI NOMIAL A L A DISTRIBUCIÓN NORMAL.

Distribución binomial

1.- En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

Ejemplo: Cálculo de la distribución binomial con aproximación a la distribución normal

2- Se toma una muestra de 100 trabajadores de una gran empresa para estudiar su actitud frente a un cambio en el método de trabajo. Si el 60% de todos los trabajadores de la empresa están a favor del cambio. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 50 de los miembros de la muestra estén a favor?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL 1.- Un estudio reciente reveló que el 64% de las mujeres mayores de 18 años, consideran a la nutrición la prioridad en su vida. Se seleccionó una muestra de 60 mujeres. Determinar la probabilidad de que:

a) 32 o más consideren importante la dieta diaria.

b) 44 o más estimen que la alimentación es esencial.

c) Más de 32 pero menos de 43 consideren importante el aspecto dietético.

3. Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide: a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?

2.- Supóngase que X tiene una distribución probabilística binomial, con n = 50 y p = 0,25. Calcule:

a) La media y la desviación estándar de la variable aleatoria.

b) La probabilidad de que X valga 15 o más.

c) La probabilidad de que X valga 10 o menos.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. Dada una variable con distribución normal de media μ = 40 y desviación estándar σ = 6 encuentre el valor de x que tiene: DISTRIBUCION NORMALa) El 34% del área a la izquierda.b) El 5% del área a la derecha.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

2.- Determine las probabilidades de que una variable aleatoria tome un valor entre 12 y 15 dado que tenga una distribución normal con:a) μ = 10 y σ = 5b) μ = 20 y σ = 10

TIPOS DE ESTADÍSTICOSPARÁMETRO: Es una cantidad numérica calculada sobre una población y resume los valores que esta toma algún atributo.

Intenta resumir toda la información que hay en la población en unos pocos números (parámetros). La altura media de los sujetos.

ESTADÍSTICO: Es la cantidad numérica calculada sobre una muestra que resume su información sobre algún aspecto.

Si un estadístico se usa para aproximar un parámetro también se suele llamar “estimador”.

Normalmente nos interesa conocer un parámetro, pero por la dificultad que conlleva estudiar a “TODA” la población, calculamos un estimador sobre una muestra y “confiamos” en que sea próximos.

TIPOS DE ESTADÍSTICOSCENTRALIZACÍON: Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Entre ellos cabe destacar: Media, mediana y moda.

POSICÍON: Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. Entre ellos cabe destacar: Percentiles, deciles, cuartiles.

DISPERSIÓN: Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las mediadas de centralización. Entre ellos: Varianza, desviación típica, coeficiente de variación, rango,

desviación intercuartilica.

FORMA: Dan una idea de cómo se distribuyen los datos. Entre ellos: Asimetría, Apuntamiento o curtosis.

DISEÑOSOBSERVACIONALE

S

PROSPECTIVOS RETROSPECTIVOS

LONGITUDINALES

TRANSVERSALES

LONGITU-DINALES

TRANS-VERSAL

ES