1. 1. Cuaderno de Actividades: Fsica I 1) Cinemtica de una Partcula Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 1
2. 2. Cuaderno de Actividades: Fsica I1) Cinemtica de una PartculaFenmeno Movimiento Teora de la relatividad (TR)A EinsteinEn la descripcin del Fenmeno Movimiento debemos de considerar lo siguiente,a) El observador, referencia, O Descriptor del movimiento La trayectoria es funcin Odel estado del observador, (O) Por ejemplo, si se deja caer una pelota, la cada es descrita por O y O, talcomo se muestra a continuacin, 1 2O (reposo) O (v=cte) Por lo tanto, la trayectoria es una funcin de estado del observador. Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 2
3. 3. Cuaderno de Actividades: Fsica I b) El mvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partcula, el cual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa la componente trasnacional.Modelo de Partcula:MvilP Definicin de Cinemtica: La cinemtica describe el fenmeno movimiento usando las cantidades cinemticas (cc): r r : vector posicin r v : vector velocidad r a : vector aceleracin1,1) Cantidades Cinemticas, cc r i)Vector Posicin,r Describe la posicin del mvil en el tiempo. Es el problema fundamental de la cinemtica,r r r r ( t ) ( O) r rVector desplazamiento, r : Describe como cambia la r ,r rf ri r ( t f ) r ( ti ) r r r r rr r r ( t ) r ( 0) ti tf : t = tf - ti Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 3
4. 4. Cuaderno de Actividades: Fsica Irv ( ti )tanrvm rr r ( ti )r v ( tf ) r r ( tf )r secr ii) Vector velocidad,v Describe los cambios de la posicin respecto del t, r r dr vdt r r r v lim t 0 t }rvmediar Definicin de Vector velocidad media, vm r rr 1 r vm rt t Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 4
5. 5. Cuaderno de Actividades: Fsica Ir Definicin de rapidez,v r v : rapidez? Describa que es el tiempo segn la lectura de Breve historia deltiempo de Stephen Hawking.? Describa, de igual forma, que es el tiempo segn la lectura de Brevsima historia del tiempo tambin de Stephen Hawking.? Cual es el ltimo trabajo de divulgacin de este brillante cientfico ypropalador de las ciencias. r iii)Vector Aceleracin, a Describe los cambios de la velocidad respecto del t. r rr r v r dv d 2 r a lim r r a { a // vt 0 t dt dt 2 am r rda ? Ser importante definir. Existir alguna rama de la tecnologadt donde interese conocer esta cantidad.1,2) Tipos de Movimientosi)Movimiento Rectilneo, MR Definicin: () Lic. Percy Vctor Caote Fajardo5
6. 6. Cuaderno de Actividades: Fsica I j) Movimiento Rectilneo Uniforme, MRU k) Condicinr v vx i v i ctev = cte kk) Ecuaciones l)v = cter rII) r r ( t) r t f =tr dr r rr r dt v : r r ( t ) r ( ti ) +v (t ti ) ti r r r v ( t ) r v dt r r ( t) x( t) i r r r r ( t ) r ( 0 ) + vt ti = 0 t f = tx ( t ) x ( 0 ) + vt Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 6
7. 7. Cuaderno de Actividades: Fsica Iv 0xx(t) kkk) Graficas l) v-tv A(t)=x(t)AA 0 t ll) x-txA0 tNo da informacin cinemtica jj) Movimiento rectilneo uniformemente variado (MRUV)k) Condiciones r a ax i a i cte a = ctekk) EcuacionesLic. Percy Vctor Caote Fajardo7
8. 8. Cuaderno de Actividades: Fsica I l)a = cter r II)v v ( t) r tfr dv r rrr dt a : v v ( t ) v ( ti ) + a (t ti )ti r r rv ( t ) v a dt rv ( t) v( t) i r r r v ( t ) v ( 0 ) + a t ti = 0 t f = tv ( t ) v ( 0 ) + at r r IlI) r r ( t)r tf r dr v : dt tir r rr 1r r r ( t ) r ( ti ) + v ( ti ) (t ti ) + a (t f ti ) 22 r r r v ( t ) r v dtr r r r1r r r ( t ) r ( 0 ) + v ( 0 ) t + a t 2 ti = 0 t f = t2 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo8
9. 9. Cuaderno de Actividades: Fsica I r1 2 r ( t) x( t) i x ( t ) x ( 0) + v ( 0) t +at2a(t)v(t) 0x x(t) kkk) Grficas l) a-taA(t)=v(t)AA 0 t ll) v-tv A(t)=x(t) A0 t lll) x-txt A: no proporciona informacin cinemtica. Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 9
10. 10. Cuaderno de Actividades: Fsica I jjj) Movimientos Generales a a(t) v v(t) x x(t)dv de a dt v adt a a(t) : fcil a a(v) : Regla de la cadena, definicin de diferencial exacta ocambio de variable a a(x) : Idemdx de v x = vdtdtx = x(t)? Encuentre casos reales donde la aceleracin dependa de la velocidado posicin. S1P14) La posicin de una partcula que se mueve a lo largo del eje X estadada por x = t3 - 12t2 + 36t + 30 con x en metros y t en segundos.Determine:a) La velocidad media entre 2 s t 6 s. b) La aceleracin media entre 0 s t 4 s. c) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado. d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado. Solucin: P 0X(t)xx(t) = t3 -12t2 +36t + 30 a) vm :2 6 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo10
11. 11. Cuaderno de Actividades: Fsica I x x ( 6 ) x ( 2 ) vm = =?t62b) am : 0 4 v v ( 4 ) v ( 0 ) am = =?t40 3t 2 24t + 36dx v 3 ( t 2 8t + 12 )dt 3 ( t 4 ) 12 2 c) d)Movimientos acelerados: rrr DEF: v v av+ a+ 0 xv a Movimientos desacelerados: r rr DEF: v v av- a+ x v+ a- Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 11
12. 12. Cuaderno de Actividades: Fsica I a v a v+- -+ t02 4 6 dv a 6t 24 a ( t ) dt v v(t) P v4t 26120 2 c) t 4 62 4 d) t 6 ii) Movimientos Planares o Bidimensionales Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 12
13. 13. Cuaderno de Actividades: Fsica I Las trayectorias estn contenidas en un plano. 2 ()j) Movimiento Parablico, MP rCaso a cte .Los movimientos parablicos con raceleracin constante son determinados cuando la v(0) no es paralela a la a . El plano del movimiento es determinador r por los vectores velocidad inicial v (0) y aceleracin a . El eje de la parbola esr paralelo a la a cte . Estos movimientos tambin presentan simetra de rapideces y tiempos a un mismo nivel. r ry ag ZrAA v ( 0) r v ( 0) ta td P0 x 0Y Xr y a : simplifica la descripcin:x : MRU ax 0 y : MRUV ay = a g (por lo general) Esto es debido al carcter vectorial de la Fsica Cinemtica. Mov Parab MRUVx + MRUVy MRUVx + MRUVy (caso general, x e y en cualquier direccin) Simetras r a ctePLic. Percy Vctor Caote Fajardo13
14. 14. Cuaderno de Actividades: Fsica I Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje Para todo nivelva vd ta td Aplicacin importante del MP: Movimiento de proyectilesComo ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superiores a 20 km, existencia de aire ni rotacin de la tierra. El movimiento de proyectiles constituye un caso interesante de la ciencia donde determinados campos de investigacin, el desarrollo de proyectiles, por ejemplo, resultan favorecidos por motivos impropios. El desarrollo de la cohetera efectuado desde finales del siglo XIX hasta mediados del siglo XX, jugo un papel preponderante en las 2 guerras mundiales as como en la conquista del espacioEl movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parmetros como tiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura mxima, H. Si consideramos la siguiente geometra,r ry ag Zr ragrv ( 0) r v ( 0) 0 x 0 Y X Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 14
15. 15. Cuaderno de Actividades: Fsica Ii)Tiempo de vuelo, tv2v(0) sen( )tv g ii) Alcance o Rango, Rv 2 (0) sen(2 )Rg iii)Altura mxima, Hv 2 (0) sen 2 ( )H2g? Conceptos de simetra. Como debo entender su manifestacin en la naturaleza. Simetra en la fsica. Simetra en las matemticas. r ? Qu otros tipos de MP que no guarden la condicin de a cte se desarrollan en el universo.? Busque 5 ejemplos reales de MP.? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la cohetera con la carrera espacial.? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetera:Werner von Braun- Pedro Paulet.? 2009: Ao internacional de la astronoma.? Asteroide 2009 DD45: eventos de colisin-extincin. S1P16) Un can est colocado para que dispare sus proyectiles con unarapidez inicial v0 directamente haca una colina,cuyo ngulo de elevacin es cul ser elRngulo respecto de la horizontal al que deberv0apuntarse el can, para obtener el mayor alcance R posible a lo largo de la colina? Solucin: Lic. Percy Vctor Caote Fajardo15
16. 16. Cuaderno de Actividades: Fsica I / Rmx =? x, y P: y a + bx + cx2 yP R rv (0) 0x x: MRUx(t) x(0) + vx (0) t x 0 + v(0) cos t . (1) y: MRUV r g 2 y(t) y(0) + vy (0) t (1/2)g t2 , g = 10, y 0 + v(0) sen t t . (2)2De (1):x t= (1)v ( 0 ) cos x 1x2 1 2: y v ( 0 ) senv ( 0 ) cos 2 v 2 ( 0 ) cos 2 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo16
17. 17. Cuaderno de Actividades: Fsica I g 2 P: y { tg} x 2x 2v ( 0 ) cos 2P P: xp Rcosyp Rsen Rsen {tg} Rcos - g R2cos22v2(0)cos2 1 gR 2 cos 2 Rsen (tg ) R cos 2 R cos 2v ( 0 ) cos 2gR ( ) cos tg tg ...( I ) 2v 2 ( 0 ) cos 2 dg cos d R( ) : 0 = sec 2 2 d2v ( 0 ) d cos 2 }0dRcos 2 + R { 2 sen cos }d R ( ) d = d cos 2 cos 4 g cos 2 Rsen 0 = sec 2 cos3 2v 2 ( 0 ) g cos tg 0 = 1 R v2 ( 0) v2 ( 0) R...( II ) g cos tg II Ig cos v2 ( 0) tg tg x 2 v 2 (0) cos 2 g cos tgLic. Percy Vctor Caote Fajardo17
18. 18. Cuaderno de Actividades: Fsica I sec 2 2tg 2 sec 2 tg tg 2tg2tgtg 2 11 tg = = ctg 2 2tg 2tg tg 2 1 tg = ctg 2 ctg + = ctg 2 = + 2 4 2jj) Movimiento Circular, MC La trayectoria ser de una circunferencia. Y t n R ts x t=0 0 La descripcin del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o , esto es, usando variables lineales o angulares. k) Cantidades Cinemticas del MC l) Posicinm) Lineal: s= s(t)mm) Angular: =(t)Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 18
19. 19. Cuaderno de Actividades: Fsica Immm) Relacin: s= Rll) Velocidadm) Velocidad Lineal, v=vtLa llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidades cinemticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez, r rr ds v = vt v =dt mm) Velocidad Angular, Describe los cambios de respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma,d r r r= = r vt u[]= rad/s dt mmm) Relacin entre | v| y r vt = Rlll) Aceleracin m) Aceleracin, aEl vector aceleracin suele descomponerse en dos direcciones adecuadas, tales como la radial y la tangencial, resultando, r r r vt2 d 2s a = ar + at = en + 2 et R dt Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 19
20. 20. Cuaderno de Actividades: Fsica IA la componente radial de la aceleracin se le denomina aceleracin centrpeta, acp. mm) Aceleracin Angular, Describe los cambios de la respecto del tiempo,rr d= u[]= rad/s2 dt mmm) Relacin entre at y at = Rkk) Tipos de movimientos CircularesAl igual que en el caso de los MR podran ser MCU, MCUV o generales. ? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares.? Los planetas hacen MC. jjj) Movimientos Planares Generales: Coordenadas Polares (r,)Este sistema se usa para describir movimientos planares ( MC). En particular es usado para los movimientos planetarios. yty e err j ixx Lic. Percy Vctor Caote Fajardo20
21. 21. Cuaderno de Actividades: Fsica I r, er , e{ r , , er , e } {} x, y, i , ? jx = r cos r r ( t ) y = r s en ( t ) ( ) er = er i , e cos i + sen j r j j( ) e = e i , e s en i + cos jk) Cantidades cinemticas en (r,) r l) rr r = r( t) r ( r , ) = r erer = er ( t ) r ll) v rr dr d (rer )v& rer + r (er )& dt dt d ddt & er (er ) {dt cos i + sen j } & { sen i + cos j }&er = e Lic. Percy Vctor Caote Fajardo21
22. 22. Cuaderno de Actividades: Fsica I r v ( r , ) r er +r e & & r iii) ar r dv d adt dt& {&rer + r e} &&r + r (er & + (r & e + r (e & re & ) {&) & ){ { re & & & & &&& &&r + r e + r e + r e r 2 er r{}a ( r , ) && r2 er + r +2r e r& &&&& { } ? Aplicacin de las coordenadas polares al movimiento planetario.? En particular el movimiento de la Tierra es problema CAOS. Leer Elreloj de Newton. kk) Movimiento Circular en (r,) r R cte!rr i)r rer r R cte r ii) v ( r , ) r e vt R,& = w & r iii) a ( r , ) r er + r e &2 &&{ { } && { { {& { R e + R 2 { er } } atT + an N { {r r r at an acp Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 22
23. 23. Cuaderno de Actividades: Fsica I S1P17) Una partcula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada por r = 10 r y = 2 t , en donde r est en metros, en radianes y ten segundos, a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidadV = dr / dt por derivacin directa de r , c) Como la distancia sobre latrayectoria es s = r, halle la celeridad hallando ds/dt. Tiene el mismovalor que el mdulo de V hallado en la parte (b)?, d) Halle el vectoraceleracin a en funcin de los vectores unitarios r y . Solucin:r r 10 r , r = er = 2ta) r 10 R 10 MCrr drr d b) v= v = { 10er } = 10(er ) = 10 e && dtdtr rv vt 20 e c) MC: s, variable lineal!s vt at, variable angular, MC MC (variables lineales, v angulares)sR vt R at Rds & s R 10 x 2 20& dt r r d)a a ( r , ) Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 23
24. 24. Cuaderno de Actividades: Fsica Ir { &&& } &&{a ( r , ) r r2 er + r +2r e&& }, r = er y = e S1P11) Un punto M tiene durante su movimiento dos y e M ervelocidades constantes en modulo. La primerapermanece siempre perpendicular al eje X y lasegunda perpendicular al radio vector. Halle la V2 rV1ecuacin de la trayectoria si parte del punto (r0,0) y calcule la aceleracin de M. 0 xSolucin:ye er MV1r v1V2 V1 x a) Ec / t 0 : (r0, 0)?b) aM ? --------------------------------a) Descomponiendo las velocidades en el sistema polar, tenemosLic. Percy Vctor Caote Fajardo24
25. 25. Cuaderno de Actividades: Fsica Irr vM v ( r , ) v1sen er { v1 cos + v2 } eAhora, comparando componentes, r v ( r , ) rer + r e && r : r v1sen & (I)& : r v1 cos v2 (II) dr dr d dr & En I aplicando regla de la cadena: r & dt d dt d ( )& Despejando de II y reemplazando,dr v1 cos v2 r & v1send r Separando variables para poder integrar, 1 dr d v sen { ln r} 1 r d d v1 cos + v2 d v1sen : d { ln r} d v cos + v 1d 2 ln(r ) = ln { v1 cos + v2 } + cAplicando ci para determinar c:ln(r0 ) + ln { v1 cos 0 + v2 } = c c = ln r0 { v1 cos 0 + v2 } v cos 0 + v2 r r0 1 ( r , ) v1 cos + v2 b) Para la a de M,r {} a ( r , ) r r2 er + r +2r e&&& &&&& {} Lic. Percy Vctor Caote Fajardo25
26. 26. Cuaderno de Actividades: Fsica Ic% r ? r ( ) &, c ec%v1 cos + v2& & r f ( ) ? &De II, v cos 0 + v2 & & r r0 1 { v1 cos + v2 }v1 cos + v2 & g ( ) r f ( ) g ( ) r ( ) & &&& && r &&( ), ( ) && r r ra a ( ) iii) Movimientos Espaciales: Caso GeneralLos casos generales de movimiento podran considerarse en el espacio. Por muy complicado que parezca siempre es posible, usando el Principio de Superposicin, expresarlo en funcin de movimientos mas sencillos, de ello ya hemos revisado algunos casos, por ejemplo, MP {MRU}x + {MRUV}yM Helicoidal {MRU}z + {MC}xyM Cicloidal {MRU}xy + {MC}xy ? Podra indicar 3 casos similares. Cree que es un tema de simetra. La descripcin del movimiento debe efectuarse usando un sistema de coordenadas que comparta la simetra del movimiento. x, y, zRectangulares r, Polares , , zCilndricas r, , Esfricas s Coordenada de sobre la curva, vectores tangencial, normal y binormal. De no ser as, el desarrollo tambin ya se ha descrito,r r r r r r a a ( t ) v adt r = vdt Lic. Percy Vctor Caote Fajardo26
27. 27. Cuaderno de Actividades: Fsica Ir r r a a( v) r r r tcnicas de a a( r) Regla de la cadena Diferencial exacta Cambio de variable Sistema de coordenadas sobre la curvaEs el sistema general. Este sistema que viaja con el mvil, est definido por la llamada coordenada sobre la curva s, y los vectores, T , tangente unitario, N , normal principal, y B , binormal, los cuales son mutuamente perpendiculares.r r i) r r ( t )r r ii) v vT , T : u en la direccin de vr iii) a ?r r dv d adt dt&{ }vT vT + vT& & r T ?& dT dT dsT dt ds { dt v T:tangente unitario T =1 2 T =1 T .T = 1 derivando respecto a s Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 27
28. 28. Cuaderno de Actividades: Fsica I T dT = 0dsPO R=TT1k : curvatura r dT & a vT + v v ds { kN r v2 & a vT + N; R: radio de curvatura R? Que informacin da la binormal.? Podra construir ecuaciones para el radio de curvatura. Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 28
29. 29. Cuaderno de Actividades: Fsica I S1P21) Un muchacho en A arroja una pelotaBdirectamente a una ardilla paradasobre una rama en B. Si la rapidezhinicial de la pelota es de 16 m/s y laardilla, en vez de asustarse, se deja A 5.5 mcaer del reposo en el instante en quese lanzo la pelota, demuestre que la 1.5 mardilla puede atrapar la pelota ydetermine la longitud h que la ardilla 10 mcae antes de hacer la captura. Solucin:B h gH2 - H1v(0) C y A H2 xH1A D t 0: Pelota en A y Ardilla en B r v ( 0) directamente hacia B:D H 2 H1cos tg {}1/ 2D 2 + [ H 2 H1 ] 2 D Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 29
30. 30. Cuaderno de Actividades: Fsica ISea t: Pelota en C y ardilla en CUsando xy en A:Para la pelota,x p ( t ) 0 + v px ( 0 ) t { v ( 0 ) cos } t DD t v ( 0 ) cos 2g g { y p ( t ) H1 + v py ( 0 ) t t 2 H1 + v ( 0 ) sen 2 }D D v ( 0 ) cos 2 v ( 0 ) cos gD 2 gD 2 H1 + Dtg H 1 + ( H 2 H1 ) 2v 2 ( 0 ) cos 2 D 2 2v 2 ( 0 ) 1/ 2 { } yp ( t ) H2 {g D 2 + [ H 2 H1 ] 2 }2v 2 ( 0 )1 Para la Ardilla,y A ( t ) H 2 + { 0} t gt 2 2 2 2 1D 1 D H2 g H2 g 2 v ( 0 ) cos 2 v ( 0) D 2 {}1/ 2 D + [ H1 H 2 ] 2 yA ( t ) H 2 { g D 2 + [ H 2 H1 ] 2 } 2v 2 ( 0 ) a) Como en t y p ( t ) y A ( t ) la ardilla puede coger la pelota!Lic. Percy Vctor Caote Fajardo30
31. 31. Cuaderno de Actividades: Fsica I b) h H 2 yA ( t ) {g D 2 + [ H 2 H1 ] 2 } 10 { 10 2 + 42 } 2,3 2v ( 0 )22 16 2 h 2,3 S1P) La aceleracin de un mvil, en funcin de su posicin, est dada por:a(x) = 3x 2x3; para t = 0 se cumple que x = 0 y v = 0. Halle: (a) suvelocidad cuando x = 0,5, (b) su posicin cuando su velocidad esmxima, (c) la aceleracin para esta velocidad mxima. Solucin: a ( x ) 3x 2 x3 , t 0: x 0v 0a) v v ( x 0,5 ) b) x / vmax c) a / vmax ?dv dv dxdv d 1 a ( x) v 3 x 2 x3 v 2 dt dx dtdx dx 2 1 3 1 : v 2 x 2 x 4 + c v 2 3 x 2 x 4 v 3 x 2 xc.i .2 2 22 a) v x 1 1 111 3 2 2 24b) ddv dv 3x 2 x3 3 2x23: 2v 6 x 4 x 3 0 x * dx dx dx 3 x 2 x 3 x 22Aparentemente, el movimiento se realiza desde x=0 hasta x+ 3 regresando ax0 y permaneciendo all t posterior. Este problema es Lic. Percy Vctor Caote Fajardo31
32. 32. Cuaderno de Actividades: Fsica I inconsistente desde su planeamiento: t 0, a 0, v 0 x 0?! Si se le da cierta v (0) 0 , xMAX + 3 2 32* La partcula mgicamente se empieza a mover hacia la derecha (+)s hacia la izquierda (-)s.**? Analizar mediante grficos. 3 333 c) a x 32 0a0 22 2 2 Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 32
33. 33. Cuaderno de Actividades: Fsica Iy 2.-La figura adjuntarepresenta a un -gsencampesino irrigando un sistema de andenes, rindicados por rayas horizontales, separados 3 v0 gxm; la pendiente del cerro esta dado por = 30 :Pa) El campesino desea averiguarcuantosAandenes podr irrigar con v0 = 15 m/s y Rvariando de 30 a 45.Considere que elprimer andn dista 3 m de 0. b) Encuentre el valor de que nos permita irrigar el mximo nmero de andenes. Cul 0x es ese nmero mximo?. Tome g = -10 m/s2.jSOLUCION:g P : y { tg } x x2 2v( 0 ) cos 2 2y : y { tg } x x k cos , y ksen g() R P : P L : R sen { tg } ( R cos ) R cos 2 R2v(20 ) cos 2 sen cos cos g cos 2 sen 2 R cos 2 2v ( 0 ) cos 2 g cos 2 sen cos cos senR sen { } 2v 2 ( 0 ) cos 2 cos 2v 2 ( 0 ) R cos sen { }..() g cos 2dR sen sen { } + cos cos { } C d cos { 2 } Lic. Percy Vctor Caote Fajardo33
34. 34. Cuaderno de Actividades: Fsica I dR cos { 2 } 0 2 60 d43 b) de lo anterior 60 2 1521 1 15 15R R 15 En () : 3 2 215 510 4 Podr irrigar 5 ANDERESa) En () usando 45 2 152 1 R 0,26 11,1 R 11,1 3 210 4 Solo podr irrigar 3 ANDERES* Hacer la variante de calcular R con x Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 34