Cinematica de La Particula 1.1

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  • Dynamics. Introduction Pgina: 1/13September 28, 2010

    La palabra Mecnica viene del vocablo griego que significa mquina. Puede definirse como la ciencia que estudiael movimiento de los objetos materiales y las circunstancias que influyen en el mismo. La pluralidad de objetos y movimientoshace que la Mecnica se divida en diferentes ramas: Mecnica Clsica, de Fluidos, Relativista, Cuntica, de Medios Contnuos,Estadstica, etc. Todas ellas estudian el movimiento de objetos materiales, pero lo hacen desde puntos de vista muy diferentes.

    Atendiendo a su tamao, los objetos del Universo se agrupan en: microscpicos, macroscpicos y astronmicos. Sonmicroscpicos los objetos de tamao atmico o subatmico; son astronmicos los de tamao estelar o galctico. Los objetosmacroscpicos ocupan una posicin intermedia, es decir, son grandes frente a los microscpicos y, simultneamente, pequeosfrente a los astronmicos.

    Es posible distinguir, tambin, entre movimientos de alta y baja velocidad. En los primeros, la velocidad caracterstica esprxima a la velocidad de la luz. En los segundos, por el contrario, es pequea comparada con la velocidad de la luz.

    La Mecnica Clsica es la ciencia que estudia el movimiento de objetos macroscpicos a bajas velocidades. Sedivide en dos grandes apartados: Cinemtica, del griego , movimiento y Dinmica, del griego , fuerza.La primera pretende describir el movimiento, haciendo abstraccin de las causas que lo provocan. La segunda, por el contrario,pretende establecer relaciones entre el movimiento y las causas que lo originan.

    Dentro de la Mecnica Clsica, los sistemas deformables complejos, como pueda ser una masa de fluido, son estudiadospor disciplinas especficas, en concreto, la Mecnica de Medios Continuos. Poseen un nmero infinito de grados de libertad y sumovimiento est gobernados por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En este curso se estudian sistemas con unnmero finito de grados de libertad, cuyo movimiento est gobernado por ecuaciones diferenciales ordinarias.

    El problema bsico al que se enfrenta la Mecnica es: dadas las fuerzas que actan sobre un sistema material conocido ylas ligaduras a que est sometido, determinar el movimiento que las partculas adoptan respecto de una referencia galileanay las fuerzas de ligadura que se ejercen sobre el sistema, si se conocen las posiciones y velocidades de las partculasdel sistema en el instante inicial. Para resolverlo, es necesario realizar hiptesis adicionales sobre las fuerzas de ligadura.

    ETSI Aeronuticos. Mecnica I. c by Jess Pelez lvarez M.I

  • Kinematics Pgina: 2/13September 28, 2010

    La Cinemtica es la parte de la Mecnica que tiene por objeto la descripcin y el estudio del movimiento de lossistemas materiales, independientemente de las causas que lo originan. En ella slo intervienen dos magnitudes fundamentales,longitud y tiempo. Ambas son imprescindibles para describir la posicin de los objetos y los cambios que dicha posicinsufre en el transcurso del tiempo, esto es, las propiedades intrnsecas del movimiento. Conceptos esenciales en Mecnica, comopuedan ser, masa, fuerza, energa, etc, estn ausentes en la descripcin cinemtica de un sistema material.

    La Cinemtica es, en su mayor parte, una prolongacin de la Geometra. En ella aparece una nueva variable, el tiempo,ausente en la descripcin geomtrica del espacio. La descripcin de la posicin y dems propiedades de un sistema materialen funcin de la variable temporal, es esencial a la Cinemtica.

    Los sistemas materiales ms sencillos son el punto y el slido rgido. Por tanto, se comenzar por la Cinemtica delPunto, donde se describe con detalle el movimiento de la partcula material. Posteriormente, se estudiar la Cinemtica delSlido donde se analizar el movimiento de un slido. Conviene dejar claro desde el principio el concepto de slido rgido, osimplemente, slido. Un slido es una sistema de partculas materiales que verifica la siguiente propiedad: la distancia entredos cualesquiera de sus partculas permanece constante en el transcurso del movimiento.

    Se admite que el espacio en el que tienen lugar los fenmenos que se estudian, est caracterizado por tres propiedadesbsicas: es ilimitado, homogneo e istropo. Homogneo significa que sus puntos no presentan propiedades intrnsecas quepermitan singularizarlos, esto es, todos ellos son equivalentes. Istropo significa que no existen direcciones privilegiadas, estoes, todas las direcciones son equivalentes. En Mecnica Clsica el espacio se describe apropiadamente con ayuda del conceptomatemtico de espacio afn eucldeo tridimensional, esto es, un espacio afn asociado a un espacio vectorial eucldeo dedimension tres. Una propiedad caracterstica del tiempo es su irreversibilidad ; est ligada al denominado principio de causalidadsegn el cual, los efectos no pueden ser anteriores a las causas que los provocan. Por ello, el tiempo se considera siempre unavariable real montona creciente, la misma para todas las referencias, independientemente de su estado cinemtico.

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  • Geometric Concepts Pgina: 3/13September 28, 2010

    Concepto de curva

    Dada una referencia cartesiana rectangular Oxyz, una curvaen el espacio se concibe como la trayectoria seguida por unpunto M en movimiento; la posicin ocupada por M en uninstante cualquiera t, est determinada por sus tres coor-denadas (x(t), y(t), z(t)). Por tanto, y desde un punto devista matemtico, una curva es un lugar geomtricode puntos que dependen continuamente de un nicoparmetro a travs de ecuaciones del estilo

    x = x(u), y = y(u), z = z(u), u [u1, u2]Las funciones (x(u), y(u), z(u)) deben cumplir ciertos requisi-tos de regularidad como ensea la Geometra Diferencial. Porejemplo, no pueden ser las tres constantes, pues en tal casoproporcionaran un punto y no una curva. En general, se suelesolicitar que sean funciones de clase 3, esto es, que tenganderivadas terceras continuas. Frecuentemente las ecuacionesse escriben en forma condensada como

    x = x(u)

    Esta ecuacin recibe el nombre de ecuacin vectorial de lacurva.

    x

    y

    z

    x(u)

    y(u)

    z(u)

    O

    M , u

    Figura 1.1: Curva en el espacio

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  • Geometric Concepts Pgina: 4/13September 28, 2010

    Longitud de arco. Tangente

    Dada una curva de representacin paramtrica x = x(u), sison P y Q dos de sus puntos, que se obtienen para los valoresu0 y u del parmetro, respectivamente, el Anlisis Matemticoensea que la longitud del segmento de curva comprendido entreP y Q est dada por

    L =

    QP

    ds =

    uu0

    x2 + y2 + z2du =

    u1u0

    | x (u)|du

    Un parmetro longitud de arco es el dado por

    s(u) =

    uu0

    |x(u)|du

    Secante PQ: pasa por P y tiene la direccin de uno cualquierade los dos siguientes vectores:

    x(u) x(u0), o bien x(u) x(u0)u u0

    Tangente en P : valor lmite de la secante PQ cuando Q P .Pasa por A y tiene la direccin de:

    x (u0) = limuu0

    x(u) x(u0)u u0

    P, u0

    P, u0

    Q, u

    Q, u

    Secante

    Tangente

    s

    x (u0)

    Figura 1.2: Longitud de arco. Tangente

    El vectort =

    x

    | x | =dx

    ds

    se denomina vector tangente unitario en P .

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  • Geometric Concepts Pgina: 5/13September 28, 2010

    Plano osculador

    Sea P (u0) un punto de la curva y T la recta tangente enel mismo. Sea Q(u) otro punto de la curva y (u) el planodeterminado por la recta tangente T y el punto Q. Dosvectores de la direccin de dicho plano son el x(u0) y elx(u) x(u0). Por consiguiente, tambin son vectores desu direccin los siguientes

    x(u0),2

    u u0{x(u) x(u0)

    u u0 x(u0)} (1.1)

    Cuando el punto Q tiende al punto P , esto es, u u0,el plano (u) tiende a una posicin lmite; dicho planolmite se denomina plano osculador y es fcil ver quedos vectores de su direccin son x (u0) y x (u0). Bastacon hacer el lmite u u0 en los vectores de (1.1).El nombre viene de osculo (beso en latn). Literalmente, elplano osculador es el plano que besa la curva. Se subrayaas el hecho de que, entre todos los planos que pasan porP , el osculador es el que tiene el mayor orden de contactocon la curva.

    P, u0

    P, u0

    Plano (u)

    Plano (u)

    Q, u

    Q, u

    x (u0)

    x(u) x(u0)

    Figura 1.3: Plano definido por la tangente en P y unpunto Q genrico

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  • Geometric Concepts Pgina: 6/13September 28, 2010

    Plano osculador

    P, u0

    Plano osculador

    x (u0)

    x (u0)

    b(u0)

    Figura 1.4: Plano osculador de una curva plana

    Si la curva es plana, el plano osculador en todos sus pun-tos es el mismo: el plano que contiene a la curva.Si la curva es alabeada, el plano osculador en un puntoP (u0) contiene, en primera aproximacin, a los puntos dela curva prximos a P (u0). En efecto, el desarrrollo deTaylor permite poner

    x(u)x(u0) = x (u0)(uu0)+12x (u0)(uu0)2+O((uu0)3)

    Plano normal

    De los infinitos planos ortogonales a la recta tangente a en P (u0), el que pasa por P (u0), se denomina planonormal a la curva en P . Tiene por ecuacin

    x(u0) (y x(u0)) = 0

    P, u0

    Plano normal

    x (u0)

    Figura 1.5: Plano normal en P (s0)

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  • Geometric Concepts Pgina: 7/13September 28, 2010

    Recta normal principal

    De entre todas las rectas normales a la curva en P (u0), lanormal principal es la recta interseccin del plano nor-mal y el osculador. Sus ecuaciones se obtienen cortandoambos planos

    x(u0) (y x(u0)) = 0(x(u0) x(u0)) (y x(u0)) = 0

    Recta binormal

    Se deno