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Aula 9: Campos Magnéticos Produzidos por Correntes
1 F328 – 1S20124 1
Curso de Física III
Profa Ana Barros
Campo de uma carga em movimento
,ˆ2rrvqkB m
×=!!
),(planoaolarperpendicué vrB !!!
( )vrr
vqB !!,sen,1,, 2α
São observações experimentais:
Condensando estas informações em forma vetorial:
onde km = 10-7 T.m/A
km pode ser escrita em termos de outra constante : ,40
πµ=mk
onde é a permeabilidade do vácuo.
B!
AmT104 7
0⋅×= −πµ
q
Uma carga q move-se com velocidade . v!
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Campo de uma corrente
20 ˆ4 r
rvdqBd ×=!!
πµ
dtvlddt
idtdqdtdqi
!!=
=⇒=
percorrecargaaem
,ˆ4 20
rrlidBd ×=
!!
πµ
B!
Campo de dq com velocidade :
Mas:
Então: (Lei de Biot-Savart)
onde é um elemento de comprimento sobre a linha de corrente,
e é um vetor que vai de até o ponto P.
ld!
lid!
r!
i
P
v!
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Campo num ponto P qualquer
∫×=
C rrlidB 2
0 ˆ4
!!
πµ (Lei de
Biot-Savart)
2
ˆ4 r
rlidBd o ×=!
!
πµ
B!
x
z
lid!
P
r!
⊗ Bd!
y
C
θ
Analogia com o campo elétrico
rrdqr
rdqEd !!
30
20 4
1ˆ41
πεπε==
distribuição de carga
Ed!
produzido por uma carga dq: r!
Módulo de : B!
∫=C ridlB 2
0 sen4
θπµ
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Campo magnético de um fio retilíneo
== 2sen
4 rdzidB o θ
πµ
ββ 222 cosecsen RrrR =⇒=
Integrando-se:
=−= ∫ ββπµ
π
dRiB sen
2
0
2
0
βββ dRdzRz 2coseccotg −=→=
RiB
πµ4
0= (fio semi-infinito)
Ri
πµ2
0
Neste caso, a lei de Biot-Savart 34 rrlidBd o!!! ×=
πµ
Mas:
se reduz a:
Sentido do campo : dado pela regra da mão direita ou regra do saca-rolhas (ver figura)
B!
i
B!
2sen
4 rdzio β
πµ ( ) βθθπβ sensen- =∴=
r!β
ld!
Bd!
z
i
longo com corrente i
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Campo magnético de um fio infinito
i
As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma dada distribuição de correntes no espaço. Como vimos, no entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da forma:
corrente “entrando” no papel
ld!
i=0
B!
Observe que as linhas de são fechadas. B!
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de uma corrente em um arco circular
• Calcular o campo magnético no ponto O. • Para os segmentos e da figura, o produto é nulo
(vetores paralelos e antiparalelos)
• No arco são perpendiculares.
RiBπϕµ
40=
rld !"×
rld !"e
ϕ
B!
onde é o ângulo central subentendido pelo arco. Se
,
Neste caso:
AA ′ CC ′
,CA
i
i
ld!r
ϕ
:2πϕ =
RiB
20µ= (campo no centro de uma espira)
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Força entre dois fios condutores paralelos
)ˆ(2
ˆ2
00 rdldiield
diiBldiFd b
bab
baabbba −=×=×=
πµ
πµ
ϕ
!!!!
A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b:
O fio b, na presença de , fica sujeito a uma uma força dada por:
A força sobre um comprimento Lb do fio b vale:
=b
ba
LF
dii ba
πµ20
Esta expressão possibilita a definição do ampère.
ϕπµ ediB a
a ˆ20=
!∫
×=a
aaa r
rldiB 20 ˆ4
!!
πµ
(de atração, neste caso)
aB!
ϕe
ib
ia bb ldi!
aa ldi!
d r!baF!
)ˆ(20 rdLiiF bba
ba −=π
µ!ou
(módulo da força por unidade de comprimento)
aB!
aB!
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Bd!
⊥Bd!⊥+= BdBdzBd
!!!||)(
)90(sen4
02
0
rdlidB
πµ=
22222 cose
zRR
rRzRr
+==+= α
Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:
2/322
20
)(2)(
zRRizB
+= µ
Campo magnético de uma bobina
Como a soma vetorial dos se anula:
O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart para calcular em pontos do eixo central da espira. B
!
Temos:
∫∫ +==
espira
dlzRiRdBzB 2/3220
|| )(4)(
πµ
||Bd!
r! z
ld!
Bd!
α∫∫ == cos)( || dBBdzB
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Campo magnético de uma bobina
2/322
20
)(2)(
zRiRzB+
= µ
30
2)(
ziAzB
πµ=
3
20
2)(
zRizB µ≈
30
2)(
zzB µ
πµ !!
=
Para pontos afastados ( ): Rz >>
(a bobina se comporta como um ímã – ver semelhança das linhas)
Lembrando que é a área da espira e é o seu momento de dipolo magnético:
AR =2πnAi ˆ=µ!
Vimos:
i
≈i
B!
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Circuitação de um campo vetorial
• Cada linha de é uma curva fechada. • A determinação de pode ser feita em termos da sua
circuitação.
θϕ cosdlrd =
ididrridBrBdl
C0
00
22cos µϕ
πµϕ
πµϕθ ==== ∫∫∫∫
riB
πµ20=Intensidade de :
∫∫ =⋅CC
BdlldB θcos!!
B!
B!
B!
Mas, da figura:
θϕd
B!
r!θcosdl
Circuitação de ao longo de um contorno C : ∫ ⋅C
ldB!!
B!
θ B!
r!ld!
C
i
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A lei de Ampère
A lei de Ampère é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo magnético devido a uma distribuição de correntes depende da simetria da distribuição.
envoC
ildB µ=⋅∫!!
)(cos 21o21 iiBdliiiC
env −=⇒−= ∫ µθ Da figura ao lado tem-se:
Então:
( )21o iildBC
−=⋅∫ µ!!
(lei de Ampère)
ld! B
!
C
amperiana
C
sentido de integração
sentido de integração
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Campo magnético de um fio infinito
i
ildBC
0µ=⋅∫!!
Em C, é paralelo a B!
ld!
e ∴=uniformeB!
Lei de Ampère:
=⋅=∫ rBdlB π2=⋅∫C
ldB!!
⇒i0µ ri
Bπ
µ20=
a bússola aponta sempre na mesma direção (norte geográfico)
a bússola aponta na direção de resultante B
! limalhas de ferro nas proximidades do fio
ld!
i=0
C r
ld!
i
B!
B!
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0011
cos iBdlldB µθ ==⋅ ∫∫!!
1cos0o =⇒= θθ
possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma intensidade em todos os pontos a uma distância r do centro.
é paralelo a
riB
πµ2
00= (fora do fio)
B!
ld!
B!
Curva 1 ( r>R ):
00)2( irB µπ =
0i
ld!
rBdlBBdl πθ 2cos1
⋅== ∫∫
Campo magnético de um fio cilíndrico longo com corrente
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Campo magnético de um fio cilíndrico
(dentro do fio)
B!
longo com corrente
Curva 2 ( r<R ):
A corrente envolvida pela curva 2 (de raio r) é:
2
2
0 Rriienv π
π=
⇒== 2
2
000)2(RriirB env π
πµµπ rRiB 200
2πµ=
O sentido de é dado pela regra da mão direita.
ld!
rBdlBBdl πθ 2cos2
⋅== ∫∫0i
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Gráfico da intensidade de de um fio
• Para
• Para
Rr ≤
Rr ≥
rRiB 200
2πµ=
riBπµ2
00=
:
:
cilíndrico longo com corrente
dentro fora
B!
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Solenoides e Toroides
• Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é chamado de solenoide.
• O campo magnético do solenoide é a soma vetorial dos campos produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma.
Solenoide compacto Solenoide esticado
≈
ímã
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O campo no interior de um solenoide é praticamente uniforme. As figuras abaixo mostram um solenoide ideal e um solenoide real. Em ambos os casos os campos fora do solenoide são muito fracos, em comparação com os do interior.
Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd:
env
b
a
c
b
d
c
a
dC
iBhldBldBldBldBldB 0µ==⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫ ∫ ∫ ∫∫!!!!!!!!!!
inB 0µ=Havendo n espiras por unidade comprimento no solenoide: nhiienv =
Campo de um solenoide
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Campo de um toroide
NildBC
0µ=⋅∫!!
)2( rBldBC
π=⋅∫!!
)toroide(2
0
riN
Bπµ
=
A figura mostra o enrolamento de um toroide de N voltas, transportando uma corrente i. O campo é diferente de zero apenas no interior do toroide. Sua intensidade varia com r.
Aplicando-se a lei de Ampère para a curva tracejada em azul, tem-se:
B!
nr
N ≈π2
Note que como , esta expressão é parecida à do campo
magnético de um “solenoide enrolado”.
i
i
B!
ld!
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