Campos Magnéticos produzidos por Correntes
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Magnetic Field due to CurrentsCap. 29
Copyright © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
O módulo do campo dB produzido no ponto P a uma
distância r por um elemento de corrente i ds é dado
por
onde θ é o ângulo entre as direções de ds e , um
vetor unitário que aponta de ds para P. O símbolo μ0 é
uma constante, chamada de constante de
permeabilidade, cujo valor é definida por ter o valor
exato
29-1 Campo Magnético produzido por uma Corrente
A direção de dB, mostrada como sendo para dentro da página na figura, é aquele
do produto vetorial ds×. Podemos escrever a equação contendo dB na forma
vetorial como
Esta equação vetorial e sua forma escalar são conhecidas como a
Lei de Biot e Savart.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
29-1 Campo Magnético produzido por uma Corrente
Para um fio longo e reto
carregando uma corrente i, a lei
de Biot–Savart fornece, para o
módulo do campo magnético a
uma distância perpendicular R do
fio,
O módulo do campo magnético no centro de um arco
circular, de raio R e ângulo central (em radianos),
carregando uma corrente i, é
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Regra da mão direita: Segure o fio na mão direita, com o polegar estendido
apontando no sentido da corrente. Os outros dedos mostram a orientação das
linhas de campo magnético produzidas pela corrente no fio.
As linhas de campo
fio retilíneo longo são
sentido da corrente é
29-2 Forças Entre Duas Correntes Paralelas
Fios paralelos carregando correntes no mesmo
sentido atraem um ao outro, já fios paralelos
carregando correntes em sentidos opostos se
repelem mutuamente. O módulo da força num
comprimento L de cada fio é
onde d é a separação dos fios, e ia e ib são as
correntes nos fios.
transportando corrente é este:
paralelas, poderíamos mostrar que os dois fios iriam
se repelir.
num canhão eletromagnético.
condutor.© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente por outro fio
percorrido por corrente, determine primeiro o campo produzido pelo segundo fio na posição
do primeiro; em seguida, determine a força exercida pelo campo sobre o primeiro fio.
A lei de Ampere diz que
A integral de caminho nesta equação é calculada em
uma trajetória denominada de Amperiana. A corrente
i ao lado direito é a corrente encerrada na trajetória.
29-3 Lei de Ampère
Amperiana arbitrária que engloba
exclui um terceiro fio. Note os
sentidos das correntes.
para a lei de Ampere para
determinar os sinais das
e retilíneo percorrido por corrente:
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Apoie a palma da mão direita na amperiana, com os dedos apontando no sentido
da integração. Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal
positivo; uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo.
29-4 Solenoides e Toroides
Figura (a) é um solenoide transportando uma
corrente i. Figura (b) mostra uma seção
através de uma porção de um solenoide
“esticado”. O campo magnético do solenoide é
um vetor soma dos campos produzidos pelas
voltas individuais (enrolamentos) que
próximos de uma volta, o fio se comporta
quase como um fio longo e reto, e as linhas de
B por lá são quase círculos concêntricos.
Figura (b) sugere que o campo tende a se
cancelar entre voltas adjacentes. Sugere
também que em pontos dentro do solenoide e
relativamente distante dos fios, B é
aproximadamente paralelo ao eixo central do
solenoide.
(a)
Vamos aplicar a lei de Ampere,
Para um solenoide ideal (Fig. (a)), onde B é uniforme
dentro do solenoide e zero fora dele, usando a
Amperiana retangular abcda. Escrevemos como
a soma de 4 integrais, uma para cada segmento:
29-4 Solenoides e Toroides
(a)
A primeira integral à direita da equação é Bh, onde B é o módulo do campo
uniforme B dentro do solenoide e h é o comprimento (arbitrario) do segmento de a
até b. A segunda e quarta integrais são zero porque para cada elemento ds destes
segmentos, B ou é perpendicular à ds ou é zero, e então o produto Bds é zero. A
terceira integral, que é tomada ao longo do segmento que fica fora do solenoide, é
zero porque B=0 em todos os pontos externos. Então, para toda a trajetória
retangular tem valor Bh.
Dentro de um soleoide longo transportando uma corrente i, nos pontos distantes
das bordas, o módulo B do campo magnético é
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29-4 Solenoides e Toroides
Campo Magnético de um Toroide Figura (a) mostra um toroide, que descrevemos como um
solenoide (oco) que foi curvado até que suas bordas se
encontrassem, formando uma espécie de bracelete oco.
Que campo magnético B é formado dentro do toroide
(dentro do espaço oco do bracelete)? Podemos descobrir a
partir da lei de Ampere e da simetria do bracelete. A partir da
simetria, vemos que as linhas de B formam círculos
concêntricos dentro do toroide, direcionadas como mostrado
na Fig. (b). Escolhemos um círculo concêntrico de raio r
como uma Amperiana e a percorremos no sentido horário. A
lei de Ampere nos diz que
onde i é a corrente nas voltas do toroide (e é positiva para
aquelas voltas englobadas pela Amperiana) e N é o total de
voltas. Isto nos dá
Em contraste com o solenoide, B não é constante ao longo da seção de um
toroide. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
29-5 A Bobina Plana como um Dipolo Magnético
O campo magnético produzido por uma espira
transportando corrente, que é um dipolo
magnético, num ponto P localizado a uma
distância z ao longo do eixo central é paralelo ao
eixo e é dado por
Aqui μ é o momento de dipolo da espira. Esta
equação se aplica somente quando z é muito
maior que as dimensões da espira.
Temos dois jeitos de enxergar uma espira transportadora de corrente como
um dipolo magnético:
(1) Experimenta um torque quando colocada em um campo magnético externo.
(2) Gera seu próprio campo magnético intrínseco, dado, para pontos distantes
ao longo de seu eixo pela equação acima. A figura mostra o campo
magnético de uma espira; um lado da espira se comporta como polo norte
(na direção de μ) © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
29 Sumário
um condutor de corrente pode ser
calculado pela lei de Biot–Savart.
• A grandeza μ0, chamada de
permeabilidade, tem o valor
Eq. 29-3
Campo Mag. de um Arco Circular • O módulo do campo magnético no
centro de um arco de circunferência,
Eq. 29-9
Eq. 29-14
Longo, Retilíneo • Para um fio reto e longo percorrido
por uma corrente i, a Lei de Biot–
Savart diz que,
ambos os fios é
29 Sumário
percorrido por uma corrente i, em
pontos não muito próximos das
extremidades, o módulo de B é
• Em um ponto no interior de um
toroide, o módulo de B é
Eq. 29-23
Campo de um Dipolo Magnético O campo magnético produzido por
uma bobina plana, que se comporta
como um dipolo magnético em um
ponto P localizado a uma distância z
do centro da bobina, é paralelo ao eixo
central, é dado por
29 Exercícios
Halliday 10ª. Edição
Cap. 29:
Problemas 1; 4; 11; 16; 21; 29; 35; 44; 51; 57
29 Problema 29-1
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Um topógrafo está usando uma bússola magnética 6,1 m abaixo de uma
linha de transmissão que conduz uma corrente constante de 100 A. (a)
Qual é o campo magnético produzido pela linha de transmissão na
posição da bússola? (b) Esse campo tem uma influência significativa na
leitura da bússola? A componente horizontal do campo magnético da
Terra no local é 20 μT.
29 Problema 29-4
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Um condutor retilíneo percorrido por uma corrente i = 5,0 A se divide em
dois arcos semicirculares, como mostra a Fig. 29-36. Qual é o campo
magnético no centro C da espira circular resultante?
29 Problema 29-11
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Na Fig. 29-42, dois fios retilíneos, longos, são perpendiculares ao plano
do papel e estão separados por uma distância d1 = 0,75 cm. O fio 1
conduz uma corrente de 6,5 A para dentro do papel. Determine (a) o
módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no
fio 2 para que o campo magnético seja zero no ponto P, situado a uma
distância d2 = 1,50 cm do fio 2.
29 Problema 29-16
Na Fig. 29-46, duas espiras circulares, concêntricas, que conduzem
correntes no mesmo sentido, estão no mesmo plano. A espira 1 tem 1,50
cm de raio e conduz uma corrente de 4,00 mA. A espira 2 tem 2,50 cm
de raio e conduz uma corrente de 6,00 mA. O campo magnético B no
centro comum das duas espiras é medido enquanto se faz girar a espira
2 em torno de um diâmetro. Qual deve ser o ângulo de rotação da espira
2 para que o módulo do campo B seja 100 nT?
29 Problema 29-21
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A Fig. 29-49 mostra, em seção reta, dois fios retilíneos muito longos,
ambos percorridos por uma corrente de 4,00 A orientada para fora do
papel. A distância entre os fios é d1 = 6,00 m e a distância entre o ponto
P, equidistante dos dois fios, e o ponto médio do segmento de reta que
liga os dois fios é d2 = 4,00 m. Determine o módulo do campo magnético
total produzido no ponto P pelos dois fios.
29 Problema 29-29
Na Fig. 29-57, quatro fios longos, retilíneos, são perpendiculares ao
papel, e suas seções retas formam um quadrado de lado a = 20 cm. As
correntes são para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do papel
nos fios 2 e 3, e todos os fios conduzem uma corrente de 20 A. Na
notação dos vetores unitários, qual é o campo magnético no centro do
quadrado?
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A Fig. 29-63 mostra o fio 1 em seção reta; o fio é longo e retilíneo,
conduz uma corrente de 4,00 mA para fora do papel e está a uma
distância d1 = 2,40 cm de uma superfície. O fio 2, que é paralelo ao
fio 1 e também longo, está na superfície a uma distância horizontal d2 =
5,00 cm do fio 1 e conduz uma corrente de 6,80 mA para dentro do
papel. Qual é a componente x da força magnética por unidade de
comprimento que age sobre o fio 2?
29 Problema 29-44
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A Fig. 29-68 mostra duas curvas fechadas envolvendo duas espiras que
conduzem correntes i1 = 5,0 A e i2 = 3,0 A. Determine o valor da integral
(a) para a curva 1 e (b) para a curva 2.
29 Problema 29-51
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Um solenoide de 200 espiras com 25 cm de comprimento e 10 cm de
diâmetro conduz uma corrente de 0,29 A. Calcule o módulo do campo
magnético no interior do solenoide.
29 Problema 29-57
Um estudante fabrica um pequeno eletroímã enrolando 300 espiras de
fio em um cilindro de madeira com um diâmetro d = 5,0 cm. A bobina é
ligada a uma bateria que produz uma corrente de 4,0 A no fio. (a) Qual é
o módulo do momento dipolar magnético do eletroímã? (b) A que
distância axial z >> d o campo magnético do eletroímã tem um módulo
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O módulo do campo dB produzido no ponto P a uma
distância r por um elemento de corrente i ds é dado
por
onde θ é o ângulo entre as direções de ds e , um
vetor unitário que aponta de ds para P. O símbolo μ0 é
uma constante, chamada de constante de
permeabilidade, cujo valor é definida por ter o valor
exato
29-1 Campo Magnético produzido por uma Corrente
A direção de dB, mostrada como sendo para dentro da página na figura, é aquele
do produto vetorial ds×. Podemos escrever a equação contendo dB na forma
vetorial como
Esta equação vetorial e sua forma escalar são conhecidas como a
Lei de Biot e Savart.
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
29-1 Campo Magnético produzido por uma Corrente
Para um fio longo e reto
carregando uma corrente i, a lei
de Biot–Savart fornece, para o
módulo do campo magnético a
uma distância perpendicular R do
fio,
O módulo do campo magnético no centro de um arco
circular, de raio R e ângulo central (em radianos),
carregando uma corrente i, é
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Regra da mão direita: Segure o fio na mão direita, com o polegar estendido
apontando no sentido da corrente. Os outros dedos mostram a orientação das
linhas de campo magnético produzidas pela corrente no fio.
As linhas de campo
fio retilíneo longo são
sentido da corrente é
29-2 Forças Entre Duas Correntes Paralelas
Fios paralelos carregando correntes no mesmo
sentido atraem um ao outro, já fios paralelos
carregando correntes em sentidos opostos se
repelem mutuamente. O módulo da força num
comprimento L de cada fio é
onde d é a separação dos fios, e ia e ib são as
correntes nos fios.
transportando corrente é este:
paralelas, poderíamos mostrar que os dois fios iriam
se repelir.
num canhão eletromagnético.
condutor.© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente por outro fio
percorrido por corrente, determine primeiro o campo produzido pelo segundo fio na posição
do primeiro; em seguida, determine a força exercida pelo campo sobre o primeiro fio.
A lei de Ampere diz que
A integral de caminho nesta equação é calculada em
uma trajetória denominada de Amperiana. A corrente
i ao lado direito é a corrente encerrada na trajetória.
29-3 Lei de Ampère
Amperiana arbitrária que engloba
exclui um terceiro fio. Note os
sentidos das correntes.
para a lei de Ampere para
determinar os sinais das
e retilíneo percorrido por corrente:
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Apoie a palma da mão direita na amperiana, com os dedos apontando no sentido
da integração. Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal
positivo; uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo.
29-4 Solenoides e Toroides
Figura (a) é um solenoide transportando uma
corrente i. Figura (b) mostra uma seção
através de uma porção de um solenoide
“esticado”. O campo magnético do solenoide é
um vetor soma dos campos produzidos pelas
voltas individuais (enrolamentos) que
próximos de uma volta, o fio se comporta
quase como um fio longo e reto, e as linhas de
B por lá são quase círculos concêntricos.
Figura (b) sugere que o campo tende a se
cancelar entre voltas adjacentes. Sugere
também que em pontos dentro do solenoide e
relativamente distante dos fios, B é
aproximadamente paralelo ao eixo central do
solenoide.
(a)
Vamos aplicar a lei de Ampere,
Para um solenoide ideal (Fig. (a)), onde B é uniforme
dentro do solenoide e zero fora dele, usando a
Amperiana retangular abcda. Escrevemos como
a soma de 4 integrais, uma para cada segmento:
29-4 Solenoides e Toroides
(a)
A primeira integral à direita da equação é Bh, onde B é o módulo do campo
uniforme B dentro do solenoide e h é o comprimento (arbitrario) do segmento de a
até b. A segunda e quarta integrais são zero porque para cada elemento ds destes
segmentos, B ou é perpendicular à ds ou é zero, e então o produto Bds é zero. A
terceira integral, que é tomada ao longo do segmento que fica fora do solenoide, é
zero porque B=0 em todos os pontos externos. Então, para toda a trajetória
retangular tem valor Bh.
Dentro de um soleoide longo transportando uma corrente i, nos pontos distantes
das bordas, o módulo B do campo magnético é
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29-4 Solenoides e Toroides
Campo Magnético de um Toroide Figura (a) mostra um toroide, que descrevemos como um
solenoide (oco) que foi curvado até que suas bordas se
encontrassem, formando uma espécie de bracelete oco.
Que campo magnético B é formado dentro do toroide
(dentro do espaço oco do bracelete)? Podemos descobrir a
partir da lei de Ampere e da simetria do bracelete. A partir da
simetria, vemos que as linhas de B formam círculos
concêntricos dentro do toroide, direcionadas como mostrado
na Fig. (b). Escolhemos um círculo concêntrico de raio r
como uma Amperiana e a percorremos no sentido horário. A
lei de Ampere nos diz que
onde i é a corrente nas voltas do toroide (e é positiva para
aquelas voltas englobadas pela Amperiana) e N é o total de
voltas. Isto nos dá
Em contraste com o solenoide, B não é constante ao longo da seção de um
toroide. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
29-5 A Bobina Plana como um Dipolo Magnético
O campo magnético produzido por uma espira
transportando corrente, que é um dipolo
magnético, num ponto P localizado a uma
distância z ao longo do eixo central é paralelo ao
eixo e é dado por
Aqui μ é o momento de dipolo da espira. Esta
equação se aplica somente quando z é muito
maior que as dimensões da espira.
Temos dois jeitos de enxergar uma espira transportadora de corrente como
um dipolo magnético:
(1) Experimenta um torque quando colocada em um campo magnético externo.
(2) Gera seu próprio campo magnético intrínseco, dado, para pontos distantes
ao longo de seu eixo pela equação acima. A figura mostra o campo
magnético de uma espira; um lado da espira se comporta como polo norte
(na direção de μ) © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
29 Sumário
um condutor de corrente pode ser
calculado pela lei de Biot–Savart.
• A grandeza μ0, chamada de
permeabilidade, tem o valor
Eq. 29-3
Campo Mag. de um Arco Circular • O módulo do campo magnético no
centro de um arco de circunferência,
Eq. 29-9
Eq. 29-14
Longo, Retilíneo • Para um fio reto e longo percorrido
por uma corrente i, a Lei de Biot–
Savart diz que,
ambos os fios é
29 Sumário
percorrido por uma corrente i, em
pontos não muito próximos das
extremidades, o módulo de B é
• Em um ponto no interior de um
toroide, o módulo de B é
Eq. 29-23
Campo de um Dipolo Magnético O campo magnético produzido por
uma bobina plana, que se comporta
como um dipolo magnético em um
ponto P localizado a uma distância z
do centro da bobina, é paralelo ao eixo
central, é dado por
29 Exercícios
Halliday 10ª. Edição
Cap. 29:
Problemas 1; 4; 11; 16; 21; 29; 35; 44; 51; 57
29 Problema 29-1
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Um topógrafo está usando uma bússola magnética 6,1 m abaixo de uma
linha de transmissão que conduz uma corrente constante de 100 A. (a)
Qual é o campo magnético produzido pela linha de transmissão na
posição da bússola? (b) Esse campo tem uma influência significativa na
leitura da bússola? A componente horizontal do campo magnético da
Terra no local é 20 μT.
29 Problema 29-4
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Um condutor retilíneo percorrido por uma corrente i = 5,0 A se divide em
dois arcos semicirculares, como mostra a Fig. 29-36. Qual é o campo
magnético no centro C da espira circular resultante?
29 Problema 29-11
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Na Fig. 29-42, dois fios retilíneos, longos, são perpendiculares ao plano
do papel e estão separados por uma distância d1 = 0,75 cm. O fio 1
conduz uma corrente de 6,5 A para dentro do papel. Determine (a) o
módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no
fio 2 para que o campo magnético seja zero no ponto P, situado a uma
distância d2 = 1,50 cm do fio 2.
29 Problema 29-16
Na Fig. 29-46, duas espiras circulares, concêntricas, que conduzem
correntes no mesmo sentido, estão no mesmo plano. A espira 1 tem 1,50
cm de raio e conduz uma corrente de 4,00 mA. A espira 2 tem 2,50 cm
de raio e conduz uma corrente de 6,00 mA. O campo magnético B no
centro comum das duas espiras é medido enquanto se faz girar a espira
2 em torno de um diâmetro. Qual deve ser o ângulo de rotação da espira
2 para que o módulo do campo B seja 100 nT?
29 Problema 29-21
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A Fig. 29-49 mostra, em seção reta, dois fios retilíneos muito longos,
ambos percorridos por uma corrente de 4,00 A orientada para fora do
papel. A distância entre os fios é d1 = 6,00 m e a distância entre o ponto
P, equidistante dos dois fios, e o ponto médio do segmento de reta que
liga os dois fios é d2 = 4,00 m. Determine o módulo do campo magnético
total produzido no ponto P pelos dois fios.
29 Problema 29-29
Na Fig. 29-57, quatro fios longos, retilíneos, são perpendiculares ao
papel, e suas seções retas formam um quadrado de lado a = 20 cm. As
correntes são para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do papel
nos fios 2 e 3, e todos os fios conduzem uma corrente de 20 A. Na
notação dos vetores unitários, qual é o campo magnético no centro do
quadrado?
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A Fig. 29-63 mostra o fio 1 em seção reta; o fio é longo e retilíneo,
conduz uma corrente de 4,00 mA para fora do papel e está a uma
distância d1 = 2,40 cm de uma superfície. O fio 2, que é paralelo ao
fio 1 e também longo, está na superfície a uma distância horizontal d2 =
5,00 cm do fio 1 e conduz uma corrente de 6,80 mA para dentro do
papel. Qual é a componente x da força magnética por unidade de
comprimento que age sobre o fio 2?
29 Problema 29-44
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
A Fig. 29-68 mostra duas curvas fechadas envolvendo duas espiras que
conduzem correntes i1 = 5,0 A e i2 = 3,0 A. Determine o valor da integral
(a) para a curva 1 e (b) para a curva 2.
29 Problema 29-51
© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Um solenoide de 200 espiras com 25 cm de comprimento e 10 cm de
diâmetro conduz uma corrente de 0,29 A. Calcule o módulo do campo
magnético no interior do solenoide.
29 Problema 29-57
Um estudante fabrica um pequeno eletroímã enrolando 300 espiras de
fio em um cilindro de madeira com um diâmetro d = 5,0 cm. A bobina é
ligada a uma bateria que produz uma corrente de 4,0 A no fio. (a) Qual é
o módulo do momento dipolar magnético do eletroímã? (b) A que
distância axial z >> d o campo magnético do eletroímã tem um módulo
